函数与方程教学讲义
函数与方程的基本概念教案
函数与方程的基本概念教案导入部分：本节课主要介绍函数与方程的基本概念，帮助学生对这两个数学概念有清晰的理解。
函数和方程在数学中起到了重要的作用，是许多数学领域的基础。
了解它们的定义和性质，对于学习和应用数学知识都具有重要的意义。
一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个变量与另一组变量之间的关系。
它将一个集合的元素映射到另一个集合上。
函数可以用符号表示，也可以用图像表达。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
1.2 函数的性质- 单调性：函数的增减趋势。
- 奇偶性：函数关于原点的对称性。
- 周期性：函数具有的重复性质。
二、方程的基本概念2.1 方程的定义方程是等式的一种特殊形式，它表示两个表达式相等。
方程中的未知数可以是一个或多个，我们通过解方程来求解未知数的值。
2.2 方程的解解方程就是找到使得方程成立的未知数的值。
方程的解可以是一个或多个，也可能没有解。
求解方程的方法有代入法、加减消法、配方法等。
三、函数与方程的关系3.1 方程可以表示函数一个函数可以用方程的形式表示。
方程中的一个未知数作为自变量，方程的解作为函数的取值。
3.2 函数的图像可以帮助解方程函数的图像是函数的可视化表示，可以用来解方程。
当我们对函数的图像有一定的了解时，可以通过观察图像找到方程的解。
四、函数与方程的应用4.1 函数与数学建模函数与方程在数学建模中起着重要的作用。
通过建立数学模型，我们可以用函数和方程来描述和解决实际问题。
4.2 函数与图像的应用函数的图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质和特点。
在图像的基础上，我们可以进行函数的分析和应用。
五、巩固练习通过一些小题目和案例分析，帮助学生巩固所学的知识。
总结部分：本节课我们学习了函数与方程的基本概念。
函数是一种变量间的映射关系，可以用符号或图像表示，并具有一些特性，如单调性、奇偶性和周期性等。
方程是等式的一种形式，可以通过解方程求解未知数的值。
函数与方程之间存在密切的关系，方程可以表示函数，函数的图像可以帮助解方程。
函数与方程讲课稿
x x4
则实数 k 的取值范围是 . kx 2 有四个不同的实数根，
x
（2）已知直线 y=kx+1 与曲线 f(x)= k 的取值范围为 ．
1 1 x x x 恰有五个不同的交点，则实数
（3）若方程 x 2 x 2 a x 2 恰有 3 个互异的实数根，则实数 a 的取值集合 为为 ．
0,0 x 1 ， 则方程 | f ( x) g ( x) | 1 2 | x 4 | 2, x 1
例 3 根据零点的个数确定参数的范围 类型一
（1）已知函数 y
2 x ( x 1) 3
.
x2 x2
， 若关于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不同的实根，
2 x x
取值范围是____．
3 2 （2）已知函数 f x ax 3x 1 ，若 f x 存在唯一的零点 x0 ，且 x >0，则实
数 a 的取值范围是_____．
3 2 变式： 函数 f x ax 3 x 1 在 ,0 有唯一零点， 求实数 a 的取值范围是_．
则实数 k 的取值范围是
(2 x x 2 )e x , x ≤ 0, （2）已知函数 f ( x) 2 g(x) f (x) 2k ，若函数 g ( x) 恰有两个 x 4 x 3, x 0,
不同的零点，则实数 k 的取值范围为 （3） 已知 f ( x) 则 a 的取值范围是
▲
．
Байду номын сангаас
x3 , x a
2 x , x a
， 若存在实数 b ， 使函数 g ( x) f ( x) b 有两个零点，
函数与方程教案
函数与方程教案教案：函数与方程一、教学目标：1. 知识与能力：（1）理解函数和方程的概念；（2）掌握函数和方程的基本性质；（3）能够根据实际问题建立函数和方程模型。
2. 过程与方法：（1）讲授与实例演示相结合的教学方法；（2）引导学生独立思考和探究，培养解决实际问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学知识的兴趣和热爱，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的概念：（1）函数的定义；（2）函数的图象和性质；（3）函数的自变量和因变量。
2. 函数相关的概念：（1）定义域和值域；（2）函数的增减性和奇偶性；（3）函数的图象与方程。
3. 方程的概念：（1）方程的定义；（2）方程的解；（3）实际问题转化为方程。
4. 方程的解法：（1）等式的加减消元法；（2）等式的乘除消元法；（3）方程的解集。
三、教学过程：1. 导入新知识：通过实例引出函数和方程的概念，并让学生思考函数和方程的联系与区别。
2. 讲解函数的定义：（1）讲解函数的定义和符号表示；（2）通过实例演示函数的图象和性质。
3. 探究函数的相关概念：（1）讲解函数的定义域和值域的概念，并通过实例计算；（2）引导学生思考函数的增减性和奇偶性。
4. 引入方程的概念：（1）讲解方程的定义和解的概念；（2）通过实例演示方程的解法。
5. 培养实际问题转化为方程的能力：通过实际问题实例，让学生学会将问题转化为方程，并通过解方程得到答案。
6. 强化训练：设计一定数量的练习题，让学生巩固所学内容，并检查学生的掌握程度。
7. 总结归纳：对本节课所学的内容进行总结和归纳，帮助学生理清思路，掌握学习要点。
四、教学评价：1. 观察学生对函数和方程的理解程度；2. 检查学生在实际问题中能否正确转化为方程；3. 分析学生的解题思路和解题能力；4. 对学生的作业进行批改和评价。
五、教学资源：1. 教材和课件；2. 实物、图片等辅助教具；3. 习题集和参考答案。
一次函数与方程和不等式讲义(经典)
一次函数与方程和不等式讲义(经典)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一次函数与方程和不等式讲义函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
1、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
2、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
3、正比例函数及性质一般地，形如y =kx (k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y =kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k >0时，直线y =kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k <0时，•直线y =kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y =kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k >0时，图像经过一、三象限；k <0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k |越大，越接近y 轴；|k |越小，越接近x 轴 4、一次函数及性质一般地，形如y =kx ＋b (k ,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b =0时，y =kx ＋b 即y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y =kx +b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y =kx +b 的图象是经过（0，b ）和（－kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y =kx +b ,它可以看作由直线y =kx 平移|b |个单位长度得到.（当b >0时，向上平移；当b <0时，向下平移）（1）解析式：y =kx +b (k 、b 是常数，k ≠0 （2）必过点：（0，b ）和（－kb，0）（3）走向： k >0，图象经过第一、三象限；k <0，图象经过第二、四象限 b >0，图象经过第一、二象限；b <0，图象经过第三、四象限 ⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k | 越大，图象越接近于y 轴；|k | 越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b >0时，将直线y =kx 的图象向上平移b 个单位； （上加下减，左加右减） 当b <0时，将直线y =kx 的图象向下平移b 个单位.当b <0时，向下平移）.5、直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的位置关系（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2 （4）两直线垂直：k 1·k 2= –1 6、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 7、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax +b =0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y =ax +b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.8、一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k ,b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例，这就是说，在y=kx+b 中，当y=0时，即为一元一次方程. 9、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）任何二元一次方程ax+by=c (a ,b ,c 为常数，且a≠0,b≠0)都可以化为y=-a b x+ cb的形式，所以每个二元一次方程都对应着一个一次函数；（2）从“数”的角度看，解方程组相当考虑求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条相应直线的交点坐标.10、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积一次函数y =kx ＋b 的图象与两条坐标轴的交点：与y 轴的交点（0，b ），与x轴的交点（kb-，0）.直线（b ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s =k b b k b 2212=⨯⨯ 例题讲解：探究类型之一 一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．类似性问题1、把直线y=-x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ） <m<7 <m<4 >1 <4探究类型之二 一次函数与一元一次不等式【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧； （3）第一象限．（2）已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例6】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少类似性问题1、 如图，函数1y =｜x ｜，2y =13x+43，当1y ＞2y 时，x 的取值范围是（ ）A. x ＜-1B. -1＜x ＜2C. x ＜-1或x ＞2D. x ＞22、 如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （-3，0），B （0，5）两点，则不等式-kx -b ＜0的解集为（ ） A. x ＞-3 B. x ＜-3 C. x ＞3 D. x ＜33、如图，直线y 1=kx+b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点 P （1，m ),则不等式组mx ＞kx+b ＞mx -2的解集是________.探究类型之三 一次函数、方程（组）、不等式（组）与几何等知识的综合例3、已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（-1，-5），且与函数y=12x+1的图象相交于点A （83，a ）．（1）求a 的值；（2）求不等式组0＜kx+b ＜12x+1的正整数解；（3）若函数y=kx+b图象与x轴的交点是B，函数y＝12x+1的图象与y轴的交点是C，求四边形ABOC的面积．例4、如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y 轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求直线l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．类似性问题1．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x（cm），应付给个体车主的月费用为y1元，•应付给汽车出租公司的月费用为y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图像（两条射线）如图所示，观察图像回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围内，租出租公司的车合算（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家车合算2．某学校计划购买若干台电脑，•现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1（元）与所买电脑台数x之间的关系式是________．乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2（元）与所买电脑台数x之间的关系式是_________．（1）什么情况下到甲商场购买更优惠（2）什么情况下到乙商场购买更优惠（3）什么情况下两家商场的收费相同探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．问：让哪家公司制作这批宣传比较合算2．（学科内综合题）下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量y（L）•与进水时间x（min）的函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）进水多少分钟后，水箱中的水量超过100L3．小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元．（1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．（2）小明的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱，•表示从现在起每个月存18元，争取超过小明．请你在同一平面直角坐标系中分别画出小明和小丽存款数和月份数的函数关系的图像．半年以后小丽的存款数是多少能否超过小明•至少几个月后小丽的存款数超过小明4．（探究题）某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车，•使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为1．2元，•乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机800元的工资，另外每千米的租车费为1元，设在这一个月中汽车行驶x（km），租用甲公司的费用为y1（元），租用乙公司的费用为y2（元）．（1）试分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式．（2）当汽车行驶路程为多少千米时，租用乙公司的汽车合算一次函数与方程和不等式 课后练习1：一次函数y =kx +b 的图象如图所示，则方程kx +b =0的解为( )A ．x =2B ．y =2C ．x =1-D ．y =1-2：一次函数y =ax +b 的图象如图所示，则不等式ax +b ＞0的解集是( ) A ．x ＜2 B ．x ＞2 C ．x ＜1 D ．x ＞13：已知一次函数y =ax +b 的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点(2，0)，则关于x 的不等式a (x 1)b ＞0的解集为( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞1 D ．x ＜14：如图，已知函数y =ax +b 和y =kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax by kx=+=⎧⎨⎩的解是 ．5：如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=-=⎧⎨⎩B ．121x y x y -=--=-⎧⎨⎩C ．121x y x y -=--=⎧⎨⎩D ．121x y x y -=-=-⎧⎨⎩6：(1)已知关于x 的方程mx +n =0的解是x =-2，那么，直线y =mx +n 与x 轴的交点坐标是 ．(2)如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y =kx +b 与直线OA ：y =mx 相交于点A (1，2)，则关于x 的不等式kx +b ＜mx 的解是 ．(3)如图，直线l 1和l 2的交点坐标为( ) A ．(4，2) B ．(2，-4) C ．(-4，2) D ．(3，1)7：(1)已知方程2x +1=-x +4的解是x =1，那么，直线y =2x +1与直线y =-x +4的交点坐标是 __ __ ．(2)在平面直角坐标系中，直线y =kx +1关于直线x =1对称的直线l 刚好经过点(3，2)，则不等式3x ＞kx +1的解集是__ __ ． (3)如图，直线l 1、l 2交于点A ，试求点A 的坐标．8：已知一次函数y1=kx+b和正比例函数y2＝1x的图象交于点A(2，m)，又一2次函数y1=kx+b的图象过点B(1，4)．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象写出y1＞y2的取值范围．9：如图，已知一次函数的图象经过点A(1，0)、B(0，2)．(1)求一次函数的关系式；(2)设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，求点C的坐标．10：如图，已知直线y=kx+b经过点A(1，4)，B(0，2)，与x轴交于点C，经过点D(1，0)的直线DE平行于OA，并与直线AB交于点E．(1)求直线AB的解析式；(2)求直线DE的解析式；(3)求△EDC的面积．11：随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过140000元购进A、B两种不同品牌的电动摩托40辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于品牌价格A品牌电动摩托B品牌电动摩托进价(元/辆)40003000售价(元/辆)50003500设该商场计划进A品牌电动摩托x辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润y元．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)该商场购进A品牌电动摩托多少辆时获利最大，最大利润是多少。
函数与方程课件
06
函数与方程的未来发展
函数与方程在其他学科中的应用
数学建模
函数与方程在数学建模中扮演着 重要的角色，通过建立数学模型 ，可以描述现实世界中的各种现 象，如物理、化学、生物等学科
中的问题。
计算机科学
在计算机科学中，函数与方程被 广泛应用于算法设计、数据结构 、离散概率论等领域，为计算机 科学的发展提供了重要的理论支
函数与方程ppt课件
• 函数的概念与性质 • 方程的种类与解法 • 函数与方程的关系 • 函数的应用 • 方程的应用 • 函数与方程的未来发展
01
函数的概念与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的对应关系。具体来说，对于 给定的集合X中的每一个元素x，按照某种规则，总有集合Y中的唯一一个元素y与 之对应。这种关系通常用符号f表示，即f: X→Y。
03
函数与方程的关系
函数图像与方程解的关系
函数图像是方程解在坐标系中的 表现形式，通过观察函数图像可 以直观地了解方程的解的情况。
函数图像的交点表示方程的根， 函数图像的极值点也可能对应方
程的根。
通过函数图像的变化可以推测方 程解的变化趋势。
函数的最值与方程根的关系
函数的最值点可能是方程的根，因为函数在极值点附近的导数会发生变化，导致函 数值发生突变。
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的最大值或最小值可能对 应方程的一元一次根。
对于多元函数，最值问题可能转化为方程组问题，需要利用方程组的解来判断最值 的存在性和性质。
函数图像的变换与方程解的变换
函数图像的平移、伸缩、旋转 等变换会影响函数的值，从而 影响方程的解。
通过对方程进行变量替换或参 数调整，可以改变方程的形式 和结构，从而影响方程的解。
《函数与方程》章节精品说课课件
2 X
❖“傻瓜不是瓜”、 零点亦非点！
§3.1.1 方程的根与函数的零点
二、 “零点的存在性定理”教学 问题串2： 问题1：判断函数y x2 2x 1零点的个数，并说明理由。
问题2：函数 y x2 2x 1 在区间 (2,3)上存在零点吗？ 问题3：判断函数y 10 x2 42 x 39 在区间(1,1)上是否有 零点？
❖问题4：请同学们思考为什么上述命题对此类函数不成
立，而对二次函数则是成立的？
❖问题5：你能够补上合适的条件，使上述命题对任意的
函数都成立吗？
Y
对定理的反思：
①、该定理有哪些关键词？
a c0
bX
②、“不间断”这个条件能够去掉吗？
③、在这些条件下的函数零点唯一吗？
④、反之，若函数有零点就一定能够得出 f (a) f (b) 0?
应值表：x
1
2
3
4
5
6
7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
2、函数 f (x) x(x2 16)的零点为(
A.(0,0), (4,0) B.(4,0), (0,0), (4,0)
)
C.0,4
D. 4,0,4
四、教学设想：
§3.1.1 方程的根与函数的零点 ❖一、“函数的零点”概念的教学
❖二、 “零点的存在性定理”教学
§3.1.2 用二分法求方程的近似解 ❖一、“中央电视台购物街栏目---猜价格游戏” ❖二、“二分法”教学
§3.1.1 方程的根与函数的零点
❖一、“函数的零点”概念的教学 ❖引言：古诗云：横看成岭侧成峰，远近高低各不
函数与方程公开课课件
∴－5<m<－1.故 m 的取值范围为(－5，－1)．
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授人以渔
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方法二：由题意，知
Δ－>m0，>－1， f－1>0，
m2－3m－4>0， 即m<1，
1－2m＋3m＋4>0.
∴－5<m<－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)．
【答案】 (1)m＝4 或 m＝－1 (2)(－5，－1)
1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及 根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．
2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似 解．
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请注意！
作为函数的零点经常与方程的根、函数的图像、函数的性质 等知识相结合，必须把这些知识点都掌握好，灵活地运用数形结 合思想才能将函数的零点问题处理得游刃有余.
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②∵f(x)＝x2＋x－2x1＋1＝xx＋－112， 令xx＋－112＝0，解得 x＝－1. ∴f(x)＝x2＋x－2x1＋1的零点是 x＝－1. 【答案】 ①x＝－1 ②x＝－1
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(2)判断下列函数在给定区间是否存在零点． ①f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； ②f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
【答案】 ①存在零点 ②存在零点
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探究 1 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，那有几个解就 有几个零点． (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是 连续的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像和性质(如单 调性)才能确定函数有多少个零点． (3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的 横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
关于《函数与方程讲义》的教案
关于《3.1函数与方程讲义》的教案
一、课程内容
1. 函数的概念
- 函数是一种特殊的数学关系，它把一个变量的值映射到另
一个变量的值。
- 函数的表达式、域、定义域、值域、增减性、对称性、最
值点等概念。
2. 方程的概念
- 方程是一种表达数学关系的形式，它把两个或多个变量之
间的关系表达出来。
- 一元二次方程、二元一次方程、不等式等概念。
二、教学目标
1. 能够正确理解和掌握函数和方程的概念，熟练运用数学关系解决实际问题。
2. 掌握一元二次方程、二元一次方程、不等式的概念，能够熟练求解。
三、教学重点
1. 正确理解和掌握函数和方程的概念。
2. 熟练掌握一元二次方程、二元一次方程、不等式的概念，能够熟练求解。
四、教学方法
1. 教师引导学生理解函数和方程的概念，并讲解其相关的概念。
2. 教师通过实例讲解一元二次方程、二元一次方程、不等式的概念，让学生熟练掌握。
3. 教师结合实际问题，带领学生练习解决实际问题。
五、教学效果
1. 学生能够正确理解和掌握函数和方程的概念，能够熟练运用数学关系解决实际问题。
2. 学生能够熟练掌握一元二次方程、二元一次方程、不等式的概念，能够熟练求解。
函数与方程教案
函数与方程教案教案：函数与方程一、教学内容：1. 函数概念及性质；2. 方程概念及求解方法；3. 函数与方程的关系。
二、教学目标：1. 了解函数的定义及性质；2. 掌握方程的概念及求解方法；3. 理解函数与方程的关系，能够在实际问题中应用函数和方程进行求解。
三、教学过程：1. 导入：通过提问引导学生回顾线性方程的概念及求解方法。
2. 讲解函数的概念及性质：（1）引导学生思考函数的含义。
函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量与唯一的一个因变量对应起来。
例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，其中x是自变量，y是因变量。
（2）介绍函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
b. 单调性：函数的单调性是指函数曲线的上升与下降方向。
可以分为增函数和减函数。
c. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关系在对称中的表现。
奇函数的函数图象关于原点对称，即f(-x) = -f(x)，偶函数的函数图象关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
d. 图象和方程：函数的图象是函数关系在坐标系中的表示，函数的方程是表示函数关系的代数式。
3. 讲解方程的概念及求解方法：（1）引导学生思考方程的含义。
方程是一个等式，含有一个或多个未知数，通过求解可以得到未知数的值。
（2）介绍方程的求解方法：a. 方程的转化：可以通过变形、移项等方法将方程转化为更简单的形式。
b. 方程的解法：可以通过列方程、联立方程等方法求解方程。
4. 讲解函数与方程的关系：（1）引导学生思考函数与方程的关系。
函数是一个特殊的方程，它是自变量与因变量之间的关系。
（2）举例说明函数与方程的关系。
例如，y = 2x + 3就是一个函数关系，也可以写成2x + y - 3 = 0的方程。
5. 练习与巩固：（1）通过练习题，让学生巩固函数与方程的概念及性质。
（2）设计实际问题，让学生应用函数和方程进行求解。
四、教学反思：通过本节课的教学，学生对函数和方程的概念有了更深入的理解。
《一次函数与二元一次方程》 讲义
《一次函数与二元一次方程》讲义一、引入在数学的世界里，一次函数和二元一次方程就像是两个亲密的伙伴，它们之间有着千丝万缕的联系。
当我们深入探索，会发现它们的关系既有趣又实用。
我们先来回顾一下什么是一次函数和二元一次方程。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k ≠ 0），它的图像是一条直线。
二元一次方程的一般形式是 Ax ＋ By ＝ C（A，B 不同时为 0）。
那它们之间到底有着怎样的神秘联系呢？让我们一起来揭开这层面纱。
二、一次函数与二元一次方程的关系1、以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数的图像上比如，对于二元一次方程 2x y ＝ 1，我们可以通过变形得到 y ＝2x 1。
然后随便选取几个 x 的值，比如 x ＝ 0 时，y ＝－1；x ＝ 1 时，y ＝ 1。
以（0，－1）和（1，1）为坐标的点就在函数 y ＝ 2x 1 的图像上。
2、一次函数图像上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解还是以 y ＝ 2x 1 为例，图像上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 2x y ＝ 1。
3、二元一次方程可以看作两个一次函数对于方程 2x y ＝ 1，我们可以变形为 y ＝ 2x 1 或者 x ＝（y ＋ 1）／ 2 ，这样就得到了两个一次函数。
三、从图像角度看一次函数与二元一次方程的解1、两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解比如，有两个一次函数 y ＝ 2x 1 和 y ＝ x ＋ 3，我们可以通过联立方程组来求解它们的交点。
＼＼begin{cases}y ＝ 2x 1 ＼＼y ＝ x ＋ 3＼end{cases}＼将第一个方程代入第二个方程中，得到 2x 1 ＝ x ＋ 3，解得 x ＝4/3 ，再将 x 的值代入任意一个方程，得到 y ＝ 5/3 。
所以交点坐标为（4/3，5/3），这个坐标就是这个二元一次方程组的解。
2、当两条直线平行时，相应的二元一次方程组无解如果两个一次函数的斜率相等，即k 值相等，那么它们的图像平行，此时对应的二元一次方程组无解。
方程与函数课件ppt课件ppt课件
方程与函数在数学竞赛中的应用
方程与函数是数学竞赛中常见的考点，涉及的知识点包括 一元一次方程、一元二次方程、分式方程、三角函数、指 数函数、对数函数等。通过解决这些方程与函数的题目， 可以锻炼学生的逻辑思维、推理能力和数学运算能力。
例如，在数学竞赛中，经常出现一些涉及方程与函数的题 目，要求考生利用方程与函数的知识点来求解未知数或者 判断函数的单调性、奇偶性等性质。
方程与函数在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经 济、工程、科技等领域。通过建立数学模型，将实际问题转 化为数学问题，利用方程与函数来求解，可以得到更精确的 解决方案。
例如，在金融领域，投资者可以通过建立股票价格的函数模 型，利用方程求解出股票的买入和卖出价格；在经济领域， 政府可以通过建立税收的方程模型，利用函数求解出最优的 税收方案。
函数的周期性
总结词
周期性对函数性质的影响。
详细描述
周期性对函数的性质有一定的影响。例如，周期函数的最大值和最小值出现的次 数是有限的，且相邻最大值或最小值之间的距离为周期。此外，周期函数的图像 还可以通过平移得到其他形式的周期函数图像。
函数的图像绘制
总结词
绘制函数图像是理解函数性质的重要手段。
详细描述
函数的定义与性质
函数的定义
函数是数学中表示两个变量之间关系 的一种方法，它描述了一个输入值对 应一个输出值的关系。
函数的性质
函数的性质包括函数的定义域、值域 、单调性、奇偶性、周期性等。
方程与函数的关系
方程可以看作是函数的一种特殊情况 ，即函数值为0的情况。
方程和函数在数学和实际问题中都有 广泛的应用，它们是相互联系和相互 转化的。
三角函数的应用
三角函数在解决几何问题、振动和波动等现象中有着广 泛的应用。
函数函数与方程课件pptx
03
方程的种类与求解方法
线性方程
定义与形式
线性方程是一类基本的数学方程，其形式通常为 ax+by+c=0，其中a、b、c为常数。
求解方法
对于线性方程，可以使用高斯消元法或逆矩阵法求解。
非线性方程
定义与形式
非线性方程是指方程中未知数的最高次数大于1的方程，如x^2+y^2=1。
求解方法
非线性方程的求解方法比较复杂，常见的有牛顿法、二分法、迭代法等。
可导性
函数在某一点上可以求导，即可以 求得该点上的切线斜率。
函数的分类
• 常数函数：输出值与输入值无关的函数，如f(x)=5。 • 一次函数：输出值与输入值成一次关系的函数，如f(x)=2x+3。 • 二次函数：输出值与输入值的二次方成正比的函数，如f(x)=x^2。 • 幂函数：输出值与输入值的某次幂成正比的函数，如f(x)=x^3。 • 指数函数：输出值与输入值的指数成正比的函数，如f(x)=2^x。 • 对数函数：输出值与输入值的对数成正比的函数，如f(x)=log(x)。 • 三角函数：输出值与输入值的三角函数成正比的函数，如f(x)=sin(x)。
利用函数的性质解方程
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，这些性质可以帮助我们解决一 些与方程有关的问题。例如，利用函数的单调性判断方程根的存在性或比较 根的大小。
利用方程求解函数
利用方程求函数的表达式
通过已知的变量和关系式，利用方程求解出函数的表达式。例如，在知道一些点 对距离的情况下，通过解方程组得到函数的表达式。
利用方程判断函数的性质
通过已知的方程和函数的表达式，利用方程可以判断出一些函数的性质。例如， 通过解出函数的极值点或零点来判断函数的单调性或奇偶性。
方程与函数课件
本ppt课件将介绍方程与函数的定义，包括方程的类型和函数的特点，以及它 们之间的关系。还会探讨解方程和求函数值的方法，以及方程和函数在各个 应用领域中的重要性。
方程的类型
1 一元一次方程
形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
2 一元二次方程
形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，x是未知数。
3 函数的性质和分类
函数可以具有不同的性质， 如单调性、连续性和可导 性等。函数可以根据其性 质和图像特征进行分类。
方程与函数的关系
1 方程和函数的解
2 方程与函数的图像
方程的解是满足方程的自变量和因变量的值， 而函数的解是满足函数的自变量和因变量的 值。
方程和函数的图像可以相互对应，通过图像 可以得到方程或函数的一些性质。
解方程和求函数值的方法
1 代入法
将已知的值代入方程或函 数，求解未知的值。
2 消元法
3 图像法
通过将方程中的变量相互 消去，得到一个只含有一 个变量的方程，然后求解。
通过观察方程或函数的图 像，找到满足条件的自变 量和因变量的值。
方程和函数的应用领域
1 自然科学中的方程与 2 工程技术中的方程与 3 经济管理中的方程与
函数
函数
函数
方程和函数在物理、化学 等自然科学领域中起着重 要作用，用于描述物理规 律和化学反应。
方程和函数在工程技术领 域中广泛应用，用于建模、 优化和计算等方面。
方程和函数在经济学和管 理学中有广泛的应用，用 于分析市场行为、经济增 长和企业决策等。
总结和展望
通过学习方程与函数，我们能够深入理解数学在各个领域中的重要性和应用。 未来，我们可以进一步探索更多数学知识，拓宽我们的思维和能力。
函数与方程教学讲义
函数与方程教学讲义‖知识梳理‖1．函数的零点函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点方程的根与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点函数零点的存在定理函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条件曲线，若f(a)·f(b)<0，则y＝f(x)在(a，b)内存在零点2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法条件(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；(2)在区间端点的函数值满足f(a)·f(b)<0方法不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)一定有零点．特别是，当y＝f(x)在[a，b]上单调时，它仅有一个零点．2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．(√)(5)若连续函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．(√)‖自主测评‖1．下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )解析：选C 对于选项C ，由图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．2．(教材改编题)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在下列哪个区间内( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：C3．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y ＝f (x )A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B 依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．4．函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点有________个．解析：函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点个数是方程x 12－⎝⎛⎭⎫12x ＝0的解的个数，即方程x 12＝⎝⎛⎭⎫12x 的解的个数，也就是函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1，即函数f (x )有1个零点．答案：15．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________． 解析：由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.答案：0，－12…………考点一 函数零点所在区间的判断………………|自主练透型|……………|典题练全|1．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1，e)和(3,4)D ．(e ，＋∞)解析：选B 因为f ′(x )＝1x ＋2x 2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以f (x )唯一的零点在区间(2,3)内．故选B. 2．若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x＝x 13的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13 解析：选C 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，f (x )＝x 13， 则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212<f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213， g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213>f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313， 所以由图象关系可得13<x 0<12.3．(2018届河北武邑中学调研)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.解析：因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝－1＋ln 2<0，f (3)＝2＋ln 3>0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案：2『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．…………考点二 判断函数零点的个数………………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 (1)(一题多解)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)(2018届福建泉州检测)设函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则函数g (x )＝f (x )－sin x 在区间[－π，π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] (1)解法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．解法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．(2)要求函数g(x)＝f(x)－sin x的零点个数，即求方程f(x)－sin x＝0的根的个数，可转化为函数y＝f(x)与函数y＝sin x的图象的交点个数．在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝sin x两个函数的图象如图所示，可知在区间[－π，π]上，两函数图象有3 个交点．故选B.[答案](1)B(2)B『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．|变式训练|1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.2．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．多于4 B．4C．3 D．2解析：选B由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．………………考点三函数零点的应用………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一求函数多个零点(或方程根)的和【例1】(2019届石家庄质量检测)已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sinπx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为()A．3 B．6C．9 D．12[解析]将函数f(x)＝|2x－3|－8sinπx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sinπx图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x＝3对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零2＝12，故选D.点之和M＝8×32[答案] D角度二 根据函数零点的个数求参数【例2】 (2019届郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1)D ．(－∞，1][解析] 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1，故选A.[答案] A角度三 根据函数有无零点求参数【例3】 (1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)[解析] (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103.∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. (2)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略)． 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．[答案] (1)D (2)D角度四 根据函数零点的范围求参数【例4】 若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________．[解析]依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，12『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|已知函数的零点或方程根的情况求参数问题常用的3种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．|变式训练|1．(2018届长春监测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋π)＝f (－x )，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝x ，则函数g (x )＝(x －π)f (x )－1在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，3π上所有的零点之和为( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选D 由题知f (x )为奇函数，则f (x ＋2π)＝f (x ＋π＋π)＝f (－x －π)＝－f (x ＋π)＝－f (－x )＝f (x )，所以f (x )的周期为2π，易知其图象关于点(π，0)对称，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，3π上所有的零点可转化为函数f (x )和y ＝1x －π的图象在⎣⎡⎦⎤－3π2，3π上的交点的横坐标之和，由y ＝1x －π的图象关于点(π，0)对称，知函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－3π2，3π上的零点也关于点(π，0)对称，作出函数f (x )与y ＝1x －π的大致图象，如图，结合图象可知，两函数图象在⎣⎡⎦⎤－3π2，3π上共有4个交点，所以g (x )的所有零点之和为4π.故选D.2．(2018年全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意． 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.核心素养系列 逻辑推理——利用转化思想求解函数零点问题【典例】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x <1，log 12x ，x ≥1，若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．(2)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________． [解析] (1)关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数y 1＝f (x )与函数y 2＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)．(2)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)．则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号， 故a ≤2－2 2.[答案] (1)(－1,0) (2)(－∞，2－22][点评] (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决.。
《二元一次方程与一次函数》 讲义
《二元一次方程与一次函数》讲义一、二元一次方程的基本概念首先，咱们来聊聊二元一次方程。
二元一次方程呢，指的是含有两个未知数，并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。
一般形式可以写成 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （其中 A、B 不同时为 0）。
比如说，2x ＋ 3y ＝ 7 就是一个二元一次方程。
这里的 x 和 y 就是我们所说的两个未知数。
那怎么求解二元一次方程呢？通常情况下，一个二元一次方程有无数个解。
因为给定一个 x 的值，就能通过方程算出对应的 y 值；反过来，给定一个 y 的值，也能算出对应的 x 值。
二、一次函数的基本概念接下来，咱们再看看一次函数。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b （其中 k、b 为常数，k ≠ 0）。
这里的 k 叫做斜率，表示函数图像的倾斜程度。
k 的绝对值越大，图像就越陡峭；k 的正负决定了函数图像是上升还是下降。
当 k ＞ 0 时，函数图像是上升的；当 k ＜ 0 时，函数图像是下降的。
b 呢，叫做截距，就是函数图像与 y 轴的交点的纵坐标。
比如说，y ＝ 2x ＋ 1 就是一个一次函数。
其中 2 是斜率，1 是截距。
三、二元一次方程与一次函数的关系那二元一次方程和一次函数之间到底有啥关系呢？其实，把二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （A、B 不同时为 0）变形，就可以得到 y ＝（A/B)x （C/B) 。
这个式子是不是和一次函数的形式很像？所以，二元一次方程的解就对应着一次函数图像上的点。
以方程 2x ＋ 3y ＝ 6 为例，我们把它变形为 y ＝（2/3)x ＋ 2 。
然后画出这个一次函数的图像，图像上的每个点的坐标（x，y）都是方程 2x ＋ 3y ＝ 6 的解。
反过来，一次函数图像上的每个点的坐标也都是对应的二元一次方程的解。
四、通过一次函数求解二元一次方程组既然二元一次方程和一次函数有这样紧密的联系，那咱们就可以利用一次函数来求解二元一次方程组啦。
函数与方程 - 简单 - 讲义
函数与方程知识讲解一、一元二次方程的根与对应图象与x 轴交点的关系关系：一元二次方程的实数根与对应二次函数图象和x 轴交点的横坐标相同，方程实数根的个数与函数图像和x 轴交点的个数相同．二、函数的零点1.函数零点的概念概念：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则实数a 叫做这个函数的零点．2.函数零点的意义意义：函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标．即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．3.零点存在判定定理判定定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x = 在区间()a b ，内至少有一个零点，即存在()c a b ∈，，使得判别式24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 有两个不相等实根12x x ， 有两相等实根12x x = 无实根 函数20(0)y ax bx c a =++=≠与x 轴交点有两个交点1(0)x ，、2(0)x ， 有一个交点1(0)x ，无交点()0f c =，这个c 就是方程()0f x =的根．4.变号零点：如果函数图象在通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点．5.不变号零点：如果函数图象在通过零点时不穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点．6.一次函数的零点定义：若一次函数()(0)f x kx b k =+≠在区间(,)a b 上恰有一零点⇔()()0f a f b ⋅<7.二次函数零点（1）二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表．（2）二次函数零点的性质性质：①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号． （3）二次函数的零点的应用应用：①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图．②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质．8.“配凑法”因式分解三次多项式方法：若320ax bx cx d +++=方程有一根为0x ，则三次多项式32ax bx cx d +++可分解为2011()()a x x x b x c -++然后再进一步分解．三、二次函数2()f x axbx c =++零点的分布与区间端点的关系四、二分法1.二分法：求函数零点的近似值的一种方法．2.二分法求函数零点的一般步骤：步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点0x 的近似值x ，使它满足给定的精确度．第一步 在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使0()f a 与0()f b 异号，即00()()0f a f b ⋅<．零点位于区间[]00,a b 中．第二步 取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为0002a b x +=．计算0()f x 和0()f a ，并判断：(1)如果0()0f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；(2)如果00()()0f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==； (3)如果00()()0f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b ==． 第三步 取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为1112a b x +=．计算1()f x 和1()f a ，并判断：(1)如果1()0f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；(2)如果11()()0f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； (3)如果11()()0f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==．L L继续实施上述步骤，直到区间[],n na b上，当n a和n b按照给a b，函数的零点总位于区间[],n n定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x=的近似零点，计算终止．典型例题一．选择题（共6小题）1．（2010•天津）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）2．（2018•甘肃一模）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A．(12，1)B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）3．（2017秋•汪清县校级期末）函数f（x）=x3﹣9的零点所在的大致区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）4．（2017秋•延安期末）根据下表，用二分法求函数f（x）=x3﹣3x+1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度0.1）是（）f（1）=﹣1f（2）=3f（1.5）=﹣0.125 f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726 A．1.75B．1.625C．0.12719726D．1.56255．（2018•青岛二模）已知方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1，x2，则2x1⋅2x2=（）A．3B．6C．8D．26．（2017秋•珠海期末）定义在[0，6]上的连续函数y=f（x）有下列的对应值表：x0123456y0﹣1.2﹣0.2 2.1﹣2 3.2 2.4则下列说法正确的是（）A ．函数y=f （x ）在[0，6]上有4个零点B ．函数y=f （x ）在[0，6]上只有3个零点C ．函数y=f （x ）在[0，6]上最多有4个零点D ．函数y=f （x ）在[0，6]上至少有4个零点二．填空题（共5小题）7．（2018•杨浦区二模）函数y=lgx ﹣1的零点是 ．8．（2016•南通模拟）函数f （x ）={0，x =0x −1x ，x ≠0的零点个数为 ．9．（2012秋•如东县校级期末）已知函数f （x ）的图象是连续不断的，观察下表：函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的零点至少有 个．10．（2016•新疆校级模拟）方程log 2x =−12的解为 ．11．用二分法求函数f （x ）=x 3﹣3的零点时，若初始区间为（n ，n +1），n ∈Z ，则n= ．三．解答题（共2小题）12．求方程x 3﹣x ﹣1=0在区间（1，1.5）内的一个近似解（精确度0.1）．13．已知g（x）=mx﹣2x+3﹣m在x∈[0，2]内只一个零点，求m的取值范围．。
第8讲 函数与方程 讲义
函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个___也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )1．(教材改编)函数121()()2xf x x =-的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋13．(2016·吉林长春检测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A ．(1e，1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)4．函数f (x )＝2x|log 0.5 x |－1的零点个数为________．5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．题型一 函数零点的确定命题点1 确定函数零点所在区间例1 (1)(2017·长沙调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)(2016·济南模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4B ．4C ．3D ．2 答案 (1)2 (2)B思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞) (2)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 题型二 函数零点的应用例3 (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同引申探究本例(2)中，若f(x)＝a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是________________．思维升华已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为________．(2)(2015·湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．题型三二次函数的零点问题例4已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．思维升华解决与二次函数有关的零点问题：(1)利用一元二次方程的求根公式；(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．(2016·临沂一模)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是__________．4．利用转化思想求解函数零点问题典例(1)若函数f(x)＝a x－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．(2)若关于x的方程22x＋2x a＋a＋1＝0有实根，则实数a的取值范围为________．1．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)2．(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12 B ．－2 C ．0或12D ．0 3．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b4．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 6．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是________________．7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．9．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 015x＋log 2 015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．*10.(2016·衡水期中)若a >1，设函数f (x )＝a x＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为________．11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．12．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．*13.已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．。
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函数与方程教学讲义1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__. (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)f(b)＜0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(Ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(Ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(Ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点1．(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(B)A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2,3)内有零点，故选B．2．(教材改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确到0.1)可取为( C ) A ．1.32 B ．1.39 C ．1.4D ．1.3[解析] 通过上述表格得知函数唯一的零点x 0在区间(1.375,1.4375)内，故选C ． 3．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( C ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12[解析] 2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或－12，故选C ．4．(教材改编)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，－x (x ＋2)，x ≤0的零点个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ln x ＝0解得x ＝1，－x (x ＋2)＝0解得x ＝0或－2，∴g (x )有三个零点． 5．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点所在的大致区间是( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] 因为y ＝ln x 与y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数，所以f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝－4，f (2)＝ln2－2<lne －2<0，f (3)＝ln3>0.所以零点在区间(2,3)上，故选C ．6．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( C )[解析] A ，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选C ．考点1 确定函数零点所在区间——自主练透例1 (1)若函数f (x )的图象是连续不断的，且f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列命题正确的是( D )A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1,2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0,2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0,4)内有零点(2)(2018·河南天一大联考)函数f (x )＝x ＋ln x －3的零点位于区间( C ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(3)(2018·全国名校联考，3)若函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝21－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( B ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)[分析] 利用零点存在定理进行判断或用数形结合法画图求解．[解析] (1)因为f (1)·f (2)·f (4)<0，所以f (1)、f (2)、f (4)中至少有一个小于0. 若f (1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点； 若f (4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D ． (2)∵f (1)＝1＋ln1－3＝－2<0， f (2)＝2＋ln2－3＝ln2－1<0， f (3)＝3＋ln3－3＝ln3>0，∴f (2)·f (3)<0，∴f (x )在区间(2,3)内有零点，故选C ．另解：f (x )的零点即为y ＝ln x 与y ＝3－x 图象交点的横坐标，由图可知零点位于区间(2,3)内，故选C ．(3)设f (x )＝ln(x ＋1)－21－x 可以判断f (x )为增函数，又f (1)＝ln2－1<0，f (2)＝ln3－12>0，故选B ．名师点拨 ☞确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．考点2 函数零点个数的确定——师生共研例2 (1)(2018·课标Ⅲ，15)函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为__3__.(2)(文)(2018·云南昆明一中摸底)若函数f (x )＝|x |，则函数y ＝f (x )－log 12|x |的零点个数是( D )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个(理)(2018·江淮十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5|x －1|－1，x ≥0x 2＋4x ＋4，x <0，则关于x 的方程f 2(x )－5f (x )＋4＝0的实数根的个数为( D ) A ．2 B ．3 C ．6D ．7[分析] 画出函数图象，结合图象确定零点的个数，若方程f (x )＝0可解，也可直接解方程求解．[解析] (1)本题考查函数与方程．令f (x )＝0，得cos(3x ＋π6)＝0，解得x ＝k π3＋π9(k ∈Z )．当k＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，又x ∈[0，π]，所以满足要求的零点有3个．(2)(文)在同一坐标系中作出f (x )＝|x |、g (x )＝log 12|x |的图象，由图可知选D ．(理)解法一：由f 2(x )－5f (x )＋4＝0得f (x )＝1或4.若f (x )＝1，当x ≥0时，即5|x －1|－1＝1， 5|x －1|＝2解得x ＝1±log 52，当x <0时，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或－3.若f (x )＝4，当x ≥0时，5|x －1|－1＝4，|x －1|＝1解得x ＝0或2， 当x <0时即x 2＋4x ＝0，解得x ＝－4. 故所求实根个数共有7个．解法二：由f 2(x )－5f (x )＋4＝0得f (x )＝1或4.由f (x )图象可知：f (x )＝1有4个根，f (x )＝4有3个根．∴方程f 2(x ) －5f (x )＋4＝0有7个根． 名师点拨 ☞函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 〔变式训练1〕(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是__2__.(2)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)x 2－2＝0，解得x ＝±2，∵x <0，∴x ＝－2，2x －6＋ln x ＝0，设y ＝ln x ，y ＝6－2x ，分别画函数图象(图略)可得一个交点，故原函数有两个零点．(2)f (x )＝e x ＋x －3在(0，＋∞)上为增函数，f (12)＝e 12－52<0，f (1)＝e －2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f (x )在(－∞，0)上也有一个零点，又f (0)＝0，所以f (x )有三个零点，故选C ．考点3 函数零点的应用——多维探究角度1 与零点有关的比较大小例3 已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －log 12x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( D ) A ．x 1>x 2>x 3 B ．x 2>x 1>x 3 C ．x 1>x 3>x 2D ．x 3>x 2>x 1[解析] 由f (x )＝2x ＋x ＝0，g (x )＝x －log 12x ＝0，h (x )＝log 2x －x ＝0，得2x ＝－x ，x ＝log 12，log 2x ＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x 与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12x 的图象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0,0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2 已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2018·课标Ⅰ，9)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则实数a 的取值范围是( C ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 本题主要考查函数的零点及函数的图象．g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，如图，当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1.故选C ．名师点拨 ☞1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(文)(2018·安徽蚌埠月考)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( B ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．a >b >cD ．c >a >b(理)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则f (a )，f (1)，f (b )的大小关系为__f (a )<f (1)<f (b )__.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，x ＋2，x ≤0，方程|f (x )|＝a 有三个零点，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，0)B ．[0，e)C ．(0,2)D ．(2，＋∞)[分析] 解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x 、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可． [解析] (1)(文)解法一：∵f (－1)＝3－1－1＝－23，f (0)＝1，∴a ∈(－23，0)，又g (13)＝log 313＋13＝－23，g (1)＝1，∴b ∈(13，1)，显然c ＝0，∴a <c <b ，故选B ．解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y ＝3x 、y ＝log 2x 、y ＝－x 的图象，结合图象及c ＝0可知a <c <b ，故选B ．(理)因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1＋1－2＝－1>0，所以f (x )的零点a ∈(0,1)，又g (1)＝ln1＋－2＝－1<0，g (2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，所以g (x )的零点b ∈(1,2)，又f (x )＝e x ＋x －2为单调增函数，且e x <a <1<b <2，所以f (a )<f (1)<f (b )．(2)当a ＝0时，|f (x )|＝0，由y ＝|f (x )|的图象与x 轴有两个交点，即函数y ＝|f (x )|－a 有两个零点1与－2，舍去；当a <0时，因为y ＝|f (x )|的图象都在x 轴上或x 轴的上方，所以y ＝|f (x )|的图象与函数y ＝a 没有交点，即函数y ＝|f (x )|－a 没有零点，舍去；当a >0时，在平面直角坐标系中，画出y ＝|f (x )|的图象，观察图象可知，当a >2时，y ＝|f (x )|与y ＝a 才有三个交点．考点4 二分法及其应用——自主练透例5 (1)用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈__(0,0.5)__，第二次应计算__f (0.25)__.(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判定该根所在的区间为 (32，2) .(3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是__7__.[解析] (1)因为f (0)<0，f (0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0,0.5)；第二次应计算f (0＋0.52)＝f (0.25)．(2)区间(1,2)的中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，则根所在区间为(32，2)．(3)设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100.由26＝64,27＝128，知n ＝7. 名师点拨 ☞1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断． 2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f (a )，f (b )的值比较容易计算且f (a )·f (b )<0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的． (3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．。