线性代数(课堂PPT)
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线性代数课件PPT
线性变换的矩阵表示
矩阵的定义和性质
矩阵是数学中一个重要的概念，它是一个由数字组成的矩形 阵列。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量乘法 、乘法等。
线性变换的矩阵表示
线性变换可以用矩阵来表示。对于一个线性变换，我们可以 找到一个矩阵，使得该线性变换的作用相当于矩阵与向量的 乘法。通过矩阵表示，我们可以更方便地研究线性变换的性 质和变化规律。
02
线性方程组
线性方程组的定义和分类
线性方程组的定义
由有限个线性方程组成的方程组，其 中每个方程包含一个或多个未知数。
线性方程组的分类
根据未知数的个数和方程的个数，可 以将线性方程组分为不同类型，如二 元一次方程组、三元一次方程组等。
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元和回代，将线性方程组转化为单一 未知数的求解问题，从而求得方程组的解。
线性代数的发展历程
线性代数的发展始于19世纪中叶，随 着代数学的发展而逐渐形成。
20世纪初，法国数学家埃米里·嘉当 和德国数学家赫尔曼·外尔等人进一步 发展了线性代数的理论体系。
19世纪末到20世纪初，德国数学家 赫尔曼·格拉斯曼提出了向量和矩阵的 概念，为线性代数的发展奠定了基础 。
如今，线性代数已经成为数学和工程 学科中的重要基础课程之一，广泛应 用于各个领域。
特征值与特征向量的计算方法
线性代数第一章PPT讲解1-4
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44.
a31 a32 a33
xn x1
x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
0
x2n2 ( x2 x1 )
x3n2 ( x3 x1 )
x n2 n
(源自文库
xn
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12 .
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44.
a31 a32 a33
xn x1
x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
0
x2n2 ( x2 x1 )
x3n2 ( x3 x1 )
x n2 n
(源自文库
xn
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
假设（1）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立，
依次做行变换:
rn x1rn1 , rn1 x1rn2 , ....., r2 x1r1
有
1
1
1
1
0
Dn 0
x2 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 x1
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
线性代数ppt
定理2.3 设A是一个m n非零矩阵，那么A一定 可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最 简形，再进行初等列变换化为如下标准形：
Er O O O mn 其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.
注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。
对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化 为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形.
定理2.4 设A是一个m n 矩阵，对A 施行一次
初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶 初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
R1R2 Rs AC1C2 Ct E
A (R1R2 Rs )1 E(C1C2 Ct )1 Rs1 R21R11Ct1 C21C11
四、分块矩阵
分块对角矩阵的性质
A1
O
设方阵
A
A2
则
1.
O
At
2. 如果 Ai 0i 1,2,,t ,则A 0,即矩阵A可逆，且
A1
A
A2
o
o
. At
A1k
O
3.
Ak
A2 k
O
At k
特殊地，如果 是对角矩阵
11
0
0
22
0 0
0 0 nn
定理2.5 n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限 个初等矩阵 P1, P2 ,, Pl , 使得 A P1P2 Pl .
Er O O O mn 其中r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.
注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。
对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化 为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形.
定理2.4 设A是一个m n 矩阵，对A 施行一次
初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶 初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.
R1R2 Rs AC1C2 Ct E
A (R1R2 Rs )1 E(C1C2 Ct )1 Rs1 R21R11Ct1 C21C11
四、分块矩阵
分块对角矩阵的性质
A1
O
设方阵
A
A2
则
1.
O
At
2. 如果 Ai 0i 1,2,,t ,则A 0,即矩阵A可逆，且
A1
A
A2
o
o
. At
A1k
O
3.
Ak
A2 k
O
At k
特殊地，如果 是对角矩阵
11
0
0
22
0 0
0 0 nn
定理2.5 n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限 个初等矩阵 P1, P2 ,, Pl , 使得 A P1P2 Pl .
线性代数PPT
b11 b1n D2 det(bij ) , bn1 bnn
例13
a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
a11 a1k D1 det(a ij ) , a k 1 a kk
求证: D D1 D2 .
a11 a1k
8
a b
例12. 计算 n 阶行列式 D b
b a b b
b b a b
b b b a
b
解: 将第 2,3,, n 列都加到第一列得
a n 1b a n 1b
c1 ci (i 2,, n)
D
b a b b
b b a b
第一章 行列式
行列式的定义与性质
华东理工大学
1.1.5 行列式的性质
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 记 D
an1 an 2 ann
例如：
a11 a21 a12 a22 T D a1n a2 n
an1 an 2
ann
D T 称为行列式 D 的转置行列式. 行列式
b b b a
a n 1b a n 1b
a n 1b a n 1b a n 1b
b a ( n 1)b 1 b a b 1 b b a a n 1b b b a b a
例13
a k 1 a kk 设D c11 c1k c n1 c nk
a11 a1k D1 det(a ij ) , a k 1 a kk
求证: D D1 D2 .
a11 a1k
8
a b
例12. 计算 n 阶行列式 D b
b a b b
b b a b
b b b a
b
解: 将第 2,3,, n 列都加到第一列得
a n 1b a n 1b
c1 ci (i 2,, n)
D
b a b b
b b a b
第一章 行列式
行列式的定义与性质
华东理工大学
1.1.5 行列式的性质
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n 记 D
an1 an 2 ann
例如：
a11 a21 a12 a22 T D a1n a2 n
an1 an 2
ann
D T 称为行列式 D 的转置行列式. 行列式
b b b a
a n 1b a n 1b
a n 1b a n 1b a n 1b
b a ( n 1)b 1 b a b 1 b b a a n 1b b b a b a
《线性代数第1讲》课件
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
矩阵的秩的概念
秩的定义
矩阵的秩是其行（或列）向量组的最大线性无关组中向量的个数。
秩的性质
矩阵的秩具有一些重要的性质，如转置不变性、乘法不变性等。
秩的意义
矩阵的秩反映了其行（或列）向量组中信息的多少和重要程度。
矩阵的秩的计算方法
01
行初等变换法
通过行初等变换将矩阵化为行阶 梯形或行最简形，从而得到其秩 。
线性代数的重要性
线性代数是解决实际问题的 有力工具，如线性方程组的 求解、最小二乘法、主成分
分析等。
线性代数是学习其他数学分 支的基础，如微积分、概率 论、复变函数等都需要用到
线性代数的知识。
线性代数在计算机科学和工 程领域也有广泛应用，如计 算机图形学、机器学习、信 号处理等都涉及到线性代数 的概念和方法。
《线性代数第1讲》ppt课件
$number {01}
线性代数课件ppt
3 3 6 2 8 1 6 8 9
第16页/共90页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11
3
A
a21
a12
a22
am1 am1
称为矩阵A的负矩阵.
a1n a2n amn
aij ,
4 A A 0, A B A B.
a11 a21
a12 a1n a22 a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
称为增广矩阵，记为
~ A( A)
第29页/共90页
例4 :利用矩阵表示线性方程组
x1 2x2 3x3 4x4 1
4 x1 3 x1
x2 2x3 4x2 x3
3 x4 2 x4
mxs
sxn
cij
mxn
第24页/共90页
例2：
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例3： 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
第25页/共90页
解
A
aij
,
34
B bij 43,
第16页/共90页
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11
3
A
a21
a12
a22
am1 am1
称为矩阵A的负矩阵.
a1n a2n amn
aij ,
4 A A 0, A B A B.
a11 a21
a12 a1n a22 a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
称为增广矩阵，记为
~ A( A)
第29页/共90页
例4 :利用矩阵表示线性方程组
x1 2x2 3x3 4x4 1
4 x1 3 x1
x2 2x3 4x2 x3
3 x4 2 x4
mxs
sxn
cij
mxn
第24页/共90页
例2：
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例3： 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
第25页/共90页
解
A
aij
,
34
B bij 43,
线性代数第一章ppt
矩阵的转置
将矩阵的行列互换得到转置矩阵。
矩阵的逆与行列式
逆矩阵
一个$n times n$方阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$满足$AA^{-1} = A^{-1}A = I$，其中$I$为单位矩阵。
行列式
一个$n times n$方阵$A$的行列式记为$det(A)$，是一个标量值，等于所有行主元素之积。行列式具有一些基 本性质，如$det(A^{-1}) = frac{1}{det(A)}$和$det(kA) = k^ndet(A)$。
03
向量具有方向，由起点指向终点。
04
向量可以进行加法、数乘等基本运算。
向量空间的定义与性质
向量空间中的向量可以进行加法、数乘等基本 运算，满足向量空间的八条公理。
向量空间中的向量可以进行数乘，即对于任意标量k 和任意向量a，存在唯一的标量k乘以向量a的结果k*a。
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法 和数乘封闭性、加法和数乘的结合律和分配律 等性质。
谱分解法是将矩阵分解为一个 或多个特征值和特征向量的线 性组合，从而直接得到特征值 和特征向量。该方法适用于对 称矩阵或Hermitian矩阵，但 计算复杂度较高。
特征值与特征向量的应用
振动分析
控制系统
在机械、航空、工程等领域中，可以 利用特征值和特征向量对物体的振动 进行分析，了解其固有频率和振型。
将矩阵的行列互换得到转置矩阵。
矩阵的逆与行列式
逆矩阵
一个$n times n$方阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$满足$AA^{-1} = A^{-1}A = I$，其中$I$为单位矩阵。
行列式
一个$n times n$方阵$A$的行列式记为$det(A)$，是一个标量值，等于所有行主元素之积。行列式具有一些基 本性质，如$det(A^{-1}) = frac{1}{det(A)}$和$det(kA) = k^ndet(A)$。
03
向量具有方向，由起点指向终点。
04
向量可以进行加法、数乘等基本运算。
向量空间的定义与性质
向量空间中的向量可以进行加法、数乘等基本 运算，满足向量空间的八条公理。
向量空间中的向量可以进行数乘，即对于任意标量k 和任意向量a，存在唯一的标量k乘以向量a的结果k*a。
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法 和数乘封闭性、加法和数乘的结合律和分配律 等性质。
谱分解法是将矩阵分解为一个 或多个特征值和特征向量的线 性组合，从而直接得到特征值 和特征向量。该方法适用于对 称矩阵或Hermitian矩阵，但 计算复杂度较高。
特征值与特征向量的应用
振动分析
控制系统
在机械、航空、工程等领域中，可以 利用特征值和特征向量对物体的振动 进行分析，了解其固有频率和振型。
线性代数PPt
1 2 0 2 1 P 1 1 0 , 且有P AP 1 . 1 0 1 1
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( 3).因为A PP 1 , 则 A100 P100 P 1 2 0 1 2 0 1 1 又由P 1 1 0 , 得P 1 1 0 . 1 1 2 1 0 1 100 1 2 0 1 2 0 2 100 所以A 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 2 1
因为A 只有两个线性无关的特征向量，所以A 不能与对角阵相似。
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返回
从上例看出，A 不与对角阵相似的根本原因在于 A 对应二重特征值只有一个线性无关的特征向量。 从而有 定理4` n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 A 的每一个k 重特征值 λ 对应有 k 个线性无关的特征 向量( 即矩阵A－λE 的秩为n － k)。
则由 P－1AP = Λ，得 AP = PΛ，即 λ 1 λ2 A(p1 ,p2 , ,pn ) (p1 ,p2 , ,pn ) λn (λ 1 p1 ,λ 2 p2 , ,λ n pn ),
上页 下页 返回
于是有
Api i pi (i 1,2,, n).
可见λi 是 A 的特征值 ，而 P 的列向量 pi 就是 A 的对 应于特征值λi 的特征向量。 反之，因 A 在复数范围内必有 n 个特征值，并 可对应地求出 n 个特征向量，这 n 个特征向量即可构 成矩阵 P ，使 AP = PΛ。 余下的问题是：P 是否可逆？
《线性代数》课件
介绍高斯消元法解线性方程组 的步骤和应用。
矩阵表示
讲解线性方程组的矩阵表示和 矩阵方程的求解。
向量空间
深入研究向量空间的定义和性质，探讨基、维数和子空间的相关概念。
特征值和特征向量
1
特征向量
2
解释特征向量的概念和性质，以及特
征向量与特征值之间的关系。
3
特征值
介绍特征值的定义和求解，以及特征 值的几何意义和应用。
对角化
探索对角化矩阵的定义和性质，以及 如何对角化一个矩阵。
应用实例
展示线性代数在工程、计算机科学和物理学等领域中的应用实例，激发学习者对线性代数的兴趣和学习 动力。
《线性代数》PPT课件
通过本PPT课件，帮助您深入了解线性代数的原理和应用，从基本概念到实例 讲解，全面提升您的线性代数知识。
课程介绍
了解线性代数的重要性和应用领域，介绍课程内容和学习目标。
基本概念和定义
1 向量
2 矩阵
介绍向量的定义和性质， 包括向量的运算和几何 表示。
解释矩阵的概念、矩阵 的运算和特殊类型的矩 阵。
3 行列式
探讨行列式的计算和性 质，以及行列式在线性 代数中的应用。
矩阵运算
加法与减法
介绍矩阵的加法和减法运算， 以及相关的性质和规则。
数乘
详细讲解数乘运算的定义和 性质，以及数乘对矩阵的影 响。
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
32 x 1
对应于
1 1 2x 1
1 (1234) a11a22a33a44 1 1243 a11a22a34a43
1 (1234) a11a22a33a44 x3 ,
1 1243 a11a22a34a43 2x3
故 x3 的系数为 1.
21
11 11 Dn
1 1
0
0001
0 0 2 0 1 43211 2 3 4 24.
0300
4000
7
例2 计算n阶(右)上三角行列式
a11 a12
a1n
0 a22
a2n
特点 aij 0 当i j
00
ann
解：(分析) 展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn .
考查第n行， 若 pn n, 则 anpn 0.
0421
D
?
0056
0008
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
9
同理可得(左)下三角行列式
a11 0 a21 a22
an1 an2
0
0 a11a22 ann .
ann
特殊的
d1 0 0 d2
0 0
d1d2 dn ,
3
对应于
1 1 2x 1
1 (1234) a11a22a33a44 1 1243 a11a22a34a43
1 (1234) a11a22a33a44 x3 ,
1 1243 a11a22a34a43 2x3
故 x3 的系数为 1.
21
11 11 Dn
1 1
0
0001
0 0 2 0 1 43211 2 3 4 24.
0300
4000
7
例2 计算n阶(右)上三角行列式
a11 a12
a1n
0 a22
a2n
特点 aij 0 当i j
00
ann
解：(分析) 展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn .
考查第n行， 若 pn n, 则 anpn 0.
0421
D
?
0056
0008
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
9
同理可得(左)下三角行列式
a11 0 a21 a22
an1 an2
0
0 a11a22 ann .
ann
特殊的
d1 0 0 d2
0 0
d1d2 dn ,
3
线性代数ppt课件
THANKS.
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
矩阵的秩
矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数， 也是矩阵中最重要的数值特征之一。
利用矩阵的秩求解方程组
对于Ax=b，当r(A)=r时，方程组有解；当 r(A)<r时，方程组无解。
方程组的解法及例题解析
高斯消元法：高斯消元法是一种经典的解线性方程组的方法，其基本思想是通过初等行变换将系数矩 阵转化为阶梯形矩阵，然后回代求解。
特征向量与特征值的概念
总结词
特征向量是线性变换下的不变量，特征值是与特征向 量相关的标量。
详细描述
特征向量是线性变换下的不变量，即对于一个给定的线 性变换和一个向量x，如果存在一个标量lambda使得 Tx=lambda*x，那么x是特征向量，lambda是特征值 。特征值是与特征向量相关的标量，它反映了线性变换 的性质和特征向量的关系。
线性变换的定义及性质
总结词
线性变换是向量空间中的一种变换，具有一些特殊的性 质。
《线性代数》PPT课件幻灯片PPT
因此, A存在n个线性无关的特征向量.
显然, 也有B的特征值: 1=n, 2=···=n=0.
当 2=···= n=0时, R(B– E)=R(B)=1, 故(B– E)x=0的根底解系有n-1个向量.
而当1=n时, | B–1E |=0, 故(B–1E)x=0有非零解.
因此, B也存在n个线性无关的特征向量.
1
= ( p1, p2, ···, pn )
2
= P. n
因此有, P-1AP =, 即矩阵A与对角矩阵相似.
命题得证.
推论: 如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 那
么A与对角阵相似.
说明: 如果A的特征方程有重根, 此时不一定有n
个线性无关的特征向量, 从而矩阵A不一定能对角化.
但如果能找到n个线性无关的特征向量, 那么A还是能
阵 相似时很容易证明即.
f(A)=Pf()P-1=
f(1)
P
f(2)
f(n)P1=POP-1=O.
二、利用相似变换将方阵对角化
n阶方阵A是否与对角阵 =diag( 1, 2,···, n ) 相似, 那么我们需要解决如下两个问题:
1. 方阵A满足什么条件与对角阵 相似; 2. 如何求方阵A与对角阵 相似的相似变换矩阵P.
征向量, 从而矩阵A能对角化得充分必要条件时对应重
根2 = 3 = 1有两个线性无关的特征向量, 即方程组
显然, 也有B的特征值: 1=n, 2=···=n=0.
当 2=···= n=0时, R(B– E)=R(B)=1, 故(B– E)x=0的根底解系有n-1个向量.
而当1=n时, | B–1E |=0, 故(B–1E)x=0有非零解.
因此, B也存在n个线性无关的特征向量.
1
= ( p1, p2, ···, pn )
2
= P. n
因此有, P-1AP =, 即矩阵A与对角矩阵相似.
命题得证.
推论: 如果n阶矩阵A有n个互不相等的特征值, 那
么A与对角阵相似.
说明: 如果A的特征方程有重根, 此时不一定有n
个线性无关的特征向量, 从而矩阵A不一定能对角化.
但如果能找到n个线性无关的特征向量, 那么A还是能
阵 相似时很容易证明即.
f(A)=Pf()P-1=
f(1)
P
f(2)
f(n)P1=POP-1=O.
二、利用相似变换将方阵对角化
n阶方阵A是否与对角阵 =diag( 1, 2,···, n ) 相似, 那么我们需要解决如下两个问题:
1. 方阵A满足什么条件与对角阵 相似; 2. 如何求方阵A与对角阵 相似的相似变换矩阵P.
征向量, 从而矩阵A能对角化得充分必要条件时对应重
根2 = 3 = 1有两个线性无关的特征向量, 即方程组
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解 方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6, 由 x25x60得 x2或 x3.
15
§2 全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
a 11 a 12 数表 a 2 1 a 2 2
a11 a12 记号 a 2 1 a 2 2
表达式 a11a22称a12为a2由1 该
数表所确定的二阶行列式，即
Da11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
其中，aij(i1,2;j1,2)称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行；
j
为列标，表明元素位于第j
线性代数（第五版）
2013.12.14修改汇总
修改人：xiaobei93521
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
2
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
a 2 1 a பைடு நூலகம் 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
6
二元线性方程组
3
第一章
行列式 •行列式是线性代 数的一种工具！
• 内容提要
•学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 行列式的概念.
§3 n 阶行列式的定义
§4 对换 （选学内容）
§5 行列式的性质
行列式的性质及计算.
§6 行列式按行（列）展开
§7 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
4
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
( a a a a ) x b a a b 12 12 12 21 1 1 22 12 2
相减而得.
7
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
原则：横行竖列
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
解 因为 D
3 ( 4 ) 7 0
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 ) L 3 2 1 n !
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
18
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
13
1 2 -4
例2 计算行列式 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 3 4 2 8 24 1.4
14
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
9
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
(方程组的系数行列式)
21
122
D
12 (2)14
1 11
3 12
D2 2
32421 1
所以
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
213 7
11
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
引进记号
a 31 a 32 a 33
原则：横行竖列
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
19
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序.
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
15
§2 全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
a 11 a 12 数表 a 2 1 a 2 2
a11 a12 记号 a 2 1 a 2 2
表达式 a11a22称a12为a2由1 该
数表所确定的二阶行列式，即
Da11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
其中，aij(i1,2;j1,2)称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行；
j
为列标，表明元素位于第j
线性代数（第五版）
2013.12.14修改汇总
修改人：xiaobei93521
在以往的学习中，我们接触过二 元、三元等简单的线性方程组. 但是，从许多实践或理论问题里 导出的线性方程组常常含有相当 多的未知量，并且未知量的个数 与方程的个数也不一定相等.
2
我们先讨论未知量的个数与方程 的个数相等的特殊情形. 在讨论这一类线性方程组时，我 们引入行列式这个计算工具.
a 2 1 a பைடு நூலகம் 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则 并不适用！
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
6
二元线性方程组
3
第一章
行列式 •行列式是线性代 数的一种工具！
• 内容提要
•学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列及其逆序数 行列式的概念.
§3 n 阶行列式的定义
§4 对换 （选学内容）
§5 行列式的性质
行列式的性质及计算.
§6 行列式按行（列）展开
§7 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
4
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
( a a a a ) x b a a b 12 12 12 21 1 1 22 12 2
相减而得.
7
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
原则：横行竖列
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21
D2 D
10
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
3 2
解 因为 D
3 ( 4 ) 7 0
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 ) L 3 2 1 n !
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
18
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
13
1 2 -4
例2 计算行列式 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 3 4 2 8 24 1.4
14
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
9
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
(方程组的系数行列式)
21
122
D
12 (2)14
1 11
3 12
D2 2
32421 1
所以
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
213 7
11
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
引进记号
a 31 a 32 a 33
原则：横行竖列
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
19
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序.
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再