【人教版】2020高考数学二轮复习 专题四 函数与导数 第2讲 导数及其应用学案

第2讲 导数及其应用

[考情考向分析] 1.导数的几何意义和导数运算是导数应用的基础，曲线的切线问题是江苏高考的热点，要求是B 级. 2.利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B 级．

热点一 函数图象的切线问题

例1 已知函数f (x )＝x 3

＋(1－a )x 2

－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．

(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2

＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得

⎩⎪⎨⎪⎧

f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，

解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.

(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，

所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2

＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2

＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2

＋4a ＋1＞0， 解得a ≠－12

.

所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，＋∞. 思维升华 解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，先使用曲线上点的横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系．

跟踪演练1 (1)(2018·常州期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝

f (x )相切，则k －b 的值为________．

答案 1

e

解析 因为f (x )＝bx ＋ln x (x ＞0)，所以f ′(x )＝b ＋1

x

，

设过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，bx 0＋ln x 0)，

则切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝

⎛⎭

⎪⎫b ＋1x

(x －x 0)，

因为该切线过原点，所以－(bx 0＋ln x 0)＝－()bx 0＋1，

解得ln x 0＝1，x 0＝e ，所以k ＝b ＋1

e ，

故k －b ＝1

e

.

(2)(2018·江苏泰州中学月考)若曲线y ＝12e x 2

与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a

的值为________． 答案 1

解析 两曲线的导数分别是y ′＝1e x ，y ′＝a

x

，

因为在P 处有公切线，所以s e ＝a s 且s 2

2e

＝a ln s ，

解得a ＝1.

热点二 利用导数研究函数的单调性

例2 已知函数f (x )＝2ln x ＋bx ，直线y ＝2x －2与曲线y ＝f (x )相切于点P . (1)求点P 的坐标及b 的值；

(2)若函数g (x )＝x －a x

(a >0)，讨论函数h (x )＝g (x )－f (x )的单调区间．

解 (1)设P (x 0，y 0)为直线y ＝2x －2与曲线y ＝f (x )的切点坐标，则有2ln x 0＋bx 0＝2x 0－2.① 因为f ′(x )＝2x ＋b (x ＞0)，所以2

x 0

＋b ＝2.②

联立①②解得b ＝0，x 0＝1，则切点P (1,0)，b ＝0.

(2)由(1)知f (x )＝2ln x ，则h (x )＝g (x )－f (x )＝x －a x

－2ln x (x >0)．

求导得h ′(x )＝1＋a x 2－2x ＝x 2－2x ＋a

x 2

(x >0)．

令y ＝x 2

－2x ＋a (x ＞0)．

①若Δ＝4－4a ≤0，即a ≥1时，y ≥0，即h ′(x )≥0，此时函数h (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数； ②若Δ＝4－4a >0，即0

－2x ＋a 有两个不同零点x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a . 因为0

当0x 2时，y ＞0，即h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x 1

综上所述，当a ≥1时，函数h (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调减区间；当0

(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.

②若已知函数的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立来求解． 跟踪演练2 (1)函数f (x )＝12x 2

－ln x 的单调减区间为________．

答案 (0,1)

解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1

x

＜0，解得0＜x <1，所以函数f (x )的单调减区间

为(0,1)．

(2)已知函数h ()x ＝ln x －()a ＋e x 在区间()1，＋∞上为单调函数，则实数a 的取值范围是___________________________________． 答案 (－∞，－e]∪[1－e ，＋∞)

解析 当h ()x 单调递增时，则h ′()x ＝1

x

－()a ＋e ≥0在()1，＋∞上恒成立，

∴1x ≥()a ＋e 在()1，＋∞上恒成立，又1

x

∈()0，1，

∴a ＋e ≤0，解得a ≤－e.

当h ()x 单调递减时，则h ′()x ＝1

x

－()a ＋e ≤0在()1，＋∞上恒成立，

∴1

x

≤()a ＋e 在()1，＋∞上恒成立， ∴a ＋e≥1，

∴a ≥1－e.

综上，当h ()x 在区间(1，＋∞)上单调时，a 的取值范围为()－∞，－e]∪[1－e ，＋∞. 热点三 利用导数研究函数的极值与最值

例3 已知函数f (x )＝ax －2

x

－3ln x ，其中a 为常数．

(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2

3，f

⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤32，3上的最小值； (2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3

x

(x >0)，

由题意可知，f ′⎝ ⎛⎭

⎪⎫23＝1，解得a ＝1. 故f (x )＝x －2x －3ln x ，∴f ′(x )＝(x －1)(x －2)

x

2

， 根据题意在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上，由f ′(x )＝0，得x ＝2.

于是在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤32，3上， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：