2007年升学考试(北京卷)数学(理工农医类)

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试(北京卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至5页，第II 卷6至16页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 P 31 Cl 35.5 K 39 I 1275．将用于2008年北京奥运会的国家游泳中心（水立方）的建筑采用了膜材料ETFE ，该材料为四氟乙烯与乙烯的共聚物，四氟乙烯也可与六氟丙烯共聚成全氟乙丙烯。

下列说法错误．．的是A ．ETFE 分子中可能存在“－CH 2－CH 2－CF 2－CF 2－”的连接方式B ．合成ETFE 及合成聚全氟乙丙烯的反应均为加聚反应C ．聚全氟乙丙烯分子的结构简式可能为D ．四氟乙烯中既含有极性键又含有非极性键答案：C备注：共聚物；加聚反应；结构简式；共价键的极性；氟化物 6．对相同状况下的12C 18O 和14N 2两种气体，下列说法正确的是 A ．若质量相等，则质子数相等 B ．若原子数相等，则中子数相等 C ．若分子数相等，则体积相等 D ．若体积相等，则密度相等答案：C备注：阿伏伽德罗定律；元素性质 7．在由水电离产生的H ＋浓度为1×10－13mol·L－1的溶液中，一定能大量共存的离子组是①K ＋、Cl －、NO 3－、S 2－②K ＋、Fe 2＋、I －、SO 42－③Na ＋、Cl －、NO 3－、SO 42－④Na ＋、Ca 2＋、Cl －、HCO 3－⑤K ＋、Ba 2＋、Cl －、NO 3－A ．①③B ．③⑤C ．③④D ．②⑤答案：B 备注：离子共存－CF 2－CF 2－CF 2－CF －CF 3－ ] [ n8．X 、Y 为短周期元素，X 位于IA 族，X 与Y 可形成化合物X 2Y ，下列说法正确的是 A ．X 的原子半径一定大于Y 的原子半径B ．X 与Y 的简单离子不可能具有相同的电子层结构C ．两元素形成的化合物中，原子个数比不可能为1 ：1D ．X 2Y 可能是离子化合物，也可能是共价化合物答案：D备注：元素周期表；元素周期律9．如图所示，集气瓶内充满某混合气体，置于光亮处，将滴管内的水挤入集气瓶后，烧杯中的水会进入集气瓶，集气瓶气体是 ①CO 、O 2 ②Cl 2、CH 4 ③NO 2、O 2 ④N 2、H 2 A ．①② B ．②④C ．③④D ．②③答案：D备注：常见气体光催化反应10．一定条件下，体积为10L 的密闭容器中，1molX 和1molY 进行反应： 2X(g)＋Y(g)Z(g)，经60s 达到平衡，生成0.3molZ 。

2007年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科综合参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科综合参考答案第Ⅰ卷1．C 2．D 3．D 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D9．D 10．A 11．B 12．C 13．A 14．D 15．C 16．A17．B 18．B 19．D 20．C第Ⅱ卷21．（18分）（1）B（2）①A ，C ②（2.97~2.99），（13.19~13.21）③如图④（0.16~0.20），（4.50~5.10）22．（16分）（1）极间场强U E d=；（2）α粒子电荷为2e ，质量为4m ，所受电场为22eU F eE d== α粒子在极板间运动的加速度42F eU a m md== （3）由212d at =，得： 22d m t d a eU == 02R R eU v t d m== 23．（18分）（1）驱动电机的输入功率 31.510W P IU ==⨯电（2）在匀速行驶时 0.9P P Fv fv ===电机0.9/f P v=电汽车所受阻力与车重之比 /0.045f mg =。

123（3）当阳光垂直电磁板入射式，所需板面积最小，设其为S ，距太阳中心为r 的球面面积204S r π=。

若没有能量的损耗，太阳能电池板接受到的太阳能功率为P '，则00P S P S '= 设太阳能电池板实际接收到的太阳能功率为P ，()130%P P '=-()00130%P S P S =- 由于15%P P=电，所以电池板的最小面积 220004101m 0.70.150.7r P PS S P P π===⨯电分析可行性并提出合理的改进建议。

24．（20分）（1）方框质量 4m LAd =方框电阻 4L R Aρ= 方框下落速度为v 时，产生的感应电动势 2E B L v =⋅⋅感应电流 2E BAv I R ρ== 方框下落过程，受到重力G 及安培力F ， 4G mg LAdg ==，方向竖直向下22B ALF BI L v ρ=⋅=，方向竖直向上当F=G 时，方框达到最大速度，即v=v m则 2m 4B A L v L A d g ρ=方框下落的最大速度 m 24d v g B ρ=（2）方框下落加速度为2g 时，有22g mg IB L m -⋅=，则 4mg Adg I BL B== 方框的发热功率 22224ALd g P I R B ρ== （3）根据能量守恒定律，有 22012t mgh mv I Rt =+ 2012t m I gh v Rt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得恒定电流I 0的表达式 2012t d I Agh v t ρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

北京市2007年高级中等学校招生统一考试数学试卷及答案

2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡＂上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．3-的倒数是A ．13-B ．13C ．3D ． 3-2．“北京2008”奥运会国家游泳中心“水立方”的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为 A ．60.2610⨯ B ．42610⨯ C ．62.610⨯ D ．52.610⨯ 3．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，DE 过点 C 且平行于AB ，若∠BCE =35°, 则∠A 的度数为A ．35°B ．45°C ．55°D ．65° 4．若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为A ．4-B ．1-C ． 0D ． 45．中国国家图书馆统计了2005年1~6月到馆读者人次约（单位：万）：37，25，44，43，41，38，那么这6个月平均每月到馆读者人次约为A ．37B ．38C ．39D ．40 6．把代数式244ax ax a -+分解因式，结果正确的是A ．2(2)a x -B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-E D C B A7．袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同.在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为A ．19 B ．13C ．12D ．23 8．右图所示是一个三棱柱纸盒．在下面四个图中，只有一个．．．．是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷第Ⅱ卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．若分式241x x -+的值为0，则x 的值为． 10．若关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．11．在奥运五环标志的五个环内，分别填写0~20之间的五个不同的数a ，b ，c ，d ，e ，如图：，其中a ，b ，c 是三个连续偶数，d ，e 是两个连续奇数，使得a b c d e ++=+. 例如：．请你在下图中，填写另一组不同的且符合条件的数：.12．已知：如图，对称中心为点O 的正六边形.请你用一个含30°角的直角三角板的角将这个正六边形的面积n 等分，且使角的顶点与点O 重合，n 的所有可能的值是 .三、解答题（共5个小题，共25分）13．（本小题满分5分）1120072sin45()4--︒+．解：e dcb a 75642D C B A P O14．（本小题满分5分）解方程：2410x x +-=. 解：15. （本小题满分5分）计算：22111x x x ---．解：16. （本小题满分5分）已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA=OC ，OB=OD . 求证：AB=CD .证明：17. （本小题满分5分）已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．解：EDCB A DCBAO四、解答题（共2个小题，共10分） 18. （本小题满分5分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB = DC =AD ， ∠C =60°，AE ⊥BD 于点E ，AE =1，求梯形ABCD 的高．解： 19．（本小题满分5分）已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过A 点的直线交于点B ，OC =BC ，12AC OB．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若∠ACD =45°，OC =2，求弦CD 的长．解：（1）证明：（2）解：五、解答题（本题满分6分）20.根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：2005年北京市用水情况统计表（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供．请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算全市的水资源总量；（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若已知工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿m 3，请你计算2005年北京市环境用水量为多少亿m 3，并将结果填入表中；（3）根据以上数据请你计算2005年北京市缺水多少亿m 3？（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法. 解：（1）（2）（3）（4）图211GF EO yx六、解答题（共2个小题，共9分）21．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为（1，1）.顶点放在对角线FO 上. （1）如图1，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一直角边落在直线FO 上时，则这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积为 .（2）在图2中，若直角顶点不与点O 、F 重合，且这个三角形纸片的两直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定这时直角三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形.解：（2）22．（本小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x =的图象与3y x=的图象关于x 轴对称，直线l 与ky x=的图象交于点(,3)A m ，直线l 经过点(,0)B n ，且△OAB 的面积等于3，试确定n 的值．解：ABC23．如图，已知△ABC.（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的条件，证明AB+AC ＞AD+AE. 解：（1）相应的条件是：；两对面积相等的三角形分别是： . （2）证明：24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过P ，A （0，2）两点 . （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标. 解：（1）（2）（3）25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12A ∠，请你根据此图，写出一个与∠A相等的角，并猜想哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，∠DCB=∠EBC=12A∠，请你探究此时是否存在等对边四边形，并证明你的结论.解：（1）（2）（3）OEDC BA2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷参考答案及评分参考三、解答题（共25分，每小题5分）1301120072sin45()4--︒+．解： 01120072sin45()4--︒+12 4 =- …………………………………………………………4分3=．…………………………………………………………………………5分14．解方程：2410x x +-= ．解：因为 1,4,1a b c ===-，所以 224441(1)20b ac -=-⨯⨯-=．……………………………………………2分代入公式，得2x ====-±．所以原方程的解为 12x =-22x =- 5分15．计算：22111x x x ---．解：22111x x x --- 21= (1)(1)1x x x x -+-- …………………………………………… 1分 2(1) (1)(1)x x x x -+=+- …………………………………………… 3分1(1)(1)x x x -=+- …………………………………………… 4分 11x =+. …………………………………………… 5分D CB A PO 16. 已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA=OC ，OB=OD .求证：AB=CD .证明：因为 OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，所以 ∠AOP =∠COP ，∠BOP =∠DOP ．所以 ∠AOB =∠COD ． …………… 3分在△AOB 与△COD 中，,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以 △AOB ≌△COD ． …………………………………………… 4分所以 AB=CD ． …………………………………………………………… 5分17. 已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．解：22(1)()7x x x x x x +-+--323227x x x x x x =++---- …………………………………………… 2分 27x =-． …………………………………………… 4分当240x -=时，原式=3-． …………………………………………… 5分四、解答题（共10分，每小题5分）18．如图，已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB = DC =AD ，∠C =60°，AE ⊥BD 于点E ，AE =1，求梯形ABCD 的高．解：作DF ⊥BC 于点F ．…………………1分因为 AD ∥BC ，所以 ∠1= ∠2．因为 AB = AD ，所以 ∠2= ∠3．所以 ∠1= ∠3． ………………………………………2分又因为 AB = DC ，∠C =60°，所以 ∠1= ∠3=1122ABC C ∠=∠=30°．………………………………………3分又因为 AE ⊥BD 于点E ，AE =1，所以 AB = DC =AD =2 ． ………………………………………4分在Rt △CDF 中，由正弦定义，可得DF………………………………5分所以梯形ABCD19．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过A 点的直线交于点B ，OC =BC ，12AC OB =．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若∠ACD =45°，OC =2，求弦CD 的长．321F E D B A E D CBAO解：（1）证明：如图，连结OA ．因为 OC =BC ，12AC OB =，所以 OC =BC=AC=OA ．所以 △ACO 是等边三角形．故 ∠O = 60°．又可求 ∠B = 30°．所以 ∠OAD = 90°.所以 AD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………3分（2）解：作AE ⊥CD 于E 点. 因为 ∠O = 60°，所以 ∠D =30°.又 ∠ACD =45°，OC =2，所以在Rt △ACE 中，CE=AE在△Rt ADE 中，由正切定义,有tan .AE ADE DE∠= 所以 DE所以 CD= DE +……………………………………………5分五、解答题（本题满分6分）20. 根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：2005年北京市用水情况统计表（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供．请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算全市的水资源总量；（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若已知工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿m3，请你计算2005年北京市环境用水量为多少亿m3，并将结果填入表中；（3）根据以上数据请你计算2005年北京市缺水多少亿m3？（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法.解：（1）补全2005年北京市水资源统计图见右；…………………………1分全市的水资源总量为23.18亿m3.………………………………2分（2）设2005年环境用水量为x亿m 3.依题意得60.27.9x+=.解得 1.1x=.所以2005年环境用水量为1.1亿m3.……………………………………3分填表.……………………………………………………………………4分（3）因为13.38 1.1 6.813.2234.5+++=，所以2005年北京市总用水量为34.5亿m3.因为34.523.1811.32-=，所以2005年北京市缺水11.32亿m3.……5分（4）例如，对比2004年及2005年北京市的用水情况可以发现，全市用水量中，工业、农业用水量呈下降趋势，生活和环境用水呈上升趋势，因此，北京市缺水严重的情况下，需继续加强生活用水和环境用水的节水力度.……………………………………………………………………………6分六、解答题（共2个小题，共9分）21．在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）.直角顶点放在对角线FO上.（1）如图1，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一直角边落在直线FO上时，则这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积为.（2）在图2中，若直角顶点不与点O、F纸片与正方形OEFG要求写出求解过程），并画出此时的图形.解：（1）12；…………………………1分（2）直角顶点的坐标为或(1-.………………3分此时的图形为：如图.AC B CDE 图122．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x =的图象与3y x=的图象关于x 轴对称，直线l 与ky x=的图象交于点(,3)A m ，直线l 经过点(,0)B n ，且△OAB 的面积等于3，试确定n 的值．解：依题意得，反比例函数k y x =的解析式为3y x=-．…………………………… 1分因为点(,3)A m 在反比例函数3y x=-的图象上，所以 1m =-．即点A 的坐标为(1,3)-． …………………………… 2分因为 △OAB 的面积等于3，可得 2n =±． …………………………… 4分七、解答题（本题满分7分） 23．如图，已知△ABC.（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的条件，证明AB+AC ＞AD+AE. 解：（1（2）证明：解：（1）如图1，BD =CE ≠DE ； 1分△ABD 和△ACE ，△ABE 和△ACD. 3分（2）证法一：如图2，分别过点D 、B 作CA 、EA 的平行线，两线交于F 点，DF 与AB 交于G 点.所以 ∠ACE =∠FDB ，∠AEC =∠FBD. 在△AEC 和△FBD 中，又CE = BD ，可证 △AEC ≌△FBD. 所以 AC =FD ，AE =FB. 在△AGD 中，AG DG AD +>，在△BFG 中，BG FG FB +>，所以 0AG DG AD +->，0BG FG FB +->.所以 0AG DG BG FG AD FB +++-->. 即 AB+FD ＞AD+FB.所以 AB+AC ＞AD+AE. 7分图2E D GF C B A图4G O A B C FD E 证法二：如图3，分别过点A 、E 作CB 、CA 的平行线，两线交于F 点，EF 与AB 交于G 点，连结BF .则四边形FECA 是平行四边形.所以 FE =AC ，AF =CE. 因为 BD =CE ，所以 BD =AF .所以四边形FBDA 是平行四边形. 所以 FB =AD. 在△AGE 中，AG EG AE +>，在△BFG 中，BG FG FB +>，可推得 AG EG BG FG AE FB +++>+.所以 AB+AC ＞AD+AE. 7分证法三：如图4，取DE 的中点O ，连结AO 并延长到F 点，使得FO = AO ，连结EF 、CF .在△ADO 和△FEO 中，又AOD FOE ∠=∠，DO EO =，可证 △ADO ≌△FEO. 所以 AD =FE.因为 BD =CE ，DO =EO ，所以 BO =CO.同理可证 △ABO ≌△FCO. 所以 AB =FC.延长AE 交CF 于G 点.在△ACG 中，AC CG AE EG +>+，在△EFG 中，EG FG EF +>，可推得 AC CG EG FG EF AE EG +++>++. 即 AC CF EF AE +>+.所以 AB+AC ＞AD+AE. 7分八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过P ，A （0，2）两点 . （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标.解：（1）根据题意得 365, 2.m m n n ++=⎧⎨=⎩ 解得 1 ,3 2.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为2123y x =+.…………………………… 2分（2）由2123y x x =+得抛物线的顶点坐标为(B .依题意，可得(1)C -，且直线l 过原点.图3A B C F G D E设直线l 的解析式为y kx =.则1=- .解得k =. 所以直线l的解析式为y x =.………………………………………… 3分（3）到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点有四个.如图，由勾股定理得2OB OC BC ===，所以 △OBC 为等边三角形. 易证x 轴所在直线平分∠BOC ，y 轴是△OBC 的一个外角的平分线.作∠BCO 的平分线，交x 轴于1M 点，交y 轴于2M 点，作△OBC 的∠BCO 相邻外角的平分线，交y 轴于3M 点，反向延长交x 轴于4M 点.可得点1M 、2M 、3M 、4M 就是到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点. 可得 △2OBM 、△4BCM 、△3OCM可求得：① 1OM ，且点1M 在x 所以点1M 的坐标为(. ② 点2M 与点A 重合，所以点2M ③ 点3M 与点A 关于x 轴对称，所以点④ 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点4M N ==4M 在x 轴上，所以点4M 的坐标为(-. 综上所述，到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为1M (、2M (0,2)、3M (0,2)-、4M (-.…………… 7分九、解答题（本题满分8分）25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于点O ，若∠A =60°，∠DCB =∠EBC =12A ∠，请你根据此图，写出一个与∠A 相等的角，并猜想哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，OEDCBA图1EDCB AG F 图2E DC BAF ∠DCB =∠EBC =12A ∠，请你探究此时是否存在等对边四边形，并证明你的结论. 解：（1）回答正确的给1分（如，平行四边形、等腰梯形等）.（2）答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ）. …………… 2分四边形DBCE 是等对边四边形. …………… 3分（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE . 证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点. 因为 ∠DCB =∠EBC =12A ∠，BC 为公共边，所以 △BCF ≌△CBG .所以 BF =CG . …………… 5分因为 ∠BDF =∠ABE +∠DCB +∠EBC ，∠BEC =∠ABE +A ∠，所以 ∠BDF =∠BEC . …………… 6分可证 △BDF ≌△CEG . …………… 7分所以 BD =CE .所以四边形DBCE 是等对边四边形. …………… 8分证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB =∠DBC ，CF 交BE 于F 点. 因为 ∠DCB =∠EBC =12A ∠，BC 为公共边，所以 △BDC ≌△CFB . 所以 BD =CF ，∠BDC =∠CFB . …………… 5分所以 ∠ADC =∠CFE . 可知，∠ADC =∠DCB +∠EBC +∠ABE ， ∠FEC =∠A +∠ABE ， …………… 6分所以 ∠FEC =∠CFE .所以 CF =CE . …………… 7分所以 BD =CE .所以四边形DBCE 是等对边四边形. …………… 8分。

2007年(理)(北京卷)第I卷

2007年（理）（北京卷）第I 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｂ 6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｄ一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．i -10．211n - 311．212．(23)，13．72514．1 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+ ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于． 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．15．解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+= ，，． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值． 16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O = ，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ． ∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DEAO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴=又12DE AO == OCADBOCADBE∴在Rt CDE △中，tanCE CDE DE ===∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan3．（III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==．当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D，OA OBOD AB==tan CDO =CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为．解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D，(00OA ∴= ，，(CD =-，cos OA CD OACD OA CD ∴<>= ，62322== ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6 （III ）同解法一 17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 17．解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．x又AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=．故点P 的轨迹是以MN ，为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =．所以虚半轴长b ==从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤． 18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．18．由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=；(2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：123ξ的数学期望：0129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．19．解：（I ）依题意，以AB的中点O坐标为x ．点C 的纵坐标y满足方程22221(4x y y r r+=≥解得)y x r =<<1(22)2S x r =+ 2()x r =+ 其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，，则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =．因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为2=．即梯形面积S 2． 20．已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；A（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论． 20. （I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12j i a a T i j k ∉= ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤．（III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．。

2007年北京市高级中等学校招生统一考试数学试卷(课标卷,含答案)-

2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷考生须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷密封线内认真填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号． 3．考试结束，请将本试卷和机读答题卡一并交回．第Ⅰ卷（机读卷共32分）考生须知：1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题．2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．3-的倒数是（） A ．13-B ．13C ．3-D ．32．国家游泳中心－－ “水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为（） A ．60.2610⨯B ．42610⨯C ．62.610⨯D ．52.610⨯3．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，DE 过点C 且平行于AB ，若35BCE ∠=°，则A ∠的度数为（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65° 4．若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（）A ．4-B ．1-C ．0D ．45．北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（） A ．28℃ B ．29℃ C ．30℃ D ．31℃ 6．把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（） A ．2(2)a x -B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-7．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（） A ．19B ．13C ．12D ．23ABD CE8．右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷第Ⅱ卷（非机读卷共88分）考生须知：1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题．2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．若分式241x x -+的值为0，则x 的值为． 10．若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是． 11．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，，如图，，其中a b c，，是三个连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <，且满足a b c d e ++=+，例如．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图：．12．右图是对称中心为点O 的正六边形．如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积 n 等分，那么n 的所有可能的值是．三、解答题（共5个小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：1118(π1)2cos 454-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭°．a b c d e2 4 65 7O Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解方程：2410x x +-=． 15．（本小题满分5分）计算：22111x x x ---． 16．（本小题满分5分）已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC OB OD ==，．求证：AB CD =．B ACO D P已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．四、解答题（共2个小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高．19．（本小题满分5分）已知：如图，A 是O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC BC =，12AC OB =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长．B A D EC OABCD五、解答题（本题满分6分）20．根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：2005年北京市水资源分布图（单位：亿3m ） 2004年北京市用水量统计图2005年北京市用水情况统计表生活用水环境用水工业用水农业用水用水量（单位：亿3m ） 13.386.8013.22占全年总用水量的比例38.8%3.2% 19.7%38.3%（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供．请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿3m ）；农业用水生活用水工业用水环境用水 2%37%39%22%0 12 34 5678 水系2.796.786.883.22永定河水系潮白河水系北运河水系蓟运河水系大清河水系水资源量2005年北京市水资源统计图（单位：亿3m ）6.783.226.882.793.51 潮白河水系永定河水系蓟运河水系北运河水系永定河水系大清河水系（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿3m ，请你先计算环境用水量（单位：亿3m ），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿3m ）；（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿3m ）；（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法．六、解答题（共2个小题，共9分） 21．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)，．将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O F ，重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．11 O E F G yx22．（本小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x =的图象与3y x=的图象关于x 轴对称，又与直线2y ax =+交于点(3)A m ，，试确定a 的值．七、解答题（本题满分7分） 23．如图，已知ABC △．（1）请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结AD AE ，，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．A B C24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．1 2 312 3 4 1- 2- 3-1-2- 3- 4- yxO25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．B O A DEC。

2007北京中考数学试题及答案

2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷考生须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷密封线内认真填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号。

3．考试结束，请将本试卷和机读答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（机读卷共32分）考生须知：1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题。

2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。

用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑。

1．－3的倒数是（） A ．13-B ．13C ．－3D ．32．国家游泳中心－－“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为（） A ．0.26×106B ．26×104C ．2.6×106D ．2.6×1053．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，DE 过点C 且平行于AB ，若∠BCE=35°，则∠A 的度数为（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°4．若22(1)0m n ++-=，则m +2n 的值为（） A ．－4B ．－1C ．0D ．45．北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（） A ．28℃B ．29℃C ．30℃D ．31℃6．把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（） A ．2(2)a x -B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-7．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（） A ．19B ．13C ．12D ．238．右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）A B C D第Ⅱ卷（非机读卷共88分）考生须知：1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题。

2007理科数学试卷和答案-北京卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学<理工农医类）<北京卷）本试卷分第I卷<选择题）和第II<非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷<选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目地答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出地四个选项中，选出符合题目要求地一项．1．已知，那么角是< ）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数地反函数地定义域为< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．平面平面地一个充分条件是< ）Ａ．存在一条直线Ｂ．存在一条直线Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．记者要为5名志愿都和他们帮助地2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同地排法共有< ）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组表示地平面区域是一个三角形，则地取值范围是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．或7．如果正数满足，那么< ）Ａ．，且等号成立时地取值唯一Ｂ．，且等号成立时地取值唯一Ｃ．，且等号成立时地取值不唯一Ｄ．，且等号成立时地取值不唯一8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题地真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上是增函数；命题丙：在上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真地所有函数地序号是< ）Ａ．①③Ｂ．①②Ｃ．③Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学<理工农医类）<北京卷）第II卷<共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内地项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．．10．若数列地前项和，则此数列地通项公式为；数列中数值最小地项是第项．11．在中，若，，，则．12．已知集合，．若，则实数地取值范围是．13．2002年在北京召开地国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽地弦图为基础设计地．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成地一个大正方形<如图）．如果小正方形地面积为1，大正方形地面积为25，直角三角形中较小地锐角为，那么地值等于．14．已知函数，分别由下表给出则地值为；满足地地值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．<本小题共13分）数列中，，<是常数，），且成公比不为地等比数列．<I ）求地值；<II ）求地通项公式．16．<本小题共14分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点地斜边上．<I ）求证：平面平面；<II）当为地中点时，求异面直线与所成角地大小；<III ）求与平面所成角地最大值．17．<本小题共14分）矩形地两条对角线相交于点，边所在直线地方程为，点在边所在直线上．<I ）求边所在直线地方程；<II ）求矩形外接圆地方程；<III）若动圆过点，且与矩形地外接圆外切，求动圆地圆心地轨迹方程．18．<本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动<以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动地次数统计如图所示．<I ）求合唱团学生参加活动地人均次数； <II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等地概率．<III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差地绝对值，求随机变量地分布列及数学期望．19．<本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形地形状，下底是半椭圆地短轴，上底地端点在椭圆上，记，梯形面积为．<I ）求面积以为自变量地函数式，并写出其定义域； <II ）求面积地最大值． 20．已知集合，其中，由中地元素构成两个相应地集合：，．其中是有序数对，集合和中地元素个数分别为和．若对于任意地，总有，则称集合具有性质．<I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质地集合，写出相应地集合和；<II ）对任何具有性质地集合，证明：；<III ）判断和地大小关系，并证明你地结论．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学<理工农医类）<北京卷）答案一、选择题<本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｄ二、填空题<本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．11．12．1 2313．14．三、解答题<本大题共6小题，共80分）15．<共13分）解：<I ），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．<II ）当时，由于，，，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．16．<共14分）解法一：<I ）由题意，，，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．<II ）作，垂足为，连结<如图），则，是异面直线与所成地角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角地大小为．<III）由<I ）知，平面，是与平面所成地角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角地最大值为．解法二：<I）同解法一．<II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，．异面直线与所成角地大小为．<III）同解法一17．<共14分）解：<I）因为边所在直线地方程为，且与垂直，所以直线地斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线地方程为．．<II）由解得点地坐标为，因为矩形两条对角线地交点为．所以为矩形外接圆地圆心．又．从而矩形外接圆地方程为．<III）因为动圆过点，所以是该圆地半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点地轨迹是以为焦点，实轴长为地双曲线地左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆地圆心地轨迹方程为．18．<共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次地学生人数分别为10、50和40．<I）该合唱团学生参加活动地人均次数为．<II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等地概率为．<III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知；；地分布列：地数学期望：．19．<共13分）解：<I）依题意，以地中点为原点建立直角坐标系<如图），则点地横坐标为．点地纵坐标满足方程，解得，其定义域为．<II ）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是地最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积地最大值为．20．<共13分）<I）解：集合不具有性质．集合具有性质，其相应地集合和是，．<II）证明：首先，由中元素构成地有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合中元素地个数最多为，即．<III）解：，证明如下：<1）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是地不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是地不同元素．可见，中元素地个数不多于中元素地个数，即，<2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是地不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是地不同元素．可见，中元素地个数不多于中元素地个数，即，由<1）<2）可知，．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

2007年北京中考数学试卷及答案

2007 年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）
一、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对应
题目答案的相应字母处涂黑.
1. －3 的倒数是（）
1 A. 3
1 B. 3
C. －3
D.3
2. 国家游泳中心——“水立方”是北京 2008 年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给
三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，
证明 AB AC AD AE .
八、解答题（本题满分 7 分）
24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx2 2 3mx n 经过 P( 3,5)， A(0, 2)两
（2）在 2005 年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的 6 倍多 0.2 亿 m3，请你选计算环境用水量（单位：亿 m 3），再计算 2005 年北京市用水总量（单位：亿 m3
（3）根据以上数据，）；请你计算 2005 年北京市的缺水量（单位：亿 m3
）；
（4）结合 2004 年及 2005 年北京市的用水情况，谈谈你的看法.
六、解答题（共 2 个小题，共 9 分） 21.（本小题满分 5 分）
在平面直角坐标系 xOy 中， OEFG 为正方形，点 F 的坐标为（1，1），将一个最短
边长大于 2 的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线 FO 上，
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点 F 重合，一条
直角边落在直线 FO 上时，在五环图案内，分别填写五个数 a ， b ， c ， d ， e ，如图：
，其中 a
b ， c 是三个连续偶数 (a b) ， d ， e 是两个连续奇数 (d e) ，且满足

2007年北京中考数学真题及答案

2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑. 1. －3的倒数是（） A.13-B. 13C. －3D.3 2. 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给260000平方米，将260000用科学记数法表示应为（） A. 0.26×106 B. 26×104 C. 2.6×106 D. 2.6×1053. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90O ，DE 过点C 且平行于AB ，若∠BCE=35 O ，则∠A 的度数为（） A. 35O B. 45º C. 55º D. 65º4. 若2|2|(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（）A. －4B. －1C. 0D. 4 5. 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC ）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为。

（） A. 28ºC B. 29ºC C. 30ºC D. 31ºC6. 把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是。

（）A. 2(2)a x -B. 2(2)a x +C. 2(4)a x - D. (2)(2)a x x +-7. 一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（） A.19 B. 13 C. 12 D. 238. 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个．．．．是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9. 若分式241x x -+的值为0，则x 的值为 . 10. 若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是 .11. 在五环图案内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，如图：，其中a b ，c 是三个连续偶数()a b <，d ，e 是两个连续奇数()d e <，且满足a b c d e ++=+，例如：，. 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：12. 2007年北京市统招右图是对种中心为点O 的正六边形，如果用一个含30º角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能的值是 .三、解答题（共5个小题，共25分） 13.（本小题满分5分）200711(1)2cos 45()4π--︒-︒+14.（本小题满分5分）解方程：2410x x +-=15.（本小题满分5分）计算：22111x x x ---16.（本小题满分5分）已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA =OC ，OB =OD .求证：AB =CD17.（本小题满分5分）已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值.四、解答题（共2个小题，共10分） 18.（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC = AD ，∠C=60º，AE ⊥BD 于点E ，AE=1，求梯形ABCD 的高.19.（本小题满分5分）2007北京统考已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC = BC，AC =12 OB（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD =45º，OC =2，求弦CD的长.五、解答题（本题满分6分）20. 根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供，请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿m3）；（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿m3，请你选计算环境用水量（单位：亿m3），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿m3）；（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿m3）；（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法.六、解答题（共2个小题，共9分）21.（本小题满分5分）在平面直角坐标系x O y中，O E F G为正方形，点F的坐标为（1，1），将一个最短边FO上，（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），22.（本小题满分4分）在平面直角坐标系x O y 中，反比例函数k y x =的图像与3y x=的图像关于x 轴对称，又与直线2y a x =+交于点(,3)A m ，试确定a 的值.七、解答题（本题满分7分） 23. 如图，已知ABC ∆（1）请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明A B A C A D A E+>+.八、解答题（本题满分7分）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过P ，(0,2)A 两点. （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标.九、解答题（本题满分8分）25. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于O ，若60A ∠=︒，12DCB EBC A ∠=∠=∠，请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC ∆中，如果A ∠是不等于60º的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷·参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名。

2007年北京市中考数学试题及答案

M4N =
3 BC = 2
3 ，且 ON = M 4 N ，所以点 M4 的坐标为 (−2 3，0) ．
综上所述，到直线
OB，OC，BC
距离相等的点的坐标分别为
M
1
⎛ ⎜⎜⎝
−
2
3
3
，0 ⎞⎟⎟⎠
，
M
2
(0，2)
，
M3 (0，− 2) ， M4 (−2 3，0) ．
九、解答题
25．解：（1）回答正确的给 1 分（如平行四边形、等腰梯形等）．
可推得 AG + EG + BG + FG > AE + FB ．
所以 AB + AC > AD + AE ．
证法三：如图 4，取 DE 的中点 O ，连结 AO 并延长到 F 点，使得 FO = AO ，连结 EF ，
CF ．
在 △ADO 和 △FEO 中，又 ∠AOD = ∠FOE ， DO = EO ．
在 Rt△ADE 中，因为 ∠D = 30o ，所以 AD = 2 2 ．
由勾股定理，可求 DE = 6 ．
所以 CD = DE + CE = 6 + 2 ．
五、解答题
20．解：（1）初全 2005 年北京市水资
源统计图见右图；
8
水资源总量为 23.18 亿 m3 ．
水资
7 6
源5
（2）设 2005 年环境用水量为 x 亿 m3 ．量 4
6.88
2.79
永
湖
定
白
河
河
水
水
系
系
3.22 3.54
北
蓟

2007年北京市高级中等学校招生统一考试数学试卷及答案

2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷考生须知：1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷密封线内认真填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号、准考证号． 3．考试结束，请将本试卷和机读答题卡一并交回．第Ⅰ卷（机读卷共32分）考生须知：1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题．2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．3-的倒数是（） A ．13-B ．13C ．3-D ．32．国家游泳中心－－ “水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为（） A ．60.2610⨯B ．42610⨯C ．62.610⨯D ．52.610⨯3．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，DE 过点C 且平行于AB若35BCE ∠=°，则A ∠的度数为（） A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 4．若22(1)0m n ++-=，则2m n +的值为（）A ．4-B ．1-C ．0D ．45．北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为（） A ．28℃ B ．29℃ C ．30℃ D ．31℃ 6．把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（） A ．2(2)a x -B ．2(2)a x +C ．2(4)a x -D ．(2)(2)a x x +-7．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（） A ．19B ．13C ．12D ．23DE8．右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是（）2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷第Ⅱ卷（非机读卷共88分）考生须知：1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题．2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．若分式241xx-+的值为0，则x的值为．10．若关于x的一元二次方程220x x k+-=没有实数根，则k的取值范围是．11．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e，，，，，如图，，其中a b c，，是三个连续偶数()a b d e<，，是两个连续奇数()d e<，且满足a b c d e++=+，例如．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图：．12．右图是对称中心为点O的正六边形．如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能的值是．三、解答题（共5个小题，共25分）13．（本小题满分5分）a b cd e24657O Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11(π1)2cos454-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭°．14．（本小题满分5分）解方程：2410x x+-=．15．（本小题满分5分）计算：22111xx x---．16．（本小题满分5分）已知：如图，OP是AOC∠和BOD∠的平分线，OA OC OB OD==，．求证：AB CD=．17．（本小题满分5分）已知240x-=，求代数式22(1)()7x x x x x x+-+--的值．四、解答题（共2个小题，共10分）18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD中，AD BC∥，AB DC AD==，60C∠=°，AE BD⊥于点1E AE=，，求梯形ABCD的高．BA CODP19．（本小题满分5分）已知：如图，A 是O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC BC =，12AC OB =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若45ACD ∠=°，2OC =，求弦CD 的长．五、解答题（本题满分6分）20．根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：2005年北京市水资源分布图（单位：亿3m ） 2004年北京市用水量统计图O A B C D 农业用水生活用水工业用水环境用水2%37%39%22%0 12 34 5678 水系2.796.786.883.22永定河潮白河北运河蓟运河大清河水资源量2005年北京市水资源统计图（单位：亿3m ）6.783.226.882.793.51 潮白河水系永定河水系蓟运河水系北运河水系永定河水系大清河水系2005年北京市用水情况统计表（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供．请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿3m ）；（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿3m ，请你先计算环境用水量（单位：亿3m ），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿3m ）；（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿3m ）；（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法．六、解答题（共2个小题，共9分） 21．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，OEFG 为正方形，点F 的坐标为(11)，．的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO 上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F 重合，一条直角边落在直线FO 上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O F ，重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．22．（本小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k y x =的图象与3y x=的图象关于x 轴对称，又与直线2y ax =+交于点(3)A m ，，试确定a 的值．七、解答题（本题满分7分） 23．如图，已知ABC △．（1）请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结AD AE ，，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+．八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．xABC九、解答题（本题满分8分）25．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．BOA DEC2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）数学试卷·参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名。

2007年北京中考数学试卷及答案

三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，
证明 AB AC AD AE .
八、解答题（本题满分 7 分）
24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx2 2 3mx n 经过 P( 3,5)， A(0, 2)两
点. （1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 B ，将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线 l ，直线 l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；
在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（ B ）
1
1
1
2
A. 9
B. 3
C. 2
D. 3
8. 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的
展开图，那么这个展开图是（ D ）
二、填空题（共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分）
2x 4
9. 若分式 x 1 的值为 0，则 x 的值为 2 . 10. 若关于 x 的一元二次方程 x2 2x k 0 没有实数根，则 k 的取值范围是
2007 年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）
一、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对应
题目答案的相应字母处涂黑.
1. －3 的倒数是（）
1 A. 3
1 B. 3
C. －3
D.3
2. 国家游泳中心——“水立方”是北京 2008 年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给
D. 65º
4. 若 | m 2 | (n 1)2 0 ，则 m 2n 的值为（）
A. －4
B. －007 年 5 月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，

2007年(理)(北京卷,)第I卷

2007年（理）（北京卷）第I 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｂ 6．Ｄ 7．Ａ 8．Ｄ一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知cos tan 0θθ< ，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角 2．函数()3(02)x f x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．i -10．211n - 311．212．(23)，13．72514．1 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+ ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于． 14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．15．解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=．又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+= ，，． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值． 16．（共14分）解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥， BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O = ，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ． ∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DEAO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴=又12DE AO == OCADBOCADBE∴在Rt CDE △中，tanCE CDE DE ===∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan3．（III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==．当OD 最小时，CDO ∠最大，这时，OD AB ⊥，垂足为D，OA OBOD AB==tan CDO =CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为．解法二：（I ）同解法一．（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D，(00OA ∴= ，，(CD =-，cos OA CD OACD OA CD ∴<>= ，62322== ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为6 （III ）同解法一 17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 17．解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．又因为点(11)T -，在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．320x y ++=．（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．x又AM ==从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以PM PN =+PM PN -=．故点P 的轨迹是以MN ，为焦点，实轴长为因为实半轴长a =2c =．所以虚半轴长b ==从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(22x y x -=≤． 18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．18．由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==．（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=；(2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：123ξ的数学期望：0129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．19．解：（I ）依题意，以AB的中点O坐标为x ．点C 的纵坐标y满足方程22221(4x y y r r+=≥解得)y x r =<<1(22)2S x r =+ 2()x r =+ 其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，，则2()8()(2)f x x r r x '=+-．令()0f x '=，得12x r =．因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．因此，当12x r =时，S 也取得最大值，最大值为2=．即梯形面积S 2． 20．已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；A（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论． 20. （I ）解：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12j i a a T i j k ∉= ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤．（III ）解：m n =，证明如下：（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()c d d +，也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤，（2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理

2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知0sin cos <⋅θθ，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤ Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③Ｂ．①②Ｃ．③Ｄ．②第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式． 16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AOC --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（Ⅰ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（Ⅱ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（Ⅲ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值． 17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（Ⅰ）求AD 边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形ABCD 外接圆的方程；123（Ⅲ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（Ⅰ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（Ⅱ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（Ⅲ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（Ⅱ）求面积S 的最大值．20．已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（Ⅰ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．A。

2007年高考.北京卷.理科数学试题及详细解答

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（）Ａ．(0)+∞，Ｂ．(19]，Ｃ．(01)，Ｄ．[9)+∞，3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．若不等式组220x y x y y x y a -0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）Ａ．43a ≥ Ｂ．01a <≤Ｃ．413a ≤≤ Ｄ．01a <≤或43a ≥7．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一8．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．22(1)i =+ ．10．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．11．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．12．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若AB =∅，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．14．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．x 1 2 3 ()f x131x 1 2 3()g x3 21三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．16．（本小题共14分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．17．（本小题共14分）矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．（I ）求AD 边所在直线的方程；（II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 18．（本小题共13分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．O C A DB12319．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值．20．（本小题共13分）已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案ＣＢＤＡＢＤＡＤ1．∵ cos tan 0θθ<，∴ 当cos θ<0，tan θ>0时，θ∈第三象限；当cos θ>0，tan θ<0时，θ∈第四象限，选C 。