【全国市级联考】湖北省黄冈市2017-2018学年高二上学期期末考数学(理)试题(解析版)
湖北省黄冈市高二数学上学期期末考试试题理(扫描版)
2015年秋季高二期末考试数学参考答案（理科）一、选择题 DADBB DCBAC AD二、 13．16 14．13a -≤≤. 15．3 16．① ④ 17．（1）检测数据的频率分布直方图如图：...........................................5分（2）检测数据中醉酒驾驶的频率是210.1520+=...............................6分 估计检测数据中酒精含量的众数是35与55．...............................8分 估计检测数据中酒精含量的平均数是0.01510250.020⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010650.01510750.01010850.005109555+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.....................10分18．（1）由22430x ax a -+<，得(3)()0x a x a --<，又0a >，所以3a x <<． ...............................2分当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<．...............................3分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩得2324x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或得23x <≤，即q为真时实数x 的取值范围是23x <≤． ...............................4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，.. .............................5分 所以实数x 的取值范围是23x <<． ...............................6分 （2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p q ⌝⇒⌝，且q ⌝推不出p ⌝． 即q是p的充分不必要条件，2,3]⊂即（（a,3a) ...............................8分则332a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围是12a <≤．.............................12分19．（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为123x x x 、、，后三次成绩依次记为123y y y 、、，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：121323{,},{,},{,},x x x x x x 121323{,},{,},{,},y y y y y y 111213{,},{,},{,},x y x y x y 212223{,},{,},{,},x y x y x y 313233{,},{,},{,}x y x y x y ，共1个，...............................3分其中可使||1a b ->发生的是后9个基本事件.故93(||1)155P a b ->==.……………6分 （Ⅱ）因为着弹点若与A B C 、、的距离都超过1cm ，则着弹点就不能落在分别以A B C、、为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分................................7分 因为43cos sin 55C C =∴=则1=2ABC S C ∆⨯⨯⨯=...............................9分满足题意部分的面积为211922ABC S S ππ∆'=-⨯⨯=-，...............................11分故所求概率为118ABCS p S π∆'==-. ……………12分20（1）∵()0,2F ，4p =， ∴ 抛物线方程为y x 82=，...............................1分与直线22y x =+联立消去y 得： 016162=--x x ，设),(),,(2211y x B y x A (2)分 则16,162121-==+x x x x ，...............................3分 ∴=++=++=)42)(42()2)(2(||||2121x x y y BF AF 80；...............................5分（2）假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，0,∆>则p x x p x x 4,42121-==+，...............................7分)24,2(+p p P),2,2(p p Q (8)分方法一,22+=∴p PQ ...................................................9分p p p p AB +⋅=+⋅=225416)4(5 又...............................10分∴=AB PQ 21且01342=-+p p )(141舍或-==p p ...............................11分 故存在14p =0.∆>且满足 ......................12分 方法二：由=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ................9分即1212(2)(2)(222)(222)0x p x p x p x p --++-+-=，...............................10分 ∴0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ， ...............................11分代入得01342=-+p p ，)(141舍或-==p p ．故存在0.∆>且满足 14p =.........12分 21.试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，,BA PD ABCD ⊥为正方形，所以在图中，,2SA AB SA ⊥=，四边形ABCD 是边长为2的正方形， ........................................2分 因为S B⊥，AB⊥BC ，所以BC⊥平面SAB ， . .............................4分又SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA ，又SA ⊥AB ，所以SA ⊥平面ABCD ， ........6分 （2）方法一：建立空间直角坐标系，以AB x AD y AS 为轴，为轴，为Z 轴，.....7分(000),(220),(020),(002)A C D S ，，，，，，，， 124,(0)333SE SD E =∴ ，， (8)分24(220),(0),(002)(,,)33AC AE AS AEC n x y z ==== 则，，，，，，设平面的法向量为0,0(2,2,1)n AC n AE n ⋅=⋅==-得.....................10分,ACD AS θ又平面的法向量为设二面角为，则1cos ,tan 2 2.3n AS n ASθθ⋅==∴=⋅ 即二面角E —AC —D 的正切值为22..............12分方法二：在AD 上取一点O ，使13AO AD =，连接EO因为13SE SD =，所以EO//SA 所以EO ⊥平面ABCD ，过O 作OH ⊥AC 交AC 于H ，连接EH ， ...7分则AC ⊥平面EOH ，所以AC ⊥EH 。
【湖北省黄冈市】2017届高三上学期期末考试数学(理)试卷-答案
f x=(0,)+∞'()0+∞f x(0,)()如有图．=0a klny x＜＜右图，ln x1湖北省黄冈市2017届高三上学期期末考试数学(理)试卷解析1．【解析】试题分析：因为，所以；故选D．1考点：复数的概念。
2．考点：1．四种命题；2．充分条件和必要条件。
3．考点：程序框图。
4．【解析】试题分析：显然，当时，，即，故排除选项A．B，当时，，即，故排除选项D；故选C．1考点：函数的图象和性质。
5．考点：1．不等式组与平面区域；2．非线性规划问题。
6．【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半球和一个圆台（上底面与球的大圆面重合）组成，其中半球的半径为2，其曲面面积为，圆台的底面半径分别为2，3，高为4，母线长为，则侧面积为，下底面的面积为，则该几何体的表面积为；故选D．1考点：1．三视图；2．几何体的表面积。
7．试题分析：不妨设，则，即直线与所成的角为；故选D．．考点：1．配角公式；2．三角函数的图象与性质。
试题分析：因为函数是定义在上的偶函数，为奇函数，所以函数既关于直线对称，也关于直线对称，则函数是以为周期的周期函数，由题意，将化为R()1f x+()122f x f⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即，解得；故选B．1考点：1．函数的性质；2．对数式的运算。
11．【解析】试题分析：由题意得，边长为1的正三角形共有个，边长为2的正三角形共有3个，边长为3的正三角形共有1个，边长为的正三角形共有2个，综上，共有个正三角形；故选C．考点：归纳推理。
112．，所以在左侧，所以，所以，所以，所以，即④正确；故选A．考点：导数在研究函数中的应用。
第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．考点：1．分段函数；2．一元二次不等式。
14．【解析】试题分析：由二项式定理得，多项式的展开式中的系数为；故填-6480.1考点：二项式定理。
15．【解析】试题分析：由题意得，四个角空的面积为，滚动矩形区域的面积为，则滚动区域面积为，由几何概型的概率公式，得某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为；故填。
湖北省黄冈市2018届高三上学期期末考试(元月调研)数学(理)试题(图片版)
数学参考答案（理科）
一、选择题 ACBBB CDBDD AB
9.D 【解析】本题考查指数函数和对数函数的性质.由-1＜c＜0 得 0＜|c|＜1,又 a＞b＞1, ∴＜＜0, -＞-＞0, a＞b＞1＞0,∴-a＞-b, 即 b＞a.故选 D. 11.A 【解析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质.由题设知抛物线 y =2px 的准线 p y2 2 3p23p2 为 x=- 2,代入双曲线方程 3 -x =1 解得 y=± 4 ,由双曲线的对称性知△MNF 为等腰直角 π 三角形,∴∠FMN=4, ∴tan∠FMN= 3p23p23p2 3p2 2 4 =1,∴p =3+ 4 ,即 p=2,故选 A.
2
5 1 12.B【解析】本题考查三角函数变换及导数的应用.由 f(x)= - 6x- 12cos2x+m(sinx-cosx) 5 1 在(-∞,+∞)上单调递减知,f′(x)= - 6+ 6sin2x+m(cosx+sinx)≤0 在(-∞,+∞)上恒成立, 令 t=sinx+cosx, 1 2 1 2 2 t∈[-,].则 sin2x=t -1,即6t +mt-1≤0 对 t∈[-,]恒成立,构造函数 g(t)= 6t +mt-1,则 g(t) 11 m-1≤011 的图象开口向上，从而函数 g(t)在区间[-,]上的最大值只能为端点值,故只需32 2 32 1 m-1≤0. 2 2 ∴- 3 ≤m≤ 3 ,故选 B. 二、填空题 13.32 14.2 15.-10 16. 1.53 2018 2 2018 14.2 【解析】 本题考查二项式定理的应用及导数的计算.将(1-ax) =a0+a1x+a2x +„+a2018x 2017 2 2017 两边同时对 x 求导得 2018(1-ax) (-a)=a1+2a2x+3a3x +„+2018a2018x ,令 x=1 得 2017 2017 -2018a(1-a) =a1+2a2+3a3+„+2018a2018=2018a,又 a≠0,所以(1-a) =-1,1-a=-1,故 a=2.答 案:2. 15.-10【解析】本题考查等比数列的性质及等差数列求和公式 .由于{an}是正项等比数列， 设 an=a1q ，其中 a1 是首项，q 是公比． 5 55 则168 5 55 1 n-5 168 ,解得 16q=2.故 an=2 ,∴=
2017-2018学年湖北省黄冈市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤12．（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；至少有一个红球B．至少有一个白球；红、黑球各一个C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；都是白球3．（5分）中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A．2B．4C．5D．64．（5分）“3＜m＜7”是“方程+＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件又不必要条件5．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣＝1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为4，2，则输出的n等于（）A．2B．3C．4D．57．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值是（）A．B．C．D．9．（5分）在去年的足球甲A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1，；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队技术水平更稳定；③一队有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（5分）直线4kx﹣4y﹣k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x+＝0的距离等于（）A．B．2C．D．411．（5分）给出以下命题，其中真命题的个数是（）①若“￢p或q”是假命题，则“p且￢q”是真命题②命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题③已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面；④直线y＝k（x﹣3）与双曲线交于A，B两点，若|AB|＝5，则这样的直线有3条；A．1B．2C．3D．412．（5分）已知抛物线x2＝2py和﹣y2＝1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|＝|PF|，则抛物线的方程是（）A．x2＝4y B．x2＝2y C．x2＝6y D．x2＝2y二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．（5分）已知a∈R，直线l1：x+2y＝a+2和直线l2：2x﹣y＝2a﹣1分别与圆E：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝4相交于A、C和B、D，则四边形ABCD的面积为．16．（5分）过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆的左焦点，若AF⊥BF，且该椭圆的离心率，则θ的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的中位数、平均数．18．（12分）已知命题p：方程x2+y2﹣2mx+2m2﹣2m＝0表示圆；命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（1，2），若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）已知直线l：x﹣y+3＝0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）截得的弦长为，求：（1）a的值；（2）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．20．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率．（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，P A的中点，且AB＝AC＝1，AD＝．（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）设直线AC与平面PBC所成角为α，当α在内变化时，求二面角P﹣BC ﹣A的取值范围．22．（12分）在圆x2+y2＝4上任取一点M，过点M作x的垂线段MD，D为垂足.，当点M在圆上运动时（1）求N点的轨迹方程Γ；（2）若A（2，0），直线l交曲线Γ于E、F两点（点E、F与点A不重合），且满足AE ⊥AF．O为坐标原点，点P满足，求直线AP的斜率的取值范围．2017-2018学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）≤1，故选：B．2．【解答】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立；在B中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故B成立；在C中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故C 不成立；在D中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立．故选：B．3．【解答】解：由茎叶图可得，诗词能手”的称号有16人，据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为10×＝4人，故选：B．4．【解答】解：若方程+＝1的曲线是椭圆，则，即，即3＜m＜7且m≠5，即“3＜m＜7”是“方程+＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6＝36种结果满足条件的事件是e＝＞∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a＝1时，有b＝3，4，5，6四种情况；当b＝2时，有a＝5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为＝．故选：A．6．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝4，b＝2，n＝1，a＝6，b＝4，不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n＝2，a＝9，b＝8不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n＝3，a＝13.5，b＝16满足循环的条件a≤b，退出循环，输出n的值为3．故选：B．7．【解答】解：∵＝（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）＝（1+t，1﹣t，t），∴＝＝．故当t＝0时，有最小值等于，故选：C．8．【解答】解：以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，∴A（1，0，0），E（1，，1），B（1，1，0）D1（0，0，1），∴＝（0，，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），设平面ABC1D1的法向量，则＝0，＝0，∴，∴，设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝||＝．故选：D．9．【解答】解：在①中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，∴平均说来一队比二队防守技术好，故①正确；在②中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故②正确；在③中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故③正确；在④中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队很少不失球就是二队经常失球，故④正确．故选：D．10．【解答】解：直线4kx﹣4y﹣k＝0可化为k（4x﹣1）﹣4y＝0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2＝x的焦点坐标为（，0），准线方程为x＝﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离＝＝2∴弦AB的中点到直线x+＝0的距离等于2+＝故选：C．11．【解答】解：对于①，若“￢p或q”是假命题，则它的否定是“p且￢q”，它是真命题，①正确；对于②，命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”，它的逆否命题是“若a＝2且b＝3，则a+b＝5”，且为真命题，∴原命题也是真命题，②正确；对于③，由++＝1，且，∴P，A，B，C四点共面，③正确；对于④，由双曲线方程知a＝2，c＝3，即直线l：y＝k（x﹣3）过双曲线的右焦点；又双曲线的两个顶点之间的距离是2a＝4，且a+c＝2+3＝5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，即k＝0时2a＝4，∴满足|AB|＝5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，即x＝c＝3时，得﹣＝1，即y2＝，则y＝±，此时通径长为5，若|AB|＝5，则此时直线AB的斜率不存在，不满足条件；综上可知有2条直线满足|AB|＝5，④错误．综上所述，正确的命题序号是①②③，有3个．故选：C．12．【解答】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE＝PF∵|PQ|＝|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y＝x+m（m＜0）由消去y得．则△1＝8m2﹣24＝0，解得m＝﹣，即PQ：y＝由得，△2＝8p2﹣8p＝0，得p＝．则抛物线的方程是x2＝2y．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率为3×（×）＝，故答案为．14．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴＝0.7×4.5+0.35，∴m＝3，故答案为：315．【解答】解：由题意，直线l1：x+2y＝a+2和直线l2：2x﹣y＝2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积为4××2×2＝8，故答案为：8．16．【解答】解：设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是矩形，∵AF+AF′＝2a，AF+BF＝2a，OF＝c，∴AB＝2c，∵∠BAF＝θ，∴AF＝2c•cos，BF＝2c•sin，∴2c sin+2c cos＝2a，∴＝＝，∵该椭圆的离心率，∴，∵θ∈[0，π），∴．∴θ的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数1×0.32×1800＝576人．（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：1×0.06×50+1×0.16×50＝3+9＝11人．（3）因为数据落在第一、二组的频率＝1×0.06+1×0.16＝0.22＜0.5；数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.06+1×0.16+1×0.38＝0.6＞0.5；所以中位数一定落在第三组[15，16）中．假设中位数是x，所以1×0.06+1×0.16+（x﹣15）×0.38＝0.5；解得中位数x＝29919≈15.7368≈15.74；平均数为：13.5×0.06+14.5×0.16+15.5×0.38+16.5×0.32+17.5×0.08＝15.7．18．【解答】解：若命题p：方程x2+y2﹣2mx+2m2﹣2m＝0表示圆为真命题，则（x﹣m）2+y2＝2m﹣m2＞0，解得0＜m＜2．若命题q：双曲线﹣＝1的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜m＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假．∴，或，解得2≤m＜15或∅．综上可得：实数m的取值范围是[2，15）．19．【解答】解：（1）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，解得a＝1或a＝﹣3，又a＞0，所以a＝1；（2）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，又（3，5）在圆外，①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3），由圆心到切线的距离d＝r＝2，可解得，切线方程为5x﹣12y+45＝0；②当过（3，5）斜率不存在，易知直线x＝3与圆相切，综合①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3．20．【解答】解：（1）由题意可得，∴n＝160；（2）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为＝；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1＝0，令y＝0可得x＝，令y＝1可得x＝1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为＝∴该代表中奖的概率为＝．21．【解答】（Ⅰ）证明：取PD中点Q，连接NQ、CQ，因为点M，N分别为BC，P A的中点，所以NQ∥AD∥CM，，∴四边形CQNM为平行四边形，∴MN∥CQ，又MN⊄平面PCD，CQ⊆平面PCD，所以MN∥平面PCD；（Ⅱ）解：连接PM，∵AB＝AC＝1，点M分别为BC的中点，∴AM⊥BC，又∵P A⊥平面ABCD，∴PM⊥BC，∴∠PMA即为二面角P﹣BC﹣A的平面角，记为φ，又AM∩PM＝M，所以BC⊥平面P AM，则平面PBC⊥平面P AM，过点A在平面P AM内作AH⊥PM于H，则AH⊥平面PBC．连接CH，于是∠ACH就是直线AC与平面PBC所成的角α．在Rt△AHM中，；又∵在Rt△AHC中，AH＝sinα，∴．∵，∴，．又，∴．即二面角P﹣BC﹣A取值范围为．22．【解答】解：（1）设N（x，y），则D（x，0）．∵.，∴M．由点M在圆x2+y2＝4，可得：x2+＝4，化为：．（2）①当直线l垂直于x轴时，由消去y整理得7x2﹣16x+4＝0，解得或2，此时，直线AP的斜率为0；………………（5分）．②当直线l不垂直于x轴时，设E（x1，y1），F（x2，y2），直线l：y＝kx+t（t≠﹣2k），由，消去y整理得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，………………（6分）依题意△＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，即4k2﹣t2+3＞0（*），且，，…………………（7分）又AE⊥AF，所以＝，所以7t2+4k2+16kt＝0，即（7t+2k）（t+2k）＝0，解得满足（*），………………（8分）所以＝（x1+x2，y1+y2）＝，故，…（9分）故直线AP的斜率＝，………………（10分）当k＜0时，，此时；当k＞0时，，此时；综上，直线AP的斜率的取值范围为．…………………………………（12分）。
湖北省黄冈市2017-2018学年高二期末考试数学试题
【市级联考】湖北省黄冈市2020-2021学年高二期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．对两位同学的10次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，由图可知，成绩更稳定的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲乙同学D ．无法确定2．任意抛两枚一元硬币，记事件p ：恰好一枚正面朝上；q ：恰好两枚正面朝上；l ：恰好两枚正面朝下；m ：至少一枚正面朝上；n ：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是( ) A ．p 与qB ．l 与mC ．q 与lD ．l 与n3．已知双曲线方程为22194x y -=，则其焦点到渐近线的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．点A ，B 的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 与BM 的斜率的商是()λλ1≠，则点M 的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线5．下列命题中的假命题是（ ）A ．对于命题，2000:,0p x R x x ∃∈+≤，则2:,0p R x x ⌝∀∈+>B ．“3x =”是“230x x -=”的充分不必要条件C ．若命题p q ∨为真命题，则,p q 都是真命题D ．命题“若2320x x -+>，则2x >”的逆否命题为：“若2x ≤，则2320x x -+≤” 6．若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ） A ．m 1=，n 1= B ．1m =-，n 1= C ．m 1=，n 1=-D ．m 1=-，n 1=-7．某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟，有1200名小学生参加了此项调查，调查所得到的数据用程序框图处理（如图），若输出的结果是840，若用样本频率估计概率，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的概率是（ ）A ．0.32B ．0.36C ．0.7D ．0.848．南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3.1415926与301415927之间，成为世界上第一把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平.我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子（豆子大小忽略不计），在正方形中的1000颗豆子中，落在圆内的有782颗，则估算圆周率的值为（ ） A ．3.118B ．3.148C ．3.128D ．3.1419．函数()y f x =导函数()´y fx =的图像如图，则函数()y f x =（ ）A ．有一个极大值与一个极小值B ．只有一个极小值C ．只有一个极大值D ．有两个极小值和一个极大值10．已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()2,+∞D ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．2021年秋季，我省高一年级全面实行新高考政策，为了调查学生对新政策的了解情况，准备从某校高一,,A B C 三个班级抽取10名学生参加调查.已知,,A B C 三个班级学生人数分别为40人，30人，30人.考虑使用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按,,A B C 三个班级依次统一编号为1,2，…，100；使用系统抽样，将学生统一编号为1,2，…，100，并将整个编号依次分为10段.如果抽得的号码有下列四种情况：①7,17,27,37,47,57,67,77，87,97；②3,9,15,33,43,53,65,75,85,95； ③9,19,29,39,49,59,69,79,89,99,；④2,12,22,32,42,52,62,73,83,96. 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ．①③都可能为分层抽样 B ．②④都不能为分层抽样 C ．①④都可能为系统抽样D ．②③都不能为系统抽样12．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '为其导函数，已知(1)0f =，当0x >时()?()0f x x f x '+<，则不等式•()0x f x >的解集为（ ） A ．()()1,00,1- B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃二、填空题 13．曲线sinxyx=在点(),0π处切线的斜率为____． 14．一个车间为了规定工作原理，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程0.6ˆ5ˆyx a =+，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为___分钟．15．有三张卡片编号,,A B C ，卡片上分别写有数字1和2,1和3,2和3，甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上上相同的数字是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和大于3”，则甲取走的卡片编号为_（填,,A B C ）． 16．给出下列三个命题，其中所有错误命题的序号是______．①抛物线2y 8x =的准线方程为y 2=；②过点()M 2,4作与抛物线2y 8x =只有一个公共点的直线t 仅有1条；P ③是抛物线2y 8x =上一动点，以P 为圆心作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点()Q 2,0．三、解答题17．已知直线:20l x y -=与圆22:50C x y +=相交于,A B （点A 在点B 的右侧）两点.（1）求交点,A B 的坐标；（2）若点()1,0D ，求ABD ∆的面积.18．已知命题p ：方程22167x y m m-=+-表示椭圆，命题2:,2210q x R mx mx m ∃∈++-≤.（1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∨为真，p ⌝为真，求实数m 的取值范围.19．为了了解我市参加2021年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成[)[)[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：（1）求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、中位数、均值.20．（1）已知函数2()4f x ax x b =+-，其中{},2,1,1,2a b ∈--，求函数()f x 的图象恰好经过第一、二、三象限的概率；（2）某校早上8:10开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～8:00之间到校，且每人到该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.21．已知椭圆C ：22x y 142+=，直线l ：y kx 1=+，若椭圆C 上存在两个不同的点P ，Q 关于l 对称，设PQ 的中点为M ．()1证明：点M 在某定直线上； ()2求实数k 的取值范围．22．设函数()2ln ,f x ax x x a R =+∈.（1）若函数()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当2a =时，若不等式()()2t x f x -≤在()2,x ∈+∞上恒成立，求满足条件的t 的最大整数值.（参考值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）.参考答案1．B 【解析】 【分析】由茎叶图的特征可直接判断出结果。
最新-湖北省黄冈中学2018学年高二数学上学期期末考试
湖北省黄冈中学2018年秋季高二期末考试数 学 试 题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）1．已知命题p ：N n ∈∃,10002>n ，则p ⌝为( )A ．N n ∈∀,10002≤nB ．N n ∈∀,10002>nC ．N n ∈∃,10002≤nD ．N n ∈∃,10002<n2．已知2~(0,)(20)0.4,(2)N P P ξσξξ-≤≤=>且则的值为（ ）A ．1.0B ．2.0C ．3.0D ．4.03.ABCD 为长方形，2=AB ，1=BC ，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．4π B.14π- C.8π D.18π-4.已知n x x)1(- 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ）A. 20-B.20C.15-D.155.在如图所示的流程图中，若输入值分别为0.820.82,(0.8),log 1.3a b c ==-=，则输出的数为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．不确定6.大熊猫活到十岁的概率是8.0，活到十五岁的概率是6.0，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是( )A ．48.0B ．6.0C ．75.0D ．347．过椭圆15622=+y x 内的一点)1,2(-P 的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．01335=--y xB ．01335=-+y xC ．01335=+-y xD ．01335=++y x8．右图实线是函数()(02)y f x x a =≤≤的图象，它关于点),(a a A 对称. 如果它是一条总体密度曲线，则正数a 的值为（ ）A B ．1 C ．2 D 9．现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）A ．1184种B ．1183种C ．1536种D ．1535种10. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．)11.为了检验某种产品的质量，决定利用随机数表法从300件产品中抽取5件检查，300件产品编号为000,001,018，…，299，下图为随机数表的第7行和第8行，若选择随机数表第7行第5列作为起始数字，并向右读数，得到的样本号码为 .第7行 84 42 17 53 31 57 24 55 18 88 77 18 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 18 76 第8行63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 18 44 39 52 38 7912.抛物线22x y =的焦点坐标为 .13. 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，则成功次数的标准差的最大值为 .14．从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是 .15．已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）某市5000名学生参加高中数学毕业会考，得分均在60分以上，现从中随机抽取一个容量为500的样本，制成如图1所示的频率分布直方图． (Ⅰ)由频率分布直方图可知本次会考的数学平均分为81分，请估计该市得分在区间]70,60[的人数；(Ⅱ)如图2所示茎叶图是某班男女各4名学生的得分情况，现用简单随机抽样的方法，从这8名学生中，抽取男、女生各一人，求女生得分不低于男生得分的概率．17.（本小题满分12分）已知(1,0)B -、(1,0)C ，ABC ∆的顶点A 在x 轴的上方，且BC 边上的高是1，求ABC ∆的垂心H 的轨迹方程(垂心为三角形三条高线的交点)．18．（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩. (Ⅰ)若1,a =且q p ∨为真，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.（第16题图1）19.（本小题满分12分）若双曲线过点，其渐近线方程为y =.（I ）求双曲线的方程;（II ）已知双曲线的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上,021=⋅MF MF ,求点M 到x 轴的距离.20．（本小题满分13分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.（I ）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;（II ）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得m 元的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是21,请问，商场应将每次中奖奖金m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?21.（本小题满分14分）给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴的一个端点到2F（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（Ⅲ）过椭圆C “伴随圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.。
最新-湖北省黄冈市2018学年高二数学上学期期末考试 理
湖北省黄冈中学2018年秋季高二数学（理）期末考试试题★祝同学们考试顺利★第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.)1. “红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，哪句可作为命题（ ）A. 红豆生南国B. 春来发几枝C. 愿君多采撷D. 此物最相思2. 若命题p ：∀x ∈R ，2x 2－1＞0，则该命题的否定是（ ）A. ∀x ∈R ，2x 2－1＜0B. ∀x ∈R ，2x 2－1≤0C. ∃x ∈R ，2x 2－1≤0D. ∃x ∈R ，2x 2－1＞03. 在一个盒子里有10个大小一样的球，其中5个红球，5个白球，则第1个人摸出一个红球，紧接着第2个人摸出一个白球的概率为（ ） A. 59 B. 718 C. 518 D. 794. 等轴双曲线22122x y -=的离心率e 的值是（ ）A. 2C.5. “双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的渐近线方程为43y x =±”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的左、右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. ()1,1-C. ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭7. 抛物线y =2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y =x ＋m 对称，且x 1x 2=－12，则m 等于（ ） A. 32B. 2C. 52D. 38. 过双曲线2218y x -=的右焦点作直线与双曲线交A 、B 于两点，若16AB =，这样的直线有（ ）A. 一条B. 两条C. 三条D. 四条9. 已知P 是正四面体S ABC -的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线10. 定点N （1，0），动点A 、B 分别在图中抛物线y 2=4x 及椭圆22143x y +=的实线部分上运动，且AB ∥x 轴，则△NAB 的周长l 的取值范围是（ ）A. 2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 51,416⎛⎫⎪⎝⎭ D. ()2,4第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置上.)11. 设随机变量X 服从正态分布N(0，1)，已知P(X <-2)=0.185，则P(X <2)= _.12. 设随机变量~(2,)B P ξ，若5(1)9P ξ≥=，则p = _.13. 与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点()2,5的双曲线方程是 _.14. 已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上，抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上．小明从曲线C 1，C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x ，y ) ．由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上，也不在抛物线C 2上．小明的记录如下：据此，可推断椭圆C 1的方程为 _.15. 已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左、右焦点分别F 1、F 2，O 为双曲线的中心，P是双曲线右支上异于顶点的任一点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，且⊙I 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，下面八个命题：①12PF F ∆的内切圆的圆心在直线x b =上； ②12PF F ∆的内切圆的圆心在直线x a =上； ③12PF F ∆的内切圆的圆心在直线OP 上； ④12PF F ∆的内切圆必通过点(,0)a ； ⑤|OB |=e |OA |； ⑥|OB |=|OA |； ⑦|OA |=e |OB |； ⑧|OA |与|OB |关系不确定．其中正确的命题的代号是 _.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 16.（本小题满分12分）设p ：方程210x mx ++=有两个不等的负根，q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．17.（本小题满分12分）已知函数22()24,,f x x ax b a b R =-+∈．（Ⅰ）若a 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素，b 从集合{}0,1,2中任取一个元素，求方程()0f x =有两个不相等实根的概率；（Ⅱ）若a 从区间[]0,2中任取一个数，b 从区间[]0,3中任取一个数，求方程()0f x =没有实根的概率．18.（本小题满分12分）若一个椭圆与双曲线2213y x -=焦点相同，且过点(．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）求这个椭圆的所有斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．19.（本小题满分13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（Ⅰ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（Ⅱ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（Ⅲ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．20.（本小题满分12分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点()2,0P 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M N 、． （Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k . 证明：12k k 为定值．21.（本小题满分14分）如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P ． （Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程及其右准线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12A A 、，如果 123以线段A A为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；12（Ⅲ）是否存在实数m，使得△PF F的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；12若不存在，请说明理由．。
湖北省武汉2017-2018学年高二数学上学期期末考试题理
2017-2018学年高二数学上学期期末考试题 理考试时间120分钟，分值150分。
第Ⅰ卷一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．当m ＝7，n ＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．7B ．42 C.210 D ．840 2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为 ( ) A.12 B ．13 C.14 D.223．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为 ( )A.12 B ．22 C.13 D ．164．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ( )A.x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D ．x 212＋y 24＝15．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为 ( )A ．－105 B ．105 C ．－ 155 D ．1556．下列说法中正确的是 ( ) A ．“x >5”是“x >3”的必要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02＋1≤0” C ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数D ．设p 、q 是简单命题，若p ∨q 是真命题，则p ∧q 也是真命题 7．在区间[－2，1]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为( ) A.13 B ．14 C.12 D ．238．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．众数＝中位数＝平均数9．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( )A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，8，16，3210．集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23 B ．12 C.13 D ．1611．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．512．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22第II 卷二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）13．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________.14．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________.15．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆；②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，则1<t <52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．16．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．三、 解答题（本大题共6小题，共70分。
2017-2018年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析 (4)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2acosA=ccosB +bcosC ． （1）cosA 的值；（2）若b 2+c 2=4，求△ABC 的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．=a n知=•，【解答】解（1）证明：由a n+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC 中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ⇒bc=b 2+c 2﹣a 2=4﹣3=1．…（10分） ∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。
黄冈市2018秋季高二理科数学答案定稿
黄冈市2018年秋季高二年级期末考试理科数学（参考答案）一、选择题：B B A A C CA C A D B B 二、填空题 ： 13.314. 101.7 15. C 16.③④ 三、解答题17.【解析】（1）∵命题q 为真，当0m > 时， ()2044210101m m m m m ∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤； …………3分当0m ≤ 时，不等式恒成立. ………………………………………………………4分 综上知，1m ≤ . ……………………………………………………5分（2）若p 为真，则6017067267-m m m m m m+>⎧⎪->⇒-<<≠⎨⎪+≠⎩且 ……………………………7分∵若p q ∨为真， p ⌝为真，∴p q 为假，为真 …………………………………………………………………8分 ∴11672m m m m ≤⎧⎪⎨≤-=≥⎪⎩或或 ……………………………………………………9分 162m m ∴≤-=或 ………………………………………………………………10分 18. 【解析】（1）设函数()f x 的系数a,b 构成的数对为(a,b),则由题意知数对(a,b)可能为：(-2,-2),(-2,-1),(-2,1),(-2,2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-2),(2,-1),(2,1),(2,2)共16种情况.要使得函数()f x 的 图象经过第一，二，三象限，则还需01640(0)0a ab f b >⎧⎪∆=+>⎨⎪=-≥⎩，即0-40a ab b >⎧⎪>⎨⎪≤⎩符合条件的数对为(1,-2),(1,-1),(2,-1)，共3对.所以所求事件的概率为P=316. ……6分 (2) 设小张与小王到校时刻分别为x,y,且,[0,30]x y ∈.两人到校时刻相差10分钟等价于|x -y |>10且,[0,30]x y ∈.模型符合几何概型的定义，由图可知：所以所求事件的概率为P=22S 204==S 309阴影正方形.19. 【解析】（1）取CD 中点，则中点即所求的点M. 理由如下： E M ，分别为PC ，CD 的中点，EM//PD ∴。
湖北省黄冈市高二上期末数学试卷理科
2016-2017学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．142．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1，0或13．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）x3456y 2.5m4 4.5A．4 B．3.15 C．4.5 D．34．已知椭圆+=1（m＞0）的焦距为8，则m的值为（）A．3或B．3 C．D．±3或5．已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．7．在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，若G点是△BA1D的重心，且=x+y+z，则x+y+z的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣38．给定下列命题，其中真命题的个数为：（）①已知a，b，m∈R，若am2＜bm2，则a＜b；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题；④如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变．A．0 B．1 C．2 D．39．如果执行程序框图，如果输出的S=2550，则判断框处为（）A．k≤50？B．k≥51？C．k＜50？D．k＞51？10．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x B．y2=9x C．y2=x D．y2=x11．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则点K所形成轨迹的长度为（）A．B．2C．D．12．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上任意一点，其坐标（x，y）也满足+≤2，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是．14．已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是．15．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．16．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，70分）17．（10分）已知a∈R，设命题p：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）在R上单调递增；命题q：函数y=ln（ax2﹣ax+1）的定义域为R，若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围．18．（12分）2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值、众数、中位数和样本方差s2（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；（2）若在愿意生育二孩的且年龄在[30，34），[34，38），[38，42）的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取19人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？19．（12分）在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．21．（12分）如图，在四凌锥中P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．22．（12分）如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2|ST|．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足+=t（O为坐标原点），求实数t的取值范围．2016-2017学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．2．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（）A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1，0或1【考点】伪代码．【分析】分析程序框图的功能是输出分段函数y=，令y=1，讨论x的取值，求出对应的x值即可．【解答】解：执行如图程序，是输出分段函数y=，令y=1，则当x≥1时，有x2=1，解得x=1；当x＜1时，有﹣x2+1=1，解得x=0；所以，输出y的值为1时，输入x的值为0或1．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．3．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（）x3456y 2.5m4 4.5A．4 B．3.15 C．4.5 D．3【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5，==∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故选：D．【点评】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上．4．已知椭圆+=1（m＞0）的焦距为8，则m的值为（）A．3或B．3 C．D．±3或【考点】椭圆的简单性质．【分析】分类当当m＜5时，焦点在x轴上，焦距2c=8，则c=4，m2=a2﹣c2=9，则m=3，当m＞5时，焦点在y轴上，c=4，m2=a2+c2=41，则m=，即可求得，m的值．【解答】解：由当m＜5时，焦点在x轴上，焦距2c=8，则c=4，由m2=a2﹣c2=9，则m=3，当m＞5时，焦点在y轴上，由焦距2c=8，则c=4，由m2=a2+c2=41，则m=，故m的值为3或，故选A．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查分类讨论思想，属于基础题．5．已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x+y=1，推出xy≤，判定充分性成立；由xy≤，不能得出x+y=1，判定必要性不成立即可．【解答】解：∵x，y∈R，当x+y=1时，y=1﹣x，∴xy=x（1﹣x）=x﹣x2=﹣≤，∴充分性成立；当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“x+y=1”是“xy≤”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时应判定充分性、必要性是否都成立，然后下结论，是基础题．6．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．7．在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，若G点是△BA1D的重心，且=x+y+z，则x+y+z的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【考点】空间向量的加减法．【分析】利用空间向量加法法则求解．【解答】解：2=，，=，∴=====，∵=x+y+z，∴x+y+z==1．故选：B．【点评】本题考查代数式求和，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法法则的合理运用．8．给定下列命题，其中真命题的个数为：（）①已知a，b，m∈R，若am2＜bm2，则a＜b；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题；④如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由题意m2＞0，根据不等式的性质可得结论；②，若一个四边形的对角线相等，则这个四边形不一定矩形；③，“若xy≠0，则x、y都不为0”，为真命题；④，将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数一定改变．【解答】解：对于①，由题意m2＞0，根据不等式的性质可得①真命题；对于②，“矩形的对角线相等”的逆命题是：若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形，故为假命题；对于③，“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是：③“若xy≠0，则x、y都不为0”，为真命题；对于④，将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数一定改变，故为假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．9．如果执行程序框图，如果输出的S=2550，则判断框处为（）A．k≤50？B．k≥51？C．k＜50？D．k＞51？【考点】程序框图．【分析】根据题中的框图写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是求正偶数的前n 项和．若输出的S=2550，则利用等差数列前n项和公式，得到第n次循环的S=n2+n=2550，从而解出最后一个加数是50，由此结合题意即可得到本题答案．【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序经过第一次循环得到S=2，k=2；然后经过第二次循环得到S=2+4，k=3；然后经过第三次循环得到S=2+4+6，k=4；…设经过第n次循环得到S=2550，则2+4+6+…+2n=n2+n=2550，解之得n=50，由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S=2550∴判断框应该填入的条件是：k≤50？故选：A【点评】本题给出程序框图，求输出的S=2550时应该填入的条件，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．10．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x B．y2=9x C．y2=x D．y2=x【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，即有（3﹣）（1﹣）=，可求得p的值，即求得抛物线的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，∴∠NCB=30°，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，∴（3﹣）（1﹣）=，解得p=．得y2=3x．故选A．【点评】此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．11．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则点K所形成轨迹的长度为（）A．B．2C．D．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则∠D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED 内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则∠D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是1，如图当E与C重合时，取O为AD′的中点，得到△OAK是直角三角形．故∠K0D'=，其所对的弧长为，故选C．【点评】本题以平面图形的翻折为载体，考查立体几何中的轨迹问题，考查弧长公式的运用，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变．本题是一个中档题目．12．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上任意一点，其坐标（x，y）也满足+≤2，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，得到a，b的范围，利用不等式的性质求解a+b取值范围即可．【解答】解：点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上任意一点，其坐标（x，y）也满足+≤2，即表示椭圆内部部分，可行域如图：可得，，即，则a+b取值范围：[2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查线性规划的应用，不等式的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是α≤1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，则a=0，或a＜0，或，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，则∃x∈R，ax2+2x+1≤0，当a=0时，y=2x+1为一次函数，满足条件；当a＜0时，y=ax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；当a＞0时，y=ax2+2x+1是开口朝上的二次函数，则函数图象与x轴有交点，即△=4﹣4a≥0，解得：0＜a≤1综上可得：实数a的取值范围是：α≤1，故答案为：α≤1【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档．14．已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是6．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，AC为经过点P的圆的直径，而BD是与AC垂直的弦．因此算出PM的长，利用垂直于弦的直径的性质算出BD长，根据四边形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积．【解答】解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．∵P（2，2）是该圆内一点，∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．∵|PM|==，∴由垂径定理，得|BD|=2．因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．故答案为6【点评】本题给出圆内一点P，求经过点P最长的弦与最短的弦构成的四边形的面积．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和垂直于弦的直径的性质等知识，属于中档题．15．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．16．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为[，+∞）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令x=c，联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c的关系，进行求解即可．【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，70分）17．（10分）（2016秋•黄冈期末）已知a∈R，设命题p：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）在R上单调递增；命题q：函数y=ln（ax2﹣ax+1）的定义域为R，若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】若“p且q”为假，“p或q”为真，则p与q一真一假，进而可得a的取值范围．【解答】解：若命题p为真命题，则a＞1，若命题q为真命题，则ax2﹣ax+1＞0恒成立，即a=0或．﹣﹣﹣4分；所以0≤a＜4…5分若“p且q”为假，“p或q”为真，则p与q一真一假，当p真q假时，a≥4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分当p假q真时，0≤a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分综上可知，的取值范围为0≤a≤1或a≥4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了一无二次不等式恒成立问题，复合命题，难度中档．18．（12分）（2016秋•黄冈期末）2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：（1）根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值、众数、中位数和样本方差s2（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；（2）若在愿意生育二孩的且年龄在[30，34），[34，38），[38，42）的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取19人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由频率分布直方图即可计算得解．（2）求出各个年龄段的频率，即可计算每个年龄段抽取的人数．【解答】（本题满分为12分）解：（1）位已婚男性的年龄平均值和样本方差s2分别为：=24×0.04+28×0.08+32×0.16+36×0.44+40×0.16+44×0.1+48×0.02=35.92≈36， (3)分s2=（﹣12）2×0.04+（﹣8）2+0.08+（﹣4）2×0.16+02×0.44+42×0.16+82×0.1+122×0.02=25.28≈25，…6分可得：众数为36．…7 分；中位数为（0.5﹣0.04﹣0.08﹣0.16）÷0.11+34=36，…9分（2）在年龄段[30，34），[34，38），[38，42）的频率分别为0.04×4=0.16，0.11×4=0.44，0.04×4=0.16，0.16：0.44：0.16=4：11：4，所以人数分别为4人，11人，4人…12分【点评】本题主要考查的考点有：1，频率分布直方图，2，中位数，众数，平均数及样本方差公式，关键是正确分析频率分布直方图的数据信息，准确计算．19．（12分）（2016秋•黄冈期末）在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．【考点】几何概型．【分析】（1）计算所有事件数已经满足条件的事件数，利用古典概型公式求之；（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，分别，x，y范围表示满足条件的事件，利用几何概型的概率公式得到所求．【解答】解：（1）从袋中6个球中无放回的摸出2个，试验的结果共有6×5=30种，中奖的情况分为两种：（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为2×1=2；（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为4×3=12．所以，中奖这个事件包含的基本事件数为14．因此，中奖概率为．…（6分）（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤40，20≤y ≤60}；记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤40，20≤y≤60}．如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．根据几何概型公式，得到P（A）==．所以，甲比乙提前到达的概率为．…（12分）【点评】本题考查了古典概型和几何概型的概率求法；关键字明确事件的表达方式，利用相关的公式解答．20．（12分）（2016秋•黄冈期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，即x=0或12x+5y﹣15=0；（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．21．（12分）（2016秋•黄冈期末）如图，在四凌锥中P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD，再由PA⊥AD，能证明PD⊥平面PAB．（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO，CO，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．又因为PA⊥AD，所以PD⊥平面PAB．…5分解：（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO，CO，因为PA=PD，所以PO⊥AD．又因为PO⊂平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO．因为AC=CD，所以CO⊥AD．如图建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）．=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，﹣1），=（1，1，﹣1），设平面的法向量为=（x，y，z），则，令z=2，得=（1，﹣2，2）．设线PB与平面PCD所成角为θ，则sinθ==．∴直线与平面所成角的正弦值为．…12分【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）（2015•呼伦贝尔二模）如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2|ST|．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足+=t（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F2（1，0），根据，所以，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设过m（2，0）的直线为y=k（x﹣2），与椭圆方程联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，得，由此结合题设条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆标准方程，由题意，抛物线y2=4x的焦点为F2（1，0），|CD|=4．因为，所以．…（2分）又S，T，，又c2=1=a2﹣b2，所以．所以椭圆的标准方程．…（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）．由消去y，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1，x2是方程（*）的两根，所以△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，即2k2＜1，①…（7分）且，由，得所以，…（9分）因为点P（x0，y0）在椭圆上，所以，即=，再由①，得，所以t∈（﹣2，2）．…（13分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。
2017-2018届湖北省三校高二上学期期末联考理科数学试题及答案
湖北省三校2017-2018学年高二上学期期末联考数学（理）试题考试时间：2017-2018年1月19日下午14:30-16:30 试卷满分：150分 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．把(2)1010化为十进制数为（ ）A ．20B ．12C ．10D ．112．某大学数学专业一共有160位学生，现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知40号、72号、136号同学在样本中，那么样本中还有2位同学的编号应该为（ ）A ．104,10B ．104,8C ．106,10D ．106,83．若直线22(23)()41m m x m m y m +-+-=-与直线2350x y --=平行，则实数m 的值为 （ ）A ．98- B ．1 C ．1或98- D ． 1-4．圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程为（ ）A ．20x +-= B ．40x -=C ．40x +=D ．20x +=5．2017-2018年巴西世界杯某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中甲、乙只能从事前三项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( ) A ．18种 B ．36种 C ．48种 D ．72种6．某调查机构调查了当地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是 ( )A ．30B ．40C ．50D ．557．随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，且函数()ξ++=x x x f 42没有零点的概率为21,则=μA ．4B ．2C ．0D ．8 8．某车间生产一种玩具,为了要确定加工玩具所需要的时间,进行了10次实验,如回归方程y b x a ∧∧∧=+的斜率是b ，则它的截距是 ( )A.a ^＝11b ^－22； B. a ^＝11－22b ^； C. a ^＝22－11b ^；（第6题图）A BC D E F（第14题图）D.a ^＝22b ^－11.10．已知点P 是椭圆221(0)168x y xy +=≠上的动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且10F M MP ⋅= ,则OM的取值范围是A ．（0，3） B ．（） C ．（0，4） D ．（0，） 二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若3)1(-ax 的展开式中各项的系数和为27，则实数a 的值是 ▲ 12．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于x 轴对称，直线2l 的斜率是 ▲ 13．NBA 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如右图所示：则中位数与众数分别为 ▲ 和▲ ．14．给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有▲种不同的染色方案．15．下图中椭圆内的圆的方程为122=x，现借助计算机利用如下程序框+y图来估计该椭圆的面积，已知随机输入该椭圆区域内的1000个点()yx,时，▲输出的800=i ，则由此可估计该椭圆的面积为y Array三、解答题:本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知二项式2(nx+(n∈N*)展开式中，前三项的二项式系数．．．．．和是56，求：（Ⅰ）n的值；（Ⅱ）展开式中的常数项．17．（本小题满分12分）号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．（Ⅰ）若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号的盒子中，则不同的放法有多少种？（Ⅱ）若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少种？（Ⅲ）若5、6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？（Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率;（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名.①求这2名医生的能力参数K 为同一组的概率;②设这2名医生中能力参数K 为优秀的人数为X ,求随机变量X 的分布列和期望.19. （本小题满分12分） 已知向量).,(),1,2(y x =-=b a（Ⅰ）若y x ,分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足1-=⋅b a 的概率.（Ⅱ）若y x ,在连续区间[1,6]上取值，求满足0<⋅b a 的概率.20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4)1C x y -+-=． （Ⅰ）若过点1(1,0)C -的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程；（Ⅱ）圆D 是以1为半径，圆心在圆3C ：22(+1)9x y +=上 移动的动圆 ，若圆D 上任意一点P 分别作圆1C 的两条切线,PE PF ，切点为,E F ，求11C E C F的取值范围 ；（Ⅲ）若动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长，如图所示，则动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21．(本小题满分14分)如图，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ．（Ⅰ ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）若直线EA 、EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P 、M . ② 求证：直线MP 经过一定点；②试问：是否存在以(,0)m为圆心，G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交？若存在，请求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。
2017-2018高二上学期期末理科试题答案
2017—2018学年上学期期末考试 高中二年级 理科数学 参考答案一、选择题：CBCBC CDADA BB二、填空题：13.;13 14. 6； 15.;14 16.③. 三、解答题：17.解：p 真：若方程有两个不等的负根，则解得 2.m > ……………3分q 真：方程无实根，则216(2)160m --<，解得1 3.m << …………6分因为“或”为真，“且”为假，所以,一真一假.故2,2,13,13m m m m m >≤⎧⎧⎨⎨<<≤≥⎩⎩或或解得12 3.m m <≤≥或 ……………………………………10分18.解：（1）由题意可得2362a a a =⋅，又因为11-=a ，,)21()51()1(2d d d +-=+-⋅+-∴.2=∴d ………… …………………………………………2分32-=∴n a n ；.22n n s n -= …………………………… 4分（2）),121321(21)12)(32(111---=--==+n n n n a a b n n n ………6分)]121321()3111()1111[(2121---++-+--=+++=∴n n b b b T n n ………8分.12)1211(21--=---=n n n ………………12分 19解：（1）由题意得n n n f 9.0)2.06.04.02.0(4.14)(++++++= ………3分n n n 9.02)1(2.04.14+++=.4.141.02++=n n ………6分（2）设该车的年平均费用为S 万元，则有)4.141.0(1)(12++==n n nn f n S …………8分210x mx ++=⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m 244(2)10x m x +-+=p q p q p q.4.3144.1214.1410=+≥++=nn ………10分 当且仅当nn 4.1410=，即12=n 时，等号成立，即S 取最小值4.3万元.……11分 答：这种汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是4.3万元.………12分 20解: （1）因为0cos )2(cos =-+⋅C a b B c ，由正弦定理得：0cos )sin 2(sin cos sin =-+⋅C A B B C ．……2分,cos sin 2cos sin cos sin C A C B B C ⋅=⋅+⋅.cos sin 2sin C A C B ⋅=+∴）（……………………4分在ABC ∆中，,0sin sin≠=+A C B ）（ .21cos =∴C …………………………………………5分又),,0(π∈C .3π∈∴C ………………………………………………6分（2）在ABC ∆中，由71cos =A ，得,734sin =A则.1435237121734)sin(sin =⨯+⨯=+=C A B ………………8分 由正弦定理得57sin sin ==B C b c ． 设x c 7=，x b 5=，在ACD ∆中，由余弦定理得： A AD AC AD AC CD cos 2222⋅-+=，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，………………10分 即5,7==b c ，……11分, 故310sin 21==∆A bc S ABC ．……12分 21解：（1）∵,222BD BC CD +=∴.BD BC ⊥又∵PD ⊥底面,ABCD ∴.BC PD ⊥ …………2分 又∵D BD PD =⋂∴⊥BC 平面.PBD而⊂BC 平面,PBC ∴平面⊥PBC 平面.PBD …………4分 （2）由（1）所证，⊥BC 平面.PBD所以∠PBD 即为二面角D BC P --的平面角，即∠PBD .4π= 而32=BD ，所以.32=PD因为底面ABCD 为平行四边形，所以DB DA ⊥,分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．……6分则)0,0,2(A ，)0,32,0(B ，)0,32,2(-C ，)32,0,0(P ,所以，)32,0,2(-=，)0,0,2(-=，)32,32,0(-=,…………8分设平面PBC 的法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0BC n 即⎩⎨⎧=+-=-.03232,02c b a令1=b ，则0,1==a c 所以).1,1,0(= …………10分∴AP 与平面PBC所成角的正弦值为分12 (46)2432sin =⨯==θ 22.解：(1)由题意得：,222211121=>==+=+F F P F MP MF MF MF∴点M 的轨迹C 为以21,F F 为焦点的椭圆．………………………2分,22,222==c a .1,2222=-==∴c a b a∴点M 的轨迹C 的方程为1222=+y x ．……………………………………4分 (2)当直线l 的斜率存在时，可设其方程为31+=kx y ，设),,(),,(2211y x B y x A联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+31,1222kx y y x 可得.01612)21(922=-++kx x k由求根公式可得：)21(916,)21(34221221k x x k k x x +-=⋅+-=+…………………………6分 zyx假设在y 轴上是否存在定点),0(m Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点， 则⊥即0=⋅．),,(),,(2211y m x y m x --=--=))((2121y m y m x x --+=⋅)31)(31(2121----+=kx m kx m x x9132))(31()1(221212+-++-++=m m x x m k x x k ………………8分9132)21(9)31(12)21(9)1(1622222+-++--++-=m m k m k k k .0)21(9)1569()1818(2222=+--+-=k m m k m由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-,01569,0181822m m m 解得：.1-=m∴在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点.………11分当直线l 的斜率不存在时，经检验可知也满足以AB 为直径的圆恒过这个点)1,0(-Q ． 因此，在y 轴上存在定点)1,0(-Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个点…………12分。
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黄冈市2017年秋季高二年级期末考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知命题：，总有，则为（）A. ，使得B. ，总有C. ，使得D. ，总有【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题：，总有，有，总有.故选B.2. 袋中装有红球3个、白球 2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A. 至少有一个白球；至少有一个红球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球D. 至少有一个白球；都是白球【答案】B【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,在A中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立;在B中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B成立;在C中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C不成立;在D中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立.故选B.点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.3. 中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人4. “”是“方程的曲线是椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】方程的曲线是椭圆，故应该满足条件：故”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故答案为：B.5. 某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、，则双曲线的离心率的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为．故选A6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为4，2，则输出的等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，，继续循环；结束输出.点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.7. 已知，，则的最小值（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵向量，,当t=0时，取得最小值.故答案为：.8. 如图，已知棱长为1的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，∴A（1，0，0），E（1，，1），B（1，1，0）D1（0，0，1），∴=（0，，1），=（0，1，0），=（﹣1，0，1），设平面ABC1D1的法向量，则∴∴，设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为θ，则sinθ=.故答案为:D.9. 在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队很少不失球，故（4）正确.故选：D．10. 直线与抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（）A. B. C. 4 D. 2【答案】B【解析】直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴直线AB为过焦点的直线∴AB的中点到准线的距离∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=.故选B．点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。
一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。
尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。
11. 给出以下命题，其中真命题的个数是（）①若“或”是假命题，则“且”是真命题；②命题“若，则或”为真命题；③已知空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面；④直线与双曲线交于，两点，若，则这样的直线有3条；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】(1)若“或”是假命题，则是假命题p是真命题，是假命题是真命题，故且真命题,选项正确.(2)命题“若，则或”的逆否命题是若a=2,且b=3,则a+b=5.这个命题是真命题，故原命题也是真命题.（3）∵++=1，∴P，A，B，C四点共面，故（3）正确，（4）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l：y=k（x﹣3）过双曲线的右焦点，∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，当x=c=3时，得，即=，即则y=±，此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（4）错误，故答案为：C.12. 是双曲线：的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由已知渐近线方程为l1：，l2：，由条件得F到渐近线的距离，则，在Rt△AOF中，，则.设l1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ.在Rt△AOF中，，在Rt△AOB中，.∵，即，即a2=3b2，∴a2=3(c2-a2)，∴，即.故选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等............................二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）13. 有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为__________．【答案】【解析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.14. 为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：已知和具有线性相关关系，且回归方程为，那么表中的值为__________．【答案】5.5【解析】将样本中心代入回归方程得到m=5.5.故答案为：5.5.15. 已知，直线：和直线：分别与圆：相交于、和、，则四边形的面积为__________．【答案】8【解析】由题意，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，∴四边形ABCD是正方形，∴四边形ABCD的面积为4×8，故答案为：8.16. 过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，若，且该椭圆的离心率，则的取值范围为__________．【答案】【解析】设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c•cos，BF=2c•sin，∴2csin+2ccos=2a，∵该椭圆的离心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范围为．点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质．有关椭圆的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,解决椭圆离心率的相关问题的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组……，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、平均数.【答案】人；（2）人； 15.70.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图能估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数．（2）利用频率分布直方图能求出该样本在这次百米测试中成绩良好的人数．（3）根据频率分布直方图，能求出样本数据的众数、中位数．解析：学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数人；（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：人；由图可知众数落在第三组，是，.18. 已知命题：方程表示圆；命题：双曲线的离心率，若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】．【解析】试题分析：先化简命题，得到相应的数集；再根据真值表得到的真假性，再分类进行求解．试题解析：若命题为真命题，则，即整理得，解得4分若命题为真命题，则，解得8分因为命题为假命题，为真命题，所以中一真一假，10分若真假，则; 若假真，则，所以实数的取值范围为．12分考点：1．圆的一般方程；2．双曲线的结合性质；3．复合命题的真值表．19. 已知：，是轴上的动点，、分别切于、两点.（1）如果，求及直线的方程；（2）求证：直线恒过定点.【答案】或．见解析.【解析】（Ⅰ）设直线则,又，∴，∴设，而点由得，则或，从而直线的方程为：或.（Ⅱ）证明：设点，由几何性质可以知道，在以为直径的圆上，此圆的方程为，为两圆的公共弦，两圆方程相减得即过定点.考点：直线与圆；直线方程20. 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120分、人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.（1）求的值；（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为，，，，，，现随机从中抽取2人上台抽奖.求和至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.【答案】； (2)； (3)．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样可得，故可求n的值；（Ⅱ）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；（Ⅲ）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．试题解析：解：（Ⅰ）由题意可得，∴n=160；（Ⅱ）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（Ⅲ）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分，（指出点形成的正方形一分,不等式组一分,画出图形一分,算出阴影部分面积2分）由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1，∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为，设“该运动员获得奖品”为事件N,则该运动员获得奖品的概率P（N）==考点：程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．21. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点，分别为，的中点，且，.（1）证明：平面；（2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围.【答案】(1) 见解析;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面内找一条与平行的直线.结合题设可取取中点，连接，易得四边形为平行四边形，从而得，问题得证.（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为，点分别为的中点，则.连接，因为平面，所以AM是PM在面ABC 内的射影，所以，所以即为二面角的平面角.再作出直线与平面所成的角，即作出AC在平面PBC内的射影.由，且得平面，从而平面平面.过点在平面内作于，根据面面垂直的性质知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．在及中，找出与的关系，即可根据的范围求出的范围. 思路二、以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量亦可求解.试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接，因为点分别为的中点，所以四边形为平行四边形，则又平面，平面所以平面.（Ⅱ）解法1：连接，因为，点分别为的中点，则又平面，则所以即为二面角的平面角又，所以平面，则平面平面过点在平面内作于，则平面．连接，于是就是直线与平面所成的角，即=．在中，；在中，，．，，．又，．即二面角取值范围为．解法2：连接，因为，点分别为的中点，则又平面，则所以即为二面角的平面角，设为以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，，，．设平面的一个法向量为，则由．得可取，又，于是，，，．又，．即二面角取值范围为．考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.22. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.，当点在圆上运动时，（1）求点的轨迹的方程；（2）若，直线交曲线于、两点（点、与点不重合），且满足.为坐标原点，点满足，证明直线过定点，并求直线的斜率的取值范围.【答案】(1) . (2).【解析】试题分析：（1）由相关点法得到M(x0,y0),N（x,y），则x=x0,y=（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据条件结合韦达定理得到，，，进而求得范围.解析：(1) 设M(x0,y0),N（x,y），则x=x0,y=y0,代入圆方程有.即为N点的轨迹方程.(2)当直线垂直于轴时,由消去整理得,解得或,此时,直线的斜率为；当直线不垂直于轴时,设,直线:(),由,消去整理得,依题意,即(*),且,,又,所以,所以,即,解得满足(*),所以,故,故直线的斜率,当时,,此时；当时,,此时；综上,直线的斜率的取值范围为.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。