医学统计学 第十四章数值变量统计描述

⎛ lg 2 + lg 4 + lg 8 + lg 8 + lg 16 + lg 32 ⎞ −1 G = lg − 1 ⎜ ⎟ = lg (0 .9031 ) = 8 6 ⎝ ⎠
几何平均滴度为1:8
加权法
加权法： 当样本含量较大时，可将资料整理 成频数表，用下式计算：
G = lg
−1
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
第十四章 数值变量的统 计描述
频数表的编制方法
1．找全距：Range = Max － Min 2. 划分组段 （1）确定组数：8~15组，一般取10组 （2）确定组距：组距（i）= 全距 / 组段数 （3）确定各组段的上下限：各组的起点为下 限， 终点为上限。 要求：（1）第一组含最小值 （2）最后组含最大值 3．归纳计数：划计法 4. 计算频率与累计频率
X ± us
如制定95％参考值范围，双侧界值 u=1.96，单侧界值u=1.645。 双侧界值：x±1.96s 单侧上界：x+1.645s 单侧下界：x-1.645s
例题
[例1-12]某地调查正常成年男子144人的红细胞 数近似正态分布，得均数＝5.38（1012/L）,标 准差s=0.44（1012/L），试估计该地成年男子 红细胞数的95%参考值范围。 因红细胞数过多或过少均为异常，故按双 侧估计95%界值。 下限为：x - 1.96s=5.38-1.96 ×0.44 =4.52 (1012/L) 上限为：x + 1.96s=5.38+1.96×0.44 =6.24(1012/L) 故该地成年男子红细胞数的95%参考值范围 （4.52—6.24）1012/L
（三）中位数(median)
将一组观察值从小到大按顺序排列，位 次居中的观察值就称中位数。 中位数适用于任何一种分布的计量 数据，一般多用于描述偏态分布或数据 一端无界资料的集中趋势。中位数用M 表示。
直接法
样本含量较小时，可根据下式计算： M = X ⎛ n+1 ⎞ n为奇数时 ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ n为偶数时
∑
f lg X ⎞ ⎟ ⎟ f ∑ ⎠
例题
[例1-4]某地102名健康人的钩端螺旋体血 清抗体滴度如表1-2，计算平均滴度。 ⎛ ∑ f lg X ⎞ ⎟ = lg ⎛ 272 . 026 ⎞ = 464 G = lg ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 102 f ⎝ ⎠ ∑ ⎝ ⎠
−1 −1
102名健康人的钩端螺旋体血清滴度的几何 平均滴度为1:464
表14-1 102名健康人的钩端螺旋体 血清抗体平均滴度的计算
抗体滴度 (1) 1:100 1:200 1:400 1:800 1:1600 合计 人数 f (2) 7 19 34 29 13 102 滴度倒 数X (3) 100 200 400 800 1600 lgX (4) 2.000 2.301 2.602 2.903 3.204 flgX (5)=(2)(4) 14.000 43.719 88.468 84.187 41.652 272.206
几何均数 适用于对数正态分布的资料，例如 抗体的平均滴度和平均效价。几何均数 用G表示。 例：5人的抗体滴度为： 1:10， 1:100， 1:1000， 1:10000， 1:100000
直接法
直接法： 样本含量较小时，选用此法。有n个观察 值X1，X2，…Xn，几何均数的计算公式为：
G = n X1 X 2 ⋅ ⋅ ⋅ X n
5−1 5
= 1.58
S乙 =
(500 )2 51000 −
5−1 5
= 15.81
标准差应用
表示观察值的变异程度 在两组(或几组)均数相近、单位相同的条 件下，标准差大，表示变量值的变异度大，均 数的代表性较差；反之，标准差小，表示变量 组变异度小，数据多集中在均数周围，则均数 的代表性较好。 计算变异系数 结合均数描述频数分布的特征和制定医学参考 值范围。 计算标准误
i ⎛n 4 ⎛ 107 ⎞ ⎞ M = L + ⎜ − ∑ fL ⎟ = 29 + ⎜ − 36⎟ = 10.41 mg/ L) ( f ⎝2 65 ⎝ 2 ⎠ ⎠
（四）百分位数(percentile)
百分位数是一种位置指标，用PX表示。 百分位数是一个有序数列百等分的 分割值。第50百分位数(P50)也就是中位 数，中位数是一个特定的百分位数。 计算百分位数的计算公式为：
六、变异系数
（coefficient of variation)
当单位不同时，均数相差较大时，用标准 差就不适宜了，此时用变异系数更好。 变异系数是一种相对的离散程度指标，它 无单位，用CV表示，其计算公式为：
CV = S × 100 X %
例题
[例1-11 ]某地20岁男子100人，其身高均数为 166.06cm，标准差为4.95cm，其体重均数为 53.72kg，标准差为4.96kg。请比较何者变异 度较大。 由于两者度量单位不同，不能直接比较标准 差，而应比较变异系数。 4.95 × 100 % = 2.98 % 身高 CV =
二、四分位间距 (inter-quartile range)
四分位间距是两个特定的百分位数之 差，即第75百分数P75(上四分位数QU)和 第25百分位数P25(下四分位数QL)之差， 用Q表示，适用于任何分布的计量资料， 尤其适用于偏态分布的资料.
Q＝QU－QL
四分位间距比全距稳定，但仍然未 考虑到每个观察值的变异。
（一）算术均数 （ mean）
算术均数 简称均数。用于说明一组观测值的 趋中位置或平均水平。 均数用于对称分布、正态或近似正 态分布的资料。x表示变量X的样本均 数，μ(希腊字母)表示总体均数。 常用的计算方法是直接法和加权 法。
直接法
当样本含量较小时，可选用此法。 有n个观察值，分别为X1，X2，……Xn， 均数的计算公式为：
S=
∑ (X − X )
n−1
2
可改写为： = S
X2 − ∑
(∑ X )
n
2
n−1
上式n-1称为自由度。
例题
[例1-9]对例1-8的数据计算标准差 甲组：n=5， ΣX＝98+99+100+101+102=500 ΣX2＝982+992+1002+1012+1022＝50010
S甲 =
(500 )2 50010 −
一般采用对数形式计算:
⎛ lg X ⎛ lg X 1 + lg X 2 + ... + lg X n ⎞ −1 ∑ G = lg ⎜ ⎟ = lg ⎜ ⎜ n n ⎝ ⎠ ⎝
−1
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
式中lg为取常用对数的符号，lg-11:2，1:4，1:8， 1:8，1:16，1:32，求平均数。
⎤ ⎡ M = ⎢X⎛ n ⎞ + X⎛ n ⎞ ⎥ ÷ 2 ⎜ +1⎟ ⎥ ⎢ ⎜ 2⎟ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠
⎛ n + 1⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
上式中n为一组观察值的总个 ⎛n⎞ ⎛n ⎞ ⎜ ⎟ 数， 1⎟ 、 及 ⎜ + 均为下标，表示有序 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 数列中观察 值的位次。
频数表法
正态分布曲线下的面积
图1-2 正态分布曲线及其面积分布
正态分布的主要特征
1. 以均值μ为中心，左右对称。 2. X取值范围理论上没有边界。X离μ越远，函 数f(x)值越接近0，但不会等于0。 3. 正态分布曲线下的面积分布有一定的规律。 4. 正态分布完全由参数μ和σ决定。 μ是位置参 数（即平均水平），决定分布曲线在横轴的偏 移位置。当 σ一定后， μ 增大，曲线右移； 反之μ减小，曲线左移。σ是变异参数，决定 分布曲线的形态。 σ越大，曲线的形态越“矮 胖”，表示数据分布越分散； σ越小，曲线的 形态越“瘦高”，表示数据分布越集中。
X 2 = 100
乙组 80，90，100，110，120 描述离散趋势的常用指标有全距、四分位 间距、方差和标准差等。
一、全距(range)
亦称极差，用R表示，是一组观察值 中最大值与最小值之差，反映个体差异 的范围。全距大，说明变异度大；反 之，说明变异度小。 如例1-8中甲组全距为4，乙组全距为 40，表明乙组变异度大。 但全距易受个别数据的影响，稳定 性较差，抽样误差较大，而且还受n大小 的影响，一般n越大，全距越大。
样本含量较大时用此法
i ⎛n ⎞ M = L + ⎜ − ∑ fL ⎟ f⎝2 ⎠
L为本组(中位数所在组)下限， i为本组组距， f为本组频数， ΣfL为上一组的累计频数。 本组位置可根据累计频数的数值来判断。当某一 组的累计频数首先超过n/2时或累计频率首先 超过50%时，即定为本组。
例题
[例1-6]调查某地107名正常人尿铅含量 (mg/L)结果列于下表，计算中位数： 本例，第3组的累计频数为65，超过n/2＝ 53.5，即第3组为本组。
166 .06
体重 结果表明该地20岁男子体重的变异大于身 高的变异。
4.96 CV = × 100% = 9.23% 53.72
正态分布
正态分布的图形
图
频数分布逐渐接近正态分布状态
正态分布的特点
正态分布是一种很重要的连续型分 布。正态分布以均数为中心，左右两侧 对称，靠近均数两侧的频数较多，而距 均数两侧较远处，频数逐渐减少，形成 钟形分布。正态曲线下的面积分布有一 定的规律。
X 1 + X 2 + ... + X n X = = n
∑X
n
式中，Σ是求和的符号 。
例题
例 14-1 10名12岁男孩身高(cm)分别为 125.5，126.0，127.0，128.5，147.0， 131.0，132.0，141.5.0，122.5， 140.0。求平均数。