2017年河北省保定市博野中学高二下学期期中数学试卷与解析答案
2016-2017年河北省保定市博野中学高二(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）若f（x）＝sinα﹣cos x，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinαC．sinα+cosαD．2sinα2．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（5分）过点P（﹣2，0）的双曲线C与椭圆的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程是（）A．B．C．D．y＝±2x4．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，则f（x）（）A．在（0，+∞）上递增B．在（0，+∞）上递减C．在上递增D．在上递减5．（5分）已知函数f（x）＝e2x+1﹣3x，则f′（0）＝（）A．0B．﹣2C．2e﹣3D．e﹣36．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）已知直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．38．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2cos x，则f（0），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣）＜f（）B．f（﹣）＜f（0）＜f（）C．f（）＜f（﹣）＜f（0）D．f（0）＜f（）＜f（﹣）9．（5分）＝（）A．B．πC．D．010．（5分）函数在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，5] 11．（5分）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．2B．4C．1D．12．（5分）已知函数f（x）＝（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f （c）＞0，若实数x0是方程f（x）＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a二、填空题（每小题5分，四题共20分．答案请写在答题卡上）13．（5分）＝．14．（5分）由曲线y＝x2与直线y＝x+2所围成的平面图形的面积为．15．（5分）直线y＝m分别与曲线y＝2（x+1），与y＝x+lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为．16．（5分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y＝f（x）在I上是“弱增函数”．已知函数h（x）＝x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为．三、解答题（共70分，17题10分，18-22各12分，解答时应按要求写出证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知x＞1，求证：x＞1n（1+x）．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，5）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．19．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2，当x＝1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．20．（12分）已知函数在x＝1处有极值1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．（Ⅰ）当k＝e时，证明f（x）≥0恒成立；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）＝|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）若f（x）＝sinα﹣cos x，则f′（α）等于（）A．cosαB．sinαC．sinα+cosαD．2sinα【解答】f'（x）＝sin x，f'（α）＝sinα．故选B．2．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）＝0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．3．（5分）过点P（﹣2，0）的双曲线C与椭圆的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程是（）A．B．C．D．y＝±2x【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，其中c＝＝4，则其焦点坐标为（±4，0），双曲线C过点P（﹣2，0），其焦点焦点坐标为（±4，0），可以设其标准方程为﹣＝1，则有，解可得a2＝4，b2＝12；则C的标准方程为：﹣＝1，其渐近线方程为：y＝±x；故选：B．4．（5分）已知函数f（x）＝xlnx，则f（x）（）A．在（0，+∞）上递增B．在（0，+∞）上递减C．在上递增D．在上递减【解答】解：∵f（x）＝xlnx∴f'（x）＝lnx+1当0＜x＜时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减当x＞时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增故选：D．5．（5分）已知函数f（x）＝e2x+1﹣3x，则f′（0）＝（）A．0B．﹣2C．2e﹣3D．e﹣3【解答】解：∵f′（x）＝2e2x+1﹣3，∴f′（0）＝2e﹣3．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）＝﹣x3+ax2﹣x﹣1，得到f′（x）＝﹣3x2+2ax﹣1，因为函数在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以f′（x）＝﹣3x2+2ax﹣1≤0在（﹣∞，+∞）恒成立，则△＝，所以实数a的取值范围是：[﹣，]．故选：B．7．（5分）已知直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）A．0B．2C．1D．3【解答】解：曲线y＝x2﹣3lnx（x＞0）的导数为：y′＝2x﹣，由题意直线y＝﹣x+m是曲线y＝x2﹣3lnx的一条切线，可知2x﹣＝﹣1，所以x＝1，所以切点坐标为（1，1），切点在直线上，所以m＝1+1＝2．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2cos x，则f（0），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（0）＜f（﹣）＜f（）B．f（﹣）＜f（0）＜f（）C．f（）＜f（﹣）＜f（0）D．f（0）＜f（）＜f（﹣）【解答】解：∵f（x）＝x2﹣2cos x为偶函数，∴f（﹣）＝f（），∵f′（x）＝2x+2sin x，由x∈（0，1）时，f′（x）＞0，知f（x）在（0，1）为增函数，∴f（0）＜f（）＜f（），∴f（0）＜f（﹣）＜f（），故选：A．9．（5分）＝（）A．B．πC．D．0【解答】解：原式＝＝0+＝；故选：A．10．（5分）函数在区间[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，5]【解答】解：∵函数，在区间[1，+∞）上为减函数，∴f′（x）＝﹣﹣x+a＝，由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得﹣x2+ax﹣4≤0在区间[1，+∞）上恒成立可得△≤0或，即a2﹣16≤0或a≤2．解得﹣4≤a≤4或a≤2，故a的取值范围为：（﹣∞，4]．故选：B．11．（5分）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是（）A．2B．4C．1D．【解答】解：椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，∴AO＝BO＝OF＝2，设A（x，y），则x2+y2＝12，∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|＝，∴三角形△AF2B的面积是2××2×＝4，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝（）x+lnx，正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f （c）＞0，若实数x0是方程f（x）＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（）A．x0＞c B．x0＞b C．x0＜c D．x0＜a【解答】解：f’（x）＝﹣e﹣x+＝，∵x＞0，＜1∴f’（x）＞0则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增函数∵正数a，b，c满足a＜b＜c，且f（a）•f（b）•f（c）＞0，∴f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＞0，或f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0，若实数x0是方程f（x）＝0的一个解，则a＜b＜x0＜c，或x0＜a＜b＜c，故选：A．二、填空题（每小题5分，四题共20分．答案请写在答题卡上）13．（5分）＝．【解答】解：原式＝．①＝＝；②令≥0，则x2+y2＝1（y≥0）．如图所示：则＝＝．∴原式＝．故答案为．14．（5分）由曲线y＝x2与直线y＝x+2所围成的平面图形的面积为．【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域，如右图：再联立方程，解得x＝﹣1或x＝2，根据定积分的几何意义，所求阴影部分的面积：S阴影＝（x+2﹣x2）dx＝（﹣x3+x2+2x）＝，故答案为：．15．（5分）直线y＝m分别与曲线y＝2（x+1），与y＝x+lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为．【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+2＝x2+lnx2，∴x1＝（x2+lnx2）﹣1，∴|AB|＝x2﹣x1＝（x2﹣lnx2）+1，令y＝（x﹣lnx）+1，则y′＝（1﹣），∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x＝1时，函数的最小值为，故答案为：．16．（5分）若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y＝f（x）在I上是“弱增函数”．已知函数h（x）＝x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为1．【解答】解：因为h（x）在（0，1]上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减．（1）由h（x）在（0，1）上递增，得≤0，解得b≤1；（2）由＝x+﹣（b﹣1）在（0，1）上递减，得①若b≤0，＝x+﹣（b﹣1）在（0，+∞）上递增，不合题意；②若b＞0，由＝x+﹣（b﹣1）在（0，1）上递减，得≥1，解得b≥1，综上，得b≥1，由（1）（2），得b＝1．故答案为：1．三、解答题（共70分，17题10分，18-22各12分，解答时应按要求写出证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知x＞1，求证：x＞1n（1+x）．【解答】解：令函数f（x）＝x﹣ln（1+x），（x＞1），则f′（x）＝1﹣＝＞0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．再由f（1）＝1﹣ln2＞0，可得f（x）＞0，故有x＞1n（1+x）．18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，5）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【解答】（本小题满分10分）解：f'（x）＝x2﹣x﹣2…（2分）（Ⅰ）依题意可知：切线斜率k＝f'（0）＝﹣2…（4分）∴切线方程为：y﹣5＝﹣2（x﹣0）即2x+y﹣5＝0…（6分）（Ⅱ）令f'（x）＝0，得：x1＝﹣1，x2＝2…（8分）当x变化时，f'（x），f（x）变化如下表极大值…（11分）∴f（x）的极大值为，极小值为…（12分）19．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2，当x＝1时，f（x）有极大值1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax3+bx2，∴f′（x）＝3ax2+2bx，由题意可知，解得a＝﹣2，b＝3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝﹣2x3+3x2，∴f′（x）＝﹣6ax2+6x＝﹣6x（x﹣1），令f′（x）＝﹣6ax2+6x＝﹣6x（x﹣1）＝0可解得，x＝0或x＝1；∵f（﹣）＝1，f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝﹣4；故函数f（x）在区间上的最大值是1，最小值为﹣4．20．（12分）已知函数在x＝1处有极值1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）由条件得．因为f（x）在x＝1处有极值1，得，即解得a＝1，…（5分）经验证满足题意．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，定义域是（0，+∞），由f'（x）＞0，得x＞1；f'（x）＜0，得0＜x＜1．…（10分）所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞） (12)21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．（Ⅰ）当k＝e时，证明f（x）≥0恒成立；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．【解答】（本题满分12分）（Ⅰ）证明：当k＝e时，f（x）＝e x﹣ex，∴f'（x）＝e x﹣e由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；所以函数有最小值为f（1）＝e﹣e＝0，所以f（x）≥0恒成立．…（5分）（Ⅱ）解法一：当x＝0时原不等式恒成立，所以k∈R…（6分）当x＞0时，不等式化简为时，不等式化简为；∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；因为g（x）min＝g（1）＝e，所以k＜e；…（11分）又k＞0，所以0＜k＜e．…（12分）解法二：f'（x）＝e x﹣k＝0可得x＝lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）＝e x﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在区间[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）＝1＞0，符合题意．…（8分）②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：由此可得，在区间（0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）＝k﹣klnk．依题意k﹣klnk＞0又k＞1所以1＜k＜e．…（11分）由①②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．…（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|AB|及|P A|•|PB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴ρ2＝2ρcosθ+3，将ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x代入，得x2+y2＝2x+3，即x2+y2﹣2x﹣3＝0．∵直线l过定点P（1，1），且倾斜角为，则直线l的参数方程为，即（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3＝0，得，设方程两根分别为t1，t2，则，∴AB的长|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝，|P A|•|PB|＝|t1t2|＝3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）＝|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，∴x0＝2；（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|＝2（m＞0）有解，∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，∵|x﹣m|+|x+|＝2（m＞0）有解，∴m+≤2，∵m+≥2，∴m+＝2，∴m＝1．。
河北省保定市博野中学2016-2017学年高二(下)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．集合A={y|y=，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]2．若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|3．命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x4．已知A={x|≤0}，B={﹣1，0，1}，则card（A∩B）=（）A．0 B．1 C．2 D．35．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣67．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．若实数a，b，c∈（0，1）且10a+9b=9，a+b+c=1，则当取最小值时，c的值为（）A．B．C．D．09．已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+m在[0，1]上的最小值为，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．311．若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（1，2） D．（2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数g（x）=f（x+1）﹣f（x﹣1）的定义域为．14．若函数f（x）=x+为奇函数，则a=．15．已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，且M∩N=∅，则b 的取值范围是．16．若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x都有：f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，且f（1）=1，则f17．已知函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6（a∈R）．（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2﹣a|a+3|的值域．18．已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=，b+c=2．求实数a的取值范围．19．数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．集合A={y|y=，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=≥0，得到A=[0，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B=[﹣1，2]，则A∩B=[0，2]，故选：D．2．若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|【考点】7F：基本不等式．【分析】由题意可得a和b为负数且a＞b，由不等式的性质逐个选项验证可得．【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，∴a2＜b2，故A正确；再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，D错误．故选：D．3．命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x【考点】2J：命题的否定．【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可【解答】解：“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是：∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x，故选：D．4．已知A={x|≤0}，B={﹣1，0，1}，则card（A∩B）=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A的等价条件，利用交集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0}，即card（A∩B）=2，故选：C．5．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】7D：简单线性规划的应用；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A6．已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m（m 为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【考点】3P：抽象函数及其应用；3T：函数的值．【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值，得到x≥0时，f（x）的解析式，先求出f（ln5），进而可得答案．【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，故f（﹣x）=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f（x）=e x+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．7．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D8．若实数a，b，c∈（0，1）且10a+9b=9，a+b+c=1，则当取最小值时，c的值为（）A．B．C．D．0【考点】7F：基本不等式．【分析】实数a，b，c∈（0，1），10a+9b=9，可得=（10a+9b）=，利用基本不等式的性质可得最小值，可得取最小值时的a，b，即可得出c．【解答】解：实数a ，b ，c ∈（0，1），10a +9b=9，则=（10a +9b ）=≥=，当且仅当a=9b=时取等号．∴c=1﹣﹣=． 故选：C ．9．已知直线y=x +1与曲线y=ln （x +a ）相切，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【考点】62：导数的几何意义．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P （x 0，y 0），则y 0=x 0+1，y 0=ln （x 0+a ），又∵∴x 0+a=1∴y 0=0，x 0=﹣1∴a=2．故选项为B10．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2﹣x +m 在[0，1]上的最小值为，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，通过求解极值点，端点的函数求出最小值，然后求解m 即可．【解答】解：函数f （x ）=x 3﹣x 2﹣x +m ，可得f′（x ）=x 2﹣2x ﹣1，令x 2﹣2x ﹣1=0，可得x=1±，x∈（1﹣，1+）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x=1时函数取得最小值：可得：﹣1﹣1+m=，解得m=2，故选：C．11．若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】利用分离常数法得出不等式a＞﹣x在x∈[1，5]上成立，根据函数f（x）=﹣x在x∈[1，5]上的单调性，求出a的取值范围．【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，∴ax＞2﹣x2在x∈[1，5]上有解，即a＞﹣x在x∈[1，5]上成立；设函数f（x）=﹣x，x∈[1，5]，∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，5]上是单调减函数，且f（x）的值域为[﹣，1]，要a＞﹣x在x∈[1，5]上有解，则a＞﹣，即实数a的取值范围为（﹣，+∞）．故选：A．12．已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（1，2） D．（2，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），构造为g（x+1）＞g（x2﹣1），问题得以解决．【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数g（x）=f（x+1）﹣f（x﹣1）的定义域为{1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件，以及复合函数定义域的关系即可求解函数的定义域．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[0，2]，∴要使函数g（x）=f（x+1）﹣f（x﹣1）有意义，则，即∴1≤x≤1，即x=1，即函数的定义域为{1}，故答案为：{1}．14．若函数f（x）=x+为奇函数，则a=．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（x）=x+=x+（2a﹣1）+，函数的定义域为{x|x≠0}，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），则﹣x+（2a﹣1）﹣=﹣（x+（2a﹣1）+）=﹣x﹣（2a﹣1）﹣，即2a﹣1=﹣（2a﹣1），则2a﹣1=0，得a=，故答案为：15．已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，且M∩N=∅，则b 的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据条件作出曲线对应的图象，结合M∩N=∅，转化为直线y=x+b与曲线y=，没有公共点，利用几何法进行求解即可．【解答】解：∵M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，且M∩N=∅，∴直线y=x+b与曲线y=，没有公共点，作出对应的图象如图：当直线y=x+b经过点A（3，0）时，b=y﹣x=0﹣3=﹣3，当直线y=x+b与上半圆在第二象限相切时，圆心到直线x﹣y+b=0的距离d==3，则|b|=3，则b=3或b=﹣3，（舍），则要使M∩N=∅，则b＜﹣3或b＞3，即实数b的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）16．若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x都有：f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，且f（1）=1，则f≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，化简出f（x）的关系式，根据f（1）=1，利用赋值法求解，求出周期，即可计算f≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2…①，令x=x﹣2，则f（x+6）≤f（x+2）+4转化为f（x+4）≤f（x）+4…②．则f（x+4）≥f（x+2）+2转化为f（x+2）≥f（x）+2…③，不等式的性质，由①②可得：f（x+2）≤f（x）+2…④．．由③④可得：f（x+2）=f（x）+2．∵f（1）=1，∴f+2=f+2×1008=f（1）+2016=2017．故答案为：2017．三.解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6（a∈R）．（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2﹣a|a+3|的值域．【考点】34：函数的值域．【分析】（1）二次函数的值域，可以结合二次函数的图象去解答，这里二次函数图象开口向上，△=0时，值域为[0，+∞）（2）在（1）的结论下，化简函数f（a），转化为求二次函数在闭区间上的最值问题．【解答】解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），即二次函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6图象不在x轴下方，∴△=0，即16a2﹣4（2a+6）=0，∴2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=；（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，∴△≤0，即﹣1≤a≤；∴a+3＞0；∵f（a）=2﹣a|a+3|=﹣a2﹣3a+2=﹣2+，其中；∴二次函数f（a）在上单调递减．∴f≤f（a）≤f（﹣1），即﹣≤f（a）≤4，∴f（a）的值域为．18．已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=，b+c=2．求实数a的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）化简可得解析式f（x）=1+sin（2x+），从而可求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）由题意，，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知，即a2≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．【解答】本小题满分解：（Ⅰ）=．∴函数f （x ）的最大值为2．当且仅当，即，即时取到．所以函数最大值为2时x 的取值集合为．…（Ⅱ）由题意，，化简得．∵A ∈（0，π），∴，∴，∴．在△ABC 中，根据余弦定理，得．由b +c=2，知，即a 2≥1．∴当b=c=1时，取等号． 又由b +c ＞a 得a ＜2．所以a 的取值范围是[1，2 ）．…19．数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】（I ）由S n =2a n ﹣a 1，利用递推可得：a n =2a n ﹣1．由a 1，a 2+1，a 3成等差数列，2（a 2+1）=a 1+a 3，代入解出即可．（II ）a n +1=2n +1，可得S n ，b n =，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I ）由S n =2a n ﹣a 1， 当n ≥2时，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣a 1， ∴a n =2a n ﹣2a n ﹣1，化为a n=2a n﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列．∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n=2n．（II）a n+1=2n+1，S n==2n+1﹣2，S n+1=2n+2﹣2．b n===．∴数列{b n}的前n项和T n=++…+=．20．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．【解答】（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=﹣4，即得．所以f′（x）=3x2+4x﹣7=（3x+7）（x﹣1），由f′（x）＜0，得﹣＜x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间（﹣，1）．（2）由（1）知f（x）=x3+2x2﹣7x，f′（x）=3x2+4x+7=（3x+7）（x﹣1），令f′（x）=0，解得x1=﹣，x2=1．f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由上表知，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．故可得f（x）min=f（1）=﹣4，f（x）max=f（﹣1）=8．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f （x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ae x﹣x，得f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令ae x﹣1=0，得x=lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）==，函数y=在[1，2]上单调递减，令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．∴h（x）=在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣ +x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．2017年6月29日。
2016-2017年河北省保定市高二(下)期中数学试卷(文科)和解析PDF
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2016-2017 学年河北省保定市高二（下）期中数学试卷（文科）
12． （5 分）类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四 面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A．①③ B．②③ C．①②
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D．①②③
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横 线上.. 13． （5 分） 已知复数 z 满足 （3+2i） z=13i， 则 z 所对应的点位于复平面的第 限． 14． （5 分）直角坐标 P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ． 象
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 17． （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，
以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐 标系中，曲线 C2：ρ=2sinθ． （1）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程； （2）M，N 分别是曲线 C1 和曲线 C2 上的动点，求|MN|最小值． 18． （12 分）某城市理论预测 2000 年到 2004 年人口总数与年份的关系如表所示 年份 200x（年） 0 1 2 7 8 3 11 4 19
2017年河北省保定市高二下学期期中数学试卷与解析答案(理科)
2016-2017学年河北省保定市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（）A．B．C．D．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3．（5分）已知z1与z2是共轭虚数，有4个命题①z12＜|z2|2；②z1z2=|z1z2|；③z1+z2∈R；④∈R，一定正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③4．（5分）在极坐标系中，点（1，0）与点（2，π）的距离为（）A．1 B．3 C． D．5．（5分）设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣26．（5分）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52017的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81257．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+128．（5分）直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心9．（5分）关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，2）C．[﹣1，0]D．[﹣1，2）10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2]B．，+∞）C．[﹣2，3]D．，+∞）11．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=．14．（5分）若函数f（a）=（2+sinx）dx，则f（）=．15．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=，则PA与底面ABC所成角为．16．（5分）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B 邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）M，N分别是曲线C1和曲线C2上的动点，求|MN|最小值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．19．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．20．（12分）函数f（x）=lnx﹣．（1）当a=﹣2时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．21．（12分）设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣na n+1，n=1，2，3，…．（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，用数学归纳法证明对所有n≥1，有a n≥n+2．22．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．2016-2017学年河北省保定市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足（i﹣1）z=i，则z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：∵（i﹣1）z=i，∴，∴z的虚部是﹣．故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．3．（5分）已知z1与z2是共轭虚数，有4个命题①z12＜|z2|2；②z1z2=|z1z2|；③z1+z2∈R；④∈R，一定正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③【解答】解：z1与z2是共轭虚数，设z1=a+bi，z2=a﹣bi（a，b∈R）．命题①z12＜|z2|2；=a2﹣b2+2abi，复数不能比较大小，因此不正确；②z1z2=|z1z2|=a2+b2，正确；③z1+z2=2a∈R，正确；④===+i不一定是实数，因此不一定正确．故选：B．4．（5分）在极坐标系中，点（1，0）与点（2，π）的距离为（）A．1 B．3 C． D．【解答】解：点（1，0）与点（2，π）分别化为直角坐标：P（1，0），Q（﹣2，0）．∴点（1，0）与点（2，π）的距离为3．故选：B．5．（5分）设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【解答】解：∵=﹣2=﹣2f′（x0）=2∴f′（x0）=﹣1故选：B．6．（5分）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52017的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．8125【解答】解：根据题意，55=3125，其末四位数字为3125，56=15625，其末四位数字为5625，57=78125，其末四位数字为8125，58=390625，其末四位数字为0625，59=1953125，其末四位数字为3125，510=9765625，其末四位数字为5625，511=48828125，其末四位数字为8125，512=244140625，其末四位数字为0625，…分析可得：54k+1的末四位数字为3125，54k+2的末四位数字为5625，54k+3的末四位数字为8125，54k+4的末四位数字为0625，（k≥2）又由2017=4×504+1，则52017的末四位数字为3125；故选：A．7．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A．6π+12 B．6π+24 C．12π+12 D．24π+12【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，V==6π+12，故选：A．8．（5分）直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，∴圆心坐标为（2，1），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：x﹣y+1=0，∴圆心到直线的距离d=＜r=2，又圆心（2，1）不在直线x﹣y+1=0上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心．故选：D．9．（5分）关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，2）C．[﹣1，0]D．[﹣1，2）【解答】解：|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，其最小值等于1，由题意|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集为空集，可得|x﹣1|+|x﹣2|＞a2+a+1恒成立，故有1＞a2+a+1，解得﹣1＜a＜0，故选：A．10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2]B．，+∞）C．[﹣2，3]D．，+∞）【解答】解：不妨取a=1，∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c由图可知f'（﹣2）=0，f'（3）=0∴12﹣4b+c=0，27+6b+c=0，∴b=﹣1.5，c=﹣18∴y=x2﹣x﹣6，y'=2x﹣，当x＞时，y'＞0∴y=x2﹣x﹣6的单调递增区间为：[，+∞）故选：D．11．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=2．【解答】解：由题意，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1∴f（5）+f′（5）=2故答案为：214．（5分）若函数f（a）=（2+sinx）dx，则f（）=π+1．【解答】解：===π+1．故答案为π+1．15．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=，则PA与底面ABC所成角为．【解答】解：∵PA=PB=PC，∴P在底面的射影E是△ABC的外心，又故E是BC的中点，所以PA与底面ABC所成角为∠PAE，等边三角形PBC中，PE=，直角三角形ABC中，AE=BC=，又PA=1，∴三角形PAE中，tan∠PAE==∴∠PAE=，则PA与底面ABC所成角为．16．（5分）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b ﹣3）|＜a+b等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值为，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）M，N分别是曲线C1和曲线C2上的动点，求|MN|最小值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数，可得C1的普通方程为4x+3y﹣11=0；曲线C2：ρ=2sinθ，直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1．（2）如图，圆心O（0，1）到直线C1的距离为d==，∴|MN|最小值=d﹣r=．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（I）证明：∵PC⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PC⊥AC．∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（II）解：取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），设P（0，0，a）（a＞0），则E，=（1，1，0），=（0，0，a），=，取=（1，﹣1，0），则=0，∴为平面PAC的法向量．设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即，取=（a，﹣a，﹣4），∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，∴===，解得a=4，∴=（4，﹣4，﹣4），=（1，1，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||===，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．19．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A、B，求的最小值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ，可化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9；（2）直线l的参数方程为为参数），代入x2+（y﹣3）2=9，可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∴t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣7，∴===≥，∴的最小值为．20．（12分）函数f（x）=lnx﹣．（1）当a=﹣2时，求f（x）的最小值；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=ln x+，f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数．∴f（x）min=f（2）=ln 2+1；（2）f′（x）=，①当a≥﹣1时，对任意x∈[1，e]，f′（x）≥0，此时f（x）在[1，e]上为增函数，∴f（x）min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍）．②当a≤﹣e时，对任意x∈[1，e]，f′（x）≤0，此时f（x）在[1，e]上为减函数．∴f（x）min=f（e）=1﹣=．∴a=﹣（舍）．③当﹣e＜a＜﹣1时，令f′（x）=0，得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）在（1，﹣a）上递减．同理，f（x）在（﹣a，e）上递增．∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，∴a=﹣．综上，a=﹣．21．（12分）设数列{a n}满足a n+1=a n2﹣na n+1，n=1，2，3，…．（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，用数学归纳法证明对所有n≥1，有a n≥n+2．【解答】解：（1）由a1=2，则a2=a12﹣a1+1=4﹣2+1=3，则a3=a22﹣2a2+1=9﹣6+1=4，a4=a32﹣3a3+1=16﹣12+1=5．猜想：a n=n+1．（2）证明：当n=1时，a1≥3=1+2，不等式成立；假设n=k（k≥1）时不等式成立，即a k≥k+2，=a k2﹣ka k+1=a k（a k﹣k）+1≥（k+2）（k+2﹣k）+1=2k+5＞k+3，则a k+1即n=k+1时，不等式仍成立．综上，对于所有n≥1，都有a n≥n+2．22．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+3x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|﹣的零点不超过4个，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，求导，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，由f（0）=f（0）=0，f（1）=，∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，]；（Ⅱ）由f′（x）=x2﹣2ax+3，则△=4a2﹣12，①当△≤0，即a2≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，②当△＞0，即a2＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1+x2=2a，x1x2=3，则f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，由题意可知丨f（x1）﹣f（x2）丨≤，∴丨﹣a（x12﹣x22）+3（x1﹣x2）丨≤，化简得：（a2﹣3）≤，解得：3＜a2≤4，综合①②，可得a2≤4，解得：﹣2≤a≤2．a的取值范围[﹣2.2]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
河北省博野中学2016-2017学年高二5月月考数学(理)试题
博野中学高二5月月考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合11=4,42mM m m ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ，211N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则MN =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}12x x <≤D ．{}2,1,0,1,2--2.设i 是虚数单位，若复数i12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．23.若正方形ABCD 边长为2，E 为边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于（ ） A ．23B ．14C ．12D ．134.已知3a =，5b =，7a b +=，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．12-B ．1C ．32D ．25.()52x y ++的展开式中，22x y 的系数为（ ） A ．60B ．48C ．32D ．306.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 向渐近线作垂线，交两条渐近线于A ，B 两点，若2FB FA =，则双曲线的离心率e 等于（ ） A 2B 3C ．2D ．37.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中，最长的棱长为（ ）A ．3B ．23C ．22D ．58.已知0ω>，函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．110,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.执行如图所示的程序框图，如果输入的5n =，则输出的最后一个S 的值为（ ）A ．186B ．188C ．90D ．9610.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，11A D 的中点，则BC 与平面EDF 所成角的余弦值为（ ） A ．13B 2C 3D 611.A ，P ，Q 是半径为2的圆上的三个动点，若PAQ ∠恒等于π6，则PAQ ∆面积的最大值为（ ）A ．322+B ．223+C ．23+D ．31+12.已知奇函数()f x 是定义在R 上的连续函数，满足()523f =，且()f x 在()0,+∞上的导函数()2f x x '<，则不等式()333x f x ->的解集为（ ）A ．()2,2-B ．(),2-∞C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数()()2121a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =__________．14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，112n n n S S a +++=（*n ∈N ），则5a =__________．15.已知实数x ，y 满足1,220,22,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 的取值范围是__________．16.AB 是过抛物线24y x =的焦点的弦，点M 坐标为()1,0-，当4tan 3AMB ∠=时，直线AB 的方程为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22224cos 2A Cac a c b +=+-． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若3c =，且AC 边的中线13BM =，求a 的值． 18.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，2AB AD ==，3CB CD ==，将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BDC '-，O 为BD 的中点，M 为OC 的中点，点N 在线段A B '上，满足14A N AB ''=．（Ⅰ）证明：MN平面A CD '；（Ⅱ）若3A C '=，在线段A D '上是否存在点Q ，使得二面角Q BC D --的余弦值为144？若存在，求出此时A QAD'的值；若不存在，请说明理由． 19.（本小题满分12分）某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从其中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：已知在抽取的50份调查问卷中随机抽取一份，抽到不同意限定区域停车问卷的概率为25． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关？请说明理由； （Ⅲ）学校计划在同意限定区域停车的家长中，按照性别分层抽样选取9人，在上学、放学期间在学校门口维持秩序．已知在同意限定区域停车的10位女性家长中，有3位日常开车接送孩子．记参与维持秩序的女性家长中，日常开车接送孩子的女性家长人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附临界值表及参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++． 20.（本小题满分12分）已知抛物线22x y =，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，且2PA PB k k =-． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）试问直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． 21.（本小题满分12分）定义在()0,+∞上的函数()y f x =及其导函数()y f x '=满足()()ln 0f x f x x x x'+-=． （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）若不等式()()222112x x f x x mx +-+<在3,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（e 2.718 28=）上的解集非空，求实数m 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，θ为参数）若以坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=（ρ∈R ）． （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将曲线2C 向下平移m （0m >）个单位后得到的曲线恰与曲线1C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()2122f x x x =++-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若()1f x ax <+有解，求实数a 的取值范围．博野中学5月月考理科数学参考答案一、选择题1.B2.D3.B4.C5.A6.C7.A8.D9.A 10.C 11.C 12.B 二、填空题13.1 14.162 15.(),1-∞ 16.310x y ±-= 三、解答题17.（本小题满分12分）()0,πB ∈，π3B ∴=．…………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）BM 为AC 边的中点，()12BM BA BC ∴=+，……………………………………………8分两边同时平方，得21311923442a a ⎛⎫=++⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 整理，得2340a a +-=，………………………………………………………………………………10分解得4a =-（舍去）或1a =．…………………………………………………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过点N 作BD 的平行线，交直线A D '于点E ，过点M 作BD 的平行线，交直线CD 于点F ，………………………………………………………1分NE BD ，MF BD ，NE MF ∴，且14NE MF BD ==，∴四边形MNEF 为平行四边形，……………………………………………3分MN EF ∴，且EF ⊂平面A CD '，MN ⊄平面A CD '，MN∴平面A CD '． (4)分 （Ⅱ）3A C '=，A O OC '∴⊥，且A O BD '⊥，OC BD O =，A O '∴⊥平面BCD ，如图以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，…………………………………………………………6分则有(2A '，()0,2,0B ，)7,0,0C，()2,0D ．设(2,2A Q A D λλ''==-（01λ≤≤），()222Q λλ∴，))()2121BQ λλ∴=+-，()7,2,0BC =，设平面BQC 的法向量为(),,m x y z =，0,0,m BQ m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得12,7,71m λλ+⎛=- -⎝， (9)分又平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，………………………………………………………………10分由14cos ,m n =，22520λλ-+=，12λ∴=或2λ=（舍去），12A Q AD '∴=．…………12分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）列联表补充如下：………………………………………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为()25020155108.3337.87925253020k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以我们有99.5%的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关．…………………………………………………………………………………5分（Ⅲ）由题意知，同意限定区域停车的10位女性家长中，参与维持秩序的女性家长人数为3人． 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．…………………………………………………………6分()37310C 70C 24P ξ===；()2173310C C 211C 10P ξ===；()1273310C C 72C 40P ξ===；()33310C 13C 120P ξ===．所以ξ的分布列为………………………………………………………………………………………………………………10分则()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………12分20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设()00,P x y ，则直线PA ：()00PA y y k x x -=-，代入抛物线方程：2002220PA PA x k x y k x --+=，直线与抛物线相切，2000220PA PA k x k y ∴∆=⇒-+=，………………………………………2分 同理，有200220PB PB k x k y -+=，……………………………………………………………………3分PA k ∴，PB k 分别为方程200220k x k y -+=的两个不同的实数根，………………………………5分 022PA PB k k y =-=，01y ∴=-，∴点P 的轨迹方程为1y =-．…………………………………6分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，212y x =，y x '=，∴抛物线在A ，B 点的切线方程分别为 110x x y y --=，220x x y y --=，…………………………………………………………………8分又都过点()0,1P x -，10120210,10,x x y x x y -+=⎧∴⎨-+=⎩……………………………………………………………………………………9分∴直线AB 的方程为010xx y -+=， (11)分∴直线AB 恒过定点()0,1． (12)分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知，可得()()ln f x f x x x x'+=，即()()ln f x x x '=，…………………………1分 设()()ln g x f x x =，则()212g x x a =+（a 为常数）． 即()21ln 2f x x x a =+，………………………………………………………………………………2分 函数()y f x =在定义域()0,+∞上为连续函数，()21e ln e e 2f a ∴=⨯+，解得12a =-．……………………………………………………………4分()211ln 22f x x x ∴=-，()212ln x f x x -∴=（1x ≠）．………………………………………………5分当1x =时，由()()ln f x f x x x x'+=，可得()11f =， ()()()21 1,11.2ln x f x x x x⎧=⎪∴=⎨-≠⎪⎩………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()212ln x f x x -∴=，()()22211222ln x x x f x x x mx +-∴+=+<在3,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解集非空， 即21ln 11x x m x +>+在3,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 03,e 2x ⎡⎤∴∃∈⎢⎥⎣⎦，使0020ln 111x x m x +>+． 设()2ln 11x x h x x +=+（3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），则只需()min 1h x m <．………………………………………8分 ()()()()2211ln 11x x x x h x x-++-⎡⎤⎣⎦'=+，令()()1ln 1t x x x x =++-（3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），()11ln 1ln 0x t x x x x x +'=+-=+>， ()t x ∴在3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数． ∴当3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()3531ln 02222t x t ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭． ()()()()2211ln 101x x x x h x x -++-⎡⎤⎣⎦'∴=<+．()h x ∴在3,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数，()()2min e 1e e 1h x h +∴==+．……………………………………11分 2e 11e 1m+∴<+，解得2e 10e 1m +<<+． ∴实数m 的取值范围是2e 10,e 1⎛⎫+ ⎪+⎝⎭． (12)分22.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由已知，得1C ：()2224x y -+=（24x ≤≤，22y -≤≤），………………………3分 2C ：y x =．……………………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）将曲线2C 向下平移m （0m >）个单位后得到的曲线对应方程为y x m =-，则当直线与圆相切时，222m-=，即222m =±，………………………………………………………………………8分又直线恰过点()2,2-时，4m =，结合图象，可得4222m ≤<+10分23.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由不等式的性质，可得212221223x x x x ++-≥+-+=，所以当且仅当112x -≤≤时函数()f x 的最小值为3．……………………………………………5分（Ⅱ）()()4 1 1,12122 3 1,2114 ,2x x f x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪⎛⎫=++-=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩……………………………………………7分 又函数1y ax =+恒过定点()0,1，结合函数图象，可得4a <-或2a >．………………………10分。
河北省博野县高二数学下学期期中试题
河北省博野县2016-2017学年高二数学下学期期中试题一、 选择题（每小题5分，共60分）1．集合{A y y ==，{}220B x x x =--≤，则A B ⋂=（ ）A.[)2,+∞B.[]0,1C.[]1,2D.[]0,2 2. 若110a b<<，则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．22a b < B.2ab b < C.0a b +< D.a b a b +>+3. 命题“∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2<x ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x B ．∀n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x C ．∃n ∈N *，∃x ∈R ，使得n 2≥x D ．∃n ∈N *，∀x ∈R ，使得n 2≥x4. 已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＋1x －1≤0，B ＝{－1，0,1}，则card(A ∩B )＝( ) A ．0 B.1 C ．2 D.35. 设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x＋m (m 为常数)，则f (－ln 5)的值为( )A ．4 B.－4 C ．6 D.－67. 函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )8.若实数[),,0,1a b c ∈且1099,1a b a b c +=++=，则当1019a b+最取小值时,c 的值为（ ） A ．511B.211C.111D.09.已知直线1y x =+ 与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（ ）A ．1 B.1- C.2 D.2-10．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在 [0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311.若关于x 的不等式220x ax +->在闭区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B.23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.(1,)+∞D.(),1-∞- 12. 已知()f x 的定义域为(0,),()f x '+∞为()f x 的导函数，且满足()(),f x xf x '<-则不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集为（ ）A ．(0,1) B.(1,)+∞ C.(1,2) D.(2,)+∞ 二、填空题(每小题5分，共20分)13.若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________． 14. 若函数f (x )＝x ＋a －x ＋1x为奇函数，则a ＝________.15. 已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且M ∩N ＝∅，则b 的取值范围是________．16. 若f (x )是定义在R 上的函数，对任意的实数x 都有：f (x ＋6)≤f (x ＋2)＋4和f (x ＋4)≥f (x ＋2)＋2，且f (1)＝1，则f (2017)＝________.三. 解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R .(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 18.已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6 .(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．19. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足n S =2n a －1a ，且1a ，2a +1，3a 成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设n b =11n n n a S S ++，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分））已知函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=，若函数)(x f 在1=x 处有极值4-.(1)求)(x f 的单调递增区间；(2)求函数)(x f 在[]2,1-上的最大值和最小值.21.（本小题满分12分）已知函数)()(R a x ae x f x∈-=，其中e 为自然对数的底数，⋅⋅⋅=71828.2e （Ⅰ）判断函数)(x f 的单调性，并说明理由； （Ⅱ）若xe xf x -≥∈)(],2,1[不等式恒成立，求a 的取值范围。
河北省博野中学高二数学第二学期期中考试卷人教版
河北省博野中学高二数学第二学期期中考试卷人教版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的。
1．已知直线a、 b、 c 及平面，则a // b的充足不用要条件是（）A．a //且b //B．a c且b cC．a、b与平面所成的角相等D．a // c且b // c2．有三个平面、、, 以下命题中正确的选项是（）A．若、、两两订交,则有三条交线B．若,,则//C．若，a， b ,则a bD．若//，,则3．长方体ABCD－ A1B1 C1 D1的一条对角线AC1与棱 AA1所成角为60°，与棱 AB所成角为 45°，则对角线AC1与棱 AD所成的角是（）A ．30°B． 60°C． 45°D． 90°4． Rt△ ABC所在平面为，两直角边分别为6、 8，平面α外一点 P 到 A， B， C 三点的距离都是 13，则点 P 到平面的距离是（）A．5B． 12C．10D．15．高二年级三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践活动，每个班级去哪个工厂可以自行选择，但此中甲工厂一定有班级去实践，则不一样的选择方案有（）A．18 种；B． 28 种；C．37 种；D．48 种6．设(12x)6a0a1x a2 x2a6 x6，则 | a0 | | a1 || a6 |的值为（）A．1B． 64C．243D．7297．边长为 1 的正三角形 ABC中， AD⊥ BC于 D，沿 AD折成直二面角B-AD-C 后，则点A到 BC 的距离为（）A． 1B．2C．14D．3 2428．正三棱柱 ABC-A1B1C1中，二面角C1-AB-C 为 45o，且 AB=2 ，则此三棱柱的体积为（）A．3B． 3C．3D．6 23专心爱心专心110 号编写1A ．1B ．1C ．1D ．15670336 42010．从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市旅行，要求每个城市有一人游览，每人只旅行一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎旅行，则不一样的选择方案共有（）A ． 240 种B ． 300 种C ． 144 种D ．96 种11．将一个各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64 个相同大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，此中恰巧有 2 面涂有颜色的概率是（）A ．9B ．27C ．3D ．1116648 3212．将半径都为 1 的 4 个钢球完整装入形状为正四周体的容器里，这个正四周体的高的最小值为（）A ．3 2 6 B ．2+2 6C ．4+2 6D ．43 263333第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题本大题共 4 小题，每题4 分，共 16 分 .13．将 9 个人（含甲、乙）均匀分红三组， 甲、乙分在同一组， 则不一样分组方法的种数为 .14．正四棱锥 S － ABCD 中，∠ ASB ＝ 30°， SA ＝ 2，有一个小虫子从A 点出发沿棱锥的侧面爬行回到 A 点时所走的最短距离 .15．A 城市位于北纬30 ，东经 140 ，B 城市位于北纬 30 ，西经 160 ，设地球半径为 R , 则 A ，B 两地间的球面距离是.16．若以连续扔掷两次骰子分别获得的点数m 、n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在直线 x +y =5 下方的概率是 ________．三、解答题本大题共 6 小题，共 74 分，解答应有证明或演算步骤.17．（本小题满分 12 分）D 1C 11111中，在棱长为 1 的正方体 ABCD — A B C D（1）求证：平面 BB 1D 1D ⊥平面 AD 1C ； A 1B 1（2）求直线 AD 1 与直线 BD 所成的角 .DCAB已知(3331 )5 的睁开式中的常数项 a ) n睁开式的各项系数之和等于( 4 ba5b求 (331项的二项式系数a )n 睁开式中 aa19．（本小题满分 12 分）已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面， M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点 .（ 1）求证： MN ⊥ CD ；（ 2）若∠ PDA=45°，求证 MN ⊥面 PCD ．PNM A DBC20. 一个袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球。
河北省保定市高二数学下学期期中试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
河北省保定市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷文一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．在极坐标系中，点（1，0）与点（2，π）的距离为（）A．1 B．3 C． D．4．如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.5A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.255．观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52017的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81256．利用独立性检验来考虑两个分类变量X与Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y 有关系”的可信度，如果k＞3.841，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为（）p（K2＞k）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.452 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83A．25% B．95% C．5% D．97.5%7．曲线C的参数方程为（α为参数），M是曲线C上的动点，若曲线T极坐标方程2ρsinθ+ρcosθ=20，则点M到T的距离的最大值（）A．B．C．D．8．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交而不过圆心C．相切 D．相离9．关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集为空集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，2）C． D． D．[﹣1，2）【考点】R4：绝对值三角不等式．【分析】|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，其最小值等于1，再由a2+a+1＜1，解得a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，其最小值等于1，由题意|x﹣1|+|x﹣2|≤a2+a+1的解集为空集，可得|x﹣1|+|x﹣2|＞a2+a+1恒成立，故有1＞a2+a+1，解得﹣1＜a＜0，故选A．10．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．11．在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A．B．C．D．【考点】QK：圆的参数方程；IF：中点坐标公式．【分析】根据B，C两个点在圆上，可以写出两个点对应的坐标，根据中点的坐标公式，表示出中点的坐标，得到要求的中点对应的参数值．【解答】解：x B=a+t1cosθx C=a+t2cosθ对于中点M有x M=（x B+x C）=（a+t1cosθ+a+t2cosθ）=a+（t1+t2）cosθ同理y M=b+（t1+t2）sinθ∴线段BC的中点M对应的参数值是（t1+t2）故选B．12．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【考点】F3：类比推理．【分析】本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，我们可以推断正四面体的相关性质．【解答】解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．都是恰当的故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13．已知复数z满足（3+2i）z=13i，则z所对应的点位于复平面的第一象限．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z所对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由（3+2i）z=13i，得=2+3i，则z所对应的点的坐标为：（2，3），位于第一象限．故答案为：一．14．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用ρ=，tanθ=，且0＜θ＜π，即可得出点P的极坐标．【解答】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．∴点P的极坐标为．故答案为：．15．在极坐标系中，若过点A（4，0）的直线l与曲线ρ2=4ρcosθ﹣3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将ρ2=4ρcosθ﹣3化为直角坐标方程，再在直角坐标系中算出过点A的圆的切线的斜率，最后结合图象得出直线l的斜率的取值范围即可．【解答】解：将ρ2=4ρcosθ﹣3化为直角坐标方程得：（x﹣2）2+y2=1，画出图形．设过A（4，0）的圆的切线方程为：y=k（x﹣4），则：，解得：k=由图易得．故答案为：．16．定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为区间（﹣3，3），从而得到关于 a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b 等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值为，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）M，N分别是曲线C1和曲线C2上的动点，求|MN|最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．（1）由曲线C1在参数方程消去参数即可得到普通方程；曲线C2在极坐标方程ρ=2sinθ【分析】两边同乘以ρ，由极坐标与直角坐标的互化公式转化即可；（2）圆心O（0，1）到直线C1的距离为d减去半径，即可求得|MN|最小值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去参数，可得C1的普通方程为4x+3y﹣11=0；曲线C2：ρ=2sinθ，直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1．（2）如图，圆心O（0，1）到直线C1的距离为d==，∴|MN|最小值=d﹣r=．18．某城市理论预测2000年到2004年人口总数与年份的关系如表所示年份200x（年）0 1 2 3 4人口数y（十万） 5 7 8 11 19（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）此次估计2005年该城市人口总数．（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数的公式：）【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（2）利用回归方程估计x=5时的函数值即可．【解答】解：（1）=（0+1+2+3+4）=2， =（5+7+8+11+19）=10，==3.2， =10﹣3.2×2=3.6．∴y关于x的线性回归方程为： =3.2x+3.6．（2）当x=5时， =3.2×5+3.6=19.6．∴2005年该城市人口总数约为196万．19．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【考点】&2：带绝对值的函数；R2：绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或 x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }．…（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…由题意得：|a﹣1|≥4，解得 a≤﹣3，或a≥5．…20．某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这名180学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名．（1）试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？（2）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计男生60 45 105女生30 45 75合计90 90 180附：，其中n=a+b+c+d．0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P（K2≥k0）K00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名，求出抽到男生的概率；（2）填写2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出结论．【解答】解：（1）从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为．（2）根据统计数据，可得列联表如下：选择自然科学类选择社会科学类合计男生60 45 105女生30 45 75合计90 90 180，所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关．21．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）+|x+1|＜2的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；7F：基本不等式．【分析】（1）利用零点分段去掉绝对值，即可求解．（2）求出函数g（x）的最小值，可得a，利用“乘1”法和基本不等式可得的最小值．【解答】解：函数f（x）=|2x﹣1|．（1）那么f（x）+|x+1|＜2，即|2x﹣1|+|x+1|＜2的解集；当时，可得：3x＜2，得：x，∴．当时，可得：2﹣x＜2，得：x＞0，∴．当x＜﹣1时，可得：﹣3x＜2，得：x，∴x=∅．综上可得不等式f（x）+|x+1|＜2的解集为{x|}（2）函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）即：g（x）=|2x﹣1|+|2（x﹣1）﹣1|=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2g（x）的最小值为a，即a=2．那么m+n=2，可得则（）（）=2++≥2+2=当且仅当m=2n，即，m=，n=时，取等号．∴的最小值为．22．在平面直角坐标系，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）过原点O且关于y轴对称点两条直线l1与l2分别交曲线C2于A、C和B、D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出曲线C2的普通方程，即可求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin （α+θ），cosθ=，sinθ=，由此，可求直线l1的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2，直角坐标方程为x2+y2=4，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2： +y2=1，∴曲线C2的参数方程为（α为参数）；（Ⅱ）设四边形ABCD的周长为l，设点A（2cosα，sinα），则l=8cosα+4sinα=4sin （α+θ），cosθ=，sinθ=，α+θ=+2kπ（k∈Z）时，l取得最大值，此时cosα=sinθ=，sinα=cosθ=，A（，），..∴直线l1的普通方程为y=x．DOC版.。
河北省博野中学2016-2017学年高二5月月考数学(理)试题含答案
博野中学高二5月月考理科数学 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1。
已知集合11=4,42mM m m ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ，211N x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭,则MN =( )A ．∅B ．{}2C ．{}12x x <≤D ．{}2,1,0,1,2--2.设i 是虚数单位，若复数i 12ia -+为纯虚数，则实数a 的值是（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．23.若正方形ABCD 边长为2，E 为边上任意一点，则AE 概率等于（ ） A ．23B ．14C ．12D ．134.已知3a =，5b =,7a b +=，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．12-B ．1C ．32D ．2 5.()52x y ++的展开式中，22x y 的系数为（ ） A ．60B ．48C ．32D ．306.过双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的右焦点F 向渐近线作垂线,交两条渐近线于A ，B 两点，若2FB FA =，则双曲线的离心率e 等于（ ） AB C ．2 D ．37.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱中,最长的棱长为( )A ．3B ．23C ．22D ．58.已知0ω>,函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．110,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦9。
执行如图所示的程序框图，如果输入的5n =,则输出的最后一个S 的值为（ )A ．186B ．188C ．90D ．9610.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，11A D 的中点，则BC 与平面EDF 所成角的余弦值为( ）A ．13BCD11.A ,P ，Q 是半径为2的圆上的三个动点，若PAQ ∠恒等于π6，则PAQ ∆面积的最大值为（ ） A．2+B．2+ C．2+ D112.已知奇函数()f x 是定义在R 上的连续函数，满足()523f =，且()f x 在()0,+∞上的导函数()2f x x '<，则不等式()333x f x ->的解集为( ）A ．()2,2-B ．(),2-∞C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上） 13.若函数()()2121a x a f x x a -+-=+-为奇函数,则实数a =__________．14.已知数列{}na 的前n 项和为nS ，13a=，112n n n S S a +++=（*n ∈N ）,则5a =__________．15.已知实数x ，y 满足1,220,22,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 的取值范围是__________． 16.AB 是过抛物线24yx =的焦点的弦，点M坐标为()1,0-,当4tan 3AMB ∠=时,直线AB 的方程为__________．三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河北高二高中数学期中考试带答案解析
河北高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．2.参数方程为表示的曲线是（ ） A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若， 则（ ）A ．+－B ．－+C ．－++D ．－+－4.若命题“p”与命题“p q”都是真命题，那么（ ） A ．命题p 与命题q 的真值相同 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题5.若、均为非零向量，则是与共线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6.设M ，N两点的极坐标同时满足下列关系：，则M ，N 两点的位置关系是（ ） A ．重合B ．关于极点对称C ．关于直线对称D ．关于极轴对称7.与参数方程为等价的普通方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8.若向量、（ ） A ．B ．C ．D ．以上三种情况都可能9.有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程的解。
其中，复合命题有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10.已知（）A．－15B．－5C．－3D．－111.直线被圆所截得的弦长为（）A．B．C．D．12.有下列四个命题：①“若x+y="0" , 则x ,y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1 ,则x2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④二、填空题1.设||＝1，||＝2，2＋与－3垂直，＝4－，＝7＋2，则<,>＝．2.曲线的参数方程是，则它的普通方程为_______。
河北高二高中数学期中考试带答案解析
河北高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合,，则（）A．(0,1),(1,2)B．C．D．2.已知复数，则的共轭复数等于（）A．B．C．D．3.甲乙两位同学在高二的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是，则下列正确的是（）A．；乙比甲成绩稳定B．；甲比乙成绩稳定C．；乙比甲成绩稳定D．；甲比乙成绩稳定4.已知实数构成一个等差数列,则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．D．5.已知向量满足则（）A．0B．C． 4D．86.已知正项等比数列中,,则（）A．2B．C．D．7.为得到函数的导函数图象，只需把函数的图象上所有点 ( )A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移8.在右边程序框图中，如果输出的结果，那么输入的正整数N应为 ( )A．6B．8C．5D．79.已知函数有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则的值可能是( )A．B．C．D．—10.三棱锥的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为 ( ) A．B．C．D．11.如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为A．B．C．D．12.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 ( )A．1B．C．D．二、填空题1.抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为, 则的值为 .2.为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，其中第小组的频数为，则报考飞行员的总人数是．3.已知平面区域，，若在区域上随机投一点，则点落在区域的概率为：。
4.过双曲线的左焦点F作⊙O: 的两条切线，记切点为双曲线左顶点为C，若,则双曲线的离心率为____________.三、解答题1.已知各项都不相等的等差数列的前项和为，且为和的等比中项.(I) 求数列的通项公式；(II) 若数列满足，且，求数列的前项和.2.编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号1535212825361834172625332212]3138（Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；（Ⅱ）从得分在区间【20,30）内的运动员中随机抽取2人，（i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；（ii）求这2人得分之和大于50的概率．3.如图,三棱锥中,侧面底面,,且,.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若为侧棱的中点,求直线与底面所成角的正弦值.4.已知椭圆的长轴长为4，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆的方程；（ⅱ）求动圆圆心的轨迹方程；（Ⅱ）在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．5.设函数。
河北省保定市高二下学期数学期中考试考试试卷
河北省保定市高二下学期数学期中考试考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·虹口期末) 已知是两个非空集合，定义集合，则结果是（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·绍兴模拟) 已知i是虚数单位，复数z= ，则z• =（）A . 25B . 5C .D .3. （2分） (2019高一上·大名月考) 定义在区间上的奇函数为增函数；偶函数在上的图象与的图象重合．设，给出下列不等式：① ；②；③ ；④ 其中成立的是（）A . ①④B . ②④C . ①③4. （2分） (2019高三上·葫芦岛月考) 下列不等式正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·莆田模拟) 函数f（x）=x2﹣sin|x|在[﹣2，2]上的图象大致为（）A .B .C .D .6. （2分）的展开式中，常数项等于（）A . 15C . ﹣15D . ﹣107. （2分）已知函数f（x）在R上满足，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率是（）A . 2B . 1C . 3D . -28. （2分）将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（）A . 80B . 120C . 140D . 509. （2分） (2016高二下·珠海期中) 已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·揭阳期中) 已知函数f（x）= 若f（a）= ，则a=（）A . ﹣1B .C . ﹣1或D . 1或二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高一上·包头月考) 若函数，则等于________.12. （1分）(2017·资阳模拟) 二项式的展开式中，常数项是________．13. （1分）设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）= ，k=1，2，3，c为常数，则P（0.5＜ξ＜2.5）=________．14. （1分） (2019高一上·兰州期中) 设函数 , ，则函数的递减区间是________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2018高二上·沭阳月考) 已知，，，…，，则 ________.16. （1分） (2018高二上·张家口月考) 已知函数，，当时，函数的图象始终在图象的下方，则实数的取值范围是________．17. （1分） (2017高二下·瓦房店期末) 若函数f(x)＝x2－aln x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．四、解答题 (共5题；共25分)18. （5分） (2019高一上·大庆月考) 当x满足时，求函数的值域.19. （5分）已知函数f（x）=x3+ax+, g(x)=-lnx.（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；（2）用min{m,n} 表示m,n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),，讨论h（x）零点的个数.20. （5分） (2017高二下·如皋期末) 已知函数f（x）满足f（log3x）=x﹣log3（x2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当n∈N*时，试比较f（n）与n3的大小，并用数学归纳法证明你的结论．21. （5分）已知函数 .（1）求；（2）求在x=1处的导数．22. （5分） (2018高二下·重庆期中) 已知函数，曲线在原点处的切线为.（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；（3）若关于的方程（为正实数）有不等实根，求证： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共25分)18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
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2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）集合A={y|y=}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]2．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|3．（5分）命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x4．（5分）已知A={x|≤0}，B={﹣1，0，1}，则card（A∩B）=（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m （m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣67．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若实数a，b，c∈（0，1）且10a+9b=9，a+b+c=1，则当取最小值时，c的值为（）A．B．C．D．09．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+m在[0，1]上的最小值为，则实数m 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（1，2） D．（2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数g（x）=f（x+1）﹣f（x﹣1）的定义域为．14．（5分）若函数f（x）=x+为奇函数，则a=．15．（5分）已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，且M∩N=∅，则b 的取值范围是．16．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x都有：f（x+6）≤f （x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，且f（1）=1，则f（2017）=．三.解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6（a∈R）．（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2﹣a|a+3|的值域．18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=，b+c=2．求实数a的取值范围．19．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．21．（12分）已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2016-2017学年河北省保定市博野中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）集合A={y|y=}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．[2，+∞）B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2]【解答】解：由A中y=≥0，得到A=[0，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B=[﹣1，2]，则A∩B=[0，2]，故选：D．2．（5分）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，∴a2＜b2，故A正确；再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，D错误．故选：D．3．（5分）命题“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是（）A．∀n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x B．∀n∈N*，∀x∈R，使n2≥xC．∃n∈N*，∃x∈R，使得n2≥x D．∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x【解答】解：“∀n∈N*，∃x∈R，使得n2＜x”的否定形式是：∃n∈N*，∀x∈R，使得n2≥x，故选：D．4．（5分）已知A={x|≤0}，B={﹣1，0，1}，则card（A∩B）=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：A={x|≤0}={x|﹣1≤x＜1}，B={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0}，即card（A∩B）=2，故选：C．5．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A．6．（5分）已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=e x+m （m为常数），则f（﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x）+f（x）=0，故f（﹣x）=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f（x）=e x+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=e x﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．8．（5分）若实数a，b，c∈（0，1）且10a+9b=9，a+b+c=1，则当取最小值时，c的值为（）A．B．C．D．0【解答】解：实数a，b，c∈（0，1），10a+9b=9，则=（10a+9b）=（101+）≥=，当且仅当a=9b=时取等号．∴c=1﹣﹣=．故选：C．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+m在[0，1]上的最小值为，则实数m 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+m，可得f′（x）=x2﹣2x﹣1，令x2﹣2x﹣1=0，可得x=1±，x∈（1﹣，1+）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x=1时函数取得最小值：可得：﹣1﹣1+m=，解得m=2，故选：C．11．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，∴ax＞2﹣x2在x∈[1，5]上有解，即a＞﹣x在x∈[1，5]上成立；设函数f（x）=﹣x，x∈[1，5]，∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，5]上是单调减函数，且f（x）的值域为[﹣，1]，要a＞﹣x在x∈[1，5]上有解，则a＞﹣，即实数a的取值范围为（﹣，+∞）．故选：A．12．（5分）已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜﹣xf′（x），则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集是（）A．（0，1） B．（1，+∞）C．（1，2） D．（2，+∞）【解答】解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，∵f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1），x∈（0，+∞），∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x﹣1）f（x2﹣1），∴（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），∴g（x+1）＞g（x2﹣1），∴x+1＜x2﹣1，解得x＞2．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数g（x）=f（x+1）﹣f（x﹣1）的定义域为{1} ．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[0，2]，∴要使函数g（x）=f（x+1）﹣f（x﹣1）有意义，则，即∴1≤x≤1，即x=1，即函数的定义域为{1}，故答案为：{1}．14．（5分）若函数f（x）=x+为奇函数，则a=．【解答】解：f（x）=x+=x+（2a﹣1）+，函数的定义域为{x|x≠0}，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），则﹣x+（2a﹣1）﹣=﹣（x+（2a﹣1）+）=﹣x﹣（2a﹣1）﹣，即2a﹣1=﹣（2a﹣1），则2a﹣1=0，得a=，故答案为：15．（5分）已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，且M∩N=∅，则b 的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．【解答】解：∵M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+b}，且M∩N=∅，∴直线y=x+b与曲线y=，没有公共点，作出对应的图象如图：当直线y=x+b经过点A（3，0）时，b=y﹣x=0﹣3=﹣3，当直线y=x+b与上半圆在第二象限相切时，圆心到直线x﹣y+b=0的距离d==3，则|b|=3，则b=3或b=﹣3，（舍），则要使M∩N=∅，则b＜﹣3或b＞3，即实数b的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）16．（5分）若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x都有：f（x+6）≤f （x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2，且f（1）=1，则f（2017）=2017．【解答】解：对任意的实数x都有：f（x+6）≤f（x+2）+4和f（x+4）≥f（x+2）+2…①，令x=x﹣2，则f（x+6）≤f（x+2）+4转化为f（x+4）≤f（x）+4…②．则f（x+4）≥f（x+2）+2转化为f（x+2）≥f（x）+2…③，不等式的性质，由①②可得：f（x+2）≤f（x）+2…④．．由③④可得：f（x+2）=f（x）+2．∵f（1）=1，∴f（2017）=f（2017﹣2）+2=f（2017﹣2×1008）+2×1008=f（1）+2016=2017．故答案为：2017．三.解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6（a∈R）．（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2﹣a|a+3|的值域．【解答】解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），即二次函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6图象不在x轴下方，∴△=0，即16a2﹣4（2a+6）=0，∴2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=；（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，∴△≤0，即﹣1≤a≤；∴a+3＞0；∵f（a）=2﹣a|a+3|=﹣a2﹣3a+2=﹣2+，其中；∴二次函数f（a）在上单调递减．∴f≤f（a）≤f（﹣1），即﹣≤f（a）≤4，∴f（a）的值域为．18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若f（A）=，b+c=2．求实数a的取值范围．【解答】本小题满分（12分）解：（Ⅰ）=．∴函数f（x）的最大值为2．当且仅当，即，即时取到．所以函数最大值为2时x的取值集合为．…（6分）（Ⅱ）由题意，，化简得．∵A∈（0，π），∴，∴，∴．在△ABC中，根据余弦定理，得．由b+c=2，知，即a2≥1．∴当b=c=1时，取等号．又由b+c＞a得a＜2．所以a的取值范围是[1，2 ）．…（12分）19．（12分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）由S n=2a n﹣a1，=2a n﹣1﹣a1，当n≥2时，S n﹣1∴a n=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1．由a 1，a2+1，a3成等差数列．∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1+4a1，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n=2n．（II）a n=2n+1，S n==2n+1﹣2，S n+1=2n+2﹣2．+1b n===．∴数列{b n}的前n项和T n=++…+=．20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．【解答】（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=﹣4，即得．（4分）所以f′（x）=3x2+4x﹣7=（3x+7）（x﹣1），由f′（x）＜0，得﹣＜x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间（﹣，1）．（7分）（2）由（1）知f（x）=x3+2x2﹣7x，f′（x）=3x2+4x+7=（3x+7）（x﹣1），令f′（x）=0，解得x1=﹣，x2=1．f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由上表知，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．故可得f（x）min=f（1）=﹣4，f（x）max=f（﹣1）=8．（13分）21．（12分）已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ae x﹣x，得f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令ae x﹣1=0，得x=lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）==，函数y=在[1，2]上单调递减，令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．∴h（x）=在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．22．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．23．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。