物体的动态平衡问题解题技巧

物体的动态平衡问题解题技巧一、总论1、动态平衡问题的产生——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型关键词——缓慢转动、缓慢移动……2、动态平衡问题的解法——解析法、图解法解析法——画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后由角度变化分析判断力的变化规律；图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。

3、动态平衡问题的分类——动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、等腰三角形等二、例析1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。

设墙面对球的压力大小为F N1，球对木板的压力大小为F N2。

以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。

不计摩擦，在此过程中A ．F N1始终减小，F N2始终增大B ．F N1始终减小，F N2始终减小C ．F N1先增大后减小，F N2始终减小D ．F N1先增大后减小，F N2先减小后增大解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F N1、F N2随夹角变化的函数，然后由函数讨论；【解析】小球受力如图，由平衡条件，有 0sin 2N =-mg F θ 0cos 1N 2N =-F F θ 联立，解得：θsin 2N mg F =，θtan 1N mg F = 木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知F N1、F N2都一直在减小。

选B 。

解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和F N1的方向，然后按F N2方向变化规律转动F N2，即可看出结果。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F N1的方向始终水平向右，而F N2的方向逐渐变得竖直。

则由右图可知F N1、F N2都一直在减小。

【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。

现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。

设F 的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则A ．F 先减小后增大B ．F 一直增大C ．F 一直减小D ．F 先增大后减小解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F 随夹角θ变化的函数，然后由函数讨论；【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有F N FF f θF N2 mgFF N1F mg θ0sin N =-+mg F F θ0cos f =-F F θ 其中 N f F F μ= 联立，解得：θμθμsin cos +=mg F 由数学知识可知)cos(12αθμμ-+=mg F ，其中μα1tan = 当μαθ1arctan ==时，F 最小，则θ从0逐渐增大到90°的过程中，F先减小后增大。

选A 。

解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。

【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合，由N f F F μ=可知，μβ=tan 。

由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三 角形，其中重力mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成β角。

则由右图可知，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三角形的三边平行——相似三角形【例2】半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B 的距离为h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A 点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力N F 和绳对小球的拉力T F 的大小变化的情况是A 、N F 变大，T F 变小B 、N F 变小，T F 变大C 、N F 变小，T F 先变小后变大D 、N F 不变，T F 变小解法一：解析法（略）解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。

很容易发现，这三个力与O AO '∆的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形O AO '∆相似。

则有。

L F R F h R mg T N ==+ 其中，mg 、R 、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知，N F 不变，T F 变小。

3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定——圆与三角形【例3】在共点力的合成实验中，如图，用A ，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置O ，这时两绳套AO ，BO 的夹角小于90°，现在保持弹簧秤A 的示数不变而改变其拉力方向使α角变小，那么要使结点仍在位置O ，就应该调整弹簧秤B 的拉力的大小及β角，则下列调整方法中可行的是F mgF f F θ β F F 合mg β F Nmg F f F NmgF f O O ’F T2 mg F T1 α A 、增大B 的拉力，增大β角 B 、增大B 的拉力，β角不变C 、增大B 的拉力，减小β角D 、B 的拉力大小不变，增大β角解法一：解析法（略）解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”——保持长度不变F A 将F A 绕橡皮条拉力F 端点转动形成一个圆弧，F B 的一个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。

【解析】如右图，由于两绳套AO 、BO 的夹角小于90°，在力的三角形中，F A 、F B 的顶角为钝角，当顺时针转动时，F A 、F B 的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。

由图可知，这个过程中F B 一直增大，但β角先减小，再增大。

故选ABC 。

4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持不变——圆与三角形（正弦定理）【例4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA 绳的拉力F T1，CB 绳的拉力F T2的大小变化情况是A 、F T1先变小后变大B 、F T1先变大后变小C 、F T2一直变小D 、F T2最终变为零解法一：解析法1——让整个装置顺时针转过一个角度α，画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列方程，解出F T1、F T2随α变化的关系式，然后根据的变化求解。

【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设AC 绳与竖直方向夹角为α，则由平衡条件，有0)cos(cos 2T 1T =--+mg F F αθα0)sin(sin 2T 1T =--αθαF F联立，解得 θαθsin )sin(1T -=mg F ，θαsin sin 2T mg F = α从90°逐渐减小为0°，则由上式可知：F T1先变大后变小，F T2一直变小。

解法二：解析法2——画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，F T1、F T2的夹角(180°－θ)保持不变，设另外两个夹角分别为α、β，写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据α、β的变化规律得到F T1、F T2的变化规律。

【解析】如图，由正弦定理有 T1T2sin(π)sin sin F F mg θαβ==- 整个装置顺时针缓慢转动90°过程的中θ角和mg 保持不变，α角从30°增大，β角从90°减小，易知F T1先变大后变小，F T2一直变小。

解法三：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的夹角(180°－θ)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上按F T1、F T2的方向变化规律滑动，即可看出结果。

【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的F T2为直径的圆周，易知F T1先变大到最大为圆周直径，然后变小，F T2一直变小。

答案为：BCD5、等腰三角形：一个力大小、方向均确定，另两个力大小相等、但大小和方向FF B F A o A B βαB Aβ α O F F B F A β α F T2 mg F T1 mg F T1F T2 mg F T1 F T2 βαθ A CN B G均不确定【例5】如图所示．用钢筋弯成的支架，水平虚线MN 的上端是半圆形，MN 的下端笔直竖立．一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物G ．现将轻绳的一端固定于支架上的A 点，另一端从C 点处沿支架缓慢地向最高点B 靠近（C 点与A 点等高），则绳中拉力A ．先变大后不变B ．先不变后变大C ．先不变后变小D ．保持不变解法一：解析法——分两个阶段画受力分析图，绳端在CN 段、NB 段，在CN 段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系易知这个夹角保持不变，则易看出结果；在NB 段，左右两侧绳与水平方向夹角也相同，但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。

（解析略）解法二：图解法——画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是一个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的变化规律。

【解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个等腰三角形。

由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小。

选C 。

三、练习1、如图1所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的推力F 、半球面对小球的支持力F N 的变化情况是（ ）A ．F 增大，F N 减小B ．F 增大，F N 增大C ．F 减小，F N 减小D ．F 减小，F N 增大【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形，其中重力mg 保持不变，F 的方向始终水平向左，而F N 的方向逐渐变得水平。