必修一第一章章末复习

章末复习课1．正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的．2．在判定给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”；在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”．3．在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．4．若集合中的元素是用坐标形式给出的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．5．若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时要不重不漏．6．相同函数的判定方法：(1)定义域相同；(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．7．函数的定义域的求法：使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及的依据为：(1)分母不为0；(2)偶次根式中被开方数不小于0；(3)零指数幂的底数不等于零；(4)实际问题要考虑实际意义等．8．函数值域的求法：(1)配方法(二次或四次)；(2)数形结合；(3)函数的单调性法等．9．单调性的判断步骤：(1)设x1，x2是所研究区间内的任意两个自变量，且x1<x2；(2)作差比较或作商比较判定f(x1)与f(x2)的大小；(3)得出结论．10．奇偶性的判断步骤：(1)先求函数的定义域，若定义域关于坐标原点对称，继续以下步骤，若不对称，则为非奇非偶函数；(2)计算f(－x)的值；(3)判断f(－x)与±f(x)中的哪一个相等；(4)下结论.一、集合中空集的特殊性及特殊作用空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间的关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误．例1 已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C分析 B ⊆A 包括两种情况，即B ＝∅和B ≠∅. 解 (1)当B ≠∅时，由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或2. 当x ＝1时，a ＝2；当x ＝2时，a ＝1.(2)当B ＝∅时，即当a ＝0时，B ＝∅，符合题设，故实数a 组成的集合C ＝{0,1,2}．二、集合中元素的互异性集合中元素的互异性是集合中元素的重要属性，这一属性在解题过程中常被忽略而造成错误．因此在涉及集合中元素的有关性质时，要有问题被解决后作检验这一意识． 例2 已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．分析 要求c 的值，根据集合相等，转化为解方程问题来解决．集合A ，B 有公共元素a ，所以使余下的元素相等即可．解 若a ＋b ＝ac ，且a ＋2b ＝ac 2， 消去b ，则有a －2ac ＋ac 2＝0.显然a ≠0，否则集合B 的元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，所以1－2c ＋c 2＝0，得c ＝1，这时B ＝{a ，a ，a }，仍与集合中元素的互异性矛盾； 若a ＋b ＝ac 2，且a ＋2b ＝ac ，消去b ，则有2ac 2－ac －a ＝0，又a ≠0， 则有2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0，又c ≠1，所以c ＝－12.三、函数的性质及应用研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入手，通过对函数性质的应用使问题得以解决．例3 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n . 比较得n ＝－n ，n ＝0.又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2.即实数m 和n 的值分别是2和0.(2)函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数． 证明如下：由(1)可知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .设x 1<x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2 ＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. 当x 1<x 2≤－1时，x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数； 当－1<x 1<x 2<0时，x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2－1<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴函数f (x )在(－1,0)上为减函数．四、函数图象及应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题． 例4 设函数f (x )＝x 2－2|x |－1 (－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．(1)证明 f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1 ＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)解 当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x<0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2，即f(x)=()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≤--+≤≤--03,2130,2122x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．(3)解 函数f(x)的单调区间为 [-3，-1)，[-1,0)，[0,1)，[1,3]． f(x)在区间[-3，-1)和[0,1)上为减函数，在[-1,0)，[1,3]上为增函数．(4)解 当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2；当x<0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2].一、选择题1．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32 D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1) 答案 D解析 由f (x )是偶函数，得f (2)＝f (－2)， 又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)． 二、填空题2．有下列四个命题：①函数f (x )＝|x ||x －2|为偶函数；②函数y ＝x －1的值域为{y |y ≥0}；③已知集合A ＝{－1,3}，B ＝{x |ax －1＝0，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，则a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，13；④集合A ＝{非负实数}，B ＝{实数}，对应法则f ：“求平方根”，则f 是A 到B 的映射． 你认为正确命题的序号为：________.答案 ②④解析 函数f (x )＝|x ||x －2|的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f (x )＝|x ||x －2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；函数y ＝x －1的定义域为{x |x ≥1}，当x ≥1时，y ≥0，即命题②正确；因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，若B ＝∅，满足B ⊆A ，这时a ＝0；若B ≠∅，由B ⊆A ，得a ＝－1或a ＝13.因此，满足题设的实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，即命题③不正确．依据映射的定义知，命题④正确．三、解答题 3．已知集合A ＝{x |－2<x <－1或x >0}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，满足A ∩B ＝{x |0<x ≤2}，A ∪B ＝{x |x >－2}．求a 、b 的值．解 将集合A 、A ∩B ，A ∪B 分别在数轴上表示， 如图所示由A ∩B ＝{x |0<x ≤2}，知b ＝2且－1≤a ≤0. 由A ∪B ＝{x |x >－2}知－2<a ≤－1.综上可知：a ＝－1，b ＝2.4．设全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}；B ＝{x |x ＋a <0}，且B ∁U A ，求实数a 的取值范围． 解∵U=R ，A={x|x>1}， ∴∁UA={x|x ≤1}．∵x+a<0，x<-a ，∴B={x|x<-a}．又∵B ∁UA ，∴-a ≤1，∴a ≥-1.5．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围． 解 集合A 是关于x 的方程的解集．至多有一个真子集的集合有两种情况：一是恰有一个真子集，二是没有真子集，即集合A 为空集．若A ＝∅，则集合A 无真子集，这时关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实数解，则a ≠0，且Δ＝4－4a <0，解得a >1.若集合A 恰有一个真子集，这时集合A 必为单元素集． 可分为两种情况：(1)a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，x ＝－12；(2)a ≠0时，则Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.综上，当集合A 至多有一个真子集时，实数a 的取值范围为a ≥1或a ＝0.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4， x <－1，－2x ＋5， －1≤x <1，3， x ≥1，(1)求：f (－2)，f (0)，f (1)，f (4)；(2)画出函数图象； (3)指出函数的值域．解 2x ，x ≠0，x ∈R ；＝－2包含在区间(－∞，－1)中， ∴f (－2)＝(－2)2－2(－2)＋4＝12. x ＝0包含在区间[－1,1)中，∴f (0)＝5.x ＝1包含在区间[1，＋∞)中，∴f (1)＝3. x ＝4包含在区间[1，＋∞)中，∴f (4)＝3. (2)如图所示(3)由图象知，函数的值域为[3，+∞)．7．已知函数f (x )＝x ＋mx，且f (1)＝2，(1)判断f (x )的奇偶性；(2)判断f (x )在(1，＋∞)上的增减性，并证明； (3)若f (a )>2，求a 的取值范围．解 (1)∵f (1)＝2，∴f (1)＝1＋m ＝2，∴m ＝1，∴f (x )＝x ＋1x，则f (－x )＝－x ＋1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝－f (x )， 又f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， ∴函数f (x )是奇函数． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝x 1－x 2＋1x 1－1x 2＝x 1－x 2＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1x 1x 2－1＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)x 1x 2.∵1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，x 1x 2>1， ∴1－x 1x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)同理可证f(x)在(0,1)上是减函数，由于函数是奇函数，可得简图． ∵f(a.)>2，即f(a.)>f(1)， ∴a.>1或0<a.<1，∴a 的取值范围是(0,1)∪(1，+∞)．章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,5}，则M ∩(∁U N )等于( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{3} D ．{1,3} 答案 D解析 ∁U N ＝{1,3,4}，M ∩(∁U N )＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}． 2．下列集合不同于其他三个集合的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{y |(y －1)2＝0} C ．{x ＝1} D ．{1} 答案 C解析 A 、B 、D 都表示元素是1的集合，C 表示元素为“x ＝1”的集合． 3．下列集合不能用区间形式表示的是( ) ①A ＝{1,2,3,4}；②{x |x 是三角形}； ③{x |x >1，且x ∈Q }；④∅；⑤{x |x ≤0，或x ≥3}；⑥{x |2<x ≤5，x ∈N }． A ．①②③ B ．③④⑤ C ．⑤⑥ D ．①②③④⑥ 答案 D解析 根据区间的意义知只有⑤能用区间表示，其余均不能用区间表示． 4．下列各图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是图中的( )答案 A解析 根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”的对应才能构成函数关系． 5．下列函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝xB ．f (x )＝|x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x (x －1)，g (x )＝x 2－x (x >1) 答案 B解析 选项A 中两函数的对应关系不同，选项C 、D 中两函数的定义域不同． 6．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )答案 B解析 f(x)=|x-1|=⎩⎨⎧<-≥-1,11,1x x x x ，由分段函数的作图方法可知选项B 正确．7．设f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 答案 B解析 g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1.∴g (x )＝2x －1.8．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |答案 B解析 y ＝3－x 在(0,2)上为减函数，y ＝1x 在(0,2)上为减函数，y ＝－|x |在(0,2)上亦为减函数．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)x 2 (x <0)，则f (f (－2))的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案 C解析 ∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又4>0，∴f (f (－2))＝f (4)＝4.10．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≥2} B ．{a |a ≤1} C ．{a |a ≥1} D ．{a .|a ≤2} 答案 A解析 如图所示，∴a ≥2.11．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m ＋16，m ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2－13，n ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝p 2＋16，p ∈Z ，则M 、N 、P 的关系是( )A ．M ＝N PB ．M N ＝PC ．M N PD ．N P M 答案 B解析 m ＋16＝6m ＋16，n 2－13＝3n －26，p 2＋16＝3p ＋16， ∵m ，n ，p ∈Z ，∴3n －2、3p ＋1都是3的倍数加1,6m ＋1是6的倍数加1. ∴M N ＝P .12．设f (x )＝11－x，则f {f [f (x )]}的解析式为( )A.11－xB.1(1－x )3 C ．－x D ．x 答案 D解析 f [f (x )]＝11－f (x )＝x －1x∴f {f [f (x )]}＝11－x －1x＝x .二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域为________．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0，∴x ≥－1且x ≠2.14．用列举法表示集合：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________________________.答案 {－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}解析 由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.15．已知集合{2x ，x ＋y }＝{7,4}，则整数x ＝________，y ＝________. 答案 2 5解析 由集合相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝7x ＋y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4x ＋y ＝7，解得⎩⎨⎧x ＝72y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5， 又x ，y 是整数，所以x ＝2，y ＝5.16．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________．答案 (－∞，0]解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2 ＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )，∴k ＝1，∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]． 三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6} ＝{x |1<x ≤8}．∵∁U A ＝{x |x <2或x >8}． ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，∴a <8.18．(12分)若A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解 ∵B ⊆A ，当B ＝∅时，得2m －1>m ＋1，m >2， 当B ≠∅时，得⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4.解得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围为m ≥－1.19．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，求f (x )的值域．解 ∵f (x )是偶函数，∴定义域[a －1,2a ]关于原点对称．∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≥-a a a a a 1,312,112 ∴a ＝13，b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－23，23. ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤1，3127. 20．(12分)判断并证明f (x )＝11＋x 2在(－∞，0)上的增减性． 解 在(－∞，0)上单调递增．证明如下： 设x 1<x 2<0，f (x 1)－f (x 2)＝11＋x 21－11＋x 22＝x 22－x 21(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)(1＋x 21)(1＋x 22)∵x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0,1＋x 21>0,1＋x 22>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增．21．(12分)定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－4x 2＋8x －3.(1)求f (x )在R 上的表达式；(2)求y ＝f (x )的最大值，并写出f (x )在R 上的单调区间(不必证明)．解 (1)设x <0，则－x >0，f (－x )＝－4(－x )2＋8(－x )－3＝－4x 2－8x －3.∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴当x <0时，f (x )＝－4x 2－8x －3.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x 2＋8x －3 (x ≥0)－4x 2－8x －3 (x <0)， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4(x －1)2＋1 (x ≥0)－4(x ＋1)2＋1 (x <0). (2)∵y ＝f (x )开口向下，∴y ＝f (x )有最大值，f (x )max ＝f (－1)＝f (1)＝1.函数y ＝f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．22．(14分)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52. 解得12<x <52. 故函数g (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫12，52.(2)由g (x )≤0，得f (x －1)＋f (3－2x )≤0，∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)．而f (x )在(－2,2)上单调递减． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥2x －3，12<x <52.解得12<x ≤2. ∴g (x )≤0的解集为⎝⎛⎦⎤12，2.。