汇交力系、力偶系

FR1
F4
FR 2
A
F3
F4
F1
FR
a
F2
FR
F1
F4
a
F3
注： （1）合力矢与各个分力的合成次序无关。
（2）合力的作用点仍在力系公共的作用点上。 （3）选择合适的长度比例尺和力比例尺，按照 长度比例尺画出轮廓图，按力的比例尺画出各 力的方向。 （4）空间汇交力系的力多边形是一个空间多边形。 特例：共线力系 力系中各力的作用线均位于同一直线上
F1和F2，杆重不计。求力F1和F2的关系。
解：A、B两点的受力图：
B
A 45o 30o 60o 90o F1 F2
C
D
FAB A
FBA B x’’
F1
FAC
x’
F2 FBD
A Fx' 0 F1 FAB cos 45o 0
B
Fx'' 0 FBA F2 cos 30o 0
FAB FBA F1 F2 6 4 0.61
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊 或特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
2、力偶的性质
F
F´
F/2
F´/ 2
性质 2： 保持力偶矩大小不变，分别改 变力和力偶臂大小，其作用效果不变。
平面力偶的特点
特点一：力偶无合力，即主矢FR=0；
(2) 在解析法中,合力的大小和方向可按下列公式计算
R Rx 2 Ry 2 X 2 Y 2
tg Ry Y Rx X
式中 表示合力R与x 轴间所夹的锐角。合力R 的指向由Rx ， Ry 的符号判定。
2.平面汇交力系平衡的必要与充分条件是合力 R为零
(1) 在几何法中，平面汇交力系平衡的几何条件是力多边形 自行封闭。
M Fd
对平面力偶系，力偶矩矢量变为代数量
平面力偶矩 M Fd
力偶矩的大小
力偶在作用平面内的转向
注意： 平面力偶矩是一个代数量，正负号表
示力偶的转向，通常以逆时针转向为 正，反之为负。单位为N•m。
空间力偶矩是矢量，其表示则用右手法则 力偶和力一样都是最基本的力学量
力偶矩与矩心无关
§3-3 力偶的等效条件和性质
F1
FRy Fyi
O 30o
45o
x
F1 cos 60o F2 cos 30o F3 cos 45o F4 cos 45o
200 0.5 300 0.866 100 0.707 250 0.707
F4
112 . 3 N
F3
合力： FR FR2x FR2y 171.3N
二. 平面汇交力系的合力矩定理
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR F1
r
A
O
Fn
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
F2
FR F1 F2 Fn Fi
用
r
同时矢积上式两端
i 1
一、平面汇交
F1
A
力系的合成：力的多边形法则
F2
F3
F3
F2
FR1
FR 2
F4
F1
FR
a
F4
结论： 平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇交点， 其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封 闭边。
数学表达式为：FR
F1 F2
Fn
n i1
Fi
F3
F1
F2
F2
h = 0. 08 m
FR
F
FB
B
O P
h
A
解：以碾子为研究对象，
O
P
α
FB
FA
碾子受平面汇交力系作用，处于平衡状态
α
FA
P
F
（1）由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭
cos R h 0.6 0.08 0.866
R
0.6
FB
F
sin
2F
10 kN
300
FA P FB cos 20 10 0.866 11.34kN
夹角：
FR
,i
arccos
FRx FR
arccos( 0.7548 )
40.99o
例题 已知 P = 20 kN，求平衡时杆AB 和 BC所受的力
A
解： 取节点 B 为研究对象，
D
B
600
AB 、BC 都是二力杆
画受力图
300
建立坐标系 如图
C
P FBA
y
B
F2
x
FBC
F1
由平衡方程：
A
F Fx2 Fy2 Fz2
四、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
Rx X1X2 X4 X
即：
Ry Y1Y2 Y3Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： 方向：
R Rx2 Ry2 X 2 Y 2
§3-2 力偶及力偶矩
1. 力偶的定义
F
Ad
B
F
M
力 偶 : 大小相等,方向
相反,不共线的两个平 行力所组成的力系。
记为： ( F, F)
力偶的发生效果是转动！
力偶中两个力所在的平面叫力偶作用面。
两个力作用线间的垂直距离叫力臂
力偶的三要素：大小、转向、作用面
2. 力 偶 实 例
F1 F2
注：1、力偶的 合力为零。
(2) 在解析法中，平面汇交力系的平衡方程是： ∑X=0 ∑Y=0
利用这两个平衡方程，可求出两个未知量。它是解决平面汇 交力系平衡问题的基本方程。
第三章 力偶系
§3-1 力对点之矩 §3-2 力偶及力偶矩 §3-3 力偶的等效条件和性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
§3-1 力对点之矩
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
例题 碾子自重 P = 20 kN，半径 R = 0. 6 m，障碍物高
h = 0. 08 m，碾子中心受一水平力 F。
F
R
O
B
Ph
A 求：
（1） F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力
（2）欲将碾子拉过障碍物，F 力的最小值
（3）F力沿什么方向拉动碾子最省力，此时F力应为多大？
R = 0. 6 m
力矩的三要素：大小、转向、作用面
力矩的单位： N m 或 kN m
力矩的性质：
B
Mo(F) r
O
h
F
A
1、当力沿其 作用线移动时， M O F 保持不变。
2、若使 M O F 0，则：
O：矩心 h：力臂
或：F = 0，（无力作用） 或：h = 0，（力通过矩心）
3、互为平衡的两个力对同一点的矩的和 = 0
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
小结
本章主要内容是运用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成
与平衡。重点是用解析法解平衡问题，应熟练掌握.
1. 平面汇交力系只能合成一个合力R ，合力等于诸分力的几何
和，即
R=∑F
(1) 在几何法中, 力多边形的封闭边表示合力R 的大小和方向.
拉力 F 最小。
Fmin P sin 20 sin 10 kN
几何法解题过程：
选取研究对象； 分析受力，画受力图； 作力多边形或力三角形； 求出未知量。
几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
§2-2 解析法
一、力在坐标轴上的投影
力
投影
2、力偶必须用 力偶来平衡。
3、力偶矩
M
用以衡量力偶对刚体的转动效应
P
r rP rQ
d
F
平面有一对力偶，将它们对O 点取矩 F
rP
QrQ
根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：
M
rP
F
rQ
F
O
rP
F
rQ
(F )
(rP
rQ
)
F
M
r
F
称为力偶矩矢量 ,垂直于 r, F所在平面
由力对点之矩可知
图示汇交力系合力的大小和方向。
解：各分力在轴上投影的代数和为：
F2 y
FRx Fxi
FR
F1 cos 30o F2 cos 60o F3 cos 45o F4 cos 45o 200 0.866 300 0.5 100 0.707 250 0.707
129. 3 N
60o 45o
源自文库
tg Ry
Rx
∴
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
由 X , Y 正负号确定所在象限
作用点： 为该力系的汇交点
五、平面汇交力系的平衡方程 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
Rx X0 Ry Y0
R 0 Rx2 Ry2 0 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
例：已知： F1=200N, F2=300N, F3=100N, F4=250N, 求
第二章 汇交力系
平面汇交力系：合成和平衡 几何法 解析法
力系分为：平面力系、空间力系
平面力系
①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 ④平面一般力系
平面特殊力系 平面任意力系
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 例：起重机的挂钩。
汇交于一点的力系。
研究方法：几何法，解析法。
§2-1 几何法
1、力偶的等效条件
力偶只对刚体产生转动效应，而力偶矩矢 是对刚体转动效应的度量。
在同平面内的两个力偶，如果力偶矩 相等（大小相等、转向相同），则两力偶 彼此等效。
2、力偶的性质
F
F´
F
F´
性质 1：只要保持力偶矩大小不变，力偶 可在作用面内任意移动，或者移到另一平行 平面，其对刚体的作用效果不变。
一. 力对点之矩（力矩）的概念： 力矢：F Fx , Fy , Fz
矢径： r x, y, z
B
Mo(F) r
O
h
F
A
力F 对O点之矩的计算方法：
MO
F
rF
MO F Fh
O：矩心 h：力臂
M o F 2ABO 面积
注意：在平面问题中，力对点之矩为一代数量，
以绕矩心逆时针转动为正，反之为负。
mo (Q ) Q l
例题：
图示水平梁AB受按三角形分布的荷载 作用，求合力作用线的位置。
解：
q' x q l
P
P l q'dx 1 ql
0
2
根据合力矩定理：
q'
A x dx h l
q B
Ph l q' xdx 0
h 2l 3
结论：1、合力的大小等于分布载荷的面积
2、合力的作用线通过分布载荷的几何中心。
Fi
r FR r F1 r F2 r Fn
得到：
n
M o FR
M o Fi
i 1
[例4] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo(Q)
解：①用力对点之矩定义
mO(F)FdFsinl
mo (Q ) Q l
②应用合力矩定理
mO (F ) Fx l Fy l ctg F sin l F cos l ctg F l sin
FR
B
O P
h
A
F
O
P
α
FB
FA 0
FB
α
P
F
（2）碾子越过障碍物时的临界条件为： FA 0
由此时的力的多边形，可得到
F P tan 20 tan 300 11.55kN
FR
B
O P
h
A
F
O
P
α
FB
FA 0
FB
α
Fmin
P
F
（3）当 F 力的方向可变化时
由受力多边形可见，当拉力 F 与 FB 垂直时，
力的多边形在同一直线上，
合力的大小等于分力的代数和
n
FR F1 F2 Fn Fi i1
二、平面汇交力系的平衡条件（几何条件）
∵平面汇交力系的合成结果是一个合力
∴平面汇交力系平衡的条件为：合力 = 0
即：
n
FR Fi 0 i 1
根据汇交力系合成的多边形法则，
平面汇交力系平衡的条件为：力的多边形自行封闭 （即：力的多边形的未端和始端正好重合）
X=Fx=Fcos ：注：投影的正负
Y=Fy=Fsin=F cos
投影 力
F Fx2 Fy2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
注：力在坐标轴上的投影是代数量
二、力在平面上的投影
力在平面上的投影是矢量，又称投影矢量
三、力在空间坐标系中的投影
力在空间坐标系的投影为
Fx=Fcos ： Fy=F cos Fz F cos
通过以上例题可以总结出求解平面汇交力
系平衡问题的主要步骤如下：
（1）选取研究对象。对于较复杂的问题， 要选两个甚至更多的研究对象，才能逐步解决。
（2）画受力图。
（3）列平衡方程。先选坐标轴，然后进行 投影计算。计算力的投影时要注意正负号。最 后列平衡方程求解未知量。
（4）必要时应分析或讨论计算结果。
D
B
Fx 0
600
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
0
0
300
Fy 0
C
P
y FBA
B
F2
60
0
30
x
0
FBC
F1
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
0
0
解得：
FBA 0.366 P 7.321kN FBC 1.366 P 27.32kN
例题：四杆机构CABD在图示位置平衡，作用有力