对一般形状的载流导线的磁场的分析

如果从������(������, ������) = 0中分离出������ = ������(������)，则代换式中������，ⅆ������，转化为对������的定积分。同理， 也可以代换������，ⅆ������，对������进行定积分亦可，具体视情况而定。 ∫ⅆ������ =
通用积分式的表达如下 ∫ⅆ������ =
������
������0 ������ (������ − ������0 ) ⅆ������ − (������ − ������0 ) ⅆ������ ∫ 3 ������ 4������ ������ [(������ 2 2 − ������0 ) + (������ − ������0 ) ]2
因此 (ⅆ������)2 = (ⅆ������)2 + (ⅆ������)2 = (������′ + ������2 ) ⋅ (ⅆ������)2 于是 ������������������⟨������, ⅆ������⟩=
0 ⅆ������ = ( 4������
2
������⋅������������ ������������
������ 0| 0
解得结果为[(������ − ������0 ) ⅆ������ − (������ − ������0 ) ⅆ������]������，结果带入上式中并积分，有 ∫ⅆ������ =
������
������0 ������ (������ − ������0 ) ⅆ������ − (������ − ������0 ) ⅆ������ ∫ 3 ������ 4������ ������ [(������ − ������0 )2 + (������ − ������0 )2 ]2
������
������
注意，以上情况仅仅适用于������ = ������(������)不存在时的计算。需要注意的是，不存在与无法显 式表达并不是等价表述。 不存在是指两者并不存在依赖关系， 即其中一个量的变化并不能引 起另一个量对应的变化。 所以隐函数关系必须要代入到通用积分式中， 否则会得出错误的结 论。
图 1-3 在该平面内取ⅈ， ������为单位矢量， 分别与������轴和������轴正向同向。 曲线上任意一点(������, ������)与待求 位置(������0 , ������0 )的连线确定一条矢径，由(������0 , ������0 )指向(������, ������)。有 ⅆ������ = ⅆ������ⅈ + ⅆ������������ ������ = (������ − ������0 )ⅈ + (������ − ������0 )������ 同样地运用毕奥——萨伐尔定律 ⅆ������ = ������0 ������ 4������ ������×������������ [(������−������0 )2 +(������−������0 )2 ]2
= 0时，上式又可以写成 ������ − ������0
∫ⅆ������ =
������
������ − ������0
������2 3 ⅆ������ − ∫ ������1
− ������0 )2 + (������ − ������0 )2 ]2
[(������ − ������0 )2 + (������ − ������0 )2 ]2
1
������ ������
������(������)
ⅆ������) ⅇ
������2 1 ������(������)
������ = ∫������ 2 ⅆ������ =
1
������
������0 ������ 4������
∫
������1
⋅ ⅆ������ ⋅ ⅇ
以上就是一般平面曲线形状的载流导线在同平面位置内的磁场的计算公式，其中������1, ������2 为曲线段的两端点所对应的的极角。需要特别指出的是，这里的������(������)可以是有限分段的，对 此可以进行分段积分运算，而且极角的转向要跟随电流的走向，以此选择积分上下限，最后 的矢量叠加后的结果就是最终结果。
其中 L 为积分曲线，由此可以确定d������，d������的积分上下限。 特别地，如果������,������不存在制约关系，即������ = ������(������)不存在或
������2 ������0 ������ {∫ 4������ ������1 [(������ ������������ ������������
3 ������0 )2 ]2 3 ⅆ������ − ������0 )2 ]2
= (������ − ������0 ) ∫
ⅆ������ [(������ − ������0 )2 + (������ − ������0 )2 ]2 ⅆ(������ − ������0 )
3
ⅆ������ [(������ − ������0 )2 + (������ −
对一般形状的载流导线的磁场的分析
现阶段在大多数高校的大学物理教材中， 对于毕奥——萨伐尔定律的介绍和应用仅仅停 留于特殊的几种几何形状的导线上。 这种设置虽然可以适用于当下应试教育的模式， 但就长 远而言，却十分不利于后续学习的安培环路定理的理解和正确应用。 毕奥——萨伐尔定律作为电磁学基本定律之一， 与安培环路定理相辅相成， 两者相互印 证，与实践和逻辑推理符合，体现了其正确性。但实际教学中往往忽视了其本质性的要点， 从而产生一些误解。
再利用������ − ������0 = (������ − ������0 ) tan ������ 反向代换 ∫ 同理，求得 ∫ 代入原式，求得
2 2 (������ − ������0 ) ������0 ������ 1 1 ������ − ������0 ∫ⅆ������ = { | − | } ������ 4������ ������ − ������0 √(������ − ������0 )2 + (������ − ������0 )2 ������ − ������0 √(������ − ������0 )2 + (������ − ������0 )2 ������ ������ ������ 1 1
由以上结果可以看出， 应用极坐标法的关键在于能够找出导线的形状曲线对应的极坐标 表达式，但也是难点。往往有许多曲线并不能表达成������(������)这种显式函数，而且求解的位置仅 仅局限于原点位置，如果需要求解的位置繁多时，不易进行多次积分运算。由此，必须要寻 找一种更为普遍的方法， 解决尽可能多的位置的磁场的计算。 下面我们将利用直角坐标下的 曲线方程来求解任意位置的磁场计算问题。 首先，我们建立直角坐标系，如图 1-3 所示，设曲线方程������(������, ������该点的磁场。
3 ������0 )2 ]2
=∫
[(������ − ������0 )2 + (������ − ������0 )2 ]2
3
=∫
(������ − ������0 ) sec2 ������ ⅆ������ [(������
3 − ������0 )2 sec2 ������]2
=∫
ⅆ������ sin ������ = 2 (������ − ������0 ) sec ������ (������ − ������0 )2
3
上式中������ × ⅆ������按照矢量外积的坐标计算方法， 可以得到������方向上的矢量， ������是垂直纸面向外的 单位矢量，于是������的方向自然符合右手定则。
������ × ⅆ������的计算如下
ⅈ |������ − ������0 ⅆ������
������ ������ − ������0 ⅆ������
√(������������)2 −(������������)2 ������������
图 1-2 ������ = ������ ������������������ ������ ������ = ������ ������������������ ������
对于ⅆ������，需要用坐标系转换法求解。
一． 平面曲线形状的载流导线的磁场
在课堂中曾经学习直导线和圆形电流轴线上的磁场的计算方法， 但对于更一般的平面曲 线不曾考虑或提及。 建立坐标系，如图 1-1 所示，这是 一个极坐标与直角坐标的结合。图中 ������(������)确定了一条平面曲线， ������为极角。 设 导线的形状如此， 通以电流 I， 求解原点 处的磁感应强度 B。 首先对曲线上一点处进行分析，如 图 1-2 所示。图中ⅆ������趋近于 0 时，极径 ������的变化量ⅆ������与弧长ⅆ������ 之间满足余弦关 系。 从原点引矢径 r 指向曲线上一点， 图 1-1 |������| 则 =ρ(θ)，ⅆ������为一个与电流同向的有向弧 长， 根据毕奥——萨伐尔定律， 列写其对应 的ⅆ������。 ������0 ������ ������ × ⅆ������ ⅆ������ = 4������ |������|3 其中 ������ × ⅆ������ = ������(������) ⋅ ⅆ������ ⋅ ������������������⟨������, ⅆ������⟩ⅇ ， ⅇ 的方 向由矢径和电流按右手螺旋法则确定， 垂直 于纸面向内或向外。 ������������������⟨������, ⅆ������⟩ =
3 ⅆ������} ������
先解决不定积分求解问题 ∫ ������ − ������0 [(������ − ������0 )2 + (������ ∫ 令������ − ������0 = (������ − ������0 ) tan ������ ，则 ⅆ(������ − ������0 ) = (������ − ������0 ) sec 2 ������ ⅆ������ (������ − ������0 )2 + (������ − ������0 )2 = (������ − ������0 )2 sec 2 ������ ∫ ⅆ(������ − ������0 ) [(������ − ������0 )2 + (������ −