白底平面汇交力系和平面力偶系
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理论力学基础 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面力系
二、平面汇交力系的合成与平衡条件的矢量表示
汇交力系的合成结果
第 一
汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共
节 作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边
平 形的封闭边表示。
n
面 汇 交 力
R = F1+ F2+ F3+ ···+ Fn Fi
i 1
汇交力系平衡的充要几何条件：
、 平
可以改装。
面 力
4.力偶不能合成为一个力，力偶只能用力偶来平衡。
偶
四、平面内两力偶等效条件
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的 大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第二章 平面力系
五、平面力偶系的合成与平衡条件
第
二
节
M1, M2 ,Mn; 任选一段距离d
系
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和
等于零。
F 0
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第二章 平面力系
例题 一
第
一 节
已知：
P=20kN，
R=0.6m,
平
h=0.08m
面
汇
求：
交
力 系
第2章平面汇交力系与第3章平面力偶系
F Fx Fy
X Fx cos F F
2 2
Y Fy cos F F
2- 5
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx X 1 X 2 X 4 X
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
Rx X
Ry Y
② F↑,d↑转动效应明显。
③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
④单位Nm，工程单位kgfm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
2-12
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和 n 即：
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
=？ 地面的反力ND=？
X 0
由①得
T2cos T10 ①
②
Y 0T2 sin Q N D 0
1 cos T P 1 T2 2P 2
600
0
由②得
ND Q-T2sin Q-2Psin 60 Q 3P
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有：
od=ob+oc
M o ( F1 )2oABoAob M o ( F2 ) 2oACoAoc M o ( R ) 2oADoAod 现mo ( R ) mo ( F1 ) mo ( F2 )证毕
X Fx cos F F
2 2
Y Fy cos F F
2- 5
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx X 1 X 2 X 4 X
Ry Y1 Y2 Y3 Y4 Y
Rx X
Ry Y
② F↑,d↑转动效应明显。
③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
④单位Nm，工程单位kgfm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
2-12
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和 n 即：
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
=？ 地面的反力ND=？
X 0
由①得
T2cos T10 ①
②
Y 0T2 sin Q N D 0
1 cos T P 1 T2 2P 2
600
0
由②得
ND Q-T2sin Q-2Psin 60 Q 3P
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
[证] 由合力投影定理有：
od=ob+oc
M o ( F1 )2oABoAob M o ( F2 ) 2oACoAoc M o ( R ) 2oADoAod 现mo ( R ) mo ( F1 ) mo ( F2 )证毕
平面汇交力系和平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。 1、平面汇交力系的合成
先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系1F ，2F ，3F
汇交于O （图1），由静力学公理3：
力的平行四边形法则（力的三角形）可作图2，说明)(),,(321F F F F
=如图和图所示，其中321F F F F ++=
F
2
F 3
F O
F
O
1
F 2
F 3
F
12F
讨论：1）图2中的中间过程12F 可不必求，去掉12F 的图称为力多边形，由力多边形求合力
大小和方向的方法称为合力多边形法则。
2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。 3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。
结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即：
∑=i F F
用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。
2．平面汇交力系的平衡
1
F 2
F i
F 2
-n F 1-n F n F
设作用在刚体上的汇交力系),,(21n F F F 为平衡力系，即 0),,(21≡n F F F
先将121,,-n F F F 由力多边形法合成为一个力1-N F
，（∑-=-=11
1n i i N F F ）
0),(),,(121≡≡-n N n F F F F F
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系
第二章-1 平面汇交力系与平面力偶系
一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。）
2-1 平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是：力多边形自行封闭。（√）
2-2 力在某一固定面上的投影是一个代数量。（×）
2-3 两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也相等。（×）
2-4 一个力不可能分解为一个力偶；一个力偶也不可能合成一个力。（√）
2-5 力偶无合力、不能用一个力来等袒代替，也不能用一个力来平衡；（√）
2-6 力偶无合力，也就是说力偶的合力等于零。（×）
2-7 力偶矩和力对点之矩本质上是二样的，讲的是一回事。（×）
2-8 力偶的作用效果取决于力偶矩的大小和转向。（√）
2-9 只要两力偶的力偶矩代数值相等，就是等效力偶。（√）
2-10 力偶中的两个力对同平面内任一点之矩的代数和等于力偶矩。（√）
2-11 力偶只能用力偶来平衡。（√）
2-12 平面力偶系可简化为一个合力偶。（√）
2-13 力偶可任意改变力的大小和力偶臂的长短。（×）
2-14 力偶的两力在其作用面内任意轴上的投影的代数和都等于零。（√）
2-15 若两个力F1、F2在同一轴上的投影相等，则这两个力相等，即F1 = F2。（×）
2-16 若两个力F1、F2大小相等，则在同一轴Ox上投影相等，即F1x = F2x。（×）
2-17 若两个力F1、F2大小、方向、作用点完全相同，则这两个力在任一轴上的投影相等。（√）
2-18 若两个力大小相等、方向相反，则在任一轴Ox上的投影大小相等。（√）
2-19 若两个力平行，则它们在任一轴上的投影相等。（×）
平面汇交力系与平面力偶系
=
=
第二章
平面汇交力系与平面力偶系
M ( F , F ′ ) = Fd = 2∆ABC ′ M ( FR , FR ) = FR d1 = 2∆ABD
∆ABC ? ∆ABD
∆ABC = ∆ABD
第二章
平面汇交力系与平面力偶系
=
=
=
=
第二章
平面汇交力系与平面力偶系
两个力偶等效的条件是：两个力偶的力偶矩相等。 两个力偶等效的条件是：两个力偶的力偶矩相等。 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。 4、力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。 力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此： 力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：力偶不 能与一个力等效，也不能与一个力平衡。 能与一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶是一种简单 力系。 力系。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章
平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法 力对点之矩的概念和计算 平面力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡
第二章
平面汇交力系与平面力偶系
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
力多边形规则
一.多个汇交力的合成
平面汇交力系是指各力的作 平面汇交力系是指各力的作 用线都在同一平面内且汇交于一 点的力系。 点的力系。
dA
平面汇交力系与平面力偶系_OK
31
2.1平面汇交力系合成的几何法 及平衡的几何条件
( 二 )、任意个共点力的合成
F2 F1
Байду номын сангаас
F3 F4
F3
F4
F2
F1
F2
F3
F4
力多边形矢序规则：分力矢沿环绕力多边形边界
的某一方向首尾相接，而合力FR则沿相反方向32连 接力多边形的缺口。
F1 F3
Fn
F2
FR Fi
平衡的几何条件
平衡的必要和充分条件 ： 力多边形自行封闭
82
选择题： 1、图示半径为r的鼓轮，作用力偶m，与鼓轮
左边重P的重物使鼓轮处于平衡。 （1）轮的状态表明（）；
A、力偶可以与一个力平衡 B、力偶不能与力偶平衡 C、力偶只能与力偶平衡 D、一定条件下，力偶可以
与一个力平衡
83
选择题： 1、图示半径为r的鼓轮，作用力偶m，与鼓论
左边重P的重物使鼓轮处于平衡。 （2）鼓轮的平衡条件是（）
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系是指作用于物体上的各力 的作用线位于同一平面内且汇交于一点 的力系。
30
2.1平面汇交力系
合成与平衡的几何法
F1
FR
(一) 两个共点力的合成
F2
力三角形的矢序规则：分力矢 F1 F2 沿三
角形某一边界的某一方向首尾相接，而合
2.1平面汇交力系合成的几何法 及平衡的几何条件
( 二 )、任意个共点力的合成
F2 F1
Байду номын сангаас
F3 F4
F3
F4
F2
F1
F2
F3
F4
力多边形矢序规则：分力矢沿环绕力多边形边界
的某一方向首尾相接，而合力FR则沿相反方向32连 接力多边形的缺口。
F1 F3
Fn
F2
FR Fi
平衡的几何条件
平衡的必要和充分条件 ： 力多边形自行封闭
82
选择题： 1、图示半径为r的鼓轮，作用力偶m，与鼓轮
左边重P的重物使鼓轮处于平衡。 （1）轮的状态表明（）；
A、力偶可以与一个力平衡 B、力偶不能与力偶平衡 C、力偶只能与力偶平衡 D、一定条件下，力偶可以
与一个力平衡
83
选择题： 1、图示半径为r的鼓轮，作用力偶m，与鼓论
左边重P的重物使鼓轮处于平衡。 （2）鼓轮的平衡条件是（）
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系是指作用于物体上的各力 的作用线位于同一平面内且汇交于一点 的力系。
30
2.1平面汇交力系
合成与平衡的几何法
F1
FR
(一) 两个共点力的合成
F2
力三角形的矢序规则：分力矢 F1 F2 沿三
角形某一边界的某一方向首尾相接，而合
第二章1平面汇交力系与平面力偶系
F 1 0 k N B
例3 曲柄冲压机如图所示,冲压工件时冲头B受到工件的阻力Q=30kN.试求当=12º 时连杆AB所受的力及导轨的约束反力.
}
各力的汇交点
解：（1）根据题意，选取冲头B为研究对象 （2）画受力图 作用于冲头B上的力有工件的阻力Q，导轨
的约束反力N，连杆AB给冲头的力SAB。冲头B的受力是一个平 面汇交平衡力系 （3）列平衡方程 选坐标轴如图所示。由平衡方程得：
FR F23 F1 F12 F2
F4
FR
F4
F2 F4
FR
F3
F1 F2
F3
F1
F3
力的三角形法
力的多边形法
变换力的顺序
由以上分析可知：合力矢是力多边形的封 闭边，这种求合力的方法成为力多边形法。
平面汇交力系平衡的几何条件
物体在平面汇交力系作用下平衡的必 要与充分条件是：合力等于零:F=0 平面汇交力系平衡的几何条件是： 力多边形封闭。
30 . 7 0 . 208 6 . 38 kN
各力的汇交
计算结果SAB为正值，表明假设的指向与实际指向相同。 而连杆受的力与力SAB等值反向，即连杆受压力。
用解析法求解例1
解:(1)选钢架为研究对象. (2)画受力图 约束反力 RA 指向如图2-13所示. (3)列平衡方程 选坐标轴如图所示.由平衡方程有:
平面汇交力系和平面力偶系
引言
设：共点力系{F1 ,F2 , ,Fn }作用在质量为 m 的质点上。
根据牛顿第二定律有
ma
n
Fi FR
n
i 1
结论：力系中 Fi 是反映其作用效应的物理量之一
i 1
F
A
F
AF
B
A
B
F
A
F
D
问题: 如何用数学 工具描述非共点力 系对刚体的作用效 应?
解: 选择铰 A 为研究对象，AB 和 AD
F
均为二力杆。铰 A 的受力如图所示。
作直角坐标系Axy，列平衡方程：
Fx 0,
FAB sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 FAD sin
0 2
Fy 0,
FAB cos
2 FAD cos
F 0 2
y
解得
F FAB FAD 2cos
2
F A
F=212 N，方向与水平面成a = 45角。当平衡时，DA铅直，BC水
平，试求拉杆BC所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅
直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。
解：（1）几何法
F
A
取制动蹬ABD作为研究对象受力如图。
第2章平面汇交力系与平面力偶系
FC F
'
C
P 2
②画受力图，做力多边形
③ 按比例测量，或应用几何关系计算
（1）各力之间的关系很清楚、直观，便于定性地处理问题。 （2）不便于精确地处理有较多力或各力间几何关系较复杂 的力系平衡问题。一般对于由二力或三力组成的力系的平 衡问题，且当几何关系简单时才应用。
§2-2 解析法
解析法是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系 的合成和平衡条件
0
A
C
x
B
P
2 其中： cos 5
代入数据，可解出
1 sin 5
FC 28.3 kN
FA 22.4 kN
负号说明 FA 的方向与实际方向相反。解析法中，只要保证 作用线方向，允许对力矢的指向作出假设。
例2-5 重物 P=20 kN ，用钢丝绳挂在支架的滑轮 B 上，钢丝绳 的另一端缠绕在绞车 D 上。杆 AB 与 BC 铰接，并以铰链 A、C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重不计，并忽略摩擦与滑轮的大 小，试求平衡时杆 AB 和 BC 所受的力。 A D B
由： FBsin
30
F
F
FA FBcos P
解得： FA=11.34 kN , FB=10 kN
F
O
B
FB
P
A
FA
（2）碾子能越过障碍物的力学条件 是FA=0，作出此时封闭的力三角形。
第二章：平面汇交力系与平面力偶系
第二章
平面汇交力系与平面力偶系
一、要求
1、掌握平面汇交力系合成（分解）的几何法。能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。
2、能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。对合力投影定理应有清晰的理
解。 3、能熟练地运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。 4、对于力对点的矩应有清晰的理解，并能熟练地计算。
5、深入理解力偶和力偶矩的概念。明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。
6、掌握平面力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
二、重点、难点
1、 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的解
析法。 2、 力对点之矩的计算，力偶矩的概念，平面力偶性质和力偶等效条件。
三、学习指导
平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过力系的汇交点，合力的大小
和方向等于力系的矢量和，即
∑==
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=n
i i n F F F F R 1
21
或简化为
∑=
F R
上式是平面矢量方程，只可以求解两个未知数。每一个力都有大小和方向两个要素（因为力
的汇交点是已知的），因此，方程中只能有两个要素是未知的。矢量方程的解法有：几何法和解析法。
只有力沿直角坐标轴分解的平行四边形才是矩形。力在轴上投影的大小等于分力的大小，投影的正负表示分力沿坐标轴的方向。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力为零。即
∑
R
=F
这个平面的矢量方程可解两个未知数，解法有几何法和解析法。
（1）平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形封闭。
（2）平衡的解析条件：平面汇交力系的各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零即：
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
2 2 FR FRx FRy 171.3N
FRx cos( FR , i ) 0.7548 FR FRy cos( FR , j ) 0.6556 FR θ 40.99 , β 49.01o
FR
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（三）平面汇交力系的平衡方程
平衡条件 FR 0
平面力偶
可见：力偶臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩是力偶作用的唯一量度。
=
=
=
=
三、平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
已知：M1、 M2、 Mn， 任选一段距离d M1 F1 d M2 F2 d Mn Fn d
平面力偶
M 1 F1d M 2 F2 d
M n Fn d
FR x F xi 0
2 2 FR FRx FRy 0
Fxi 0 Fyi 0
FRy F yi 0
平衡 方程
结论:1. 平面汇交力系平衡的解析条件(充要):该力系的
各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。 2.两个独立方程，求解两个未知量
M ( F , F ) M Fd
M o1 ( F , F ) F d x1 M o 2 ( F , F ) Fx2 F x1 Fd
F d x2 Fd
FRx cos( FR , i ) 0.7548 FR FRy cos( FR , j ) 0.6556 FR θ 40.99 , β 49.01o
FR
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（三）平面汇交力系的平衡方程
平衡条件 FR 0
平面力偶
可见：力偶臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有 力偶矩是力偶作用的唯一量度。
=
=
=
=
三、平面力偶系的合成与平衡
1.平面力偶系的合成
已知：M1、 M2、 Mn， 任选一段距离d M1 F1 d M2 F2 d Mn Fn d
平面力偶
M 1 F1d M 2 F2 d
M n Fn d
FR x F xi 0
2 2 FR FRx FRy 0
Fxi 0 Fyi 0
FRy F yi 0
平衡 方程
结论:1. 平面汇交力系平衡的解析条件(充要):该力系的
各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。 2.两个独立方程，求解两个未知量
M ( F , F ) M Fd
M o1 ( F , F ) F d x1 M o 2 ( F , F ) Fx2 F x1 Fd
F d x2 Fd
第二章平面汇交力系和平面力偶系
P
A
45º
由三力平衡汇交, A ,B ,C 三点的作用力汇交于E 点.
由平衡而力多边形自行封闭, 可得封闭的力三角形.
C B
' FC
tg
1 26.60 2 FC FA P sin116.60 sin450 sin18.40
( 下面不用直接测量法, 而用解三角形法 )
D
C
E
FD
FR y Y
O
30º 45º
300 100 sin150 250 cos150 32.64 N
100N
FR
15º
X Y
2
2
171.25 N
110
250N
tg
Y X
0.194
: 坐标轴的选取是人为的, 应视具体力的分布而定. 宜选使其计算简捷的坐 标系. 不同的坐标系, 力系合力的投影分量不尽相同, 但合成后的解 是唯一确定的.
取 B 铰 (点 ) 为受力体
A
A
C
F2
P
G
F3
F BA
FBC
F By
B
F Bx
FT
1. 平面汇交力系合成的几何法 – 力多边形规则
任选一点, 将诸力按各自的大小及方向依次首尾相连, 可 得一不封闭多边形. 力系的合力大小构成其封闭边, 方向 为由第一个力的始端指向最后一个力的终端.
平面汇交及平面任意力系力系与平面力偶理论
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系统的稳定性和运动状态等。通过求解平衡方程，可以确定物体在受到
外力作用时的运动状态和受力情况。
02 平面任意力系
平面任意力系的简化
01
02
03
力的平移定理
一个力可以平移到任意点， 而不改变它对刚体的作用 效果。
力的合成与分解
两个或多个力可以合成一 个力，一个力也可以分解 为两个或多个力。
力的三角形法则
平面力偶是指作用在刚体上的一对大小相等、方向相 反、作用线平行且不在同一直线上的两个力。在实际 生活中，这种力系也比较常见，比如拧紧螺丝钉时所 施加的力和反作用力。
实例：拧紧螺丝钉时，需要施加一个力和反作用力， 这两个力构成一个平面力偶。通过力的合成法，可以 求出该平面力偶的大小和方向。
THANKS FOR WATCHING
力偶矩等于力的大小与力臂的 乘积。
力臂
从转动轴到力的垂直距离。
力偶矩的单位
在国际单位制中，力偶矩的单位 是牛顿米（N·m）。
力偶矩的表示方法
通常用字母M表示，并注明其 转向。
04 实例分析
平面汇交力系实例分析
平面汇交力系是指各力作用线在同一平面内且相互汇交的 力系。在实际生活中，这种力系比较常见，比如固定在墙 上的挂钩所受到的拉力。
合成的步骤
首先确定各力的方向和大小，然后根据力的 平行四边形法则，通过作出的两个力和合力 的关系的平行四边形，求出合力的大小和方 向。
系统的稳定性和运动状态等。通过求解平衡方程，可以确定物体在受到
外力作用时的运动状态和受力情况。
02 平面任意力系
平面任意力系的简化
01
02
03
力的平移定理
一个力可以平移到任意点， 而不改变它对刚体的作用 效果。
力的合成与分解
两个或多个力可以合成一 个力，一个力也可以分解 为两个或多个力。
力的三角形法则
平面力偶是指作用在刚体上的一对大小相等、方向相 反、作用线平行且不在同一直线上的两个力。在实际 生活中，这种力系也比较常见，比如拧紧螺丝钉时所 施加的力和反作用力。
实例：拧紧螺丝钉时，需要施加一个力和反作用力， 这两个力构成一个平面力偶。通过力的合成法，可以 求出该平面力偶的大小和方向。
THANKS FOR WATCHING
力偶矩等于力的大小与力臂的 乘积。
力臂
从转动轴到力的垂直距离。
力偶矩的单位
在国际单位制中，力偶矩的单位 是牛顿米（N·m）。
力偶矩的表示方法
通常用字母M表示，并注明其 转向。
04 实例分析
平面汇交力系实例分析
平面汇交力系是指各力作用线在同一平面内且相互汇交的 力系。在实际生活中，这种力系比较常见，比如固定在墙 上的挂钩所受到的拉力。
合成的步骤
首先确定各力的方向和大小，然后根据力的 平行四边形法则，通过作出的两个力和合力 的关系的平行四边形，求出合力的大小和方 向。
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
力矩： 是度量力对刚体转动效应的物理量。
扭矩扳手
2-3 平面力对点之矩的概念及计算
一、力对点的矩（力矩）
M O ( F ) F d ，单位Nm或KNm
① ②
M O ( F ) 是代数量。 M O ( F ) 正负判定：
MO (F )
+
-
M ③ 当F=0或d=0时， O (F ) =0。
RB P1' P2
合力矩 M RA d ( P1 P2' )d P1d P2' d M 1 M 2
2-4 平面力偶 结论: 在同平面内的任意个力偶（力偶系）合成结果还是一 个力偶,合力偶矩为各力偶矩的代数和。
M M1 M 2 Mn
M
F
当F
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
解题技巧及说明：
1、一般对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
2、对于受多个力作用的物体，无论角度特殊与 否，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力或不必求的力垂直， 最好使每个方程中只有一个未知数。
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
组成的力系。
2-4 平面力偶
力偶性质：
性质1：力偶在任意坐标 轴上的投影等于零。 性质2：力偶既没有合力， 本身又不平衡，它和力 一样是静力学的一个基 本力学量。
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
解题步骤：
1、选取研究对象；
2、作受力图； 3、作力多边形求解---几何法
或列平衡方程并求解---解析法
坐标及方程的选取原则：
1、坐标轴与尽可能多的力作用线平行或垂直； 2、坐标轴尽可能与未知力作用线平行或垂直； 3、可选取非正交轴系，注意力在非正交轴系上的投影； 4、选取合适的平衡方程，尽可能避免方程组连解。
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
平面汇交力系合成—解析法
力在直角坐标轴上的投影与分解
平面汇交力系与平面力偶系
F
x
0
（2-7）
F
y
0
§2-1 平面汇交力系的合成与平衡 例2-1 已知：AC=CB，P=10kN，各杆自重不计； 求：CD杆的力及铰链A的约束力。 解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图。 用几何法，画封闭力三角形。 或 按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
A点的约束力
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-1 平面汇交力系的合成与平衡 §2-2 平面力对点之矩的概念及计算
§2-3 平面力偶
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
【本章重点内容】
平面汇交力系的合成几何法、解析法；
平面汇交力系的平衡方程及其应用；
力矩、力偶和力偶矩的概念、力偶的性质； 平面力偶系的合成与平衡。
§2-3 平面力偶
4、平面力偶系的合成 已知： 任选一段距离d
M1 , M 2 , M n ;
M1 F1 d
M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
§2-3 平面力偶
4、平面力偶系的合成
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
（2）作力多边形时，可以变换力的次序，形状不同，结果不变。
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A
B
由图中的几何关系得
FA
FB
FA
P 2 FB2
5P 2
FB P tan 0.5P
FA
FB
P
例题2 运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的A端和B 端，设钢索ACB长为2l，最大柔度为h，如略去钢索的重量及滑轮C 沿钢索的摩擦。试求当重为P的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。
解：（1）取滑车为研究对象 F1
A
F2
h
B α
（2）画受力图
αα
C
（3）作力三角形
C
sin MN / 2 h
KM l
P
F1
F2
Pl 2h
P
2 sin
由此式可知，柔度h越大，绳的张力越小；
P
M F1
α Pα
K
N F2
h 0, F 如果要求绳张力不超过一定值，则α应满足什么条件？
例题3 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。
解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）建立坐标系，列方程求解
a
PC
2a
D
A
B
Fx 0, P FA cos 0
Fy 0, FB FA sin 0
y
FB
解上述方程，得
5
1
x
FA 2 P, FB 2 P
FR= F1 + F2 + ┄+ Fn = ∑Fi
几点讨论： 合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关； 各分力矢必须首尾相接；
F2
F1 A
F3 F
4
FR
合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。
2.平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
F3
F2
F4
F1
FR
A
3.解题步骤
F
2 y
cos(F , i ) Fx /
F
cos( F
,
j)
Fy
/
F
注：投影是代数量，分力是矢量；仅在直角坐标系中力在坐标轴上
投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。
2Βιβλιοθήκη Baidu合力投影定理（合矢量投影定理）
合力FR与各分力矢在x轴和y轴上投影 y
的关系为 a1e1= a1b1+b1c1+c1d1+d1e1 a2e2= a2b2+b2c2+c2d2-d2e2
例题4 已知：F，a ，求：物块M的压力。
解：（1）取销钉B为研究对象
Fx 0, F (FBA FBC )sin 0 FBA
Fy 0, FBC cos FBA cos 0
解得
FBC
FBA
F
2 sin
B FBC
B F
FBC
（2）取挡板C为研究对象
Fy 0, FM FCB cos 0
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1.力的投影与分解 力在坐标轴上的投影
Fx F cos Fy F cos F sin
力沿坐标轴的分解
Fy
y
B
F Fy
A
Fx
j
Oi
x Fx
Fx Fxi, Fy Fy j F Fx Fy Fxi Fy j
F
Fx2
引言
力系—平面内作用在物体上力的总称（力的集合） 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系
空间力系
汇交力系 根据力的作用线是否汇交可分为： 平行力系
任意力系
平衡力系—作用在物体上使物体保持平衡的力系
第二章 平面汇交力系和平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 §2-3 平面力对点之矩的概念及计算 §2-4 平面力偶理论 结论与讨论
解得
FM
FCB
cos
F 2
cot
FCB
C
FNC FM
A
F
C M
FCB
§2-3 平面力对点之矩的概念及计算
1.力对点之矩
MO (F ) F h 2AOAB（N·m）
BF
故 FRx= Fx1 + Fx2 + Fx3 + Fx4
d2
F3
c2
F4
be22
F2
F1
a2
FR
FRy= Fy1 + Fy2 + Fy3 + Fy4
a1 b1 c1
d1 e1
x
推广到n个力 FRx= Fx1 + Fx2 + Fx3 +… +Fxn=∑Fxi
FRy= Fy1 + Fy2 + Fy3 +…+Fyn=∑Fyi 合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影 等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1.合成的几何法
F1 A
F2
FR F2
F3
F4
F3
FR1 FR2
F1
FR
F4
A
F2 A
F4 FR F1
F3
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则） 任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个任选的坐 标轴上投影的代数和等于零。
只要不平行即可
解析法解题步骤： （1）选取研究对象； （2）画出研究对象的受力图； （3）合理选取坐标系，列平衡方程求解； （4）对结果进行必要的分析和讨论。
几点说明： （1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数； （2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
Fyi
)2
cos(FR , i)
FRx FR
,cos(FR ,
j)
FRy FR
4.平面汇交力系的平衡方程 平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。
FR FR2x FR2y ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
Fxi 0 两个独立方程 Fyi 0 可求解两个未知量
n
F i
0
i 1
结论：平面汇交力系平衡的必要 和充分条件是，该力系的力多边 形自行封闭。
先画主动力，再画约束反力
（1）选研究对象；（2）画受力图；（3）选比例尺作力多边形。
例题1 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。
解：（1）取刚架为研究对象 （2）画受力图
PC
2a
D
a
（3）按比例作图求解
3.合成的解析法（投影法）
y
FR= F1 + F2 + … + Fn =∑Fi
根据合力投影定理：
FRx Fx1 Fx2 Fxn Fxi
FRy
Fy1
Fy2
Fyn
Fyi
F1 A
F2
FR
F3 x
F4
FR
FR2x FR2y
(
Fxi
)2
(