1993年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)数学
1999年全国高考上海卷数学(理工农医类)试题及答案
1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )(A) （M ∩P ）∩S (B) （M ∩P ）∪S (C) （M ∩P ）∩S(D) （M ∩P ）∪S2.已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 73. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 ( ) (A) a(B) 1-a(C) b(D) 1-b4.函数()()()0s i n >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值M -5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是( )(A) x sin (B) x cos (C) x 2sin (D) x 2cos6.在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 ( )(A) 直线3πθ=轴对称(B) 直线πθ65=轴对称 (C) 点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称(D) 极点中心对称7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )(A) cm 36 (B) cm 6(C) cm 3182(D) cm 31238.若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为( )(A) 1(B) －1(C) 0(D) 29.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π 10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )(A)29 (B) 5 (C) 6 (D)215 11.若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛--4,2ππ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π (C) ⎪⎭⎫⎝⎛4,0π (D) ⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ 12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =( )(A) 10(B) 15(C) 20(D) 2513.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( )(A) ①③(B) ②④(C) ①②③(D) ②③④14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )(A) 5种(B) 6种(C) 7种(D) 8种第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.15.设椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是_____16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）17.若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是______________18.α、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：________________________________三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分10分）解不等式()1,01log 22log 3≠>-<-a a x x a a20.（本小题满分12分）设复数.sin 2cos 3θθ⋅+=i z 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=20arg πθθz y 的最大值以及对应的θ值.21.（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面EAC ∥B D 1，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为.,45a AB =Ⅰ.求截面EAC 的面积；Ⅱ.求异面直线11B A 与AC 之间的距离； Ⅲ.求三棱锥EAC B -1的体积. 22.（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.Ⅰ.输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r .问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm 若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.k L 为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.23.（本小题满分14分）已知函数()x f y =的图像是自原点出发的一条折线，当(),2,1,01=+≤≤n n y n时，该图像是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()(),2,1==n n x f n 定义.Ⅰ.求1x 、2x 和n x 的表达式；Ⅱ.求()x f 的表达式，并写出其定义域；Ⅲ.证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 24.（本小题满分14分）如图，给出定点()()00,>a a A 和直线B x l .1:-=是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）.1. C2. A3. A4. C5. B6. B7. B8. A9. C10. D 11.B12. D13.D14. C二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.15.2116. 12 17. [)+∞,9 18. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,三、解答题19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.解：原不等式等价于()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-.01log 2,1log 22log 3,02log 32x x x x a a a a 由①得,32log ≥x a 由②得,43log <x a 或1log >x a ， 由③得.21log >x a由此得,43log 32<≤x a 或.1log >x a当1>a 时得所求的解是{}a x x a x a x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤||4332 ； 当10<<a 时得所求的解是① ② ③{}.0||3243a x x a x a x <<⋃⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤< 20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.解：由20πθ<<得.0>θtg由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及().32cos 3sin 2arg θθθtg tg ==z故 ()z y arg -=θtg tgθθθ232132tg tg tg +-= ,231θθtg tg +=因为,6223≥+θθtg tg 所以.126231≤+θθtg tg 当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=2023πθθθtg tg 时，即26=θtg 时，上式取等号. 所以当26arctg=θ时，函数y tg 取得最大值.126由z y arg -=θ得.2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ππy 由于在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内正切函数是递增函数，函数y也取最大值.126arctg21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ. 解：如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO 因为底面ABCD 是正方形， 所以DO ⊥AC又因为ED ⊥底面AC ， 因为EO ⊥AC所以∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角. 所以， 45=∠EOD.45sec 22,2,22a a EO a AC a DO =⋅===故.222a S EAC =∆ II. 解：由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，A A 1⊥AC ， 又A A 1⊥,11B A所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线. 因为11B D ∥面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO 所以11B D ∥EO 又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，11B D =2EO =2a 所以D D 1.2221a DB B D =-=异面直线11B A 与AC 间的距离为.2a Ⅲ. 解法一：如图，连结11B D 因为D D 1=DB =.2a 所以11B BDD 是正方形，连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q 因为D B 1⊥B D 1，EO ∥B D 1， 所以D B 1⊥EO 又AC ⊥EO ，AC ⊥ED 所以AC ⊥面11B BDD ， 所以D B 1⊥AC ， 所以D B 1⊥面EAC .所以Q B 1是三棱锥EAC B -1的高. 由DQ =PQ ，得.234311a D B Q B == 所以.42232231321a a a V EAC B =⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --= 因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，AO .22a =在正方形11B BDD 中，E 、O 分别是D D 1、DB 的中点（如右图），则.4321a S EOB =∆ ∴.422243312321a a a V EAC B =⋅⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力.Ⅰ.解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10nr a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-nr a 01即().10ar nβ≤- 由于(),0,010>>-ar nβ对比上式两端取对数，得().lg1lg 0ar n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r an --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a--β的整数对轧辊.Ⅱ. 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅kr a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度.因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅kr a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r即.8.016004-⋅=k k L由此得(),20003mm L = (),25002mm L = ()mm L 31251= 填表如下 轧锟序号k1234疵点间距k L （单位：mm ）3125 2500 2000 1600解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有(),2.0116003-⋅=L所以().20008.016003mm L == 同理(),25008.032mm LL ==().31258.021mm LL ==填表如下 轧锟序号k1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）312525002000160023.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.Ⅰ.解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f 得.11=x又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得.112b x += 记.00=x 由函数()x f y =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()().111---=--n n n n n b x x x f x f 又()()1,1-==-n x f n x f n n ； 所以 .2,1,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n b x x n n n由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1b因,1≠b 得(),111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=-=--=-∑b b b b b x x x n n nk k k n即.111-⎪⎭⎫⎝⎛-=-b b b x n nⅡ. 解：当10≤≤y ，从Ⅰ可知,x y =当10≤≤x 时，().x x f = 当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由Ⅰ可知()()().3,2,1,1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n为求函数()x f 的定义域，须对() ,3,2,1111=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n b b b x n n 进行讨论.当1>b 时，111limlim 1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→b bb b b x n n n n ； 当10<<b 时，n x n ,∞→也趋向于无穷大. 综上，当1>b 时，()x f y =的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,0b b ； 当10<<b 时，()x f y =的定义域为[)+∞,0. Ⅲ. 证法一：首先证明当1>b ，11-<<b bx 时，恒有()x x f >成立. 用数学归纳法证明：（ⅰ）由Ⅱ知当1=n 时,在(]2,1x 上, ()(),11-+==x b x f y 所以()()()011>--=-b x x x f 成立（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()x x f >成立. 可得 (),111++>+=k k x k x f在(]21,++k k x x 上,()().111++-++=k k x x b k x f 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()011111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立.由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()x x f >成立. 即 11-<<b bx 时,恒有()x x f >. 其次，当1<b ,仿上述证明,可知当1>x 时,恒有()x x f <成立. 故函数()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 证法二:首先证明当1>b ,11-<<b bx 时,恒有()x x f >成立. 对任意的,1,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈b b x 存在n x ,使1+≤<n n x x x ，此时有()()()(),10≥->-=-n x x x x b x f x f n n n所以()().n n x x f x x f ->- 又(),1111n n n x bb n x f =+++>=- 所以()0>-n n x x f ，所以()()0>->-n n x x f x x f ， 即有()x x f >成立.其次，当1<b ，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()x x f <成立. 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一：依题意，记()(),,1R ∈-b b B 则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和.bx y -=设点()y x C ,，则有a x <≤0，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得.12bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有().1a x aby -+-= 由0≠-a x ，得().1ax y a b -+-= ②将②式代入①式得()()(),11122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y 整理得()()[].0121222=++--y a ax x a y 若0≠y ，则()()()a x y a ax x a <<=++--0012122；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综上得点C 的轨迹方程为()()()a x y a ax x a <≤=++--0012122（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为().102<≤=x x y ③此时，方程③表示抛物线弧段； （ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段； 当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0时，设点C （x ，y ），则.0,0≠<<y a x由CE ∥BD 得().1a xa y EADA CE BD +-=⋅=因为∠COA =∠COB=∠COD －∠BOD =π－∠COA －∠BOD ，所以2∠COA =π－∠BOD 所以(),1222COACOACOA ∠-∠=∠tg tg tg()BOD BOD ∠-=∠-tg tg π因为,xy COA =∠tg().1a xa y ODBD BOD +-==∠tg所以(),11222a x a y xy x y+--=-⋅整理得()()().0012122a x y a ax x a <<=++--（ⅱ）当| BD | = 0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为()()().0012122a x y a ax x a <≤=++--以下同解法一.。
2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工类)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示 )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54co s =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ）（A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II ）求点1A 到平面AED 的距离D E KBC 1A 1B 1AFCG19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos(=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？东O21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{t s + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cos r r z +=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞ 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 .)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DGk k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a 整理得1)(2222=-+aa y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)— — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t 的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），1073160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… 27C +422222397()4145.k C C C C =+++++=资料由谢老师收集：了解初中，高中考试信息，做题技巧，解题思路可去谢老师博客/xiejunchao1。
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)
1996年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学第I卷一、选择题:本大题共15小题;第1-10题每小题4分,第11-15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象是(3)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1)(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为(12)等差数列{a n的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.5第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(16)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切.则P= .(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有个(用数字作答).(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 .三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（20）（本小题满分11分）（21）（本小题满分12分）（22）（本小题满分12分）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.(Ⅰ)求证:BE=EB1;(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).(Ⅰ)证明:在截面A1EC内,过E作EG⊥A1C,G是垂足.①∵∴EG⊥侧面AC1;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,②∵∴BF⊥侧面AC1;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC1于FG.③∵∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,④∵∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,⑤∵（23）（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（24）（本小题满分12分）（25）（本小题满分12分）已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.(Ⅰ)证明:│c│≤l;(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;(Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).。
(详细解析)1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案全国(三南试题)(理科)
1993年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共68分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是A ．2πB ．π22C ．πD ．4π 【答案】A【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以周期221T ππ==．2．如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为 A ．23B ．23C ．26D ．2【答案】C【解析】由题设23,2a cc ==，解得a =2c e a ===．3．和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+-=D ．3450x y -++=【答案】B 【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于x 轴的对称点坐标，代入已知直线方程，即可．设所求对称直线的点的坐标(,)x y ，关于x 轴的对称点的坐标(,)x y -在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：3450x y ++=．点评：本题是基础题，考查直线关于直线的对称直线方程的求法，考查计算能力，常考题型，注意特殊直线为对称轴的情况，化简解题过程．4．极坐标方程θρcos 534-=所表示的曲线是A ．焦点到准线距离为54的椭圆B ．焦点到准线距离为54的双曲线右支C ．焦点到准线距离为34的椭圆D ．焦点到准线距离为34的双曲线右支【答案】B【解析】443535cos 1cos 3ρθθ==--，而1cos ep e ρθ=-，所以54,35e p ==．5．53x y =在[1,1]-上是A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数 【答案】A【解析】35y x ==A 正确．6．5215lim 22+--∞→n n n n 的值为A ．51-B ．25- C ．51 D ．25 【答案】D【解析】222215515lim lim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．7．集合{|}{|}2442k k M x x k Z N x x k Z ππππ==+∈==+∈,,,，则 A ．M N = B ．N M ⊃ C ．N M ⊂ D ．M N =∅【答案】C【解析】由于212{|,},{|,}44k k M x x k Z N x x k Z ππ++==∈==∈，21k +可以取所有的奇数，而2k +可以取所有的整数，所以N M ⊂．8．sin 20cos70sin10sin50︒︒+︒︒的值是 A ．41 B ．23 C ．21D ．43【答案】A【解析】1sin 20cos70sin10sin 50[sin(2070)sin(2070)]2︒︒+︒︒=︒+︒+︒-︒ 111[cos(1050)cos(1050)](sin 90sin 50)(cos60cos 40)222-︒+︒-︒-︒=︒-︒-︒-︒ 1111(1sin 50)(sin 50)2224=-︒--︒=．9．参数方程cos sin 221(1sin )2x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ()πθ20<<表示A ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2 B ．抛物线的一部分，这部分过1(1,)2C ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2-D ．抛物线的一部分，这部分过1(1,)2- 【答案】B【解析】由题设可知cossin,[0,222x x θθ=+∈，且21sin x θ=+，则2sin 1x θ=-，所以2211(11),22y x x x =+-=∈，显然参数方程表示抛物线的一部分，这部分过1(1,)2．10．（同全国1理科10）若,a b 是任意实数，且a b >，则A ．22a b > B ．1<a b C ．lg()0a b -> D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛212111．（同全国1理科11）一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为A ．圆B 椭圆．C ．双曲线的一支D ．抛物线12．（同全国1理科12）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 A ．3()6l π B ．31()92l π C ．3()4lπ D ．32()4l π13．451)(1)x -展开式中4x 的系数为A ．40-B ．10C ．40D ．45 【答案】D【解析】41)中02,,x x x 的系数分别为420444,,C C C ，在5(1)x -中对应的432,,x x x 123555,,C C C --，则展开式中4x 的系数为412203454545()()45C C C C C C -++-=．14．直角梯形的一个内角为45︒，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+，则旋转体的体积为A ．2πB ．43+ C ．53+ D ．π37【答案】D【解析】旋转体是一个圆柱与一个圆锥的简单组合体．这个几何体的面积是一个圆（以直角梯形的高为半径）+一个长方形（圆柱的侧面展开）+一个扇形的面积（圆锥的侧面）．设直角梯形的上底长为x ，则下底为32x ，由题设可得直角梯形的高3122h x x x =-=，x ，全面积为2111()(2)222x x x x πππ+⨯⨯+⨯25(24x x π⨯=，即2(5x ππ=+，2x =． 旋转体的体积为322111177()()2322243x x x x x πππ⨯+⨯==．15．已知128,,...,a a a 为各项都大于零的等比数列，公式1q ≠，则 A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +和45a a +的大小关系不能由已知条件确定 【答案】A【解析】题目要求比较18a a +和45a a +的大小．由于73434184511111()()(1)(1)a a a a a a q a q a q a q q +-+=+-+=--，又10a >，且1q ≠，所以3(1)q -与4(1)q -同号，所以1845()0a a a a +-+>，即1845a a a a +>+．16．设有如下三个命题：甲：相交两直线,l m 都在平面α内，并且都不在平面β内． 乙：,l m 之中至少有一条与β相交． 丙：α与β相交． 当甲成立时A ．乙是丙的充分而不必要的条件B ．乙是丙的必要而不充分的条件C ．乙是丙的充分且必要的条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 【答案】C【解析】分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙=>丙、丙=>乙是否成立．当乙成立时，即“,l m 之中至少有一条与β相交”，则平面α与β至少有一个公共点，故α与β相交；反之丙成立时，即“α与β相交”，则,l m 之中至少有一条与β相交，故乙成立．故选C ．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种 【答案】B【解析】分三类：第一格填2，则第二格有13A ，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填3，则第三格有13A ，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第撕格有13A ，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有1339A =．第Ⅱ卷（非选择题共82分）注意事项：1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．18．11sin(arccosarccos )23+= ． 【答案】6322+ 【解析】设11arccos,arccos 23αβ==，则11cos ,cos 23αβ==，有sin αβ==，所以11sin(arccos arccos )sin()23αβ+=+=．19．若双曲线2222194x y k k-=与圆221x y +=没有公共点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】13k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭|【解析】双曲线的焦点在x 上，顶点坐标为(3,0)k ±，圆的圆心坐标为在原点，半径为1，由题设可知31k >，所以13k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭|．20．从1,2,...,10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法（用 数字作答）．【答案】100【解析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数．若有1个奇数时，有135550C C =种取法，若有3个奇数时，有135550C C =种取法，故符合题意的取法共100种取法．21．（同全国1理科23）设1()42xx f x +=+，则1(0)f-= ．22．（同全国1理科24）建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．23．如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将DAE ∆和CBE ∆分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度．【答案】30【解析】不妨设正方形的边长为2，取CD 的中点M ，连接,PM EM ，∵PD PC =，∴PM CD ⊥，∵ED EC =，∴EM CD ⊥．故PME ∠即为面PCD 与面ECD 所成二面角的平面角．在PME ∆中：1,2PE PM EM ===，2223cos 22PM EM PE PME PM EM +-∠==⋅ ∴30PME ∠=︒，故答案为30．三、解答题：本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤．24．（本小题满分10分）已知1()log (0,1)1axf x a a x+=>≠-． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （Ⅲ）求使()0f x >的x 取值范围．【解】本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分． （Ⅰ）由对数函数的定义知011>-+xx． ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则11x -<<；如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解． ——4分故()f x 的定义域为(1,1)-． （Ⅱ）∵()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ， ∴()f x 为奇函数． ——6分 （Ⅲ）（ⅰ）对1a >，1log 01ax x +>-等价于111>-+xx， ① 而从（Ⅰ）知10x ->，故①等价于11x x +>-，又等价于0x >． 故对1a >，当(0,1)x ∈时有()0f x >． ——9分 （ⅱ）对01a <<，1log 01ax x +>-等价于1011xx+<<-． ②而从（Ⅰ）知10x ->，故②等价于10x -<<．故对01a <<，当(1,0)x ∈-时有()0f x >． ——12分25．（同全国1文科26，分值不同）（本小题满分12分）已知数列()()2222228182813352121nn n ⋅⋅⋅⋅-+，，，，．n S 为其前n 项和．计算得189S =， 234244880254981S S S ===,,． 观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 【解】本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．22(21)1()(21)n n S n N n +-=∈+． （4分） 证明如下：（Ⅰ）当1n =时，21231839S -==，等式成立． （6分） （Ⅱ）设当n k =时等式成立，即22(21)1(21)k k S k +-=+． （7分） 则21222228(1)(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(23)k k k k k S S k k k k k +++-+=+=++++++222222222[(21)1](23)8(1)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)k k k k k k k k k k k +-+++++-+++==++++2222222(21)(23)(21)(23)1(21)(23)(23)k k k k k k k ++-++-==+++． 由此可知，当1n k =+时等式也成立． （9分）根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，等式对任何n N ∈都成立． （12分）26．（本小题满分12分）已知：平面α平面β=直线a ．,αβ同垂直于平面γ，又同平行于直线b ．求证：（Ⅰ）a γ⊥；（Ⅱ）b γ⊥．【解】本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分． 证法一：（Ⅰ）设,AB AC αγβγ==．在γ内任取一点P 并于γ内作直线,PM AB PN AC ⊥⊥． ——1分∵ γα⊥，∴PM α⊥． 而a α⊂，∴PM a ⊥．同理PN a ⊥． ——4分 又,PM PN γγ⊂⊂，∴a γ⊥． ——6分（Ⅱ）于a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ．——7分∵//b α，∴1//b a ．同理2//b a ． ——8分 ∵12,a a 同过Q 且平行于b ，∴12,a a 重合． 又12,a a αβ⊂⊂，∴12,a a 都是,αβ的交线，即都重合于a ． ——10分 ∵1//b a ，∴//b a ．而a γ⊥，∴b γ⊥． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明//b a 而直接断定b γ⊥的，该部分不给分． 证法二：（Ⅰ）在a 上任取一点P ，过P 作直线a γ'⊥． ——1分∵,P αγα⊥∈，∴a α'⊂．同理a β'⊂． ——3分 可见a '是,αβ的交线．因而a '重合于a ． ——5分又a γ'⊥，∴a γ⊥． ——6分（Ⅱ）于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同法过b 作平面与β交于直线d ． ——7分∵//,//b b αβ．∴//,//b c b d ． ——8分 又,c d ββ⊄⊂，可见c 与d 不重合．因而//c d ．于是//c β． ——9分 ∵//,,c c a βααβ⊂=，∴//c a ． ——10分∵//,//b c a c ，b 与a 不重合（,b a αα⊄⊂，∴//b a ． ——11分 而a γ⊥，∴b γ⊥． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明//b a 而直接断定b γ⊥的，该部分不给分．27．（同全国1理科27，解法不同，分值不同）（本小题满分12分）在面积为1的PMN ∆中，1tan ,tan 22PMN MNP ==-．建立适当的坐标系，求以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程．【解】本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分．解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的垂 直平分线为y 轴建立直角坐标系．设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为(,0),(,0)M c N c -． ——1分由1tan ,tan tan()22PMN N απ==-=，得 直线PM 和直线PN 的方程分别为1()2y x c =+和2()y x c =-．将此二方程联立，解得54,33x c y c ==，即P 点坐标为54(,)33c c ． ——5分在MPN ∆中，2MN c =，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件1MNP S ∆=，∴c =P点坐标为． ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN ． 得 ()21521=+=PN PM a ． ——10分 又222153344b ac =-=-=， 故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法二：同解法一得23=c ，P点的坐标为． ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+22231b +=． 化简得423830b b --=．解得23b =或213b =-（舍去）． ——10分 又222315344a b c =+=+=．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法三：同解法一建立坐标系． ——1分∵P PMN α∠=∠-∠，∴ 12tan()tan 32tan 11tan()tan 4122N M P N M ππ---===+-+⨯．∴P ∠为锐角．∴34sin ,cos 55P P ==． 而1sin 12MNP S PM PN P ∆=⋅=，∴ 103PM PN ⋅=． ——4分 ∵2,2PM PN a MN c +==，由余弦定理，222(2)2cos c PM PN PM PN P =+-⋅2()2(1c o s)P M P N P M P N P =+-⋅+ 2104(2)2235a =-⋅-⋅， ∴223c a =-，即23b =． ——7分又sin M =sin N =，由正弦定理，sin sin sin PM PN MN N M P ==， ∴PMN MN PN PM sin sin sin =++．即53251522ca =+，∴a =． ——10分 ∴222235a a b c =+=+．∴2154a =．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分28．（同全国1理科28，解法不同）（本小题满分12分）设复数441()cos sin (0),1z z i z θθθπω-=+<<=+，并且2πωω=<，求θ．【解】本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分． 解法一：()()[]()()441cos sin 1cos 4sin 41cos 4sin 41cos sin i i i i θθθθωθθθθ--+-⎡⎤----⎣⎦==++++ ——2分()222sin 22sin 2cos 2tan2sin 4cos 42cos 22sin 2cos 2i i i θθθθθθθθθ+==++． ——5分tan 2sin 4cos 4tan 2i ωθθθθ=⋅+==，tan2θ=±． ——6分 因πθ<<0，故有（ⅰ）当tan23θ=12πθ=或127πθ=，这时都有 ⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi ， 得26arg ππω<=，适合题意． ——10分（ⅱ）当tan2θ=时，得125πθ=或1211πθ=，这时都有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi ，得2611arg ππω>=，不适合题意，舍去． 综合（ⅰ）、（ⅱ）知12πθ=或127πθ=． ——2分解法二：θθ4sin 4cos 4i z +=．记θϕ4=，得()()ϕϕsin cos 44i z z-==．ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=——2分()()sin sin cos tan sin cos 1cos 2i i ϕϕϕϕϕϕϕ=+=++． ——5分∵33=ω，2arg πω<，∴tan 23tan sin 0,2tan cos 0,2ϕϕϕϕϕ⎧=⎪⎪⎪⋅>⎨⎪⎪⋅≥⎪⎩——8分当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ）0tan2cos 40θπθθ<<⎧⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，或（ⅱ）0tan2cos 40θπθθ<<⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩——10分解（ⅰ）得12πθ=或127πθ=．（ⅱ）无解．综合（ⅰ）、（ⅱ）12πθ=或127πθ=． ——12分。
(详细解析)1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题，第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集I N =，集合{}{}2,,4,A x x n n N B x x n n N ==∈==∈||，则 A ．B A I = B ．B A I = C ．B A I = D ．B A I = 【答案】C【解析】由于B A Þ，所以AB I =．2．当1a >时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图像【答案】A【解析】当1a >时，函数xy a -=是减函数，且过点(0,1)；而函数log a y x =为增函数，且过点(1,0)．3．若22sin cos x x >，则x 的取值范围是 A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππ B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππ D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 【答案】D【解析】2221sin cos sin sin 22x x x x >⇒>⇒>或sin 2x <-，解得24k x ππ+< 32()4k k Z ππ<+∈或322()44k x k k Z ππππ-<<-∈，即(21)(21)4k x k πππ-+<<- 3()4k Z π+∈，所以x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ．4．复数54)31()22(i i -+等于A ．i 31+B ．i 31+-C ．i 31-D ．i 31--【答案】B44425(2)12()i ω===-+-．5．如果直线,l m 与平面,,αβγ满足：,//,l l m βγαα=⊂和m γ⊥，那么必有A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 【答案】A 【解析】略． 6．当22x ππ-≤≤时，函数()sin f x x x =+的A ．最大值是1，最小值是1-B ．最大值是1，最小值是12-C ．最大值是2，最小值是2-D ．最大值是2，最小值是1- 【答案】D【解析】因为()sin 2sin()3f x x x x π==+，由已知5636x πππ-≤+≤．故当 32x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值是2；当36x ππ+=-，即2x π=-时，()f x 有最小值是1-． 7．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是A ．(3,5),(3,3)---B ．(3,3),(3,5)-C ．(1,1),(7,1)-D ．(7,1),(1,1)--- 【答案】B【解析】消去参数可得直角坐标方程22(1)(3)1259y x +-+=，故焦点坐标是(3,3),(3,5)-．8．若02πα<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2παπα+++等于A ．2πB ．2π-C ．22πα-D ．22πα--【答案】A【解析】解法一：由于已知sin 0,cos()02παα>+<，原式arcsin(sin )arccos(sin )arccos(sin )αααπααπ=-+-=-+-=-+arccos[cos()]()222πππααπα--=-+--=．解法二：当1x ≤时arcsin arccos 2x x π+=，而1sin 0α-<-<，∴原式arcsin(sin )arccos(sin )2παα=-+-=．9．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为A ．63aB ．123a C ．3123a D ．3122a 【答案】D【解析】取AC 的中点O ，连接,BO DO ，如图所示．,ABC ADC ∆∆均为等腰直角三角形，22AC BO DO ===， ∴2BOD π∠=，则DO ⊥面ABC ，DO 就是三棱锥D ABC -的高，所以231132212D ABC V a -=⋅⋅=．10．等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，若3231510=S S 则n n S ∞→lim 等于 A ．32 B ．23- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】显然1q ≠，由3231510=S S 得10151(1)31(1)32a q a q -=-，则105323110q q --=，解得 5132q =-，得12q =-，所以12lim 13n n a S q →∞==--．11．椭圆的极坐标方程为θρcos 23-=，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是A ．(3,0),(1,)π B．3)22ππ C ．5(2,),(2,)33ππD ．（2arctg )22π- 【答案】C【解析】将极坐标方程为θρcos 23-=化为直角坐标方程22(1)143x y -+=，在短轴上的两个顶点的直角坐标是，所以极坐标是5(2,),(2,)33ππ．12．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．260 【答案】C【解析】由已知得230,100m m S S ==，则232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，所以323()210m m m S S S =-=．13．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过(,0),(0,)a b 两点．已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．332 【答案】A【解析】直线l 的方程为0bx ay ab +-=，原点到直线l 4c =，则22222316a b c a b =+，即22222()316a c a c c -=，解得2e =或e =0a b <<，所以e ==>，所以3e =不合题意．14．母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于 A ．π322 B ．π332 C ．π2 D ．π362 【答案】D15．设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f 等于A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5- 【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---(0.5)0.5f =-=-．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知圆07622=--+x y x 与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p = ． 【答案】2【解析】圆的标准方程为22(3)16x y -+=，圆心和半径分别为(3,0),4，所以4312p=-=，则2p =．17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有37C 种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37332C -=个．18．tg20tg403tg20tg40++的值是 ． 【答案】3【解析】∵tg20tg40tg(2040)31tg20tg40++==-，∴tg20tg403(1-tg20tg40)+=，tg20tg403tg20tg403++=．19．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60的二面角，则异面直线AD与BF 所成角的余弦值是 ．【答案】42 【解析】由于//AD BC ，所以CBF ∠即为异面直线AD 与BF 所成角，设正方形边长为a ，在CBF ∆中，,,BF BC a FC =====，222cos 24BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分11分）解不等式1)11(log >-xa ．【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．（Ⅰ）当1>a 时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-.11,011a xx——2分由此得xa 11>-． 因为10a -<，所以0x <，∴101x a<<-． ——5分 （Ⅱ）当01a <<时，原不等式等价于不等式组：110,11.xa x⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩——7分由①得，1x >或0x <， 由②得，101x a <<-，∴ax -<<111． ——10分 综上，当1>a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x；当10<<a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111． ——11分 21．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+，求 2cosCA -的值． 【解】本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．满分12分．解法一：由题设条件知60,120B A C =+=． ——2分∵cos 60=-22cos 1cos 1-=+CA ．将上式化为C A C A cos cos 22cos cos -=+． 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+． ——6分 将21)cos(,2160cos 2cos-=+==+C A C A 代入上式得cos)22A C A C -=-． 将1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A 代入上式并整理得 023)2cos(2)2(cos 242=--+-CA C A ——9分(2cos3)022A C A C ---+=，∵302A C -+≠，∴2cos 02A C-=．从而得cos2A C -=． ——12分 解法二：由题设条件知60,120B A C =+=．设2A Cα-=，则2A C α-=，可得60,60A C αα=+=-， ——3分 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+ C A ααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα． ——7分 依题设条件有Bcos 243cos cos 2-=-αα， ∵21cos =B ，∴2243cos cos 2-=-αα．整理得22cos 0,αα+-= ——9分(2cos 3)0αα-+=，∵03cos 22≠+α，∴02cos 2=-α．从而得222cos=-C A ． ——12分22．（本小题满分12分）如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． （Ⅰ）求证：1BE EB =；（Ⅱ）若111AA A B =；求平面1A EC 与平面111A B C 所成二面角（锐角）的度数． 注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）． （Ⅰ）证明：（如图2）在截面1A EC 内，过E 作1EG AC ⊥，G 是垂足．① ∵ ，∴EG ⊥侧面1AC ；取AC 的中点F ，连结,BF FG ，由AB BC = 得BF AC ⊥．② ∵ ，∴BF ⊥侧面1AC ；得//,,BF EG BF EG 确定一个平面，交侧面1AC 于FG ．③ ∵ ，∴//BE FG ，四边形BEGF 是平行四边形，BE FG =． ④ ∵ ，∴11//,FG AA AAC FGC ∆∆，⑤ ∵ ，∴112121BB AA FG ==，即112BE BB =，故1BE EB =． （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）①面1A EC ⊥侧面1AC ， ——2分②面ABC ⊥侧面1AC ， ——3分 ③//BE 侧面1AC ， ——4分 ④1//BE AA ， ——5分 ⑤//AF FC ， ——6分 （Ⅱ）分别延长11,CE C B 交于点D ，连结1A D ．∵1111111//,22EB CC EB BB CC ==，∴,21111111B A C B DC DB ===∵11111160B AC C B A ∠=∠=︒，1111111(180)302DA B A DB DB A ∠=∠=︒-∠=︒，∴111111190DAC DA B B AC ∠=∠+∠=︒， 即111DA AC ⊥． ——9分∵1CC ⊥面111AC B ，即11A C 是1A C 在平面11AC D 上的射影， 根据三垂线定理得11DA A C ⊥，所以11CAC ∠是所求二面角的平面角． ——11分 ∵11111111,90CC AA A B AC AC C ===∠=︒，∴1145CA C ∠=，即所求二面角为45． ——12分 23．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=耕地面积总产量，人均粮食占有量=总人口数总产量）【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷．依题意得不等式%)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M ．——5分 化简得]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ． ——7分 ∵103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈． —— 9分 ∴4x ≤（公顷）．答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分 24．（本小题满分12分）已知12,l l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且12,l l 与双曲线122=-x y 各有两个交点，分别为11,A B 和22,A B ．（Ⅰ）求1l 的斜率1k 的取值范围；（Ⅱ）若1122A B B =，求12,l l 的方程．【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（I ）依题设，12,l l 的斜率都存在，因为1l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=1)0)(2(2211x y k x k y ① ——1分 有两个不同的解．在方程组①中消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ． ②若0121=-k ，则方程组①只有一个解，即1l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故0121≠-k ，即11≠k ，方程②的判别式为2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-．设2l 的斜率为2k ，因为2l 过点)0,2(-P 且与双曲线有两个交点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y ③ 有两个不同的解．在方程组③中消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ． ④同理有)13(4,0122222-=∆≠-k k ．又因为12l l ⊥，所以有121l l ⋅=-． ——4分于是，12,l l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k——6分∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k ． ——7分 （Ⅱ）设),(),,(221111y x B y x A ．由方程②知112,122212121212121--=⋅--=+k k x x k k x x ． ∴22222111212112()()(1)()A B x x y y k x x =-+-=+-22112214(1)(31)(1)k k k +-=-． ⑤ ——9分 同理，由方程④可求得222B A ，整理得2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+= ⑥ 由22115B A B A =，得2211225A B A B =将⑤、⑥代入上式得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+，解得21±=k 取21=k 时，)2(22:),2(2:21+-=+=x y l x y l ； 取21-=k 时，)2(22:),2(2:21+=+-=x y l x y l ． ——12分25．（本小题满分12分）已知,,a b c 是实数，函数2(),()f x ax bx c g x ax b =++=+，当11x -≤≤时，()1f x ≤． （Ⅰ）证明：1c ≤；（Ⅱ）证明：当11x -≤≤时，()2g x ≤；（Ⅲ）设0a >，当11x -≤≤时，()g x 的最大值为2，求()f x ．【解】本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力．满分12分．（Ⅰ）证明：由条件当11x -≤≤时，()1f x ≤，取0x =得(0)1c f =≤，即1c ≤．——2分（Ⅱ）证法一：当0a >时，()g x ax b =+在[1,1]-上是增函数，∴(1)(0)(1)g g g -≤≤，∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c =+=-≤+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c -=-+=--+≥--+≥-，由此得()2g x ≤． ——5分 当0a <时，()g x ax b =+在[1,1]-上是减函数，∴(1)(0)(1)g g g -≥≥， ∵()1(11),1f x x c ≤-≤≤≤，∴(1)(1)(1)2g a b f c f c -=-+=--+≤-+≤，(1)(1)((1))2g a b f c f c =+=-≥-+≥-，由此得()2g x ≤； ——7分当0a =时，(),()g x b f x bx c ==+．∵11x -≤≤，∴()(1)(1)2g x f c f c =-≤+≤．综上得()2g x ≤． ——8分证法二：由4)1()1(22--+=x x x ，可得221111()[()()]()2222x x x x g x ax b a b +-+-=+=-+- ])21()21([])21()21([22c x b x a c x b x a +-+--++++= 11()()22x x f f +-=-， ——6分当11x -≤≤时，有,0211,1210≤-≤-≤+≤x x 根据含绝对值的不等式的性质，得2)21()21()21()21(≤-++≤--+x f x f x f x f ，即()2g x ≤． ——8分 （Ⅲ）因为0a >，()g x 在[1,1]-上是增函数，当1x =时取得最大值2，即(1)(1)(0)2g a b f f =+=-=． ①∵1(0)(1)2121f f -≤=-≤-=-，∴(0)1c f ==-． ——10分 因为当11x -≤≤时，()1f x ≥-，即()(0)f x f ≥，根据二次函数的性质，直线0x =为()f x 的图像的对称轴，由此得02ba-=，即0b =．由①得2a =．所以 2()21f x x =-． ——12分。
(详细解析)1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1995年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分．第Ⅰ卷（选择题共65分）一、选择题（本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知I 为全集，集合,M N I ⊂，若MN N =，则A ．N M ⊇B ．N M ⊆C ．N M ⊆D ．N M ⊇ 【答案】C 【解析】若M N N =，则N M ⊆，则C 正确．2．函数11y x =-+的图像是【答案】B【解析】显然1x =-，当1x >-时，函数为增函数；当1x <-时，函数为增函数．3．函数4sin(3)3cos(3)44y x x ππ=+++的最小正周期是 A ．6π B ．2π C ．32π D ．3π【答案】C【解析】4sin(3)3cos(3)5sin(3)444y x x x πππϕ=+++=++，其中3tan 4ϕ=，故最小正周期为32π，C 正确．4．正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是A ．23a πB ．22a π C ．22a π D ．23a π【答案】B【解析】设正方体的边长为x ，则226x a =，6a x =，所以球的直径为2232aR x ==， 球的表面积为2242a R ππ=．5．若图中的直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 A ．123k k k << B ．312k k k << C ．321k k k << D ．132k k k << 【答案】D【解析】由直线的倾斜角可知D 正确．6．在310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是A ．297-B ．252-C ．297D ．207 【答案】D【解析】5x 的系数是585210101010207C C C C -=-=．7．使arcsin arccos x x >成立的x 的取值范围是 A ．2(0]， B ．2(1]， C ．2[1)-， D ．[10)-， 【答案】B【解析】不等式转化为arcsin arcsin 2x x π>-，则arcsin 4x π>，∴2(1]2x ∈，．8．双曲线2233x y -=的渐近线方程是A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =±【答案】C【解析】令2230x y -=得y =．9．已知θ是第三象限角，且445sin cos 9θθ+=，那么sin 2θ等于 A ．322 B ．322- C ．32 D ．32-【答案】A【解析】22244221511(sin cos )sin cos sin 2sin 2292θθθθθθ=+=++=+，所以2sin 2θ 89=，由于322,2k k k Z πππθπ+<<+∈，所以422(43),k k k Z ππθπ+<<+∈，即2θ为第一或第二象限角，所以sin 2θ=．10．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①//l m αβ⇒⊥ ②//l m αβ⊥⇒ ③//l m αβ⇒⊥ ④//l m αβ⊥⇒ 其中正确的两个命题是A ．①与②B ．③与④C ．②与④D ．①与③ 【答案】D 【解析】略．11．已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2,)+∞ 【答案】B【解析】若01a <<，则2y ax =-在[0,1]上是增函数，则0a <；若1a >，则2y ax =-在[0,1]上是减函数，且20ax ->，则min22a x ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭，所以(1,2)a ∈．12．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若132+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 等于A ．1B ．36C ．32D ．94 【答案】C 【解析】121211212122(21)2lim lim lim lim lim 23(21)13n n n n n n n n n n n n n a a a a S n b b b b T n --→∞→∞→∞→∞→∞--+-=====+-+．13．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个【答案】A【解析】当个位数为2,4时，三位数为偶数，共有122424C A =．14．在极坐标系中，椭圆的两焦点分别在极点和点(2,0)c ，离心率为e ，则它的极坐标方程是A ．()θρcos 11e e c --= B ．()θρcos 112e e c --= C ．(1)(1cos )c e e e ρθ-=- D ．()()θρcos 112e e e c --=【答案】D【解析】由已知c a e =，从而22222(1)b a c c e p c c e --===，将p 代入方程1cos epe ρθ=-得椭圆极坐标方程为()θρcos 11e e c --=．【编者】此公式新课标不作要求．15．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点11,D F 分别是1111,A B AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成的角的余弦值是A ．1030 B ．21C ．1530D ．1015 【答案】A【解析】取BC 的中点D ，连接111,D F DF ，∴11//BD DF ，∴1DF A ∠就是1BD 与1AF 所成角，设1BC CA CC a ===，则1156,a a AD AF DF ===，在1DF A∆中，130cos DF A ∠=，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共85分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）．16．不等式x x 283312-->⎪⎭⎫⎝⎛的解集是 ．【答案】{}24x x -<<|【解析】不等式x x 283312-->⎪⎭⎫ ⎝⎛变形为不等式28233x x -->，所以282x x ->-，解得不等式的解集为{}24x x -<<|．17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为 ． 【答案】3237 【解析】设球的半径为2，由题意可得圆台上底面半径为1，圆台的高为3，所以圆台的体积是22173()3h R Rr r ππ++=，球的体积343233R ππ=，圆台的体积与球体积之比为3237．18．函数sin()cos 6y x x π=-的最小值是 ．【答案】43-【解析】1sin()cos (sin coscos sin )cos 2cos 26664y x x x x x x x πππ=-=-=- 111sin(2)4264x π-=--，当sin(2)16x π-=-时，函数有最小值43-．19．直线l 过抛物线2(1)(0)y a x a =+>的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a = ．【答案】4【解析】抛物线的焦点为(1,0)4a -+，将14a x =-+代入2(1)y a x =+解得2ay =±，所以 4a =．20．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）． 【答案】144【解析】四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有不同的方法为2344144C A =（种）．三、解答题（本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）．21．（本小题满分7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为123,,,Z Z Z O （其中O 是原点），已知2Z 对应复数i Z 312+=．求1Z 和3Z 对应的复数．【解】本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．设13,Z Z 对应的复数分别为13,z z ，依题设得12[cos()sin()])()4422z z i i ππ=-+-=-=，32221313(cos sin )(13)()442222z z i i i i ππ-+=+=++=+．22．（本小题满分10分）求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒的值． 【解】本小题主要考查三角恒等式和运算能力． 原式()()︒︒+︒++︒-=50cos 20sin 100cos 12140cos 121()()︒-︒+︒-︒+=30sin 70sin 2140cos 100cos 211313sin 70sin 30sin 70424=-︒︒+︒=．23．（本小题满分12分）如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，,AF DE F ⊥是垂足． （Ⅰ）求证：AF DB ⊥；（Ⅱ）如果圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角．【解】本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．（Ⅰ）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ．∵EB ⊂平面ABE ，∴DA EB ⊥． ∵AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴AE EB ⊥，又AEAD A =，故得EB ⊥平面DAE ．∵AF ⊂平面DAE ，∴EB AF ⊥． 又AF DE ⊥，且EBDE E =，故得AF ⊥平面DEB ．∵DB ⊂平面DEB ，∴AF DB ⊥．（Ⅱ）过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连结DH ．根据圆柱性质，平面ABCD ⊥平面ABE ，AB 是交线．且EH ⊂平 面ABE ，所以EH ⊥平面ABCD ．又DH ⊂平面ABCD ，所以DH 是ED 在平面ABCD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABCD 所成的角．设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，于是32V R π=圆柱，21233D ABEABE R V AD S EH -∆=⋅=⋅． 由3D ABE V V π-=圆柱:，得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，AH R =，DH =，∴arccos DHEDH EH∠==24．（本小题满分12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克．根据市场调查，当814x ≤≤时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：1000(8)(8,0)P x t x t =+-≥≥，14)Q x =≤≤．当P Q =时市场价格称为市场平衡价格．（Ⅰ）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域； （Ⅱ）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?【解】本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．（Ⅰ）依题设有1000(8)x t +-=化简得225(880)(464280)0x t x t t +-+-+=．当判别式2800160t ∆=-≥时，可得485x t =-±． 由0,0,814t x ∆≥≥≤≤，得不等式组：048814;5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-⎪⎩①048814.5t t ⎧≤≤⎪⎨≤-≤⎪⎩②解不等式组①，得0t ≤≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为25052548t t x -+-=，函数的定义域为． （Ⅱ）为使10x ≤，应有48105t -+≤，化简得2450t t +-≥． 解得1t ≥或5t ≤-，由0t ≥知1t ≥．从而政府补贴至少为每千克1元．25．（本小题满分12分）设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和．（Ⅰ）证明12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ；（Ⅱ）是否存在常数0c >，使得21lg()lg()lg()2n n n S c S c S c ++-+-=-成立？并证明你的结论．【解】本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力．（Ⅰ）证明：设{}n a 的公比为q ，由题设10,0a q >>．（i ）当1q =时，1n S na =，从而2222211111(2)(1)0n n n S S S na n a n a a ++⋅-=⋅+-+=-<．（ⅱ）当1q ≠时，()qq a S nn --=111，从而()()()()()22221112212211111n n n n n n a q q a q S S S q q ++++---⋅-=---210n a q =-<．由（i ）和（ii ）得221n n n S S S ++⋅<．根据对数函数的单调性，知221lg()lg n n n S S S ++⋅<，即12lg 2lg lg ++<+n n n S S S ．（Ⅱ）不存在．证明一：要使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg 成立，则有221()()(),0.n n n n S c S c S c S c ++⎧--=-⎪⎨->⎪⎩分两种情况讨论：（i ）当1q =时，()()()221lg n n n S c S c S c ++----221111()[(2)][(1)]0na c n a c n a c a =-⋅+--+-=-<．可知，不满足条件①，即不存在常数0c >，使结论成立． （ii ）当1q ≠时，若条件①成立，因为()()21122111()()()11n n n n n a q a q S c S c S c c c q q +++⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥----=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()[]211111(1)1n n a q c a q a c q q +⎡⎤-⎢⎥--=----⎢⎥⎣⎦，且10n a q ≠，故只能有1(1)0a c q --=，即qa c -=11． 此时，因为10,0c a >>，所以01q <<．但01q <<时，01111<--=--qq a q a S nn ，不满足条件②， 即不存在常数0c >，使结论成立．综合（i ）、（ii ），同时满足条件①、②的常数0c >不存在，即不存在常数0c >，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．证法二：用反证法，假设存在常数0c >，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ，则有1222100,0,()()().n n n nn n S c S c S c S c S c S c ++++->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩,由④得22121(2)n n n n n n S S S c S S S ++++-=+-． ⑤根据平均值不等式及①、②、③、④知21212()()2()n n n n n n S S S S c S c S c +++++-=-+---()()2122()0n n n S c S c S c ++≥----=．因为0c >，故⑤式右端非负，而由（Ⅰ）知，⑤式左端小于零，矛盾． 故不存在常数0c >，使()()()c S c S c S n n n -=-+-++12lg 2lg lg ．【难度】本题是近几年最难的一道题．26．（本小题满分12分）已知椭圆1162422=+y x ，直线1812:=+yx l ．P 是l 上点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．【解】本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．解法一：由题设知点Q 不在原点．设,,P R Q 的坐标分别为(,),(,),(,)P P R R x y x y x y ，其中,x y 不同时为零．当点P 不在y 轴上时，由于点R 在椭圆上及点,,O Q R 共线，得方程组221,2416.R RR R x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2222222248, 2348, 23R R x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩由于点P 在直线l 上及点,,O Q R 共线，得方程组1,128.p pp p x y y y x x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得24, 2324, 23p p x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩当点P 在y 轴上时，经验证①－④式也成立． 由题设2OQ OP OR ⋅=，得()2222222RRPP yxy x y x +=+⋅+将①－④代入上式，化简整理得()()()22222222232483224y x y x y x y x ++=++， 因x 与P x 同号或y 与P y 同号，以及③、④知230x y +>，故点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x （其中,x y 不同时为零）．所以点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点．解法二：由题设知点Q 不在原点．设,,P R Q 的坐标分别为(,),(,),(,)P P R R x y x y x y ，其中,x y 不同时为零．设OP 与x 轴正方向的夹角为α，则有cos ,sin P P x OP y OP αα==； cos ,sin R R x OR y OR αα==； cos ,sin x OQ y OQ αα==；由上式及题设2OQ OP OR ⋅=，得, , P P OPx x OQOPy y OQ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222, , R R OP x x OQOP y y OQ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由点P 在直线l 上，点R 在椭圆上，得方程组221,1281,2416P PR R x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q 的轨迹方程为()()135125122=-+-y x （其中,x y 不同时为零）．所以点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长、短半轴分别为210和315且长轴与x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点．。
1998年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
1998年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、选择题：1、sin600°的值是（ ）23.D 23.C 21.B 21.A --2、函数)1a (a y |x |>=的图象是（ ）3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为（ ）A ． 4)2y (x 22=++B ． 4)2y (x 22=-+C ． 4y )2x (22=+-D ．4y )2x (22=++ 4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是（ ） A ． 0B B A A 2121=+ B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1（ ）A ． x(x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0)D ．)0x (x 1≠-6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是（ ）A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A ．120°B ．150°C ．180°D ．240° 8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（ ）A ． i 2123±B ．i 2123±-C ． i 2123+±D ．i 2123-± 9、如果棱台的两底面积分别是S ， S'，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ． 'S S +=22 B ． S 'S S =0C ． 'S S S +=02D ． S 'S S 220=10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）A ． 34B ．32C ．2D ．314、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）A ．215arccos- B ．215arcsin-C ．251arccos- D ． 251arcsin-15、在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是（ ）A ．(1,+∞)B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2)二、填空题16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。
1993年全国高考数学试题(理)
1993年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)k kn k n n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共68分）一、选择题：本大题共17小题，每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是A ．2πB． C ．πD ．4π 2．如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为A ．32BCD ．23．和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为 A ．3450x y +-= B ．3450x y ++=C ．3450x y -+-=D ．3450x y -++=4．极坐标方程435cos ρθ=-所表示的曲线是A ．焦点到准线距离为45的椭圆B ．焦点到准线距离为45的双曲线右支C ．焦点到准线距离为43的椭圆D ．焦点到准线距离为43的双曲线右支5．35y x =在[1,1]-上是A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数6．2251lim 25n n n n →∞--+的值为A ．15-B ．52-C ．15 D ．527．集合{|,}24k M x x k Z ππ==+∈，{|,}42k N x x k Z ππ==+∈，则A ．M N =B ．M N ⊃C ．M N ⊂D ．M N =∅I8．sin 20cos70sin10sin 50+oooo的值是A ．14BC ．12D9．参数方程|cos sin |22(02)1(1sin )2x y θθθπθ⎧=+⎪⎪<<⎨⎪=+⎪⎩表示A ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2 B ．抛物线的一部分，这部分过点1(1,)2C ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2-D ．抛物线的一部分，这部分过点1(1,)2- 10．若a 、b 是任意实数，且a b >，则A ．22a b >B ．1ba<C ．lg()0a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线12．圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是A ．36l π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3192l π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34l π⎛⎫⎪⎝⎭D ．324l π⎛⎫⎪⎝⎭13．451)(1)x -展开式中4x 的系数为A ．40-B ．10C ．40D ．4514．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+，则旋转体的体积为A ．2πB C D ．73π15．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则A ．1845a a a a +>+B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +与45a a +的大小关系不能确定16．设有如下三个命题：甲：相交两直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内．乙：l ，m 之中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．当甲成立时 A ．乙是丙的充分而不必要的条件 B ．乙是丙的必要而不充分的条件C ．乙是丙的充分且必要的条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．将数字1，2，3，4填入1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种第Ⅱ卷（非选择题共82分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．18．11sin(arccosarccos )23+＝ ． 19．若双曲线2222194x y k k-=与圆221x y +=没有公共点，则实数k 的取值范围为 ． 20．从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法．（用数字作答） 21．设1()42xx f x +=-，则1(0)f-＝ ．22．建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．23．如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度．三、解答题：本大题共6小题，共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．（本小题满分10分）已知1()log (0,1)1a xf x a a x+=>≠-． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求使()0f x >的x 取值范围．25．（本小题满分12分）已知数列228113⋅⋅，228235⋅⋅，…，228(21)(21)n n n -+，…．n S 为其前n 项和．计算得189S =，22425S =，34849S =，48081S =． 观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明．26．（本小题满分12分）已知平面αI 平面β＝直线a ．,αβ同垂直于平面γ，又同平行于直线b ．求证： （1）a γ⊥；（2）b γ⊥．27．（本小题满分12分）在面积为1的△PMN 中，1tan 2PMN ∠=，tan 2MNP ∠=-．建立ECD PABC D E βαγab适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程．28．（本小题满分12分）设复数cos sin (0)z i θθθπ=+<<，441()1z z ω-=+，并且||ω=，arg 2πω<，求θ．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．(18)6322+ (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30 三、解答题(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分．M NP解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx． ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则－1<x <1；如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解． ——4分故f (x )的定义域为(－1，1)(Ⅱ) ∵ ()()x f x xx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ，∴ f (x )为奇函数． ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1，log a 011>-+x x 等价于111>-+xx， ①而从(Ⅰ)知1－x >0，故①等价于1+x >1－x ，又等价于x >0．故对a >1，当x ∈(0，1)时有f (x )>0． ——9分(ⅱ)对0<a <1，log a011>-+x x 等价于0<111<-+xx． ② 而从(Ⅰ)知1－x >0，故②等价于－1<x <0．故对0<a <1，当x ∈(－1，0)时有f (x )>0． ——12分(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分．解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112． ——4分 证明如下：(Ⅰ)当n =1时，98313221=-=S ，等式成立． ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k ——7分 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知，当n =k +1时等式也成立． ——9分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n ∈N 都成立． ——10分 (26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分．证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P 并于γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC ． ——1分 ∵ γ⊥α，∴ PM ⊥α．而 a ⊂α，∴ PM ⊥a ．同理PN ⊥a ． ——4分 又 PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ． ——6分(Ⅱ)于a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线a 1，交β于直线a 2．—7分∵ b ∥α，∴ b ∥a 1．同理b ∥a 2． ——8分 ∵ a 1，a 2同过Q 且平行于b ，∵ a 1，a 2重合．又 a 1⊂α，a 2⊂β，∴ a 1，a 2都是α、β的交线，即都重合于a ． ——10分 ∵ b ∥a 1，∴ b ∥a ．而a ⊥γ，∴ b ⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分． 证法二(Ⅰ)在a 上任取一点P ，过P 作直线a ′⊥γ． ——1分 ∵ α⊥γ，P ∈α， ∴ a ′⊂α．同理a ′⊂β． ——3分 可见a ′是α，β的交线．因而a ′重合于a ． ——5分 又 a ′⊥γ，∴ a ⊥γ． ——6分(Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同法过b 作平面与β交于直线d ——7分∵ b ∥α，b ∥β．∴ b ∥c ，b ∥d ． ——8分 又 c ⊄β，d ⊂β，可见c 与d 不重合．因而c ∥d ．于是c ∥β． ——9分 ∵ c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ，∴ c ∥a ． ——10分 ∵ b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α)，∴ b ∥a ． ——11分 而 a ⊥γ，∴ b ⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分．(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分． 解法一如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为M (－c ，0)，N (c ，0)． —1分由tg M =21，tg α=tg(π－∠MNP )=2，得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x －c )．将此二方程联立，解得x =35c ，y =34c ，即P 点坐标为(35c ，34c )． ——5分在△MNP 中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆由题设条件S △MNP =1，∴ c =23，即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN ．得 ()21521=+=PN PM a ． ——10分 又 b 2=a 2－c 2=343415=-，故所求椭圆方程为 1315422=+y x ． ——12分 解法二同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且a 2=b 2+c 2．∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b ．化简得3b 4－8b 2－3=0． 解得b 2=3，或b 2=31-(舍去)． ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法三同解法一建立坐标系． ——1分∵ ∠P =∠α－∠PMN ，∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ． ∴ ∠P 为锐角．∴ sin P =53，cos P =54．而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1，∴ |PM |·|PN |=310． ——4分∵ |PM |+|PN |=2a ，|MN |=2c ，由余弦定理，(2c )2=|PM |2+|PN |2－2|PM |·|PN |cos P =(|PM |+|PN |)2－2|PM |·|PN |(1+cos P )=(2a )2－2·310－2·310·54， ∴ c 2=a 2－3，即b 2=3． ——7分 又 sin M =51，sin N =52，由正弦定理，PMN MPN NPM sin sin sin ==，∴PMNM N PNPM sin sin sin =++．即 53251522ca =+，∴ a =5c ． ——10分∴ a 2=b 2+c 2=3+52a ．∴ a 2=415．① ② ③ 故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 (28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分． 解法一()()[][]44sin cos 1sin cos 1θθθθωi i ++-+--=()()θθθθ4sin 4cos 14sin 4cos 1i i ++----=——2分θθθθθθ2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222i i ++=()θθθ4cos 4sin 2tg i += ——5分 332tg 4cos 4sin 2tg ==+⋅=θθθθωi 332tg ±=θ． ——6分因πθ<<0，故有(ⅰ)当332tg =θ时，得12πθ=或127πθ=，这时都有⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi ，得26arg ππω<=，适合题意． ——10分(ⅱ)当332tg -=θ时，得125πθ=或1211πθ=，这时都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi ， 得2611arg ππω>=，不适合题意，舍去． 综合(ⅰ)、(ⅱ)知12πθ=或127πθ=． ——2分解法二：θθ4sin 4cos 4i z +=．记θϕ4=，得()()ϕϕsin cos 44i z z-==．ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=． ——2分()ϕϕϕϕcos sin cos 1sin i ++=()ϕϕϕcos sin 2tg i +=． ——5分 ∵ 33=ω，2arg πω<， ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅>⋅=0cos 2tg 0sin 2tg 332tg ϕϕϕϕϕ ——8分当①成立时，②恒成立，所以θ应满足(ⅰ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=<<04cos 332tg 0θθπθ，或(ⅱ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=<<04cos 332tg 0θθπθ，——10分解(ⅰ)得12πθ=或127πθ=．(ⅱ)无解．综合(ⅰ)、(ⅱ) 12πθ=或127πθ=． ——12分。
1993年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)数学
1993年试题(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为【】【】(A)45°(B)60° (C)90° (D)120°【】(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i【】(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是【】(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值【】(7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35【】(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数【】(A)线段(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线【】(10)若a、b是任意实数,且a>b,则【】(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间【】(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆【】(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥【】(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是【】(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项【】(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么【】(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种(C)11种(D)23种【】(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条【】二、填空题:把答案填在题中横线上.(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答).(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明:(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.1993年试题(理工农医类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B(7)B (8)A (9)A (10)D (11)A (12)C(13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.(19)2 (20)17.3 (21)4186三、解答题.(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.(Ⅱ)解法一:过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥l.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,∵l∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,在Rt△A1AE中,∵ A1A=1,∠A1AE=90°,解法二:同解法一得l∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,以下同解法一.(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.(c,0)和(x0,y0).∵ tgα=tg(π-∠N)=2,∴由题设知解法二:(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.证法一:依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式△=a2-4b≥0.平方得a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,由此得-4(4+b)<8a<4(4+b),∴2│a│<4+b.(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,4±a>0;且△=a2-4b<a2-4(2│a│-4)=a2±8a+16=(4±a)2,又△≥0,∴-2<α≤β<2,得│α│<2,│β│<2.证法二:(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2.故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0,2a>-(4+b);4-2a+b>0,2a<4+b.∴2│a│<4+b.(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ①及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.综上所述α,β均落在(-2,2)内.∴│α│<2,│β│<2.。
1993年高考数学试题(理工农医类)
1993年高考数学试题(理工农医类)(北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用题)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1)函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是：(A)2π (B)2(C)π(D)π/4(2)如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4,那么该双曲线的离心率为：(A)3/2 (B)/2(C)/2 (D)2(3)和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为：(A)3x+4y-5=0(B)3x+4y+5=0(C)-3x+4y-5=0(D)-3x+4y+5=0(4)极坐标方程ρ=4/(3-5cosθ)所表示的曲线是：(A)焦点到准线距离为4/5的椭圆(B)焦点到准线距离为4/5的双曲线右支(C)焦点到准线距离为4/3的椭圆(D)焦点到准线距离为4/3的双曲线右支(5) y = x3/5在[-1,1]上是：(A)增函数且是奇函数 (B)增函数且是偶函数(C)减函数且是奇函数 (D)减函数且是偶函数(6)的值为：(A)-1/5 (B)-5/2(C)1/5 (D)5/2(7)集合Ｍ＝｛X＝|kπ/2+π/4,k∈Z｝,Ｎ＝｛X＝|kπ/4+π/2,k∈Z｝,则(A)Ｍ＝Ｎ(B)ＭＮ(C)ＭＮ(D)Ｍ∩Ｎ＝φ(8)sin20ocos70o+sin10osin50o的值是(A)1/4 (B)/2(C)1/2 (D)/4(9)参数方程(A)双曲线的一支，这支过点(1,1/2)(B)抛物线的一部分，这部分过(1,1/2)(C)双曲线的一部分，这部分过(-1,1/2)(D)抛物线的一部分，这部分过(-1,1/2)(10)若a、b是任意实数,且a>b,则(A)a2>b2(B)b/a<1(C)lg(a-b)>0(D)(1/2)a<(1/2)b(11)一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(12)圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是(A)(l/5)3π(B)(1/9)(l/2)3π(C)(l/4)3π(D)2(l/4)3π(13)(+1)4(x-1)5展开式中x4的系数为：(A)-40 (B)10(C)40 (D)45(14)直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的3/2，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+)π，则旋转体的体积为：(A)2π(B)(4+)π/3(C)(5+)π/3 (D)7π/3(15)已知a1,a2,…,a8为各项都大于零的等比数列,公比q≠1,则(A)a1+a8>a4+a5(B)a1+a8<a4+a5(C)a1+a8=a4+a5(D)a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定.(16)设有如下三个命题:甲:相交两直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内.乙:l,m之中至少有一条与β相交.丙:α与β相交.当甲成立时(A)乙是丙的充分而不必要的条件(B)乙是丙的必要而不充分的条件(C)乙是丙的充分且必要的条件(D)乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件(17)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号所填的数字均不相同的填法有(A)6种(B)9种(C)11种 (D)23种第Ⅱ卷二、填空题:把答案填在题中横线上.(18)sin(arccos(1/2)+arccos(1/3))=_____________(19)若双曲线与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为____________________(20)从1,2,……10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________种取法(用数字作答).(21)设f(x)=4x-2x+1，则f-1(0)=___________(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为___________元。
1998年高考数学试题及答案(全国理)
1998年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、sin600°的值是23.D 23.C 21.B 21.A --[Key] D2、函数)1a (a y |x |>=的图象是[Key] B3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为A ． 4)2y (x 22=++B ． 4)2y (x 22=-+C ． 4y )2x (22=+-D ．4y )2x (22=++[Key] B4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是 A ． 0B B A A 2121=+B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=[Key] A 5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1A ． x(x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0)D ．)0x (x 1≠-[Key] B6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ[Key] B °7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120° B ．150° C ．180° D ．240° [Key] C8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ． i 2123±B ．i 2123±-C ．i 2123+± D ． i2123-± [Key] D9、如果棱台的两底面积分别是S ， S'，中截面的面积是S 0，那么A ． 'S S +=22B ． S 'S S =0C ．'S S S +=02 D ．S'S S 220=[Key] A10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是[Key] B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种 [Key] D12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[Key] A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ． 34B ．32C ．2D ．3[Key] B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为 A ．215arccos- B ． 215arcsin- C ．251arccos- D ． 251arcsin-[Key] B15、在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是A ．(1,+∞)B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2) [Key] D16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。
1996年全国高考数学试题及答案
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(3)若sin 2x>cos 2x,则x 的取值范围是}Z k ,43k x 41k 2|x ){D (}Z k ,43k x 41k |x ){C (}Z k ,45k 2x 41k 2|x ){B (}Z k ,41k 2x 43k 2|x ){A (∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π[Key] D(4)复数)i 31()i 22(4-+等于i 31)D (i 31)C (i 31)B (i 31)A (---+-+[Key] B5)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ,l//α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β(C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ[Key] A(6)当2x 2π≤≤π-，函数x cos 3x sin )x (f +=的(A)最大值是1，最小值是-1(B)最大值是1，最小值是-(1/2)(C)最大值是2，最小值是-2(D)最大值是2，最小值是-1[Key] D(7)椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=sin 51y cos 33x 的两个焦点坐标是(B)(A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1)(8)若2a 0π<<，则)]a (arccos[sin )]a 2(arcsin[cos +π++π等于 a 22)D (a 22)C (2)B (2)A (-π--ππ-π[Key] A(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为3333a 122)D (a 123)C (12a )B (6a )A ([Key] D(10)等比数列{a n }的首项a 1=-1，前n 项的和为S n ，若3231S S 510=，则n n S lim ∞→等于2)D (2)C (32)B (32)A (--[Key] B(11)椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 )23arctg 2,7)(23arctg ,7)(B ()35,2)(3,2)(B ()23,3)(2,3)(B (),1)(0,3)(A (-ππππππ[Key] C(12)等差数列{a n 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为(A)130 (B)170 (C)210 (D)260[Key] C(13)设双曲线)b a 0(1b y a x 2222<<=+的半焦距为c ，直线l 过两点(a,0)(0,b)。
1999年高考数学试题及答案(全国理)
Pre-reading Activities1. How many of these idioms do you know? If any of them are unfamiliar to you, hypothesize about what they might mean. Then as you listen to the passage,a) circle the idioms you hear in the dialogue, andb) c1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷第1至2页。
第II 卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）注意事项1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式： 三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11） —（14）题每小题5分，共60分。
1996年全国高考数学试题含答案
1996年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(1)已知全集I=N,集合A={x │x=2n,n ∈N},B={x │x=4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(3)若sin 2x>cos 2x,则x 的取值范围是}Z k ,43k x 41k 2|x ){D (}Z k ,43k x 41k |x ){C (}Z k ,45k 2x 41k 2|x ){B (}Z k ,41k 2x 43k 2|x ){A (∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π[Key] D(4)复数)i 31()i 22(4-+等于i 31)D (i 31)C (i 31)B (i 31)A (---+-+[Key] B5)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l=β∩γ,l//α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有 (A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ [Key] A (6)当2x 2π≤≤π-，函数xcos 3x sin )x (f +=的(A)最大值是1，最小值是-1(B)最大值是1，最小值是-(1/2) (C)最大值是2，最小值是-2(D)最大值是2，最小值是-1 [Key] D(7)椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=sin 51y cos 33x 的两个焦点坐标是(B) (A)(-3,5),(-3,-3) (B)(3,3,),(3,-5) (C)(1,1,),(-7,1) (D)(7,-1,),(-1,-1) (8)若2a 0π<<，则)]a (arccos[sin )]a 2(arcsin[cos +π++π等于a 22)D (a 22)C (2)B (2)A (-π--ππ-π[Key] A(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC 的体积为3333a 122)D (a 123)C (12a )B (6a )A ([Key] D(10)等比数列{a n }的首项a 1=-1，前n 项的和为S n ，若3231S S 510=，则n n S lim ∞→等于2)D (2)C (32)B (32)A (-- [Key]B (11)椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是)23arctg 2,7)(23arctg ,7)(B ()35,2)(3,2)(B ()23,3)(2,3)(B (),1)(0,3)(A (-ππππππ [Key] C(12)等差数列{a n 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为 (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 [Key] C(13)设双曲线)b a 0(1b y a x 2222<<=+的半焦距为c ，直线l 过两点(a,0)(0,b)。
1999年高考数学试题及答案(全国理)
1999年高考数学试题及答案(全国理)1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷第1至 2页。
第II 卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题共60分）注意事项1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3． 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11） —（14）题每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （A ）（M ∩P ）∩S （B ）（M ∩P ）∪S（C ）（M ∩P ）∩S （D ）（M ∩P ）∪S（2） 已知映射f ：B A →，其中，集合{,2,3---=A都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （3）若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于（A ）a （B ）1-a （C ）b （D ）1-b （4）函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上（A ）是增函数 （B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值M - （5）若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是（A ）x sin （B ）x cos （C ）x 2sin （D ）x 2cos（6）在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于（A ）直线3πθ=轴对称 （B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称 （D ）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A ）cm 36 （B ）cm 6 （C ）cm 3182 （D ）cm 3123（8）若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）2 （9）直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π （10）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29（B ）5 （C ）6 （D ）215 （11）若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π （C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π （D ）⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒， 则不同的选购方式共有（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工农医类） 第II 卷（非选择题共90分）注意事项：1． 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。
99年全国高考数学理{作文类}
年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。
第卷至页。
第卷至。
共分。
考试时间分钟。
第卷（选择题共分）注意事项：．答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（或）用铅笔涂写在答题卡上。
．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式αβ[(αβ)(αβ)]αβ[(αβ)(αβ)]αβ[(αβ)(αβ)]αβ[(αβ)(αβ)]正棱台、圆台的侧面积公式：台侧(')其中'和表示圆台的上下底面的周长，表示斜高或母线长。
台体的体积公式：其中'分别表示上下底面积，表示高。
一、选择题：本大题共小题。
第—题每小题分，第—题每小题分，共分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，是全集，、、是的个子集，则阴影部分所表示的集合是．（∩）∩．（∩）∪．（∩）∩．（∩）∪．已知映射：，其中，集合{，，，，，，，}，集合中的元素都是中元素在映射下的象，且对任意的∈，在中和它对应的元素是{}，则集合中元素的个数是．．．．．若函数＝（）的反函数是＝（），（），≠，则（）等于．．．．．函数（）＝（ωρ）（ω>）在区间[，]上是增函数，且（），（），则函数（）（ωρ）在[，]上．是增函数．是减函数．可以取得最大值．可以取得最小值．若（）是周期为∏的奇函数，则（）可以是．．．．．在极坐标系中，曲线ρ＝（θπ）关于．直线θπ轴对称．直线θπ轴对称．点（，π）中心对称．极点中心对称．若于毫升水倒人底面半径为的圆杜形器皿中，量得水面的高度为，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是．若（），则（）（）的值为．．．．．直线截圆得的劣弧所对的圆心角为．π．π．π．π．如图，在多面体中，已知面是边长为的正方形，，，与面的距离为，则该多面体的体积为．．．．．若>>(π<<π)，则∈．(ππ) ．（π，）．（，π）．（π，π）．如果圆台的上底面半径为．下底面半径为，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为：，那么．．．．．已知两点（，）、（，），给出下列曲线方程：①＋②③④在曲线上存在点满足的所有曲线方程是．①③．②④．①②③．②③④．某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买片，磁盘至少买盒，则不同的选购方式共有．种．种．种．种第Ⅱ卷(非选择题共分)注意事项：．第卷共页。
(详细解析)1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，I 是全集，,,M P S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是A ．()M P SB ．()M P SC ．()M P SD ．()M P S【答案】C【解析】由图知阴影部分表示M P 与S 的交集．2．已知映射:f A B →，其中，集合{}3,2,1,1,2,3,4A =---，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a A ∈，在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是A ．4B ．5C ． 6D ．7 【答案】A【解析】{}1,2,3,4B =．3．若函数()y f x =的反函数是(),(),0y g x f a b ab ==≠，则()g b 等于 A ．a B ．1-a C ．b D ．1-b 【答案】A【解析】根据互为反函数的关系知()f a b =，则()g b a =．4．函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>在区间[]b a ,上是增函数，且(),()f a M f b M =-=， 则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[]b a ,上 A ．是增函数 B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值M - 【答案】C【解析】由题设0M >，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+，故函数()cos()g x M x ωϕ=+在[]b a ,上不单调，切当2x k ωϕπ+=时取得最大值M ．5．若()sin f x x 是周期为π的奇函数，则()f x 可以是A ．x sinB ．x cosC ．x 2sinD ．x 2cos 【答案】B【解析】取()sin f x x =，2sin x 是偶函数；取()cos f x x =，1sin cos sin 22x x x =是奇函数且期为π．6．在极坐标系中，曲线4sin()3πρθ=-关于A ．直线3πθ=轴对称 B ．直线πθ65=轴对称 C ．点(2,)3π中心对称 D ．极点中心对称【答案】B【解析】54sin()4cos[()]4cos()3236πππρθθθπ=-=--=-表示一个过极点的半径为2，圆心过点5(2,)6π的圆，故关于直线πθ65=轴对称．7．若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 A ．cm 36 B ．cm 6 C ．cm 3182 D ．cm 3123 【答案】B【解析】设水面的半径为r ，由题设条件得221263r ππ⋅⋅=，所以3r =r =6=．8．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为 A ．1 B ．1- C ． 0 D ．2 【答案】A【解析】令1x =得401234(2a a a a a ++++=；令1x =-得401(2a a -=-234a a a +-+，∴2202413012340123()()()(a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-442244)(2(2[(2)]1a +=-=-+=．9．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得到的劣弧所对的圆心角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C=2，弦与两半径构成等边三角形，故所求圆心角为3π．10．如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，3//,2EF AB EF =，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6 D ．215 【答案】D【解析】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 分析：由已知中多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF 与面AC 的距离为2，我们易求出四棱锥E ABCD -的体积，然后根据整个几何体大于部分几何体的体积，分析已知中的四个答案，利用排除法，得到答案．法一：如下图所示，连接,EB EC ．则四棱锥E ABCD -的体积133263E ABCD V -=⨯⨯⨯=，又∵整个几何体大于四棱锥E ABCD -的体积，∴所求几何体的体积E ABCD V V ->．法二：连接,EB EC ，依题意，四棱锥E ABCD -的体积为6，又由于//,EF AB AB =2EF ，所以EAB ∆的面积是BEF ∆面积的2倍，从而四面体F EBC -的体积即为四面体C EFB -的体积，等于四面体E ABC -的一半，即四棱锥E ABCD -体积的四分之一，故所求多面体的体积为1156642+⨯=． 方法三：分别取,AB CD 的中点,G H 连,,EG GH EH ，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积29，整个多面体的体积为215．故选D ． 【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，其中根据根据整个几何体大于部分几何体的体积，求出四棱锥E ABCD -的体积，并与已知中的四个答案进行比较，利用排除法是解答此类问题的捷径．11．若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则∈αA ．(,)24ππ-- B ．(,0)4π- C ．(0,)4π D ．(,)42ππ【答案】B 【解析】若(,0)2πα∈-，则1sin tan ,tan tan αααα>>，即211,tan 1cos αα<<， 11cos α<显然成立，由2tan 1α<可得1tan 0α-<<，所以(,0)4πα∈-；同样，若∈α (,)42ππ时，无解，所以B 正确．12．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1:2，那么R =A ．10B ．15C ．20D ．25 【答案】D【解析】中截面的半径为52R +，设圆台的母线为l ，由题设得5(5)122(5)3R lS S R l ππ+⋅+⋅==⋅+⋅上总，解得25R =．13．已知两点55(1,),(4,)44M N --，给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP NP =的所有曲线方程是A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】D【解析】点P 在直线230x y ++=的垂直平分线上，该直线与曲线②③④都有交点，选D ．14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种 【答案】C【解析】设购买单片软件和盒装磁盘数量分别为,x y ，由题设可得3,2,6070500x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩易知当3x =时，2,3,4y =；当4x =时，2,3y =；当5x =时，2y =；当6x =时，2y =，故共有7种不同的选购方式．第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．15．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是 ． 【答案】21 【解析】依题意得222a b c c a-=，又222c a b =-，解得2a c =，从而12c e a ==．16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植,A B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求,A B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种（用数字作答）．【答案】12【解析】先考虑A 种植在左边的情形，有3类：A 种在最左边1垄，B 有（8，9，10垄）3种种植方法；A 种在左边第2垄，B 有（9，10垄）2种种植方法；A 种在左边第3垄，B 有（10垄）1种种植方法，所以不同的选垄方法共有2(321)12++=种．17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 ． 【答案】[9,)+∞【解析】33ab a b =++≥，即30ab -≥3≥，即9ab ≥．18．,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ．【答案】n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,, 【解析】略．三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分10分）2log 1(0,1)a x a a <->≠．【解】本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想．原不等式等价于()23log 20,3log 22log 1,2log 10.a a a a x x x x -≥⎧⎪-<-⎨⎪->⎩.............4分由①得2log 3a x ≥， 由②得3log 4a x <，或log 1a x >，由③得1log 2a x >．由此得23log 34a x ≤<，或log 1a x >． .............8分当1a >时得所求的解是{}2334||x a x a x x a ⎧⎫≤<>⎨⎬⎩⎭；当01a <<时得所求的解是{}2334||0x a x a x x a ⎧⎫<≤<<⎨⎬⎩⎭．.............12分20．（本小题满分12分）设复数3cos 2sin z i θθ=+⋅．求函数arg (0)2y z πθθ=-<<的最大值以及对应的θ值．【解】本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．由20πθ<<得tan 0θ>．由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及()2sin 2tan arg tan 3cos 3z θθθ==．故()22tan tan 13tan tan arg 231tan 2tan 3tan y z θθθθθθ-=-==++，因为32tan tan θθ+≥132tan tan θθ≤+ 当且仅当32tan (0)tan 2πθθθ=<<时，即tan 2θ=时，上式取等号．所以当arctan2θ=时，函数tan y 取得最大值12由z y arg -=θ得(,)22y ππ∈-．由于在(,)22ππ-内正切函数是递增函数，函数y 也取最大值arctan 12．21．（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，点E 在棱D D 1上，截面1//EAC D B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45,AB a =．（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线11B A 与AC 之间的距离； （Ⅲ）求三棱锥EAC B -1的体积．【解】本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．（Ⅰ）如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO ．因为底面ABCD 是正方形，所以DO AC ⊥．又因为ED ⊥底面AC ，因为EO AC ⊥．所以EOD ∠是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角． 所以45EOD ∠=．,,sec45DO AC EO a ===⋅=．故22EAC S a ∆=． （Ⅱ）由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，1A A AC ⊥，又111A A A B ⊥ ，所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线． 因为11//D B 面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO ．所以11//D B EO ．又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，1122D B EO a ==．所以D D 1==．异面直线11B A 与AC ． （Ⅲ）解法一：如图，连结11B D ．因为1D D DB =．所以11B BDD 是正方形， 连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q ．因为11B D D B ⊥，1//EO D B ，所以1B D EO ⊥． 又,AC EO AC ED ⊥⊥，所以AC ⊥面11B BDD ， 所以1B D AC ⊥，所以D B 1⊥面EAC ． 所以Q B 1是三棱锥1B EAC -的高．由DQ PQ =，得113342B Q B D a ==．所以123133224B EAC V a a -=⋅⋅=．所以三棱锥EAC B -1的体积是34a ．解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --=．因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，2AO a =． 在正方形11B BDD 中，,E O 分别是1,D D DB 的中点（如右图），则1234EOB S a ∆=．∴1231323424B EAC V a a -=⋅⋅⋅=．所以三棱锥EAC B -1的体积是34a ．22．（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（Ⅰ）输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r ．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ．若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为k L ．为了便于检修，请计算123,,L L L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）．【解】本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力．（Ⅰ）厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为()01nr α-．为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()01n r αβ-≤，即()01nr βα-≤． 由于()010,0nr βα->>，对比上式两端取对数，得()0lg 1lg n r βα-≤． 由于()0lg 10r -<，所以()0lg lg lg 1n r βα-≥-．因此，至少需要安装不小于()0lg lg lg 1r βα--的整数对轧辊．（Ⅱ）解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()16001kr α⋅-⋅宽度（其中20%r =），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()41k L r α⋅-⋅宽度． 因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()()()416001120%kk r L r r αα⋅-=⋅-=，即416000.8k k L -=⋅．由此得()32000L mm =，()22500L mm =，()mm L 31251=． 填表如下：解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有()3160010.2L =⋅-，所以()3160020000.8L mm ==． 同理()3225000.8LL mm ==，()2131250.8LL mm ==．填表如下：【本题难度】难，一种看不懂的难．23．（本小题满分14分）已知函数()y f x =的图像是自原点出发的一条折线，当1(0,1,2,)n y n n ≤≤+=时，该图像是斜率为n b 的线段（其中正常数1≠b ），设数列{}n x 由()()1,2,n f x n n ==定义．（Ⅰ）求12,x x 和n x 的表达式；（Ⅱ）求()f x 的表达式，并写出其定义域；（Ⅲ）证明：()y f x =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点．【解】本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．（Ⅰ）依题意(0)0f =，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()y f x =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f ，得11x =． 又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()y f x =的图像是斜率为b 的线段， 故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得211x b =+．记00x =．由函数()y f x =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()()111n n n n n f x f x b x x ----=-．又()()1,1-==-n x f n x f n n ，所以111(),1,2,n n n x x n b---==．由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为1b． 因1b ≠，得11111()11()11n nn k k k n b b x x x b b b --=--=-=+++=-∑，即11()1n n b b x b --=-． （Ⅱ）当10≤≤y ，从（Ⅰ）可知y x =，即当10≤≤x 时，()f x x =．当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由（Ⅰ）可知1()()(,1,2,3,)n n n n f x n b x x x x x n +=+-≤≤=．为求函数()f x 的定义域，须对11()(1,2,3,)1n n b b x n b --==-进行讨论． 当1b >时，11()lim lim 11n n n n b b b x b b -→∞→∞-==--； 当01b <<时，n x n ,∞→也趋向于无穷大． 综上，当1b >时，()y f x =的定义域为[0,)1bb -； 当01b <<时，()y f x =的定义域为[)+∞,0． （Ⅲ）证法一：首先证明当1b >，11-<<b bx 时，恒有()f x x >成立． 用数学归纳法证明：（ⅰ）由（Ⅱ）知当1=n 时，在(]2,1x 上，()()11y f x b x ==+-， 所以()()()110f x x x b -=-->成立．（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()f x x >成立． 可得 ()111k k f x k x ++=+>，在(]21,++k k x x 上，()()111k k f x k b x x ++=++-． 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()111110k k k b x x k x +++=--++->也成立．由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()f x x >成立． 即11-<<b bx 时，恒有()f x x >． 其次，当1b <，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()f x x <成立． 故函数()y f x =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点． 证法二:首先证明当1b >，11bx b <<-时，恒有()f x x >成立． 对任意的1,1b x b ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，存在n x ，使1n n x x x +<≤，此时有 ()()()()01n n n f x f x b x x x x n -=->-≥．所以()()n n f x x f x x ->-． 又()1111n n n f x n x bb -=>+++=，所以()0>-n n x x f ， 所以()()0n n f x x f x x ->->，即有()f x x >成立．其次，当1b <，仿上述证明，可知当1>x 时，恒有()f x x <成立． 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点． 【本题难度】难，一种想不明写不清的难．24．（本小题满分14分）如图，给出定点(,0)(0)A a a >和直线:1l x =-．B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C ．求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．【解】本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．解法一：依题意，记()()1,B b b R -∈，则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和y bx =-．设点()y x C ,，则有0x a ≤<，由OC 平分AOB ∠，知点C 到,OA OB 距离相等．根据点到直线的距离公式得y =①依题设，点C 在直线AB 上，故有()1by x a a=--+． 由0≠-a x ，得()1a y b x a+=--． ②将②式代入①式得()()()22222111a y a xy y y x a x a ⎡⎤++⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 整理得()()2221210y a x ax a y ⎡⎤--++=⎣⎦．若0≠y ，则()()()2212100a x ax a y x a --++=<<；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为(0,0)，满足上式． 综上得点C 的轨迹方程为()()()2212100a x ax a y x a --++=≤<．（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为()201y x x =≤<． ③此时，方程③表示抛物线弧段；（ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222． ④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段；当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段．解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE x ⊥轴，E 是垂足．（ⅰ）当0BD ≠时，设点(,)C x y ，则0,0x a y <<≠． 由//CE BD 得()1CE DA y BD a EAa x⋅==+-．因为COA COB COD BOD ∠=∠=∠-∠COA BOD π=-∠-∠，所以2COA BOD π∠=-∠． 所以22tan tan(2)1tan COACOA COA∠∠=-∠，tan()tan BOD BOD π-∠=-∠．因为()tan ,tan 1y BD y COA BOD a xODa x∠=∠==+-，所以222(1)1y y x a y a x x⋅=-+--， 整理得22(1)2(1)0(0)a x ax a y x a --++=<<．（ⅱ）当0BD =时，BOA π∠=，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式． 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为22(1)2(1)0(0)a x ax a y x a --++=≤< 以下同解法一．【本题难度】难，一种冷漠的难．。
1988年高考数学 理工农医类、全国卷 真题
1988年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.（）(A)1(B)-1(C)I(D)-i(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么（）(A)点P在直线L上,但不在圆M上(B)点P在圆M上,但不在直线L上(C)点P既在圆M上,又在直线L上(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上(3)集合{1,2,3}的子集总共有（）(A)7个(B)8个(C)6个(D)5个（）(A)10(B)5(5)在的展开式中,x6的系数是（）(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是（）(A)π(B)2π(7)方程的解集是（）（）(A)圆(B)双曲线右支(C)抛物线(D)椭圆(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是（）(A)相交直线(B)平行直线(C)不互相垂直的异面直线(D)互相垂直的异面直线（）【】(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么（）(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是（）(A)圆(B)直线(C)椭圆(D)双曲线(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（）(A)(1,1)(B)(-1,-1)(C)(-1,1)(D)(1,-1)(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有（）(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么（）(A)∠CEB>∠DEB(B)∠CEB=∠DEB(C)∠CEB<∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定二、只要求直接写出结果.(5)已知等比数列{an}的公比q>1,并且a1=b(b≠0),求四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.1988年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）参考答案一、选择题.(1)B(2)C(3)B(4)A(5)D(6)A(7)C(8)D(9)C(10)D(11)C(12)B(13)D(14)B(15)A二、填空题.三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.解法一:解法二:解法三:解法四:四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,SD2=SF·SE,所求的旋转体的体积为五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.解法一:情形1∶0<a<1.情形2∶a>1.解法二:当t>0时,由重要不等式可得当且仅当t=1时取“=”号.当0<a<1时,y=logax是减函数,当a>1时,y=logax是增函数,解法三:因为t>0,又有当且仅当t=1时取“=”号,当且仅当t=1时取“=”号.以下同解法二.六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.证法一:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2-y1≠0.因此,M1M2不平行于x轴.即,由此得a=1,与已知矛盾,于是由②式得证法二:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),整理得a(x1-x2)=x1-x2,因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.因此M1M2不平行于x轴.(2)先求所给函数的反函数:由得y(ax-1)=x-1,即(ay-1)x=y-1.即ax-a=ax-1,由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.因此得到由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对证法三:(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y=c(c为常数).考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.将②代入①得c(ax-1)=x-1,即(ca-1)x=c-1.③从而直线L与所给函数的图象无交点.这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.(2)同证法一或证法二.七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y2=2px,从而它们都是下面的方程组的解:将②式代入①式,得由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,整理得3p2-4p+1>0,由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得7p-4<0,解此不等式得由④、⑤以及已知条件得一次项系数7p-4<0,所以x1,x2都为正数.把x1及x2分别代入②中,可解得显然y1,y2,y3,y4两两不相等.由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组有四个不同的实数解.所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于在p>0的条件下,解此不等式组,得到解法三:易求出所给椭圆的方程为假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:把②式化简得y2=2px.。
1996年试题全国高考数学试题及参考答案
1996年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知全集I ＝N,集合A ＝{x │x ＝2n,n ∈N},B ＝{x │x ＝4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(1)已知全集I ＝N,集合A ＝{x │x ＝2n,n ∈N},B ＝{x │x ＝4n,n ∈N},则B A I )D (B A I )C (B A I )B (B A I )A (⋃=⋃=⋃=⋃=[Key] C(3)若sin 2x>cos 2x,则x 的取值范围是}Z k ,43k x 41k 2|x ){D (}Z k ,43k x 41k |x ){C (}Z k ,45k 2x 41k 2|x ){B (}Z k ,41k 2x 43k 2|x ){A (∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π∈π+π<<π+π∈π+π<<π-π[Key] D(4)复数)i 31()i 22(4-+等于i 31)D (i 31)C (i 31)B (i 31)A (---+-+[Key] B5)如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ,l//α,m ⊂α和m ⊥γ那么必有 (A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C)m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ [Key] A (6)当2x 2π≤≤π-，函数xcos 3x sin )x (f +=的(A)最大值是1，最小值是－1(B)最大值是1，最小值是－(1/2) (C)最大值是2，最小值是－2 (D)最大值是2，最小值是－1[Key] D(7)椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=sin 51y cos 33x 的两个焦点坐标是(B) (A)(－3,5),(－3,－3) (B)(3,3,),(3,－5) (C)(1,1,),(－7,1) (D)(7,－1,),(－1,－1) (8)若2a 0π<<，则)]a (arccos[sin )]a 2(arcsin[cos +π++π等于a 22)D (a 22)C (2)B (2)A (-π--ππ-π[Key] A(9)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得BD ＝a,则三棱锥D －ABC 的体积为3333a 122)D (a 123)C (12a )B (6a )A ([Key] D(10)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项的和为S n ，若3231S S 510=，则n n S lim ∞→等于2)D (2)C (32)B (32)A (-- [Key]B (11)椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是)23arctg 2,7)(23arctg ,7)(B ()35,2)(3,2)(B ()23,3)(2,3)(B (),1)(0,3)(A (-ππππππ [Key] C(12)等差数列{a n 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为 (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 [Key] C(13)设双曲线)b a 0(1b y a x 2222<<=+的半焦距为c ，直线l 过两点(a,0)(0,b)。
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1993年试题
(理工农医类)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为
【】
【】
(A)45°(B)60° (C)90° (D)120°
【】
(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i
【】
(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是
【】
(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB
(C)既无最大值也无最小值
(D)有最大值1,但无最小值
【】
(7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35
【】
(A)是奇函数
(B)是偶函数
(C)可能是奇函数也可能是偶函数
(D)不是奇函数也不是偶函数
【】
(A)线段(B)双曲线的一支
(C)圆弧(D)射线
【】
(10)若a、b是任意实数,且a>b,则
【】
(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间
【】
(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为
(A)抛物线(B)圆
(C)双曲线的一支(D)椭圆
【】
(A)三棱锥(B)四棱锥
(C)五棱锥(D)六棱锥
【】
(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是
【】
(A)50项(B)17项
(C)16项(D)15项
【】
(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么
【】
(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有
(A)6种 (B)9种(C)11种(D)23种
【】
(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
【】
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为
m(精确到0.1m).
(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答).
(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.
(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .
三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.
(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.
(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;
(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.
出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.
(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明:
(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;
(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.
1993年试题(理工农医类)答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B
(7)B (8)A (9)A (10)D (11)A (12)C
(13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
(19)2 (20)17.3 (21)4186
三、解答题.
(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.
(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.
解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.
根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.
(Ⅱ)解法一:
过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.
连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.
∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.
又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有
AE⊥l.
由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,
∵l∥AC.
作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
在Rt△A1AE中,
∵ A1A=1,∠A1AE=90°,
解法二:
同解法一得l∥AC.
由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,
以下同解法一.
(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.
解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.
(c,0)和(x0,y0).
∵ tgα=tg(π-∠N)=2,
∴由题设知
解法二:
(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.
(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.
证法一:
依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式
△=a2-4b≥0.
平方得a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,
由此得-4(4+b)<8a<4(4+b),
∴2│a│<4+b.
(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,
4±a>0;
且△=a2-4b<a2-4(2│a│-4)
=a2±8a+16=(4±a)2,
又△≥0,
∴-2<α≤β<2,
得│α│<2,│β│<2.
证法二:
(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.
因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2.
故必有f(±2)>0,
即4+2a+b>0,2a>-(4+b);
4-2a+b>0,2a<4+b.
∴2│a│<4+b.
(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ①
及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.
若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.
综上所述α,β均落在(-2,2)内.
∴│α│<2,│β│<2.。