北京市西城区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案

北京市西城区2017年高三年级统一测试数学（理科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U A B =ð（A ）{|02}x x <≤ （B ）{|02}x x << （C ）{|0}x x < （D ）{|2}x x <2．在复平面内，复数i1i+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是（A ）2π （B ）π （C ）32π （D ）2π4．函数2()2log ||xf x x =+的零点个数为（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）35．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则 （A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=- （B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+ （C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-（D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+6．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（A ）（B ）（C ）6 （D ）7．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ．则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为 （A ）8（B ）9（C ）10 （D ）11第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在5(12)x +的展开式中，2x 的系数为____．（用数字作答）10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若13a =，29S =，则n a =____；n S =____．11．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．曲线cos ,1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）与直线10x y +-=相交于,A B 两点，则||AB =____．13．实数,a b 满足02a <≤，1b ≥．若2b a ≤，则ba的取值范围是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____；四面体1P A BC -的 体积的最大值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB =，E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值； （Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求PMPC的值．17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．18．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．20．（本小题满分13分）如图，将数字1,2,3,,2(3)n n ≥全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为12,,,n a a a ，第二行填入的数字依次为12,,,n b b b ．记11221||||||||nn i i n n i S a b a b a b a b ==-=-+-++-∑．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值； （Ⅱ）给定正整数n ．试给出12,,,n a a a 的一组取值，使得无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，nS 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅲ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．北京市西城区2017年高三年级统一测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．40 10．132n -⋅；3(21)n ⋅- 11．6 12．2 13． 1[,2]214．π4；43注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 8分] π)6A =+． [ 9分]因为 π3C =， 所以 2π03A <<， [10分]所以 ππ5π666A <+<， [11分]所以 1πsin()126A <+≤， [12分]所以 sin sin A B +的取值范围是． [13分] 16．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设ACBD O =，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ．因为 P ABCD -为正四棱锥，所以 PO ⊥平面ABCD ． [ 1分] 所以 PO AC ⊥． [ 2分] 又 BD AC ⊥，且POBD O =， [ 3分]所以 AC ⊥平面PBD ． [ 4分]（Ⅱ）因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]因为 PB AB =，所以 Rt Rt POB AOB ≅△△．所以 OA OP =． [ 6分] 设 2OA =．所以 (2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -． 所以 (2,1,1)AE −−→=-，(2,0,2)PC −−→=--． [ 7分] 所以||cos ,|||||AE PC AE PC AE PC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==|． 即 异面直线PC 与AE． [ 9分] （Ⅲ）连接AM ．设 PM PCλ=，其中 [0,1]λ∈，则 (2,0,2)PM PC λλλ−−→−−→==--， [10分]所以 (22,0,22)AM AP PM λλ−−→−−→−−→=+=---．设平面AEMF 的法向量为(,,)x y z =n ，又(2,1,1)AF −−→=--，所以0,0,AE AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩所以 0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)=n ． [12分] 因为 AM ⊂平面AEF ，所以0AM −−→⋅=n ， [13分] 即 222(22)0λλ--+-=，解得 13λ=， 所以13PM PC =． [14分] 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=． [ 2分] 所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题． [ 3分] （Ⅱ）X 的可能取值是0，1，2． [ 4分]216220C 12(0)19C P X ===； 11164220C C 32(1)95C P X ===； 24220C 3(2)95C P X ===． [ 7分] X 的分布列为：[ 8分]123233801219959595EX =⨯+⨯+⨯=． [10分] （Ⅲ）将抽样的20名学生中第i 题的实测难度，作为240名学生第i 题的实测难度． 定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++-，其中i P为第i 题的预估难度．并规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理． [11分]222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分] 注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测 难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝 对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e xx f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 4分]（Ⅱ）依题意，切线方程中令1x =，得 00020000011e e )22(e )(1)(2)(x x x y x x x x x =+=--+--. [ 5分]所以 (1,)A y ，(1,0)B .所以 1||||2AOB S OB y =⋅△0001|(2)(1e 22)|x x x =-- 000(1)(11|e )|22x x x =--，0[1,1]x ∈-. [ 7分]设 ()(111e )22)(x x g x x -=-，[1,1]x ∈-. [ 8分]则 11111e )(1)(e )(1)(e 1)22(2()22x x x x x x g x -+'=-----=-. [10分]令 ()0g x '=，得0x =或1x =．()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以 ()g x 在(1,0)-单调递减；在(0,1)单调递增， [12分] 所以 min ()(0)1g x g ==，从而 △AOB 的面积的最小值为1． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 4分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 6分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 7分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 8分] 所以直线OM 的斜率是22263438443k k k k k +=--+， [ 9分]所以直线OM 的方程是 34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -． [10分]直线OE 的方程是 y kx =．令4x =，得(4,4)E k ． [11分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是 3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 直线OE 的方程是 112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +． [ 9分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是 1143(2)EF y k x =+， [10分]因为 211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 所以EF OM ⊥，记垂足为H ； [12分] 同理可得 211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分] 在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 3S 的所有可能的取值为3，5，7，9. [ 3分] （Ⅱ） 令i a i = (1,2,,)i n =，则无论12,,,n b b b 填写的顺序如何，都有2n S n =．[ 5分]因为 i a i =， 所以 {1,2,,2}i b n n n ∈++，(1,2,,)i n =． [ 6分]因为 i i a b < (1,2,,)i n =，所以 22111111||()nnnnn nn i i i i i i i i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑． [ 8分]注：12{,,,}{1,2,,}n a a a n =，或12{,,,}{1,2,,2}n a a a n n n =++均满足条件．（Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1ni i A a ==∑，1ni i B b ==∑，其中1,2,,i n =．则 1111||()nnnnn i i i i i i i i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑． [ 9分]因为 212(21)(21)2ni n n A B i n n =++===+∑， 所以 A B +与n 具有相同的奇偶性． [11分]2017西城一模11 / 11又因为 A B +与A B -具有相同的奇偶性， 所以 n S A B =-与n 的奇偶性相同，所以 n S 的所有可能取值的奇偶性相同． [13分] 解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．考虑如下表所示的任意两种不同的填法，1||nn i i i S a b ==-∑，1||nni i i S a b ='''=-∑，不妨设i i a b <，i i a b ''<，其中 1,2,,i n =． [ 9分]111111()()()()n ni i i i i i i i i i i i i i S S b a b a b b a a ======'''''+=-+-=+-+∑∑∑∑∑∑． 对于任意{1,2,,2}k n ∈，① 若在两种填法中k 都位于同一行，则k 在n nS S '+的表达式中或者只出现在11n n i i i i b b =='+∑∑中，或只出现在11n ni i i i a a =='+∑∑ 中，且出现两次，则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到2k ±． [11分] ② 若在两种填法中k 位于不同行，则k 在n nS S '+的表达式中在11n n i i i i b b =='+∑∑与11n ni i i i a a =='+∑∑中各出现一次， 则对k 而言，在n nS S '+的结果中得到0． 由 ① ② 得，对于任意{1,2,,2}k n ∈，n nS S '+必为偶数． 所以，对于表格的所有不同的填法，n S 所有可能取值的奇偶性相同． [13分]。