汇交力系、力偶系
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平面汇交力系和平面力偶系的平衡
平衡方程
平面汇交力系
例 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB，BC受力.
1.1 平面汇交力系的平衡
解： AB、BC杆为二力杆，取滑轮B （或点B），画受力图.建图示 坐标系
1.2 平面力偶系的平衡
1.平面力偶系的合成和平衡条件 已知：
任选一段距离d
=
=
=Leabharlann 1.2 平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充要条件 ，有如下平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零。
1.2 平面力偶系的平衡
例 已知： 求： 光滑螺柱 AB所受水平力.
解 由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
解得
1.1 平面汇交力系的平衡
1.平面汇交力系合成
合力 FR 在x轴，y轴投影分别为
合力等于各力矢量和
由合矢量投影定理，得合力投影定理
合力的大小为：
方向为：
cos(FR
,
i)
Fix FR
作用点为力的汇交点.
cos(FR
,
j)
Fiy FR
2.平面汇交力系的平衡方程 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力为零。
1.1 平面汇交力系的平衡
平面力系：各力的作用线在同一平面内。 平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。 平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。 平面力偶系：在同一平面内有n个力偶作用，形成一个平面力偶系。 平面任意力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。
t2平面汇交力系与平面力偶系
应用场景
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
在机械工程、土木工程等领域中，需要分析物体在多个力矩作用下的平衡状态，以确定物体的转动状态和稳定性。
03
平面汇交力系与平面力偶 系的联系
力的平移定理
力的平移定理：一个作用在刚体上的力，可以平移而不改变它对刚体的作用，但必 须同时附加一力偶。
力的平移定理描述了力的位置变化对刚体运动的影响，即力的平移不会改变刚体的 运动状态，但需要附加一个与原力等效的力偶。
t2平面汇交力系与平面力偶 系
contents
目录
• 平面汇交力系 • 平面力矩与平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联系 • 实例分析
01
平面汇交力系
定义与性质
定义
平面汇交力系是指所有力都汇交于一 点或者所有力都位于同一平面内的力 系。
性质
平面汇交力系中，力的方向和大小是 确定的，且所有力的作用线都汇交于 一点或者都位于同一平面内。
02
在进行工程设计和建设时，需 要充分考虑各种力和力矩的作 用，并进行精确的分析和计算 。
03
在机械、航空航天、交通等工 程领域，平面汇交力系与平面 力偶系的应用非常广泛，它们 是工程力学的重要组成部分。
感谢您的观看
THANKS
平面汇交力系主要应用于刚体 在平面运动中的动力学问题，
如机械手、机器人等。
平面力偶系主要应用于分析 旋转刚体的平衡问题，如电
机转子、涡轮机等。
在实际应用中，需要根据问题 的具体需求选择合适的力系进 行分析，以简化问实际工程中的平面汇交力系问题
01
平面汇交力系在工程中常常出现在固定装置的受力分析，例如桥梁、 建筑物的固定连接处。
平面力矩的合成
规则
平面力矩的合成遵循平行四边形定则，即以两个力为邻边作 平行四边形，其对角线矢量等于两个力的力矩之和。
理论力学23-平面汇交力系与平面力偶系
平衡方程的解法
通过代入法或消元法求解 平衡方程，得到各个力的 具体数值。
平面汇交力系的实例分析
实例一
分析一个固定在墙上的梯子的受力情 况，梯子受到的重力和人对梯子的推 力在同一直线上，可以合成一个合力 ，合力方向与重力方向相反。
实例二
分析一个水平放置的杠杆的受力情况 ，杠杆受到的重力和人对杠杆的压力 在同一直线上，可以合成一个合力， 合力方向与重力方向相反。
理论力学23-平面汇交力 系与平面力偶系
目录 CONTENT
• 平面汇交力系 • 平面力偶系 • 平面汇交力系与平面力偶系的联
系 • 习题与解答 • 总结与展望
01
平面汇交力系
平面汇交力系的合成
1 2
平面汇交力系合成的基本原理
根据力的平行四边形法则，将两个或多个力合成 一个合力。
力的三角形法则
解答4
根据力矩的平行四边形法则， 求出平面力偶系的总力矩。
05
总结与展望
总结
定义：作用在物体上的力，其作用线都在同一平面内且相交于一点。 平衡条件：合力为零。
总结
• 解题方法：利用力的合成与分解，将汇交力系简化为单一 的力或力的合成。
总结
定义
作用在物体上的力偶，其力偶矩 矢量都在同一平面内。
04
习题与解答
习题
题目1
题目2
题目3
题目4
求平面汇交力系的合力
求平面汇交力系的合力 矩
求平面力偶系的合力矩
求平面力偶系的总力矩
解答
01
02
03
04
解答1
根据力的平行四边形法则，求 出平面汇交力系的合力大小和
方向。
解答2
根据合力矩定理，求出平面汇 交力系的合力矩。
第二章-平面汇交力系与平面力偶系
负号说明FA方向设反了
FC FA
2FC sin 30 Q 0 FC Q FA Q
例2-3：重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架 的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上。杆AB 与BC 铰接，并以铰链A、C与 墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础。 本章研究问题： (1)平面汇交力系的几何法与解析法 (2)平面力偶的基本特性 (3)平面力偶系的合成与平衡
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
所有的力在同个平面内且作用线交于一点为平面 汇交力系，三力平衡为其一。
几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。
FNA
A
B
FNA
水平坐标系：
FNB
F
y`
30 60 °
x`
FNB F
o`
A B
FNA
FNB
FNA
同样得：
也可以用几何法，画出封闭的力三角形求解，解得此结果。
工件对V形铁的压力与FNA、FNB等值反向。
例：在图示结构中各构件的自重略去不计。在构件AB上作用 一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。
(a) (b)
FBC、 FAB 均为正值，表示力的假设方向与实际方向 相同，即杆 BC 受压，杆 AB 受拉力。
例：不计杆重。D处受力G，求A、 C处的约束反力。 解：
画受力图
FLASH
Sa大小、方向不知，Sb大小不知，三个未知数
由几何关系：
1 tg tg 3
X 0, Y 0,
SB cos SA cos 0
SB sin SA sin G 0
FC FA
2FC sin 30 Q 0 FC Q FA Q
例2-3：重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架 的滑轮B上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上。杆AB 与BC 铰接，并以铰链A、C与 墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB 和BC 所受的力。
平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系， 是研究复杂力系的基础。 本章研究问题： (1)平面汇交力系的几何法与解析法 (2)平面力偶的基本特性 (3)平面力偶系的合成与平衡
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
所有的力在同个平面内且作用线交于一点为平面 汇交力系，三力平衡为其一。
几何法：根据力的平行四边形规则作图得出。
FNA
A
B
FNA
水平坐标系：
FNB
F
y`
30 60 °
x`
FNB F
o`
A B
FNA
FNB
FNA
同样得：
也可以用几何法，画出封闭的力三角形求解，解得此结果。
工件对V形铁的压力与FNA、FNB等值反向。
例：在图示结构中各构件的自重略去不计。在构件AB上作用 一力偶矩为M的力偶，求支座A和C的约束反力。
(a) (b)
FBC、 FAB 均为正值，表示力的假设方向与实际方向 相同，即杆 BC 受压，杆 AB 受拉力。
例：不计杆重。D处受力G，求A、 C处的约束反力。 解：
画受力图
FLASH
Sa大小、方向不知，Sb大小不知，三个未知数
由几何关系：
1 tg tg 3
X 0, Y 0,
SB cos SA cos 0
SB sin SA sin G 0
空间汇交力系和空间力偶系
=
=
=
) rBA FR rBA ( F1 F2 ) M ( FR , FR rBA F1 rBA F2 rBA F1 M ( F1 , F1)
(4) 只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对点 O 的矩在三个坐标轴上的投影为
第4章空间汇交力系与空间力偶系41空间汇交力系41空间汇交力系42力对点的矩和力对轴的矩43空间力偶直接投影法1力在直角坐标轴上的投影直接投影法1力在直角坐标轴上的投影?cosff?41空间汇交力系cosyff??coszff???cosffx?间接二次投影法sinxyff??sincosxff???xsinsinyff???coszff??合矢量力投影定理2空间汇交力系的合力与平衡条件合矢量力投影定理2空间汇交力系的合力与平衡条件合力的大小???空间汇交力系的合力??iff??r????xixxfffr????yiyyfffr????zizzfffr合力的大小222rxyzffff??????方向余弦rrcosffifx????rrcosffjfy????rrcosffkfz????空间汇交力系平衡的充分必要条件是
M O ( F ) yFz zFy
x
r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) zFx xFz
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的两个重要概念。
平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
在平面汇交力系中，力的大小和方向可以通过力的矢量表示。
平面汇交力系的合成可以通过力的多边形法则来进行，即将各个力按照首尾相接的顺序连接起来，形成一个封闭的多边形，合力则为这个多边形的封闭矢量。
平面力偶系是指由若干个力偶组成的力系，其中力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力矩对。
在平面力偶系中，力偶的作用效果是产生旋转，而不是平移。
平面力偶系的合成可以通过力偶矩的代数和来进行。
平面汇交力系和平面力偶系在工程和物理学中有广泛的应用。
在结构分析、机械设计和力学问题中，常常需要考虑和分析平面汇交力系和平面力偶系的作用效果。
总的来说，平面汇交力系和平面力偶系是平面力学中的重要概念，它们的合成和平衡条件对于理解和解决平面力学问题至关重要。
平面汇交力系与平面力偶系_OK
点的 力矩为零。
5、力矩为零时表示力作用线通过矩心或力为零。
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
78
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
75
图示结构中，构件AB为1/4圆弧形，其半径为r，
构件BDC为直角折杆，BD垂直于CD，其上作用
一力偶，该力偶的力偶矩数值为M，已知尺寸L
=2r。试：1. 画出两构件的受力图；2. 求铰A,C
的约束力。
B
n
Mi 0
i 1
FB FB B E
r
M
FA
A
C
M
D L
C D
M FBCE 应用合力矩定理：
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系是指作用于物体上的各力 的作用线位于同一平面内且汇交于一点 的力系。
30
2.1平面汇交力系
合成与平衡的几何法
F1
FR
(一) 两个共点力的合成
F2
力三角形的矢序规则：分力矢 F1 F2 沿三
角形某一边界的某一方向首尾相接，而合
力FR则沿相反方向，从起点指向最后一个 分力矢的末端。
以任意改变力偶中力与力偶的数值，而不改变它
对刚体的转动效应。
61
力偶性质
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面 内任意移动，其对刚体的作用效果不变 62
关于力偶性质的推论
F
F
F´
F´
5、力矩为零时表示力作用线通过矩心或力为零。
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
78
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
75
图示结构中，构件AB为1/4圆弧形，其半径为r，
构件BDC为直角折杆，BD垂直于CD，其上作用
一力偶，该力偶的力偶矩数值为M，已知尺寸L
=2r。试：1. 画出两构件的受力图；2. 求铰A,C
的约束力。
B
n
Mi 0
i 1
FB FB B E
r
M
FA
A
C
M
D L
C D
M FBCE 应用合力矩定理：
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系是指作用于物体上的各力 的作用线位于同一平面内且汇交于一点 的力系。
30
2.1平面汇交力系
合成与平衡的几何法
F1
FR
(一) 两个共点力的合成
F2
力三角形的矢序规则：分力矢 F1 F2 沿三
角形某一边界的某一方向首尾相接，而合
力FR则沿相反方向，从起点指向最后一个 分力矢的末端。
以任意改变力偶中力与力偶的数值，而不改变它
对刚体的转动效应。
61
力偶性质
F
F´
F
F´
只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面 内任意移动，其对刚体的作用效果不变 62
关于力偶性质的推论
F
F
F´
F´
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
FR FRx 2 FRy 2
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
2汇交力系、力偶系平衡
摇杆 FA
A
例2-6
30 ;
解：取轮，由力偶只能由力偶平衡的性质，画受力图。
M1
O
M1
FO
销子
M 0
解得
M1 FA r sin 0 M1 2 FO FA 8 kN 0 r sin 0.5 sin 30
例2-6
解得 FO FA 8kN
FA
A
力的投影
y
F
投影
x
投影
Fy Fy Fx Fx
y F
分力
F1
Fy Fx
y
F
分力
Fy
x
Fx
x
2）合矢量投影定理
合矢量在轴上的投影等于
y F1
各分矢量在同一轴上投影的代数和。
y
F2 j O
Fn i F3 x Fy j O
b
FR
Fx Fxi
x
i
Fy Fyi
Fx
合力大小 FR Fx 2 Fy 2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 Fx Fy 合力方向 cos FR , i） （ cos FR , j） （ FR FR
F'= F''=F
B F''
d
F A B
d
B
d
F
A
F B A
M
F'
M
A
附加力偶矩：M=MB(F)=±Fd
2. 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 各力向矩心平移
矩心 Fn
F1 O
平面汇交力系 平面力偶系
Fn F1 Fi
Fi
A
例2-6
30 ;
解：取轮，由力偶只能由力偶平衡的性质，画受力图。
M1
O
M1
FO
销子
M 0
解得
M1 FA r sin 0 M1 2 FO FA 8 kN 0 r sin 0.5 sin 30
例2-6
解得 FO FA 8kN
FA
A
力的投影
y
F
投影
x
投影
Fy Fy Fx Fx
y F
分力
F1
Fy Fx
y
F
分力
Fy
x
Fx
x
2）合矢量投影定理
合矢量在轴上的投影等于
y F1
各分矢量在同一轴上投影的代数和。
y
F2 j O
Fn i F3 x Fy j O
b
FR
Fx Fxi
x
i
Fy Fyi
Fx
合力大小 FR Fx 2 Fy 2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 Fx Fy 合力方向 cos FR , i） （ cos FR , j） （ FR FR
F'= F''=F
B F''
d
F A B
d
B
d
F
A
F B A
M
F'
M
A
附加力偶矩：M=MB(F)=±Fd
2. 平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 各力向矩心平移
矩心 Fn
F1 O
平面汇交力系 平面力偶系
Fn F1 Fi
Fi
静力学第二章平面汇交力系与力偶系
请思考：力矩和力偶矩的异同？
力偶矩:度量力偶对物体转动效应 的量。记作：M（F, F′）或M
A
F C d F′
M Fd
力偶矩正负号规定:
逆时针转动为正，反之为负
B
力偶矩正负号意义：表示力偶转向
请思考：平面（内）力偶等效的条件？
力偶矩大小相等、转动方向相同
平面力偶的性质
性质1 : 力偶无合力,即FR=0
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
本章重点：
1、平面汇交力系(几何法、解析法）
2、力偶的概念
3、平面力偶系
§2-1 平面汇交力系
汇交力系：所有力的作用线
汇交于一点的力系。
共点力系：所有力的作用点为同一点的力系。
平面汇交力系合成—几何法
力多边形
平面汇交力系平衡—几何法
平衡几何条件：汇交力系的力多边形自行封闭。
平面力偶系的简化结果： Mo
平面力偶系的平衡条件：Mo = 0
平衡方程：
M
0
例5 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图 由力偶理论，知 FB = FC M 0
2 2 FB r FB 2r M 0 2 2 注意：计算(FB，FC )的力偶矩
性质2 : 力偶作用效应只与力偶矩有关 性质3 : 力偶只能与力偶矩相等的另一力偶等效 性质4 : 力偶对其作用面上任一点的矩等于力偶矩
F
F´
F
F´
F
F´ F/2
（d）
F´/ 2
只要保持力偶矩不变，力偶必等效
F
F´
M
M
M
02平面汇交力系和力偶系
2、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和 n 即：
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo (Q ) 解：①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mabmcar?ara?mc?crmmb?cbrbr?mcr??例例在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔的孔每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和aabb端水平反力端水平反力
力
F1
系
F2
M1
Mn
F3
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
例、已知：机构如图，F = 10kN， Fx C 求：MA(F) = ? 300 Fy F 解:方法一: MA(F) = - F•d d 0 = - 10 0.6 sin60
2m
B RA A
C
P
A
4m
D
D
RD
解: 1、取平面钢架ABCD为研究对象, 画出受力图。
2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解： X= 0
P B RA A
y
C
x
2m D 4m
P +RA cos = 0
RA = - 22.36 kN
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。
不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.
B O 30o A
建筑力学 平面力系
1.力在直角坐标轴上的投影方法
投影公式
Fx＝ F cos Fy＝ F sin
投影的正负号规定如下：从投影的起点a到终点b的指
向与坐标轴的正向一致时，该投影取正号；与坐标轴
的正向相反时取负号。 如下图 (a)中，F在x，y轴上的投
影均为正， (b)中，F在x，y轴上的投影均为负。
y
y
Fy Fy
b'
B
F
β
α
b'
B
F
β
α
a' A
a' A
x
x
O
a Fx
b
O
a Fx
b
(a)
(b)
结论：
（1）当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零； （2）当力与坐标轴平行时，其投影的绝对值与该力的大小相等； （3）当力平行移动后，在坐标轴上的投影不变。
2.力的投影计算
例：试求图中各力在 x、y轴上的投影。已知 F1= 100 N，F2= 150 N， F3= F4= 200 N。 解：Fx1= F1cos 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N Fy1= F1sin 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N Fx2= -F2cos 30°= -150 ×0.866 = -129.9 N
Fy2= F2sin 30°= 150 ×0.5 = 75 N Fx3= F3cos 60°= 200 ×0.5 = 100 N Fy3= -F3sin 60°= -200 ×0.866
= -173.2 N Fx4= F4cos 90°=0 Fy4= -F4sin 90°= -200 ×1= -200 N
概述
平面力系是指力的作用在全在同一平面内的力系。平面力系 可分为：平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面 任意力系。 平面汇交力系：力的作用线全在同一平面内，且全汇交于 一点的力系。（如下图所示）
平面汇交力系和力偶系
FRx = ∑Fxi = F1 cos 30o − F2 cos 60o − F3 cos 45o + F4 cos 45o = 200 × 0.866 − 300 × 0.5 −100 × 0.707 + 250 × 0.707 = 129. 3 N
y
FRy = ∑Fyi
= F1 cos 60o + F2 cos 30o − F3 cos 45o − F4 cos 45o
R = 0. 6 m
F B O
R P A h
h = 0. 08 m
F O α P
FB
α
解：以碾子为研究对象， 以碾子为研究对象，
FB
FA
FA
P F
碾子受平面汇交力系作用， 碾子受平面汇交力系作用，处于平衡状态
（1）由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭 ）由碾子的平衡条件，
R − h 0.6 − 0.08 cosα = = = 0.866 R 0.6
x
i
Fx
力矢的大小： 力矢的大小 F = Fx + Fy
2
2
F cos F, i = x 力矢的方向余弦： 力矢的方向余弦 F
( )
cos F, j =
( )
Fy F
3. 平面汇交力系合成的解析法 合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力 合力投影定理： 在同一轴上投影的代数和
FRx = Fx1 + Fx2 + ⋯+ Fx n = ∑Fxi
x y
=0 =0
注意： 此方程组包含两个独立的方程， 注意： 此方程组包含两个独立的方程， 只可以求解两个未知量。 只可以求解两个未知量。
例题 A D
y
FRy = ∑Fyi
= F1 cos 60o + F2 cos 30o − F3 cos 45o − F4 cos 45o
R = 0. 6 m
F B O
R P A h
h = 0. 08 m
F O α P
FB
α
解：以碾子为研究对象， 以碾子为研究对象，
FB
FA
FA
P F
碾子受平面汇交力系作用， 碾子受平面汇交力系作用，处于平衡状态
（1）由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭 ）由碾子的平衡条件，
R − h 0.6 − 0.08 cosα = = = 0.866 R 0.6
x
i
Fx
力矢的大小： 力矢的大小 F = Fx + Fy
2
2
F cos F, i = x 力矢的方向余弦： 力矢的方向余弦 F
( )
cos F, j =
( )
Fy F
3. 平面汇交力系合成的解析法 合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力 合力投影定理： 在同一轴上投影的代数和
FRx = Fx1 + Fx2 + ⋯+ Fx n = ∑Fxi
x y
=0 =0
注意： 此方程组包含两个独立的方程， 注意： 此方程组包含两个独立的方程， 只可以求解两个未知量。 只可以求解两个未知量。
例题 A D
平面汇交力系与平面力偶系(工程力学课件)
F
sin
cos
F1 F cot
A
yFAB F'AB
x FDA
F
B F1 C
B F1 FCB
力对点之矩、合力矩定理
力对点之矩、合力矩定理
一、力对点之矩
M O (F ) Fd
说明：
＋
－
① 平面内力对点之矩是代数量，不仅与力的大小有关，且 与矩心位置有关。 ② 当F=0或d=0时，MO (F ) 0
C
h A
d
l Fy
F 解：1.求MA(F)
D
Fx
F力对A点力臂d的几何关系较复杂不宜确定， 用合力矩定理。
B
M A (F ) M A (Fx ) M A (Fy )
F cos h F sin l
F (cos h sin l)
力对点之矩、合力矩定理
例：图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求：1.F力对A点的力矩, 2. B点约束力对A点的力矩。
F'
d
aO
＝ MO(F，F')
F
力偶、力偶系的合成与平衡 力偶的性质
③力偶可在其作用平面内任意搬移，而不改变它对物体的转动效应。 ④只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力 的大小和力臂的长短，而不会改变力偶对物体的转动外效应。
25kN 4m
25kN
力偶、力偶系的合成与平衡
力偶的等效
Fy 0 : FBC sin 30 G 0
A
30° B FAB G 30°
B
C
FCB G
x
FBC
G sin 30
2G
210
20kN
第2章 平面汇交力系与平面力偶系
离d称为该力偶的力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面称为力偶的作用面。
力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积，并 取以正负号，称为该力偶的力偶矩。
表示为： m
m Fd 2S ABC
31
§2.3 平面力偶系
2.力偶的基本特性 不能合成一个合力，本身不能平衡，也不能被一个 力平衡，它只能由力偶来平衡。 对物体只能产生转动效应，不能产生移动效应，即 只能原地转动。 组成力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数 和恒等于该力偶的力偶矩。
D
6cm
DE=6 cm点E在铅直线DA上
，又B ，C ，D都是光滑铰
(a)
链，机构的自重不计。
7
§2.1 平面汇交力系的合成与平衡的几何法
例 题 2-1
解： 几何法
AF
1.取制动蹬ABD作为研究对象， 并画出受力图。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
2.作出相应的力多边形。
3. 由图b几何关系得：
15
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
✓力向坐标轴的投影是代数量 ✓力沿坐标轴方向的分量是矢量
16
§2.2 平面汇交力系的合成与平衡的解析法
2.合成的解析法 合力投影定理:
平面汇交力系的合力在某一轴上的投影等 于各分力在同一轴上投影的代数和。
y
F4 F1
FA=0， 得封闭力三角形abc。
a
FB G
F G tan 11.5 kN
FB
G
cos
23.09
kN
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负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。
小结
本章主要内容是运用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成
与平衡。重点是用解析法解平衡问题，应熟练掌握.
1. 平面汇交力系只能合成一个合力R ，合力等于诸分力的几何
和，即
R=∑F
(1) 在几何法中, 力多边形的封闭边表示合力R 的大小和方向.
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊 或特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
一. 力对点之矩（力矩）的概念： 力矢：F Fx , Fy , Fz
矢径： r x, y, z
B
Mo(F) r
O
h
F
A
力F 对O点之矩的计算方法：
MO
F
rF
MO F Fh
O：矩心 h：力臂
M o F 2ABO 面积
注意：在平面问题中，力对点之矩为一代数量，
以绕矩心逆时针转动为正，反之为负。
拉力 F 最小。
Fmin P sin 20 sin 10 kN
几何法解题过程：
选取研究对象； 分析受力，画受力图； 作力多边形或力三角形； 求出未知量。
几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
§2-2 解析法
一、力在坐标轴上的投影
力
投影
力矩的三要素：大小、转向、作用面
力矩的单位： N m 或 kN m
力矩的性质：
B
Mo(F) r
O
h
F
A
1、当力沿其 作用线移动时， M O F 保持不变。
2、若使 M O F 0，则：
O：矩心 h：力臂
或：F = 0，（无力作用） 或：h = 0，（力通过矩心）
3、互为平衡的两个力对同一点的矩的和 = 0
D
B
Fx 0
600
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
0
0
300
Fy 0
C
P
y FBA
B
F2
60
0
30
x
0
FBC
F1
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
0
0
解得：
FBA 0.366 P 7.321kN FBC 1.366 P 27.32kN
例题：四杆机构CABD在图示位置平衡，作用有力
2、力偶的性质
F
F´
F/2
F´/ 2
性质 2： 保持力偶矩大小不变，分别改 变力和力偶臂大小，其作用效果不变。
平面力偶的特点
特点一：力偶无合力，即主矢FR=0；
力的多边形在同一直线上，
合力的大小等于分力的代数和
n
FR F1 F2 Fn Fi i1
二、平面汇交力系的平衡条件（几何条件）
∵平面汇交力系的合成结果是一个合力
∴平面汇交力系平衡的条件为：合力 = 0
即：
n
FR Fi 0 i 1
根据汇交力系合成的多边形法则，
平面汇交力系平衡的条件为：力的多边形自行封闭 （即：力的多边形的未端和始端正好重合）
mo (Q ) Q l
例题：
图示水平梁AB受按三角形分布的荷载 作用，求合力作用线的位置。
解：
q' x q l
P
P l q'dx 1 ql
0
2
根据合力矩定理：
q'
A x dx h l
q B
Ph l q' xdx 0
h 2l 3
结论：1、合力的大小等于分布载荷的面积
2、合力的作用线通过分布载荷的几何中心。
M Fd
对平面力偶系，力偶矩矢量变为代数量
平面力偶矩 M Fd
力偶矩的大小
力偶在作用平面内的转向
注意： 平面力偶矩是一个代数量，正负号表
示力偶的转向，通常以逆时针转向为 正，反之为负。单位为N•m。
空间力偶矩是矢量，其表示则用右手法则 力偶和力一样都是最基本的力学量
力偶矩与矩心无关
§3-3 力偶的等效条件和性质
Fi
r FR r F1 r F2 r Fn
得到：
n
M o FR
M o Fi
i 1
[例4] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo(Q)
解：①用力对点之矩定义
mO(F)FdFsinl
mo (Q ) Q l
②应用合力矩定理
mO (F ) Fx l Fy l ctg F sin l F cos l ctg F l sin
(2) 在解析法中，平面汇交力系的平衡方程是： ∑X=0 ∑Y=0
利用这两个平衡方程，可求出两个未知量。它是解决平面汇 交力系平衡问题的基本方程。
第三章 力偶系
§3-1 力对点之矩 §3-2 力偶及力偶矩 §3-3 力偶的等效条件和性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
§3-1 力对点之矩
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
F Fx2 Fy2 Fz2
四、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
Rx X1X2 X4 X
即：
Ry Y1Y2 Y3Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： 方向：
R Rx2 Ry2 X 2 Y 2
一、平面汇交
F1
A
力系的合成：力的多边形法则
F2
F3
F3
F2
FR1
FR 2
F4
F1
FR
a
F4
结论： 平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇交点， 其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封 闭边。
数学表达式为：FR
F1 F2
Fn
n i1
Fi
F3
F1
F2
F2
1、力偶的等效条件
力偶只对刚体产生转动效应，而力偶矩矢 是对刚体转动效应的度量。
在同平面内的两个力偶，如果力偶矩 相等（大小相等、转向相同），则两力偶 彼此等效。
2、力偶的性质
F
F´
F
F´
性质 1：只要保持力偶矩大小不变，力偶 可在作用面内任意移动，或者移到另一平行 平面，其对刚体的作用效果不变。
§3-2 力偶及力偶矩
1. 力偶的定义
F
Ad
B
F
M
力 偶 : 大小相等,方向
相反,不共线的两个平 行力所组成的力系。
记为： ( F, F)
力偶的发生效果是转动！
力偶中两个力所在的平面叫力偶作用面。
两个力作用线间的垂直距离叫力臂
力偶的三要素：大小、转向、作用面
2. 力 偶 实 例
F1 F2
注：1、力偶的 合力为零。
FR
B
O P
h
A
F
O
P
α
FB
FA 0
FB
α
P
F
（2）碾子越过障碍物时的临界条件为： FA 0
由此时的力的多边形，可得到
F P tan 20 tan 300 11.55kN
FR
B
O P
h
A
F
O
P
α
FB
FA 0
FB
α
Fmin
P
F
（3）当 F 力的方向可变化时
由受力多边形可见，当拉力 F 与 FB 垂直时，
FR1
F4
FR 2
A
F3
F4
F1
FR
a
F2
FR
F1
F4
a
F3
注： （1）合力矢与各个分力的合成次序无关。
（2）合力的作用点仍在力系公共的作用点上。 （3）选择合适的长度比例尺和力比例尺，按照 长度比例尺画出轮廓图，按力的比例尺画出各 力的方向。 （4）空间汇交力系的力多边形是一个空间多边形。 特例：共线力系 力系中各力的作用线均位于同一直线上
F1和F2，杆重不计。求力F1和F2的关系。
解：A、B两点的受力图：
B
A 45o 30o 60o 90o F1 F2
C
D
FAB A
FBA B x’’
F1
FAC
x’
F2 FBD
A Fx' 0 F1 FAB cos 45o 0
B
Fx'' 0 FBA F2 cos 30o 0
FAB FBA F1 F2 6 4 0.61
X=Fx=Fcos ：注：投影的正负
Y=Fy=Fsin=F cos
投影 力
F Fx2 Fy2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
注：力在坐标轴上的投影是代数量
二、力在平面上的投影
力在平面上的投影是矢量，又称投影矢量
三、力在空间坐标系中的投影
力在空间坐标系的投影为
Fx=Fcos ： Fy=F cos Fz F cos
(2) 在解析法中,合力的大小和方向可按下列公式计算
R Rx 2 Ry 2 X 2 Y 2
tg Ry Y Rx X
式中 表示合力R与x 轴间所夹的锐角。合力R 的指向由Rx ， Ry 的符号判定。
小结
本章主要内容是运用几何法和解析法研究平面汇交力系的合成
与平衡。重点是用解析法解平衡问题，应熟练掌握.
1. 平面汇交力系只能合成一个合力R ，合力等于诸分力的几何
和，即
R=∑F
(1) 在几何法中, 力多边形的封闭边表示合力R 的大小和方向.
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊 或特殊，都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
一. 力对点之矩（力矩）的概念： 力矢：F Fx , Fy , Fz
矢径： r x, y, z
B
Mo(F) r
O
h
F
A
力F 对O点之矩的计算方法：
MO
F
rF
MO F Fh
O：矩心 h：力臂
M o F 2ABO 面积
注意：在平面问题中，力对点之矩为一代数量，
以绕矩心逆时针转动为正，反之为负。
拉力 F 最小。
Fmin P sin 20 sin 10 kN
几何法解题过程：
选取研究对象； 分析受力，画受力图； 作力多边形或力三角形； 求出未知量。
几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
§2-2 解析法
一、力在坐标轴上的投影
力
投影
力矩的三要素：大小、转向、作用面
力矩的单位： N m 或 kN m
力矩的性质：
B
Mo(F) r
O
h
F
A
1、当力沿其 作用线移动时， M O F 保持不变。
2、若使 M O F 0，则：
O：矩心 h：力臂
或：F = 0，（无力作用） 或：h = 0，（力通过矩心）
3、互为平衡的两个力对同一点的矩的和 = 0
D
B
Fx 0
600
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
0
0
300
Fy 0
C
P
y FBA
B
F2
60
0
30
x
0
FBC
F1
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
0
0
解得：
FBA 0.366 P 7.321kN FBC 1.366 P 27.32kN
例题：四杆机构CABD在图示位置平衡，作用有力
2、力偶的性质
F
F´
F/2
F´/ 2
性质 2： 保持力偶矩大小不变，分别改 变力和力偶臂大小，其作用效果不变。
平面力偶的特点
特点一：力偶无合力，即主矢FR=0；
力的多边形在同一直线上，
合力的大小等于分力的代数和
n
FR F1 F2 Fn Fi i1
二、平面汇交力系的平衡条件（几何条件）
∵平面汇交力系的合成结果是一个合力
∴平面汇交力系平衡的条件为：合力 = 0
即：
n
FR Fi 0 i 1
根据汇交力系合成的多边形法则，
平面汇交力系平衡的条件为：力的多边形自行封闭 （即：力的多边形的未端和始端正好重合）
mo (Q ) Q l
例题：
图示水平梁AB受按三角形分布的荷载 作用，求合力作用线的位置。
解：
q' x q l
P
P l q'dx 1 ql
0
2
根据合力矩定理：
q'
A x dx h l
q B
Ph l q' xdx 0
h 2l 3
结论：1、合力的大小等于分布载荷的面积
2、合力的作用线通过分布载荷的几何中心。
M Fd
对平面力偶系，力偶矩矢量变为代数量
平面力偶矩 M Fd
力偶矩的大小
力偶在作用平面内的转向
注意： 平面力偶矩是一个代数量，正负号表
示力偶的转向，通常以逆时针转向为 正，反之为负。单位为N•m。
空间力偶矩是矢量，其表示则用右手法则 力偶和力一样都是最基本的力学量
力偶矩与矩心无关
§3-3 力偶的等效条件和性质
Fi
r FR r F1 r F2 r Fn
得到：
n
M o FR
M o Fi
i 1
[例4] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO (F ) 和 mo(Q)
解：①用力对点之矩定义
mO(F)FdFsinl
mo (Q ) Q l
②应用合力矩定理
mO (F ) Fx l Fy l ctg F sin l F cos l ctg F l sin
(2) 在解析法中，平面汇交力系的平衡方程是： ∑X=0 ∑Y=0
利用这两个平衡方程，可求出两个未知量。它是解决平面汇 交力系平衡问题的基本方程。
第三章 力偶系
§3-1 力对点之矩 §3-2 力偶及力偶矩 §3-3 力偶的等效条件和性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
§3-1 力对点之矩
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
F Fx2 Fy2 Fz2
四、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
Rx X1X2 X4 X
即：
Ry Y1Y2 Y3Y4 Y
Rx X Ry Y
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。
合力的大小： 方向：
R Rx2 Ry2 X 2 Y 2
一、平面汇交
F1
A
力系的合成：力的多边形法则
F2
F3
F3
F2
FR1
FR 2
F4
F1
FR
a
F4
结论： 平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力通过汇交点， 其大小可通过力的多边形法则得到，合力为多边形的封 闭边。
数学表达式为：FR
F1 F2
Fn
n i1
Fi
F3
F1
F2
F2
1、力偶的等效条件
力偶只对刚体产生转动效应，而力偶矩矢 是对刚体转动效应的度量。
在同平面内的两个力偶，如果力偶矩 相等（大小相等、转向相同），则两力偶 彼此等效。
2、力偶的性质
F
F´
F
F´
性质 1：只要保持力偶矩大小不变，力偶 可在作用面内任意移动，或者移到另一平行 平面，其对刚体的作用效果不变。
§3-2 力偶及力偶矩
1. 力偶的定义
F
Ad
B
F
M
力 偶 : 大小相等,方向
相反,不共线的两个平 行力所组成的力系。
记为： ( F, F)
力偶的发生效果是转动！
力偶中两个力所在的平面叫力偶作用面。
两个力作用线间的垂直距离叫力臂
力偶的三要素：大小、转向、作用面
2. 力 偶 实 例
F1 F2
注：1、力偶的 合力为零。
FR
B
O P
h
A
F
O
P
α
FB
FA 0
FB
α
P
F
（2）碾子越过障碍物时的临界条件为： FA 0
由此时的力的多边形，可得到
F P tan 20 tan 300 11.55kN
FR
B
O P
h
A
F
O
P
α
FB
FA 0
FB
α
Fmin
P
F
（3）当 F 力的方向可变化时
由受力多边形可见，当拉力 F 与 FB 垂直时，
FR1
F4
FR 2
A
F3
F4
F1
FR
a
F2
FR
F1
F4
a
F3
注： （1）合力矢与各个分力的合成次序无关。
（2）合力的作用点仍在力系公共的作用点上。 （3）选择合适的长度比例尺和力比例尺，按照 长度比例尺画出轮廓图，按力的比例尺画出各 力的方向。 （4）空间汇交力系的力多边形是一个空间多边形。 特例：共线力系 力系中各力的作用线均位于同一直线上
F1和F2，杆重不计。求力F1和F2的关系。
解：A、B两点的受力图：
B
A 45o 30o 60o 90o F1 F2
C
D
FAB A
FBA B x’’
F1
FAC
x’
F2 FBD
A Fx' 0 F1 FAB cos 45o 0
B
Fx'' 0 FBA F2 cos 30o 0
FAB FBA F1 F2 6 4 0.61
X=Fx=Fcos ：注：投影的正负
Y=Fy=Fsin=F cos
投影 力
F Fx2 Fy2
cos X Fx
FF
cos Y Fy
FF
注：力在坐标轴上的投影是代数量
二、力在平面上的投影
力在平面上的投影是矢量，又称投影矢量
三、力在空间坐标系中的投影
力在空间坐标系的投影为
Fx=Fcos ： Fy=F cos Fz F cos
(2) 在解析法中,合力的大小和方向可按下列公式计算
R Rx 2 Ry 2 X 2 Y 2
tg Ry Y Rx X
式中 表示合力R与x 轴间所夹的锐角。合力R 的指向由Rx ， Ry 的符号判定。