6.2立方根

1、立方根的定义：
平方根
定义
立方根
举例
如果一个数X的 如果一个数X的 平方等于a，即X2=a， 立方等于a，即 那么，这个数X就叫 X3=a,那么，这个数 做a的平方根。 X就叫做a的立方根。 ∵（ ± 2）2=4， 3=-8， ∵ （ -2 ） ∴ ± 2是4的平方根。 ∴ -2是-8的立方根。
（ 4） 0；
解：∵
(3) 27
3
8 （ 5） 125
∴ －27的立方根是－3。
即 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ27 3
问题：
正数有立方根吗？如果有，有几个。
负数呢？ 零呢？ 从上面的例1可知：一个正数有一个正的立 方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根 是零。
从上面的例题可知：
3
27 3
3
27 3
0.125
64 3 （4） 3 3 （5） 3 125 8 3 解：（1） 8 2
（ 2） （ 3）
3 3
8 8 2 0.125 0.5
3
解：（4）
3 27 3 3 3 3 8 8 2 64 64 4 3 3 125 125 5
（ 5）
作业：
(1)1的平方根是____；立方根为____；算术 平方根为__． (2)平方根是它本身的数是____． (3)立方根是其本身的数是____． (4)算术平方根是其本身的数是____． (5) 64 的立方根为 . (6)
3
3
( 8) 2
的平方根为
.
(7) 512 的立方根为
.
问：
一个自然数的算术平方根是a， 那么与这个自然数相邻的下一 个自然数的平方根是_________； 2 立方根是 a 1________．
3
a 1
2
小结：
1、什么叫一个数的立方根？怎样 用符号表示 数a的立方根？任何数都有 立方根吗？
2、数的立方根与数的平方根有什么 区别？
“平方根”与“立方根”的比 较
2、立方根的性质与表示
平方根
立方根
性质
一个正数有 每个数都只有 两个平方根，它 一个立方根。正 们互为相反数； 数的立方根是正 0只有一个平方 数；0的立方根是 根，它是0本身； 0；负数的立方根 是负数。 负数没有平方根。
表示
a的平方根表示 为
a的立方根表示为：
3
a
a
3、开立方
开平方 定 义 认 识
3
由此可得出： 3
27 27
也就是把根号里的“负号”直接从根号里面提 到了根号“外面” 。
由此得出求一个负数的立方根的一般方法：
3
a a
3
也就是说，求一个负数的立方根，可以先求出 这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相 反数。
例2：求下列各式的值。 3 3 3 （1） 8 ；（2） 8 ；（3）
6.2 立方根
问题
现有一只体积为 216 cm3 的正方体纸 盒，它的每一条棱长是多少？ 思考
这个实际问题，在数学上提出怎样的 一个计算问题？类比“平方根”的概念， 你可以抽象出一个什么数学概念？
概括
上面所提出的问题，实质上就是要 找一个数 x，这个数x的立方等于 216。 即x3=216。
因为63＝216， 所以正方体的棱长应为6 cm． 像平方根那样，6是216的立方根。 即：如果一个数的立方等于a，那么这个 数就叫做a的立方根
求一个数a的 平方根的运算， 叫做开平方。
开立方
求一个数a的立方 根的运算，叫做开 立方。
①它与平方互 ①它与立方 为逆运算； 互为逆运算； ②它是一种运 ②它是一种 算，而不是结果， 运算，而不是结 它的结果是平方 果，它的结果是 根。 立方根。
例1：求下列各数的立方根。
（1）－27； （2）27； （3）－0.216；
数
a
的立方根用符号 3
a
表示。
读作：“三次根号 方数，3 是根指数。
a
”，其中
a
叫被开
例如：∵
5 125
3
∴ 5 是125 的立方根。 也可以说，125 的立方根是 5 。
3 用式子表示为：
125 5
注意：3
a
的根指数 3 不能省略，要写在根
号的左上角，而且要写得小一些，不能写成 3
a
求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫 做开立方，开立方运算的结果就是立方根。 因为开立方与立方互为逆运算。 所以我们可以运用立方运算来求一个数 的立方根。