28.1锐角三角函数精品课件

如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
A
┌ C
边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站， 境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成 角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需 探 要准备多长的水管？ 究 B 情
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45° 时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2 是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
1、如图,在Rt△ABC中,锐角A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值
（ ）
A.扩大100倍 C.不变
B.缩小100倍 D.不能确定 A
C
B
C
2、下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出
∠A和∠B的对边、邻边.
AC (AD ) ( ) CD 2 tanB AC BC ( BD )

所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
BC AB , B ' C ' A' B '
BC B' C' 即 . AB A' B '
探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， B 即
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
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例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 3 ，求cosA和tanB的值． BC=6， sin A 5
BC 解： sin A ， AB BC 5 AB 6 10. sin A 3 又AC AB BC 10 6 AC 4 AC cos A ， tan B AB 5 BC
1 tanA
BC CD
D
B
A
C
1.（2011· 湖州中考）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，
AC=2，则tanA的值为( )
A.2 B．
1 C． 2
D．
5 5
2 5 5
【解析】选B.根据正切的函数定义，角A的正切应是它的对边与邻边的 比，所以B是正确，A是∠B的正切；C和D都错．
余弦（cosine），记作cosA， 即
B 斜边c A 对边a C
A的邻边 b cos A 斜边 c
邻边b
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切（tangent），记作tanA， 即
A的对边 a tan A A的邻边 b
注意
cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的 符号“∠”； cosA，tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、 对边与邻边的比； cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表 示“tan”乘以“A”
求sinA就是 要确定∠A的对 边与斜边的比； 求sinB就是要确 定∠B的对边与 斜边的比
B
练习
3 A
1、如图，求sinA和sinB的值．
5
C
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
4 和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____. 5
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
2 上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___. 2
1 2 3 sin 30 ,sin 45 ,sin 60 2 2 2
复习与探究：
B c A b a C
在 Rt ABC中， C 90
1.锐角正弦的定义
∠A的正弦： s inA
A的 对 边 BC a 斜边 AB c
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？
28.1锐角三角函数（2）
——余弦 正切
正弦
如图：在Rt △ABC中，∠C＝ 90°，sinA A的对边 a 斜边 c
1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角. 2、sinA是一个比值（数值）. 3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长 无关. 特殊角的正弦函数值
惯省去“∠”符号；
3.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形 的边长无关.
在Rt△ABC中
sinA
A的对边 a A的斜边 c A的的邻边 b A的的斜边 c A的的对边 a A的的邻边 b
cosA
tanA
28.1锐角三角函数（3）
B
A的 对 边 BC a s in A 斜边 AB c
5
A Ｃ
B
8、如图2：P是平面直角坐标系上 的一点，且点P的坐标为（3,4），
y
A P( 3 , 4 )
则sin =
4 5
O

x
4 9、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ， 5 求△ABC 的面积。
B
5
5
A
C
练一练 10.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍，sinA的值（ C ）
A的对边 a sin A 斜边 c
斜边 A
c
b
a 对边 C
例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2

在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正 弦，记号里习惯省去角的符号“∠”； sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比； sinA不表示“sin”乘以“A”。
距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝α ， 那么AB等于（ A.a·sinα C.a·cosα ） B.a·tanα D.
a tan
A
a
α
C
B
【解析】选B.在Rt△ABC中，tanα=
AB AC
所以AB=a·tanα
【规律方法】 1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形)； 2.sinA,cosA是一个完整的符号,表示∠A的正弦、余弦,习
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B 3 5 A B
试着完成图（2）
13
C
4 C
(1)
(2)
A
解：如图（ 1 ），在RtABC中， AB AC2 BC 2 4 2 32 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ， sin B . AB 5 AB 5
C
D E
A.(
5 3 3 )m 3 2
3 B.(5 3 )m 2
C.
5 3 m 3
D.4m
4．（2010·怀化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 则cosB的值等于（ B ）
3 A. 5 4 B. 5 3 C. 4
5 D. 5
4 5
5.（2010·东阳中考）如图，为了测量河两岸A.B两点的
延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值 有什么规律吗？ 结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的 余弦等于它余角的正弦。
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练习
课本P78 练习1，2，3. 补充练习 1、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6， 求sinB，cosB，tanB.
A.扩大100倍
C.不变 11. A B 3
1 B.缩小 100 D.不能确定
1 2 sinA=______
则 C
.
300
7
回味
无穷 B 斜边 ∠A的对边 A ┌ C
1.正弦的定义: sinA=
∠A的对边 斜边
1 2. Sin30° = 2
2 sin45°= 2
sin60°=
3 2
3.sinA是∠A的函数. 4.sinA是线段之间的一个比值 ，sinA没有单位
斜边c
∠A的对边a
A的 邻 边 AC b c os A 斜边 AB c A的对边 BC a tanA 邻边 AC b
A
C
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？ 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB的长. B
根据“在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜 A 边的一半”，即
A的对边 BC 1 . 斜边 AB 2
2.（2010· 黄冈中考）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ 4 则tanB＝（ ） 5 B
4 3 3 4 B. C. D. 3 4 5 5 3.（2010· 丹东中考）如图，小颖利用有一 个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度， 已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为 30 1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那 A ° 么这棵树高是（ A ） B A.
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A的对边 a sin A 斜边 c A的邻边 b cos A 斜边 c A的对边 a tan A A的邻边 b
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 数。
C
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的 水管。
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
B' B 30m A C 50m C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比
1 值都等于 。 2
如图，任意画一个Rt△ABC， A 使∠C＝90°，∠A＝45°，计 算∠A的对边与斜边的比 BC ， AB 你能得出什么结论？ C
A
B
D
C
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补充练习
A
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB B ＝90°，AC=12，AB=13， ∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和 M 点B到直线MC的距离．
C
3、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， 2 求证： C
BC AB BD.
A D B
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2 2 2
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B
6 C
A
2
8, 4 . 3
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2， AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． 3 解：在RtABC中，
AC AB2 BC 2 32 2 2 5 ,
A
B 2
C
BC 2 AC 5 BC 2 2 5 sin A ， cos A ， tan A . AB 3 AB 3 AC 5 5 AC 5 BC 2 AC 5 sin B ， cos B ， tan B . AB 3 AB 3 BC 2
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝
90°，∠A＝∠A‘＝

系．你能解释一下吗？
B
B' C ' BC ，那么 与 有什么关 A' B ' AB
B'
A
C
A'
C'
由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝
新知探索: 1、你能将“其他边之比”用比例的 B 式子表示出来吗？这样的比有多少？
c A b a C
b c
a b
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A 的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并 说出理由。
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
a 3 4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, , b 3
则sin∠A=___.
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的（ B ）．
A．
ຫໍສະໝຸດ Baidu15 15
1 B. 4
2 2
1 C. 3
15 D. 4
6.若sin（65°-∠A)=
,则∠A= 20°
7.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， 3 sinB= ， BC的长是 8 ．