磁场对载流导线的作用磁介质
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• 放在均匀磁场中的线圈受到的力矩为
vvv M Pm B
大小：M PmB sin NISBsin
I B
Pmnˆ
o'
• 这个结论具有普遍意义，也适用于带电粒子沿任 意闭合回路的运动或自旋磁矩在磁场中受的力矩 。
例7：一半径为 R 的薄圆盘,放在磁感应强度为 B 的均匀磁场中,
B 的方向与盘面平行,如图所示,圆盘表面的电荷面密度为σ ,若圆
v Pm ISnˆ S 是线圈(电流)所包围的面积.
nˆ 是线圈的正法线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向
大小: Pm=IS 方向: 线圈正法线方向(与电 流成右手螺旋关系)；
• 如果为N匝平面线圈： Pm=NIS
I
Pm
nˆ
2 载流线圈在磁场中受到的力矩
Mo
电磁系列电表指针的转动，是由 于在永久磁铁的两极之间的空气 隙内放置的可绕固定轴转动的线 圈，通电后在磁场中受到力矩作 用的结果。
vvvvv vv F f1 f2 f3 f4 f1 f3
f3
I2b
0 I1 4 a
vv Q f1 f3
I1
2
F
I2b
0 I1 a
(
1 2
1) 4
I2b
0 I1 4 a
I2
1
b3
线圈向左做平动
a
B
a
o
4
x
二 磁场对载流线圈的作用
1 载流线圈的磁矩 • 定义：面积为S，通有电流I的 单匝载流线圈，其磁矩为
解： 1
3
f1
I2bB1
I2b
0 I1 2 a
方向向左
f3
I2bB3
I2b
0 I1 4 a
方向向右
I1
2
I2
1
b3
2
f2
2a a
I
2dlB1
sin
2
4
f4
2a a
0 I1 2 x
I2dx
aB
a
o
4
x
f2
f4
0 I1 I 2
2
ln 2
f2、f4方向相反。
整个线圈所受的合力：
f1
I2b
0 I1 2 a
2. 载流线圈 在磁场中转动时，磁力矩所做的功
uuv v v M PmB
r
•
B
M Pm B sin ISB sin
r M
•
若线圈中电流 I 不变
dA Md BIS sind
I d(BS cos) I dm
d pm pm
A
dA
m1 m2
I
dm
m
I
一般情况下，电流I 为变量，磁力的功：
例题5 无限长两平行载流直导线间的相互作用力。
解：
v B2
v
Idl1
v
df1
df1 B2 I1dl1
a
df2 B1 I2dl2
v
v df2
Idl2
v B1
B2
0 I2 2 a
B1
0 I1 2 a
导线1、2单位长度所受磁力：
I 1
I
2
df1 0 I1I2 dl1 2 a
df2 0 I1 I2 dl2 2 a
dM
R
Br 3dr
BR 4
方向为
0
4
三 磁力的功
1. 载流导线 在磁场中运动时，磁力所做的功
若电流 I 保持不变
A Fx BIlx
. .. . .
.
I
. .
..
v
.B
I.
....Fv .... l
m I
x
当载流导线在磁场中运动时，若电流保持不变， 磁力所做的功等于电流强度与通过回路环绕面积 内磁通量增量的乘积。
F
B1
0 I1 2a
,
F I2LB1 sin
2
I1
I2 L
a v
B1
I2L
0 I1 2a
sin
2
0 I1I 2L 2a
同理 I1 也受到 I2 的引力。
例4：在无限长载流直导线 I1 旁，垂直放置另一长为 L 的载流直导线 I2 , I2 导线左端距 I1 为 a，求导线 I2 所受 到的安培力。
NI R2nˆ
v2
Pm 的方向与 B 成60o夹角
② 此时力矩大小
M Pm B sin 60 NIB vv
3 R2
4
方向由 Pm B 确定
线圈将逆时针旋转。[使n与B趋向一致]
r B
nr
300角 r B
r n
③ 线圈旋转时，磁力矩作功为：
A NI m NI (m2 m1)
——电流单位“安培”的定义
4. 电流单位“安培”的定义
df2 0 I1I2 dl2 2 a
真空中的两条无限长平行直导线，各通有相等 的稳恒电流，当导线相距 1 米，每一导线每米 长度上受力为2×10-7牛顿时，各导线中的电流 强度为1 安培。
例题6 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受
力和运动趋势。
× θ×
×
o
×
×
I
×
b
x
由此推知： 载流线圈在均匀磁场中
v F合 0
例3：在无限长载流直导线 I1 旁，平行放置另一长为 L的载流直导线 I2 ,两根导线相距为 a，求导线 I2所受 到的安培力。
解：I2 各点处的 B 相同，
I2 受到的安培力方向如图所示，
v
大小：F I 2LB 1 sin
2 一段电流在磁场中受力
v
计算方法：先分割成无限多电流 元，然后将各电流元受到的安培
B
v Idl
力进行矢量积分。
vv
vv
F dF Idl B
3 均匀磁场中曲线电流受力
vb
L
v B
v F
∵
bv b vv
bv v a
a
dF bv dl
Idl B I ( dl
av v v av l ， F Il B,
解：建立坐标系,坐标原点选在 I1上，分割电流元， 长
度为 dx , 电流元受安培力大小为：
v
dF I 2dxB 1 sin
dF
x
B1
0 I1 2x
,
2
I o1
I2
dx
x
F
dF
aL
a I2B1 sin 2 dx
a
aL a
I2
0 I1 2
dx x
0 I1I 2 2
ln
a
a
L
vL B1
方向向上
)B
F
IlBsin
I
a
θ= 90˚时，F = BIl
均匀磁场中曲线电流受的安培力，等效于从起点 到终点的直线电流所受的安培力。
F dfy IdlBsinθ (dl Rd )
0 IRB sin d
2RIB 方向沿y 轴正向
y
v
r
df× d×f y
×v
×
×
B
××
df x
×
Idl
××
×R×
×
×
×a
A
m1 m 2
I
dm
此时要注意统一变量后积分。
例题9 一半径为R 的半r 圆形闭合线圈有N 匝，通有电 流 I ，均匀外磁场 B 的方向与线圈平面成 300 角。 求：①线圈的磁矩；②此时线圈所受力矩。 ③线圈 从该位置转至平衡位置，磁力矩作功是多少？
解：① 线圈的磁矩：
v Pvm NISnˆ
盘以角速度ω 绕其轴线转动,试求作用在圆盘上的磁力矩。
解：取半径为 r, 宽为dr的圆环。
圆环带电量：dq 2rdr
转动形成电流
dI dq dq T 2
rdr
dr
R
v
B
磁矩： dPm r 2dI r3dr 方向沿轴线向上
所受磁力矩：
dM
dPm
B
sin
2
dPmB Br3dr
M
vvv M Pm B
大小：M PmB sin NISBsin
I B
Pmnˆ
o'
• 这个结论具有普遍意义，也适用于带电粒子沿任 意闭合回路的运动或自旋磁矩在磁场中受的力矩 。
例7：一半径为 R 的薄圆盘,放在磁感应强度为 B 的均匀磁场中,
B 的方向与盘面平行,如图所示,圆盘表面的电荷面密度为σ ,若圆
v Pm ISnˆ S 是线圈(电流)所包围的面积.
nˆ 是线圈的正法线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ向
大小: Pm=IS 方向: 线圈正法线方向(与电 流成右手螺旋关系)；
• 如果为N匝平面线圈： Pm=NIS
I
Pm
nˆ
2 载流线圈在磁场中受到的力矩
Mo
电磁系列电表指针的转动，是由 于在永久磁铁的两极之间的空气 隙内放置的可绕固定轴转动的线 圈，通电后在磁场中受到力矩作 用的结果。
vvvvv vv F f1 f2 f3 f4 f1 f3
f3
I2b
0 I1 4 a
vv Q f1 f3
I1
2
F
I2b
0 I1 a
(
1 2
1) 4
I2b
0 I1 4 a
I2
1
b3
线圈向左做平动
a
B
a
o
4
x
二 磁场对载流线圈的作用
1 载流线圈的磁矩 • 定义：面积为S，通有电流I的 单匝载流线圈，其磁矩为
解： 1
3
f1
I2bB1
I2b
0 I1 2 a
方向向左
f3
I2bB3
I2b
0 I1 4 a
方向向右
I1
2
I2
1
b3
2
f2
2a a
I
2dlB1
sin
2
4
f4
2a a
0 I1 2 x
I2dx
aB
a
o
4
x
f2
f4
0 I1 I 2
2
ln 2
f2、f4方向相反。
整个线圈所受的合力：
f1
I2b
0 I1 2 a
2. 载流线圈 在磁场中转动时，磁力矩所做的功
uuv v v M PmB
r
•
B
M Pm B sin ISB sin
r M
•
若线圈中电流 I 不变
dA Md BIS sind
I d(BS cos) I dm
d pm pm
A
dA
m1 m2
I
dm
m
I
一般情况下，电流I 为变量，磁力的功：
例题5 无限长两平行载流直导线间的相互作用力。
解：
v B2
v
Idl1
v
df1
df1 B2 I1dl1
a
df2 B1 I2dl2
v
v df2
Idl2
v B1
B2
0 I2 2 a
B1
0 I1 2 a
导线1、2单位长度所受磁力：
I 1
I
2
df1 0 I1I2 dl1 2 a
df2 0 I1 I2 dl2 2 a
dM
R
Br 3dr
BR 4
方向为
0
4
三 磁力的功
1. 载流导线 在磁场中运动时，磁力所做的功
若电流 I 保持不变
A Fx BIlx
. .. . .
.
I
. .
..
v
.B
I.
....Fv .... l
m I
x
当载流导线在磁场中运动时，若电流保持不变， 磁力所做的功等于电流强度与通过回路环绕面积 内磁通量增量的乘积。
F
B1
0 I1 2a
,
F I2LB1 sin
2
I1
I2 L
a v
B1
I2L
0 I1 2a
sin
2
0 I1I 2L 2a
同理 I1 也受到 I2 的引力。
例4：在无限长载流直导线 I1 旁，垂直放置另一长为 L 的载流直导线 I2 , I2 导线左端距 I1 为 a，求导线 I2 所受 到的安培力。
NI R2nˆ
v2
Pm 的方向与 B 成60o夹角
② 此时力矩大小
M Pm B sin 60 NIB vv
3 R2
4
方向由 Pm B 确定
线圈将逆时针旋转。[使n与B趋向一致]
r B
nr
300角 r B
r n
③ 线圈旋转时，磁力矩作功为：
A NI m NI (m2 m1)
——电流单位“安培”的定义
4. 电流单位“安培”的定义
df2 0 I1I2 dl2 2 a
真空中的两条无限长平行直导线，各通有相等 的稳恒电流，当导线相距 1 米，每一导线每米 长度上受力为2×10-7牛顿时，各导线中的电流 强度为1 安培。
例题6 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受
力和运动趋势。
× θ×
×
o
×
×
I
×
b
x
由此推知： 载流线圈在均匀磁场中
v F合 0
例3：在无限长载流直导线 I1 旁，平行放置另一长为 L的载流直导线 I2 ,两根导线相距为 a，求导线 I2所受 到的安培力。
解：I2 各点处的 B 相同，
I2 受到的安培力方向如图所示，
v
大小：F I 2LB 1 sin
2 一段电流在磁场中受力
v
计算方法：先分割成无限多电流 元，然后将各电流元受到的安培
B
v Idl
力进行矢量积分。
vv
vv
F dF Idl B
3 均匀磁场中曲线电流受力
vb
L
v B
v F
∵
bv b vv
bv v a
a
dF bv dl
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av v v av l ， F Il B,
解：建立坐标系,坐标原点选在 I1上，分割电流元， 长
度为 dx , 电流元受安培力大小为：
v
dF I 2dxB 1 sin
dF
x
B1
0 I1 2x
,
2
I o1
I2
dx
x
F
dF
aL
a I2B1 sin 2 dx
a
aL a
I2
0 I1 2
dx x
0 I1I 2 2
ln
a
a
L
vL B1
方向向上
)B
F
IlBsin
I
a
θ= 90˚时，F = BIl
均匀磁场中曲线电流受的安培力，等效于从起点 到终点的直线电流所受的安培力。
F dfy IdlBsinθ (dl Rd )
0 IRB sin d
2RIB 方向沿y 轴正向
y
v
r
df× d×f y
×v
×
×
B
××
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×
Idl
××
×R×
×
×
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A
m1 m 2
I
dm
此时要注意统一变量后积分。
例题9 一半径为R 的半r 圆形闭合线圈有N 匝，通有电 流 I ，均匀外磁场 B 的方向与线圈平面成 300 角。 求：①线圈的磁矩；②此时线圈所受力矩。 ③线圈 从该位置转至平衡位置，磁力矩作功是多少？
解：① 线圈的磁矩：
v Pvm NISnˆ
盘以角速度ω 绕其轴线转动,试求作用在圆盘上的磁力矩。
解：取半径为 r, 宽为dr的圆环。
圆环带电量：dq 2rdr
转动形成电流
dI dq dq T 2
rdr
dr
R
v
B
磁矩： dPm r 2dI r3dr 方向沿轴线向上
所受磁力矩：
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dPm
B
sin
2
dPmB Br3dr
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