高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章 导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用

解 由Error! 得Error!或Error!， 所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为 S，
根据图形可得 S＝ʃ－23(－x＋2)dx－ʃ－23(x2－4)dx
1
1
＝(2x－2x2)|－23－(3x3－4x)|－23
25 25 125 ＝ 2 －(－ 3 )＝ 6 .
跟踪训练 2 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－3x 所围成图形的面积． 解 画出图形，如图所示．
解方程组Error!
Error!及Error!
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
1
1
所以 S＝ʃ10 x－(－3x)]dx＋ʃ31(2－x)－(－3x)]dx
1
1
＝ʃ10( x＋3x)dx＋ʃ31(2－x＋3x)dx
1.7.1 定积分在几何中的应用
明目标、知重点 会应用Leabharlann Baidu积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
1．当 x∈a，b]时，若 f(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲 边梯形的面积 S＝ʃbaf(x)dx. 2．当 x∈a，b]时，若 f(x)<0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)围成的曲边 梯形的面积 S＝－ʃbaf(x)dx. 3．当 x∈a，b]时，若 f(x)>g(x)>0，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围 成的平面图形的面积 S＝ʃbaf(x)－g(x)]dx.(如图)
1 ＝6(1－k)3.
1
1
又知 S＝6，所以(1－k)3＝2，
1
34
3
于是 k＝1－ 2＝1－ 2 .
1．在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( )
S＝ʃabf(x)－g(x)]dx S＝ʃ80(2 2x－2x＋8)dx ① ②
S＝ʃ41f(x)dx－ʃ74f(x)dx S＝ʃ a0[gx－fx]dx＋ʃ ba[fx－gx]dx ③ ④
探究点一 求不分割型图形的面积 思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算 定积分即可． 例 1 计算由曲线 y2＝x，y＝x2 所围图形的面积 S. 解 由Error!得交点的横坐标为 x＝0 及 x＝1.
因此，所求图形的面积为 S＝S 曲边梯形 OABC—S 曲边梯形 OABD ＝ʃ10 xdx－ʃ10x2dx
23 1 ＝3x2|10－3x3|10
211 ＝3－3＝3. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形； (2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果． 跟踪训练 1 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的面积．
探究点二 分割型图形面积的求解
思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲
线不同时，这种图形的面积如何求呢？
答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再
求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下． 例 2 计算由直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x以及 x 轴所围图形的面积 S. 解 方法一 作出直线 y＝x－4，曲线 y＝ 2x的草图．
所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积
( ) x2 1
1
－ x3
S＝ʃ10(x－x2)dx＝ 2 3 |10＝6.
又Error! 由此可得，抛物线 y＝x－x2 与 y＝kx 两交点的横坐标为 x3＝0，x4＝1－k，
S 所以，2＝ʃ1－0 k(x－x2－kx)dx
( ) 1－k 1
x2－ x3
＝2
3 |1－0 k
解方程组Error!
得直线 y＝x－4 与曲线 y＝ 2x交点的坐标为(8,4)．
直线 y＝x－4 与 x 轴的交点为(4,0)．
因此，所求图形的面积为
S＝S1＋S2
＝ʃ40 2xdx＋[ʃ 84 2xdx－ʃ 84x－4dx]
22
22
1
3
3
＝ 3 x 2 |40＋ 3 x 2 |84－2(x－4)2|84
解 如图，设切点 A(x0，y0)，
其中 x0≠0， 由 y′＝2x，过点 A 的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
即 y＝2x0x－x20，
x0
x0
令 y＝0，得 x＝ 2 ，即 C( 2 ，0)，
设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图形的面积为 S，
则 S＝S 曲边△AOB－S△ABC，
的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出
所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
跟踪训练 3 如图所示，直线 y＝kx 分抛物线 y＝x－x2 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，
求 k 的值．
解 抛物线 y＝x－x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1＝0，x2＝1，
23 1
11
＝(3x2＋6x2)|10＋(2x－2x2＋6x2)|31
21
1
＝3＋6＋(2x－3x2)|31
51
1
＝6＋6－3×9－2＋3
13
＝6.
探究点三 定积分的综合应用
1 例 3 在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为12，试
求：
切点 A 的坐标以及在切点 A 处的切线方程．
40 ＝3.
方法二 把 y 看成积分变量，则
1
1
1
S＝ʃ40(y＋4－2y2)dy＝(2y2＋4y－6y3)|40
40 ＝3. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出
交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选 x 运算较繁锁，则积分变量可选 y，同时要
更换积分上、下限． 1
1
1
∵S 曲边△AOB＝ʃx00x2dx＝3x3|x00＝3x30，
1
S△ABC＝2|BC|·|AB|
1 x0
1
＝2(x0－ 2 )·x20＝4x30.
11 1 1
∴S＝3x30－4x30＝12x30＝12.
∴x0＝1，
从而切点为 A(1,1)，
切线方程为 2x－y－1＝0.
反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点