量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程
第二章 波函数和 Schrodinger 方程
第二章 波函数和 Schrodinger 方程§1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。
简言之:波函数完全描述微观粒子状态(一）波函数描写自由粒子的平 面 波 称为 de Broglie 波。
此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位臵变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量，粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：，它通常是一个复函数。
如果用波函数描述粒子状态，则必须解决3个问题？ (1) ψ 是怎样描述粒子的状态？ (2) ψ 如何体现波粒二象性的？ (3) ψ 描写的是什么样的波呢？ （二）波函数的解释波函数对微观粒子的描写统一了粒子性与波动性的关键在于波函数的统计解释：如果微观粒子的波函数是 则某一时刻粒子出现在位臵r 处,体积元dV 中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。
exp ()iA Et ⎡⎤ψ=∙-⎢⎥⎣⎦p r (,)t ψr (,)t ψr()2,,,dW x y z t dV=ψ概率密度/dW dV所以， 与经典物理学中的波动不同，它不是某种实际的物理量振幅在空间的分布，而只是一种几率振幅。
波函数Ψ(x,y,z,t )的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t 在空间某点(x,y,z )附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。
由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。
玻恩假定： 描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而 则表示概率密度例题1：电子的自由平面波波函数在空间各点发现光子的概率相同 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流干涉花样取决于概率分布，而概率分 布是确定的。
第二章波函数和Schrodinger方程
3.量子态Ψ1+eiθΨ2和Ψ1+Ψ2表示同一量子态吗?
§3 力量子算符公设
任意可观测的力学量，都可以用相应的线性厄米算符来表示
(一）力学量平均值
在统计物理中知道，当可能值为离散值时，一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。
玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。
玻恩假定：描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而则表示概率密度
例题1：电子的自由平面波波函数
在空间各点发现光子的概率相同
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
干涉花样取决于概率分布，而概率分
布是确定的。
(2)入射弱电子流
波函数Ψ(x,y,z,t)的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ|2代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
粒子的经典概念：
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
波的经典概念：
1. 物理量在的空间分布作周期性的变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。
第1章-波函数和schrodinger方程
例1.2 初速为零的电子，被电压为V的电场 加速，求其de Broglie波长。
解：若V不大时为非相对论情形，
由
eV
Ek
Ek 0
1 2
， m0v2
有
从而由（1.2）可求得
v 2eV m0
h h h 1 1.23 nm
h p h / k
2.微粒的波粒二象性
Bohr理论所遇到的困难说明探索微观 粒子运动规律的迫切性。
1924年de Broglie 在光有波粒二象性 的启示下，提出微观粒子也具有波动性的 假说：粒子的能量ε和动量p与波的频率ν 和波长λ之间的关系，正像光子和光波的 关系一样，为：
h p h / k
第1章 波函数和Schrödinger方程
内容：
§1.1光及微粒的波粒二象性 §1.2波函数的统计解释
—波粒二象性的物理图像 §1.3态叠加原理 §1.4 Schrödinger方程 §1.5粒子流密度和粒子数守恒定律 §1.6波函数的标准条件 §1.7定态Schrödinger方程
§1.1光及微粒的波粒二象性
在经典物理中，声波和光波都遵从
叠加原理：两个可能的波动过程1 和 2
的线性叠加a1
b
也是一个可能的波动
2
过程。
在量子力学中，概率波亦有如下的态
叠加原理：
如果1, 2 所描写的都是体系可能
实现的状态,那么它们的线性叠加 c11 c22
所描写的也是体系的一个可能实现的状态。
在电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在
|2
d
3r
发散，故不能按上述方法归一化，其归一化
量子力学-波函数和薛定谔方程
1. 单电子衍射实验
我们再看一下电子的衍射实验
1. 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长 时间亦显示衍射图样;
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样。
P
P
电子源
O
Q 图
感 光 屏 Q
单电子衍射实验
单电子衍射实验结果分析：
实验所显示的电子的波动性是许多电子地同一次实 验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中 的统计结果。波函数正是为描写粒子的这种行为而引进 的。 (1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子 到达该处的概率大；“暗纹”处是到达该处的电子数少， 或讲电子到达该处的概率小。 (2)衍射图样由电子波动性引起， “亮纹”处表示 该处波强度|Ψ(r)|2大；“暗纹”处表示该处波强度|Ψ(r)|2 小，所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比。
量子力学
Quantum Mechanics 第二章
第二章 波函数 和薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 薛定谔(Schrodinger)方程 (S-方程) §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态薛定谔方程 §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 §2.8 势垒贯穿 §2.9 例题
自由粒子的波函数无法正常归一化
自由粒子德布罗意平面波为
Ae
i ( p r Et )
归一化条件为
d =1
2
2
A
d
所以德布罗意平面波无法正常归一化。 （具体如何处理后面将讨论）箱归一化方法
四. 多粒子体系的波函数
(r1 , r2 ,, rN , t ) 描述N个粒子组成的体系的运动状态 玻恩统计解释：
量子力学课件1-2章-波函数-定态薛定谔方程
V (x,t) (x,t)
假定在 t 0 时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归一化？ 答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化.
证明:
d (x,t) 2 dx (x,t) 2 dx.
dt
t
2 * * *
i
t
( x, t )
2
2m
d2 dx2
V
( x, t )
接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现
出“粒子性”。
2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的
干涉，“波动性”是单个电子的行为。
问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？ 结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。
§ 3 概率
假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：
j2 j2P( j). 0
注意：一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。
普遍地, 可以给出j的函数的平均值
f ( j) f ( j)P( j).
0
显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和 同等数目的元素，如何表示出分布对平均值“弥散”程度 的不同？
j j j ,
2 (j)2 . 分布方差
经典物理描述物体运动的范式和途径：
宏观物体，经典力学： （1）求出任意时刻物体的位置 x(t)
（2）求出速度v dx ，动量p mv ，动能 T 1 mv2
dt
2
方法: 牛顿方程
m
d2x dt 2
V (x,t) x
,
F(x,t) V (x,t) x
初始条件 x(0), v(0)
等等，
微观粒子,量子力学:
14岁 1人，
量子力学第2章 波函数与Schrodinger方程-1
1. 波由粒子组成
如水波，声波等 矛盾：不能解释长时间单个电子衍射实验 反例：氢原子
2. 粒子由波组成
粒子的运动速度即波包的群速度
d k k 矛盾： v g dk m
反例：自由粒子
3
波包发散
3
2.1.2．几率波，多粒子系的波函数
电子究竟是什么东西呢？ 是粒子？还是波？
经典概念 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
1. 扫描电子显微镜
17
SEM
17
电子显微镜下的 流行感冒病毒
18
电子显微镜下 的乙肝病毒
18
电子显微镜下的花粉
19
19
电子显微镜下的灯泡钨丝
20
20
电子显微镜下的光盘表面
21
21
电子显微镜下放大50k倍才观察到碳纳米管的真面目 22
22
2. 扫描隧道显微镜
STM
23
23
0 10
30
50
70
90
(nm)
24
硅晶体表面的STM扫描图象
24
神经细胞的STM扫描图象
25
25
操纵单个原子写出的“100”、“中国”
26
26
镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫 描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形 成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。
27
27
1959年费曼的演讲《在底部还有很大的空间》
15 15
波函数的意义
2 r , t r , t r , t :几率密度
z
Ψ dV
t 时刻，在 r 端点处单位体
积中发现一个粒子的几率。
苏汝铿量子力学讲义波函数和Schroinger方程课件
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
▪ 在非相对论情况下,粒子不可能穿透无限高位垒
§2.7 势垒贯穿
▪ 如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
▪ 共振透射的条件和共振能量
➢ 对称性: 若U(x)=U(-x) 则波函数可具有确定的宇称
➢ 正交归一性
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 上述结论均可用 的性质证明
• 一维薛定谔方程的所有性质都与其相应的 Wronskian行列式有关
§2.7 势垒贯穿
➢ 经典图象:眼前无路好回头 量子图象:眼前无路穿着走
➢ 势阱有无穿透? ➢ 什么条件下全透射无反射? ➢ 势垒高度和宽度的影响?
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 数学上: • 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 • 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
➢ 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator
量子力学chapter2-薛定谔方程解析
12
§2 态叠加原理
（一）态叠加原理
微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干 涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性， 两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同 光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在 波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数 决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所 以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。
|Ψ(r,t)|2 的意义是代表电子在 t 时刻出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说，|Ψ(r,t)|2 Δx Δy Δz 表示在 t 时刻，在 r 点处，体 积元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝 对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例，
Ψ(r，t)
概率波
8
（三）波函数的性质
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点
题，以后再予以讨论。
10
（3）归一化波函数
Ψ(r,t )和CΨ(r,t )所描写状态的相对概率是相同的，这
里的 C 是常数。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对概率之比是：
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ(r,t) 和 CΨ(r,t )描述的是同一概率波，所以波函 数有一常数因子不定性。
C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是
绝对值平方可积的函数。
若 ∫∞|Ψ(r,t)|2dτ∞, 则 C0, 这是没有意义的。
除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续
2-1波函数和Schrodinger方程
微观粒子的状态用波函数 (r,t)完全描述。
52
11
不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。
几率密度用 r,t 2 r,t r,t 表示，
其物理涵义是(见下图）：
z
Ψ
r
dV
t 时刻，在 r点处单位体积
中发现一个粒子的几率。
而t 时刻在 r点附近dV
p
22
4、不确定度关系（Uncertainty principle） 按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。 但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。 那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？
Heisenberg将其形象地概括为 不确定度关系。
Werner Karl Heisenberg德国人 （1901-1976）
~
R
52
30
而由氢原子的球对称性质，得 Pr 0
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
2 R2
假设核静止，按非相对论，基态电子能量为
E Pr2 e2 2m 4π0r
作为数量级估算，可取
e2 e2 40r 40 R
则
2
e2
E
2mR 2 4π0R
52
31
即
E
2 2mR
2
e2 4π0 R
最稳定，即能量最低
令
dE dR
0
得
r0
4π 02
me2
0.53
Å
E mi n
2 2mR 2
e2 4π0 R
e2 8π0 R
13.6eV
52
32
5、力学量的平均值和算符的引进
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
第一章波函数与Schr
50
每
(b) 实验结果
秒
图，圆圈代表
计
数
C60 分子的计
数，其中b 图
是无光栅时的
结果。
每
秒
计
数
（c）简化分析：C60分子的双缝衍射示意图
粒子性和波动性是一对矛盾的属性，微观粒子的 性质由这对彼此对立，但又相互补充的矛盾属性完 全描述—互补原理（Complementarity principle）
t
)eikrdk
由单 粒色
自由粒子波函数
(2 ) 2
的归一化因子
或
(rv,t)
1
3
c(
pv,
t
)e
i h
pvrvdpv
子平 波面 函波 数（ ）自
(2 h) 2
其中 dpv dpxdpydpz
从数学上看，这相当于将波函数(r,t)做傅里叶展 开，C是展开系数，且有明确的物理意义。
பைடு நூலகம்
傅里叶逆变换
“波粒二象性是辐射（radiation）和实物粒子 （material particle）都具有的内禀的和不可避免的 性质。波动和粒子描述是两个理想的经典概念，各自 有其适用范围。在特定的物理现象中，辐射和实物粒 子均可展现其波动性或粒子性。但这两种理想的描绘 中的任何单独一方，都不能对所研究的现象给出完整 的说明。” — N.玻尔1927
电子双缝实验—单个电子多次重复性行为
单个电子显示出波动性！
电子究竟是什么东西呢？是粒子？ 还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是 经典的粒子也不是经典的波.
第二章 波函数与Sch rdinger方程
同理
*xd3r
x
( , x )
*d3r
( , )
V ( ,V ) ( , )
32
另外，若波函数没有归一化，且
| |2 d3r A
则
(
1
| |)2 d3r 1
A
故归一化波函数为
1
A
33
但对于动量，其平均值
p
|
(r )
2
|
pd
3r
试思考：为什么？
解释：|
(r
)
|2
不是动量的几率分布函数，且
即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒 子变胖。
但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域 中，其广延不超过原子大小~1Å 衍射实验也说明单粒子打到靶上就是一点。
故不能把电子看成三维空间的物质波包。
4
②不能认为波是由一群粒子组成。否则必 然导致波动是由粒子间的相互作用产生的
结论：微观粒子既是粒子又是波。
,
r2
dr2）中，同时
粒子
N
出现于（rN
, rN
drN）中的几率
13
归一化条件为
V
|
(r1
,
r2
,,
rN
,
t
)
|2
d3r1d3r2 ,d3rN
1
用内积表示为
( , ) *d 1
一般定义内积
(u, v) u *vd 是一个常数
﹟
14
3、动量的几率分布
由前述，若体系的状态用 (r)来描述，则
定性，因为
(r )e
i
(r )
12
（2）多粒子系的波函数
在t 时刻，多粒子系的波函数可以表示为
第二章 波函数和 Schrodinger 方程
波函数和薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 一. 波函数 1. 经典粒子运动状态的描述 r
经典粒子的运动状态由位矢 r 和动量 p 来描述
经典粒子的描述方法反映不了波粒二象性, 坐标r和动量p不能同时确定,测不准关系. r 自由粒子可以用德布洛意平面波描述
r
2. 微观粒子的运动状态由波函数 (r , t ) 来描述
把粒子性与波动性统一起来，更确切地说， 把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性” 统一起来的是M.Born(1926)提出的概率波.
1. 单电子衍射实验
（1）入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性， 长时间亦显示衍射图样;
（2）入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
单电子衍射实验结果分析： (1) “亮纹”处是到达该处的电子数多，或电子到 达该处的几率大。 “暗纹”处是到达该处的电子数少，或电子到 达该处的几率小。 (2) 衍射图样由电子波动性引起 “亮纹”处表示该处波强度大， “暗纹”处表示该处波强度小。 结论:电子到达屏上各处的几率与波的强度成正比. 2.玻恩统计解释: 波函数在空间某点的强度(波函数模的平方)和在 这点找到粒子的几率成比例，
(3) 描写的是什么样的波呢？
二. 波函数的统计解释 1.对粒子波动性的几种理解 a. 认为电子是由波包组成，因而呈现出干涉与衍 射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群速 度即电子的运动速度. 这种看法碰到了难以克服的困难,即自由粒子 的物质波包必然要扩散。这与实验是矛盾的 物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而 实际上抹杀了粒子性的一面,是带有片面性的。
De Broglie 平面波,自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
量子力学第一章
这在经典物理学中看来是不可能的，因
经典粒子
经典波
√原子性（整体性） 实在物理量的空间分布
轨道
√ 干涉，衍射
这两者是不相容的。描述微观粒子既不能
用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经
典粒子和经典波来描述。
二、电子双缝实验
如图a所示。
用一电子枪(由一加热的钨丝和一加速电
极构成)向开有双缝的屏发射电子， 再后面是接受电子的后障，先在其上 安装一个可移动的检测器，它可以是 盖革计数器，或者更好一点，与扩音 器相连的电子倍增器，每当电子到来
的时候，检测器发出咔哒的声响。
在实验中我们会发现，咔哒声出现的节奏是不规则的，但在 每处较长时间内的平均次数是近似不变的，它与电子枪发出 的电子流强成正比。为了避免咔哒声过分密集，不好计数， 我们可以把电子枪的加热电流减弱，以减少电子的流强。我 们甚至可以设想，电子流强如此之弱，当前一个电子从电子 枪出发通过双缝屏到达后障之前，后一个电子不出发。每次 只有单个电子通过仪器。这时如果我们在后障上各处布满检 测器，则会发现，每次只有一个检测器发出咔哒声。
第一章 波函数与 Schrodinger方程
本章所讲的主要内容
波函数的统计诠释(1.1) Schrodinger方程(1.2) 量子态叠加原理(1.3)
§1.1 波函数的统计解释
一、 实物粒子的波动性
既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那
么，如何理解这两属性呢？经典物理的观念
是无法回答的，必须被修改。主要表现：
这就是说 物质波是几率波
根据物质波的这个几率诠释, 粒子的波动性体现在与粒 子出现在空间各点的几率相联系的波的波动性上。这样, 粒子的波动性只是反映了微观客体运动的一种统计规律 性。在非相对论情况下,物质波的几率诠释正确地把实 物粒子的波动性与粒子性统一起来, 经历了无数的实验 检验(如，散射粒子的角分布观测结果) 。
量子力学第二章 波函数与薛定谔方程
描写。
(2) 电子在晶体表面衍射的实验中，粒子被晶体表面反射后，
p p 可能以各种不同的动量 运动，以一个确定的动量 运动的粒
子状态用波函数
i ( E t p r ) p ( r , t ) Ae
即 r , p 决定体系的一切性质。
d r F m (3)质点状态的变化 （运动） 遵从牛顿定律： 2 F ， 当 dt
2
已知时，如果初始时刻 r0 , p 0 ( v 0 ) 也已知，则积分得： t t t F v( t ) dt v 0 ； p( t ) Fdt p 0 ； r ( t ) v( t )dt r0 m 0 0 0 即任何时刻的r (t ), p(t ) 完全确定.
可以写作而薛定谔方程这个方程称为哈密顿算是常数其中可以写作于是定态薛定谔方程定义哈密顿算符值方程的解称为哈密顿算符的本征相应的一系列的本征函一系列的本征值求得满足这个方程的是常数其中波函数这样的波函数称为定态程的一系列特解这样我们得到薛定谔方定态波函数与时间t的关系是正弦型的其角频率2eh
一、状态的描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）坐标平均值 为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间 的变化） 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点
的几率密度，则
x x
x | ( x ) | 2 dx
对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是 粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为 2 x x x | ( r ) | d
两者一一对应 具有类似的物理含义
波函数与Schrodinger方程
第1章波函数与Schrodinger方程1.1 波函数的统计诠释1.2 Schrodinger方程1.3 量子态叠加原理第2章一维势场中的粒子2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质2.2 方势2.3 δ势2.4 一维谐振子第3章力学量用算符表达3.1 算符的运算规则3.2 厄米算符的本征值与本征函数3.3 共同本征函数3.4 连续谱本征函数的“归一化”第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 力学量随时间的演化*4.2 波包的运动，Ehrenfest定理4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像4.4 守恒量与对称性的关系4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性第5章中心力场5.1 中心力场中粒子运动的一般性质*5.2 无限深球方势阱5.3 三维各向同性谐振子5.4 氢原子第6章电磁场中粒子的运动6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量6.2 正常Zeeman效应6.3 Landau能级第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1 量子态的不同表象，幺正变换7.2 力学量(算符)的矩阵表示7.3 量子力学的矩阵形式7.4 Dirac符号第8章自旋8.1 电子自旋态与自旋算符8.2 总角动量的本征态8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态第9章力学量本征值问题的代数解法9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法9.2 角动量的本征值与本征态*9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数第10章微扰论10.1 束缚态微扰论*10.2 散射态微扰论第11章量子跃迁11.1 量子态随时间的演化*11.2 突发微扰与绝热微扰11.3 周期微扰，有限时间内的常微扰*11.4 能量-时间不确定度关系*11.5 光的吸收与辐射的半经典理论第12章其他近似方法*12.1 Fermi气体模型12.2 变分法*12.3 分子结构注：加星号的部分只做概念上的要求。
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I.波函数与Schrodinger方程
1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？
答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描
述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为
，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动
状态。
经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入
上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ).
经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。
但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经
典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．
2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?
答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为，
则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空
间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对
整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．
3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流
密度。
证：几率密度和几率流密度的表达式为：
，，
因此速度场为：
其旋度为：
4 ．粒子在一维势场 V(x) 中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数互相正交．
证：设,分别为属于能级，的束缚态波函数．由于是一维束缚态，都是实函数，故只需证明
均应满足定态薛定谔方程，即
（ 1 ）
（ 2 ）
以左乘式（ 1 ），左乘式（ 2 ），再相减，即得
对全空间积分，得到
（束缚态波函数在无穷远处必须趋于 0 ）。
因此，，就有
（ 3 ）
亦即与正交。
5. 粒子在深度为 Vo ，宽度为 a 的直角势阱 ( 如下图 ) 中运动，求：
(a) 阱口刚好出现一个束缚态能级 ( 即) 的条件。
(b) 束绍态能级总数．并和无限深势阱作比较。
解：粒子能量 E 小于 Vo 时为束缚态， E 大于 Vo 时为游离态．定态薛定房方程为：
（ 1 ）
令（ 2 ）
式（ 1 ）可以写成
（阱内）（ 3 ）
（阱外）（ 4 ）
无限远处束缚态波函数应趋于 0 ，因此式 (4) 的解应取为
（ 5 ）
当阱口刚好出现束缚态能级时，，因此
（ 6 ）
阱内波函数可由式 (3) 解出，当，解为
（ 7 ）
阱内、外和应该连续，而由式 (6) 可知，处将这条件用于式 (7) ，即得
（ 8 ）
亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为
（ 9 ）
即
（ 10 ）
一维势阱至少有一个束绍能级．因此，如，只存在一个束缚态，偶宇称 ( 基态 ) ．如，
除基态外。
阱口将再出现一个奇宇称态能级，共二个能级．如，阱口将出现第三个能级 ( 偶字称 ) ．依
此类推．由此可知，对于任何扩值，束缚态能级总数为
, (11)
其中符号表示不超过的最大整数
当粒子在宽度为 a 的无限深势阱中运动时，能级为
则的能级数为
(12)
也就是说，如果只计算的能级数，则有限深 ( ) 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。
注意，后者的每一个能级均一一对应地高于前者的相应能级。
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