第2.2节事件独立性
课件10：2.2.2 事件的独立性
于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线 路能够正常工作的概率是 1－P( A ·B ·C )＝1－0.027 ＝0.973.
即这段时间内线路正常工作的概率是 0.973.
小结 (1)解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并 联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立 性及互斥事件、对立事件的有关知识依据“串联通易求，并 联断易求”的原则，给予解答． (2)有的事件正面情况较繁，可以从其对立事件入手解决．
(3)一筐内有 6 个苹果和 3 个梨，“从中任取 1 个，取
出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取出 1
个是梨”．其中为相互独立事件的有
A．(1)(2)
B．(1)(3)
( B)
C．(2)
D．(2)(3)
探究点二 相互独立事件同时发生的概率 例 2 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以 获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽 奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码．
Hale Waihona Puke 跟踪训练 3 (1)如图(1)添加第四个开关 JD 与其他三个开关串 联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是 0.7，计算在这 段时间内线路正常工作的概率． (2)如图(2)两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内 每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正 常工作的概率．
(1)
4．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，
乙能解决的概率是31，2 人试图独立地在半小时内解决它， 1
则两人都未解决的概率为___3___，问题得到解决的概率为 2
数学课件：2.2.2 事件的独立性
题型一 题型二 题型三
(2)因为a,b,c∈(0,1), 所以 P1-P2=23(ab+bc+ca)-2abc =23[ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)]>0. 故P1>P2,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大. 反思 正确区分互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率是求 解问题的关键.
题型一 题型二 题型三
(2)有三名小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为
Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,
女),(女,女,男),(女,女,女)}, 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18,这时 A 中含有 6 个基本事件,
B 中含有 4 个基本事件,
正解二 P(C)=1-P(������)=1-P(������������)=1-P(������)·P(������)=1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-0.1×0.2 =0.98.
1234
1.若A与B是相互独立事件, 则下列不是相互独立事件的为( )
A.A 与������ C. ������与 B
各次射击是否击中相互之间没有影响,那么他第一、二次未击中,
第5)×(1-0.85)×0.85=0.019 125.
答案:0.019 125
不闭合的事件为 R,C 不闭合的事件为������,D 不闭合的事件为������,则
P(T)=P(R)=1-12
×
1 2
=
34,故灯亮的概率
P=1-P(T)P(R)P(������)P(������)=5654.
答案:B
1234
4.某射手射击一次,击中目标的概率是0.85,如果他连续射击三次,且
2.2.2事件的独立性
大同机车中学 高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2013,4第 1 页 共 2 页 课题 2.2.2事件的独立性 课型：概念课 主备人：李元春 审核：备课组【学习目标】了解两个事件相互独立的概念，会用相互独立的事件同时发生的概率乘法公式计算简单的概率问题，能区分互斥和相互独立两种不同的关系。
【学习过程】一、学习探究目标一.相互独立事件1.概念：如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率，且事件B 的发生不会影响事件A 发生的概率，则事件A 与B 叫做 。
2.当事件A 、B 独立时，()/P B A = ，根据()()()P AB P B A P A =可以得到()P AB =()()/P A P B A ⋅= ， 即为独立事件A 、B 同时发生的概率公式.3.互斥事件、对立事件、独立事件的区别一次试验中，对于事件A 、B ，如果不能同时发生，则称A 、B ，此时()P AB = ； 如果A 、B 互斥且A 、B 中必然有一个发生，则称A 、B ，此时()()P A P B += ； 而A 、B 相互独立时，()P AB = ，可见它们是不同的概念。
4.若事件A 、B 相互独立，则A 与__B 与__A 与B __A 与__B 也 。
推广：如果事件12,,n A A A ⋅⋅⋅相互独立，则n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的 概率的积，即12()n P A A A ⋅⋅⋅⋅= 。
目标二. 独立事件的概率问题1. 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）其中恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率。
2. 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响，求：（1）至少有一人面试合格的概率大同机车中学 高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2013,4第 2 页 共 2 页 （2）签约人数ξ的分布列二、学习测评1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一个发生的概率是 。
课件7：2.2.2 事件的相互独立性
方法归纳 解决此类问题应注意什么？ (1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件． (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障 易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
学以致用 3．在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要 其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某 段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段 时间内线路正常工作的概率．
() A．0.56 C．0.75
B．0.48 D．0.6
【解析】都击中目标的概率为 P＝0.8×0.7＝0.56. 【答案】A
3．一件产品要经过 2 道独立的加工程序，第一道工序的
次品率为 a，第二道工序的次品率为 b，则产品的正品率
为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
解：如图所示，记这段时间内开关 KA、KB、KC 能够闭合 分别为事件 A、B、C.
由题意知，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间也 没有影响，根据相互独立事件的概率公式得，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.
探究二 相互独立事件同时发生的概率 典例 2 甲、乙两人独立破译密码的概率分别为13、14，求： (1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．
解：记 A 为“甲独立地译出密码”，B 为“乙独立地译出密码”． 则 A 与 B， A 与 B 均相互独立． (1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112. (2)两个人都译不出密码的概率为 P( A B )＝P( A )P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.
课件1：2.2.2 事件的相互独立性
P( AB) P( A)P(B) 0.9 0.3 0.27
[变式2] 只有一队夺冠的概率有多大？ 只有一队夺冠的概率为： P( AB AB) P( AB) P( AB)
P( A)P(B) P( A)P(B) 0.34
略解:三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：
1 P( A B C) 1 0.5 0.55 0.6 0.835 0.8 P(D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.
练习：
甲坛子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有1个白球，3个黑球； 从两个坛子中分别摸出1个球。问： （1）它们都是白球的概率是多少？ （2）它们都是黑球的概率是多少？ （3）甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出黑球的概率是多少？
③ 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
④ 袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
思考： （1）那么什么叫做事件A和B相互独立？
（3）若相互独立事件A和B同时发生，那如何求它们的概率P(AB)？
第二章 随机变量及其分布
§2.2.2 事件的相互独立性
高中数学选修2-3·同步课件
判断：下列事件哪些是相互独立的?
① 甲、乙两人参加《假日总动员》节目 事件A：甲第一次闯关成功. 事件B：乙第一次闯关成功.
② 甲、乙两人参加《假日总动员》节目 事件A：甲第一次闯关成功. 事件B：甲第二次闯关成功.
p1 p2
（2）事件A、B恰有一个发生的概率是 p1 (1 p2 ) p2 (1 p1 )
（3）事件A、B至少有一个发生的概率是 1 (1 p1 )(1 p2 )
2.2.2事件的独立性
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
又见同步P37 例一 小组讨论 投影展示讲解
1.相互独立事件的若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
两个事件A、B相互独立等价于 P(AB) P(A)P(B)
两个事件互斥，有 P(A B) P(A) P(B). 反之，不成立。
例题举例
例2、甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮， 如果两人投中的概率都是0.6，计算：
（1）两人都投中的概率
（2）其中恰有一人投中的概率
（3）至少有一人投中的概率
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P(ABC) 1 0.50.550.6 0.835
>0.8
0.8 P(D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过
诸葛亮.
完成学案达标检测（分三个小组展示）
解决问题
图形中蕴含的原理
1 一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。
(1)
1
2
P1=r2
1
2
(3)
1
2
P3=1－(1－r2)2
(2)
1
2
P2=1－(1－r)2
1
2
(4)
1
2
P4=[1－(1－r)2]2
答案
2. 如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，
只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定
2.2.2事件的独立性课件人教新课标B版
解：P(A)=0.5,P(B)=0.5，P(C)=0.5 P(AB)=0.25，P(BC)=0.25，P(AC)=0.25 则P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)， P(AC)=P(A)P(C). ∴事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与 C相互以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可 以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的 概率：（1）都抽到某一指定号码；
求 较
正向
(互斥事件)
复 杂
分步 P(A·B)= P(A) ·P (B)
事
(相互独立事件)
件
概
反向 对峙事件的概率
率
课后作业
• P55,2 • P59A组1-3
鸣谢 中心备课组成员：
课件制作： 摄像及后期：信息技术科组
摄制时间：202X年4月
解: “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以
用(AB)(AB)(AB)表示。由于事件 AB,AB与 AB
两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所
求的概率为：P(AB) P(AB) P(AB) 0.0025 0.095 另解：(逆向思考)至少有一次抽中的概率为 0.0975
1 P(AB) 1 (1 0.05)(1 0.05) 0.0975
人教B版 高中数学 选修2-3 第二单元 2.2.2
条件概率与事件的独立性
事件的相互独立性
题目的解决
实际问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大 解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且 每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人 解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？
课件2 ：2.2.2事件的独立性
P( A B) P( A) P( B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概
率的积.一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个事件同
时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
试一试
判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
3.寻找所求事件与已知事件之间的关系.
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件)
还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
4.根据公式解答
课堂小结
求
较
复
杂
事
件
概
率
( 互斥事件)
正向
分类
P(A+B)= P(A) + P (B)
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
解：分别记这段时间内开关 、 、 能够闭合为事件A,B,C.
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。
根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P ( A • B • C ) P ( A) • P ( B ) • P (C )
[1 P ( A)][1 P ( B )][1 P (C )]
第二章 概率
2.2.2 事件的独立性
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有
一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？
P(A+B)=P(A)+(B)
课件11：2.2.2 事件的独立性
入门答辩 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球、 2 个黑球．从这两个箱子里分别摸出 1 个球，记事件 A 为“从甲箱里摸出白球”，B 为“从乙箱里摸出白球”．
问题 1：事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？
提示：不影响．
问题 2：试求 P(A)、P(B)、P(A∩B)．
【答案】0.912
4．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分 别为51，31，41，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密 码被破译的概率为________．
【解析】用 A，B，C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码， 则 P(A)＝15，P(B)＝13，P(C)＝14， 且 P( A ∩ B ∩ C )＝P( A )P( B )P( C )＝54×32×43＝52. 所以此密码被译出的概率为 1－52＝53.
考点二 相互独立事件同时发生的概率
例 2 某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次 考试中排名全班第一的概率：语文为 0.9，数学为 0.8， 英语为 0.85，求： (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班 第一的事件为 A，B，C，则 A，B，C 两两相互独立且 P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用，A ∩ B ∩ C 表示 P( A ∩ B ∩ C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003.
【解析】把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独 立的，其结果不受先后影响，故 A 是独立事件；B 中 是不放回地摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独立； 对于 C，A，B 应为互斥事件，不相互独立；D 是条件 概率，事件 B 受事件 A 的影响． 【答案】A
课件9：2.2.2 事件的独立性
解：记“甲独立地译出密码”为事件 A，“乙独立地译出 密码”为事件 B，A，B 为相互独立事件， 且 P(A)＝13，P(B)＝14. (1)两个人都译出密码的概率为： P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×41＝112.
(2)两个人都译不出密码的概率为： P( A B )＝P( A )·P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－13×1－41＝12.
解：①事件A与B是互斥事件，故A与B不是相互独立事件． ②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影响， ∴A与B相互独立． ③由于每次取球观察颜色后放回，故事件A的发生对事件B 发生的概率没有影响，∴A与B相互独立． 方法总结 相互独立事件是指两个实验中，一个事件的发生 与否对另一事件发生的概率没有影响．
解：设“从甲机床生产的产品中抽取 1 件是废品”为事 件 A，“从乙机床生产的产品中抽取 1 件是废品”为事 件 B，则 P(A)＝0.04，P(B)＝0.05. (1)P(AB)＝P(A)P(B)＝0.04×0.05＝0.002. (2)P( A B )＝P( A )P( B )＝0.96×0.95＝0.912.
(2)他们都失败即事件 A B C 同时发生． 故 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1－151－141－31 ＝45×34×23＝25.
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”， 结合对立事件间的概率关系可得，所求事件的概率 P＝1－P( A B C )＝1－25＝35.
(1)求相互独立事件的概率，首先要分析题意，判断所给事 件是否相互独立，然后选用公式求解，在具体解题中，常常与 互斥事件、古典概型等联系在一起，要注意正确地选择解题方 法．
学案7：2.2.2 事件的独立性
2.2.2事件的独立性课堂导学三点剖析一、条件概率例1 一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？温馨提示关键是弄清楚P（A·B）及P（A）.二、事件的独立性的应用例2 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：（1）两人都投中的概率；（2）其中恰有一人投中的概率；（3）至少有一人投中的概率.三、条件概率与事件独立性的综合应用例3 益趣玩具厂有职工500人，男、女各占一半，男、女职工中非熟练工人分别为40人与10人，现从该企业中任选一名职工，试问：A .该职工为非熟练工人的概率是多少？b .若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？思路分析：题a 的求解同学们已很熟，它是一般的古典概型问题，b 的情况有所不同.它增加了一个附加信息，设A 表示非熟练工人，B 表示出的是女职工，问题b 可以叙述为在已知事件B 发生的条件下，求事件A 发生的概率.各个击破类题演练 1在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率.变式提升 1设A 、B 互斥，且P （A ）＞0,则P （B |A ）=______________.若A 、B 相互独立，P （A ）＞0,则P （B |A ）=______________.类题演练 2 甲、乙二人独立地解开密码，甲完成的概率是51，乙完成的概率是52，则甲、乙都完不成的概率是多少？变式提升 2分别掷两枚均匀硬币，令A ={甲出现正面}，B ={乙出现正面}验证：事件A 、B 是否独立.类题演练3某种产品用满6 000小时未坏的概率为75%，用满10 000小时未坏的概率为50%,现有这样的一个元件，已用过6 000小时未坏，问它能用10 000小时的概率？变式提升3设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是____________.参考答案课堂导学三点剖析一、条件概率例1 解：一个家庭的两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的.根据题意，设基本事件空间为Ω，A =“其中一个是女孩”，B =“其中一个是男孩”，则Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，A ={（男，女），（女，男），（女，女）}，B ={（男，男），（男，女），（女，男）}，AB ={（男，女），（女，男）}，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求P （B |A ）.由上面分析可知P （A ）=43，P （AB ）=42. 由公式②可得P （B |A ）=324342, 因此所求条件概率为32. 例2 解：（1）设A =“甲投篮一次，投中”，B =“乙投篮一次，投中”，则AB =“两人各投篮一次，都投中”.由题意知，事件A 与B 相互独立，根据公式③所求概率为P （AB ）=P （A ）·P (B )=0.6×0.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中（事件A ∩B 发生），另一种是甲未投中、乙投中（事件A ∩B 发生）。
课件7：2.2.2 事件的独立性
＋P(－A )·P(B)＝31×1－14＋1－13×14＝152.
(4)“至多一人能破译”为事件(A－B )∪(－A B)∪(－A －B )，且 A－B 、－A B、－A －B 互斥，故 P((A－B )∪(－A B)∪(－A －B )) ＝P(A－B )＋P(－A B)＋P(－A －B ) ＝P(A)·P(－B )＋P(－A )·P(B)＋P(－A )·P(－B )
是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
规律方法 对于事件 A，B，在一次试验中，A，B 如果不能同时发生， 则称 A，B 互斥．一次试验中，如果 A，B 两个事件互斥且 A，B 中必 然有一个发生，则称 A，B 对立，显然 A∪－A 为一个必然事件．A，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一 个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
(2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若这一事 件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的 概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前 一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独 立事件．
(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的
独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．
3.公式P(AB)＝P(A)P(B)的推广 公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…， An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的 概率的积，即P(A1A2，…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)．
2.2.2事件的独立性课件人教新课标B版
题型二：两个相互独立事件同时产生的概率
例 2.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商 品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别 参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的 中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号 码； (3)至少有一次抽到某一指定号码．
第二章 随机变量及其散布 2.2 条件概率与事件的独立性
2.2.2 事件的相互独立性
具体问题:诸葛亮VS臭皮匠团队 （甲、乙、丙组成）
在一次有关《三国演义》的知识 比赛中，已知诸葛亮能解出某道题的 概率为0.85，臭皮匠团队甲、乙、丙 能解出该道题的概率分别为0.4,、0.5、 0.6，各选手间独立答题，不得商量， 团队中只要有一人答出即为该组获胜.
一般地，如果事件 A1, A2, L, An 相互独立， 那么这个事件同时产生的概率，等于每个事 件产生的概率的积，即
P(A1 A2 An) P(A1) P(A2) P(An)
注意：
1.一般地，若 A 与 B 是相互独立事件，则 A 与 B ，A 与 B ，A 与 B 也相互独立.
2.互斥事件和相互独立的区分：互斥事件和相 互独立事件是两个不同概念，两个事件互斥是指这 两个事件不可能同时产生；两个事件相互独立是指 一个事件的产生与否对另一个事件产生的概率没有 影响.
记甲、乙、丙分别答对题为事件 B, C, D，则臭 皮匠团队答对题的概率为甲，乙，丙中至少有一人 答对题的概率，其对峙事件为甲乙丙均未答出题， 所以臭皮匠团队答对题的概率为
P 1 P BCD 1 1 PB1 PC1 PD
1 0.60.50.4 0.88 PA.
所以，此次比赛臭皮匠团队胜出的可能性较大.
18-19版：2.2.2 事件的独立性（步步高）
分布列.
解 随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
Байду номын сангаас
P(X＝0)＝35×12×49＝125，P(X＝2)＝P(D)＝3110，P(X＝3)＝25×12×59＝19， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－125－3110－19＝178.
所以X的分布列为
X0 1 23
P
2 15
解答
(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率. 解 方法一 由题设知，P(A)＝12，P( A )＝12， 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 1－P( A ·A )＝1－P( A )P( A )＝34. 方法二 由题设知，P(A)＝12，P( A )＝12， 故甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率为 2P(A)P( A )＋P(A)P(A)＝34.
P(B) .这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互 独立事件. (2)性质：当事件A，B相互独立时， A与_B__，__A_与 B ，__A_与_B__也相 互独立.
(3)n个事件相互独立：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中_任__一__个__ 事件发 生 的 概 率 不 受 其 他 事 件 是 否 发 生 的 影 响 ， 则 称 n 个 事 件 A1 ， A2，…，An相互独立. (4)独立事件的概率公式 ①若事件A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)×P(B)； ② 若 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 相 互 独 立 ， 则 P(A1∩A2∩…∩An) ＝ P(A1)×P(A2)×…×P(An).
解答
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的 概率； 解 设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则 P(D)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC) ＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝3110.
2.2.2事件的独立性
例3、(1)在一段线路中串联着3个自动控制的常开开关，假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路 正常工作的概率.
例3、(2)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路 正常工作的概率.
某射手有 5 发子弹，射击一次，命中率为 0.9，如果命中了就停止射击， 否则一直射到子弹用尽为止，求停止射击时耗用的子弹数 ξ 的分布列．
小结
一、相互独立事件的定义 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，
即P(B|A)=P(B)，这时我们称两个事件A 、B相互独立，并
把这两个事件叫做相互独立事件。 二、相互独立事件同时发生的概率
3、至少有一队夺冠的概率是多少？
三、相互独立事件概率公式推广
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一 个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响， 则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个 事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， 即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
变式练习
例2、经过多年努力，中国女排时隔11年再次站上世界冠军的领 奖台，她们和中国男篮双双获得了里约奥运会的参赛资格，已知 女排夺冠的概率是0.7，男篮夺冠的概率是0.6，那么两只球队双 双夺冠的概率是多少？ 引申：下列情况中概率分别为多少？ 1、只有女排夺冠的概率是多少？
2、只有一支球队夺冠的概率是多少？
二、相互独立事件同时发生的概率
由条件概率公式和相互独立事件A 、B的定义，
可以得到 P(B) P(B | A) P( A I B) P( A)
教学设计7：2.2.2 事件的独立性
2.2.2 事件的独立性教学过程：一、复习引入：1.事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.2.随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率.4.概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件.6.等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件. 7.等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n =. 8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法.9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的.10 .互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-.12.互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++.探究：(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上.(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球 问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响） 思考：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B | A ）=P (B ），P （AB ）=P ( A ) P ( B |A ）=P （A ）P (B ).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A , B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅.问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+.三、讲解范例：例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A , “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2 甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： ()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”，故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合， 从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1 如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7， 计算在这段时间内线路正常工作的概率1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦. 变式题2 如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.解：方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=； 方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与B J 至少有1个开的情况. []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=.例4 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？分析：因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解：（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k =1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅． ∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=5)54(， ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤， 两边取常用对数，得110.313lg 2n ≥≈-， ∵n +∈N ，∴11n =.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机.点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便.四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) A.320 B.15 C.25 D.9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） A.2个球都是白球的概率 B.2个球都不是白球的概率C.2个球不都是白球的概率D.2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）A.0.128B.0.096C.0.104D.0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ） A.35192 B.25192 C.35576 D.651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？【答案】1. C2. C3. B4. A5.(1) 132(2)0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P =220.790.810.404⨯≈.8. P =0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈.9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅=. 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本练习1、2、3第60页；习题 2. 2A 组4，B 组1.七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念.2. 能进行一些与事件独立有关的概率的计算.3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.。
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n
n 个事件相互独立
n个事件两两相互独立
两个结论
1. 若事件 A1 , A2 , L , An ( n ≥ 2) 相互独立 , 则 其中任意 k (2 ≤ k ≤ n)个事件也是相互独立.
解 以 Ai ( i = 1,2,3,4) 表示事件第 i 个元件正常工作 ,
以 A 表示事件系统正常工作 .
则有
A = A1 A2 U A3 A4 .
由事件的独立性 , 得系统的可靠性 : P ( A) = P ( A1 A2 ) + P ( A3 A4 ) − P ( A1 A2 A3 A4 ) = P( A1 ) P( A2 ) + P( A3 ) P( A4 ) − P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 ) = p1 p2 + p3 p4 − p1 p2 p3 p4 .
则 B = A1 U A2 ULU An ,
于是要找n,使
P ( B ) = P ( A1 U A2 U L U An ) ≥ 99% = 0.99成立
但
P( B) = 1 − P( B) = 1 − P ( A1 U A2 ULU An )
= 1 − P( A1 A2 L An )
= 1 − P ( A1 ) P ( A2 )L P ( An )
例 设某型号的高射炮,每一门炮(发射一发)击中 飞机的概率为0.6,现在若干门炮同时发射(每炮发 射一发).问欲以99%的把握击中来犯的一架飞机, 至少需配置几门高射炮? 解 设需配置n门高射炮,
并令事件 Ai 为" 第 i 门炮击中敌机 ", i = 1,2,L , n.
事件 B 为“敌机被击中”,
i = 1,2,L,10.
则 B = A1 U A2 U L U A10 ,
P ( B ) = P ( A1 U A2 U L U A10 ) = 1 − P ( A1 U A2 U L U A10 ) = 1 − P( A1 A2 L A10 ) = 1 − P ( A1 ) P ( A2 )L P ( A10 ) = 1 − (0.8)10 = 0.893.
= P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C) + P( A)P(B)P(C)
= 0.41.
由 A3 = ABC ,
得 P ( A3 ) = P ( ABC )
= P ( A) P ( B ) P ( C ) = 0.4 × 0.5 × 0.7 = 0.14.
因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为
伯恩斯坦反例 例一个均匀的正四面体, 其第一面染成红 色,第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别记投 一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件, 问 A,B,C 是否相互独立? 解 由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面, 1 因此 P ( A) = P ( B ) = P ( C ) = , 2 1 又由题意知 P ( AB ) = P ( BC ) = P ( AC ) = , 4
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 .
P ( B A) = P ( B )
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
2.定义 两个事件独立
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) 则称事件 A, B 统计独立的 , 简称 A, B是 独立的 . 说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生 与否，对事件 B 发生的概率无影响. 必然事件Ω与不可能事件∅与任何事件独 立. 同时A 与 B 独立指它们是相互独立的
第2.2节
事件独立性
一、两个事件独立性 二、多个事件的独立性 三、事件独立性与概率计算 四、试验的独立性
一、两个事件的独立性
1.引例
盒中有 5个球 ( 3绿 2红 ), 每次取出一个 , 有放回 地取两次 .记 A = 第一次抽取 , 取到绿球 , B = 第二次抽取 , 取到绿球 , 则有
P ( B A) = P ( B ) = 3 5
推论1 若事件A与B独立，且P(B)>0,则 P(A|B)=P(A)
推论2
若 A, B 相互独立 , 则下列各对事件 ,
A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立 .
二、多个事件的独立性
1 三事件相互独立
设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) = P ( A) P ( B ), P ( BC ) = P ( B ) P (C ), P ( AC ) = P ( A) P (C ), P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 . 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立
P = ∑ P ( Ai ) P ( B | Ai )
i =1
3
= 0 .2 × 0 .36 + 0 .6 × 0 .41 + 1 × 0 .14
= 0.458.
例 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点 数 分别为7与11的概率. 解 设事件 Ai 为"第 i 次得 7点" i = 1,2. 设事件 Bi 为"第 i 次得11点" i = 1,2. 事件 A 为两次所得点数分别为 7 与 11. 则有 P ( A) = P ( A1 B2 U B1 A2 ) = P ( A1 B2 ) + P ( B1 A2 ) = P ( A1 ) P ( B2 ) + P ( B1 ) P ( A2 ) 6 2 2 6 1 = × + × = . 36 36 36 36 54
= 1 − P ( A1 A2 … An )
= 1 − (1 − P ( A1 ))(1 − P ( A2 )) … (1 − P机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若 10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机 的概率是多少? 解 设事件 Ai 为"第 i 名射手击落飞机 " , 事件 B 为“击落飞机”,
故有
1 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = , 4 1 P ( BC ) = P ( B ) P (C ) = , 4 P ( AC ) = P ( A) P (C ) = 1 , 4
则三事件 A, B, C 两两独立. 由于 1 1 P ( ABC ) = ≠ = P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
因此 A、B、C 不相互独立.
例 若有一个均匀的八面体，其第1,2,3,4面 染成红色，第1,2,3,5面染成白色，第1,6,7,8染成黑色 现在以A,B,C,分别表示投一次八面体出现红，白， 黑的事件，试求AB与ABC 以及A,B,C的概率。 1 解 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = 2 1 P ( ABC ) = = P ( A) P ( B ) P (C ) 8 3 1 P ( AB ) = ≠ = P ( A) P ( B ) 8 4 此例说明由 P ( ABC ) = P ( A) P ( B ) P (C ) 得不到
系统可靠性
对于一个元件，它能正常工作的概率p为该元件 的可靠性，元件组成系统，系统能够正常工作的概 率p称为该系统的可靠性，随着近代电子技术的迅 猛发展，关于元件和系统可靠性的研究成为一门新 的学科－可靠性理论
例5 一个元件 (或系统 )能正常工作的概率称为 元件 (或系统 )的可靠性 . 如图所示 , 设有 4 个独立 工作的元件 1, 2, 3, 4 按先串联再并联的方式 联结 ( 称为串并联系统 ) , 设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i = 1,2,3,4) 试求系统的可靠性 . 1 3 2 4
A0 , A1 , A2 , A3 是Ω的一个划分,
以 B 表示事件" 这批乐器被接收". 已知一件音色
纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为 0.99 , 而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的 概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的, 于是有
P ( B A0 ) = ( 0 . 99 ) 3 , P ( B A1 ) = (0.99)2 × 0.05,
= 1 − (0.4) n ≥ 0.99.
即
故
0.4 ≤ 0.01
n
lg 0.01 2 n≥ = = 5.026 lg 0.4 0.3979
就是说至少需要配置6门高射炮方能以99%以上的把 握击中来犯的一架敌机.
例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 设 Ai 表示有 i 个人击中敌机 , A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机 , 则 P( A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(C) = 0.7, 由于 A1 = A BC + ABC + A BC ,
P( B A2 ) = 0.99 × (0.05) 2 , P ( B A3 ) = (0.05)3 ,
96 而 P ( A0 ) = 3
4 96 P ( A1 ) = 2 1
100 3 ,
100 3 ,
4 96 P ( A2 ) = 2 1
100 4 , 3 P ( A3 ) = 3
2.若事件 A1 , A2 , L , An ( n ≥ 2) 相互独立，则 将A 1, A 2 ,L, A n (n ≥ 2) 中任意多个事件换成它们的 逆事件，所得的n个事件仍相互独立。