备战高考数学(精讲+精练+精析)专题10.3抛物线试题(江苏版)(含解析)

专题3 抛物线（理科）

【三年高考】

1. 【2016年高考四川理数改编】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为．

【答案】

【解析】

试题分析：设（不妨设），则由已知得，，，

，．

考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．

【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用

参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最

值．

2．【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．【答案】

【解析】

试题分析：

考点：抛物线的定义．

【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离．

3．【2016高考新课标1卷改编】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.

已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为．

【答案】4

考点：抛物线的性质.

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.

4．【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A

作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p 的

值为_________.

【答案】

考点：抛物线定义

【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．

2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2

＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p 2

；若过焦点的弦AB 的端点坐标为

A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准

方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 5．【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点

，

，

，其中点

，

在抛物线上，点

在

轴上，则

与

的面积之比是_______.

【答案】

【解析】.

6.【2015高考上海，理5】抛物线

（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则

． 【答案】

【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶

点到准线的距离，即

7.【2015高考陕西，理14】若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则

．

【答案】

8.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆

相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是____________.

【答案】

【解析】显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设

，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得

，所以，即点M必在直线上.将代入得

.因为点M在圆上，所以

.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.

x

y

–121

2

3

4

5

6

7

8

9

–1–2–3–4–5–6

1

23456A

B

C

F

O M

9.【2015高考新课标1，理20】在直角坐标系中，曲线C ：y =

与直线

(＞0)交与M ,N

两点，

（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【解析】（Ⅰ）由题设可得

，

，或

，

.∵

，故

在=

处的到数值为，C 在处的切线方程为，即

.

故

在=-

处的到数值为-，C 在

处的切线方程为

，即

. 故所求切线方程为

或

.

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设P （0，b ）为复合题意得点，，，直线

PM ，PN 的斜率分别为. 将代入C 得方程整理得

. ∴. ∴

=

=

. 当

时，有=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以符合题

意.

10.【2014新课标1，理10】.已知抛物线

：的焦点为

，准线为，是上一点，是直线

与

的一个焦点，若

，则

=___________.