复系数的一元二次方程的解法

2.复系数的一元二次方程 一元二次方程)0(02acbzaz的系数为虚数时,仍然可以用求根公式aacb－bz242－求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yixz代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于yx,的方程（组）,从而求出yx,的值,进而得出方程的根. 例1 设kR,关于x的方程2(2)20xkixki有实数解,求k的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解. 解：设0x是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(0020ikxkxx 由复数相等的充要条件得02020020kxkxx. 解得2220kx或2220kx. 所以k的值为22或22. 点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以0)2(4)2(2kiik,解得32k或32k.事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根. 例2 已知关于t的一元二次方程),(0)(2)2(2Ryxiyxxytit. （1）当方程有实根时,求点),(yx的轨迹方程； （2）若方程有实根,求实根的取值范围. 解：（1）设实根为t,则 0)(2)2(2iyxxytit， 即0)()22(2iyxtxytt， 根据复数相等的充要条件得00222yxtxytt )2()1(, 由)2(得xyt, 代入)1(得02)(2)(2xyxyxy, 即2)1()1(22yx )3(. ∴所求点的轨迹方程为2)1()1(22yx,
轨迹是以)1,1(为圆心,2为半径的圆. (2) 由)3(式得圆心为)1,1(,半径2r,直线0tyx与圆2)1()1(22yx有公共点, 则22)1(1t, 即22t, 04t, 故方程的实根的取值范围为0,4. 点评：本题涉及复数与解析几何的知识,综合性较强,同学们往往不易下手,有一定难度.在第)2(问求实根的取值范围时,还可以先由方程)2)(1(消去y建立关于实数x的二次方程,再用判别式求出t的范围.通过本题,同学们要进一步认识把复数问题转化为实数问题求解的必要性,这是解决有关复数问题的常用方法.