复系数的一元二次方程的解法

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一元二次方程的解法定理

一元二次方程的解法定理一、引言在数学中，解一元二次方程是一个基础与重要的问题。

为了找到方程的解，我们需要运用一些定理和方法。

本文将介绍一元二次方程的解法定理以及具体的解法方法。

二、一元二次方程的定义一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数，且a≠0。

三、一元二次方程的解法定理一元二次方程的解法定理是指：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可根据判别式Δ=b²-4ac的值来分类。

1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；3. 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复数根。

四、一元二次方程的解法方法根据一元二次方程的解法定理，我们可以采取不同的解法方法来求解方程。

1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

此时，我们可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解。

其中，±代表两个不同的解。

2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

此时，我们同样可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解，并且由于Δ=0，所以解是重复的。

3. 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复数根。

此时，我们可以使用公式x=-b/(2a)±(√-Δ/(2a))来求解，其中√-Δ表示二次方程中的虚根。

五、实例分析为了更好地理解一元二次方程的解法定理及解法方法，我们来看一个具体的实例：考虑方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以求解该方程的解。

首先，根据判别式Δ=b²-4ac，我们可以计算Δ=5²-4*2*2=1。

由于Δ>0，所以方程有两个不相等的实根。

接下来，根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，我们可以计算出两个实根：x=(-5+√1)/(2*2)=-3/2和x=(-5-√1)/(2*2)=-1。

一元二次方程式解法公式

一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。

解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。

解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。

一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。

1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。

在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。

判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。

在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。

与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。

当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。

根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。

需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。

此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。

2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。

复数集内一元二次方程的解法

复数集内一元二次方程的解法实系数一元二次方程复系数一元二次方程 ∆的作用可以用来判断根的情况不能用来判断根的情况求根公式适用适用韦达定理适用适用一、实系数一元二次方程只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭，1．判定下列方程根的情况，并解方程（1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x（2）0122=+-x x 答：471i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值．|x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9．3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值．二、复系数一元二次方程虚根不一定成对，成对也不一定共轭。

1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？）求方程x 2-2ix-7=0的解解方程：x 2-4ix+5=0；解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，）2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．251122=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 231122=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值．解方程关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C )A ．41-≥mB ．41-≤mC ．121=mD ．121-=m R k ∈，方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是( D )A ．4≥kB ． 522-≤k 或522+≥kC ．23±=kD ．4-=k一元二次方程缺少常数项，必有零根（一个特殊的实根）设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根，且3=-βα，求m 。

1元二次方程的解法

1元二次方程的解法1元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数且 a 不为 0。

求解 1 元二次方程的方法主要有以下几种：一、因式分解法当二次项系数 a 为 1 时，若二次方程 ax^2 + bx + c = 0 能够分解成 (x + m)(x + n) = 0 的形式，则方程的解为 x = -m 和x = -n。

二、公式法对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中√(b^2 - 4ac) 称为判别式，它决定了方程的解的个数和性质：若判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数解。

若判别式等于 0，则方程有两个相等的实数解。

若判别式小于 0，则方程无实数解，但有 2 个共轭复数解。

三、配方法配方法适用于二次项系数 a 为 1 的情况。

将 x^2 + bx + c = 0 变形为 (x + b/2)^2 = (b^2 - 4c)/4，然后求出 x 的值：x = -b/2 ± √((b^2 - 4c)/4)四、韦达定理法韦达定理适用于二次项系数 a 为 1 的情况。

若方程 x^2 + bx + c = 0 的两个解为 x1 和 x2，则：x1 + x2 = -bx1 x2 = c利用这两个关系式可以求出 x1 和 x2。

举例：求解二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0。

使用公式法：x = (-(-5) ±√((-5)^2 - 4(1)(6))) / 2(1)= (5 ± √(25 - 24)) / 2= (5 ± 1) / 2因此，方程的解为 x = 2 和 x = 3。

拓展：除了上述方法外，求解 1 元二次方程还有其他一些方法，例如：图形法：将二次方程转化为抛物线方程，然后通过抛物线的图象求解方程的解。

数值法：使用二分法或牛顿法等数值方法求解方程的近似解。

解一元二次方程的方法

解一元二次方程的方法
一元二次方程是高中数学中的重要内容，解一元二次方程是我
们学习数学时需要掌握的基本技能。

本文将介绍两种解一元二次方
程的方法，因式分解法和求根公式法。

首先，我们来看因式分解法。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以先利用因式分解的方法将其分解为两个一次因式相乘的形式，即(ax+m)(x+n)=0，然后令ax+m=0和x+n=0，分别求出x的值，即可得到方程的解。

举个例子，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将其分解为
(x+2)(x+3)=0，然后令x+2=0和x+3=0，解得x=-2和x=-3，即方程
的解为x=-2和x=-3。

其次，我们来看求根公式法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的根
可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。

其中，b^2-
4ac被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，
方程没有实根，但有两个共轭复根。

举个例子，对于方程x^2-4x+4=0，我们可以利用求根公式x=(-(-4)±√((-4)^2-414))/(21)，化简后得到x=2，即方程的解为x=2。

综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法和求根公式法。

通过掌握这两种方法，我们可以轻松解决一元二次方程的问题，提高数学解题的效率和准确性。

希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。

一元二次方程的解

一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。

解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。

1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。

下面将介绍其中两种常用的解法。

1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。

求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。

对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。

1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。

配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。

首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。

例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。

接下来，利用开平方的性质求解方程。

对于上述方程，解为x = -3。

2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。

2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。

判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。

根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。

复常系数一元二次方程求根公式

复常系数一元二次方程求根公式大家好，我是晓晓。

今天继续给大家讲解这方面的知识，也是在上一篇文章中讲到的，当一个题目，求解时，不一定只需要求解其中一个根，可以从多个变量中求得一个根。

所以大家可以根据自己的实际情况，找到最合适，且容易记住和应用的一元二次方程解法。

今天晓晓给大家讲一种求解这种问题的方法：解复常系数一元二次方程时，求根公式：复—基。

下面我们来看一下用什么方法求复常系数值问题吧。

在方程中，每个复数和整数有两个基本未知数（即0+1),所以所有正整数加一个整数就是(0+1)这个复数。

比如，一元二次方程可以分为若干个常模中的某个具体题型（即零位不变、正位变差、负位变差等),每个基本未知数都有相应的一个根。

比如上面所讲到的10个方程中最简单的就是0-1根的存在形式。

这里我们用求一个近似根来说明（可以根据其解与一元二次方程之和大于零或小于零时）这一部分和前面所讲到“关于零位不变”等情况一起说明。

1、先让两个数值相等。

其中：当取为3、则求解一元二次方程（其中最小变量为0):其中：解析：从上面我们可以知道，用三个数乘以3和求得三个值最小值是一个常数公式。

如果其中有0、1等三个数的话，那么，可以使用以下公式求得根公式：其中：对于一个(0+1)是有限的四分位数，则这个四分位数就是其零位的复数是唯一数。

对于一个0-1位数字是三分位数的复数。

那么，就可以用这个公式先求出这个四分位数的零位最小值。

2、然后利用这个近似根公式将方程(1+2)带入之前的步骤（第一步：解一个等式并写出相关数值和运算过程）。

接下来我们以上述的题型为例，先来看看1+2在方程中的具体数值形式，再来解题。

解完题后，大家可以根据下面的步骤把题目写出来，并把它放到后面去求(0+1)这个公式当中去。

我们再来看一下在计算过程中的步骤。

首先是把(0+1)这个等式变换为任意复数或方程。

下面我们将(0+1)和(2)带入一个等式之中，然后在进行计算。

计算结果如下：通过计算，一共得到(0+1~-5)=(-3~+5)个近似根值/一个正数根；通过计算，总共得到20个近似根值，其中正数有13个，负数有6个。

复系数的一元二次方程的解法

一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a acb －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根.例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(0020=++++i k x kx x由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；（2）若方程有实根,求实根的取值范围.解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++00222y x t xy t t )2()1(, 由)2(得x y t -=,代入)1(得02)(2)(2=+-+-xy x y x y ,即2)1()1(22=++-y x )3(.∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ,2)1()1(22=++-y x 有公共点,04≤≤-∴t ,故方程的实根的取值范围为[]0,4-.点评：本题涉及复数与解析几何的知识,综合性较强,同学们往往不易下手,有一定难度.在第)2(问求实根的取值范围时,还可以先由方程)2)(1(消去y 建立关于实数x 的二次方程,再用判别式∆求出t 的范围.通过本题,同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数问题的常用方法.。

一元二次方程的解法-十字相乘法

首先观察一元二次方程的形式，确定二次项系数和常数项系数。
根据二次项系数和常数项系数，将方程左侧转化为两个一次项的乘积。
求解一次项系数
求解未知数
通过交叉相乘的方法，求解出一次项系数。
将求得的一次项系数代入原方程，解出未知数。
注意事项
适用范围
十字相乘法适用于解形式为 $ax^2+bx+c=0$的一元二次方
概念
十字相乘法基于因式分解的思想，通过将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而求解未知数。
重要性及应用领域
重要性
十字相乘法是一元二次方程的重要解法之一，它能够直接求得方程的解，避免了复杂的计算和求解过程。
应用领域
十字相乘法广泛应用于数学、物理、工程等领域，尤其在解决实际问题中，如代数问题、几何问题、概率统计等，都经常需要使用到一元二次方程的解法，而十字相乘法是其中的一种常用方法。
一元二次方程的解法-十相乘法原理 • 实例解析 • 与其他解法的比较 • 练习与巩固 • 总结与展望
01 引言
定义与概念
定义
十字相乘法是一种解一元二次方程的数学方法，通过将方程左侧的二次项和常数项进行拆分，然后与右侧的一次项进行交叉相乘，得到两个一次方程，从而求解一元二次方程。
02 十字相乘法原理
原理概述
十字相乘法是一种解一元二次方程的简便方法，通过将方程左侧的二次项和常数项进行拆分，然后交叉相乘，得到两个一次项，从而找到方程的解。
该方法基于一元二次方程的因式分解，通过将方程左侧转化为两个一次项的乘积，简化了解的过程。
具体步骤
确定二次项系数和常数项系数
进行因式分解
与因式分解法的比较
适用范围

解一元二次方程(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)

解一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1）直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =（2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3）公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是24b b ac x -±-=()240b ac -≥；（4）因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。

温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。

根的判别式定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b ac x a a -+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．考点☀梳理解题指导：① 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；② 当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；③ 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；④ 如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.⑤ 十字相乘法例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确），第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.⑥ 换元法在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.考点1：直接开方法解一元二次方程必备知识点：①直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =题型1 直接开方法解一元二次方程例1．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）解方程：()216125x +=．【答案】114x =，294x =- 【分析】方程两边同时除以16，再开平方来求解．【详解】解：方程两边同时除以16得()225116x +=，开平方得514x +=±，解得114x =，294x =-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解直接开平方法是解答关键．例2．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：1250x --=．【答案】16x =，24x =-【分析】由()21250x --=，得出2125x ，开方得15x -=±，即可解出【详解】∵()21250x --=，∵2125x ，∵15x -=或15x -=-，则16x =，24x =-．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为2x a =的形式，再利用数的开放直接求解．练习1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：24(3)250x --=．【答案】1112x =，212x =【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=， 532x ∴-=±， 1112x ∴=，212x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【答案】x 1＝16，x 2＝﹣14【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x ﹣1）2＝225，∵x ﹣1＝±15，解得x 1＝16，x 2＝﹣14．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．练习3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x 2＝6 【答案】x 13=，x 23=-【分析】直接开平方即可一元二次方程．【详解】解：226x =，23x =，3x ∴=±，13x ∴=，23x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．练习4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：316m =．【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：()2316m -=，34m -=±，34m =±， ∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点2：配方法解一元二次方程必备知识点：①当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；题型2 配方法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）用配方法解方程：21090x x -+= 【答案】19x =，21x =【分析】利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可．【详解】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程-配方法的步骤．例2．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程23210x x +-=．【答案】11x =-，213x = 【分析】先将原方程配方，然后再整体运用直接开平方法，最后求出x 即可．【详解】解：原方程可化为：22133x x += 22221113333x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21439x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1233x +=±， 11x =-，213x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程是解答本题的关键．【答案】x 1＝32，x 2＝﹣4 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．【详解】解：2x 2+5x ﹣12＝0，移项，得2x 2+5x ＝12，x 2+52x ＝6，配方，得x 2+52x +2516＝6+2516，即（x +54）2＝12116，开方，得x +54＝±114，解得：x 1＝32，x 2＝﹣4．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【答案】11x =，23x =【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：2430x x -+=，配方得∵()221x -=，解得∵21x -=±，即11x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键．练习3．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：x 2-6x =8 【答案】12317,317x x =+=-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：268x x -=，26989x x -+=+，2(3)17x -=，317x -=±，317x =±，即方程的解为12317,317x x =+=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．【答案】x 1＝162+，x 2＝162- 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解：2x 2﹣4x ﹣1＝0x 2﹣2x 12-=0 x 2﹣2x +112=+1 （x ﹣1）232=∵x 1＝162+，x 2＝162-．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．例1．（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的223x x +-最小值．()22222232111314x x x x x +-=+⋅+--=+- ()210x +≥∴当x =－1时，223x x +-有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)(()2222352332x x x x x a b ++=+++=++，则a ＝__________，b ＝__________； (2)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值．【答案】(1)3，2(2)2k =±【分析】（1）根据配方法直接作答即可；（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．（1）解：2235x x ++()222332x x =+⨯++ ()232x =++，3,2a b ∴==，故答案为：3，2；（2）解：227x kx -+22227x kx k k =-+-+()227x k k =--+， ∵2)0x k -≥（， ∵()227x k k --+的最小值是27k -+，∵代数式227x kx -+有最小值3，∵273k -+=，即24k =，∵2k =±．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．练习1．（2022·山东泰安·八年级期中）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，∵2(2)0x +≥，∵2(2)11x ++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．∵245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为_____．(2)求代数式21032x x ++的最小值． (3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x ＋y 的最小值．【答案】(1)3(2)21032x x ++的最小值是7；(3)21253x x -++有最大值，最大值是8； (4)x +y 的最小值是2．【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据7x －x 2+y －11=0，用x 表示出y ，写出x +y ，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．（1）解：()213x -+，当x ＝1时，2(1)3x -+有最小值，是3；故答案为：3；（2）解：222221032105532(5)7x x x x x ++=++-+=++．∵2(05)x +≥，∵2(5)77x ++≥，当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值是7．∵21032x x ++的最小值是7；（3）解：21253x x -++有最大值，理由如下： ∵21253x x -++ 21(6)53x x =--+ =21(699)53x x --+-+ 21(69)353x x =--+++ 2133()8x =-++．当21(3)03x -+=时，21(3)83x -++有最大值，最大值是8， ∵21253x x -++有最大值，最大值是8；（4）解：∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++，∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+，∵2(3)0x -≥，∵2(3)22x -+≥，当2(3)0x -=时，2(3)2x -+的值最小，最小值是2．∵x +y 的最小值是2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．265x x ++22223335x x =+⋅⋅+-+2(3)4x =+-∵ ()230x +≥，∵ 当x =-3时，代数式265x x ++的最小值为-4．请根据上述的方法，解答下列问题：(1) 2261()x x x m n +-=++，则mn 的值为_______．(2)求代数式2265x x --+的最大值．(3)若代数式226x kx ++的最小值为2，求k 的值．【答案】(1)-30(2)最大值为11(3)k =42±【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出m 与n 的值，再相乘即可；（2）先提出代数式的负号，再进行配方，最后根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可；（3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k 的值即可．(1)解：261x x +-22223331x x =+⋅⋅+--2(3)10x =+-2()x m n =++ 解得m =3，n =-10，∵mn =-30．(2)解： 2265x x --+2(26)7x x =-++222(26(6)(6)5x x ⎡⎤=-+⋅⋅+-+⎣⎦2(6)11x =-++∵2(6)0x +≥，∵2(6)0x -+≤，∵代数式2265x x --+的最大值为11．解：226x kx ++22()62k x x =++ 22222()()6444k k k x x ⎡⎤=+⋅⋅+-+⎢⎥⎣⎦ 222()648k k x =+-+ ∵2()04k x +≥， ∵代数式226x kx ++有最小值为268k -． ∵代数式226x kx ++的最小值为2，∵2628k -=．解得：k =42±．【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=． ∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0， ∵()210m +=且()230n -=，∵m ＝－1，n ＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．【答案】(1)x ＝－2，y ＝1(2)5或7【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x 和y 的值；（2）同理可得a 和b 的值，再分类讨论，由勾股定理可得c 的值．（1）解：∵224250x x y y ++-+=∵()()22210x y ++-=∵x ＋2＝0，y －1＝0∵x ＝－2，y ＝1．（2）∵228625a b a b +=+-∵2286250a b a b +--+=∵()()22430a b -+-=∵a －4＝0，b －3＝0∵a ＝4，b ＝3∵ABC 是直角三角形∵22345c =+=或22437c =-=∵c 的值为5或7．【点睛】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式．练习4．（2022·江西上饶·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若2222440m mn n n ++-+=，求m 和n 的值；解：由题意得：()()2222440m mn n n n +++-+=，∵22()(2)0m n n ++-=，∵020m n n +=⎧⎨-=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩． (1)若22228160x xy y y ++++=，求2x y -（）的值；(2)若22126450a b a b +-++=，求32a b -的值．【答案】(1)64 (2)24【分析】（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果；（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． (1)由题意得：22228160x xy y y y +++++= ∵()()2240x y y +++=∵040x y y +=⎧⎨+=⎩解得：44x y =⎧⎨=-⎩∵()()224464x y -=+=． (2)由题意得：221236690a a b b -++++= ∵()()22630a b -++=∵6030a b -=⎧⎨+=⎩解得：63a b =⎧⎨=-⎩∵33322262162439a ab b -====-（）．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．考点3：公式法解一元二次方程必备知识点：①如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法. 题型3 公式法解一元二次方程例1．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：(2316m =．【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：()2316m -=，34m -=±， 34m =±，∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【答案】11193x +=，21193x -=【分析】先找出a ，b ，c ，再求出24b ac ∆=-的值，根据求根公式即可求出答案．【详解】解：∵23260x x --=， ∵3a =，2b =-，6c =-，∵()()224243676b ac ∆=-=--⨯⨯-=，∵()()22224364223b b ac x a±--⨯⨯--±-==⨯22196±=1193±=∵11193x +=，21193x -=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键．练习1．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）解方程：x 2﹣25x ﹣4＝0．【答案】x 1＝5+3，x 2＝5﹣3【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可．【详解】解：a ＝1，b ＝﹣25，c ＝﹣4， Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣25）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0，方程有两个不等的实数根，x ＝24253653221b b ac a -±-±==±⨯，即x 1＝5+3，x 2＝5﹣3．【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键． 390x x --=【答案】13352x +=，23352x -=【分析】根据公式法即可求解．【详解】解：∵1a =，3b =-，9b =-， ∵93645∆=+=>0，∵243453352212b b ac x a -±-±±===⨯， ∵13352x +=，23352x -=．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键． (1)5x 2－6x ＋1=0（公式法） (2)x 2＋8x －2=0（公式法）【答案】(1)121,15x x ==(2)12432,432x x =+=-【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程；（2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．（1）解：5x 2－6x ＋1=0中，5,6,1a b c ==-=，24362016b ac ∴∆=-=-=，2464210b b ac x a -±-±∴==，解得：121,15x x ==；（2）x 2＋8x －2=0，28=2x x +，281618x x ++=，()2418x +=，432x +=±，解得：12432,432x x =+=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1)2219x x -+= ; (2)22310x x -+=．【答案】(1)124,2x x ==- (2)1211,2x x ==【分析】（1）用直角开平方法解答即可；（2）用求根公式解答即可．（1）解：2219x x -+=，原方程可化为2(1)9x -=，直接开平方，得13x -=±，∵124,2x x ==-．（2）22310x x -+=，∵981∆=-=>0，∵方程有两个不相等的实数根，12314x ±=，，1211,2x x ==．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是能够正确地选择恰当的解题方法．必备知识点：①若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；题型4 因式分解法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：23543x x x【答案】121,4x x =-=【分析】先整理可得2340x x --=，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：23543xx x∵239120x x ，即2340x x --=， ∵()()140x x +-=，解得：121,4x x =-=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）解方程：2212x x x -=-．【答案】12x =或1x =- 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：2x 2-x =1-2x ， ∵2x 2+x -1=0，∵（2x -1）（x +1）=0， 2x -1=0或x +1=0， ∵12x =或1x =-．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键．练习1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解一元二次方程：()()323x x -=-．【答案】x 1=3，x 2=5【分析】通过移项，因式分解再求方程的解即可．【详解】解：（x -3）2=2（x -3）移项得（x -3）2-2（x -3）=0，因式分解得（x -3）（x -3-2）=0，（x -3）（x -5）=0， ∵x 1=3，x 2=5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，关键是运用因式分解使解方程变得更简洁．练习2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）解方程：24830x x -+=【答案】1231,22x x ==【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】24830x x -+= (23)(21)0x x --=∵230x -=或210x -=1231,22x x ==【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键． (1)()()22311-=-x x (2)()3122x x x -=- 【答案】(1)10x =，212x = (2)123x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式分解因式后求解；（2）利用提公因式分解因式后求解．（1）解：()()22311-=-x x()()223110x x ---=()()3113110x x x x -+---+=()2420x x -=10x =，212x =．（2）()3122x x x -=-()()31210x x x ---=()()3210x x --=∵320x -=或10x -=，解得，123x =，21x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． (1)2x x = (2)21090x x ++=【答案】(1)10x =，21x =； (2)11x =-，29x =-【分析】（1）利用移项，提公因式求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．（1）解：∵2x x =，∵20x x -=，∵x (x -1)=0，∵x =0或x -1=0，∵10x =，21x =；（2）∵21090x x ++=，∵(x +1)(x +9)=0，∵x +1=0或x +9=0，∵11x =-，29x =-【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．考点5：换元法解一元二次方程必备知识点：①在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.题型5 换元法解一元二次方程例1．（2022·全国·九年级专题练习）解方程：()()2226x x x x +++=．【答案】122,1x x ==-【分析】利用换元法可将原方程降次求解，再根据分类讨论思想对一元二次方程求解即可．【详解】解：设x 2＋x ＝y ，则原方程变形为y 2＋y －6＝0，解得：y 1＝－3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0，解得：x 1＝－2，x 2＝1；②当y ＝－3时，x 2＋x ＝－3，即x 2＋x ＋3＝0， ∵∵＝12－4×1×3＝1－12＝－11＜0， ∵此方程无解；∵原方程的解为x 1＝－2，x 2＝1．【点睛】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程，能够掌握换元法将原方程降次，熟练运用公式法，因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．例2．（2022·江苏·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x 4－3x 2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x 2＝y ，将原方程转化为y 2－3y －4＝0，解方程得到y 1＝－1，y 2＝4，因为x 2＝y ≥0，所以y ＝－1舍去，所以得到x 2＝4，所以x 1＝2，x 2＝－2．请参考例题解法，解方程：223320x x x x ＋－+=．【答案】x 1＝1，x 2＝－4【分析】利用题中给出的方法设23x x +=y ，把方程转化为含y 的一元二次方程，求出y 的值，再求解无理方程，求出x 的值．【详解】解：设23x x +＝y ，则x 2＋3x =y 2，原方程可化为：y 2－y －2＝0， ∵y 1＝－1，y 2＝2 ， ∵23x x +＝y ≥0， ∵y 1＝－1舍去， ∵23x x +＝2， ∵x 2＋3x ＝4， ∵x 2＋3x －4＝0， ∵x 1＝1，x 2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =．当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±； ∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照上面方法，解方程：222(3)4(3)30x x x x +++=+．【答案】1352x -+=，2352x --=．【分析】设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0，求出y =-1，或y =-3，再分别解方程即可．【详解】解：设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0， ∵（y +1）（y +3）=0，解得y =-1，或y =-3，当y =-1时，x 2+3x =-1，即x 2+3x +1=0，解得x =12353522x x -+--==，，当y =-3时，x 2+3x =-3，即x 2+3x +3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去； ∵原方程有两个根：1352x -+=，2352x --=．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． (1)2x -2x =99(2)2(21)x -+3（2x -1）=0 (3)22()x x --5（2x -x ）+6=0．【答案】(1)111x =，29x =- (2)112x =，21x =- (3)12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=【分析】（1）根据配方法求解即可；（2）根据因式分解求解即可；（3）先令x 2-x =y ，得到关于y 的一元二次方程，然后根据因式分解法求出y ，再把y 的值代入x 2-x =y 求解即可． (1)解：2x -2x =99， ∵2x -2x +1=99+1 ∵2(1)100x -=， ∵110x -=±， ∵111x =，29x =-； (2)解：2(21)x -+3（2x -1）=0，∵(21)[(21)3]0x x --+=，即(21)(22)0x x -+=， ∵210x -=或220x +=， ∵112x =，21x =-； (3)解：22()x x --5（2x -x ）+6=0，令2x x y -=，则原方程为2560y y -+=∵(2)(3)0y y --=， ∵20y -=或30y -=， ∵y =2或3当y =2时，22x x -=， ∵220x x --= ∵(2)(1)0x x -+=， ∵x -2=0或x +1=0， ∵12x =，21x =-；当y =3时，23-=x x ， ∵230x x --=， ∵1141(3)11322x ±-⨯⨯-±==， ∵31132x +=，41132x -=．综上所述，12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．阅读材料：像13x x -=这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 13;x x --；两边平方：x ﹣1＝9﹣6x ＋x 2. 解这个一元二次方程：x 1＝2，x 2＝5检验所得到的两个根，只有是原无理方程的根．理解应用：解无理方程1122x x +=．【答案】2x ＝；x ＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解；理解应用：先移项得到1212x x -=+，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根．【详解】解：阅读材料：经检验2x ＝是原方程的解；故答案为：2x ＝；理解应用：移项：1212x x -=+，两边平方：()214414x x x -+=+，解得154x =，23x =，经检验原无理方程的根为3x ＝．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．必备知识点：①根的判别式：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．题型6 根的判别式的应用例1．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2312200kx k x k k ．(1)求证：无论x 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数k 的值．【答案】(1)见解析 (2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）用公式法求出方程的两根，1211,2x x k=-=-，再由该方程的两根都是整数，且k 为整数，可得11k -为整数，即可求解．（1）解：根据题意得：231422k k k2296188k k k k =++--221k k =-+()210k =-≥∵无论x 取何值，此方程总有两个实数根；（2）解：2312200kxk x k k ， ∵()()3112k k x k-+±-=， ∵1211,2x x k=-=-， ∵该方程的两根都是整数，且k 为整数，∵11k-为整数， ∵整数k 为±1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．例2．（2022·安徽滁州·八年级期末）已知关于x 的方程()．(1)小明同学说：“无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m 的值．【答案】(1)有道理，理由见解析(2)另一个根为2，5m =-【分析】（1）根据Δ=b 2-4ac ＞0，即可得证；（2）将x =-2代入方程，求出m 的值，再将m =-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．（1）解：有道理，理由如下：∵()()()222245416213120b ac m m m m m ∆=-=+-+=++=++>∵无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将2x =-代入方程得()42510m m -+++=解得5m =-∵原方程为240x -=∵2x =±∵另一个根为2，5m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．练习1．（2022·江苏南京·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x ＝2是方程的根，则m 的值为_____．【答案】(1)见解析(2)552m +=或552-【分析】（1）先计算判别式的值得到∆=（m -2）2+8>0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）将x =2代入方程，解方程即可．（1）解：∵∆=9m 2-4×2（m 2+m -3）=（m -2）2+8>0，∵无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x =2代入方程，得8-6m +m 2+m ﹣3＝0，整理得，m 2-5m +5＝0，解得552m +=或552-，故答案为：552m +=或552-．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2-4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 210x kx k ++-=方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞判断即可．【详解】∵关于x 的方程22210x kx k ++-=，a =1，b =2k ，c =21k -，∵Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞，∵无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．练习3．（2022·山东青岛·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程250x mx m -+-=．(1)求证：无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为25m 的值．【答案】(1)见解析(2)4m =【分析】（1）根据根的判别式求出∆的值，即可得到结论；（2）把x =25+代入方程，得出关于m 的方程，解之可得．（1）证明：24(5)m m ∆=--2420m m =-+24416m m =-++2(2)16m =-+∵2(2)160m ∆=-+>∵方程一定有两个不相等的实数根．（2）将25x =+代入原方程，得2(25)(25)50m m +-++-=(15)445m +=+∵4m =【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．练习4．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于x 的方程220x k x k -++=(1)求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长1a =，另两边b 、c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）∵ABC 是等腰三角形，若b =c ，即∆=0，解出k 后代入方程，解方程可得另外两边长；若a 是腰，则a ＝1是方程的根，把1代入方程解出k 后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可．（1）证明：2(2)42k k ∆=+-⨯2448k k k =++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∵另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∵21(2)20k k -++=，∵1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．。

复系数的一元二次方程的解法

2.复系数的一元二次方程一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a acb －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根.例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(0020=++++i k x kx x由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；（2）若方程有实根,求实根的取值范围.解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，根据复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=-+=++00222y x t xy t t )2()1(, 由)2(得x y t -=,代入)1(得02)(2)(2=+-+-xy x y x y ,即2)1()1(22=++-y x )3(.∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22=++-y x ,2)1()1(22=++-y x 有公共点,04≤≤-∴t , 故方程的实根的取值范围为[]0,4-.点评：本题涉及复数与解析几何的知识,综合性较强,同学们往往不易下手,有一定难度.在第)2(问求实根的取值范围时,还可以先由方程)2)(1(消去y 建立关于实数x 的二次方程,再用判别式∆求出t 的范围.通过本题,同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数问题的常用方法.。

一元二次方程的五种解法

一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中的一种基本形式，解一元二次方程是数学学习的重要内容之一。

解一元二次方程的方法有很多种，下面将介绍其中的五种解法。

第一种解法是因式分解法。

对于形如ax^2+bx+c=0的一元二次方程，如果可以将其因式分解为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，那么方程的解就是x=-b1/a1和x=-b2/a2。

这种方法适用于方程具有特殊形式的情况，例如完全平方和差的形式。

第二种解法是配方法。

对于一般形式的一元二次方程，可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。

具体做法是将方程的常数项c分解为两个数的乘积，使得一元二次方程可以写成(x+p)^2=q的形式，然后通过开方得到方程的解。

这种方法适用于方程的系数较为复杂的情况。

第三种解法是求根公式法。

一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，其中a、b、c分别是方程的系数。

通过代入系数的值，可以得到方程的解。

这种方法是一元二次方程求解的基本方法，适用于一般情况。

第四种解法是图像法。

一元二次方程的解对应于抛物线的顶点和交点。

通过绘制方程对应的抛物线，并观察抛物线与x轴的交点和顶点的坐标，可以得到方程的解。

这种方法可以直观地理解方程的解的性质，并可以通过图像来验证解的正确性。

第五种解法是因式分解与配方法的结合。

对于一元二次方程，如果既可以进行因式分解，又可以进行配方法，那么可以结合两种方法来求解方程。

具体做法是先进行因式分解，然后再进行配方法，最终得到方程的解。

这种方法可以利用因式分解和配方法的优势，适用于复杂方程的求解。

解一元二次方程的方法有很多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法、图像法和因式分解与配方法的结合。

不同的方法适用于不同的方程形式和解的要求。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的解法，来求解一元二次方程。

掌握这些解法，有助于提高数学问题的解决能力，培养逻辑思维和分析问题的能力。

谈复系数一元二次方程

一．一元二次方程是指一个变量的二次多项式方程，即形如ax2+bx+c=0的方程。

一元二次方程的解析解法主要是利用了求根公式，即利用delta=b2-4ac，其中delta为判别式。

当delta>0时，有两个不等实数根；当delta=0时，有一个重根；当delta<0时，根不存在。

一元二次方程也可以采用图形法求解，即将一元二次方程折成一元一次方程，再将它画在x-y坐标系上，把它表示成一条抛物线。

当抛物线有两个不等实数根时，它的图像有两个不等实数根；当抛物线有一个重根时，它的图像有一个重根；当抛物线无根时，它的图像无根。

一元二次方程的解法还可以采用特殊技巧求解，如分解因式法、立体图形法等。

总结：一元二次方程是指一个变量的二次多项式方程，它可以采用解析解法、图形法和特殊技巧求解。

当抛物线有两个不等实数根时，它的图像有两个不等实数根；当抛物线有一个重根时，它的图像有一个重根；当抛物线无根时，它的图像无根。

二．特殊解法的基本思想是利用一元二谈次方程的性质，将它转换成一元一次方程，然后用一元一次方程的求解方法求出原方程的解。

一元二次方程的解法有一种叫做判别式的方法，它的基本思想是将一元二次方程分解成一元一次方程，然后利用判别式的性质，求出原方程的解。

判别式的形式是b2-4ac，它的值可以用来判断一元二次方程的解的个数，即：当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不同的实数根；当b2-4ac=0时，一元二次方程有一个实数根；当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根。

总之，一元二次方程是一个非常常见的数学问题，它的求解方法有一般解法、特殊解法和判别式法，它们各有特点，要根据实际情况选择适当的求解方法。

三．一元二次方程的复系数是指一元二次方程中系数的种类及其大小，它由三个系数决定，即ax^2+bx+c，其中a、b、c可以是任意实数，特别是a≠0时，复系数由a、b、c的大小共同决定。

根据a、b、c的大小可以将一元二次方程分为四类，它们分别是：1、a>0时，两个根都为正，两个根之差越来越小，复系数为正。

一元二次方程4种解法

一元二次方程4种解法
一元二次方程的4种解法是：一般式、工具方法、因式分解法和
求根公式法。

一、一般式：
一般式又称“把头挑出来法”或“十字相乘法”。

在这种方法中，首先把一元二次方程化为化简的一般式，如ax^2+bx+c=0，然后分别根
据a, b, c 的意义，将系数和常数参数代入系数表中，仿照公式的形
式完成无穷多种可能的解答，最后通过对称性和排除法的方法排除不
符合要求的解，从而得出结论。

二、工具方法：
工具方法就是联立矩阵等数学工具，来快速解决一元二次方程，
尤其是在涉及数量较大的情况下，使用矩阵来解决更加有利。

只要建
立好系数矩阵，就可以根据其特点，按照一定步骤，使用乘法、加法、分解等技巧，求得矩阵解，从而获得满足一元二次方程的解。

三、因式分解法：
因式分解法是把原方程转换成两个一元一次方程的形式，然后分
别求解，最后将解代入原方程，检验是否仍然满足原方程。

首先，将
原方程化成两个一元一次方程的形式，例如：ax^2+bx+c=0，我们把它
化为 (ax+m)(ax+n)=0，其中m和n分别是ax+m=0及ax+n=0的解。

然后，我们可以把m和n代入到原方程中，检验是否是原方程的解，即
看是否能使原方程成立。

四、求根公式法：
求根公式法是根据一元二次方程的特征，用公式求解一元二次方
程解。

一元二次方程有两个解，因此也有对应的两个求根公式，即复
根公式：x_1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)和x_2=(-b-sqrt(b^2-
4ac))/(2a)。

通过将常数值代入到公式，就可以求出一元二次方程的解。

一元二次方程的4种解法

一元二次方程的4种解法一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。

其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四种解法，它们分别是直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法。

1. 直接开平方法解决此类问题的关键在于观察一元二次方程等号是否可以直接开平方，若可以先移项，再两边开平方即可例：一元二次方程 x²-36=0解法：x²-36=0x²=36x=±42. 因式分解法把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

提公因式法几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数。

字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。

取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净，全家都搬走，留1把家守。

要变号，变形看正负。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式例：用因式分解法解方程y2＋7y＋6＝0；方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0；y＋1＝0或y＋6＝0；∴y1＝-1，y2＝-6。

3. 配方法在基本代数中，配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法。

一元二次方程的解法公式法

求解匀加速直线运动的速度，已知初速度 $v_0$、加速度 $a$ 和时间 $t$，则末速度 $v = v_0 + at$。
04 一元二次方程的解法与其他方法的比较
配方法与公式法的比较
配方法
通过配方将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后求解。
公式法
直接使用一元二次方程的解的公式进行求解。
比较
配方法适用于所有的一元二次方程，而公式法只适用于一般形式的一元二次方程。配方法在求解过程中需要更多的步骤，但适用范围更广；公式法直接简单，但适用范围有限。
直接开平方法：通过直接开平方的方式求解一元二次方程。
公式法：同上。
比较：直接开平方法适用于可以开平方的一元二次方程，而公式法适用于所有的一般形式的一元二次方程。直接开平方法在求解过程中需要满足特定的条件，但求解过程简单；公式法适用范围广，但求解过程相对复杂。
05 一元二次方程解法的扩展和深化
通过因式分解、配方、使用二项式定理等方法，将高次方程转化为低次方程或一元一次方程，然后求解。
二元二次方程组的解法
定义
二元二次方程组是指包含两个未知数的两个二次方程组成的方程
组。Leabharlann 解法通过消元法、代入法、行列式法等方法，将二元二次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方
程，然后求解。
例子
求解方程组{x^2 + y^2 = 4, x + y = 2}，可以通过代入法得到x
简单实例
01
02
总结词
简单的一元二次方程，可以直接套用公式求解。
实例1
$x^2 - 2x - 3 = 0$
03
实例2
$x^2 + 4x - 1 = 0$

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c分别代表不为零的实数常数。

解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。

下面将逐一介绍这些解法。

一、因式分解法当一元二次方程的因式分解形式为(x + m)(x + n) = 0时，方程的解即为x = -m和x = -n。

通过因式分解法求解一元二次方程的具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

2. 如果方程可以因式分解为两个一次式的乘积，即可直接得到方程的解。

3. 如果方程无法因式分解，可以通过配方法或求根公式等其他方法求解。

二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，通过配方法将其变形为(a'x + p)(b'x + q) = 0的形式，从而得到方程的解。

具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

2. 根据配方法的原则，首先将方程中二次项的系数a拆分为两个数m和n，使得a = m * n，并保证m + n等于一次项的系数b。

3. 将方程进行变形，得到(ax^2 + mx + nx + c = 0)。

4. 对方程进行因式分组，将前两项和后两项分组并提取公因式，得到((ax^2 + mx) + (nx + c) = 0)。

5. 分别对括号中的项进行因式分解，得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。

6. 化简方程，继续合并同类项，得到(x(a + m) + (n + c) = 0)。

7. 根据方程(x(a + m) + (n + c) = 0)，可得到方程的解。

三、求根公式法求根公式法是一种比较常用的解一元二次方程的方法，通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到方程的解。

求根公式法的具体步骤如下：1. 将方程移项，将其化为形如ax^2 + bx + c = 0的标准形式。

一元二次方程根的公式,怎么求复根

一元二次方程根的公式，怎么求复根一元二次方程根的公式？求根公式解一元二次方程，x=【-b±√（b²-4ac）】/2a。

1.通过配方式解一元二次方程的大多数情况下形式，ax²+bx+c=0，可得求根公式x=【-b±√（b²-4ac）】/2a。

2.先观察所解方程是不是一元二次方程的大多数情况下形式，假设不是通过移项变为大多数情况下形式，3.找出系数的值，带进到求根公式当中，可得X的值，怎么求复根？非实复数α是实系数n次方程f(x)=0的根，则其共轭复数α*也是方程f(x)=0的根，且α与α*的重数一样，则称α与α*是该方程的一对共轭复（虚）根。

共轭复根常常产生于一元二次方程中，若用公式法解得根的判别式小于零，则该方程的根为一对共轭复根。

共轭复根解答公式：一般出现在->一元二次方程中。

若根的判别式△=b2-4ac0，，方程有一对共轭复根。

按照一元二次方程求根公式韦达定理：x1，2=-b±√b2-4ac/2a，当b2-4ac0时，方程无实根，但是在复数范围内有2个复根。

复根的求法为x1，2=-b±i√4ac-b2/2a（这当中i 是虚数，i2=-1）。

因为共轭复数的定义是形如a±bi（b≠0）的形式，称a+bi 与a-bi（b≠0）为共轭复数。

另一种表达方式可用向量法表达：x1=pejΩ，x2=pe-jΩ这当中p=√a2+b2，tanΩ=b/a。

因为一元二次方程的两根满足上面说的形式，故一元二次方程在b2-4ac0时的两根为共轭复根。

根与系数关系：x1+x2=-b/a，x1+x2=c/a。

方程的两个根的公式？回答请看下方具体内容，这是一道初中数学试题，考查的为应该一元二次方程的解法，按照题意，一元二次方程的两个根的公式请看下方具体内容，方程为aX²+bx+C=0,这当中a,b,C 为常数，[-b±（b²-4aC）的根号/2a，那就是我的说明及其答案，因为根号的符号没有办法在内容框中填写，用文字说明，那就是我的答案。