复系数的一元二次方程的解法

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1元二次方程的解法

1元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、

c 为实数且 a 不为 0。求解 1 元二次方程的方法主要有以下几种：

一、因式分解法

当二次项系数 a 为 1 时，若二次方程 ax^2 + bx + c = 0 能

够分解成 (x + m)(x + n) = 0 的形式，则方程的解为 x = -m 和

x = -n。

二、公式法

对于一般形式的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其解为：

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

其中√(b^2 - 4ac) 称为判别式，它决定了方程的解的个数和

性质：

若判别式大于 0，则方程有两个不相等的实数解。

若判别式等于 0，则方程有两个相等的实数解。

若判别式小于 0，则方程无实数解，但有 2 个共轭复数解。

三、配方法

配方法适用于二次项系数 a 为 1 的情况。将 x^2 + bx + c = 0 变形为 (x + b/2)^2 = (b^2 - 4c)/4，然后求出 x 的值：

x = -b/2 ± √((b^2 - 4c)/4)

四、韦达定理法

韦达定理适用于二次项系数 a 为 1 的情况。若方程 x^2 + bx + c = 0 的两个解为 x1 和 x2，则：

x1 + x2 = -b

x1 x2 = c

利用这两个关系式可以求出 x1 和 x2。

举例：

求解二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0。

使用公式法：

x = (-(-5) ±√((-5)^2 - 4(1)(6))) / 2(1)

= (5 ± √(25 - 24)) / 2

一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的

解为x =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．

（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为2

22424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它

的解为2b x a

-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．

注意：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．

1．关于x 的一元二次方程21x =的根是（）

A ．1x =

B ．11x =，21x =-

C ．1x =-

D ．121x x ==

一元二次方程式解法公式

一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。

一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。

1. 当方程有实数根时：

一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。

在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。

判别式Δ的值决定了方程的根的性质：

- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；

- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

2. 当方程有复数根时：

一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)

公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面

的解。

在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。

与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。

当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；

当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。

通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。

复数集内一元二次方程的解法

复数集内一元二次方程的解法实系数一元二次方程

复系数一元二次方程 ∆的作用可以用来判断根的情况

不能用来判断根的情况求根公式适用

适用韦达定理

适用适用一、实系数一元二次方程

只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭，

1．判定下列方程根的情况，并解方程

（1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x

（2）0122=+-x x 答：4

71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值．

|x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9．

3．已知实系数一元二次方程

2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值．

二、复系数一元二次方程

虚根不一定成对，成对也不一定共轭。

1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？）

求方程x 2-2ix-7=0的解

解方程：x 2-4ix+5=0；

解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5

351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，）

2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．

2511

22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311

复数集内一元二次方程的解法教学提纲

复数集内一元二次方程的解法实系数一元二次方程

复系数一元二次方程 ∆的作用可以用来判断根的情况

不能用来判断根的情况求根公式适用

适用韦达定理

适用适用一、实系数一元二次方程

只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭，

1．判定下列方程根的情况，并解方程

（1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x

（2）0122=+-x x 答：4

71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值．

|x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9．

3．已知实系数一元二次方程

2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值．

二、复系数一元二次方程

虚根不一定成对，成对也不一定共轭。

1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？）

求方程x 2-2ix-7=0的解

解方程：x 2-4ix+5=0；

解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5

351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，）

2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．

2511

22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311

解一元二次方程的方法

解一元二次方程可以使用以下方法：

1. 完全平方三角形法：将一元二次方程整理成完全平方形式，然后利用完全平方三角形的等价性质来求解。

2. 因式分解法：将一元二次方程写成形如“(x-a)(x-b)=0”的因式分解形式，然后分别解出x的值。

3. 公式法：使用一元二次方程的根公式，即“x = (-b±√(b^2-

4ac))/(2a)”，将方程的系数代入公式，求解出x的值。

4. 完全平方公式法：将一元二次方程利用完全平方公式进行展开，然后运用等价性质来求解。

注意，以上方法只适用于标准形式的一元二次方程。若方程不是标准形式，需要先进行变形或者整理之后再进行求解。

一元二次方程的解法公式

其次，根据判别式的性质，当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根，当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根，当 Δ < 0 时，方程没有实数根。最后，根据二次方程的解的公式 x = [-b ± sqrt(Δ)] / 2a ，可以直接求解一元二次方程的根。
公式法求解一元二次方程的步骤
01
03
配方法求解一元二次方程
Chapter
配方法的原理
转化为一元一次方程
通过配方将一元二次方程转化为易于解的一元一次方程，从而求得二次方程的解。
保持方程不变
在配方过程中，应保持方程的形式不变，以便最终得到与原始方程等价的方程。
配方法的推导过程
01
移项
将一元二次方程的常数项移到方程的右边。
转化思想
通过将一元二次方程转化为两个一元一次方程，降低了问题的复杂性，使问题更容易解决。
因式分解法的推导过程
推导方法
通过使用二次项系数和常数项，将一元二次方程的左边进行因式分解，得到两个一次因式。
推导公式
利用二次项系数和常数项，可以写出两个一次因式，这两个一次因式的乘积等于原方程的左边。
因式分解法求解一元二次方程的步骤
02
配方
将二次项系数除以2 ，并将结果与一次项系数合并，形成一个完全平方。
03
开方
对完全平方进行开方，得到一个一次项系数和一个二次项系数。

复常系数一元二次方程求根公式

大家好，我是晓晓。今天继续给大家讲解这方面的知识，也是在上一篇文章中讲到的，当一个题目，求解时，不一定只需要求解其中一个根，可以从多个变量中求得一个根。所以大家可以根据自己的实际情况，找到最合适，且容易记住和应用的一元二次方程解法。今天晓晓给大家讲一种求解这种问题的方法：解复常系数一元二次方程时，求根公式：复—基。下面我们来看一下用什么方法求复常系数值问题吧。在方程中，每个复数和整数有两个基本未知数（即0+1),所以所有正整数加一个整数就是(0+1)这个复数。比如，一元二次方程可以分为若干个常模中的某个具体题型（即零位不变、正位变差、负位变差等),每个基本未知数都有相应的一个根。比如上面所讲到的10个方程中最简单的就是0-1根的存在形式。这里我们用求一个近似根来说明（可以根据其解与一元二次方程之和大于零或小于零时）这一部分和前面所讲到“关于零位不变”等情况一起说明。

1、先让两个数值相等。

其中：当取为3、则求解一元二次方程（其中最小变量为0):其中：解析：从上面我们可以知道，用三个数乘以3和求得三个值最小值是一个常数公式。如果其中有0、1等三个数的话，那么，可以使用以下公式求得根公式：其中：对于一个(0+1)是有限的四分位数，则这个四分位数就是其零位的复数是唯一数。对于一个0-1位数字是三分位数的复数。那么，就可以用这个公式先求出这个四分位数的零位最小值。

2、然后利用这个近似根公式将方程(1+2)带入之前的步骤（第一步：解一个等式并写出相关数值和运算过程）。

复系数的一元二次方程的解法

2.复系数的一元二次方程

一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a ac

b －b z 242－±=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实根,也可以设方程的根为yi x z +=代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于y x ,的方程（组）,从而求出y x ,的值,进而得出方程的根.

例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.

解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(002

0=++++i k x kx x

由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .

解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩

⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.

点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以

0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.

例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.

（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；

（2）若方程有实根,求实根的取值范围.

解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，

即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，

复系数的一元二次方程的解法

一元二次方程)0(02≠=++a c bz az 的系数为虚数时,仍然可以用求根公式a ac

例1 设k R ∈,关于x 的方程2(2)20x k i x ki ++++=有实数解,求k 的值. 分析：设出方程的实数根,代入方程,利用复数相等的充要条件建立方程组求解.

解：设0x 是方程的实数根,代入方程并整理得.0)2()2(002

0=++++i k x kx x

由复数相等的充要条件得⎩⎨⎧=+=++02020020k x kx x .

解得⎩⎨⎧-==2220k x 或⎩

⎨⎧=-=2220k x . 所以k 的值为22-或22.

点评：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根,所以

0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ,解得32≥k 或32-≤k .事实上,由于虚数单位的特殊性,所以不能用判别式判别复系数的一元二次方程有无实数根.

例2 已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.

（1）当方程有实根时,求点),(y x 的轨迹方程；

（2）若方程有实根,求实根的取值范围.

解：（1）设实根为t ,则 0)(2)2(2=-++++i y x xy t i t ，

即0)()22(2=-++++i y x t xy t t ，

解一元二次方程公式法

适用于求解含有常数项的方程
确定方程式：找出一元二次方程的系数和常数项代入公式：将系数和常数项代入公式计算结果：计算公式的结果验证结果：验证结果是否满足方程式
将方程中的某一项从一边移到另一边使方程的左边只含有一个未知数右边只含有
常数项
移项的目的是为了将方程转化为标准形式
便于求解
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01.
02.
03.
04.
05.
公式法：x = [b±sqrt(b^2-4c)] / (2)
一元二次方程： x^2+bx+c=0其中≠0
适用条件：≠0b^2-4c≥0
公式法的优点：简单、快捷适用于所有一元二次方程
适用于求解一元二次方程
适用于求解含有未知数的方程
适用于求解含有二次项的方程
理解一元二次方程的定义和性质掌握公式法解一元二次方程的步骤学会利用公式法解一元二次方程的实例掌握公式法解一元二次方程的注意事项
判断方程是否有实数根
判断方程是否有复数根
判断方程是否有重根
判断方程是否有虚根
根的符号：一元二次方程的根可以是正数、
负数或零
根的乘积：一元二次方程的两个根的乘积等于常数项除以一次项的系
题目：求解方程 x^2-3x+2=0
解法：使用公式法将方程转化为(x1)(x-2)=0

谈复系数一元二次方程

一．

一元二次方程是指一个变量的二次多项式方程，即形如ax2+bx+c=0的方程。一元二次方程的解析解法主要是利用了求根公式，即利用delta=b2-4ac，其中delta为判别式。当delta>0时，有两个不等实数根；当delta=0时，有一个重根；当delta<0时，根不存在。

一元二次方程也可以采用图形法求解，即将一元二次方程折成一元一次方程，再将它画在x-y坐标系上，把它表示成一条抛物线。当抛物线有两个不等实数根时，它的图像有两个不等实数根；当抛物线有一个重根时，它的图像有一个重根；当抛物线无根时，它的图像无根。

一元二次方程的解法还可以采用特殊技巧求解，如分解因式法、立体图形法等。

总结：一元二次方程是指一个变量的二次多项式方程，它可以采用解析解法、图形法和特殊技巧求解。当抛物线有两个不等实数根时，它的图像有两个不等实数根；当抛物线有一个重根时，它的图像有一个重根；当抛物线无根时，它的图像无根。

二．

特殊解法的基本思想是利用一元二谈次方程的性质，将它转换成一元一次方程，然后用一元一次方程的求解方法求出原方程的解。

一元二次方程的解法有一种叫做判别式的方法，它的基本思想是将一元二次方程分解成一元一次方程，然后利用判别式的性质，求出原方程的解。判别式的形式是b2-4ac，它的值可以用来判断一元二次方程的解的个数，即：

当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不同的实数根；

当b2-4ac=0时，一元二次方程有一个实数根；

当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数根。

总之，一元二次方程是一个非常常见的数学问题，它的求解方法有一般解法、特殊解法和判别式法，它们各有特点，要根据实际情况选择适当的求解方法。

一元二次方程的解法(公式法)

公式法将从这里诞生
回顾配方法解一元二次方程的步骤： 2x2-9x+8=0
9 解 : x 2 x 4 0. 1.化1:把二次项系数化为1; 2 9 2.移项:把常数项移到方程的右边; x 2 x 4 . 2 2 2 9 9 9 2 x x 4. 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 2 2 4 4 9 17 4.变形:方程左边分解因 x . 4 16 式,右边合并同类; 9 17 x . 5.开方:根据平方根意义, 4 4 方程两边开平方; 9 17 x . 6.求解:解一元一次方程; 4 4 9 17 9 17 7.定解:写出原方程的解. x1 ; x2 . 4 4
求根公式 : X=
式。并写出a，b，
c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程 1、3x² -1=0 3、x² -4x-2=0 2、x（2x +3）=5（2x +3） 4、2 x ² -5x+1=0
若△＜0 则方程没有实数根
(2）这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：
在一元二次方程
aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0

一元二次方程的4种解法

一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。其中ax²叫作

二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一

元二次方程。一元二次方程有四种解法，它们分别是直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法。

1. 直接开平方法

解决此类问题的关键在于观察一元二次方程等号是否可以直接开平方，若可以先移项，再两边开平方即可

例：一元二次方程 x²-36=0解法：

x²-36=0

x²=36

x=±4

2. 因式分解法

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

提公因式法

几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个

多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整

数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数。字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提净，全

家都搬走，留1把家守。要变号，变形看正负。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：

一元二次方程的解法

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。求解一元二次方程的解法有两种常见的方法：因式

分解法和求根公式法。

一、因式分解法

对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，当方程能够进行因式分解时，可以通过因式分解法来求解。

步骤一：观察方程的形式，确定是否可因式分解。当方程右边为0时，方程可进行因式分解。

步骤二：将方程进行因式分解，得到 (px + q)(rx + s) = 0 的形式。

步骤三：根据因式分解的结果，设置两个括号中的式子分别等于0，即 px + q = 0，rx + s = 0。

步骤四：解方程 px + q = 0 和 rx + s = 0，得到两个方程的解 x1 和

x2。

步骤五：将 x1 和 x2 作为一元二次方程的解。

二、求根公式法

当一元二次方程无法进行因式分解时，可通过求根公式法来求解。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

步骤一：观察方程的形式，确定系数 a、b、c 的值。

步骤二：根据求根公式，计算出方程的根 x1 和 x2。

步骤三：将 x1 和 x2 作为一元二次方程的解。

需要注意的是，在使用求根公式时，需要满足判别式 D = b^2 - 4ac 大于等于0。若判别式小于0，则方程无实数解。若判别式等于0，则方程有一个实数解。若判别式大于0，则方程有两个不同的实数解。

举例说明：

假设有一元二次方程 2x^2 - 5x + 2 = 0。

使用因式分解法：

一元二次方程的解法

方法一：因式分解

利用因式分解的方法解一元二次方程的一般步骤如下：

Step 1：将方程化为一般形式ax^2+bx+c=0。

Step 2：观察方程是否可以因式分解，即是否存在两个数m和n，使得a(x-m)(x-n)=0。

Step 3：根据展开合并得到的方程，将系数与一般形式进行对比，进而确定m和n的值。

Step 4：根据得到的m和n的值，列出两个因式为零的方程，解方程得到x的值。

方法二：配方法

配方法是利用一定的代数运算将方程变换成平方的形式，从而求得方程的解。它的一般步骤如下：

Step 1：将方程化为一般形式ax^2+bx+c=0。

Step 2：观察方程的形式，判断是否可以通过变量的替换来将方程变为平方的形式。

Step 3：根据变量的替换，将方程转化为平方的形式。

Step 4：将平方的方程进行求解，得到平方变量的解。

方法三：求根公式

求根公式是解一元二次方程的一种常用方法，它可以通过一次运算直

接求得一元二次方程的根。求根公式的一般形式如下：

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

其中，a、b、c为方程ax^2+bx+c=0的系数，±表示两种可能的根。

求根公式的步骤如下：

Step 1：将方程化为一般形式ax^2+bx+c=0。

Step 2：根据求根公式，将a、b、c的值代入公式中。

Step 3：计算公式中的各个项的值。

Step 4：根据计算结果，得到方程的根。

需要注意的是，根的数量和性质与判别式Δ=b^2-4ac的值有关。若Δ>0，则方程有两个不相等的实根；若Δ=0，则方程有两个相等的实根；若Δ<0，则方程没有实根，但有两个共轭的复根。