第二十四章圆测试题(B)

合集下载

第二十四章圆培优检测卷(解析版)(重点突围)

《第二十四章圆》培优检测卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2021·浙江·杭州市建兰中学九年级期中）已知O e 的半径为3cm ，点A 到圆心O 的距离为2cm ，那么点A 与O e 的位置关系是（）A ．点A 在O e 内B ．点A 在O e 上C ．点A 在O e 外D ．不能确定【答案】A【分析】根据点到圆心的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系进行判断即可．【详解】解：由题意得：2,3d r ==，故：d r <，∴点A 在O e 内，故选A ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上，点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内．2．（2022·福建省福州延安中学九年级阶段练习）下列四个命题中，真命题是( )A ．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等B ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴C ．平分弦的直径一定垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等【答案】D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A 进行判断，根据对称轴的定义对B 进行判断，根据垂径定理的推论对C 进行判断，根据圆周角定理的推论对D 进行判断．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；B 、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；C 、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；D 、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，故选：D ．理及圆周角定理的推论．3．（2022·湖北孝感·九年级期末）点P 到⊙O 的最近点的距离为2cm ，最远点的距离为7cm ，则⊙O 的半径是（）A ．5cm 或9cmB ．2.5cmC ．4.5cmD ．2.5cm 或4.5cm【答案】D【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【详解】解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm ，最长距离为7cm ，∴圆的直径为7﹣2＝5（cm ），∴该圆的半径是2.5cm ；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为2cm ，最长距离为7cm ，∴圆的直径＝7+2＝9（cm ），∴圆的半径为4.5cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．4．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，AB 为O e 的直径，点C ，D 在O e 上，若130ADC Ð=°，则BAC Ð的度数为（）A ．25°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C 【分析】根据圆内接四边形对角互补求得B Ð，根据直径所对的圆周角是直角可得=90°ACB Ð，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：∵AB 为O ⊙的直径，,60OA OB AOB =Ð=°Q ，AOB \ 是等边三角形，12,12OA AB AP AB \====，223OP OA AP \=-=，即这个正六边形的边心距为3，【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．6．（2022·全国·九年级单元测试）如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连接AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（）A．65°B．50°C．40°D．25°【答案】C【分析】连接OC，根据切线的性质，得出∠OCB＝90°，再利用圆的半径相等，结合等边对等角，得出∠A ＝∠OCA，然后再利用三角形的外角和定理，得出∠BOC的度数，再利用直角三角形两锐角互余，即可得出∠B的度数．【详解】解：连接OC，∵BC与半⊙O相切于点C，∴∠OCB＝90°，∵∠A＝25°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOC＝40°．故选：C【点睛】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角和定理、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校九年级阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．【答案】32【分析】首先根据圆周角定理求出∠【答案】1【分析】连接OA、OC、OD然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：连接OA、OC∵点O为正六边形ABCDEF【答案】15【分析】如图，连接CQ，然后求出【详解】解：如图，连接CQ．由题意CQ＝CP，CDPQ＝∴DQ＝DP＝12∵PA＝QB，【答案】1或3或5e与坐标轴的切点为【分析】设PQ点D是切点，P e的半径是1Q，PB=2Q=，PC2\=+=，52 AP AC PC定及性质，利用分类讨论的思想求解．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）(1)点M的坐标为　(2)点D（5，﹣2）在⊙M【答案】(1)（2，0）(2)内【分析】（1）由网络可得出线段（2）解：由图知，圆的半径AM∵2513>，∴点D在圆M内，(1)求正六边形的边长；(2)以A为圆心，AF为半径画弧【答案】(1)6(2)4π(1)求ACBÐ的度数；e的半径为3，求圆弧 AC的长．(2)若O【答案】(1)30°(2)2pe的切线∵AB是O^∴OA AB∴90Ð=OAB°∵90Ð=DAC°Ð=Ð∴DAC OAB（2）在（1）的基础上，连接BO 并延长与【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．17．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，与A ，B 重合），过O 作OC ⊥AP (1)试判断CD 与AB 的数量和位置关系？并说明理由；(2)若45B Ð=°，AP=4，则⊙∵45B Ð=°，四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2021·江苏·阜宁县实验初级中学九年级阶段练习）如图，⊙O 的弦AB 、DC 的延长线相交于点E ．A D AE DE E E Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△ACE ≌△DBE （ASA ），∴BE ＝CE ，∵AE ＝DE ，∴AE -BE ＝DE -CE ，即AB ＝CD ．【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．19．（2021·广东惠州·九年级期末）如图在Rt ABC 中，∠C =90º，以AC 为直径作⊙O ，交AB 于D ，过O 作OE ∥AB ，交BC 于E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)如果⊙O 的半径为3，DE =4，求AB 的长；(3)在（2）的条件下，求△ADO 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)10AB =(3) 4.32ADO S =△【分析】（1）根据平行线的性质，得出123A Ð=ÐÐ=Ð，，再根据等边对等角，得出1A Ð=Ð，再根据等量代换，得出32Ð=Ð，再利用SAS ，得出OCE ODE ≌△△，进而得出OCE ODE Ð=Ð，进而得出OD DE ^，即可得出结论；（2）根据（1），得出ODE 是直角三角形，根据勾股定理，得出5OE =，再根据三角形的中位线定理，即可得出AB 的长；（3）连接CD ，根据圆周角定理，得出90ADC Ð=°，再根据等面积法，得出CD 的长，然后根据勾股定理，得出AD 的长，再根据三角形的面积公式，得出ADC 的面积，再根据三角形中线平分三角形的面积，即可得出ADO △的面积．（1）证明：如图，∵OE AB ∥，∴123A Ð=ÐÐ=Ð，，∵OA OD =，∴1A Ð=Ð，∴32Ð=Ð，∵OC OD OE OE ==，，∴()OCE ODE SAS △≌△，∴OCE ODE Ð=Ð，∵90C Ð=°，∴90OCE ODE Ð=Ð=°，即OD DE ^，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：由（1），可得：三角形ODE 是直角三角形，在Rt ODE △中，∵34OD DE ==，，∴5OE =，【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、切线判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、圆周角定理、三角形中线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．20．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，在圆心，OB为半径的圆与(1)如图1，若AP=DP，则⊙O的半径r值为_______；(2)求BC=6，求⊙O的半径r长；(3)若AD的垂直平分线和⊙O有公共点，求半径r的取值范围．【答案】(1)8 3(2)3∵Oe与AC相切于点∴AC OD^，∴∠ADO=90°，即∠PDO∵∠ABC =90°， AB =8，∴22AC AB BC =+=∵OD AC ^，AB BC ^∴1122AC OD BC OB ×+×∴AC OD BC OB ×+×=∵∠EFD=∠ODF=∠OEF=90°∴四边形ODFE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODFE是正方形，===∴AF DF OD r∵222，∵OD<OA，∴OB+OD<OB+OA，∴2r<8，∴r<4，∴r的取值范围是252-【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理、用不等式求取值范围等知识与方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键，属于考试压轴题．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）(1)求抛物线解析式及D 点坐标．(2)猜测直线CM 与D e 的位置关系，并证明你的猜想．(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，若将线段上？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【答案】(1)()2125344y x =--+；(3,0)(2)相切；证明见解析；由抛物线的解析式得：M (3,254∵D (3,0)，∴()22225225403416CM æö=-+-=ç÷èø∴222CM CD DM +=，根据题意得∠CP C¢=∠CGD=∠GDO ∴∠CPH+∠HP C¢=90°，∠GCP+∴∠GCD=∠HP C¢，OC=GD=4，∵CP=C¢P∴∆CGP≅∆PH C¢，∴PG=C¢H=GD-DP=4-k，CG=PH六、（本大题共12分）。

人教版九年级数学下册第二十四章《圆》检测卷(含答案)

人教版九年级数学下册第二十四章《圆》检测卷（含答案）一、选择题 1．如图所示，AB 、AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD ．如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )．A ．70°B ．64°C ．62°D ．51°2．在半径为27m 的圆形广场中心点O 的上空安装了一个照明光源S ，S 射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB 的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO 为( )． A ．54m B ．．m D ．m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm 2B.(4π+16)cm 2C.(3π+8)cm 2D.(3π+16)cm 24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ). A. B. C. D. 5. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，⊙BAC=45°，给出以下五个结论：①⊙EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD ，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……1r 2r 2680x x -+=d(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：⊙A=⊙AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊙CD，求证：⊙ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参考答案一、选择题 1．【答案】B ；【解析】由AB 为⊙O 的切线，则AB ⊥OD ．又BD ＝OB ，则AB 垂直平分OD ，AO ＝AD ，∠DAB ＝∠BAO ．由AB 、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO ＝∠BAO ＝∠DAB ．所以，∠DAB ＝∠DAC ＝26°． ∠ADO ＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C ；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO ⊥AB 于O ，∴ ∠SOA ＝∠SOB ＝90°．又SA ＝SB ，∠ASB ＝120°，∴ ∠SAB ＝∠SBA ＝，设SO ＝x m ，则AS ＝2x m ．∵ AO ＝27，由勾股定理，得(2x)2-x 2＝272，解得(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形ABCD 中，AB=2BC ，AB=8cm ， ∴ AD=BC=4cm ，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm ， ∴，∴ .4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，⊙OP=4，ON=2， ⊙N 是OP 的中点， ⊙M 为PQ 的中点，⊙MN 为⊙POQ 的中位线，180120302=°-?°93x =⊙MN=OQ=×2=1，⊙点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上，当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ⊙线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°．主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程的两实根、分别是4、2，则-<<+,所以两圆相交.12.【答案】①①①；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊙BC ，又⊙⊙ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ⊙AD 是⊙BAC 的平分线，由圆周角定理知，⊙EBC=⊙DAC=⊙BAC=22.5°，故①正确；⊙⊙ABE=90°﹣⊙EBC ﹣⊙BAD=45°=2⊙CAD ，故④正确； ⊙⊙EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，⊙AE ≠2CE ，③不正确； ⊙AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或 3.5136010092⨯⨯=°°413608092⨯⨯=°°122680x x -+=1r 2r 1r 2r d 1r 2r14.【答案】；；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL，∴ ，，即正八边形的边长为．．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，，则， ∴n 条弧长的和为．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ ，∴，．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．1)a 22)a x 2x x a +=1)x a =1)a 2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-5l ==223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱2036720S ππ=⨯=总17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】证明：（1）⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙⊙A+⊙BCD=180°， ⊙⊙DCE+⊙BCD=180°， ⊙⊙A=⊙DCE ， ⊙DC=DE ，⊙⊙DCE=⊙AEB ， ⊙⊙A=⊙AEB ；（2）⊙⊙A=⊙AEB ， ⊙⊙ABE 是等腰三角形， ⊙EO ⊙CD ， ⊙CF=DF ，⊙EO 是CD 的垂直平分线， ⊙ED=EC ， ⊙DC=DE ， ⊙DC=DE=EC ，⊙⊙DCE 是等边三角形， ⊙⊙AEB=60°，⊙⊙ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120 ∴==a R 46120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=2BF FC =A BCDE FO12345HA BCD EFO 12H()∴=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-==r R a O o 442422222602606090，∠S S S R a r AmB AO B AO B弓形扇形=-=-=-229036012180036004244∆ππS S S R a r AnB AO B AO B弓形扇形=-=-=-1160360122400360036266∆ππ()∴=+=-+S S S AmB AnB 阴影弓形弓形4200360013π()[]∴-+两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600132πcm .20. 【答案与解析】 (1)如选命题①．证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ．如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ．如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立．证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°， ∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． (2)180n n-°又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。

人教版九年级数学上册圆单元测试题及答案

九年级数学第二十四章圆测试题（A ）时间：45分钟分数：100分一、选择题（每小题3分，共33分）1．若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大间隔为10，最小间隔为4则此圆的半径为（）A ．14B ．6C ．14 或6D ．7 或32．如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的间隔 OM 的长为3，则弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．83．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（）A ．40°B ．80°C ．160°D ．120°4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．70°5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位图24—A 图24—A图24—A —2 图24—A 图24—AD ．15个单位6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（）A ．80°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（）A ．5B ．7C ．8D ．108．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（）A ．26mB ．26m πC ．212mD ．212m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（）A ．310B ．512C ．2D ．3 11．如图24—A —7，两个半径都是4cm 的圆外切于点C ，一只蚂蚁由点A 开场依A 、B 、C 、D 、E 、F 、C 、G 、A 的依次沿着圆周上的8段长度相等的途径绕行，蚂蚁在这8段途径上不断爬行，直到行走2019πcm 后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为图24—A图24—A（）A．D点 B．E点 C．F点 D．G点二、填空题（每小题3分，共30分）12．如图24—A—8，在⊙O中，弦AB等于⊙O的半径，OC⊥AB交⊙O 于点C，则∠AOC= 。

人教版九年级数学上册《第二十四章圆》测试卷-附参考答案

人教版九年级数学上册《第二十四章圆》测试卷-附参考答案一、单选题1．已知AB是⊙O的直径，的度数为60°，⊙O的半径为2cm，则弦AC的长为（）A．2cm B．cm C．1cm D．cm2．已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP=4，则点P与圆O的关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆外C．点P在圆上D．无法确定3．如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（）A．B．C．D．4．如图，已知半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C，设半圆的半径为2，则四边形的周长为（）A．7 B．9 C．12 D．145．如图，是的内接三角形，作，并与相交于点D，连接BD，则的大小为（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形．若对角线，则的长为（）A．B．C．D．7．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（）A．B．C．D．8．如图，半径为的扇形中，是上一点，垂足分别为，若，则图中阴影部分面积为( )A．B．C．D．二、填空题9．如图，是的弦，C是的中点，交于点D.若，则的半径为 .10．如图，是的直径，交于点，且，则的度数= ．11．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为．12．如图，为的外接圆，其中点在上，且，已知和则．13．如图，以正方形的顶点为圆心，以对角线为半径画弧，交的延长线于点，连结，若，则图中阴影部分的面积为.（结果用表示）三、解答题14．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，是的中点，连接BC，AO，BD.求的大小.15．如图，是的外接圆，且，点M是的中点，作交的延长线于点N，连接交于点D．（1）求证：是的切线；（2）若，求的半径．16．如图，等腰内接于，AC的垂直平分线交边BC于点E，交于F，垂足为D，连接AF并延长交BC的延长线于点P．（1）求证：；（2）若，求的度数．17．如图，在中，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．18．如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB于点D，点P在OC的延长线上，AC平分∠PAB.（1）判断AP与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，弦AB平分OC，求与弦AB、AC围成的阴影部分的面积.参考答案：1．A2．A3．B4．D5．A6．C7．D8．B9．510．24°11．12．13．14．解：又是中点在和中≌∴BD=OA是直径，OA是半径90°且30°. 15．（1）证明：∵∴∵点M是的中点∴∴∴∴是的直径∴∵∴∴是的切线；（2）解：如图所示，连接，设交于D∵∴设的半径为r，则∵∴在中，由勾股定理的∴∴∴的半径为．16．（1）证明：如图，连接BF．∵AC的垂直平分线交边BC于点E，交于F，且圆是轴对称图形，∴O，E，F三点共线，∴∴∴，∵，∴（2）解：如图，连接CF，设，则∵∴∵∴∴∴．∵∴，即易证（SAS），∴∵，∴，∴，∴，解得∴∴的度数为108°．17．（1）证明：连接OD．∵AC＝CD∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO tan30°＝2．∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴的长18．（1）解：AP与⊙O的位置关系是相切，理由如下：连接平分垂直于弦，且是半径是的切线；（2）解：连接OB，如图所示：∵弦AB垂直平分OC∴∴∴∵OA=OC∴△OAC是等边三角形∴∴△OBD≌△CAD（ASA）∴。

九年级数学下册《第二十四章圆》练习题及答案解析

九年级数学下册《第二十四章圆》练习题及答案解析一、单选题1．如图，O的半径为4，点A为O上一点，OA的垂直平分线分别交O于点B，C，则BC的长为（）A．3B．4C．3D．32．下列条件中，不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径B．直径C．平面上的三个已知点D．三角形的三个顶点3．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上.下列说法正确的是（）A．点O是ABC的内心B．点O是ABC的外心C．点O是ABD的内心D．点O是ABD的外心4．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C．=AB AD D．∠BCA=∠DCA6．有下到结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等，其中正确的结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．一个点到圆的最大距离为11，最小距离为5，则圆的半径为（）.A．16或6 B．3或8 C．3 D．8 8．⊙O的面积是25π，点P到圆心O的距离为d，下列说法正确的是( ) A．当d≥5时，点在圆⊙O外B．当d<5时，点在圆⊙O上C．当d>5时，点在圆⊙O外D．当d≤5时，点在圆⊙O内9．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝45，BD＝5，则OH的长为（）A．23B．56C．1 D．7610．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB=10，BE=2，则OF的长度是（）A．5 2B．3C．25 11D5二、填空题11．若O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与O的位置关系是. 12．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM=3，则弦AB的长是13．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB＝.14．如图， AB 是圆 O 的直径， AD DC CB AC ==，与 OD 交于点 E ．如果 3AC = ，那么 DE 的长为．三、计算题15．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB ， AC 的度数为70°．求∠EOC 的度数．16．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB ，弧 CE 的度数为50°，求∠AOC 的度数．17．如图，A 、B 、C 、D 均为⊙O 上的点，其中A 、B 两点的连线经过圆心O ，线段AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB=2DE ，∠E=18°，求∠AOC 的度数．四、解答题18．如图，AB 是 O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点E ，若 8AB = ， 6CD = ，求 OE 的长．19．已知AB，AC为弦，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，求证：MN∥BC且MN＝12BC．20．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．五、综合题21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连结DE.（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；（2）若AC=3，AB=4，求CD的长.22．如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，－6），B（8，0）三点在⊙P上.（1）求⊙P的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧OB的中点，求证：AM是∠OAB的平分线.23．定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线.（1）如图1，在对半四边形ABCD中，∠A+∠B=12（∠C+∠D），求∠A与∠B的度数之和；（2）如图2，O为锐角△ABC的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，∠OAB=30°，求证：四边形ABED是对半四边形；（3）如图3，在△ABC中，D，E分别是AC，BC上一点，CD=CE=3，CE=3EB，F为DE的中点，∠AFB=120°，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长.参考答案与解析1．【答案】D【解析】【解答】解：设OA与BC相交于点D，连接OB，BC是OA的垂直平分线，2OD AD∴==，90BDO∠=︒，2BC BD∴=，在Rt BDO中，224223BD=-=22343BC∴=⨯=故答案为：D．【分析】设OA与BC相交于点D，连接OB，先利用勾股定理求出BD的长，再利用BC=2BD可得答案。

北京市北京四中九年级数学上册第二十四章《圆》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的弧是等弧D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等2．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（）A ．20B ．35C ．40D ．553．下列说法正确的是（）A ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角也相等B ．三点确定一个圆C ．平分弦的直径垂直于这条弦D ．90°的圆心角所对的弦是直径4．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO =30°，则∠C 的度数是（）A ．70°B ．45°C ．30°D ．20°5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（）A ．54°B ．30°C ．36°D ．60°6．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D 、C ．若∠ACB=30°，AB= 3 ）A ．32B ．33C ．3π26-D ．3π36- 7．如图，在三角形ABC 中，AB=22，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )A ．6πB ．2πC ．23πD ．π8．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136π 9．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为3cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．212cm πB ．224cm πC ．236cm πD ．248cm π 10．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（）A ．45B ．215C ．16D ．8 11．如图所示，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，21BDC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（）A ．136°B ．137°C ．138°D ．139° 12．在下列命题中，正确的是( )A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．经过三点确定一个圆D ．三角形的外心一定在三角形的外部 13．点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，点C 为坐标平面内一点，BC ﹦2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（）A ．22＋1B ．22＋2C ．42＋1D ．42-2 14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD 的中点．若50A ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒15．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．45°二、填空题16．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为2时，阴影部分的面积为_______．17．如图，30ACB ∠=︒，点O 是CB 上的一点，且6OC =，则以4为半径的O 与直线CA 的公共点的个数______．18．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________．19．一排水管截面如图所示，截面半径13dm OA =，水面宽10dm AB =，则圆心O 到水面的距离OC =______dm ．20．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．21．如图，,PA PB 切⊙O 于,A B ，点C 在AB 上，DE 切⊙O 于C ，10cm,PO =⊙O 的半径为6cm ，则PDE △的周长是_________cm ．22．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．23．如图，AB AC 、分别为O 的内接正方形、内接正三角形的边，BC 是圆内接正n 边形的一边，则n 的值为_______________________．24．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm ，母线长为10cm ，则该圆锥的侧面积为_____cm 2（结果保留π）25．已知⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为m ，若m 满足方程290x ，则⊙O 与直线l 的位置关系是________26．小红在手工制作课上，用面积为215cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为_______cm ．三、解答题27．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC ∆的顶点均在格点上，点B 的坐标为()1,0．（1）画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆，写出1C 点的坐标；（2）画出将ABC ∆绕原点O 按逆时针旋转90︒所得的222A B C ∆，写出2B 点的坐标并求出A 运动经过的路径的长度．28．如图，AB 是圆的直径，且AD//OC ，求证：CD BC =．29．如图，在Rt △OAB 中，∠OAB =90°，且点B 的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB 关于绕着点O 逆时针旋转180°得到的△OA 1B 1，并写出点B 1的坐标；（2）点A 旋转到点A 1所经过的路径长为__________（结果保留π）．30．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点．（1）如图，求ACB ∠的大小；（2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．。

2023-2024学年人教版九年级数学上册第二十四章圆单元检测题(含答案)

第二十四章圆单元检测题一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中,正确的是( )A.过圆心的线段叫直径B.长度相等的两条弧是等弧C.与半径垂直的直线是圆的切线D.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形2.已知☉O的半径为6,圆心O到直线l的距离为7,则直线l与☉O的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.无法确定3.(2023自贡)如图所示,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )第3题图A.41°B.45°C.49°D.59°4.圆锥的底面圆的半径r=3,高h=4,则圆锥的侧面积是( )A.10πB.15πC.30πD.45π5.如图所示,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P为弦AB上的动点,则线段OP的取值范围是( )第5题图A.3<OP<5B.3≤OP≤5C.4<OP<5D.4≤OP≤56.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,F是CD上一点,且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°7.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,若☉O的半径OC为2,则弦BC的长为( )第7题图A.4B.23C.338.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为( )2 B.22-22 D.2-29.(2022娄底改编)如图所示,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC 的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是( )第9题图3π18 B.3183π9 D.3910.(2022广大附中一模)如图所示,点A,B 的坐标分别为A(2,0), B(0,2),点C 为坐标平面内一点,BC=1,点M 为线段AC 的中点,连接OM,则OM 的最大值为( )2+1 B.2+12C.22+1D.22-12二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.11.用反证法证明命题:“已知△ABC,AB=AC,求证:∠B<90°.”第一步应先假设 .12.如图所示,C为AB的中点,CN⊥OB于点N,CD⊥OA于点M,CD=4 cm,则CN= cm.13.已知圆心角为120°的扇形的面积为12π cm2,则扇形的弧长是 cm.14.如图所示,☉O的半径为1,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B.连接OA,OB,AB,PO,若∠APB=60°,则△PAB的周长为 .第14题图15.小明很喜欢钻研问题,一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示),让小明求瓦片所在圆的半径,小明连接瓦片弧线两端AB,量得AB的中点C到AB的距离CD=1.6 cm,AB=6.4 cm,则求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm.第15题图三、解答题(一):本大题3小题,第16题10分,第17,18题各7分,共24分.16.(1)(2022湘潭节选)如图所示,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,AD.若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.(2)如图所示,扇形OAB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.17.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AD,∠C=110°,若点E在AD 上,求∠E的度数.18.(2022珠海一模改编)如图所示,已知AB是☉O的直径,直线CD是☉O的切线,过点A作AD⊥CD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.当AB=2BE,且CE=3时,求AD的长.四、解答题(二):本大题3小题,每小题9分,共27分.19.(原创)综合与实践素材:一张三角形纸板.操作:如图(1)所示,将一块三角形纸板ABC,准备裁剪成一个面积最大的圆形,已知∠C=90°,BC=3,AC=4.如图(2)所示,作△ABC的内切圆☉O,切点分别为D,E,G,连接OG,OD,OE.解决问题:请求出裁剪出的最大圆形面积.20.(2022眉山改编)如图所示,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,CD 与☉O相切于点C,过点B作BD⊥DC,连接AC,BC.(1)求证:BC平分∠ABD;(2)若BC=23,AB=4,求阴影部分的面积.21.(2022新疆节选)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在☉O上,AC=CD,连接AD,延长DB交过点C的切线于点E.求证:(1)∠ABC=∠CAD;(2)BE⊥CE.五、解答题(三):本大题2小题,每小题12分,共24分.22.(2022金华)综合探究如图(1)所示,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:作法如图(2)所示.1.作直径AF.2.以F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.3.连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由;(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.23.(2022宁波)综合运用如图(1)所示,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在BC上,AD交BC 于点E,点F在AE上,满足∠AFB-∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于点G,BE=FG,连接BD,DG.设∠ACB=α.(1)用含α的代数式表示∠BFD;(2)求证:△BDE≌△FDG;(3)如图(2)所示,若AD为☉O的直径,当AB的长为2时,求AC的长.答案：一、选择题1.D2.A3.C4.B5.D6.B7.B8.B9.A 10.B二、填空题11.∠B≥90°　12.2　13.4π　14.33　15.4三、解答题(一)16.(1)解:∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°.∵AB是☉O的直径,AD=3,∴∠ADB=90°.∴AB=6.∴☉O的半径为3.(2)如图所示,设圆锥底面圆的半径为r,所以2πr=4π,解得r=2,在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,所以OH=OC2-H C2=42(cm).17.解:如图所示,连接BD,∵∠C+∠BAD=180°,∠C=110°,∴∠BAD=180°-110°=70°.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.×(180°-70°)=55°.∴∠ABD=12∵四边形ABDE是☉O的内接四边形,∴∠E+∠ABD=180°.∴∠E=180°-55°=125°.18.解:如图所示,连接OC,∵直线CD为☉O的切线,∴∠OCE=90°.∵AB=2BO,AB=2BE,∴BO=BE=CO.设BO=BE=CO=x,∴OE=2x.在Rt△OCE中,根据勾股定理,得OC2+CE2=OE2,即x2+(3)2=(2x)2.∴x=1.∴AE=3,∠E=30°.∴AD=32.四、解答题(二)19.解:∵∠C=90°,BC=3,AC=4,OG=OE=OD,∴AB=32+42=5.∴S △ABC =12AC×BC=12AC×OG+12BC×OE+12AB×OD=12OG×C △ABC ,即12AC×BC=12OG×C △ABC .∴12×3×4=12×OG×(3+4+5),解得OG=1,∴裁剪出的最大圆形面积为π×12=π.20.(1)证明:连接OC,如图所示,∵CD 与☉O 相切于点C,OC 为半径,∴OC ⊥CD.∵BD ⊥CD,∴OC ∥BD.∴∠OCB=∠DBC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠DBC=∠OBC.∴BC 平分∠ABD.(2)解:如图所示,作CE ⊥AO 于点E,∵AB是直径,AB=4,∴∠ACB=90°,OA=OC=2.在Rt△ABC中,AC=AB2-B C2=42-(23)2=2,∴AO=CO=AC=2.∴△AOC是等边三角形.∴∠AOC=60°.∵CE⊥OA,∴OE=12OA=1.∴CE=3.∴阴影部分的面积S=60×π×22360-12×2×3=2π3-3.21.证明:(1)∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC.∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC=∠CAD.(2)如图所示,连接OC,∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°.∵四边形ADBC是圆内接四边形,∴∠CAD+∠DBC=180°.∵∠DBC+∠CBE=180°,∴∠CAD=∠CBE.∵∠ABC=∠CAD,∴∠CBE=∠ABC.∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC.∴∠OCB=∠CBE.∴OC∥BE.∴∠E=180°-∠OCE=90°.∴BE⊥CE.五、解答题(三)22.解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=(5-2)×180°=108°,5即∠ABC=108°.(2)△AMN是正三角形.理由如下:如图所示,连接ON,NF,由题意,得FN=ON=OF,∴△FON是等边三角形.∴∠NFA=60°.∴NMA=60°.同理,得∠ANM=60°,∴∠MAN=60°.∴△MAN是正三角形.(3)∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°.×2=144°,∵∠AOD=360°5∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°.∵360°÷24°=15,∴n的值是15.23.(1)解:∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α,①又∵∠AFB+∠BFD=180°,②②-①,得2∠BFD=180°-α,.∴∠BFD=90°-α2,(2)证明:由(1),得∠BFD=90°-α2∵∠ADB=∠ACB=α,.∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°-α2∴∠BFD=∠FBD.∴DB=DF.∵FG∥AC,∴∠CAD=∠DFG.∵∠CAD=∠DBE,∴∠DFG=∠DBE.在△BDE 和△FDG 中,{DB =DF ,∠DBE =∠DFG ,BE =FG ,∴△BDE ≌△FDG(SAS).(3)解:∵△BDE ≌△FDG,∴∠FDG=∠BDE=α,DE=DG.∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α.∵DE=DG,∴∠DGE=12(180°-∠FDG)=90°-α2.∴∠DBG=180°-∠BDG-∠DGE=90°-3α2.∵AD 是☉O 的直径,∴∠ABD=90°.∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=3α2.∴AC 与AB 所对的圆心角度数之比为3∶2.∴AC 与AB 的长度之比为3∶2.∵AB =2,∴AC =3.。

【3套】人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆(含解析答案)

人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆（含解析答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．40°B．50°C．65°D．25°2．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2 C．3D．43．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：25．下列说法中，正确的是（）A．正n边形有n条对称轴B．相等的圆心角所所对的弦相等C．三角形的外心到三条边的距离相等D．同一个平面上的三个点确定一个圆6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．7．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC ＝3，则BC的长为（）A．5B．3C．2D．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．35°C．25°D．15°11．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，D G相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝2cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，则线段BC所扫过的面积为（）A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．5πcm2二．填空题13．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．14．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．15．如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝．17．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为c m．18．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是．三．解答题19．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC 交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，①求证：AC＝CF；②若AD＝1，求线段FG的长．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，点C在⊙O上，AC与OB交点D，点E在OB 的延长线上，且CE＝DE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当∠A＝30°，OA＝6时，则CD的长为．21．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D，AB交OC于E，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝，CE＝3．①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．24．如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为10π，求∠AOP度数及x的值．（2）若线段PQ的长为10，求这时x的值．参考答案一．选择题1．解：连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．2．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．3．解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．4．解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．5．解：A、正n边形有n条对称轴，故本选项正确；B、如图，圆心角相等，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项错误；C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项错误；D、在同一直线上的三个点不能作一个圆，故本选项错误；故选：A．6．解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．7．解：连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5．∴MN＝5﹣3＝2故选：A．8．解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，OC过O，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，即∠AOB＝2∠AOC，∵∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠AOB＝40°+40°＝80°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝50°，故选：C．9．解：连接OB，作OD⊥BC于点D．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠OBD＝∠ABC﹣∠ABO＝120°﹣90°＝30°，在直角△OBD中，BD＝OB•cos30°＝3×＝，则BC＝2BD＝3．故选：B．10．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：C．11．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG ＝∠BCH ＝30°时，PE +PF ＝4．故选：A ．12．解：∵∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝2cm ，∴AB ＝cm ，如图，由旋转知，∠BAB 1＝∠CAC 1＝90°，△ABC ≌△AB 1C 1，则线段BC 所扫过的面积S ＝+﹣S △ABC ﹣＝﹣＝﹣＝π（cm 2），故选：A ．二．填空题（共6小题）13．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝，S阴影部分＝S 扇形OAE ﹣S △OAE ＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．14．解：连接OC 交AB 于E ．∵C 是的中点，∴OC ⊥AB ，∴∠AEO ＝90°，∵∠BAO ＝20°，∴∠AOE ＝70°，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝55°，∴∠CAB ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝35°，故答案为35°．15．解：作直径AD ，连接CD ，如图所示：∵AD 是圆O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∴∠OAC +∠D ＝90°，∵∠ABC +∠D ＝180°，∴∠ABC ﹣∠OAC ＝180°﹣90°＝90°；故答案为：90°．16．解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C＝∠D＝90°，∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB＝30°，∴AB＝AD÷cos30°＝4，∴AC＝AB•cos60°＝2，故答案为2．17．解：连接OA，∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，∴OD＝10﹣4＝6cm，在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB＝2AD＝16cm．故答案为16．18．解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，∴此直线恒过点（1，﹣1）．过点D作DH⊥x轴于点H，∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．∵OB＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝2．故答案为：2．三．解答题（共6小题）19．（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵EO⊥AB，∴∠OGB+∠B＝90°，∵EG＝EC，∴∠ECG＝∠EGC，∵∠EGC＝∠OGB，∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是圆O的切线；（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝45°，∵EO⊥AB，∴∠COF＝45°，∴＝，∴AC＝CF；②解：作CM⊥OE于M，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，∴∠FGC＝67.5°，∵∠COF＝45°，OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，∴∠GFC＝∠FGC，∴CF＝CG，∴FM＝GM，∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，∴CD＝DM，在Rt△ACD和Rt△FCM中∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），∴FM＝AD＝1，∴FG＝2FM＝2．20．（1）证明：如图连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝∠ADO，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝6，∠A＝30°，∴OD＝，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∠COA＝120°，∠DOC＝30°，∴∠DOC＝∠OCD＝30°，∴CD＝OD＝2．故答案为：2．21．（1）证明：在AD上截取AP＝AB，连结PB，如图，∵△DBC为等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，DB＝CB，∵∠BAC＝120°∴∠BAC+BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠BAP＝∠DCB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴∠ABP＝60°，BP＝BA，∴∠DBC﹣∠PBC＝∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP＝∠CBA，∴△DBP≌△CBA（SAS），∴PD＝AC，∴AD＝DP+AP＝AC+AB＝9．（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．证明：连结ME、NF，如图，由（1）的结论得EA+EB＝ME，FC+FD＝FN，∴AE+EB+EF+FC+FD＝ME+EF+FN，∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，此时点E、F为直线MN与两圆的交点．22．解：（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）①设OE＝x，∵OC＝OA，∴OA＝x+3，由于AE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理可知：x2+（x+3）2＝17，∴x2+3x﹣4＝0，∴x＝1，∴OC＝x+3＝4，∴⊙O的半径为4，；②S＝＝4π，扇形OACS＝×4×4＝8，△AOC∴图中阴影部分的面积＝4π﹣8．23．（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．24．解：（1）如图1，由＝10π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠BOQ，∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝∴OQ＝∴x＝；（2）分三种情况：①如图2，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为②如图3，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝k，QH＝k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10+k）2，整理得：k2+5k﹣75＝0，解得k＝（舍弃）或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝，此时x的值为﹣+5③如图4，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为．综上所述，满足条件的x的值为或﹣+5或．人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试（含答案）一、单选题1．下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 ( ) A ．①③ B ．①③④ C ．①②③ D ．②④2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为（）A ．10B ．8C ．5D ．33．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面AB 宽为（）A.4mB.5mC.6mD.8m4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（）A ．2B ．2.5C ．3D ．45．如图，C 、D 为半圆上三等分点，则下列说法：①AD =CD =BC ；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合．正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个6．下列各角中，是圆心角的是（）A. B. C. D.7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()A．60°B．35°C．30.5°D．30°8．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是60°，则∠ACD的度数为( )A．60°B．30°C．120°D．45°9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定10．如图，AB是⊙O 的直径，BC是⊙O 的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．6π12．如图，已知在⊙O 中，AB=4， AF=6，AC 是直径，AC ⊥BD 于F ，图中阴影部分的面积是（）A. B.C. D.13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )2π- 2π C.π D.2π二、填空题14．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为________．15．如图，在⊙O 中，已知∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________．16．如图，在O 中，直径4AB =，弦CD AB ⊥于E ，若30A ∠=，则CD =____17．如图，在O 中，120AOB ∠=︒，P 为劣弧AB 上的一点，则APB ∠的度数是_______.三、解答题18．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求弦BD 的长19．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D ，过点 D 作∠ADE ＝∠A ，交 AC 于点 E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若34BCAC=，求DE 的长．20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：A DOB∠=∠；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．21．如图所示，一个圆锥的高为h＝(1)圆锥的母线长与底面圆的半径之比；(2)母线AB与AC的夹角；(3)圆锥的全面积．答案1．A2．A3．D4．B5．A6．D7．D8．B9．A10．B11．C12．D13．A14．6.15．60°16．17．12018．解：如图，作CE ⊥AB 于E ．∵∠B=180°-∠A-∠ACB =180°-20°-130°=30°，在Rt △BCE 中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，∴CE=12BC=1，∵CE⊥BD，∴DE=EB，∴19．（1）证明：连接OD，如图，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，而∠ADE＝∠A，∴∠ADE+∠ODB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt△ABC 中34 BC AC∴AC＝43×15＝20，∵ED 和EC 为⊙O 的切线，∴ED＝DC，而∠ADE＝∠A，∴DE＝AE，∴AE＝CE＝DE12AC＝10，即DE 的长为10．20．(1)连接OC ，D Q 为BC 的中点，∴CD BD =，12BOD BOC ∴∠=∠， 12BAC BOC ∠=∠， A DOB ∴∠=∠；(2)DE 与⊙O 相切，理由如下：A DOB ∠=∠，//AE OD ∴，∴∠ODE+∠E=180°，DE AE ⊥，∴∠E=90°，∴∠ODE=90°，OD DE ∴⊥，又∵OD 是半径，DE ∴与⊙O 相切．21．(1)设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r .∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴2r l ππ＝，∴2l r ＝，∴21l r ＝::.即圆锥的母线长与底面圆的半径之比为2:1.(2)∵2l r ＝，即2AB BO ＝，∴30BAO ∠︒＝，∴60BAC ∠︒＝，即母线AB 与AC 的夹角为60︒.(3)在Rt AOB 中，222l h r ＝＋，又2l r ＝，h ＝∴36r l ＝，＝，∴227S S S rl r πππ全底＝＋＝＋＝侧人教版九年级数学上册第23章旋转单元练习卷含答案一、单选题1.已知点与点关于坐标原点对称，则实数a、b的值是A. ，B. ，C. ，D. ，2.观察下图，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图案平移得到的是（）A. B. C. D.3.将图绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是（）A. B. C. D.4.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A. 106°B. 146°C. 148°D. 156°6.如图所示的图案绕旋转中心旋转一定角度后能够与自身重合，那么这个旋转角可能是( )A. B. C. D.7.如图的四个图形中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 48.已知点P1（a，3）与P2（﹣5，﹣3）关于原点对称，则a的值为（）A. 5B. 3C. 4D. -5二、填空题9.在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是________．10.我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°．（1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．________②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．________（2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是________ ．（写出所有正确结论的序号）①正三角形②正方形③正六边形④正八边形11.在下列图案中可以用平移得到的是________（填代号）．12.如图是奥迪汽车的车牌标志，右边的三个圆环可以看作是左边的圆环经过________得到的．13.将一个自然数旋转180°后，可以发现一个有趣的现象，有的自然数旋转后还是自然数．例如，808，旋转180°后仍是808．又如169旋转180°后是691．而有的旋转180°后就不是自然数了，如37．试写一个五位数，使旋转180°后仍等于本身的五位数________．（数字不得完全相同）14.如图，在平面直角坐标系中，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是________.15.若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为________ ．三、解答题16.如图，在直角坐标系中，已知△ABC各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标．17.找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．18.如图所示，在△OAB中，点B的坐标是（0，4），点A的坐标是（3，1）．（1）画出△OAB向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1（2）画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求出点A旋转到A2所经过的路径长（结果保留π）四、作图题19.如图，阴影部分是由4个小正方形组成的一个直角图形，请用三种方法分别在下图方格内添涂黑一个小正方形，使涂黑后整个图形的阴影部分成为轴对称图，并画出其对称轴．答案一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】点与点关于坐标原点对称，实数a、b的值是：，．故答案为：D【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可求出a、b的值。

九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷带答案(人教版)精选全文

可编辑修改精选全文完整版九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷带答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．如L是⊙O的切线，要判定AB⊥L，还需要添加的条件是（）A．AB经过圆心O B．AB是直径C．AB是直径，B是切点D．AB是直线，B是切点2.如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25∘，则∠BOD的度数是（）A．25∘B．30∘C．40∘D．50∘3.如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2√15B．8C．2√10D．2√134．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，⊙O是△ABC的内切圆，连接AO，BO.则图中阴影部分的面积之和（）A．10−32πB．14−52πC．12 D．145.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC=72∘，则∠BAC的度数是( )A．72∘B．36∘C．18∘D．54∘6.如图，在半径为5的⊙O中AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为( )A．3B．4C．3√2D．4√27.如图，已知OB为⊙C的半径，且OB=10cm，弦CD⊥OB于M，若OM:MB=4:1，则CD长为( )A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm8.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是(−1,2)，则点Q的坐标是( )A．(−4,2)B．(−4.5,2)C．(−5,2)D．(−5.5,2)二、填空题9.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120∘，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为．（结果保留π）10.在半径为3cm的圆中，120∘的圆心角所对的弧长等于．11.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC交⊙O于点D，若∠C=50∘，则∠AOD=．12.如图所示，点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP= 4，PB=2则PC的长为．13.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若AB=6，CE:ED=1:9则⊙O的半径是．三、解答题14．已知：点I是△ABC的内心，AI的延长线交外接圆于D．则DB与DI相等吗？为什么？15．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．16．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD.求证：BD是⊙O的切线.17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．18．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC．（2）若PC=2 √5，求⊙O的半径．参考答案1．C2．A3．C4．B5. B6. C7. C8. A9. 350πcm210. 2πcm11. 80°12. 2√213. 514．解：ID=BD．理由：如图所示：连接BI．由三角形的外角的性质可知：∠1+∠2=∠BIA．∵点I是△ABC的内心∴∠1=∠4，∠2=∠3．又∵∠4=∠5∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠3+∠5，即∠BIA=∠IBD．∴ID=BD．15．证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠DCB，又∠DAE=∠DAC，∴∠DCB=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC16．解：如图，连接OD∵OD＝OA∴∠ODA＝∠DAB＝30°∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°即OD⊥BD∴直线BD与⊙O相切.17．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A=∠DCE∵DC=DE∴∠DCE=∠DEC∴∠A=∠AEB（2）证明：∵DC⊥OE∴DF=CF∴OE是CD的垂直平分线∴ED=EC，又DE=DC∴△DEC为等边三角形∴∠AEB=60°，又∠A=∠AEB∴△ABE是等边三角形．18．（1）证明：连接OB∵OB=OP∴∠OPB=∠OBP∵∠OPB=∠APC∴∠OBP=∠APC∵AB与⊙O相切于点B∴OB⊥AB∴∠ABO=90°∴∠ABP+∠OBP=90°∵OA⊥AC∴∠OAC=90°∴∠ACB+∠APC=90°∴∠ABP=∠ACB∴AB=AC（2）证明：设⊙O的半径为r在Rt△AOB中，AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2 在Rt△ACP中，AC2=PC2﹣PA2AC2=（2 √5）2﹣（5﹣r）2∵AB=AC∴52﹣r2=（2 √5）2﹣（5﹣r）2 解得：r=3则⊙O的半径为3。

第二十四章圆单元测试试题（含答案）

24章《圆》单元测试（时间120分钟总分150分）姓名:__________________ 班级：_________________一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在给出的4个选项中只有一个选项符合题意） 1、下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的内心到三条边的距离相等。

其中不正确的有（）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、如图，AB ，AC 为⊙O 的切线，B 和C 是切点，延长OB 到D ，使BD ＝OB ，连接AD.如果∠DAC ＝78°，那么∠ADO 等于( )A 、70°B 、64°C 、62°D 、51°3、已知☉O 的半径为5,且圆心O 到直线l 的距离是方程x 2-4x-12=0的一个根,则直线l 与圆的位置关系是( )A 、相交B 、相切C 、相离D 、无法确定4、如图，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O ，交坐标轴于点E ，F ，OE ＝8，OF ＝6，则圆的直径长为( )A 、12B 、10C 、14D 、155、如图，直线PA PB ，是O 的两条切线，A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP = 厘米，则弦AB 的长为（） A 、53厘米B 、5厘米C 、103厘米D 、532厘米 6、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE 的度数是（）A 、55°B 、60°C 、65°D 、70°7、已知A 、B 、C 三点在⊙O 上，且AB 是⊙O 内接正三角形的边长，AC 是⊙O 内接正方形的边长，则∠BAC 的度数为（）A 、15°或105°B 、75°或15°C 、75°D 、105°8、如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切……按这样的规律进行下去，正六边形A 10B 10C 10D 10E 10F 10的边长为( )A 、24329B 、81329C 、8129D 、813289、在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作，如图所示．若AB=4，AC=2，S 1﹣S 2=，则S 3﹣S 4的值是（）A 、B 、C 、D 、10、如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A=66°，则∠OCB 的度数是（）A 、24°B 、28°C 、33°D 、48°11、如图，从一张腰长为60cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A 、10cmB 、15cmC 、10cmD 、20cm12、如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1，E 是⊙C 上的一动点，则△ABE 面积的最大值为（） A 、2+B 、3+C 、3+D 、4+二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）13、如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上的一点,若 BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为．14、已知一条弧的长是3πcm ，弧的半径是6cm ，则这条弧所对的圆心角是度15、已知一圆锥的底面半径为1cm ，母线长为4cm ，则它的侧面积为________cm 2（结果保留π）． 16、如图，四边形ABCD 内接于半圆O ，其中点A ，D 在直径上，点B ，C 在半圆弧上，AB ∥CD ，∠B=90°，若AO=3，∠BAD=120°，则BC= ．17、如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD ︵交OB 于点D.若OA ＝2，则阴影部分的面积为________．18、如图，在⊙O 中，C ，D 分别是OA ，OB 的中点，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M ，N 在⊙O 上．下列结论：①MC ＝ND ；②AM ︵＝MN ︵＝NB ︵；③四边形MCDN 是正方形；④MN ＝12AB ，其中正确的结论是________(填序号)．三、解答题（共8小题，共78分）19、（8分）如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l ，求⊙O的半径．20、（8分）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，过点C分别作半径OA、OB的垂线，交⊙O于E、F两点，垂足分别为M、N，求证：ME=NF．21、（8分）如图,已知在⊙O 中AB＝43，AC 是⊙O 的直径,AC⊥BD 于F,∠A＝30°．（1）求图中阴影部分的面积;（2）若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径．22、（8分）已知一个圆的半径为6cm,这个圆的内接正六边形的周长和面积各是多少?23、（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．(1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．24、（10分）如图，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？25、（12分）已知AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的动点,点D是线段AB延长线上的动点,在运动过程中,保持CD=OA.(1)当直线CD与半圆O相切时(如图1),求∠ODC的度数;(2)当直线CD与半圆O相交时(如图2),设另一交点为E,连接AE,若AE∥OC.①AE与OD的大小有什么关系?为什么?②求∠ODC的度数.26、（14分）如图,已知∠xOy=90°,线段AB=10,若点A在Oy上滑动,点B随着线段AB在射线Ox上滑动(A,B与O不重合),Rt△AOB的内切圆☉K分别与OA,OB,AB切于点E,F,P.(1)在上述变化过程中,Rt△AOB的周长,☉K的半径,△AOB外接圆半径,这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由.(2)当AE=4时,求☉K的半径r.(3)当Rt△AOB的面积为S,AE为x,试求S与x之间的函数关系,并求出S最大时直角边OA的长.【参考答案】 1.D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.D 10.D 11.D 12.A 13. 414. 90015. 4π 16. 3．17.32＋π12（提示：连接OE.∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝12OA ＝1.∵OE ＝OA ＝2，∴OC ＝12OE.∵CE ⊥OA ，∴∠OEC ＝30°.∴∠COE ＝60°.在Rt △OCE 中，CE ＝OE 2－OC 2＝3，∴S △OCE ＝12OC ·CE ＝32.∵∠AOB＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠COE ＝30°.∴S 扇形BOE ＝30π×22360＝π3.又S 扇形COD ＝90π×12360＝π4.因此S 阴影＝S 扇形BOE ＋S △OCE －S 扇形COD ＝π3＋32－π4＝π12＋32.）20.证明：连接OC ，∵OA ⊥CE ，OB ⊥CF ，∴EM=CM ，NF=CN ，∠CMO=∠CNO=90°， ∵C 为的中点， ∴∠AOC=∠BOC ，在△CNO 与△CNO 中，∵，∴△CNO≌△CNO，∴CM=CN，∴EM=NF．21.(1)过O 作OE⊥AB 于E，∴AE＝23，又∠A＝30°，∴AO＝4，∠BOC＝60°，则有∠BOD＝120°，∴S阴影＝120360·π·42＝163π；(2)∵BCD＝120180·π×4＝83＝2πr，∴r＝43,即底面圆半径为43．22.解:如图所示,⊙O 中内接正六边形,OA＝6cm．∵正六边形内接于⊙O，∴中心角∠AOB＝60°，∴△AOB 是等边三角形,∴AB＝OA＝6cm，∴周长为：:6 AB＝36cm．过O 点作OD⊥AB，∴∠AOD＝30°，∴AD＝12OA＝3cm,∴由勾股定理可得OD＝33cm，∴S△OAB＝12×6×33＝93(cm2),∴S正六边形＝6×93＝543 (cm2)．23.（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接OD ，DC ， ∵∠DAC= 21∠DOC ，∠OAC= 21∠BOC ， ∴∠DAC=∠OAC ，∵ED=1，DC=2， ∴∠ECD=30°， ∴∠OCD=60°， ∵OC=OD ，∴△DOC 是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2， ∴l==32π． 24.解：学校受到噪音影响．理由如下：作AH ⊥MN 于H ，如图， ∵PA=160m ，∠QPN=30°，∴AH=21PA=80m ，而80m ＜100m ，∴拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响，以点A 为圆心，100m 为半径作⊙A 交MN 于B 、C ，如图， ∵AH ⊥BC ，∴BH=CH ，在Rt △ABH 中，AB=100m ，AH=80m ， BH==60m ，∴BC=2BH=120m ，∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s ， ∴拖拉机在线段BC 上行驶所需要的时间=5120=24（秒）， ∴学校受影响的时间为24秒．25.解:(1)如图①,连接OC ,∵OC=OA ,CD=OA ,∴OC=CD ,∴∠ODC=∠COD ,∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠ODC=45°.(2)如图②,连接OE.∵CD=OA,∴CD=OC=OE=OA,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵AE∥OC,∴∠2=∠3.设∠ODC=∠1=x,则∠2=∠3=∠4=x,∴∠AOE=∠OCD=180°-2x.①AE=OD.理由如下:在△AOE与△OCD中,∴△AOE≌△OCD(SAS),∴AE=OD.②∠6=∠1+∠2=2x.∵OE=OC,∴∠5=∠6=2x.∵AE∥OC,∴∠4+∠5+∠6=180°,即x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠ODC=36°.26.解:(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径.理由如下:∵∠AOB=90°,∴AB是△AOB的外接圆的直径.∵AB的长不变,∴△AOB的外接圆半径不变.(2)设☉K的半径为r,☉K与Rt△AOB相切于点E,F,P,连接EK,KF,∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,∴四边形EOFK是矩形.又∵OE=OF,∴四边形EOFK是正方形,∴OE=OF=r,∵☉K是Rt△AOB的内切圆,切点分别为点E,F,P,∴AE=AP=4,PB=BF=6,∴(4+r)2+(6+r)2=100,解得r=-12(不符合题意),r=2.(3)设AO=b,OB=a,∵☉K与Rt△AOB三边相切于点E,F,P,∴OE=r=,即2(b-x)+10=a+b,∴10-2x=a-b,∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab.∵S=ab,∴ab=2S,∵a2+b2=102,∴100-40x+4x2=100-4S,∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25.∴当x=5时,S最大,即AE=BF=5,∴OA==5.。

人教版九年级数学上册第二十四章圆测试题AB卷

第一学期第24章圆整章综合水平测试题（A）（时间：90分钟满分：100分）安徽李庆社一．选择题（每小题3分，共30分）1．两圆的圆心都在x轴上，且两圆相交于A，B两点，点A的坐标是（3，2），那么点B的坐标为（）（A）（–3，2）.（B）（3，–2）.（C）（–3，–2）.（D）（3，0）.2．如果两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，那么这两个圆的位置关系是（）（A）外离.（B）外切.（C）相交.（D）内切.3．已知：如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，D是⊙O上一点，∠D=400，则∠A的度数等于（）（A）1400.（B）1200.（C）1000.（D）800.第3题图第4题图第5题图4．如图，在⊙O中，直径CD与弦AB相交于点E，若BE=3，AE=4，DE=2，则⊙O 的半径是（）（A）3.（B）4.（C）6.（D）8.5．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA=3，AB=PC=2，若PA·PB=PC·PD，则PD的长是（）（A）3.（B）7.5.（C）5.（D）5.5.6．使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中合格的是（）7．两圆外切，半径分别为6、2，则这两圆的两条外公切线的夹角的度数是（）（A）30°.（B）60°.C、90°D、120°8.正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）（A）60°.（B）120°.（C）60或120.（D）30°或150°.9.若扇形的面积是56cm2，周长是30cm，则它的半径是（）（A）7cm（B）8cm（C）7cm或8cm（D）15cm10.若两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系是（）（A）内切（B）相交（C）外切（D）内含二．填空题（每小题3分，共15分）11．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小从锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问径几何？”A(第13题图)B10m8m 用数学语言可表述为：“如图2，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB ＝10寸，则直径CD 的长为＿＿＿.第7题图第9题图第10题图 12．一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形是＿＿＿.13．如图8，⊙O 1,⊙O 2相交，P 是⊙O 1上的一点，过P 点作两圆的切线，则切线的条数可能有＿＿＿.14．如图所示，矩形中长和宽分别为10cm 和6cm ，则阴影部分的面积为______． 15．已知⊙O 1和⊙O 2外切，半径分别为1cm 和3cm ，那么半径为5cm 且与⊙O 1、⊙O 2都相切的圆一共可以作出___________个. 三．解答题（每小题8分，共16分）16．已知：如图，过圆O 外一点B 作圆O 的切线BM ，M 为切点.BO 交圆O 于点A ，过点A 作BO 的垂线，交BM 于点＝3，PA=1.3,圆O 的半径为1．求：MB 的长.17．在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB =8m ，求油的最大深度.四．（8分）18．如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和的度数.五．（8分）19.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，连接PO 与⊙O 相交于C ，连接AC 、BC ，求证：AC=BC.六．（10分）20.(1)如图(1)，若⊙O1、⊙O2外切于A,BC是⊙O1、⊙O2的一条外公切线，B、C是切点，则AB⊥AC.（2）如图（2），增加添加，连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延长线交于P，则BP与CP是否垂直？证明你的结论.（3）如图（3），⊙O1与⊙O2相交，BC是两圆的外公切线，B、C是切点，连心线O1O2分别交两圆于M、N，Q是MN上一点，连结BQ、CQ则与BQ是否垂直？证明你的结论.图（1）图（2）图（3）七、探究题（13分）21.如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草.（1）请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明.（2）要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长.（3）请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法.（4）你在（3）中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？参考答案：一．；由对称性知（3，－2）.；提示：2＋3＝5，两圆半径等于圆心距. ；提示：连OB 、OC. ；设圆的半径为R ，由3×4＝（R-2）(2R-2)，R ＝4. ；提示：由PA·PB=PC·PD. ；直径所对的圆周角是直角. ；转化为解直角三角形问.；圆内接正六边形的边长等于半径. ；根据闪形面积公式. ；两圆内切.二．11．26寸； 12、正五边形； 13、一条或2条3条或4条； 14、90――41/2π； 15、4个.三．提示：16、由切线长定理及其勾股定理得，BM=4. 17、2m.四．18、分析：连结OC ，通过求圆心角的度数求解. 解：连结OC ，在Rt △AOB 中，∠A=35°， ∴∠B=55°，又∵OC=OB ， ∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，∴ 的度数为20°.五．19．提示：证明△PAC ≌△PBC. 六、20．提示：（1）过点A 作公切线；（2）易证BP 与CP 垂直；（3）中CQ 与BQ 不垂直.七、[分析]：21.（1）方案1：D ，E ，F 与A ，B ，C 重合，连OD ，OE ，OF. 方案2：OD ，OE ，OF 分别垂直于AB ，BC ，AC. （2）OD//AC ，OE//AB ，OF//BC ，如图（3）作OM ⊥BC 于M ，连OB ， ∵ΔABC 是等边Δ，∴BM=21BC=30，且∠OBM=30°， ∴OM=103，∵OE//AB ，∴∠OEM=60°，OE==20，又OE=OF=OD ，∴OE+OF+OD=3OE=60，答：略.（3）如图（4）方法1：在BC ，CA ，AB 上分别截取BE=CF=AD ，连结OD ，OE ，OF ，方法2：在AB 上任取一点D ，连OD ，逆时针旋转OD120°两次，得E ，F.（4）设M 1为A 1A 2上任一点，在各边上分别取A 2M 2=A 3M 3=A 4M 4=A 5M 5=A 1M 1，连OM 1……OM 5即可，∴可推广到正n 边形.[评析]：本题集探索、猜想方案设计于一体.第一学期第24章圆整章综合水平测试题（B ）（满分120分，时间120分钟）四川蒋成富一、选择题（每小题3分，共30分）1. 如图，A 、B 、C 、是⊙O 上的三点，∠BAC=45°，则∠BOC 的大小是（）。

人教版九年级数学上《第二十四章圆》单元测试题含答案

第二十四章圆一、填空题(每题3分，共18分)1．如图24－Z －1所示，在⊙O 中，若∠A ＝60°，AB ＝3 cm ，则OB ＝________ cm.图24－Z －12．如图24－Z －2，AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝130°，则∠D ＝________°.图24－Z －23．如图24－Z －3所示，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿的半径为________厘米．图24－Z －34.如图24－Z －4，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，C 是AB ︵上的一点，∠P ＝40°，则∠ACB 的度数为________．图24－Z－45．如图24－Z－5，把半径为4 cm的半圆围成一个圆锥的侧面，使半圆圆心为圆锥的顶点，那么这个圆锥的高是________cm(结果保留根号)．图24－Z－56.如图24－Z－6，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长为________．图24－Z－6二、选择题(每题4分，共32分)7．如图24－Z－7，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠BOC的度数为()图24－Z－7A．40°B．50°C．80°D．100°8．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是() A．相交B．相切C．相离D．不能确定9．如图24－Z －8，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接OC .若∠BCD ＝50°，则∠AOC 的度数为( )图24－Z －8A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°10．一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为( ) A.8π15 B.4π15 C.16π15 D.π211．已知圆锥的底面积为9π cm 2，母线长为6 cm ，则圆锥的侧面积是( ) A ．18π cm 2 B ．27π cm 2 C ．18 cm 2 D ．27 cm 212．一元钱硬币的直径约为24 mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )A ．12 mmB ．12 3 mmC ．6 mmD ．6 3 mm13．如图24－Z －9，半圆的直径BC 恰与等腰直角三角形ABC 的一条直角边完全重合，若BC ＝4，则图中阴影部分的面积是( )图24－Z －9A ．2＋πB ．2＋2πC ．4＋πD ．2＋4π12.如图24－Z －10，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，将矩形ABCD 按如图所示的方式在直线l 上进行两次旋转，则点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是( )图24－Z －10A.252π B ．13π C ．25π D ．25 2 三、解答题(共50分)15．(10分)如图24－Z －11，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ACB ＝60°.求证：∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .图24－Z －1116．(12分)如图24－Z－12，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.(1)若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；(2)若∠M＝∠D，求∠D的度数．图24－Z－1217．(12分)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.(1)如图24－Z－13①，求∠T和∠CDB的大小；(2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．图24－Z －1318．(16分)如图24－Z －14，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E .(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连接CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ； (3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵的长．图24－Z －14教师详解详析【作者说卷】本试卷的重点是圆的基本概念、与圆有关的位置关系及应用．难点是如何构建垂径定理模型解决问题，切线的判定与性质的综合应用，亮点是既注重解决生活中的实际问题，又培养学生认真读题的习惯.知识与技能圆的相关性质垂径定理及其应用与圆有关的位置关系题号1，2，4，7，9，153，168知识与技能扇形、弧长、圆锥综合运用题号 5，6，10，11，13，1417，181.32．25 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝130°， ∴∠BOC ＝180°－∠AOC ＝50°， ∴∠D ＝12∠BOC ＝25°.故答案为25. 3.134[解析] 如图所示，设该圆的半径为x 厘米，已知弦长为6厘米，根据垂径定理，得AB ＝3厘米．根据勾股定理，得OA 2－OB 2＝AB 2，即x 2－(x －2)2＝32，解得x ＝134.4．110° [解析] 如图所示，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是切线， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－40°＝ 140°， ∴∠ADB ＝70°.又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB ＝180°－∠ADB ＝180°－70°＝110°.5．2 3 [解析] 设圆锥的底面圆半径为r cm ，高为h cm ，则2πr ＝4π，r ＝2，根据勾股定理，得h ＝16－4＝2 3.故答案是2 3.6．4π [解析] lCD ︵＝120π×1180＝2π3，lDE ︵＝120π×2180＝4π3，lEF ︵＝120π×3180＝2π，所以曲线CDEF 的长＝2π3＋4π3＋2π＝4π.7．D8．A [解析] ∵⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为2，又∵3＞2，即d ＜r ，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交．9．C [解析] ∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°. ∵∠BCD ＝50°，∴∠OCB ＝40°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝40°， ∴∠AOC ＝2∠OBC ＝80°.故选C .10．A [解析] 根据扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝48π×4360＝8π15.故选A .11．A [解析] 因为圆锥的底面积为9π cm 2，所以圆锥的底面圆的半径为3 cm ，圆锥的底面周长为6π cm ，根据扇形面积公式得S ＝12lR ＝12×6π×6＝18π(cm 2)．12．A [解析] 如图，已知圆的半径r 为12 mm ，△OBC 是等边三角形，所以BC ＝12 mm ，所以正六边形的边长最大不超过12 mm .故选A .13．A [解析] 如图，连接DO.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠CBA ＝45°，∴∠DOC ＝90°.利用分割的方法，得到阴影部分的面积等于三角形BOD 的面积加扇形COD 的面积，所以阴影部分的面积＝12×2×2＋90360π×22＝2＋π.14．A [解析] 如图，连接BD ，B ′D.∵AB ＝5，AD ＝12， ∴BD ＝52＋122＝13， ∴BB′︵的长l ＝90×π×13180＝132π.∵BB″︵的长l′＝90×π×12180＝6π，∴点B 在两次旋转过程中经过的路径的长是132π＋6π＝252π.故选A . 15．证明：∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝CA ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD ＝16，∴DE ＝12CD ＝8. ∵BE ＝4，∴OE ＝OB －BE ＝OD －4.在Rt △OED 中，OE 2＋DE 2＝OD 2，即(OD －4)2＋82＝OD 2，解得OD ＝10.∴⊙O 的直径是20.(2)∵弦CD ⊥AB ，∴∠OED ＝90°，∴∠EOD ＋∠D ＝90°.∵∠M ＝∠D ，∠EOD ＝2∠M ，∴∠EOD ＋∠D ＝2∠M ＋∠D ＝3∠D ＝90°，∴∠D ＝30°.17．解：(1)如图①，连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∴AT ⊥AB ，即∠TAB ＝90°.∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠ABT＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°.(2)如图②，连接AD，在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°.∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.18．解：(1)证明：连接OD，BD.∵AB是以BC为直径的半圆O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，即∠ABO ＝∠ADO ＝90°.又∵OD 是半圆O 的半径，∴AD 是半圆O 的切线． (2)证明：由(1)知∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ＝∠DOC. ∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE.∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE.(3)∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°.∵OB ＝2，∴BD ︵的长＝126×π×2180＝75π.。

人教版九年级数学(上)第二十四章《圆》单元检测卷含答案

人教版九年级数学（上）第二十四章《圆》单元检测卷(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)1.下列说法错误的是A.直径是弦B.最长的弦是直径C.垂直于弦的直径平分弦D.经过三点可以确定一个圆2.如图,已知☉O的半径为7,弦AB的长为12,则圆心O到AB的距离为A.√5B.2√5C.2√7D.√133.已知☉O的半径为5,且圆心O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根,则直线l与圆的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.无法确定4.如图,☉O的半径OC=5 cm,直线l⊥OC,垂足为点H,且l交☉O于A,B两点,AB=8 cm,当l与☉O相切时,l需沿OC所在直线向下平移A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm5.如图,在△ABC中,已知AB=AC=5 cm,BC=8 cm,点D是BC的中点,以点D为圆心作一个半径为3 cm的圆,则下列说法正确的是A.点A在☉D外B.点A在☉D上C.点A在☉D内D.无法确定6.如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切☉O于点Q,则PQ的最小值为A.√13B.√5C.3D.27.阅读理解:如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定,有序数对(θ,m)称为M点的“极坐标”,这样建立的坐标系称为“极坐标系”.应用:在图2的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA在射线Ox上,则正六边形的顶点C的极坐标应记为A.(60°,4)B.(45°,4)C.(60°,2√2)D.(50°,2√2)8.如图,Rt△ABC的内切圆☉O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作☉O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N,若☉O的半径为r,则Rt△MBN 的周长为A.rB.3r2rC.2rD.529.如图,正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母,点P是FA延长线上的点,在A,P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线,一端固定在点A,握住另一端点P拉直细线,把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动),则点P运动的路径长为A.13π cmB.14π cmC.15π cmD.16π cm10.如图,在△ABC中,AB=8 cm,BC=4 cm,∠ABC=30°,把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C'处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)面积是A.20π cm2B.(20π+8) cm2C.16π cm2D.(16π+8) cm2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)11.一个直角三角形的两边长分别为3,4,则这个三角形外接圆的半径长为2或2.5.12.如图是考古学家发现的古代钱币的一部分,合肥一中的小明正好学习了圆的知识,他想求其外圆半径,连接外圆上的两点A,B,并使AB与内圆相切于点D,作CD⊥AB交外圆于点C.测得CD=10 cm,AB=60 cm,则这个钱币的外圆半径为50cm.13.如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格,正六边形的顶点称为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是2√3.14.如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=4,∠CBA=30°,点D在AO上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论:①CE=CF;②线段EF的最小值为√3;③当AD=1时,EF与半圆相切;④当点D从点A运动到点O时,线段EF扫过的面积是4√3.其中正确的序号是①③.三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)15.如图所示,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.AB=24 cm,CD=8 cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹);(2)求(1)中所作圆的半径.解:(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点,以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆,如图.(2)连接OA,设OA=x,AD=12,OD=x-8,根据勾股定理,得x2=122+(x-8)2,解得x=13.∴圆的半径为13 cm.⏜上一点,且∠BPC=60°.试16.如图,已知CD是☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点M,点P是AB判断△ABC的形状,并说明你的理由.解:△ABC为等边三角形.⏜=BC⏜,∴AC=BC,理由如下:∵AB⊥CD,CD为☉O的直径,∴AC又∵∠BPC=∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形.四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)17.如图,在△ABC中,∠C=90°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.⏜的度数;(1)若∠A=25°,求BD(2)若BC=9,AC=12,求BD的长.解:(1)延长BC交☉O于点N,∵在△ABC中,∠C=90°,∠A=25°,∴∠B=65°,∴∠B所对的弧BDN的度数是130°,⏜的度数是180°-130°=50°.∴BD(2)延长AC交☉O于点M,在Rt△BCA中,由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√122+92=15,∵BC=9,AC=12,∴CM=CE=BC=9,AM=AC+CM=21,AE=AC-CE=3,由割线定理得AD×AB=AE×AM,∴(15-BD)×15=21×3,解得BD=54.518.如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.(1)求证:BF=CE;(2)若∠C=30°,CE=2√3,求AC.解:(1)∵AF,AE是☉O的切线,∴AF=AE.又∵AB=AC,∴AB-AF=AC-AE,即BF=CE.(2)连接AO,OD.∵O是△ABC的内心,∴OA平分∠BAC.∵☉O是△ABC的内切圆,D是切点,∴OD⊥BC.又∵AC=AB,∴A,O,D三点共线,即AD⊥BC.∵CD,CE是☉O的切线,∴CD=CE=2√3.在Rt△ACD中,由∠C=30°,设AD=x,则AC=2x,由勾股定理得CD2+AD2=AC2,即(2√3)2+x2=(2x)2,解得x=2.∴AC=2x=2×2=4.五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图,已知ED为☉O的直径且ED=4,点A(不与点E,D重合)为☉O上一个动点,线段AB经过点E,且EA=EB,F为☉O上一点,∠FEB=90°,BF的延长线交AD的延长线于点C.(1)求证:△EFB≌△ADE;(2)当点A在☉O上移动时,直接回答四边形FCDE的最大面积为多少.解:(1)连接FA ,∵∠FEB=90°,∴EF ⊥AB , ∵BE=AE ,∴BF=AF ,∵∠FEA=∠FEB=90°,∴AF 是☉O 的直径,∴AF=DE , ∴BF=ED ,在Rt △EFB 与Rt △ADE 中,{BE =AE ,BF =DE ,∴Rt △EFB ≌Rt △ADE.(2)∵Rt △EFB ≌Rt △ADE ,∴∠B=∠AED ,∴DE ∥BC ,∵ED 为☉O 的直径,∴AC ⊥AB ,∵EF ⊥AB ,∴EF ∥CD ,∴四边形FCDE 是平行四边形,∴E 到BC 的距离最大时,四边形FCDE 的面积最大,即点A 到DE 的距离最大,∴当A 为ED ⏜的中点时,点A 到DE 的距离最大是2,∴四边形FCDE 的最大面积=4×2=8.20.如图,点P 是正方形ABCD 内的一点,连接PA ,PB ,PC.将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P'CB 的位置.(1)设AB 的长为a ,PB 的长为b (b<a ),求△PAB 旋转到△P'CB 的过程中边PA 所扫过区域(图中阴影部分)的面积;(2)若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC 的长.解:(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置,∴△PAB≌△P'CB,∴S△PAB=S△P'CB,S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP'=π(a2-b2).4(2)连接PP',根据旋转的性质可知△APB≌△CP'B,∴BP=BP'=4,P'C=PA=2,∠PBP'=90°,∴△PBP'是等腰直角三角形,P'P2=PB2+P'B2=32.又∵∠BP'C=∠BPA=135°,∴∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°,即△PP'C是直角三角形,PC=√P'P2+P'C2=6.六、(本题满分12分)21.已知AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的动点,点D是线段AB延长线上的动点,在运动过程中,保持CD=OA.(1)当直线CD与半圆O相切时(如图①),求∠ODC的度数;(2)当直线CD与半圆O相交时(如图②),设另一交点为E,连接AE,若AE∥OC.①AE与OD的大小有什么关系?为什么?②求∠ODC的度数.解:(1)如图①,连接OC ,∵OC=OA ,CD=OA ,∴OC=CD ,∴∠ODC=∠COD , ∵CD 是☉O 的切线,∴∠OCD=90°,∴∠ODC=45°.(2)如图②,连接OE.∵CD=OA ,∴CD=OC=OE=OA ,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵AE ∥OC ,∴∠2=∠3.设∠ODC=∠1=x ,则∠2=∠3=∠4=x ,∴∠AOE=∠OCD=180°-2x.①AE=OD.理由如下:在△AOE 与△OCD 中,{OA =OC ,∠AOE =∠OCD ,OE =CD ,∴△AOE ≌△OCD (SAS),∴AE=OD.②∠6=∠1+∠2=2x. ∵OE=OC ,∴∠5=∠6=2x.∵AE ∥OC ,∴∠4+∠5+∠6=180°,即x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠ODC=36°.七、(本题满分12分)22.如图,已知∠xOy=90°,线段AB=10,若点A 在Oy 上滑动,点B 随着线段AB 在射线Ox 上滑动(A ,B 与O 不重合),Rt △AOB 的内切圆☉K 分别与OA ,OB ,AB 切于点E ,F ,P.(1)在上述变化过程中,Rt△AOB的周长,☉K的半径,△AOB外接圆半径,这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由.(2)当AE=4时,求☉K的半径r.(3)当Rt△AOB的面积为S,AE为x,试求S与x之间的函数关系,并求出S最大时直角边OA的长.解:(1)不会发生变化的是△AOB的外接圆半径.理由如下:∵∠AOB=90°,∴AB是△AOB的外接圆的直径.∵AB的长不变,∴△AOB的外接圆半径不变.(2)设☉K的半径为r,☉K与Rt△AOB相切于点E,F,P,连接EK,KF,∴∠KEO=∠OFK=∠O=90°,∴四边形EOFK是矩形.又∵OE=OF,∴四边形EOFK是正方形,∴OE=OF=r,∵☉K是Rt△AOB的内切圆,切点分别为点E,F,P,∴AE=AP=4,PB=BF=6,∴(4+r)2+(6+r)2=100,解得r=-12(不符合题意),r=2.(3)设AO=b,OB=a,∵☉K与Rt△AOB三边相切于点E,F,P,∴OE=r=a+b-10,即2(b-x)+10=a+b,∴10-2x=a-b,∴100-40x+4x2=a2+b2-2ab.2∵S=1ab,∴ab=2S,∵a2+b2=102,∴100-40x+4x2=100-4S,2∴S=-x2+10x=-(x-5)2+25.∴当x=5时,S最大,即AE=BF=5,∴OA==5√2.√2八、(本题满分14分)23.如图,点P在射线AB的上方,且∠PAB=45°,PA=2,点M是射线AB上的动点(点M不与点A重合),现将点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q,将点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N,连接AQ,PM,PN,作直线QN.(1)求证:AM=QN.(2)直线QN与以点P为圆心,以PN的长为半径的圆是否存在相切的情况?若存在,请求出此时AM的长,若不存在,请说明理由.(3)当以点P为圆心,以PN的长为半径的圆经过点Q时,直接写出劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积.解:(1)如图1,连接PQ,由点P绕点A按顺时针方向旋转60°到点Q,可得AP=AQ,∠PAQ=60°,∴△APQ为等边三角形,∴PA=PQ,∠APQ=60°,由点M绕点P按逆时针方向旋转60°到点N,可得PM=PN,∠MPN=60°,∴∠APM=∠QPN,则△APM≌△QPN(SAS),∴AM=QN.(2)存在.理由如下:如图2,由(1)中的证明可知△APM≌△QPN,∴∠AMP=∠QNP,∵直线QN与以点P为圆心,以PN的长为半径的圆相切,∴∠AMP=∠QNP=90°,即PN⊥QN.在Rt△APM中,∠PAB=45°,PA=2,∴AM=√2.(3)由(1)知△APQ是等边三角形,∴PA=PQ,∠APQ=60°.∵以点P为圆心,以PN的长为半径的圆经过点Q,∴PN=PQ=PA.∵PM=PN,∴PA=PM,∵∠PAB=45°,∴∠APM=90°,∴∠MPQ=∠APM-∠APQ=30°.∵∠MPN=60°,∴∠QPN=90°,∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN的面积,而此扇形的圆心角∠QPN=90°,半径为PN=PM=PA=2.∴劣弧NQ与两条半径所围成的扇形的面积=90π·22360=π.。

第24章《圆》单元复习测试题(含答案)

九年级数学第二十四章《圆》单元复习测试题（含答案）一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1．已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是()A．8 B．10 C．12 D．142．已知⊙O的半径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断3．在圆内接四边形ABCD中，∠A＝80°，则∠A的对角∠C＝()A．20°B．40°C．80°D．100°4．如题4图，在⊙O中，AB＝AC.若∠B＝75°，则∠A的度数为()题4图A．15°B．30°C．75°D．60°5．如题5图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠CAB＝36°，则∠D的度数为()题5图A．72°B．54°C．45°D．36°6．已知半径为9的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为()A．18πB．27πC．36πD．54π7．如题7图，点I为△ABC的外心，且∠BIC＝150°，则∠A的度数为()题7图A．70°B．75°C．140°D．150°8．如题8图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长，交⊙O于点C，连接AC.若AB ＝8，∠P＝30°，则AC＝()A ．43B ．42C ．4D ．39．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如题9图(网格中的每个小正方形边长为1)所示的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是( )A ．2B ．5C ．22D ．310．如题10图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转90°得到矩形AEFG ，点D 的旋转路径为DG .若AB ＝2，BC ＝4，则阴影部分的面积为( )A ．π2B ．8π3C ．4π3＋43D ．4π3＋23二、填空题(本大题7小题，每小题4分，共28分)11．已知⊙O 的半径为5cm ，点P 在⊙O 内，则OP ________5cm.(填“＞”“＜”或“＝”) 12．如题12图，⊙O 的半径为6，OA 与弦AB 的夹角是30°，则弦AB 的长是__________．13．如题13图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线P A ，PB ，切点分别是A ，B ，若P A ＝6cm ，C 是AB 上一动点(点C 与A ，B 两点不重合)，过点C 作⊙O 的切线，分别交P A ，PB 于点D ，E ，则△PED 的周长是________cm.14．如题14图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点F 在DE 上，则∠CFD ＝________．题14图15．用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆的半径为________．16．如题16图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝8，C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝45°.若点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是________．题16图17．如题17图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ，直线MN 与l 1相交于点M ，与l 2相交于点N ，⊙O 的半径为1，∠1＝60°，直线MN 从图中位置向右平移．下列结论：①l 1和l 2的距离为2；②MN ＝433 ；③当直线MN 与⊙O 相切时，∠MON ＝90°；④当AM ＋BN ＝433 时，直线MN 与⊙O 相切．其中正确的结论是____________．(填序号)题17图三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)18．如题18图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，BD ＝AC .求证：AB ＝CD .题18图19．用铁皮制作如题19图所示的圆锥形容器盖，求这个容器盖所需铁皮的面积(结果保留π)，并求制作容器盖的扇形的圆心角．题19图20．如题20图，在△ABC 中，AB ＝AC .(1)求作一点P ，使得点P 为△ABC 外接圆的圆心；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，连接AP ，BP ，延长AP 交BC 于点D ，若∠BAC ＝50°，求∠PBC 的度数．题20图四、解答题(二)(本大题3小题，每小题8分，共24分)21．如题21图，隧道的截面由半圆和矩形构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高8m，宽2.3m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？请说明理由．题21图22．如题22图，已知△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，设∠DAB＝α，∠ACB＝β，小明同学通过画图和测量得到以下近似数据：α30°35°40°50°60°80°β120°125°130°140°150°170°试判断α与β之间的关系，并给出证明．题22图23．在如题23图所示的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，且边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的EF与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F.(1)求△ABC三边的长；(2)求图中由线段EB，BC，CF及EF所围成的阴影部分的面积．题23图五、解答题(三)(本大题2小题，每小题10分，共20分)24．如题24图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E，D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6.(1)求证：①AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC.(2)求CD的长．题24图25．阅读以下材料，并回答问题：若一个三角形两边平方的和等于第三边平方的两倍，我们称这样的三角形为奇异三角形．(1)命题“等边三角形一定是奇异三角形”是________命题；(填“真”或“假”)(2)在△ABC中，∠C＝90°，△ABC的内角∠A，∠B，∠C所对边的长分别为a，b，c，且b＞a，若Rt △ABC 是奇异三角形，求a ∶b ∶c 的值；(3)如题25图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点(点C 与点A ，B 不重合)，D 是ADB 的中点，点C ，D 在直径AB 的两侧，若存在点E ，使得AE ＝AD ，CB ＝CE .求证：△ACE 是奇异三角形．题25图参考答案1．D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.B 8.A 9.B 10.D 11．< 12.63 13.12 14.36° 15.1 16.42 17.①②③④ 18．证明：∵BD ＝AC ，∴BD ＝AC .∴BD －AD ＝AC －AD ，即AB ＝CD .∴AB ＝CD .19．解：由图可知圆锥的底面圆的直径为80 cm ，母线长为50 cm ， ∴圆锥的底面圆的周长为80π cm.∴圆锥形容器盖的侧面展开图的弧长为80π cm. ∴面积为 12 ×80π×50＝2 000π(cm 2).设制作容器盖的扇形的圆心角为n °. ∴n π×50180＝80π.解得n ＝288.答：这个容器盖所需铁皮的面积为2 000π cm 2，制作容器盖的扇形的圆心角为288°. 20．解：(1)如答题20图，点P 即为△ABC 外接圆的圆心．答题20图(2)∵点P 为△ABC 外接圆的圆心，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°， ∴AD ⊥BC ，∠BAP ＝∠CAP ＝25°，P A ＝PB . ∴∠BPD ＝2∠BAP ＝50°，∠BDP ＝90°. ∴∠PBD ＝90°－50°＝40°，即∠PBC ＝40°.21．解：这辆货运卡车能通过该隧道．理由如下：如答题21图，设点O 为AD 的中点，在AD 上取点G ，使得OG ＝2.3，过点G 作GF ⊥BC 于点F ，延长FG 交半圆于点E ，则GF ＝AB ＝3，半圆的半径OE ＝12 AD ＝12BC ＝6.答题21图∴EG ＝OE 2－OG 2 ＝62－2.32 ≈5.54.∴EF ＝EG ＋GF ≈5.54＋3＝8.54＞8. ∴这辆货运卡车能通过该隧道． 22.解：β－α＝90°.证明：如答题22图，连接BD .答题22图∵AD 为⊙O 的直径，∴∠DBA ＝90°. ∵∠DAB ＝α，∴∠D ＝90°－α. ∵B ，D ，A ，C 四点共圆， ∴∠ACB ＋∠D ＝180°. ∵∠ACB ＝β，∴β＋90°－α＝180°.∴β－α＝90°.23．解：(1)由图可得AB ＝22＋62 ＝210 ，AC ＝62＋22 ＝210 ， BC ＝42＋82 ＝45 .(2)由(1)得AB 2＋AC 2＝(210 )2＋(210 )2＝(45 )2＝BC 2. ∴∠BAC ＝90°. 如答题23图，连接AD ，则AD ⊥BC ，BD ＝DC ＝12BC ＝25 .答题23图∴AD ＝AB 2－BD 2 ＝（210）2－（25）2 ＝25 . ∴S 阴＝S △ABC －S 扇形AEF ＝12 AB ·AC －90π360 ·AD 2＝20－5π.24．(1)证明：①如答题24图，连接OC .∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB . ∵OC 为⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线．②∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴∠AOC ＝∠BOC . ∴EC ＝FC .∴∠EDC ＝∠FDC .答题24图(2)解：如答题24图，过点O 作ON ⊥DF 于点N ，延长DF 交AB 于点M . ∵ON ⊥DF ，OD ＝OF ，DF ＝6， ∴DN ＝NF ＝12 DF ＝3，∠DON ＝∠FON .在Rt △ODN 中，OD ＝12 DE ＝5，DN ＝3，∴ON ＝OD 2－DN 2 ＝4.∵∠AOC ＝∠BOC ，∠DON ＝∠FON ， ∴∠BOC ＋∠FON ＝12 ×180°＝90°.∴∠OCM ＝∠CON ＝∠MNO ＝90°. ∴四边形OCMN 是矩形．∴CM ＝ON ＝4，MN ＝OC ＝12DE ＝5.在Rt △CDM 中，CM ＝4，DM ＝DN ＋MN ＝8， ∴CD ＝DM 2＋CM 2 ＝82＋42 ＝45 . 25．(1)解：真． (2)解：∵∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2.①∵Rt △ABC 是奇异三角形，且b ＞a ，∴a 2＋c 2＝2b 2.② 由①②，得b ＝2 a ，c ＝3 a .∴a ∶b ∶c ＝1∶2 ∶3 . (3)证明：如答题25图，连接BD .答题25图∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ACB中，AC2＋CB2＝AB2，在Rt△ADB中，AD2＋BD2＝AB2.∵点D是ADB的中点，∴AD＝BD.∴AD＝BD.∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2.∴AC2＋CB2＝2AD2.又CB＝CE，AE＝AD，∴AC2＋CE2＝2AE2.∴△ACE是奇异三角形。

人教版九年级上册数学第二十四章圆单元测试卷(含答案解析)

人教版九年级上册数学第二十四章圆单元测试卷【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法中错误的是( )A.圆有无数条直径B.连接圆上任意两点之间的线段叫弦C.过圆心的线段是直径D.能够重合的圆叫做等圆 2.若点(,0)B a 在以点(1,0)A 为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为( )A.1a <-B.3a >C.13a -<<D.1a ≥-且0a ≠3.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（1ED =寸），锯道长尺（1AB =尺10=寸），问：这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC 的长为( )A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸4.如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，84AOC ∠=︒，则E ∠等于( )A.42°B.28°C.21°D.20°5.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上（不与A ，B 重合），DE AB ⊥于点D ，交BC 于点F ，下列条件中能判定CE 是半圆O 的切线的是( )A.E CFE∠=∠∠=∠ B.E ECFC.ECF EFC∠=︒∠=∠ D.60ECF6.如图，在O中，OC AB⊥，32∠=︒，则OBA∠的度数是( )ADCA.64°B.58°C.32°D.26°7.如图，PA，PB分别与O相切于点A，B，70∠的度数P∠=︒，C为O上一点，则ACB为( )A.110°B.120°C.125°D.130°8.如图，在O中，AB是直径，CD是弦，AB CD⊥，下列结论错误的是( )A.AC OD== B.BC BDC.AOD CBD∠=∠∠=∠ D.ABC ODB9.如图，ABC内接于O，将BC沿BC翻折，BC交AC于点D，连接BD.若∠的度数是( )∠=︒，则ABDBAC66A.66°B.44°C.46°D.48° 10.如图，抛物线2144y x =-与x 轴交于A ，B 两点，P 是以点(0,3)C 为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ ，则线段OQ 的最大值是( )A.3B.412C.72D.4二、填空题（每小题4分，共20分）11.如图所示，点,,A B C 在同一直线上,点M 在直线AC 外,经过图中的三个点作圆，可以作__________个.12.如图，已知AB ,CD 是O 的两条直径，且50AOC ∠=︒.过点A 作//AE CD 交O 于点E ，则AOE ∠的度数为___________.13.如图，在O 的内接四边形ABCD 中，142BCD ∠=︒，则BOD ∠=___________.。

部编数学九年级上册第二十四章圆(B卷-学霸加练卷,难度★★★★★)(解析版)含答案

班级姓名学号分数第二十四章圆（学霸加练卷）（时间：60分钟，满分：100分）一．选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。

）1．（2022•北碚区自主招生）如图，AB是Oe的切线，A为切点，OB交Oe的半径长为e于点C，若O1，AB=，则线段BC的长是( )A．1B C．2D【分析】连接OA，如图，先根据切线的性质得到90OB=，然后计Ð=°，则利用勾股定理可计算出2BAO算OB OC-即可．【解答】解：连接OA，如图，Q是OABe的切线，A为切点，\^，OA AB\Ð=°，90BAOOB===，在Rt OABD中，2\=-=-=．211BC OB OC故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．2．（2022•渝北区自主招生）如图，矩形ABCD中，4BC=，2CD=，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为( )A ．pB ．2p -C ．2p +D ．4p +【分析】连接OE 交BD 于F 点，如图，根据切线的性质得到90OEC Ð=°，再证明四边形ABEO 和四边形OECD 为矩形，则2OD OA BE ===，90DOE Ð=°，接着证明ODF EBF D @D 得到ODF EBF S S D D =，所以阴影部分的面积DOE S =扇形，从而根据扇形的公式计算即可．【解答】解：连接OE 交BD 于F 点，如图，Q 以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，OE BC \^，90OEC \Ð=°，Q 四边形ABCD 为矩形，90OAB ABE C ODC \Ð=Ð=Ð=Ð=°，\四边形ABEO 和四边形OECD 为矩形，2OD OA BE \===，90DOE Ð=°，在ODF D 和EBF D 中，OFD EFB DOF BEF OD EB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ODF EBF AAS \D @D ，ODF EBF S S D D \=，\阴影部分的面积2902360DOE S p p ´´===扇形．故选：A ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了矩形的性质和扇形面积的计算．3．（2022•南陵县自主招生）如图，AB 和BC 是O e 的两条弦（即ABC 是圆的一条折弦），BC AB >，M 是·ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC的中点，若AB =，BD =CD 的长为( )ABC．D．【分析】在CD 上截取CE AB =，连接CM ，EM ，BM ，AM ，证明ABM CEM D @D ，得出BM EM =，进而得出BD DE =即可解答．【解答】解：如图，在CD 上截取CE AB =，连接CM ，EM ，BM ，AM ，M Q 是·ABC 的中点，AM CM \=，又A C Ð=Ð，在ABM D 和CEM D 中，CE AB A C AM CM =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM CEM SAS \D @D ，BM EM \=，MD BC ^Q ，BD DE \=，Q AB =，BD =CD CE DE AB BD \=+=+==．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角，弦，弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性．4．（2022•南岸区自主招生）如图，在O e 中，80BOC Ð=°，则A Ð等于( )A ．50°B ．20°C ．30°D ．40°【分析】根据圆周角定理即可解决问题；【解答】解：12A BOC Ð=ÐQ ，80BOC Ð=°40A \Ð=°．故选：D ．【点评】此题目考查了圆周角定理，属于中考基础题．5．（2021•武昌区校级自主招生）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，6BC cm =，8AC cm =，D 是边BC 上一点，且:1:2BD CD =，点O 在AD 上，O e 与AB 、BC 相切于E 、F ，则O e 的面积为( 2)cm ．A ．169pB ．43pC ．pD ．2p【分析】连接OE ，OF ，OB ，根据切线的性质可得90OEB OFB Ð=Ð=°，在Rt ABC D 中，利用勾股定理求出AB 的长，再根据已知可得求出2BD cm =，然后根据ABD D 的面积AOB =D 的面积BOD +D 的面积，可求出43OE OF ==，再利用圆的面积公式，进行计算即可解答．【解答】解：连接OE ，OF ，OB ，O Q e 与AB 、BC 相切于E 、F ，90OEB OFB \Ð=Ð=°，90C Ð=°Q ，6BC cm =，8AC cm =，10()AB cm \===，:1:2BD CD =Q ，12()3BD BC cm \==，ABD D Q 的面积AOB =D 的面积BOD +D 的面积\111222BD AC AB OE BD OF ×=×+×，BD AC AB OE BD OF \×=×+×，28102OE OF \´=+，43OE OF \==，O \e 的面积24()3p =´216()9cm p =，故选：A ．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2021•巴南区自主招生）如图，PA 与O e 相切于点A ，PO 交O e 于点B ，点C 在O e 上，连接AC ，BC ．若45P Ð=°，则ACB Ð的度数为( )A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．37.5°【分析】连接OA ，根据切线的性质得90OAP Ð=°，则45AOP Ð=°，然后根据圆周角定理得到ACB Ð的度数．【解答】解：如图，连接OA ，Q 直线PA 与O e 相切于点A ，OA PA \^，90OAP \Ð=°，45P Ð=°Q ，45AOB \Ð=°，122.52ACB AOB Ð=Ð=°Q ．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．解决本题的关键是掌握圆周角定理．7．（2021•西湖区校级自主招生）如图，AC 、BD 是O e 的两条相交弦，60ACB CDB Ð=Ð=°，AC =O e 的直径是( )A ．2B ．4CD ．【分析】连接OB ，作OE BC ^于E ，由圆周角定理和已知得出60A ACB Ð=Ð=°，证出ACB D 为等边三角形，得BC AC ==，30OBE Ð=°，由垂径定理得12BE BC ==，由直角三角形的性质得1OE =，22OB OE ==，即可得出结论．【解答】解：连接OB ，作OE BC ^于E ，如图所示：60A CDB Ð=Ð=°Q ，60ACB Ð=°，60A ACB \Ð=Ð=°，ACB \D 为等边三角形，BC AC \==，30OBE Ð=°，OE BC ^Q ，12BE BC \==，1OE \==，22OB OE ==，O \e 的直径24OB ==；故选：B ．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．8．（2021•郎溪县校级自主招生）如图ABC D 为圆O 的内接三角形，D 为BC 中点，E 为OA 中点，40ABC Ð=°，80BCA Ð=°，则OED Ð的大小为( )A ．15°B ．18°C ．20°D ．22°【分析】如图，连接OC ，取OC 中点F ，连接EF 、DF ，根据圆周角定理得到280AOC ABC Ð=Ð=°，OE OF =，求得1(18080)502OEF OFE Ð=Ð=°-°=°，连接OB ，推出OFD D 为等边三角形，得到OD OF OE ==，于是得到结论．【解答】解：如图，连接OC ，取OC 中点F ，连接EF 、DF ，280AOC ABC \Ð=Ð=°，OE OF =，1(18080)502OEF OFE \Ð=Ð=°-°=°，连接OB ，D Q 为BC 中点，BD CD \=，OD BC ^，12DOC BOC \Ð=Ð，12BAC BOC Ð=ÐQ ，DOC BAC \Ð=Ð，180408060DOC BAC \Ð=Ð=°-°-°=°，F Q 为OC 中点，OF FD \=，OFD \D 为等边三角形，OD OF OE \==，\点O 是EFD D 外接圆的圆心，\1302FED FOD Ð=Ð=°，503020OED \Ð=°-°=°．故选：C ．【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．9．（2021•武进区校级自主招生）如图，正方形ABCD 的边1AB =，¶BD 和¶AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是( )A ．12p-B ．14p-C ．13p-D ．16p-【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即9012113602p p ´´-=-．【解答】解：如图：正方形的面积1234S S S S =+++；①两个扇形的面积3122S S S =++；②②-①，得：3490122113602S S S S p p ´´-=-=-=-正方形扇形．故选：A ．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．10．（2021•武进区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A ．2rc r p +B ．rc r p +C ．2rc r p +D ．22rc r p +【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a ，b ．则直角三角形的面积是2a b c r ++；又直角三角形内切圆的半径2a b c r +-=，则2a b r c +=+，所以直角三角形的面积是()r r c +；因为内切圆的面积是2r p ，则它们的比是rc r p +．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a ，b ，则有：2a b c S r ++=，又2a b c r +-=Q ，2a b r c \+=+，将2a b r c +=+代入2a b c S r ++=得：22()2r c S r r r c +==+．又Q 内切圆的面积是2r p ，\它们的比是rc r p +．故选：B ．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．11．（2020•连城县校级自主招生）如图，ABC D 中，AB 是O e 的直径，AC 交O e 于点E ，BC 交O e 于点D ，点D 是BC 中点，O e 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中①A ABE Ð=Ð；②BD DE =；③AB AC =；④F 是EC 中点，正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】连接OD 、AD ，首先由AB 是O e 的直径，得出AD BC ^，推出AB AC =，由等腰三角形的性质及等角对等弧可得¶¶BDDE =，从而可得BD DE =，根据三角形中位线的性质可得//OD AC ，从而得90DFE Ð=°，得//DF BE ，根据D 是BC 的中点，得出DF 是BEC D 的中位线，得到点F 是EC 的中点，最后由假设推出①不正确．【解答】解：连接OD ，AD 、DE ．AB Q 是O e 的直径，90ADB \Ð=°（直径所对的圆周角是直角），AD BC \^，Q 点D 是BC 中点，BAD CAD \Ð=Ð，AB AC =，故③正确；\¶¶BDDE =，BD DE \=，故②正确；DF Q 是O e 的切线，OD DF \^，AO BO =Q ，BD DC =，//OD AC \，DF AF \^，//DF BE \，\点F 是EC 的中点，故④正确；只有当ABE D 是等腰直角三角形时，45BAC ABE Ð=Ð=°，故①错误，正确的有②③④共3个，故选：C ．【点评】此题考查的知识点是切线的性质、等腰三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是运用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答．12．（2020•青田县校级自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为2，点P 在AD 上，以P 为圆心的扇形与边BC 相切于点T ，与两边交于点E ，F ，则弧EF 长度的最小值是( )A ．2pB ．3pC ．23pD ．43p【分析】利用正方形的性质可得弧EF 长度最小时的状态．【解答】解：当点P 与A 或D 点重合时，圆心角为90°，可知此时弧EF 最长，根据正方形和扇形的对称性可得，当点P 在AD 中点时，此时弧EF 的长度最短，1cos 2PD DPF PF Ð==Q ，60DPF APE \Ð=Ð=°，60EPF \Ð=°，\弧EF 的长度为60221803p p ´´=，故选：C ．【点评】此题考查的是切线的性质、正方形的性质及弧长的计算，确定点P 为AD 中点时，弧EF 的长度最短是解决此题的关键．13．（2020•金东区校级自主招生）如图，AB 是直径，点C ，D 在半圆AB 上，若40BAC Ð=°，则(ADC Ð= )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°【分析】连接BC ，根据圆周角定理得出90ACB Ð=°，求出9050B BAC Ð=°-Ð=°，根据圆内接四边形的性质得出180ADC B Ð+Ð=°，再求出答案即可．【解答】解：连接BC ，AB Q 是直径，90ACB \Ð=°，40BAC Ð=°Q ，9050B BAC \Ð=°-Ð=°，Q 四边形ABCD 是圆的内接四边形，180ADC B \Ð+Ð=°，18050130ADC Ð=°-°=°，故选：C ．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．14．（2020•和平区校级自主招生）如图，AB 为O e 的直径，C 为¶AB 的中点，D 为劣弧CB 上一个动点（点D 不与B ，C 重合），过D 作O e 的切线交AB 延长线于点P ，连接CD 并延长交AB 延长线于点Q ，给出下列结论：①若//CB DP ，则22.5DAB Ð=°；②若PB BD =，则30DPA Ð=°；③DP 可能成为BDQ Ð的平分线；④若O e 的半径为1，则CD CQ AB ×=；⑤045PDQ °<Ð°…．其中正确结论的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】C 为¶AB 的中点，可得AC BC =，由AB 为O e 的直径，可得ABC D 是等腰直角三角形，所以45CBA CAB Ð=Ð=°，①若//CB DP ，得45DPO Ð=°，再结合切线性质，得ODP D 是等腰直角三角形，所以45DOP Ð=°，即可求出圆周角度数；②若PB BD =，可证ODB D 是等边三角形，即可求出30DPA Ð=°；③由①即可得DP 可能成为BDQ Ð的平分线；④证明ACD CQA D D ∽，得2CD CQ AC AB ×==；⑤PDQ Ð不可能等于QDB Ð，而45QDB Ð=°，所以⑤错误．【解答】解：C 为¶AB 的中点，AC BC \=，AB Q 为O e 的直径，ABC \D 是等腰直角三角形，45CBA CAB \Ð=Ð=°，①//CB DP Q ，45DPO CBA \Ð=Ð=°，DP Q 是O e 切线，90ODP \Ð=°，ODP \D 是等腰直角三角形，45DOP \Ð=°，122.52DAB DOP \Ð=Ð=°，故①正确；②若PB BD =，PDB DPB \Ð=Ð，90PDB ODB DPB DOP Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，ODB DOP \Ð=Ð，DB OB \=，OD OB =Q ，ODB \D 是等边三角形，60DOP \Ð=°，30DPA \Ð=°，故②正确；③由①即可得DP 可能成为BDQ Ð的平分线，故③正确；④C Q 为¶AB 的中点，CDA CAB \Ð=Ð，ACD ACQ Ð=ÐQ ，ACD CQA \D D∽，\AC CQCD CA=，222 CD CQ AC\×===，2AB=Q，CD CQ AB\×=，故④正确；⑤45QDB CABÐ=Ð=°Q，045PDQ\°<Ð<°，所以⑤错误．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理及推论，三角形相似的性质及判定，等边三角形的性质及判定，解题关键是抓住几个等腰直角三角形．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）15．（2022•徐汇区校级自主招生）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为　．【分析】如图，OH为BC边的高，利用两圆相切的性质得到8AB AC BC===，则可判断ABCD为等边三角形，则4CH=，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC=O e 的半径1OE OC CE =+=+，然后用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积．【解答】解：如图，OH 为BC 边的高，Q 所有小圆相切，8AB AC BC \===，ABC \D 为等边三角形，30OCB \Ð=°OH BC ^Q ，4CH \=，OH \==2OC OH \==，C Q e 与O e 相切，O \e 的半径1OE OC CE =+=+，\阴影部分的面积221)151p p =´-´´=．．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．16．（2022•宁波自主招生）如图，在O e 中、三条劣弧AB 、BC 、CD 的长都相等，弦AC 与BD 相交于点E ，弦BA 与CD 的延长线相交于点F ，且40F Ð=°，则AED Ð的度数为 70°　．【分析】连接BC，根据弧相等，得到BAC BDC BCA DBCÐ=Ð=，根据外Ð=Ð=Ð=Ð，设出ACD ABD x角的性质得出40Ð=+°，进而利用三角形的内角和求出x即可解答．BAC x【解答】解：连接BC，Q弧AB、BC、CD的长相等，\Ð=Ð=Ð=Ð，BAC BDC BCA DBC设ACD ABD xÐ=Ð=，Q，Ð=°F40\Ð=+°，40BAC x\Ð=Ð=Ð=+°，BDC BCA DBC x40在ABC+°++++°+°=°，D中，404040180x x x x解得15x=°，\Ð=Ð=°，DBC BCA55\Ð=Ð=°．70AED BEC故答案为：70°．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．（2022•南陵县自主招生）如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F、N在半圆上．若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16，则AB的长为　8　．【分析】连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD c=，根据正方形的性质CN CD a ==，DE EF b ==，设OA ON OF OB r ====，根据勾股定理得出222()a a c r ++=①，222()b b c r +-=②，①-②得出2222()()0a a c b b c ++---=，把等式的左边分解因式后得出2()()0a b a b c +-+=，求出b a c =+，再代入①，即可求出答案．【解答】解：连接ON ，OF ，设正方形CDMN 的边长为a ，正方形DEFG 边长为b ，OD c =，则CN CD a ==，DE EF b ==，Q 四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，90NCD \Ð=°，90FED Ð=°，设OA ON OF OB r ====，由勾股定理得：222NC CO ON +=，222OE EF OF +=，222()a a c r \++=①，222()b b c r +-=②，①-②，得2222()()0a a c b b c ++---=，2222()[()())]0a b a c b c -++--=，()()()()0a b a b a c b c a c b c +-+++-+-+=，()()()(2)0a b a b a b a b c +-++-+=，()(2)0a b a b a b c +-+-+=，2()()0a b a b c +-+=，0a b +¹Q ，0a b c \-+=，即b a c =+，把b a c =+代入①，得222a b r +=，Q 正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是16，2216a b \+=，216r \=，解得4r =（负值舍去），28AB r \==．故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出b a c =+是解此题的关键．18．（2022•海曙区自主招生）如图，点A 、B 、C 均在坐标轴上，1AO BO CO ===，过A 、O 、C 作D e ，E 是D e 上任意一点，连结CE ，BE ，则22CE BE +的最大值是 6　．【分析】连接AC ，OD ，DE ，设(,)E x y ，利用90°的圆周角所对的弦是直径可得，AC 是D e 的直径，再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出22222()2CE BE x y +=++，222OE x y =+，可得当OE 为D e 的直径时，OE 最大，22CE BE +的值最大，然后进行计算即可解答．【解答】解：连接AC ，OD ，DE ，设(,)E x y ，90AOC Ð=°Q ，AC \是D e 的直径，1AO BO CO ===Q ，(0,1)A \，(1,0)C ，(1,0)B -，AC \=，222(1)CE x y =-+，222(1)BE x y =++，22222222(1)(1)2()2CE BE x y x y x y \+=-++++=++，222OE x y =+Q ，\当OE 为D e 的直径时，OE 最大，22CE BE +的值最大，2222OE AC \===，22CE BE \+的最大值2226=´+=，故答案为：6．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19．（2022•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为4，O 为对角线的交点，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，以C 为圆心，4为半径作圆弧BD ，再分别以E ，F 为圆心，2为半径作圆弧BO ，OD ，则图中阴影部分的面积为 48p -　．（结果保留)p【分析】连接BD ，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD 减去直角三角形CBD 的面积之差．【解答】解：连接BD ，EF ，如图，Q 正方形ABCD 的边长为4，O 为对角线的交点，由题意可得：EF ，BD 经过点O ，且EF AD ^，EF CB ^．Q 点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，2FD FO EO EB \====，\¶¶OBOD =，OB OD =．\弓形OB =弓形OD ．\阴影部分的面积等于弓形BD 的面积．2904144483602CBDCBD S S S p p D ´\=-=-´´=-阴影扇形．故答案为：48p -．【点评】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．20．（2021•太仓市自主招生）如图，有一块矩形木板ABCD ，13AB dm =，8BC dm =，工人师傅在该木板上锯下一块宽为xdm 的矩形木板MBCN ，并将其拼接在剩下的矩形木板AMND 的正下方，其中M ¢、B ¢、C ¢、N ¢分别与M 、B 、C 、N 对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则x 的取值范围是 23x ……　，且最大圆的面积是 2dm ．【分析】如图，设O e 与AB 相切于点H ，交CD 与E ，连接OH ，延长HO 交CD 于F ，设O e 的半径为r ．在Rt OEF D 中，当点E 与N ¢重合时，O e 的面积最大，此时4EF =，利用勾股定理求出半径，再构建不等式求出x 的取值范围即可；【解答】解：如图，设O e 与AB 相切于点H ，交CD 与E ，连接OH ，延长HO 交CD 于F ，设O e 的半径为r ．在Rt OEF D 中，当点E 与N ¢重合时，O e 的面积最大，此时4EF =，，则有：222(8)4r r =-+，5r \=．O \e 的最大面积为25p ，由题意：351310x x +ìí-î……，23x \……，故答案为23x ……，25p ．【点评】本题考查垂径定理、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三．解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）21．（2021•太仓市自主招生）如图，AB 为O e 直径，点D 为AB 下方O e 上一点，点C 为弧ABD 中点，连接CD ，CA ．（1）若ABD a Ð=，求BDC Ð（用a 表示）；（2）过点C 作CE AB ^于H ，交AD 于E ，CAD b Ð=，求ACE Ð（用b 表示）；（3）在（2）的条件下，若5OH =，24AD =，求线段DE 的长．【分析】（1）连接AD ，设BDC g Ð=，CAD b Ð=，则CAB BDC g Ð=Ð=，证明DAB b g Ð=-，90b g =°-，2ABD g Ð=，得出2ABD BDC Ð=Ð，即可得出结果；（2）连接BC ，由直角三角形内角和证明ACE ABC Ð=Ð，由点C 为弧ABD 中点，得出ADC CAD ABC b Ð=Ð=Ð=，即可得出结果；（3）连接OC ，证明COB ABD Ð=Ð，得出OCH ABD D D ∽，则12OH OC BD AB ==，求出210BD OH ==，由勾股定理得出26AB ==，则13AO =，18AH AO OH =+=，证明AHE ADB D D ∽，得出AH AE AD AB =，求出392AE =，即可得出结果．【解答】解：（1）连接AD ，如图1所示：设BDC g Ð=，CAD b Ð=，则CAB BDC g Ð=Ð=，Q 点C 为弧ABD 中点，\¶¶AC CD=，ADC CAD b \Ð=Ð=，DAB b g \Ð=-，AB Q 为O e 直径，90ADB \Ð=°，90g b \+=°，90b g \=°-，9090()90902ABD DAB b g g g g \Ð=°-Ð=°--=°-°++=，2ABD BDC \Ð=Ð，1122BDC ABD a \Ð=Ð=；（2）连接BC ，如图2所示：AB Q 为O e 直径，90ACB \Ð=°，即90BAC ABC Ð+Ð=°，CE AB ^Q ，90ACE BAC \Ð+Ð=°，ACE ABC \Ð=Ð，Q 点C 为弧ABD 中点，\¶¶AC CD=，ADC CAD ABC b \Ð=Ð=Ð=，ACE b \Ð=；（3）连接OC ，如图3所示：2COB CAB \Ð=Ð，2ABD BDC Ð=ÐQ ，BDC CAB Ð=Ð，COB ABD \Ð=Ð，90OHC ADB Ð=Ð=°Q ，OCH ABD \D D ∽，\12OH OC BD AB ==，210BD OH \==，26AB \===，13AO \=，13518AH AO OH \=+=+=，EAH BAD Ð=ÐQ ，90AHE ADB Ð=Ð=°，AHE ADB \D D ∽，\AH AE AD AB =，即182426AE =，392AE \=，3992422DE AD AE \=-=-=．【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键．22．（2021•成都自主招生）如图，O e 是Rt ABC D 的外接圆，AB 为直径，30ABC Ð=°，CD OC ^于C ，ED AB ^于F ，（1）判断DCE D 的形状；（2）设O e 的半径为1，且OF =DCE OCB D @D ．【分析】（1）DCE D 为等腰三角形，理由为：根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角ABC Ð的度数，求出圆心角AOC Ð的度数为60°，再由OA OC =，得到三角形OAC 为等边三角形，可得出三内角为60°，再由OC 与CD 垂直，根据垂直的定义得到OCD Ð为直角，利用平角的定义求出DCE Ð为30°，又EF 垂直于AB ，得到AFE Ð为直角，由A Ð为60°，得出E Ð为30°，可得出DCE E Ð=Ð，根据等角对等边可得出DC DE =，即三角形DCE 为等腰三角形；（2）由半径为1及OF 的长，根据AO OF +求出AF 的长，在直角三角形AEF 中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由AF 的长得出AE 的长，再由AE AC -求出CE 的长，在直角三角形ABC 中，由AB 为直径，B Ð为30°，根据锐角三角函数定义求出BC 的长，发现BC CE =，再由三角形BOC 与三角形DCE 都为底角为30°的等腰三角形，得到两对底角相等，利用ASA 可得出两三角形全等．【解答】解：（1）DCE D 为等腰三角形，理由为：30ABC Ð=°Q ，圆周角ABC Ð与圆心角AOC Ð都对¶AC ，260AOC ABC \Ð=Ð=°，又OA OC =Q ，OAC \D 为等边三角形，60OAC OCA \Ð=Ð=°，OC CD ^Q ，90OCD \Ð=°，180906030DCE \Ð=°-°-°=°，又EF AF ^Q ，90AFE \Ð=°，180906030E \Ð=°-°-°=°，DCE E \Ð=Ð，DC DE \=，则DCE D 为等腰三角形；（2）1OA OB ==Q，OF =1AF AO OF \=+=+=，1OA AC OC ===，在Rt AEF D 中，30E Ð=°，21AE AF \==，11CE AE AC \=-=+-=又AB Q 为圆O 的直径，90ACB \Ð=°，在Rt ABC D 中，30B Ð=°，cos30BC AB\°=，即cos30BC AB =°=CB CE \==在OBC D 和DCE D 中，Q 3030B DCE BC CE OCB E Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ð=°î，()OBC DCE ASA \D @D ．【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．23．（2021•武进区校级自主招生）如图，O e 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是ABD D 的内心．求证：（1）OI 是IBD D 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．【分析】（1）根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得C 是IBD D 的外心，然后证得OI CI ^，即可证得OI 是IBD D 的外接圆的切线；（2）根据（1）可以得到AI CD =，2AB BF =，即可证得．【解答】解：（1）CID IAD IDA Ð=Ð+ÐQ ，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+ÐCID CDI \Ð=Ð，CI CD \=．同理，CI CB =．故点C 是IBD D 的外心．连接OA ，OC ，I Q 是AC 的中点，且OA OC =，OI AC \^，即OI CI ^．OI \是IBD D 外接圆的切线．（2）由（1）可得：AC Q 的中点I 是ABD D 的内心，BAC CAD\Ð=ÐBDC DAC BAC \Ð=Ð=Ð，又ACD DCF Ð=ÐQ ，ADC DFC \D D ∽，\AC AD CD DF=，2AC CI=Q 2AC CD\=2AD DF\=同理可得：2AB BF=222AB AD BF DF BD \+=+=．【点评】本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得C 是IBD D 的外心是关键．24．（2017•镇海区校级自主招生）如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB BD =，BM AC ^于M ，求证：AM DC CM =+．【分析】首先在MA 上截取ME MC =，连接BE ，由BM AC ^，根据垂直平分线的性质，即可得到BE BC =，得到BEC BCE Ð=Ð；再由AB BD =，得到ADB BAD Ð=Ð，而ADB BCE Ð=Ð，则BEC BAD Ð=Ð，根据圆内接四边形的性质得180BCD BAD Ð+Ð=°，易得BEA BCD Ð=Ð，从而可证出ABE DBC D @D ，得到AE CD =，即有AM DC CM =+．【解答】证明：在MA 上截取ME MC =，连接BE ，BM AC ^Q ，BE BC \=，BEC BCE \Ð=Ð，AB BD =Q ，\¶¶AB BD =，ADB BAD \Ð=Ð，而ADB BCE Ð=Ð，BCE BAD \Ð=Ð，又180BCD BAD Ð+Ð=°Q ，180BEA BCE Ð+Ð=°，BEA BCD \Ð=Ð，BAE BDC Ð=ÐQ ，ABE DBC \D @D ，AE CD \=，AM AE EM DC CM \=+=+．【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．。