相似三角形辅助线(教师版)

相似三角形（辅助线的做法）
在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种：
○
1作平行线 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的
中点，求：BE ：EF 的值.
解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则
∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.
解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，
∴BE ：EF=5：1.
解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，
解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1.
练习：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的
中点, 连结BE 并延长交AC 于F,
求AF ：CF 的值.（答案2：3）
解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，
解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，
解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，
解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，
，1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ，EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 21==；TC BT EF BE =，DC BT 2
5=
例2：如图，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，
DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证： （证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ） （该题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用.由这道题还可以增加一种证
明线段相等的方法：相似、成比例.）
例3：如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的
延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF.
分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

.
方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）. 方法二：过D 作DN//EC 交BC 于N.
例4：在△ABC 中，D 为AC 上的一点，E 为CB 延长线上的一点，
BE=AD ，DE 交AB 于F 。

求证：EF ×BC=AC ×DF
证明：过D 作DG ∥BC 交AB 于G ，则△DFG 和△EFB 相似，
∴ ∵BE ＝AD,∴ 由DG ∥BC 可得△ADG 和△ACB 相似，∴ 即 ∴EF ×BC ＝AC ×DF.
例5：已知点D 是BC 的中点，过D 点的直线交AC 于E,交BA 的延长线于F,求证：
分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 .
（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.）
例6：已知：在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BD 是高，求证：
BC2=2AC ·CD
分析：本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段.
CE
BD CF BF =DG DF BE EF =DG DF AD EF =DG AD BC AC =DG BC AD AC =EC
AE BF AF =
例7:已知：从直角三角形ABC 的 直角顶点A 向斜边BC 引垂线，垂足为D ，边AC 的中点为E,直线ED 与边AB 的延长线交于F ，求证：AB:AC=DF:AF
分析：利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的 结论，证明所得结论.
找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似.
例8：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上中线，E 是AC 上一点，连接ED 且交AB 的延长线于F 点.求证：AE ：EC=AF ：BF.
分析：注意观察图形的 特殊性，有些像全等中，旋转的基本图形，因此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段（通过全等找相等的线段）关键是要把成比例线段放在两个三角形中.
例9：如图，平行四边形ABCD 中，E 为AB 边中点，点F 在
AD 边上，且AF ：FD=1：2，EF 交AC 于G ，求AG ：GC 的值
（构造线段相等转化比例式）
例10：在∆ABC 中，AB=AC,AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB,延长BP 交AC 于E ，交CF 于F,求证：BP ²=PE ·PF
分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明.
例11：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，BA 、CD 的延长线交于E 点，连结EO 并延长分别交AD 、BC 于N 、M 求证： BM=CM （证明线段相等的又一方法）
○
2作垂线 例12：如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，
垂足分别为E 、F ，求证：
证明：过B 作BM ⊥AC 于M ，过D 作DN ⊥AC 于N
∴ AM ：AE=AB ：AC （1）
（1）+（2）得
BM AN EB EA BC AD OC AO MC AN ====2AC AF AD AE AB =⋅+⋅AM AC AE AB ⋅=⋅)(AN AM AC AN AC AM AC AF AD AE AB +=⋅+⋅=⋅+⋅BCM ADN ∆≅∆
例13：∆ABC 中，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点
（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：
证明：过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥CB 于F ，则CEPF 为矩形
∴ PF EC ∵ ∠A ＝∠B=45° ∴Rt ΔAEP=Rt ΔPFB ∴ ∵ EC=PF ∴ （1） 在ΔECP 和ΔCNM 中CP ⊥MN 于Q
∴ ∠QCN+∠QNC=90°又 ∵ ∠QCN+∠QCM=90° ∴∠MCQ=∠CNQ
∴Rt ΔPEC ∽Rt ΔMCN ∴ 即 （2） 由（1）（2）得
○
3作延长线 例14. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形。

把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。

解：延长BA 、CD 交于点P ∵CH ⊥AB ，CD 平分∠BCD
∴CB=CP ，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA ：AB=1：2 ∴PA ：PB=1：3
∵AD ∥BC ∴△PAD ∽△PBC
例15. 如图，RtABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FGAB 于G ，求证：FG=CF ·BF
分析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG 与ΔCFG 会相似吗？显然不可能。

（因为ΔBFG 为Rt Δ），但由E 为CD 的中
点，∴可设法构造一个与ΔBFG 相似的三角形来求解。

不妨延长GF 与AC 的延长线交于H ，则 又ED=EC ∴FG=FH 又易证Rt ΔCFH ∽Rt ΔGFB
∴FG ·FH=CF ·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF ·BF
○
4作中线 例16：如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求AC.
解：取BC 的中点M ，连AM ∵AB ⊥AC ∴ AM=CM ∴∠1=∠C 又 BD=DC ∴∠DBC=∠DCB ∴∠CAM=∠C=∠DBC ∴ΔMAC ∽ΔDBC
∴ 又 DC=1 MC= BC ∴ （1）
又 Rt ΔAEC ∽Rt ΔBAC 又 ∵ EC=1 ∴ （2）
由（1）（2）得， ∴
小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC 中点M ，构造ΔMAC ∽ΔDBC 是解题关键
CN CM PB PA ::==//PF PE PB AP ::=EC PE PF PE PB PA ==CN EC CM EP =CN CM EC EP =CN CM PB PA =91：
：∴△△=PBC PAD S S PBC PCH S S △△∵21=72：∴四边形△==AHCD PAD S S 21=AHCD S 四边形∵6=PAD S △∴54=PBC S △2721==PBC HBC S S △△∴FG CF BF FG =EC FH ED FG AE AF ==EC FH ED FG =BF FH FG CF =BC AC DC MC =2122
1BC DC BC MC AC =⋅=BC BC CE AC =⋅=2421AC AC =32=AC。