衡水高三数学复习

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衡水中学高三复习数学试题

故选：C.
16．D【解析】
【分析】利用绝对值不等式的性质，即可得到答案.
【详解】
由绝对值不等式的性质，可得，当且仅当时，等号成立，
所以“ ”的充要条件为“ ”．
故选：D
17．B【解析】
【分析】根据柯西不得式，直接计算结果.
【详解】
由柯西不等式
等号成立的条件是，
所以的最大值是 .
故选：B
18．A【解析】
【详解】∵正数x，y满足x6+y2 4x2，
在方向上的投影为，所以选项D正确.
故选：BCD
21．或写成【解析】
【分析】把原不等式右边的移项到左边,通分后变成 ,不等式可化为两个不等式组,分别求出两不等式组的解集,两解集的并集即为原不等式的解集.
【详解】
即
可化为: ┄①或 ┄②
解①得:
解②得:无解.
故不等式的解集为: .
故答案为: 或写成:
考点：向量的线性运算性质及几何意义
4．B【解析】
【分析】
根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出，根据夹角的范围知，由此构造不等式求得结果.
【详解】
由题意得：，，
，
设与夹角为，则，
，，即，
，解得：，即的取值范围为 .
故选： .
5．A【解析】
不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线（）,过直线与直线的交点时,目标函数（）取得最大12,即 ,即 ,而．
即时，等号成立.
故答案为： .
24．【解析】
【分析】
建立坐标系，写出向量的坐标，根据建立等量关系，可求出 .
【详解】因为，所以三点共线；

衡水市高考数学总复习：三角函数及解三角形

8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．满足2c（2）若a+c＝5，b＝3，求△ABC的面积．
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足a＝2，acosB＝（2c﹣b）cosA．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC周长的范围．
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosB+bcosA＝2ccosC．
23．在△ABC中，内角A，B，C满足．
（1）求内角A的大小；
（2）若AB＝5，BC＝7，求BC边上的高．
24．已知在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，．
（1）求A；
（2）若b＝4，c＝6，求sinB的值．
25．在△ABC中，．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若c＝5____，求a．
从①b＝7，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
（1）求sinB的值；
（2）求的值．
4．设函数f（x） a的最小值是﹣1．
（1）求a的值及f（x）的对称中心；
（2）将函数f（x）图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到g（x）的图象．若，求x的取值范围．
5．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且．
（1）求sinB的值；
（2）若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
29．已知f（x） sinωx﹣2sin2 （ω＞0）的最小正周期为3π．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[ ]时，求函数f（x）的最小值．
30．设函数，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝2．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a（2 cos2 ）＝b•cosC+c•cosB．

衡水高三知识点总结

衡水高三知识点总结在衡水高三的学习生涯中，学生们需要面对众多科目的知识点。

为了帮助大家更好地复习和总结，下面将对衡水高三各科的知识点进行梳理和总结。

语文语文作为一门文科必修课，需要学生们具备扎实的语言表达和理解能力。

在高三阶段，语文的重点主要包括文言文的阅读和鉴赏、现代文的解读和写作、古诗文的背诵和鉴赏等。

需要注意的是，语文考试不仅仅考察知识点本身，更注重对文本的理解和深度思考。

数学数学是高中阶段最为重要的学科之一。

在衡水高三，数学的重点包括函数与方程、几何与空间、概率与统计等。

掌握数学的基础概念和运算方法至关重要，需要学生们进行大量的练习以提高解题能力和应对考试的临场能力。

英语英语作为一门重要的外语课程，在高三阶段仍然占据重要地位。

衡水高三英语的重点包括语法知识的扎实掌握、阅读理解和写作能力的提升以及听力和口语技巧的训练等。

特别需要强调的是，英语学习需要长期积累和提前准备，多听多说多读多写是提高英语能力的有效途径。

物理物理作为一门对实验和理论运用相结合的学科，需要学生们掌握基本物理概念、定律和公式，同时也要能够运用所学知识解决实际问题。

衡水高三物理的重点包括力学、光学、电学等内容。

物理学习需要注重理论与实践结合，积极参与实验和实践活动能够加深对知识点的理解。

化学化学是一门需要记忆和理解相结合的学科。

在衡水高三，化学的重点主要包括基础知识的掌握、化学反应与平衡、有机化学等。

学习化学需要强调反应方程式的书写、物质的性质和变化的理解、实验技能的培养等。

同时，进行大量的实验练习和实践操作也是成功掌握化学知识的关键。

生物作为一门关于生命科学的学科，需要学生们理解和掌握生物体结构、生物分子、生命现象、进化和生态等内容。

衡水高三生物的重点包括细胞的结构和功能、遗传与变异、免疫与抗病等。

生物学习需要掌握生物学概念的记忆，同时也要注重实验观察和分析能力的培养。

历史历史作为一门需要记忆、理解和分析相结合的学科，重要性不可忽视。

2025届河北衡水中学高三数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2025届河北衡水中学高三数学第一学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A ．33B ．32C ．63D ．622．我国古代数学名著《九章算术》有一问题：“今有鳖臑(biē naò)，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺.问积几何？”该几何体的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为( )A ．90π平方尺B ．180π平方尺C ．360π平方尺D ．13510π平方尺3．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n+的最小值为（） A ．97B ．53C ．43D ．13104．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭5．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（）． A ．0B ．1C ．2D ．36．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②B ．②C ．②③D ．③7．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（） A ．12B ．1C ．2D ．48．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（） A ．正方体 B ．球体C ．圆锥D ．长宽高互不相等的长方体9．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（）A ．2eB ．4eC ．2ee - D ．4ee- 10．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．611．已知()3,0A -，)3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（） A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥12．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

03 衡水中学高三数学一轮复习资料——数列

衡水中学高三数学一轮复习资料——数列考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前n项和1. ⑴等差、等比数列：等差数列等比数列等差数列等比数列定义递推公式；；通项公式（）中项（）（）前项和重要性质d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn d a a n n +=-1md a a n m n +=-q a a n n 1-=mn m n q a a -=d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a 0,1≠q a 2kn k n a a A +-+=0,,*φφk n N k n ∈)0(φk n k n k n k n a a a a G +-+-±=0,,*φφk n N k n ∈n )(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n ),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈⋅=⋅⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① ②2()),2(1为常数d n d a a n n ≥=--11-++=n n n a a a 2≥n③(为常数).⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①②(，)① 注①：i. ，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即a 、b 、c 等比数列.ii. （ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. →为a 、b 、c 等比数列的必要不充分.iv. 且→为a 、b 、c 等比数列的充要.注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个.③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.⑷数列{}的前项和与通项的关系：[注]： ①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{}前n 项和 →可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍；②若等差数列的项数为2，则；b kn a n +=k n ,)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n 112-+⋅=n n na a a 2≥n 011≠-+n n n a a a acb =ac b =ac b =ac b ±=ac b ±=0φac nn cq a =q c ,n a n x a log 1φx n a n n S n a ⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n ()()d a nd d n a a n -+=-+=111d d n a n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=221222dd d ...,,232k k k k k S S S S S --()+∈Nn n ，奇偶nd S S =-1+=n na a SS 偶奇③若等差数列的项数为，则，且， . 3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②③[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…； 5，55，555，…. 4. 等比数列的前项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：=.⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；为年利率.5. 数列常见的几种形式：⑴（p 、q 为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤：①写出特征方程（对应，x 对应），并设二根②若可设，若可设；③由初始值确定.()+∈-Nn n 12()n n a n S1212-=-n a S S =-偶奇1-=n n S S 偶奇得到所求项数到代入12-⇒n n ()21+n n ()()61213212222++=+++n n n n Λ()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n Λ110-=⇒nn a ()11095-=⇒nn a n a r r +1n 1)1(-+n r a n .)1(1])1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-a r a n nr a )1(+)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+a r ()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m mm mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a n n n qa pa a +=++12→q Px x +=22x 2+n a 1+n a 21,x x 21x x ≠n n n x c x c a 2211.+=21x x =nn x n c c a 121)(+=21,a a 21,c c⑵（P 、r 为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为的形式，再用特征根方法求；④（公式法），由确定.①转化等差，等比：. ②选代法： .③用特征方程求解：. ④由选代法推导结果：. 6. 几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差的最小公倍数.2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

衡水中学2022年高考数学复习分项汇编专题06 三角函数【理科】(原卷版+解析版)

专题06 三角函数一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（） A ．34-B ．34C ．43 D ．43-2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位D ．向右平移2π个单位3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（）A ．()()33ππ+=-f x f xB ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +≥恒成立4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论： ①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减其中正确的是（） A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2013B ．1C ．0D ．20146. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，BC AC =根据这些信息，可得sin1674︒=（）A B ．C ．D ．7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（）A ．||sin2AB d α=⋅B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若12()()4f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数f (x )的最小值为－22. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．24253. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4πC ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为三、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.3. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________. 四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =AC .（1）求BD ；（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin αβ的值. 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos sin b c a B B +=.（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积的最大值.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC 的形状.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B =2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠；（2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处． (1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC 的周长为5. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小；（2）求ADE 的面积．专题06 三角函数一、单选题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（） A ．34-B ．34C ．43 D ．43-【答案】B 【解析】由题可得22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===++，解得3tan 4α=±. ,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan 4α∴=-，因此，sin sin 3tan 3cos 4sin 2αααπαα==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：B.2. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()f x x ω=和()g x x ω=（0>ω）图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点.为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（） A ．向左平移1个单位 B ．向左平移2π个单位 C ．向右平移1个单位 D ．向右平移2π个单位【答案】A 【解析】如图所示：()()f x x g x x ωω===，故tan 1x ω=，,4k x k Z ππωω=+∈. 取靠近原点的三个交点，3,14A πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,14B πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,14C πω⎛⎫- ⎪⎝⎭， ABC ∆为等腰直角三角形，故532444πππωωω+==，故2πω=，故()2f x x π=，()222g x x x πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，故为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象向左平移1个单位 . 故选：A .3. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数()sin 2sin 213f x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（）A ．()()33ππ+=-f x f xB ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心C ．任取方程()1f x =的两个根1x ，2x ，则12x x -是π的整数倍D ．对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()123f x f x f x +≥恒成立【答案】D 【解析】因为()3sin 2sin 21sin 22121326f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以51136f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3f π⎛⎫⎪⎝⎭既不是最大值也不是最小值，所以直线3x π=不是其图象的对称轴，故A 错误；因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，且01112f π⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，所以点,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭是其对称中心，故B 错误；任取方程()1f x =得到的两个根，即为方程sin 206π⎛⎫+= ⎪⎝⎭x 的任意两根，它们之间相差为2T 的整数倍，且22T ππ==，所以它们彼此之间相差的是2π的整数倍，故C 错误；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,663x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时()f x 1+1，所以对于任意的123,,0,4x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()12321f x f x f x +>≥恒成立，故D 正确.故选：D.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论：①T π= ②对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ③值域为⎡⎤⎣⎦ ④在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减其中正确的是（） A ．①② B ．②③C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】解:()()(){}sin cos ,cos 0,min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨->⎩3,22,422,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎛⎫++≤≤+ ⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩()k Z ∈.因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误；如下图所示（一个周期内图象）：()h x 的对称轴方程为：2122k x k πππ+=+=，k Z ∈，②正确；由图直接得知③正确；当3,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝⎭ ⎪⎝⎭，()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，④正确. 故选：D.5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为A ．2013B ．1C ．0D ．2014【答案】A【解析】 ∵a 2+b 2=2014c 2，∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosB sinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013．故答案为：A6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108︒的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，BC AC =根据这些信息，可得sin1674︒=（）AB．C．D．【答案】C 【解析】由题意可得：72ACB ∠=︒，且12cos BCACB AC ∠=所以22cos1442cos 72121︒=︒-=⨯-=⎝⎭所以()()sin1674sin 2344360sin 234sin 14490cos144︒=︒+⨯︒=︒=︒+︒=︒= 故选：C7. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-【答案】B 【解析】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=，因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，,DA DC BAD DAC ⊥∠=∠，M ，N 在线段AC 上，且AM AB =，N 是MC 的中点.设,AC d DAC α=∠=，则下列结论正确的是（）A ．||sin2AB d α=⋅ B ．2||cos NC d α=⋅ C ．2||(||)2dDC d AB =⋅- D ．||cos BD d α=⋅【答案】C 【解析】连接BC ，如图所示，易知AC 是圆的直径.因为BAD DAC α∠=∠=，所以2BAC α∠=. 在Rt ABC 中，||cos2AB d α=⋅，故选项A 不正确；在Rt ADC 中，||sin DC d α=⋅.又因为BAD DAC ∠=∠，所以||||sin DC BD d α==，故选项D 不正确；211||(||)(||)(1cos2)sin 222dNC d AM d AB d αα=-=-=⋅-=⋅，故选项B 不正确；因为BAD DAC ∠=∠，所以||BD DC =.又因为AM AB =，易知ADB △与ADM △全等，所以||||BD DM =，所以||DC DM =.又因为N 是MC 的中点，所以DN CM ⊥，所以Rt DNC Rt ADC ∽，所以||||||||DC NC AC DC =，所以2||||||(||)2d DC AC NC d AB =⋅=⋅-，故选项C 正确. 故选：C9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知sin 0,cos 0αα><，则（） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<【答案】C 【解析】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.二、多选题1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论不正确的是（） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若12()()4f x f x +=，则122()2x x k k Z ππ+=+∈D ．函数f (x )的最小值为－2 【答案】BCD 【解析】解：由题意可得：32cos (2,2)2cos sin cos 44()sin cos sin cos 2sin sin cos 52sin [2,2]44xx k k x x x f x x x x x x x x xx k k ππππππππ⎧∈-+⎪<⎧⎪=++-==⎨⎨⎩⎪∈++⎪⎩，函数图象如下所示故对称轴为4x k ππ=+，()k Z ∈，故A 正确；显然函数在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递减，故B 错误；当524x k ππ=+，()k Z ∈时函数取得最小值()min f x =D 错误；要使12()()4f x f x +=，则12()()2f x f x ==，则112πx k 或1122x k ππ=+，222x k π=或2222x k ππ=+，()12,k k Z ∈所以2122x x k ππ+=+或21x x k π+=， ()k Z ∈，故C 错误．故选：BCD ．2. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 2π5α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．2425【答案】AD 【解析】解: 因为π3cos 55α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π4sin 55α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，32ππsin 2πsin 2π2sin cos 5555αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以324sin 2π525α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭．故选: AD3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的图象向左平移π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的有（） A ．()g x 为奇函数 B ．()g x 的周期为4πC ．x R ∀∈，都有()()g x g x +π=π-D ．()g x 在区间24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且是小值为【答案】ABC【解析】将函数()2cos f x x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得y =2cos ,2x再将得到的图象向左平移π个单位长度，得()2cos 2sin 22x x g x π+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()()2sin 2sin 22x x g x g x ⎛⎫⎛⎫-=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 为奇函数，故A 正确；由周期公式2412T ππ==，所以()g x 的周期为4π，故B 正确；又()g x 在x π=时取得最小值2-，所以()g x 的图象关于直线x π=对称，故C 正确；令322222x k k ππππ++，解得43k x πππ++4,,k k Z π∈ 所以()g x 在区间[]4,34(k k k ππππ++∈Z )上单调递增，取0,k =得[],3,ππ 所以()g x 在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以最小值为()2g π=-，故D 错误.故选：ABC. 三、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc取得最小值时，a b c +的值为___________.【解析】由正弦定理将3cos 3cos 5sin b C c B a A +=变形可得 23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4cos 5A =，则由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则222228855b c bc a b c bc bc bc +-+==-28255bc bc -=≥，当且仅当b c =时，2a bc取得最小值25，故2225ab =，故a ，所以a b c +.故答案为:2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC sin sin b c B C ++的值为_______________.【答案】2 【解析】∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π）∴2A+6π=56π，可得A =3π∵b=1，△ABC∴S =12112c sinA ⨯⨯⨯=c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA3sin故答案为23. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】已知,αβ均为锐角，且2παβ+≠，若3sin(2)sin 2αββ+=，则tan()tan αβα+=________.【答案】5 【解析】由3sin(2)sin 2αββ+=，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以tan()5tan αβα+=.故答案为：5.4. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,22,a b a b a b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数()sin *cos f x x x =的值域为______.【答案】[0, 【解析】由22,22,a b a ba b b a a b -≥⎧*=⎨-<⎩，则函数52sin 2cos ,2,2,44()sin cos 52cos 2sin ,2,22,2244x x x k k f x x x x x x k k k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦=*=⎨⎛⎫⎛⎫⎪-∈+⋃++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩整理可得：()2sin cos |sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∣∣ 由[]sin 1,14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，得[]|sin 0,14x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∣，即sin 0,4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭∣ 所以()f x的值域为[0,.故答案为：[0,5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在ABC 中，14,6,cos 3AB BC B ===-，则ABC 的外接圆的半径等于___________.【解析】在ABC中，易求sin B =.又6,4BC AB ==，由余弦定理可得2222212cos 64264683AC BC AB BC AB B ⎛⎫=+⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭-，解得AC =设ABC 外接圆的半径为r，则由正弦定理，得2sin AC r B ==，所以r =.四、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】如图，在平面四边形ABCD 中，60ABC ∠=︒，75BAD BCD ∠=∠=︒，2BC =，CD =，连接AC .（1）求BD ；（2）设BAC α∠=，CAD β∠=，求sin sin αβ的值. 【答案】（1）2；（2【解析】解：（1）在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠222224=+-⨯⨯，所以2BD =；（2）由题意可得360150ADC ABC BAD BCD ∠=︒-∠-∠-∠=︒，在ACD △中，由正弦定理sin sin AC CDADC β=∠，在ABC 中，由正弦定理sin sin AC BCABC α=∠，两式相除可得：sin sin sin sin CD ABCBC ADCαβ∠⋅=∠，所以sin sin 2sin sin ABC BC ADC CD αβ∠=⋅∠所以sin sin αβ 2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos sin b c a B B +=.（1）求角A ；（2）若a =ABC 的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A B A B +=A B C π++=∴sin sin()C A B =+sin sin()sin cos sin B A B A B A B ++=化简得sin cos 1)0B A A --=sin 0B >，cos 1A A -=，可得：1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0A x <<∴3A π=（2）由已知a =1），根据余弦定理得2212cos 2b c A bc+-=，即2211222b c bc+-=， ∴2212bc b c =+-222b c bc +≥，12bc ≤（当且仅当b c =时取号）∴111sin 12222ABC S bc A bc ==⋅=△b c =时取号）3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形【解析】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒. (2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +，若2b c =，则a =， ∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】在①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，②2cos 222CC -=，③()sin sin sin a A b B c C +=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，sin sin A B 2c =，___________，求角C 及△ABC 的面积S .【答案】选择见解析；π6C =，1S =【解析】选①sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，因为sin sin 4sin sin b A a B c A B +=，所以由正弦定理得sin sin sin sin 4sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin 4sin sin sin B A C A B =，所以1sin 2C =，因为()0,πC ∈，所以π6C =或5π6C =. 若5π6C =，由sin sin A B = 而π6A <，π6B <，从而1sin sin 4A B <，矛盾，舍去.故π6C =，接下来求△ABC 的面积S .法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理得224πsin sin 6c R C ===， 2sin 4sin a R A A ∴==，2sin 4sin b R B B ==，16sin sin 4(1ab A B ∴==，111sin 4(11222ABCSab C ∴==⨯⨯=. 法二：由（1）得cos C =，即cos cos sin sin A B A B -=sin sin A B，cos cos A B ∴=1cos()cos cos sin sin 2A B A B A B ∴-=+=， 5π5π(,)66A B -∈-，π3A B ∴-=或π3B A -=，当π3A B -=时，又5π6A B +=，7π12A ∴=，π4B =，由正弦定理得π2sinsin 4πsin sin6c B b C ===117π1sin 2sin 122122ABC S bc A ∴==⨯==△当π3B A -=时，同理可得1ABCS =故△ABC的面积为1选②2cos 222CC -=，因为2cos 222C C -=，所以22cos 1cos )20C C --=，即22cos 30C C -=，(2cos 0C C +=，所以cos C =或cos C =，因为()0,πC ∈，所以π6C =. 以下同解法同①，选③()sin sin sin a A b B c C +=，由()sin sin sin a A b B c C +=及正弦定理得()22a abc +=，即222a b c +-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==0πC <<，π6C ∴=，以下解法同①.5. 【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠；（2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1；（2．【解析】（1）在ABC 中，π3ABC ∠=，3AB =，1BC =，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠ 2213123172=+-⨯⨯⨯=，所以AC = 由正弦定理得sin sin BC AC BAC ABC=∠∠，sin sin BC ABC BAC AC ⋅∠∠=== 在AOB 中，由正弦定理得sin sin OB OA BAC ABD=∠∠，即sin sin OB ABD OA BAC ⋅∠=⋅∠，同理，在AOD △中，sin sin OD ADB OA DAC ⋅∠=⋅∠．又因为sin sin OB ABD OD ADB ⋅∠=⋅∠，所以sin sin OA BAC OA DAC ⋅∠=⋅∠．所以sin sin DAC BAC ∠=∠= （2）在ADC 中，由正弦定理得sin sin CD AC DAC ADC=∠∠，=，所以1CD =．又由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅，即211722AD AD+--=，解得2AD =． S 四边形ABCD 11sin sin 22△△=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯∠ADC ABC S S AD AC DAC AB AC BAC ()1sin 2AC DAC AD AB =⨯∠⨯+=． 6. 【河北省衡水中学2021届高三下学期三调（新高考）】如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？【答案】（1）2【解析】(1)在Rt △PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1，∴AB在Rt △PAC 中，∠APC ＝30°，∴AC 在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°，∴BC1060(千米/时)． (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin ∠DCA＝sin(180°－∠ACB)＝sin ∠ACBsin ∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin ∠ACB·cos30°－cos ∠ACB·sin30°由正弦定理得AD 7. 【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】在①ABC 的外接圆面积为3π②ADC③BDC 的周长为5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答. 问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是AB 边上一点.已知13AD AB =，3sin sin 4A C =，cos23cos 1B B +=，若___________，求CD 的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；CD =【解析】解：因为cos23cos 1B B +=，所以22cos 3cos 20B B +-= 解得1cos 2B =或cos 2(B =-舍去)，所以在ABC 中,3B π=. 因为23sin sin sin ,4A CB ==所以2.b ac = 所以由余弦定理得22222cos b a c ac B a =+-=+2c ac -又2,b ac =所以2220,a c ac +-=即a c =，所以ABC 为等边三角形. 因为1,3AD AB = 所以在ADC 中，由余弦定理得CD== 选择条件①：由ABC 的外接圆面积为3,π得2R =所以sin 3aπ=所以 3.a =故CD =选择条件②：由ADC得ABC2=解得 3.a =故CD =选择条件③：由BDC的周长为5，得253a a += 所以 3.a =故CD =8. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小；（2）求ADE 的面积．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）在ABC 中，2,1AB AC BC ===，由余弦定理得2221cos 22AB BC AC ABC AB BC +-∠===-⨯．因为0ABC π<∠<，所以23ABC π∠=，从而233CBD ABD ππ∠=-∠=．（2）由3CBD ADB π∠==∠知，//BC AD ，所以BCE DAE ∽，所以12BC BE AD DE ==，所以2DE BE =．因为2BD =，所以43DE =．所以114sin 2sin 2233ADE S AD DE ADE π=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=．。

河北省衡水市2024高三冲刺(高考数学)苏教版真题(押题卷)完整试卷

河北省衡水市2024高三冲刺（高考数学）苏教版真题(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，，，恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．第(2)题一组数据，，…，满足（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（）A．方差变小B．平均数变大C．极差变大D．中位数变小第(3)题为圆（）内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．相切或相离第(4)题若函数既有极大值也有极小值，则（）A．B．C．D．第(5)题设，，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知圆半径是1，直线与圆相切于点，过点的直线与圆交于，两点，且点与点在直线的两侧，点为中点，若，则的最大值为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数（）在有且仅有三个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(8)题已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若非零函数对任意实数x，y均有，且当时．则（）．A．B．对任意实数x，都有C．为是增函数D ．当时，对时恒有，则实数第(2)题已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（）A．B．C．第5次取出的球是红球的概率为D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是第(3)题已知函数，则真命题有（）A．函数的最小正周期为B ．函数的图像关于点中心对称C ．是函数图像的一条对称轴D．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角为___________．第(2)题函数的最小正周期是_____，值域是________.第(3)题已知直线和曲线相切于点，则____________；若关于的方程恰有一个实数解，则实数取值的集合为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与均不重合）.(1)当点是棱的中点时，求证：直线平面；(2)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度.第(2)题某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．据统计显示，，，．(1)计算和的值，并判断A与B是否为独立事件；(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值．附：，其中．0.100.050.0100.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828第(3)题圆心为的圆与抛物线相交于A，B，C，D四个点．(1)求圆的半径r的取值范围；(2)当四边形ABCD面积最大时，求对角线AC与BD的交点P的坐标．第(4)题已知等差数列的公差，且，的前项和为．(1)求的通项公式；(2)若，，成等比数列，求的值．第(5)题已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．。

衡水数学高考知识点

衡水数学高考知识点高考是每位学生人生中的一次重要考试，而数学作为其中一门科目，也是学生们所关注的重点。

在高考数学中，衡水市的数学考试通常以知识点为主要考核内容。

为了帮助学生们更好地备考，以下是衡水数学高考的知识点及相关要点说明。

一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义与表示方法；- 函数的定义域、值域、图像与性质；- 常用数学函数的性质与图像特征。

2. 一次函数与二次函数- 一次函数的定义、性质及表示方法；- 一次函数的图像特征与应用；- 二次函数的定义、性质及表示方法；- 二次函数的图像特征与应用。

3. 幂函数与对数函数- 幂函数的定义、性质及表示方法；- 幂函数的图像特征与应用；- 对数函数的定义、性质及表示方法；- 对数函数的图像特征与应用。

4. 三角函数- 三角函数的定义、性质及表示方法；- 常用三角函数的图像特征与应用；- 三角函数的基本关系与解法。

5. 方程与不等式- 方程与方程组的基本概念与解法；- 一元二次方程与一元二次不等式的解法与应用；- 二元一次方程组的解法与应用。

二、空间与几何1. 空间几何与向量- 点、线、面的位置关系与性质；- 向量的表示与运算法则；- 几何图形的坐标表示与性质。

2. 三角形与多边形- 三角形的基本性质及判定条件；- 三角形内角和与三角形面积的计算；- 多边形的特性及分类。

3. 空间图形的投影- 空间图形的投影方法与性质；- 截体与截锥的投影特征。

4. 空间向量与直线与平面的位置关系- 空间直线与平面的交点与位置关系；- 空间向量与直线与平面的夹角计算。

三、概率与统计1. 概率与统计的基本概念- 事件与概率的定义与计算；- 统计调查与统计图表的制作与分析。

2. 随机变量与概率分布- 随机变量的基本概念与性质；- 离散型随机变量的概率分布；- 连续型随机变量的概率分布。

3. 统计分析与推断- 样本与总体的基本概念与表示方法；- 参数估计与假设检验的原理与方法；- 相关与回归分析的基本原理与应用。

衡水市高考数学知识点

衡水市高考数学知识点高考数学知识点数学作为高考科目之一，对于学生来说是必不可少的。

在高考中，数学占据了重要的比例，因此，熟练掌握数学知识点是取得高分的关键。

本文将以衡水市高考数学知识点为主题，探讨其中的几个重要知识点。

一、函数与方程函数与方程是数学中最基本的概念之一。

在高考数学中，函数与方程是一个非常重要的知识点。

其中，二次函数是高考数学中经常涉及到的一个重要概念。

二次函数的图像通常是一个抛物线，通过研究抛物线的开口方向、顶点坐标等特点，可以帮助我们解决一些与二次函数相关的问题。

另外，一次函数也是高考数学中常见的一个知识点。

一次函数的图像通常是一条直线，通过研究直线的斜率和截距，我们可以解决与一次函数相关的问题。

二、几何形状与空间几何几何形状与空间几何是高考数学中的重要组成部分。

其中，平面几何是我们最为熟悉的一个知识点。

我们可以通过研究平行线、垂直线、三角形、四边形等几何形状的性质，来解决与平面几何相关的问题。

另外，空间几何也是高考数学中的一个重要知识点。

我们可以通过研究立体图形的性质，如长方体、正方体、球体等，来解决与空间几何相关的问题。

三、概率与统计概率与统计是在我们日常生活中经常涉及到的数学概念。

在高考数学中，概率与统计也是一个重要的知识点。

通过研究样本空间、事件概率、统计分布等概念，我们可以解决与概率与统计相关的问题。

同时，统计学中的抽样调查也是高考数学中经常涉及到的一个知识点。

通过抽样调查，我们可以从一个庞大的数据中提取出代表性的样本，并通过样本推断总体的一些特征。

总结：在高考数学中，函数与方程、几何形状与空间几何、概率与统计等知识点是我们必须掌握的重点。

通过对这些知识点的研究与理解，我们可以更好地应对高考数学中的各类问题。

因此，我们应该在备战高考的过程中，注重强化对这些知识点的练习与掌握，从而提高自己的数学成绩。

衡水市高考数学知识点的学习与应用，不仅仅是为了在高考中取得好成绩，更是为了在日常生活中能够运用数学的思维方式解决实际问题。

衡中高三数学知识点总结

衡中高三数学知识点总结作为高三学生，我们每天都要面临各种大大小小的考试和竞赛，其中最重要的科目之一就是数学。

数学作为一门理科学科，对我们的思维能力和逻辑思维能力有着非常大的影响。

为了帮助大家更好地复习数学，我在这里对衡中高三的数学知识点进行一个总结，希望对大家有所帮助。

一、函数与方程1. 函数的概念和性质：函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

函数的定义域、值域和图像是我们研究函数的重要内容。

2. 一次函数和二次函数：一次函数是指次数为1的多项式函数，其图像为一条直线；二次函数是指次数为2的多项式函数，其图像为一条抛物线。

3. 指数函数和对数函数：指数函数是以一个常数为底数的幂函数，其特点是底数大于1时呈现增长趋势；对数函数则是指数函数的反函数，两者是对应关系。

4. 三角函数和反三角函数：三角函数是依赖于角的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等；反三角函数则是三角函数的反函数，可以用来求解角度。

二、解析几何与立体几何1. 直线和平面：直线是由一对不相重合的点确定的，平面是由三个不共线的点确定的。

直线和平面的交点和夹角是解析几何中常见的概念。

2. 圆和球：圆是平面上一组点集，球则是空间中一组点集。

圆和球的半径、直径和周长是我们需要了解的基本概念。

3. 向量的运算：向量是由大小和方向确定的量，可以进行加法、减法、数量积和向量积等各种运算。

4. 空间直线和平面的位置关系：空间中直线和平面的位置关系有相交、平行、垂直等几种情况，我们需要根据给定条件进行判断。

三、概率与统计1. 事件与概率：事件是指试验的某种结果，概率是事件发生的可能性大小。

我们可以通过概率的加法和乘法等原理来计算概率。

2. 随机变量与概率分布：随机变量是指随机试验结果的实数函数，概率分布则是随机变量取各个可能值的概率。

3. 抽样与统计推断：抽样是从总体中随机选择一部分样本进行分析，统计推断则是通过样本来对总体进行统计分析。

高考数学知识点衡水

高考数学知识点衡水衡水是我国一个著名的教育城市，以其严格的教学管理和高质量的培训而闻名。

在高考数学方面，衡水在教学内容和考试技巧上也有其独特之处。

本文将探讨衡水高考数学知识点的特点和重要性。

首先，衡水高考数学注重基础知识的扎实掌握。

无论是代数、几何还是统计概率，学生都需要掌握数学的核心概念和基本原理。

在衡水的数学教学中，老师们会花大量的时间和精力帮助学生理解和巩固这些基础知识，确保学生在高考中能够灵活运用它们。

其次，衡水高考数学注重实际问题的应用。

数学并非仅仅是一门理论学科，它也是一门实用的学科。

在高考数学中，衡水注重培养学生的实际问题解决能力。

学生们会接触到一些与生活和实际问题相关的数学题目，例如消费者价格指数、工程测量等，目的是培养学生的综合运用数学知识的能力，使他们能够在解决实际问题时运用数学的方法和思维。

此外，衡水高考数学凭借其严格的考试技巧培训而著称。

在高考中，时间非常宝贵，学生需要迅速准确地回答问题。

衡水的数学老师会针对不同类型的题目和考试形式，教授学生相应的解题方法和技巧。

例如，在解答选择题时，老师会教学生注意排除干扰选项，帮助学生准确判断答案；而在解答计算题时，老师会教学生合理安排计算顺序，以减少出错的机会。

这些考试技巧的训练对学生来说至关重要，可以提高他们的答题效率和准确性。

衡水高考数学的知识点和教学方法也引发了一些争议。

有人认为，过于强调基础知识和应用能力可能会牺牲学生的创造力和思维发展。

他们认为，数学是一门较为抽象的学科，更应该注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

但是，衡水的数学教学方法在实践中取得了良好的效果，众多学生通过衡水的教育获得了优异的高考成绩，进入了名牌大学。

综上所述，衡水高考数学知识点的特点在于强调基础知识的扎实掌握、实际问题的应用和考试技巧的培训。

这些特点使得衡水的学生在高考中取得出色的成绩。

然而，我们也应该认识到数学教育的本质是培养学生的思维能力和创造力，而不仅仅追求分数的高低。

衡水高三知识点汇总

衡水高三知识点汇总衡水高三学生在备战高考的过程中，需要将所学知识进行系统地总结和整合，以便提高复习效率和成绩。

本文将对衡水高三各个科目的重要知识点进行汇总，为学生们提供一个便捷的复习参考。

语文知识点汇总：1. 古文阅读：重点复习唐诗、宋词等文学作品，理解古代文化和文学语言特点。

2. 现代文阅读：掌握议论文的写作技巧，如论证和举例，并注意文章结构的合理性。

3. 作文写作：分析社会热点问题，提炼有力观点，并运用合适的修辞手法进行表达。

数学知识点汇总：1. 函数与方程：理解函数的概念与性质，掌握各类函数的图像、性质和应用。

2. 三角函数：掌握三角函数的定义、性质和相关的常用公式，理解其在几何和物理中的应用。

3. 统计与概率：掌握概率的基本概念和计算方法，理解统计的基本原理和数据处理技巧。

英语知识点汇总：1. 词汇与语法：记忆和巩固常用单词和短语，熟练掌握英语语法的基本规则，如时态、从句和被动语态等。

2. 阅读理解：培养阅读理解能力，通过多种题型的练习提高阅读速度和准确性。

3. 写作技巧：学习不同类型的写作格式和写作技巧，如记叙文、议论文和图表描述等。

物理知识点汇总：1. 运动学：熟悉物体运动的基本概念和运动学公式，理解加速度和匀变速运动的规律。

2. 力学：掌握牛顿三定律、万有引力定律等重要的力学原理，能够解决弹性、摩擦和平衡等力学问题。

3. 电磁学：理解电磁感应、电路和电磁波等电磁学的基本概念和应用。

化学知识点汇总：1. 元素与化合物：掌握元素周期表中各个元素的性质和化合物的命名、化学式表述等。

2. 化学反应：了解化学反应的基本概念和反应类型，熟悉酸碱中和和氧化还原等常见反应。

3. 物质变化：理解物质的物态变化，如固液气相变和溶解等，掌握一些物质分离和纯净化的方法。

生物知识点汇总：1. 细胞生物学：了解细胞的结构和功能，包括细胞膜、细胞器和细胞分裂等重要概念。

2. 遗传学：掌握遗传的基本原理，了解基因的结构和遗传变异的形式。

河北省衡水市2024高三冲刺(高考数学)部编版考试(强化卷)完整试卷

河北省衡水市2024高三冲刺（高考数学）部编版考试(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知（为虚数单位），则（）A．2B．1C．D．第(2)题已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（）A．单调递增B．单调递减C．有极大值D．有极小值第(3)题已知是定义在R上的奇函数，当时，.对于任意不小于2的正整数n，当时，都满足.给出以下命题：①的值域为；②当时，；③当时，方程有且只有三个实根.以上三个命题中，所有真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③第(4)题已知，则z的虚部为（）A．－2i B．－2C．2D．2i第(5)题若为空间中两条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则第(6)题若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(7)题已知函数（，）在区间内有唯一零点，则的最大为（）A．B．C．D．第(8)题如图，已知正方体中，为平面内一动点，到底面的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是（）A．直线B．圆C．抛物线D．椭圆二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（）数学近三年难易程度对比A．近三年容易题分值逐年增加B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是年C．年的容易题与中档题的分值之和占总分的以上D．近三年难题分值逐年减少第(2)题如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n行n列，表示第i行第j列的数，比如，，则（）234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………………………………………A．B．数字65在这个数阵中出现的次数为8次C．D．这个数阵中个数的和第(3)题已知复数，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则或C．若且，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题命题“，”的否定为______．第(2)题已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______.第(3)题已知，是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：123454911其回归直线过点，则，满足的条件是______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求第(2)题已知函数．(1)若恒成立，求实数的最小值；(2)证明：有且只有两条直线与函数的图象都相切．第(3)题如图所示，定点到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线.（1）请以线段所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；（2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.（3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：.第(4)题随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型，为了测试A、B两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用黄瓜做对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数达到45及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成频率分布直方图，其中质量指标值分组区间是，，，，.(1)分别求A实验区黄瓜质量指数的平均数和中位数；（每组数据以区间的中点值为代表，结果保留小数点后一位有效数字）(2)请根据题中信息完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用肥料有关.A有机肥料B有机肥料合计质量优等质量非优等合计，其中n＝a＋b＋c＋d，0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828第(5)题已知抛物线上一点到焦点的距离为2，点到轴的距离为．(1)求抛物线的方程；(2)过的直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线交直线（是坐标原点）于，过作直线的垂线与抛物线的另一交点为，直线与交于点．求的取值范围．。

衡水高三知识点

衡水高三知识点衡水高三学习生活紧凑，内容繁杂，知识点众多。

以下是衡水高三学生必须掌握的知识点的综合总结。

一、数学知识点1. 代数与函数- 一次函数和二次函数的性质与图像- 指数函数、对数函数的定义及其性质- 复数的概念与运算- 三角函数的定义、性质及其图像- 二次函数与指数函数的联立方程解法2. 数列和数学归纳法- 等差数列和等比数列的概念与性质- 调和数列、斐波那契数列的定义及应用- 数学归纳法的基本思想和运用3. 几何与向量- 三角形的面积、高线定理和角平分线定理- 向量的定义、运算规则及其应用- 圆锥曲线和参数方程4. 概率与统计- 事件与概率的定义及其基本性质- 排列与组合的计算- 统计中的抽样方法和数据分析二、物理知识点1. 力学- 牛顿力学的基本定律和运动规律- 弹性力、摩擦力和重力等力学概念- 力的合成与分解- 动量、动能和功的计算方法2. 热学- 温度与热量的定义及其计量单位- 热传导、热传递和热容的概念- 热力学定律与热效率的计算3. 光学- 光的传播规律和光的反射、折射、色散现象- 光的波动性和粒子性的概念- 光的成像公式和光学仪器的工作原理4. 电磁学- 电场和电势的概念及其计算方法- 磁场和磁感应强度的概念- 电磁感应和电路的基本原理- 电磁波的性质和应用三、化学知识点1. 物质的组成与结构- 原子、分子和离子的概念及其相互转化关系- 元素周期表及元素周期律的应用- 化学键的类型和性质2. 有机化学- 碳的特殊性质及其基本组成形式- 烃类和卤代烃的分类与性质- 醇、酮、醛、酸等有机官能团的识别和反应3. 化学反应- 化学反应方程式的平衡与制备- 酸碱中和、氧化还原等化学反应的原理与应用4. 化学计算- 摩尔质量、摩尔浓度和化学方程式的计算- 气体的摩尔体积和理想气体状态方程的应用四、英语知识点1. 词汇与语法- 基本词汇的拼写、词形变化和用法- 语法知识点的运用和句子结构的优化- 短语搭配和常见句型的灵活运用2. 阅读与写作- 阅读理解题型的解题技巧和答题方法- 写作技巧和常用的写作模板- 阅读和写作中的常见错误及其改正方法3. 听力与口语- 听力材料的听写和听力题型的解答技巧- 口语表达中的常用词汇和句式- 视听材料的分析和口语回答的规范化要求综上所述，衡水高三学生需要掌握的知识点众多，需要在课外加强练习与复习。

河北省衡水市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)真题(巩固卷)完整试卷

河北省衡水市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）真题(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数，例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则该数列前5项的和为（）A．124B．155C．186D．217第(2)题已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若，则=A．B．C．D．第(3)题某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，则至少有1名女生当选的不同的选法有（）A．27种B．48种C．21种D．24种第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线第(6)题函数的零点为（）A．B．2C．D．第(7)题已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（）A．1－3i B．3－i C．3＋i D．－1＋3i第(8)题已知，，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某校研究性学习小组根据某市居民人均消费支出的统计数据，制作年人均消费支出条形图（单位：元）和年人均消费支出饼图（如图）.已知年居民人均消费总支出比年居民人均消费总支出提高，则下列结论正确的是（）A．年的人均衣食支出金额比年的人均衣食支出金额高B．年除医疗以外的人均消费支出金额等于年的人均消费总支出金额C．年的人均文教支出比例比年的人均文教支出比例有提高D．年人均各项消费支出中，“其他”消费支出的年增长率最低第(2)题如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，，则（）A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为C．椭圆的标准方程可以是D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为第(3)题已知函数，则（）A．B．若有两个不相等的实根、，则C．D．若，x，y均为正数，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题数列的前n项和为，，，则＝__．第(2)题已知抛物线，直线，若抛物线C上存在两不同的点A，B关于直线l对称，则实数m的取值范围为___________.第(3)题已知直线与曲线相切，则m的值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，不等式的解集为．(1)求；(2)证明：当时， .第(2)题如图1，菱形的边长为，，与交于点，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，；(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.第(3)题李老师在某大学连续三年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课三年来学生考试成绩分布：成绩人数105010025015040（1）求这三年中学生数学考试的平均成绩和标准差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）请估计这三年中学生数学考试成绩的中位数.附：.第(4)题若函数(M＞0，＞0，0＜＜)的最小值是﹣2，最小正周期是2，且图象经过点N(，1).（1）求的解析式；（2）在△ABC中，若，，求cosC的值.第(5)题我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.。

河北省衡水市2024高三冲刺(高考数学)部编版测试(押题卷)完整试卷

河北省衡水市2024高三冲刺（高考数学）部编版测试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则A．B．C．D．第(2)题若集合，，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别为线段AC1，CB1上的动点，且，则以下结论错误的是（）A．MN//平面ABCDB．平面MNC1⊥平面BB1C1CC．∃k∈（0，+∞），使得MN⊥平面BB1C1CD．∃k∈（0，+∞），使得MN//平面AA1B1B第(4)题在中，已知，，，则（）A．1B．C．D．3第(5)题有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（）A．B．C．D．第(6)题若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（）A．5B．C．D．第(7)题在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论正确的是（）A．是偶函数B．是单调递增函数C．方程有唯一解D．恒成立第(8)题已知，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题对于函数，下列说法正确的是（）A．在上单调递减，在上单调递增B．当时，C．若函数有两个零点，则D．设，若对，，使得成立，则第(2)题已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则（）A． .B．C．D．第(3)题如图，已知点为正十边形的中心，且，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线E：的一个焦点与抛物线C：的焦点相同，则双曲线E的渐近线方程为___________.第(2)题已知函数，下面四个结论：①的图象是轴对称图形；②的图象是中心对称图形；③在上单调；④的最大值为．其中正确的有______________．第(3)题已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)设，，求和的值．第(2)题帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，.其中，，…，.已知在处的阶帕德近似为.(1)求实数a，b的值；(2)设，证明：；(3)已知是方程的三个不等实根，求实数的取值范围，并证明：.第(3)题（1）求证：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围．第(4)题在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率．第(5)题已知等差数列满足：，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．。

河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题1. 关于x ，y的方程组，没有实数解，则实数a 的值是（）A ．4B ．2C．D．2. 西安中学抗疫志愿者小分队中有3名男同学，2名女同学，现随机选派2名同学前往社区参加志愿服务活动，在已知抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是（）A．B．C．D．3. 顺次连接点，，，所构成的图形是（）A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形4. 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（）A． B．C． D．5.在同一坐标系中画出与的图像是（）A ．①③B ．②④C ．②③④D ．①②③④6. 若数列满足：，，，则的值为（）A ．1B．C ．2D ．220127.已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A．正三棱柱外接球的表面积为B ．若直线与底面所成角为，则的取值范围为C ．若，则异面直线与所成的角为D ．若过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为8. 已知椭圆，直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，下列说法正确的是（）A．的取值范围为B．以为直径的圆与相离C ．若，则的斜率为D ．若弦的中垂线与长轴交于点，则为定值河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(高频考点版)河北衡水中学2023届高三模拟数学试题(高频考点版)四、解答题9. 若关于x的方程无实根，则实数a 的取值范围为__________.10. 函数的值域为___________.11. 菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为______．12.若点到原点和的距离比，则点的轨迹是个圆，那么此圆的半径_________；的最大值为_______.13. 已知椭圆E ：的左焦点为，离心率.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆E 上在第一象限有一点P 的横坐标为，点M ､N 是椭圆E 上异于点P 的不重合的两点，且，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.14. 已知函数是定义在上的奇函数，其图象经过点，，当时，．(1)求，的值及在上的解析式(2)请在区间和中选择一个判断的单调性，并证明．15. 在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)请问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.16. 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在岁以下的客户中抽取位归为组，从年龄在岁（含岁）以上的客户中抽取位归为组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成如下茎叶图:注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)分别求出组客户与组客户“实际平均续航里程数”的平均值；(2)在两组客户中，从“实际平均续航里程数”大于的客户中各随机抽取位客户，求组客户的“实际平均续航里程数”不小于组客户的“实际平均续航里程数”的概率(3)试比较两组客户数据方差的大小.（结论不要求证明）。

河北省衡水市部分重点高中2023届高三二模数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 已知复数是纯虚数，是实数，则（）A ．－B ．C ．－2D ．22. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n +1>S n ”是“{a n }单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有600名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（）A ．参加社团的同学的总人数为600B ．参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15%C ．参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人D ．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.354.定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（）A．B．C．D．5. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．B．C．D．6.已知集合，则（）A．B．C．D．7. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A．B．C．D．8.已知函数，则函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．9. 点在抛物线上，为其焦点，是圆上一点，，则下列说法正确的是（）A．的最小值为.B ．周长的最小值为.C．当最大时，直线的方程为.D ．过作圆的切线，切点分别为，则当四边形的面积最小时，的横坐标是1.10. 已知为坐标原点，椭圆.过点作斜率分别为和的两条直线，，其中与交于两河北省衡水市部分重点高中2023届高三二模数学试题(高频考点版)河北省衡水市部分重点高中2023届高三二模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题点，与交于两点，且，则（）A．的离心率为B．C．D ．四点共圆11. 已知点是抛物线上过焦点的两个不同的点，O 为坐标原点，焦点为F ，则（）A ．焦点F 的坐标为（4，0）B．C．D．12. 人口问题始终是战略性、全局性的问题.年末我国人口比上年末减少万人，为年来的首次人口负增长，其中生育率持续降低受到了人们的广泛关注.为促进人口长期均衡发展，国家制定了一系列优化生育政策：年正式全面开放二胎；年实施三孩生育政策，并配套生育支持措施.为了了解中国人均（单位：万元）和总和生育率以及女性平均受教育年限（单位：年）的关系，采用近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（）A．人均和女性平均受教育年限正相关B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关C．D ．未来三年总和生育率将继续降低13. 函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．14.已知点，，若，则点P到直线距离的最小值为______．15. 已知函数为偶函数，当时，，且，则_______．16. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，且，为边上一点.(1)若是的中点，且，，求的最短边的边长.(2)若，，求的长；17.已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若曲线与有两条公切线，求的取值范围．18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.(1)求的值；(2)求边c的长.19. 已知函数．（1）若函数f(x)在定义域上单调的，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于，求实数a的取值范围20. 某地区积极发展电商，通过近些年工作的开展在新农村建设和扶贫过程中起到了非常重要的作用，促进了农民生活富裕，为了更好地了解本地区某一特色产品的宣传费(千元)对销量(千件)的影响，统计了近六年的数据如下：年份代号123456宣传费（千元）2456810销量（千件）3040605070利润（千元）407011090160205(1)若近6年的宣传费与销量呈线性分布，由前5年数据求线性回归直线方程，并写出的预测值；(2)若利润与宣传费的比值不低于20的年份称为“吉祥年”，在这6个年份中任意选2个年份，求这2个年份均为“吉祥年”的概率附：回归方程的斜率与截距的最小二乘法估计分别为，，其中，为，的平均数.21. 已知函数与，若对于任意一点，过点作与轴垂直的直线，交函数的图像于点，交函数的图像于点，定义：，若则用函数来拟合与之间的关系更合适，否则用函数来拟合与之间的关系.(1)给定一组变量,对于函数与函数，试利用定义求的值，并判断哪一个更适合作为点中的与之间的拟合函数;(2)若一组变量的散点图符合图像，试利用下表中的有关数据与公式求对的回归方程, 并预测当时，的值为多少.表中的（附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为）。

河北衡水重点中学高三数学一轮复习---二项式定理例题讲解

解：（1）设
，
其各项系数和为．
又∵ ，
∴各项系数和为．
（2）设，
∴ ，，故，，
∴ 展开式中的偶次幂各项系数和为1，奇次幂各项系数和为-1．
三．课堂练习：
1．当且时，（其中 ,且），则的值为(A）
0 1 2 与有关
2．用88除，所得余数是（）
0 1 8 80
3．求展开式里的系数为_－168_____．
4．如果，则 _128____．
5. =___ ____．
6. 展开式中含的项为___ ______
7．若 ,则 ___ ________.
8．若的展开式中只有第6项的系数最大，则不含的项为（C）
462 252 210 10
9．求满足的最大整数．
原不等式化为n·2n-1＜499
∵27=128，∴n=8时，8·27=210=1024＞500．
（4）
（5）
例4．（1）证明能被整除( )．
（2）除以100的余数为．
证明： ∵ 是整数，∴ 能被64整除．
例5．（1）求精确到0.001的近似值为31.920
（2）求的近似值，使误差小于．
解：
例6．(1)求多项式展开式各项系数和．
(2)多项式展开式中的偶次幂各项系数和与奇次幂各项系数和各是多少？
二项式定理典例讲解
一．学习目标：
1．能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和．
2．能熟练地逆向运用二项式定理求和．
3．能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式。
二、典型例题
例1、（1）求的展开式中，的系数。、
（2）的展开式中的常数项是