分式通分的7种技巧

第一讲分式运算中的常用技巧

第一讲分式运算中的常用技巧在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。

现就分式运算中的技巧与方法举例说明。

一、分组通分法：例1、计算：xy xy x y x y x y x y x y x --+-----+-24352思路点拔：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。

※例2、计算：500099009999500010050002002250001001122222222+-++-+++-++-k k k (上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算：2500010010000200250001002001005000100500010010020010020010050001005000)100(100)100()100(5000100222222222222222222=+-+-=+--+++-=++--+-+++-=+----++-n n n n n n nn n n n n n n nn n n n n n n n n n 二、整体通分法：例3．化简：21a a --a-1思路点拔:本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 三、逐项通分法例4．计算4214121111xx x x ++++++- 思路点拔：本题中原所有分式的最简公分母是()()()()241x 1x 1x 1x -+++，若按此通分解答过程的繁琐性就不用说了；如果我们进行分组、分步通分就不会因为出现“庞大”的分子导致在计算中出错；比如，若我们先计算111x 1x+-+，最简公分母为()()1x 1x -+即21x -，则111x 1x +-+2221x 1x 21x 1x 1x +-=+=---，后面的如法炮制，过程清楚，计算简便. 四、先约分，后通分例5．计算：2262a a a a +++22444a a a -++思路点拔：按常规的解法本题应先找出两个分式分母的最简公分母()2x x 2+后通分，化成同分母的分式后再相加；细心的同学会发现，若把两个分式的分子、分母分解因式后，先约分就已经是同分母了，就“省去”了通分的过程；相比较先约分、再相加显得更为简捷. 五、裂项相加法例6、已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（）(江苏省竞赛题)A ．7B ．9C ．13D ．5思路点拨对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A 、B 的值．例7、化简：111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++. 思路点拔：本题的多个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1()1()1(1+-=+-+=+x x x x x x x x ，这样可抵消一些项. 例8.化简：))(())(())((a c b c ba abc b a c c a b a c b -----------思路点拔：本题采用通分的方式，计算量大，式子的特点是：每个分式的分子可用分母的两个因式的差表示，如：ca b a c a b a b a c a c a b a c b ---=-----=---11))(()()())((a b c b a b c b c b a b a b c b a c ---=-----=---11))(()()())((bc a c a c b c a c b c a c b c b a ---=-----=---11))(()()())((※例9.化简：222()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++.思路点拔：本题采用通分的方式，计算量大，仔细观察式子的特点，发现每个分式的分母是两个因式的积的形式，可考虑把分子通过添项的方法化成分母的两个因式的和或差的形式，即：ba bc a a c a b a c a b b a a c a b a bc ab ab a c a b a bc a +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22cb ca b b a b c b b a c c b b a b c b ac bc bc b a b c b ac b +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22ac ab c c b c a c b c a a c c b c a c ab ac ac c b c a c ab c +-+=+++-+=+++-+=++-))(()()())(()()())((22六、分式的换元化简 ※例10.化简：)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x z y z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++--- 思路点拔：注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x －2y+z=(x －y)－(y －z)，x+y-2z=(y-z)-(z-x), y+z-2x=(z-x)-(x-y)采用换元法,设x-y=a,y-z=b,z-x=c,原分式可化为：))(())(())((b a a c bca c cb bac b b a ac ---+---+---,再通分，可简化运算。

分式运算中的常用技巧与方法

分式运算中的常用技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。

现就分式运算中的技巧与方法举例说明。

一、整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。

解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 二、逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +----3444b a b - =3444b a b --3444b a b-=0 三、先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 四、整体代入法例4．已知1x +1y=5求2522x xy y x xy y -+++的值解法1：∵1x +1y =5∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57解法2：由1x +1y=5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 六、设辅助参数法例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ；把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8七、应用倒数变换法例7．已知21a a a -+=7，求2421a a a ++的值解：由条件知a ≠0,∴21a a a -+=17,即a+1a =87∴4221a a a ++=a 2+21a +1=(a+1a)2-1=1549 ∴2421a a a ++=4915八、取常数值法例8．已知：xy z ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.则y z x ++x z y ++x y z+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。

分式的方法与技巧

1、整体通分法
分析：像这样的，一个分式，后面是整式时，将后面的整式看作一个整体，来进行整体通分，可以简单求解。

2、逐项通分法
分析：通过观察各分母的特点，分母为整式时，想一想符合不符合乘法公式的运用特点，从左到右依次通分。

3、先约分，再通分
分析：像这样分子分母都是含有分母的整式时，想到能不能先约分，就要现将分子、分母先分解因式，能月份的先约分后再根据题目的特点进项必要的变化后求值。

4、裂项相消法
分析：通过观察，后两个分式的分母是两个因数的积，并且这两个因式相差1，而分子是一个还相同，这是就应该想到裂项法解题，就是将每一个分式拆成两项的差，前后抵消后再计算。

5、整体代入法
分析：先将条件进行整理，然后整体代入求代数式的值值。

6、公式法
分析：遇到这种特点的题目，先将条件式进行变形，利用完全平方公式再对要求的式子进行整理，然后代入求值。

7、设辅助参数法
分析：利用条件式设一个辅助参数，将一些代数式用所设的参数表示，然后再将这些代数式代入到所求的式子中去，起到化简的目的。

8、倒数变换法
分析：像这种分子比较简单，分母比较复杂事时，这时可以想到把条件式整体取倒数，使条件变简单，再求值。

9、特殊值法
分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入所求的式子求出结果。

这种方法多用在填空题、选择题中。

分式通分的技巧

分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。

解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。

二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。

解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。

三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。

四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。

分式通分的技巧

2.. 2.. 1.. (A ) ; 2.. 2.. 2.. 40;
2.. 2.. 3.. 6n + 2; 2.. 2.. 4.. 3n + 1;
2.. 2.. 5.. 4n + 4[或填4( n + 1) 或4( n +
2) - 4或( n + 2)
2
- n
2
]
能力提高:
a - 4
..
解: 原式= ( 1+
1
a + 1
) - ( 1+
1
a + 2
) - ( 1
-
1
a - 3
) + ( 1 -
1
a - 4
)
= (
1
a + 1
-
1
a + 2
) + (
1
a - 3
-
1
a - 4
x
2
+ 4x - 5
..
解: 原式=
x + 2
( x + 2) ( x - 5)
-
x - 1
( x - 1) ( x + 5)
=
1
x - 5
-
1
x + 5
=
10
x
2
- 25
三、合理结合, 分组通分
例3.. 计算1
a + 1
2. 复习时认真地阅读与钻研教材, 可以提
高学生的解题能力.
3. 复习时认真地阅读与钻研教材, 可以培

分式的通分

不等于0 的整式，分式的值不变.
用字母表示为：
A AC B BC
A AC （C≠0）
B BC
2.分式的符，号法则：
（1） a ？（2）a a ？
b
b b
同号得正
异号得负
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形叫做分式的约分。
1.约分的依据是：分式的性质（除法）
1
因此 x²－y² =
1
x²＋xy =
x x(x＋y)(x－y)
x－y x(x＋y)(x－y)
归纳
异分母分式通分的步骤是：
1、求出所有分式分母的最简公分母 2、将所有分式的分母变为最简公分母，同时
各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
练习: 1.通分：
(1)
2c bd
与
3ac 4b2
看作一个整体，然后再执行： • （1）定系数________________ • （2）定字母（或含字母的因式）
______________________ • （3）定字母（或含字母的因式）的次数
_________
例题讲解与练习
例通分
a 2
3 2b 与
ab
ab2c
公分母如何确定呢？
最简公分母的确定：各分母中系数取最小公倍数，因式取最高次幂。
分析：分式通分的关键是确定几个分式的公分
母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，也叫最简公分母.
问题：如何找最简公分母？
（2）2x32y
xy xy2z
2 xy 2 2 z
最小所有最高公倍数字母次幂
3、找最简公分母
(1)

分式通分有技巧

＝
３（
一
）３（＋
一丽１）３（１＋丽
１
一
）
．
３３＝一 — —１ａ－
６ａ二 ‘
注：此题不但用到了分离整式技巧，还涉及到拆项抵消等技巧．六、换元后（）免通分
例简ｘ斗＋－（ｚ＋．６化一罨＋Ｘ））－ｙＺ（－ｚ）－ｘｙ（ｘｙ＋－）
＝
ａ－ｂ（－￣’ ａ
口
一．
Ｃ一
ｂ）
一
ｂ一
ｃ
（－）－ｃ。－ａ（－ｂｂａ（）（）ｂｃｃ）
ｊｂ＋ — ａｂ＋
—
一一
（－）一６。－（— ）－）ａｃ（）ｂｃ’ ａ（ｂｃｃｃ
一
ｃ一一：—
２ｘ～１２
Ｉ＝一：二＿一
一
一
＝：塑±
＋）２－）１＋）２
一ｊ一
ｘ２＋ ‘
二、化繁为简后再通分例２计算：２一ｘ２ｘ－２＋
二－３ｘ
．
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先化简约分，然后再通分，可使运算简便．
探问瑜伽
§３７
一
旦螳ｌＩ敞：技
分：用法低子数将式为＋的式再析利除降分次，分詈化号形后
通分．
解：原式＝＋＋（２
一
一
）２＋一（ａ３
３ａ－６
）（１＋

分式通分的常用技巧

分式通分的常用技巧作者：张开智来源：《初中生之友·中旬刊》2010年第03期通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的通分问题。

通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后再加减。

可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。

现介绍几种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。

一、分组通分例1 计算-+-。

分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。

解原式=-+-=+=。

点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。

二、逐步通分例2 计算:+++。

分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能劳而无功。

若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次类推,逐步通分,可使问题得到解决。

解原式=++=++=+=。

三、整体通分例3 计算:x+y+。

分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的分式,再通分。

解原式=(x+y)+=+= + =。

四、分解因式,约分后通分例4 计算-。

分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。

解原式=- =-==。

点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。

五、改变排序,一次通分例5 计算++。

分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。

解原式=++=++==0。

点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。

六、常量代换,自然通分例6 设abc=1,试求++的值。

分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量代换的方法,本题可获巧解。

分式通分的方法口诀

分式通分的方法口诀
1.【问题】分式通分的方法口诀
【答案】红楼梦谐音双关的例子分式通分的方法口诀整理如下，供大家学习参考。

通分的方法口诀是同分母直加减，异分母先通分，通分要用短除法，最后一定化为简。

相同分母的直接加减就可以，不相同分母的要进行通分，把分母化成一样的，通分的时候用短除法，最后千万要记住，要化成最简分数式（不能再进行约分的分数式）。

在做题的时候还要注意简便运算，有括号先算括号里面的，再接着计算，如果发现有相同分母的，移位（去括号）先算；如果分母成倍数关系的话，也应该先算简便。

1可以写成好多种，可以是二分之二，三分之三，四分之四。

分式通分的特殊技巧

解：ａｂｘ－＝，ｃｃ．贝ｙｂ＋ｘａｂｃ＋（— ）ｃｎｂ＝设－＝，ｂｃｙ～４＋ｚｃ＝（ — ）６ｃｎ＋（— ）Ｏａ
．
＿式＝Ｌ＋ — ＋～＝｜原
－
丝塑：０
— ，ｘｚ
ＸＺ
－ｙｘ
六、整体通分
例６计算：０２ — 一＋一
—
ａ
分析：把ａ２看成一个整体，化成＋
的形式，再进行计算，就显得简单。
解原＋＝－４：式早百＋＝ａ￣４
七、常量代换通分
例７已知ａｃｌｂ＝，求Ｉ＿＿＋＿ —
一
Ｊ一［１
１＋
１
．
２如一ｎ＋２ｂ（６）（＋）叶 Ⅱ ６
二、换元后通分
例２化简：
赛题）
６ａ）丽
＋
＋ｃａ（— ）（９６年 — ）ｃｂ１９
“ 望杯 ” 初二希
分析：这是一个轮换式问题，利用换元法可巧妙而迅速地解决此题。
ｂ＋＋１ｃｂ
‘
八、分组通分
例计：１＋Ｔ『１８算＿ —二２一
分析：观察题目的特点，若把四个分式巧妙地分成两组，再分别通分，则计算显得非常简捷。
解原＝一１）一）：式 ‘ ＋＿１（
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数学篇

分式通分的技巧讲课教案

分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。

解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。

二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。

解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。

三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。

四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。

分式通分技巧

如何巧妙地进行分式通分通分是分式加减运算的主要环节，其方法灵活，技巧性大，综合性强。

在进行加减运算时，若不加分析的采用一次性通分，往往运算比较麻烦；但若根据分式的分子、分母的结构特点，灵活巧妙地采取相应的通分方法和解题技巧，则可化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果。

下面总结如下:一、整体通分。

将一个多项式视为一个整体，再与分式进行通分。

例1:计算a+2-a-24 解：a+2-a -24=12+a -a -24=a ---24a 222=a --2a 2=22-a a 例2：计算：16672001-a a -667a -1334a -1 解：原式=16672001-a a -11a 1334667++a =1)1(66720012001---a a a =11667-a 二、逐步通分当分式的各分母按一定的规律分布且存在某种递进关系，一次通分难度较大时，可以采取逐步通分。

例、化简：a 11--204810248421204811024......11111111aa a a a a --++++++++++ =212a -204810248421204811024......111111aa a a a --+++++++++ =204812048a --204812048a - =0三、分组通分。

一次性通分有困难时，可以把易于通分的分式组合在一起分组通分。

例题、化简：b +a 1+b -a 1--++-22a b ab b a 22a bab b a +-+ 解:原式=(b -a 1-22b -a b ab a ++)+(22a 1b ab a b a b +-+-+) =33a 3b ab -+33a 3b ab +- =664a 6bab - 四、提取公因式后通分例1、化简：b)-a)(m -(m c m -+b)-b)(m -(a c b -+a)-a)(m -(b c b - 解：原式=b)-a)(m -(m c m -+b -a c b -.(a m b m ---11) =b)-a)(m -(m c m --b)-a)(m -(m c b - =b)-a)(m -(m b m - =a-m 1 例2、化简：86a 100020002000+-a a +23a 100020001000+-a a 解：原式=)4)(2(a 100010002000--a a +)1)(2(a 100010001000--a a =)1)(4(4.2a 10001000200010001000----a a a a =)1)(4(a 21000100010002000--+a a a 五、局部通分。

分式运算的常用技巧与方法

分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。

以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。

化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。

2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。

3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。

二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。

通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。

2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。

三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。

具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。

2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。

乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。

3.合并同类项，将分子进行相加或相减。

四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。

具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。

2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。

五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。

分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。

六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。

2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。

分式的运算技巧

分式概念形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。

无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

七年级数学分式的运算和分式方程

分式性质及运算【基础精讲】一、分式运算的几种技巧分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。

1、先约分后通分技巧例1 计算2312+++x x x +4222--x xx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x2、分离整数技巧例2 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算化简。

解：原式=231)23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x=1+2312+-x x -1-6512+-x x -3412+-x x=)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x=)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x3、裂项相消技巧例3 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1）裂项相消计算。

解：原式=（x 1-11+x ）+22（11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ）=x 1-61+x =)6(6+x x4、分组计算技巧例4 计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2-1，采取分组计算简捷。

解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a5、变形技巧例5 已知x 2-3x+1=0，求x 2+21x 的值。

分式的运算技巧

分式概念形如〔A、B是整式，B中含有字母〕的式子叫做分式。

其中A叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。

注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。

无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。

由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

方法：数看结果，式看形。

分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。

2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

代数式分类整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

分式的根本性质分式的分子和分母同时乘以〔或除以〕同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：〔A,B,C为整式，且B、C≠0〕运算法那么约分根据分式根本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

约分步骤：单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

分式的乘法法那么：〔1〕两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。

用字母表示为：分式的加减法法那么：同分母分式的加减法法那么:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

分式通分的若干技巧

—
２ｍｎ
将一个多项式视为一个整体，再与分式通分．例
解
：
解：原式＝ｍ（ｍ十ＩＩ．）（ｍ —ｎ）ｍｎ（ｒｎ＋）
，ｎ（ｍ＋ｌｉｔｎ＋ｎ２
计算
２００１ｎ
一
—
一。一ｏ ” 一１
（ａ加。一１）１＝
可获解．．
例化简ｎ ‘ ＋ｎ一 Ⅱ １一＋ Ⅱ ＋０１＋ｌ ‘ ＋一口＋３
解：设Ｋ＝ Ⅱ ＋０＋１贝０原式＝１
２
一
例
矗ｖ致掌大世界。．５▲ ▲ ；。＋．＋。＋化简１＋
例化简８一ｊｎ十一等：口一ｊ口一Ｚ＋
鱼： ± Ｚ： ± 三二Ｚ
６Ⅱ ＋ｎ一１
＋
十＋Ｗ
＋ — Ｗ－ — ｌｌ，＋
Ｗ＋１１，
解：原式：［。＋２
一
＝Ｉｎ — ｌＪｌ口
一（Ｏｌ１Ｉ１一）（卢一）（一）
．．
一
・
ｃ
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一
川
…
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整理得Ｏｌ＋｜Ｂｙ＋卿＝０
・．．
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一
土
６ｒ上
Ｉｔ，
＋移＋＋Ｉｕ＋格）Ｉ１ｊ＋）ＩＷ＋ｕ）＝０
＋
＋
＋
Ｗ
１１，
０一ｌ３口一ｌ
十、拆项后通分

分式变形的各种方法

分式变形的各种方法
1. 消去分母方法：将分式中的分母约分或化为通分后，化简分子，得到简化后的分式。

2. 化为相同分母方法：将分式中的分母化为相同的分母，然后将分子相加或相减后，再除以这个相同的分母，得到化简后的分式。

3. 分子分母都乘以一个因式或分式方法：将分式中的分子和分母都乘以一个相同的因式或分式，使得分子或分母的某一项能够约去或变得更简单，得到化简后的分式。

4. 分母化为整数方法：将分式的分母化为整数，分子不变，得到化简后的分式。

5. 分子分母分别分解方法：将分式中的分子和分母分别分解为质因数，约分后，再将分子和分母的所有因式相乘，得到化简后的分式。

6. 倒数化式方法：将分式中的分子和分母交换位置，并将分子和分母同时取倒数，得到化简后的分式。

7. 合并同类项方法：将分式中的分子或分母中具有相同因式的项合并成一个项，得到化简后的分式。

8. 公因式提取方法：将分式中的分子或分母中具有相同因式的项提取为公因式，得到化简后的分式。

第一讲 分式运算中的常用技巧

分式运算中的常用技巧与方法

分式的方法与技巧

分式通分的技巧

分式通分的技巧

分式的通分

分式通分有技巧

分式通分的常用技巧

分式通分的方法口诀

分式通分的特殊技巧

分式通分的技巧讲课教案

分式通分技巧

分式运算的常用技巧与方法

分式的运算技巧

七年级数学分式的运算和分式方程

分式的运算技巧

分式通分的若干技巧

分式变形的各种方法

第一讲分式运算中的常用技巧