量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程
量子力学周世勋全套课件
d8C h3 3 exh p 1 /(k)T 1 d
d8 C h 3 3ex p h (/k)T d
Wie公 n 式dC13exp(C2/T)d
•（2）当 v 很小（长波）时，因为
exp(hv /kT)-1 ≈ 1+(h v /kT)-1=(h v /kT)， 则 Planck 定律变为 Rayleigh-Jeans 公式。
No
（三）ComptI onm 散射 age -光的粒子性的进一步证实。
（1） Compton 效应
X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下 2 个特点：
1 散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一 个新的波长为λ'的X光， 且λ' >λ；
2 波长增量 Δλ=λ’ –λ 随散射角增大而增大。这一现象 称为 Compton 效应。
RHC 2 12n 12
n3,4,5,
其R 中 H1.09677 15 7 0m 7 1是 6 氢 Ry的 d常 be,数 C r是 g 光 速
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一
系列线系，它们都可以用下面公式表示：
R H C m 1 2n 1 2
n m
谱 系
Im 氢 N 原 子 光 a 谱o ge
该式所决定，即
hv -A = 0，
第二章 波函数和 Schrodinger 方程
第二章 波函数和 Schrodinger 方程
§1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设
一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。简言之:波函数完全描述微观粒子状态
(一）波函数
描写自由粒子的平 面 波 称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位臵变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量，粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用
较复杂的波描写，一般记为：
，它通常是一个复函数。 如果用波函数描述粒子状态，则必须解决3个问题？ (1) ψ 是怎样描述粒子的状态？ (2) ψ 如何体现波粒二象性的？ (3) ψ 描写的是什么样的波呢？ （二）波函数的解释
波函数对微观粒子的描写统一了粒子性与波动性的关键在于波函数的统计解释：
如果微观粒子的波函数是 则某一时刻粒子出现在位臵r 处,体积元dV 中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。
exp ()i
A Et ⎡⎤
ψ=∙-⎢⎥⎣⎦
p r (,)t ψr (,)t ψr
()2
,,,dW x y z t dV
=ψ概率密度
/dW dV
所以， 与经典物理学中的波动不同，它不是某种实际的物理量振幅在空间的分布，而只是一种几率振幅。
波函数Ψ(x,y,z,t )的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t 在空间某点(x,y,z )附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
第二章波函数和Schrodinger方程
错误之二: 粒子由波组成
“电子是波包。”把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。
玻恩假定：描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而则表示概率密度
例题1：电子的自由平面波波函数
在空间各点发现光子的概率相同
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
干涉花样取决于概率分布，而概率分
布是确定的。
(2)入射弱电子流
2.如何理解表象.
3.量子态Ψ1+eiθΨ2和Ψ1+Ψ2表示同一量子态吗?
§3 力学量的平均值和算符的引进
___量子力学的第二条假设:量子算符公设
任意可观测的力学量，都可以用相应的线性厄米算符来表示
(一）力学量平均值
在统计物理中知道，当可能值为离散值时，一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。
量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)
量子力学专题二：
波函数和薛定谔方程
一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）
1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）
p h =λ
实验：黑体辐射
2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）
h
E =ν 实验：光电效应
二、波函数的标准化条件（熟练掌握）
1、有限性：
A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有
=⎰ψψτ*
d 有限值
有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有
=⎰
ψψτ*
d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；
3、单值性：2
ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）
三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；
2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；
四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）
1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则
2211ψψψC C +=
也是体系的一个态。其中，1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式：
A 、坐标表象中
r d e p r r p i 3/2/3)()
2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中
p d e r p r p i 3/2/3)()
2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell
速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！
五、Schrodinger Equation （1926年）
薛定谔方程 量子力学
薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。
薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。
36-1第三十六讲波函数-薛定谔方程
经典波为实函数 （取复数的实部）
2）量子力学波函数（复函数）（描述微观粒子的运动状态）
E,
h 故波动方程为：
h
P
一维自由粒子波函数：
三维自由粒子波函数：
注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数 形式来表示。不能用实数形式来表示。
二、波函数的物理意义： 由波动理论知：波强正比波函数模的平方
应该是唯一的和有限的，概率的空间分布不能 发生突变，所以波函数必须满足单值、有限、 连续三个条件——称波函数的标准条件。
注 意 ：a) 波函数不是一个物理量，是用来表示测量 概率的数学量。 b) 波函数（描述的微观粒子运动状态，即 德布罗意物质波）是概率波，
它描述微观粒子的运动状态是以微观粒子在 t时刻出现在空间某处的概率来表示。
i
( x, t)
t
2
2m
2(x, t) x 2
U(x, t)(x, t)
式中： ( x, t) 是粒子在势场 U U( x, t) 中运动的波函数。
3、势场中在三维空间中运动粒子的薛定谔方程：
i
波函数为
(r, t)
Ae
[( Ek U )t p r ]
2
上式分别对时间t 求一阶偏导，对 x 求二阶偏导，得
( x, t) i E( x, t) （1） t
量子力学(全套) ppt课件
RH
C
1 22
1 n2
n 3,4,5,
其中RH 1.09677576 107 m 1是氢的Rydberg常数, C是光速。
•这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一
系列线系，它们都可以用下面公式表示：
RH
C
1 m2
1 n2
PPT课件
nm
11
谱系
m
Lyman
1
Balmer
2
Paschen
3
Brackett
4
Pfund
5
氢原子光谱
n 2,3,4,...... 3,4,5,...... 4,5,6,...... 5,6,7,...... 6,7,8,......
区域 远紫外 可见 红外 远红外 超远红外
RH
C
1 m2
热平衡时，空腔辐射的能量密度，
量子力学第2章 波函数与Schrodinger方程-1
I 12
1 2
I1 I 2 I12
6 6
3. 电子的双缝实验
S P 1 P 2 P 12
1 2
P1 P2 P12
7 7
单电子双缝实验：
7个电子
100个电子
3000个 电子呈现出的波动性只 是反应微观客体运动的 一种统计规律性。
8
Байду номын сангаас
20000个
8
70000个
与声波双缝实验的比较：
相同点： 发生相干叠加，出现波动图像。 不同点： 1. 声波叠加的是声波的强度，电子波叠加的是电子 的数目。
§2.1 波函数的统计诠释 §2.2 态叠加原理 §2.3 Schrodinger方程
1 1
物质波
德布罗意 （法，1892～1987） 1929年获诺贝尔奖
“从自然界的对称性出发， 既然光(波)具有粒子性， 那么实物粒子也应具有波动性。”
2 2
§2.1 波函数的统计诠释
2.1.1．波动－粒子二重性矛盾的分析
2. 声波干涉图像的形成与强度无关，电子波干射图 像的形成与电子的数目有关。
9 9
与子弹双缝实验的比较： 相同点： 屏幕上接收到的是整个颗粒（子弹或电子）。 不同点： 1.子弹有确定的轨道，电子没有。 2.电子发生了相干叠加，子弹没有。
10 10
苏汝铿量子力学讲义波函数和Schroinger方程课件
• 看解在无穷远处的渐近行为,”斩断魔爪”,无 限求和截断为有限的多项式,从而得到能谱 及解
• 求出波函数=>归一化
Ha
a 1 2 2 a 1 a 0
a2 2112a
a 2 2
av
e2 122!4!12!
2 2
2n1 n0,1,2,
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论 • 兄弟姊妹(递推关系) • 对称性 • 节点
§2.5 一维谐振子
最低阶的几个厄米多项式及谐振子波函数
§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
§2.5 一维谐振子
➢ 思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
§2.5 一维谐振子
➢ 思考题: • 对称性
§2.3 薛定谔方程
➢ 经典力学
• 牛顿方程特点: • 线性方程 • 二阶全微分方程,只有一个独立变量t • 唯一性 • 方程系数不含状态参数,有普适性
§2.3 薛定谔方程
➢ 量子力学
• 要求: • 线性方程(态叠加原理的直接要求) • 系数也不含状态参数 • t与x,y,z均为变量=>只能是偏微分方程 • 解的唯一性=>两阶正规方程
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 数学上: • 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 • 通过数学,看物理
10年量子力学,薛定谔方程
无介质的真空， 无介质的真空，不存在自由电荷与传导电流时
r r 2 r r ∂ E ∂ B 2 2 ∇ E − εµ 2 = 0 ∇ B − εµ 2 = 0 ∂t ∂t 1 ∂2ψ 或 ∇2ψ − 2 =0 2 c ∂t
2
r ∂ r ∂ r ∂ ∇ = (e1 + e2 + e3 ) ∂x ∂y ∂z
波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数只如下重要性质： 根据波函数的几率解释，波函数只如下重要性质： 在t时刻，r点，dτ= dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t) 时刻， dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t) 体积内 描写的粒子的几率是： 描写的粒子的几率是： dτ， 是比例系数。 P( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ，C是比例系数。 其式 p(r,t)=C |Ψ (r,t)|2 C 称因几率密度,是在t 称因几率密度,是在t时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率
量子力学的六个基本假设 (基本原理 基本原理) 基本原理
1、量子力学的第一个基本假设：可所用波函数ψ全 、量子力学的第一个基本假设：可所用波函数ψ 第一个基本假设 面描述微观粒子的运动状态 (r， 表示在t时刻， 点处，体积元d |Ψ (r，t)|2dτ表示在t时刻，r点处，体积元dτ 式找到粒子的几率
电子源
P
量子力学复习
量子力学基本假定
量子力学基本假定 1 波函数完全描述粒子的状态 体系的状态用坐标和时间的函数ψ(r, t)描述。ψ(r, t)称为 体系的状态波函数。一般要求ψ(r, t)是单值、连续和平方可 积。体系在空间dτ 内出现的几率正比于|ψ(r, t)|2 d τ 。 量子力学基本假定 2 态叠加原理 一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末它们的 线性叠加Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态. (其中 C1 , C2 为复常数)。 量子力学基本假定 3 波动方程 系统状态随时间的变化由薛定厄方程描述，即
Ψ
不是 L2 的本征态。
( 2)
2 ˆ ˆ 1 Lz Lz Y11 ( , ) Y21 ( , ) 3 3 1 2 Y11 Y21 3 3 2 1 Y11 Y21 3 3
Ψ是 Lz 的本征态，本征值为 。
则
1
0 0
0 0 0 0 0
c1 c2 0 c 3
c 3 0 0 c 1
c1 c3 0
则
0 (0) 2 1 0
量子力学中的波函数和不确定性原理
量子力学中的波函数和不确定性原理量子力学是研究微观世界的重要分支学科，它研究的是粒子的
行为和相互作用。在量子物理中，我们经常需要使用到波函数和
不确定性原理这两个概念。
一、波函数的意义及特征
波函数是描述微观粒子状态的一个数学函数，它是量子力学中
最基本也是最重要的概念之一，波函数可以用来描述粒子的位置、动量、自旋等各种性质。
波函数被定义为Schrodinger方程的解，Schrodinger方程描述
了微观粒子在给定势能场中的运动规律。波函数 Psi(x,t) 是一个复
数函数，它同时具有实部和虚部。在量子力学中，我们用波函数
的模长的平方来表示粒子在空间中存在的概率密度。
波函数的特征和行为还可以通过下列定理来描述：
1. 波函数必须是连续的，但不是光滑的。
2. 波函数的积分值为1，这意味着粒子存在的概率为100%。
3. 波函数满足叠加原理，这意味着如果有多个粒子存在，则它们的波函数之和也可以表示为一个整体的波函数。
二、不确定性原理
不确定性原理是量子物理中的重要原理之一，它是一种基本的定理，用于描述当我们同时测量粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不可能同时精确地测量到。
不确定性原理最初由海森堡提出，并在1927年被独立地陈述和证明。其表述为：“无法同时精确测量粒子的位置和动量”，这是因为我们无法同时获得这两个物理量的最精确的值，因为测量一个物理量的结果可能影响到另一个物理量的结果。
著名的不确定性原理可以用下面的公式来表示：
Δx*Δp≥h/4π
其中，Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度，h为普朗克常数。
量子力学第二章波函数和方程.
量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r, t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
经典概念中 粒子意味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概念中 波意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
❖
在 t 时刻， r 点，d τ = dx dy dz 体积内，找到
由波函数 Ψ (r,t) 描写的粒子的几率是：
d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ，
其中，C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2
础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
在电子衍射实验中，照相底片上 r 点附近衍射花样的强度
正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几
率。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒
子行为的基本方程。它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：
iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ
其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关
于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方
|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可
以提供关于粒子行为的重要信息。然而，对于复杂系统，薛定谔方程
的解析求解并不容易。因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。以一维简谐振
子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。代入薛
定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：
Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)
其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
量子力学之波函数
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波不同。
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， 确切的说， |Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz中 找到粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅 绝对值 的平方）和在这点找到粒子的几率成比例， 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运 动的一 种统计规律性，波函数Ψ (r)有时也称为几率幅。 这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解释，它是量子 力学的 基本原理。
粒子意味着
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概念中
1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;
波意味着
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
我们再看一下电子的衍射实验
1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样.
P O
P
电子源
( r )dr ][ [ ( r , t ) p (r ' , t ) p (r ' )dr ' ]dp ( r ) p ( r ' )dp ( r , t )( r ' , t )dr dr ' p ( r , t )( r ' , t )dr dr ' ( r r ' ) ( r , t )( r , t )dr 1
量子力学第二章波函数和方程.
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度 根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质：
❖
在 t 时刻， r 点，d τ = dx dy dz 体积内，找到
由波函数 Ψ (r,t) 描写的粒子的几率是：
d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ，
其中，C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C |Ψ (r,t)|2
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。
由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即
Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态
p2y
pz2 ]
2
1 2
p2
或
2 2 p2
2
2
（1）
同理有
2 y 2
py2 2
2 z 2
pz 2 2
(2) (1)–(2)式
(1)–(2)式
对自由粒子，E p2
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I.波函数与Schrodinger方程
1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？
答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描
述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为
，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动
状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入
上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ).
经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经
典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．
2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?
答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为，
则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空
间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对
整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．
3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流
密度。
证：几率密度和几率流密度的表达式为：
，，
因此速度场为：
其旋度为：
4 ．粒子在一维势场 V(x) 中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数互相正交．
证：设,分别为属于能级，的束缚态波函数．由于是一维束缚态，都是实函数，故只需证明
均应满足定态薛定谔方程，即
（ 1 ）
（ 2 ）
以左乘式（ 1 ），左乘式（ 2 ），再相减，即得
对全空间积分，得到
（束缚态波函数在无穷远处必须趋于 0 ）。因此，，就有
（ 3 ）
亦即与正交。
5. 粒子在深度为 Vo ，宽度为 a 的直角势阱 ( 如下图 ) 中运动，求：
(a) 阱口刚好出现一个束缚态能级 ( 即) 的条件。
(b) 束绍态能级总数．并和无限深势阱作比较。
解：粒子能量 E 小于 Vo 时为束缚态， E 大于 Vo 时为游离态．定态薛定房方程为：
（ 1 ）
令（ 2 ）
式（ 1 ）可以写成
（阱内）（ 3 ）
（阱外）（ 4 ）
无限远处束缚态波函数应趋于 0 ，因此式 (4) 的解应取为
（ 5 ）
当阱口刚好出现束缚态能级时，，因此
（ 6 ）
阱内波函数可由式 (3) 解出，当，解为
（ 7 ）
阱内、外和应该连续，而由式 (6) 可知，处将这条件用于式 (7) ，即得
（ 8 ）
亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为
（ 9 ）
即
（ 10 ）
一维势阱至少有一个束绍能级．因此，如，只存在一个束缚态，偶宇称 ( 基态 ) ．如，
除基态外。阱口将再出现一个奇宇称态能级，共二个能级．如，阱口将出现第三个能级 ( 偶字称 ) ．依
此类推．由此可知，对于任何扩值，束缚态能级总数为
, (11)
其中符号表示不超过的最大整数
当粒子在宽度为 a 的无限深势阱中运动时，能级为
则的能级数为
(12)
也就是说，如果只计算的能级数，则有限深 ( ) 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应地高于前者的相应能级。
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