2013高考数学(理)一轮复习课件：x4-4-2

【训练 3】(2011· 南京模拟)过点 P(－3,0)且倾斜角为 30° 的直线 1 x＝t＋ t ， 和曲线 y＝t－1 t 的长．
(t 为参数)相交于 A、B 两点，求线段 AB
3 x＝－3＋ 2 s， 解 直线的参数方程为 y＝1s 2 1 x＝t＋ t ， 又曲线 y＝t－1 t
[解答示范] (1)设 P(x，y)，则由条件知
x y M2，2.
x 2＝2cos α， 由于 M 点在 C1 上，所以 y＝2＋2sin α， 2 从而
x＝4cos α， C2 的参数方程为 y＝4＋4sin α
x＝4cos α， 即 y＝4＋4sin α.
θ，
(0≤θ
5 x＝ t2， ＜π)和 4 (t∈R)，它们的交点坐标为________． y＝t 解析
x＝ 5cos 由 y＝sin θ
θ，
x2 2 (0≤θ＜π)得， ＋y ＝1(y≥0)由 5
52 x＝ t ， 5 2 4 (t∈R)得，x＝4y ，∴5y4＋16y2－16＝0. y＝t
【训练 2】 已知直线 l
x＝1＋t， 的参数方程为 y＝4－2t
(参数 t∈R)，
圆C
x＝2cos θ＋2， 的参数方程为 y＝2sin θ
(参数 θ∈[0,2π])，求直线 l
被圆 C 所截得的弦长．
解
x＝1＋t， 由 y＝4－2t
消参数后得普通方程为 2x＋y－6＝0， 消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显
(α 为参数)．(5 分)
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝8sin θ. π π 射线 θ＝ 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1＝4sin ， 3 3 π π 射线 θ＝3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2＝8sin 3. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10 分)
＋2x，圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆 2－1 心(0， 2)到直线 y＝1＋2x 的距离为 ， 因为该距离小于圆 1＋4 的半径，所以直线 l 与圆 C 相交． 答案 相交
x＝ 5cos 5． (2011· 广东)已知两曲线参数方程分别为 y＝sin θ
2
则直线截椭圆的
6 2 2 2 － 5 －4×5＝
4 2 5 .
普通方程化为参数方程： 化普通方程为参数方程的基 本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一个关系 x＝ f(t)(或 y＝φ(t))，再代入普通方程 F(x，y)＝0，求得另一关系 y ＝φ(t)(或 x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数 量、斜率，某一点的横坐标 (或纵坐标)．普通方程化为参数方 程需要引入参数， 选择的参数不同， 所得的参数方程也不一样．
4．(2011· 广州调研)已知直线 l
x＝2t， 的参数方程为： y＝1＋4t
(t 为
Leabharlann Baidu
参数)，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的 位置关系为________． 解析 将直线 l
x＝2t， 的参数方程： y＝1＋4t
化为普通方程得， y＝1
参数方程化为普通方程： 化参数方程为普通方程的基 本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去 法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元 或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．
【训练
x＝cos α， 1】(2010· 陕西)参数方程 y＝1＋sin α
(θ 为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ， x2 y2 椭圆a2＋b2＝1 的参数方程为 (θ 为参数)． y＝bsin θ x＝asec φ， x2 y2 双曲线a2－b2＝1 的参数方程为 (φ 为参数)． y＝tan φ
抛物线 y2＝2px
2 x＝2pt ， 的参数方程为 y＝2pt
(α 为参数)化成普
通方程为________． 解析
x＝cos α， 由 y＝1＋sin α， x＝cos α， 得 y－1＝sin α，
① ②
①2＋②2 得：x2＋(y－1)2＝1. 答案 x2＋(y－1)2＝1
考向二 直线与圆的参数方程的应用 【例 2 】 ► 已知圆
x＝2cos θ＋2， 由 y＝2sin θ
然圆心坐标为(2,0)，半径为 2.由于圆心到直线 2x＋y－6＝0 的 |2×2＋0－6| 2 5 距离为 d＝ ＝ 5 ， 2 2 ＋1 所以所求弦长为 2 2
2
2 5 2 8 5 － ＝ 5 . 5
考向三
圆锥曲线的参数方程的应用
(s 为参数)，
(t 为参数)可以化为 x2－y2＝4， 将直线的参
数方程代入上式，得 s2－6 3s＋10＝0， 设 A、 B 对应的参数分别为 s1， s2.∴s1＋s2＝6 3， s1s2＝10.∴|AB| ＝|s1－s2|＝ s1＋s22－4s1s2＝2 17.
如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题
(t 为参数)，
代入椭圆方程可得
2 2 t 2 2 2 ＋1＋ t ＝1， 4 2
52 即2t ＋3 2t＋1＝0.设方程的两实根分别为 t1、t2，则由二次方 6 2 t1＋t2＝－ 5 ， 程的根与系数的关系可得 t1t2＝2， 5 弦长是|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝
从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点 是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简 单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为 填空题和解答题．
【示例】 ► (本题满分 10 分)(2011· 新课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线
x＝2cos α， C1 的参数方程为 y＝2＋2sin α
x＝ft， 某个变量的函数 y＝ft，
并且对于 t 的每个允许值， 由方程组
所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数 方程，联系变数 x，y 的变数 t 是参变数，简称参数．相对于参 数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．常见曲线的参数方程的一般形式
(t 为参数)．
双基自测 1．极坐标方程 ρ＝cos θ 表示的图形分别是( A．直线、直线 C．圆、圆
x＝－1－t， 和参数方程 y＝2＋t
(t 为参数)所
)． B．直线、圆 D．圆、直线
x x 解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝ 代入到 ρ＝cos θ，得 ρ＝ ， ρ ρ ∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x 表示圆．
x2 2 【例 3】►求经过点(1,1)，倾斜角为 135° 的直线截椭圆 ＋y ＝1 4 所得的弦长． [审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根 与系数的关系及弦长公式可解决． x＝1－ 解 由条件可知直线的参数方程是 y＝1＋
1－
2 t， 2 2 t 2
1 x＝1＋2t， (2) y＝5＋ 3t. 2
[审题视点] (1)利用平方关系消参数 θ； (2)代入消元法消去 t.
解
cos θ＝x－3， (1)由已知 sin θ＝2－y，
由三角恒等式 cos2 θ＋sin2θ＝1,
可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程． 3 (2)由已知 t＝2x－2，代入 y＝5＋ t 中， 2 3 得 y＝5＋ 2 (2x－2)， 即 3x－y＋5－ 3＝0 就是它的普通方程．
x＝－1－t， 又∵ y＝2＋t，
相加得 x＋y＝1，表示直线．
答案 D
x＝1－2t， 2．若直线 y＝2＋3t
(t 为实数)与直线 4x＋ky＝1 垂直，则常
数 k＝________. 解析
x＝1－2t， 参数方程 y＝2＋3t，
所表示的直线方程为 3x＋2y＝7，
2π 解 (1)当 α＝ 3 时， 直线 l 的直角坐标方程为 3x＋y－3 3＝0， 2 3 圆 C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离 d＝ 2 ＝ 3，圆 的半径为 1，故圆上的点到直线 l 距离的最小值为 3－1. (2)圆 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1， 将直线 l 的参数方程 代入圆 C 的直角坐标方程，得 t2＋2(cos α＋ 3sin α)t＋3＝0， 这个关于 t 的一元二次方程有解，故 Δ＝4(cos α＋ 3sin α)2－ 12≥0， 则 sin
3 4 由此直线与直线 4x＋ky＝1 垂直可得－2×－k＝－1，解得 k ＝－6. 答案 －6
x＝5cos θ， 3．二次曲线 y＝3sin θ
(θ 是 参 数 ) 的 左 焦 点 的 坐 标 是
________． x2 y2 解析 题中二次曲线的普通方程为 ＋ ＝1 左焦点为(－4,0)． 25 9 答案 (－4,0)
4 解得：y ＝ 或 y2＝－4(舍去)． 5
2
5 2 2 5 则 x＝ y ＝1 又 θ≥0，得交点坐标为1， . 4 5
答案
2 5 1 ， 5
考向一
参数方程与普通方程的互化
【例 1】►把下列参数方程化为普通方程：
x＝3＋cos θ， (1) y＝2－sin θ；
x＝2＋tcos α， y＝ 3＋tsin α x＝1＋cos C： y＝sin θ
θ，
(θ 为参数 ) 和直线 l ：
(其中 t 为参数，α 为直线 l 的倾斜角)．
2π (1)当 α＝ 3 时，求圆上的点到直线 l 距离的最小值； (2)当直线 l 与圆 C 有公共点时，求 α 的取值范围． [审题视点] (1)求圆心到直线 l 的距离，这个距离减去圆的半径 即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参 数方程代入得关于参数 t 的一元二次方程，这个方程的 Δ≥0.
(α 为参数)．
→ → M 是 C1 上的动点，P 点满足OP＝2OM，P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程； (2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ π ＝ 与 C1 的异于极点的交点为 A， 与 C2 的异于极点的交点为 B， 3 求|AB|.
第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线 C1、曲线 C2 π 均用极坐标表示，再求射线 θ＝ 与曲线 C1、C2 的交点 A、B 的 3 极径即可．
2
π 3 α＋ ≥ ， 6 4 即
π sinα＋6≥
π 3 3 或 sin α＋6 ≤－ . 2 2
又 0≤α＜π， 故只能
π sinα＋6≥
3 π π 2π π π 即3≤α＋6≤ 3 ， 即6≤α≤2. 2，
如果问题中的方程都是参数方程， 那就要至少把其中 的一个化为直角坐标方程．
(1) 经 过 点 P0(x0 ， y0) ， 倾 斜 角 为 α 的 直 线 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．
→ 设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段P0P的数量．
x＝rcos θ， (2)圆的参数方程 y＝rsin θ
第2讲 参数方程
【2013 年高考会这样考】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】 复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆 锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义， 同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法．
基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标 x，y 都是