2015-2016年河北省唐山市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2015-2016学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）
A．B．C．D．
2．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是（）
A．∀x∈R，x2+2x+5=0B．∀x∈R，x2+2x+5≠0
C．∀x∉R，x2+2x+5=0D．∀x∉R，x2+2x+5≠0
3．（5分）设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
4．（5分）“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）椭圆的焦距与短轴长相等，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
6．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）
A．=1B．=1C．=1D．=1 7．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）
8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）
A．（5+）πcm2B．（5+2）πcm2C．（6+）πcm2D．（6+2）πcm2
9．（5分）已知△ABC在平面α内，直线CD⊥平面α，P是平面α内的一个动点，设P到直线AB的距离为d1，P到直线CD的距离为d2，若d1=d2，则动点P的轨迹是（）
A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线10．（5分）过点P（2，3）作圆（x+4）2+（y+1）2=9的切线PA，PB，切点分别是A，B，则直线AB的方程为（）
A．6x+4y+19=0B．4x﹣6y+19=0C．6x﹣4y+19=0D．4x+6y﹣19=0
11．（5分）已知A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），下列命题正确的是（）A．若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为椭圆
B．若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线
C．椭圆+=1上任意一点M（长轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣
D．双曲线﹣=1上任意一点M（实轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣
12．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AD1所成的角为30°，且与平面C1D1C所成的角为60°，则这样的直线l的条数是（）A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中的横线上.
13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是．
14．（5分）若直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，则实数a=．15．（5分）三棱锥D﹣ABC的四个顶点在同一球面上，AC⊥AB，△DBC是边长为4的正三角形，若平面ABC⊥平面DBC，则该球的表面积为．
16．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过
F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF1|=3|MF2|，则此双曲线的离心率是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1=0有实数根，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．
19．（12分）如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2，BC=2，直线DA ⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．
（1）求证：直线BD⊥平面OCE；
（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．
（1）求•；
（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．
21．（12分）如图，在棱长为a的正方形OABC﹣O1A1B1C1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；
（Ⅱ）当三棱锥B1﹣EFB的体积取得最大值时，求二面角B﹣B1E﹣F的正切值．
22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．
2015-2016学年河北省唐山市高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）
A．B．C．D．
【解答】解：直线x+y﹣3=0可化为y=﹣x+3，
∴直线的斜率为﹣，
设倾斜角为α，则tanα=﹣，
又∵0≤α＜π，
∴α=，
故选：C．
2．（5分）命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是（）
A．∀x∈R，x2+2x+5=0B．∀x∈R，x2+2x+5≠0
C．∀x∉R，x2+2x+5=0D．∀x∉R，x2+2x+5≠0
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+5=0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+5≠0．
故选：B．
3．（5分）设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
【解答】解：由l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，知：
在A中：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中：若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；
在C中：若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；
在D中：若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
故选：D．
4．（5分）“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行时，
a（a+1）﹣2×3=0，
解得a=﹣3或a=2（两直线重合，应舍去），充分性成立；
当a=﹣3时，直线﹣3x+3y+1=0与直线2x﹣2y+1=0平行，必要性成立；
∴“直线ax+3y+1=0与直线2x+（a+1）y+1=0平行”是“a=﹣3”的充要条件．
故选：C．
5．（5分）椭圆的焦距与短轴长相等，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
【解答】解：∵椭圆的焦距与短轴长相等，∴2c=2b，即b2=c2
椭圆方程中的a，b，c之间的关系是a2=b2+c2，
把b2=c2代入a2=b2+c2中化简得：=，即=
所以椭圆的离心率为：
故选：C
6．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）
A．=1B．=1C．=1D．=1
【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且
c===5，
所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），
因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为
，
即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，
所以双曲线方程为，
故选：A．
7．（5分）抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（）C．D．（2，4）
【解答】解：设抛物线y=x2上一点为A（x0，），
点A（x0，）到直线2x﹣y﹣4=0的距离d==，∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x﹣y﹣4=0的距离
最短．
故选：A．
8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）
A．（5+）πcm2B．（5+2）πcm2C．（6+）πcm2D．（6+2）πcm2
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体上部分为圆锥体，下部分为圆柱体；
且圆锥体的高为2，底面圆半径为1，
所以圆锥的母线长为=，
所以圆锥的侧面积为π•1•=π；
又圆柱的底面半径为1，高为2，
所以圆柱的侧面积为2π•1•2=4π，
底面圆面积为π•12=π；
所以该几何体的表面积为
S=π+4π+π=（5+）π（cm2）．
故选：A．
9．（5分）已知△ABC在平面α内，直线CD⊥平面α，P是平面α内的一个动点，设P到直线AB的距离为d1，P到直线CD的距离为d2，若d1=d2，则动点P的轨迹是（）
A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线
【解答】解：由题意，在平面α内，P到直线AB的距离等于P到点C的距离，∴动点P的轨迹是抛物线．
故选：B．
10．（5分）过点P（2，3）作圆（x+4）2+（y+1）2=9的切线PA，PB，切点分别是A，B，则直线AB的方程为（）
A．6x+4y+19=0B．4x﹣6y+19=0C．6x﹣4y+19=0D．4x+6y﹣19=0
【解答】解：设圆心为O，则O（﹣4，﹣1），∴直线OP的斜率k==．
∵OP⊥AB，∴直线AB的斜率k′=﹣．
故选：A．
11．（5分）已知A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），下列命题正确的是（）A．若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为椭圆
B．若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线
C．椭圆+=1上任意一点M（长轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣
D．双曲线﹣=1上任意一点M（实轴端点除外）与A，B连线斜率之积是﹣
【解答】解：∵A（2，0），B（﹣2，0），P（x，y），∴|AB|=4，
若P到A，B距离之和为4，则点P的轨迹为线段AB，故A错误；
若P到A，B距离之差为3，则点P的轨迹为双曲线的左支，故B错误；
依题意可知A（2，0），B（﹣2，0）是椭圆+=1顶点，
M是椭圆椭圆+=1上任意一点，设坐标为M（2cosα，），
∴MA、MB的斜率分别是k1=，k2=
∴k1k2=×==﹣，故C正确；
依题意可知A（2，0），B（﹣2，0）是双曲线=1的项点，
椭圆+=1焦点，
M是双曲线﹣=1上任意一点，设坐标为M（2sect，tant），
∴MA、MB的斜率分别是k1=，k2=，
∴k1k2=×=，故D错误．
故选：C．
12．（5分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与直线AD1所成的角为30°，且与平面C1D1C所成的角为60°，则这样的直线l的条数是（）A．1B．2C．3D．4
【解答】解：在平面C1D1C内，以点D为圆心，半径为AD画圆，则点A与此圆上的点的连线满足：与平面C1D1C所成的角为60°．
所以满足l与直线AD1所成的角为30°有且只有2条，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中的横线上.
13．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）．
【解答】解：抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．
14．（5分）若直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，则实数a=2．
【解答】解：∵直线2x+ay﹣7=0和直线（a﹣3）x+y+4=0互相垂直，
∴2（a﹣3）+a×1=0，
解得a=2．
故答案为：2．
15．（5分）三棱锥D﹣ABC的四个顶点在同一球面上，AC⊥AB，△DBC是边长
为4的正三角形，若平面ABC⊥平面DBC，则该球的表面积为．
【解答】解：AC⊥AB，BC=4
∴△ABC的外接圆的半径为2，
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，
∴球心在BC边的高上，
设球心到平面ABC的距离为h，
则h2+3=R2=（2﹣h）2，
∴R=，
∴球O的表面积为4πR2=．
故答案为：．
16．（5分）已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF1|=3|MF2|，则此双曲线的离
心率是．
【解答】解：设双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，
F2（c，0）到渐近线的距离为d=|MF2|==b，
cos∠MOF2===，
在△MOF1中，|MF1|2=|MO|2+|OF1|2﹣2|MO|•|OF1|•cos∠MOF2
=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，
由|MF1|=3|MF2|，可得3a2+c2=9b2=9（c2﹣a2），
即有c2=a2，即e==．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知命题p：关于x的方程x2﹣2mx+1=0有实数根，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．
【解答】解：若命题p为真，则有△=4m2﹣4≥0，解得m≤﹣1或m≥1，
当p为假时有﹣1＜m＜1．…（3分）
若命题q为真，则有1＜＜4，即解得0＜m＜15．…（6分）
因为“﹁q”为假命题，“p∧q”为假命题，
所以q为真命题，p为假命题．…（8分）
于是由解得0＜m＜1．
故所求实数m的取值范围是0＜m＜1．…（10分）
18．（12分）已知圆C经过抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线2x﹣y+2=0与圆C交于A，B两点，求|AB|．
【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴的交点分别是（1，0），（3，0），（0，3）…（3分）
所求圆的圆心是直线y=x与x=2的交点（2，2），圆的半径是，
于是圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5．…（6分）
（2）圆心C到直线2x﹣y+2=0的距离d=…（9分）
|AB|=2=…（12分）
19．（12分）如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2，BC=2，直线DA ⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．
（1）求证：直线BD⊥平面OCE；
（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）证明：
∵AD⊥平面ABE，OE⊂平面ABE，
∴AD⊥OE；
∵AE=BE，AO=BO，
∴AB⊥OE，又AB∩AD=A，
∴OE⊥平面ABCD，于是OE⊥BD；
∵==，
∴∠COB=∠ADB，
而∠ADB+∠ABD=90°，
则∠COB+∠ABD=90°，于是∠OMB=90°，即BD⊥OC；
又OE∩OC=O，故直线BD⊥平面OCE．…（6分）
（2）在线段BD上存在点F，使直线AF∥平面OCE．
过A作AF⊥BD，垂足F，由（Ⅰ）知AF∥OC，OC⊂平面OCE，AF⊄平面OCE，可得直线AF∥平面OCE．
Rt△DAB内，由勾股定理知BD=，另有cos∠ADB===，
Rt△DAF内，DF=DAcos∠ADB=．…（12分）
20．（12分）已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．
（1）求•；
（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设直线l的方程为x=my+6，A（x1，y1），B（x2，y2），
由x=my+6与抛物线y2=4x得y2﹣4my﹣24=0，显然△＞0，
y1+y2=4m，y1y2=﹣24，x1x2=36
可得•=x1x2+y1y2=12．…（6分）
=|OM|•|y1﹣y2|=3=12=12，
（2）S
△OAB
∴m2=4，m=±2．
那么直线l的方程为x+2y﹣6=0和x﹣2y﹣6=0…（12分）
21．（12分）如图，在棱长为a的正方形OABC﹣O1A1B1C1中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；
（Ⅱ）当三棱锥B1﹣EFB的体积取得最大值时，求二面角B﹣B1E﹣F的正切值．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，以B为原点，BA、BC、BB1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B﹣xyz
设AE=BF=m （0≤m≤a），则E（0，a﹣m，0），
C1（a，0，a），A1（0，a，a），
F（m，0，0），…（2分）
∴=（m，﹣a，﹣a），
=（﹣a，a﹣m，﹣a），…（4分）
∴•=﹣am﹣a2+am+a2=0，
∴A1F⊥C1E．…（6分）
=S△BEF•BB1=m（a﹣m）≤，解：（Ⅱ）∵BB1⊥平面EFB，∴V B1
﹣EFB
取最大值．…（8分）
当且仅当m=时，V B1
﹣EFB
此时，E（0，，0），F（，0，0），B 1（0，0，a）
=（0，，﹣a），=（，0，﹣a）
设平面B1EF的一个法向量为=（x，y，z），
则有，即
令x=2，则y=2，z=1，得=（2，2，1），
取平面BB1E的一个法向量=（1，0，0），
则cos＜，＞==…（10分）
二面角B﹣B1E﹣F的正切值为．…（12分）
22．（12分）已知A（2，0），O为坐标原点，动点P满足|+|+|﹣|=4（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点A且不垂直于坐标轴的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，线段MN的垂直平分线与x轴交于点D，线段MN的中点为H，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由已知得+=＞4，根据椭圆定义知P点轨迹为以（2，0）和（﹣2，0）为焦点，长轴长为的椭圆，
即有a=2，c=2，b=2，
则动点P的轨迹C的方程为+=1；
（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），
则l的方程为y=k（x﹣2），将其代入+=1，
整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，
由于A在椭圆内，当然对任意实数k都有△＞0，
根据韦达定理得x1+x2=，x1x2=，
那么|MN|==•
=，
y1+y2=k（x1﹣2）+k（x2﹣2）=k（x1+x2）﹣4k=，
线段MN中点H的坐标为（，），
那么线段MN的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），
令y=0，得D（，0），
|DH|==，
则=•=•，由k≠0，可得1+∈（1，+∞），
于是∈（0，）．。