函数与方程教学讲义

函数与方程教学讲义

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二分法

(1)对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；

②求区间(a，b)的中点c；

③计算f(c)；

(Ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(Ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c

(此时零点x0∈(a，c))；

(Ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c

(此时零点x0∈(c，b))．

④判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.

1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．

(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数

y＝ax2＋bx＋c(a＞0)

的图象

与x轴的交点(x1,0)(x2,0)(x1,0)无交点

零点个数两个零点一个零点无零点

1．(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x12345

f(x)－4－2147

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B)

A．(1,2)B．(2,3)

C．(3,4)D．(4,5)

[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B．

2．(教材改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：

x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625

f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115

则方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确到0.1)可取为( C ) A ．1.32 B ．1.39 C ．1.4

D ．1.3

[解析] 通过上述表格得知函数唯一的零点x 0在区间(1.375,1.4375)内，故选C ． 3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( C ) A ．0,2 B ．0，1

2

C ．0，－1

2

D ．2，－1

2

[解析] 2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或－1

2

，故选C ．

4．(教材改编)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，

－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( D )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[解析] ln x ＝0解得x ＝1，－x (x ＋2)＝0解得x ＝0或－2，∴g (x )有三个零点． 5．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的大致区间是( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)

D ．(3,4)

[解析] 因为y ＝ln x 与y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数，所以f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝－4，f (2)＝ln2－20.所以零点在区间(2,3)上，故选C ．

6．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( C )

[解析] A ，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选C ．

考点1 确定函数零点所在区间——自主练透

例1 (1)若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列命题正确的是( D )

A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点

B ．函数f (x )在区间(1,2)内有零点

C ．函数f (x )在区间(0,2)内有零点

D ．函数f (x )在区间(0,4)内有零点

(2)(2018·河南天一大联考)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点位于区间( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)

D ．(3,4)

(3)(2018·全国名校联考，3)若函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝21－

x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)

D ．(3,4)

[分析] 利用零点存在定理进行判断或用数形结合法画图求解．

[解析] (1)因为f (1)·f (2)·f (4)<0，所以f (1)、f (2)、f (4)中至少有一个小于0. 若f (1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D ． (2)∵f (1)＝1＋ln1－3＝－2<0， f (2)＝2＋ln2－3＝ln2－1<0， f (3)＝3＋ln3－3＝ln3>0，

∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在区间(2,3)内有零点，故选C ．

另解：f (x )的零点即为y ＝ln x 与y ＝3－x 图象交点的横坐标，由图可知零点位于区间(2,3)内，故选C ．

(3)设f (x )＝ln(x ＋1)－21－x 可以判断f (x )为增函数，又f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln3－1

2>0，故选

B ．