江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷(理科)

江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．162．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．94．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+26．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．28．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲29．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．112．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．16考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N及两集合的交集，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．解答：解：由M中不等式解得：x＜0或x＞4，∴M={x|x＜0或x＞4}，∵N={x|m＜x＜8}，且M∩N={x|6＜x＜n}，∴m=6，n=8，则m+n=6+8=14，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i+=1+3i，∴|（1+i）﹣|==．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．9考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．解答：解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=﹣1（舍去），或q=3，故==q2=9．故选：D．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．解答：解：对于①，命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；对于③，数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“a n+1=3a n”，数列不是等比数列，所以③不正确；故选：A．点评：本题考查命题的真假的判断，充要条件以及命题的否定，等比数列的基本知识的应用，考查基本知识的掌握情况．5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+2考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据f（x）求出a1、a3，再利用等差数列的定义求出d与a1的值，即得通项公式a n．解答：解：∵f（x）=x2﹣2x+4，∴a1=f（d﹣1）=（d﹣1）2﹣2（d﹣1）+4=d2﹣4d+7，a3=f（d+1）=（d+1）2﹣2（d+1）+4=d2+3；∴a3﹣a1=4d﹣4，即2d=4d﹣4，解得d=2；∴a1=3，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．故选：B．点评：本题考查了根据函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了等差数列的通项公式的应用问题，是基础题目．6．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域．，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣2）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（1，2），此时AD的斜率k=，则z=1+k=1﹣4=﹣3，即z=的最小值为﹣3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据图形判断设|PC|=3﹣x，e则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，运用数量积的运算得出函数式子（+）•=﹣2x•（3﹣x），再利用基本不等式求解即可．解答：解：∵直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，∴|CD|=3，+=2，∵P为线段CD上任意一点，∴设|PC|=3﹣x，则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，∴（+）•=﹣2x•（3﹣x），∵x•（3﹣x）≤，∴﹣2x•（3﹣x）≥﹣2×=﹣．故选：A．点评：本题考查了平面向量的数量积，转化为函数求解，关键是根据图形得出向量的关系，属于容易题．8．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲2考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，观察数据即可得到结论．解答：解：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，由条形图知，乙图最集中，丙图最分散，故s乙2＜s乙2＜s丙2，故选：C点评：本题主要考查了频率分布条形图，以及平均数、方差和标准差，属于基础题9．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，由y=x3是奇函数可求阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而得解．解答：解：程序框图的含义是，阴影部分的面积与正方形的面积之比，因为y=x3是奇函数，所以面积之比为：．故选：D．点评：本题主要考查了程序框图和函数的性质及应用，属于基本知识的考查．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：设|MA|=x，则可求得|OM|，|AO|的值，进而利用余弦定理得到cos∠OMA的表达式，利用均值不等式求得cos∠OMA的最小值，进而求得∠OMA的最大值．解答：解：设|MA|=x，则|OM|=2，|AO|=由余弦定理可知cos∠OMA==（x+）≥×2=（当且仅当x=1时等号成立）∴∠OMA≤．故选：C．点评：本题主要考查了点与圆的位置关系，余弦定理的应用，均值不等式求最值．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx（0，+∞）+1，再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．解答：解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则•=f（x）=x﹣alnx+1，由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．f′（x）=1﹣=，a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；故选D．点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．12．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．点评：本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率，属于难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是﹣160．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可．解答：解：因为=20×8×（﹣1）=﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160．点评：本题考查二项式定理展开式的应用，特定项的求法，考查计算能力．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=﹣2．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过求出数列的前几项，找出其周期即可．解答：解：∵a n+1=（n∈N+）、a1=，∴a2==3，a3==﹣2，a4==﹣，a5==，a6==3，∴数列{a n}满足：a n=a n+4，∵2015=503×4+3，∴a2015=a3=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查求数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为8π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体的形状，根据他的几何性质得出AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，利用三角形判断得出三角形BDC外接圆的半径r=1，根据球的几何性质得出：R2=r2+d2，求解R即得出面积．解答：解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，∴∠BED=60°，BD=1，∵在三角形BDC中，BD=DC=1，∠BDC=120°，∴根据余弦定理得出：BC=，∵利用正弦定理得出：=2r∴三角形BDC外接圆的半径r=1，∵三棱锥的外接球的半径R，d=AD=1，利用球的几何性质得出：R2=r2+d2，∴R=，∴它的外接球的表面积为4×π×（）2=8π，故答案为：8π．点评：本题考查了空间几何体的外接球的问题，充分利用几何性质，把立体问题转化为平面问题求解，考查了三角的定理的运用综合性较强，属于中档题．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．考点：集合的相等．专题：计算题；集合．分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求单调区间和sinC．解答：解：由题意可得f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）（1）令2kπ≤2x﹣≤2kπ+所以增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…（6分）（2）由f（+）=得sinA=；…（7分）f（）=得cosB=，sinB=；…（8分）由于sinA=＜sinB=，则a＜b⇒cosA=…（10分）所以sinC=sin（A+B）=．…（12分）点评：本题考查了倍角公式的运用化简三角函数，然后求单调区间以及解三角形；关键是正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数的形式．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解答：解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…（2分），∴OP⊥OB，∴OP2+OB2=PB2，即16﹣OC2+4﹣OC2=16，得OC=，则OA=，OB=，OP=，AC=2，…（4分）∴S△ABC==2．∴V P﹣ABC==．…（6分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系．得O（0，0，0），A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），…（8分）∴=（﹣），=（﹣，0，），设平面PBC的法向量=（x，y，z）．则，取z=1，得=（，，1）．（10分）∵=（），∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，正确运用向量方法是关键．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用古典概型的概率求解这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求出概率得到分布列，然后求解X的期望．解答：解：（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率：P==…（5分）（2）X可能的取值为0、1、2、3P（X=0）==，P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==X 0 1 2 3P…（10分）EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）连接QF，结合圆的定义和垂直平分线的性质，以及椭圆的定义，可得Q的轨迹方程；（2）设直线l的方程为x=my+n（m∈R），由直线和圆相切的条件：d=r，可得m，n的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得△AOB的面积，结合向量的数量积的坐标表示和基本不等式，即可得到所求范围．解答：解：（1）连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4＞|EF|=2，∴动点Q的轨迹是以E（﹣，0）、F（，0）为焦点，长轴长2a=4的椭圆，即动点Q的轨迹方程为：+y2=1；（2）依题结合图形知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．∵直线L即x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，∴=1得n2=m2+1．又∵点A，B的坐标满足：，消去x整理得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=，又|AB|=•|y1﹣y2|，点O到直线l的距离d==1，∴S△AOB=d•|AB|=•|y1﹣y2|=|n|•|y1﹣y2|=2•=2•，∵λ==x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2==∵，令t=1+m2，则λ=∈[，]，即有t∈[3，6]∴S△AOB=2•=2•=2•=∵t+∈[6，]，t++6∈[12，]，∈[，]，∴S△AOB∈[，1]，∴S△AOB的取值范围为[，1]．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式和基本不等式，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．（2）由题意可求出0＜a＜；则a=的两个不同根为x1，x2，作出y=的图象，利用数形结合证明．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=1﹣ae x，∵f（x）在x=0的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=1﹣a=0，解得a=1．（2）由f（x）=x﹣ae x=0得a=，设g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＜0得x＞1，由g′（x）＞0得x＜1，即函数g（x）在x=1时，取得极大值g（1）=，则要使f（x）有两个零点x1、x2，则满足0＜a＜，则x1=ae x1，x2=ae x2；∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴；故随着a的减小而增大，令=t，x1=ae x1，x2=ae x2，可化为x2﹣x1=lnt；t＞1；则x1=，x2=；则x2+x1=，令h（t）=，则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a=时，x2+x1=2；故x1+x2＞2．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形；（2）利用切割线定理求出PA，再求出cos∠AOP，利用余弦定理，即可得出结论．解答：（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB∵BD为圆O的直径，∴∠BAD=90°∴∠ADB=90°﹣∠B∵BD⊥OP，∴∠BCO=90°﹣∠B∴∠BCO=∠PCA=∠PAB即△PAC为等腰三角形∴PA=PC；…（5分）（2）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N．∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O的割线，∴PA2=PM•PN=（PO﹣OM）（PO+ON）．∵PO=5，OM=ON=3，∴PA=4．由（1）知PC=PA=4，∴OC=1．在Rt△OAP中，cos∠AOP==．∴AC2=9+1﹣2×3×1×=．∴AC=．…（10分）点评：本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，属于中档题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，把代入即可得出．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）即可得出．解答：解：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=10x，配方为：（x﹣5）2+y2=25．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，由于△=﹣4×20=82＞0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．∴t1+t2=﹣，t1t2=20，又直线l过点P（2，6），可得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）=9．点评：本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。