2009中考数学第一轮复习三角形专题训练

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中考数学第一轮复习三角形学案

yEB三角形班级：姓名：【考点目标】了解三角形的角平分线，中线、高的定义。

理解三角形的三边关系、稳定性、内角和定理。

【教学重难点】利用三角形性质计算和证明。

【课前练习】1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（） A ．1cm ，2cm ，4 cm B ．8 crn ，6cm ，4cm C ．12 cm ，5 cm ，6 cm D ．2 cm ，3 cm ，6 cm2. 1.在下列长度的四根木棒中，能与3cm ，7cm 两根木棒围成一个三角形的（）A ．7cmB ．4cmC ．3cmD ．10cm3.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（）A ．15cmB ．20cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm 4.一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_______.5. 已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、BC 的中点，F 是BE 的中点．若面ΔDEF 的面积是10，则ΔADC 的面积是多少？二：【例题】例1如图，CE 是ABC D 的外角ACD Ð的平分线，若35B ?o ，60ACE?o ，求∠A 度数。

例2.已知，如图，∠xoy=900，点A 、B 分别在射线Ox,Oy 上移动，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于C 点，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A 、B 移动发生变化，请求出变化范围。

ABDE图235°60°【课堂练习】1.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是__________2.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形3.若等腰三角形两边长ａ和ｂ满足｜ａ-3︱+4 b =0则此三角形周长为______.4.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（） A 高 B 中线 C 角平分线 D 中位线5.如图，DE 是△ABC 的中位线， F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于点H ，求AH ：HE6.如图，D 是△ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积为24cm 2，求△BEF 的面积．【课后训练】1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm2.在ΔABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（）A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜133.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角．4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是________．5.如图，△ABC中，∠C＝90○，点E在AC上，ED⊥AB，垂足为D，且ED平分△ABC的面积，则AD：AC.6.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．7. 已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm．（1）若第三边BC长为偶数，求BC的长；（2）若第三边BC长为整数，求BC的长8.已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长 AB至 E，使 BE=CD，连结DE，交BC 于点P．（1）求证：PD=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长.9. 已知△ABC，(1)如图1－1－27，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=1902A ??；(2)如图1－1－28，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=12A Ð；(3)如图1－1－29，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=1902A ??。

中考数学一轮综合复习同步讲义(第8课三角形认识)

中考数学一轮复习第08课三角形认识知识点：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧镶嵌问题：边形每个内角公式：正边形每个外角公式：正边形对角线条数：；外角和：边形内角和公式：多边形外角性质：；内角和：外角和：三边关系定理：，性质：角平分线：，性质：中线：，性质：高线：与三角形有关的线段定义：三角形n n n n在三角形中，两内角平分线形成的夹角公式：在三角形中，两外角平分线形成的夹角公式：在三角形中，一内角一外角形成的夹角公式：三角形沿某条直线折叠，顶点落在形内公式： (∠BDA 、∠AEC 与∠A 的数量关系) 三角形沿某条直线折叠，顶点落在形外公式： (∠BDA 、∠AEC 与∠A 的数量关系)课堂同步：1.a 、b 、c 为三角形的三边长,化简c b a c b a c b a c b a -+-+-----++，结果是（）A.0B.2a+2b+2cC.4aD.2b-2c2.已知ΔABC 中,周长为12，)(21c a b +=，则b 为（） A.3 B.4 C.5 D.63.已知三角形的两边长分别是3 和8，且第三边长是奇数，那么第三边的长度为（）A.7 或5B.7C.9D.7 或94.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为1200,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°5.若一个多边形共有十四条对角线,则它是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形6.如图,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( )A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2D.14cm 2第6题图第7题图第8题图 7.如图,在钝角△ABC 中,点D 、E 分别是边AC 、BC 的中点,且DA=DE,那么下列结论错误的是（）A.∠1=∠2B.∠1=∠3C.∠B=∠CD.∠B=∠18.如图,∠1、∠2、∠3、∠4应满足的关系式是（）A.∠1+∠2=∠3+∠4B.∠1+∠2=∠4-∠3C.∠1+∠4=∠2+∠3D.∠1+∠4=∠2-∠39.下列说法中正确的个数为( ).(1)一种三角形都能铺满地面;(2)能够铺满地面的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形;(3)能够铺满地面的正多边形的组合只有正三角形，正方形和正六边形之间组合;(4)一个正五边形和两个正十边形的组合能够铺满地面.A.0B.1C.2D.310.等腰三角形中,若底边长为6，则它的腰长x 的取值范围是；若等腰三角的周长为18，则它的腰长a 的取值范围是____________11.已知一个三角形的三边长是2、3 和x ，且此三角形的周长是偶数，则x 的值是__________13.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.14.在四边形ABCD中,∠A=900，∠B:∠C:∠D=1:2:3，则∠B=______，∠C=______，∠D=_____15.若一个正多边形的内角和为23400，则边数为______，它的外角等于______16.如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于______度.第16题图第17题图17.如图,△ABC中，∠A=360，∠B=720，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 度。

中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题(含答案)

中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题（含答案）课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________. 18. (2017宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．19. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b ＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a －b|＝0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.6．B【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.7．B【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.8. B【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.16. 64°【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝12∠ABC，∠2＝∠ACE＝12∠ACB，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×128°＝64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为23，故DE＋DF＝2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝12AB＝3，∵ME＝13DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.19. 1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD 是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.第11题解图20. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．21. 解：∵AB＝AC∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB ＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝32，∴BE＝CE＝DE＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5. C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6. A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S 正方形ABCD ＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF ＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝EDEA .当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD≤5.第11题解图12. 2＋2m【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt △DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△BEF的周长为2＋ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3【解析】∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠B ＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠EAD′＝60°，∴△EAD′≌∠EAD(SAS)，∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝6－DE3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6) cm .第15题解图16. 2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′MAB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MC B ′M＝2，即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BCBM ＝2＋11，∵BC＝2＋1，∴BM＝1.故BM长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BD＝BC，∵∠A＝30°，∴BC＝12AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，解得BC＝BD＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25，即AB的长是25；(2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝CD2－DE2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。

中考一轮复习数学《三角形》压轴题备考专题练习(无答案)

中考一轮复习九年级数学《三角形》压轴题备考专题练习1、如图,在ABC 中,120ACB ∠=︒,BC AC >,点E 在BC 上,点D 在AB 上,CE CA =,连接DE ,180ACB ADE ∠+∠=︒,CH AB ⊥,垂足为H ．证明:DE AD +=．2、如图,在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O,求证:AE+CD=AC.3、如图,在ABC ∆中,AD 是BAC ∠的平分线,G 为AD 上一动点,GH AD ⊥,交BC 的延长线于点H .（1）若30B ∠=︒,40BAC ∠=︒,求H ∠的度数；（2）当点G 在AD 上运动时,探求H ∠与B 、ACB ∠之间的数量关系,并证明.4、如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是∠BAC 的平分线,∠EAD=15°,∠B=40°．（1）求∠C 的度数．（2）若:∠EAD=α,∠B=β,其余条件不变,直接写出用含α,β的式子表示∠C 的度数．5、在△ABC 中,已知△A ＝α．（1）如图1,△ABC 、△ACB 的平分线相交于点D ．求△BDC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）如图2,若△ABC 的平分线与△ACE 的平分线交于点F ,求△BFC 的大小（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下,将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ,△GBC 的平分线与△GCB 的平分线交于点M （如图3）,求△BMC 的度数（用含α的代数式表示）．6、图,ABC 中,AC BC =,DCE 中,DC EC =,且DCE ACB ∠=∠,当把两个三角形如图△放置时,有AD BE =．（不需证明）（1）当把DCE 绕点C 旋转到图△△△的情况,其他条件不变,AD 和BE 还相等吗？请在图△△中选择一种情况进行证明；（2）若图△中AD 和BE 交于点P ,连接PC ,求证:PC 平分BPD ∠．7、已知在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AC BC =,CD AB ⊥于D ．（1）如图1,将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到CF ,连接AF 交CD 于点G ．求证:AG GF =；（2）如图2,点E 是线段CB 上一点（12CE CB <）,连接ED ,将线段ED 绕点E 顺时针旋转90︒得到EF ,连接AF 交CD 于点G ． △求证:AG GF =；△若7AC BC ==,2CE =,求DG 的长．8、在ABC 中,AB AC =,D 是直线BC 上一点（不与点B 、C 重合）,以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ,AD AE =,DAE BAC ∠=∠,连接CE .（1）如图,当 D 在线段BC 上时,求证:BD CE =.（2）如图,若点D 在线段CB 的延长线上,BCE α∠=,BAC β∠=.则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.（3）如图,当点D 在线段BC 上,90BAC ∠=︒,4BC =,求DCES 最大值.9、如图,已知 B (-1, 0) , C (1, 0) , A 为 y 轴正半轴上一点, AB = AC ,点 D 为第二象限一动点,E 在 BD 的延长线上, CD 交 AB 于 F ,且∠BDC = ∠BAC . （1）求证: ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证: AD 平分∠CDE ；（3）若在 D 点运动的过程中,始终有 DC = DA + DB ,在此过程中,∠BAC 的度数是否变化？如果变化,请说明理由；如果不变,请求出∠BAC的度数？10、如图,ABC 是边长为2的等边三角形,BDC 是顶角为120°的等腰三角形,以点D 为顶点作60MDN ∠=︒,点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①,当//MN BC 时,则AMN 的周长为______；（2）如图②,求证:BM NC MN +=．11、已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合,∠AOB=∠COD=90°,且OA=OB,OC=OD．（1）如图1,当C、D分别在OA、OB上时,AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”,“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转,使点D在OA上,如图2,连接AC,BD,求证:AC=BD；（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转,如图3,连接AC,BD,猜想AC与BD的数量关系和位置关系,并给出证明．12、在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.(1)连接EC,如图△,试探索线段BC,CD,CE之间满足的等量关系,并证明你的结论；(2)连接DE,如图△,求证:BD2+CD2=2AD2(3)如图△,在四边形ABCD中,△ABC=△ACB=△ADC=45°,若则AD的长为 .(直接写出答案）13、（1）问题发现与探究:如图1,,ACB DCE ∆∆都是等腰直角三角形,90ACB DCE ︒∠=∠=,点A,D,E 在同一直线上,CM AE ⊥于点M,连接BD,则:（1）线段AE,BD 之间的大小关系是_________________； ADB =∠ ；（2）求证:AD=2CM+BD ；如图2,3,在等腰直角三角形ABC 中,90ACB ︒∠=,过点A 作直线,在直线上取点D,45ADB ︒∠=,连接BD,BD=1,AC= ,则点C 到直线的距离是多少．14、在△ABC中,若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数）,则称△ABC为n倍角三角形．例如,在△ABC中,∠A＝80°,∠B＝75°,∠C＝25°,可知∠B＝3∠C,所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中,∠A＝80°,∠B＝60°,则△ABC为倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形,且最小内角为α,请直接写出α的取值范围为．（3）如图,直线MN与直线PQ垂直相交于点O,点A在射线OP上运动（点A不与点O重合）,点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F,若△AEF为4倍角三角形,求∠ABO的度数．15、（1）操作发现:将等腰Rt ABC与等腰Rt ADE按如图1方式叠放,其中ACB ADE,点D,E分别在AB,AC边上,M为BE的中点,连结CM,DM．小∠=∠=90︒=,你认为正确吗？请说明理由．明发现CM DM（2）思考探究:小明想:若将图1中的等腰Rt ADE绕点A沿逆时针方向旋转一定的角度,上述结论会如何呢？为此进行以下探究:探究一:将图1中的等腰Rt ADE绕点A沿逆时针方向旋转45︒（如图2）,其他条件不变, =依然成立．请你给出证明．发现结论CM DM探究二:将图1中的等腰Rt ADE绕点A沿逆时针方向旋转135︒（如图3）,其他条件不变, =还成立吗？请说明理由．则结论CM DM=,点P在平面内,连接AP,并将线段AP绕A顺时针方向旋转与16、在ABC中,AB AC∠相等的角度,得到线段AQ,连接BQ．BAC（1）如图,如果点P是BC边上任意一点．则线段BQ和线段PC的数量关系是__________．（2）如图,如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；（3）如图,在DEF 中,8DE =,60EDF ∠=︒,75DEF ∠=︒,P 是线段EF 上的任意一点,连接DP ,将线段DP 绕点D 顺时针方向旋转60°,得到线段DQ ,连接EQ ．请直接写出线段EQ 长度的最小值．。

全等三角形复习专题

全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。

全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。

如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。

二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。

3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。

4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。

5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。

如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。

四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。

2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。

3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。

4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。

5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。

全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。

动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。

将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。

中考数学一轮复习全全等三角形截长补短(讲义及答案)及解析

中考数学一轮复习全全等三角形截长补短(讲义及答案)及解析一、全等三角形截长补短1．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．2．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．3．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．4．如图所示，//AB DC AB AD BE ⊥，，平分ABC CE ∠，平分BCD ∠；（1）求AB CD 、与BC 的数里关系，并说明你的理由．（2）若把AB AD ⊥条件去掉，则（1）中AB CD 、与BC 的数里关系还成立吗?并说明你的理由．5．如图，在正方形ABCD 中，点E 迕射线BC 上，连接AE ，作EF AE ⊥，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）若点E 在边BC 的中点处时，AE ________EF （填“＞”“＜”或“=”）（2）若点E 为边BC 上的任意一点（不含点B ，C ），探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由．（3）若点E 是边BC 延长线上的一点，探究此时AE 与EF 的数量关系，并说明理由． 6．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积． 7．如图1．在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，(0,3)D ，点E 是OB 延长线上一点，M 是线段OB 上一动点（不包括O 、B ），作MN DM ⊥，交CBE ∠的平分线于点N ．（1）直接写出点C 的坐标；（2）求证：MD MN =；（3）如图2，若(2, 0)M ，在OD 上找一点P ，使四边形MNCP 是平行四边形，求直线PN 的解析式．8．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．9．在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，连接AE ．点O 是DE 的中点，连接CO 并延长交AD 于点F ，在CF 上取点G ，连接AG ．（1）若4tan 3B =，5AB =，6BC =，求ABE △的周长．（2）若60B EAG ∠=∠=︒，求证：AF CG =．10．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长；（2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）60°；（2）EF=AF+FC ，证明见解析；（3）AF=EF+2DF ，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β，在△ACE 中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG为等边三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．2．（1）见详解；（2）108°；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，90ACB=︒，得ABC是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−12α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD ＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK ＝AC ，连接DK ，根据全等三角形的性质得到∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，根据等腰三角形的性质得到DH ＝BH ，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D 作DM ⊥AB 于M ，∴在ABC 中，AC BC =，∴∠ABC ＝45°，∵∠ACB ＝90°，AD 是角平分线，∴CD ＝MD ，∴∠BDM ＝∠ABC ＝45°，∴BM ＝DM ，∴BM ＝CD ，在RT △ADC 和RT △ADM 中，CD MD AD AD ⎧⎨⎩＝＝， ∴RT △ADC ≌RT △ADM （HL ），∴AC ＝AM ，∴AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，即AB ＝AC ＋CD ；（2）设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α，在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，∵AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK∴BK ＝BD ，∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠KAD ，在△CAD 和△KAD 中，AC AK CAD KAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α，∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−1α＝180°，2∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下：在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF 12=∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键．4．（1）AB CD BC +=，见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）先写出数量关系，过E 作EF BC ⊥于F ，然后证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得结论了．（2）成立, 在BC 上截取CF CD =证明CDE CFE ∆≅∆和ABE FBE ≅∆∆，便可得到结论．【详解】()1AB CD BC +=理由是：过E 作EF BC ⊥于FCE 为角平分线DCE FCE ∴∠=∠//AB DC AB AD ⊥，90D ∴∠=EF BC ⊥D CFE ∴∠=∠CE CE =()CDE CFE AAS ∆≅∆CD CF ∴=同理可证()ABE FBE AAS ∆≅∆AB BF ∴=CF BF AB +=AB CD BC ∴+=()2成立理由：在BC 上截取CF CD =CE 为角平分线DCE FCE ∴∠=∠CE CE =()CDE CFE SAS ∆≅∆CD CF ∴= D CFE ∠=∠//AB DC180D A ∴∠+∠=又180CFE EFB ∠+=A EFB ∴∠=∠ 又BE 是角平分线 ABE FBE ∴∠=∠BE BE =()BAE BFE AAS ∆≅∆AB FB ∴=∴ CF BF AB +=AB CD BC ∴+=5．（1）=；（2）AE EF =，见解析；（3）AE EF =，见解析【分析】（1）作辅助线，AH=EC ，∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=180°-45°=135°，则△AHE ≌△ECF ；（2）作辅助线，仍然证明△AME ≌△ECF 得出结论；（3）做辅助线，仍然证明ANE ECF △≌△得出结论．【详解】解：（1）证明：取AB 的中点H ，连接EH ；∵ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE ，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE ，∴△AHE ≌△ECF ，∴AE=EF ；（2）在AB 上取一点M ，使得AM EC =，连接ME∴BM BE =∴45BME ∠=︒∴135AME ∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45DCF ∠=︒∴135ECF ∠=︒∴AME ECF ∠=∠∵90AEB BAE ∠+∠=︒，90AEB CEF ∠+∠=︒∴BAE CEF ∠=∠∴AME ECF △≌△∴AE EF =（3）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE∴BN NE =∴45N NEC ∠=∠=︒∵CF 是正方形外角平分线∴45FEC ∠=︒∴N FEC ∠=∠∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD BE∴DAE BEA ∠=∠ 即9090DAE BEA ∴NAE CEF ∠=∠∴ANE ECF △≌△∴AE EF =【点睛】本题是四边形的综合题，综合考查了正方形、全等三角形的性质和判定，解决此类题的思路为：构造两个三角形全等；熟练掌握正方形的性质是本题的关键．6．（1）2；（2）4【分析】（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．【详解】（1）由题意知21=22ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S SS S S S =+=+==四边形，故答案为2；（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌， ∴FH=FK ，又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，∴FMK FMH ≌，∴MK=FN=2cm ，∴12=242FGH HFM MFN FMK FGHMN S SS S S MK FN =++=⨯⋅=五边形．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，关键是根据截长补短法及割补法求面积的运用． 7．（1）(3,3)C ；（2）证明见解析；（3）115y x =+ 【分析】（1）由正方形的性质求得点C 的坐标；（2）在OD 上取OH=OM ，连接HM ，只要证明△DHM ≌△MBN 即可．（3）作NE ⊥OB 于E ，只要证明△DMO ≌△MNE 即可求得点N 的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P 的坐标，然后由待定系数法确定函数解析式．【详解】（1）∵四边形OBCD 是正方形，(0,3)D∴(3,3)C故答案为：(3,3)C（2）如图，在OD 上截取OH OM =，连接HM ．∵OD=OB ，OH=OM ，∴HD=MB ，∠OHM=∠OMH ，∴∠DHM=180°−45°=135°，∵NB 平分∠CBE ，∴∠NBE=45°∴∠NBM=180°−45°=135°∴∠DHM=∠NBM ，∵∠DMN=90°∴∠DMO+∠NMB=90°∵∠HDM+∠DMO=90°∴∠HDM=∠NMB ，在△DHM 和△MBN 中，HDM NME DH MB DHM NBM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴DHM MBN ∆∆≌∴MD MN =．（3）如图，作NE OB ⊥于E ，由M(2,0)知OM=2，∵∠DMN=90°∴∠DMO+∠NME=90°，∠NME+∠MNE=90°∴∠DMO=∠MNE ，在△DMO 和△MNE 中，90DOM NEM DMO MNEDM MN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DMO≌△MNE∴ME=DO=3，NE=OM=2，∴OE=OM+ME=3+2=5，∴点N坐标(5,2)，∵四边形MNCP是平行四边形，C(3,3)，∴P(0,1)设直线PN的解析式为：y=kx+b(k≠0)则b1 52 k b=⎧⎨+=⎩解得b115 k=⎧⎪⎨=⎪⎩故直线PN的解析式为：y=15x+1；故答案为：115y x=+【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形和正方形的性质，及用待定系数法求一次函数解析式，本题是一次函数和几何问题的综合．8．（1）见解析；（2）①2BD CD=+，见解析，②c a BD CD ADb b=+【分析】（1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD、BD、CD之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD上截取BM CD=，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD、BD、CD之间的数量关系，以AD为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法证明：如图①-1，在DB上截取DM AD=，连接AM，AB BC AC==，ABC∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+；证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ， BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=． BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+．如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=，又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．9．（1）256+；（2）见解析【分析】（1）构建直角三角形，得出AH 、BH ，然后利用角平分线的性质以及平行四边形的性质，进行等量互换，即可得解；（2）首先在AB 上截取BQ BE =，然后判定DOF EOC ≌△△和AEQ GAF ≌△△，进行等量转换，即可得证.【详解】（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图所示：4tan 3B ∠=，5AB =， 4AH ∴=，3BH =DE 平分ADC ∠，12∠∠∴=，AD BC ∵∥，13∠∠∴=23∴∠=∠，5DC EC ∴==，1BE ∴=，2EH ∴=，25AE ∴=256ABE C ∴=+△；（2）在AB 上截取BQ BE =，连接EQ ，如图所示：CD CE =，CO DE ⊥，OD DE ∴=①AD BC ∵∥，DFO ECO ∴∠=∠，ADE CED ∠=∠②③由①②③得：DOF EOC ≌△△，DF CE ∴=，又AD BC =，AD DF BC CE ∴-=-，即AF BE =60EAG ∠=︒，60BAE FAG ∴∠+∠=︒，60DFC ∠=︒，60FGA FAG ∴∠+∠=︒，CD=CFBAE FGA ∴∠=∠④又120FAG AQE ∠=∠=︒，EQ AF =⑤⑥由④⑤⑥得：AEQ GAF ≌△△，AQ FG ∴=，又AB CF =，AB AQ CF FG ∴-=-，即BQ CG =，AF CG ∴=．【点睛】此题主要考查利用三角函数值构建直角三角形以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题.10．（1）BC ＝203；（2）见解析. 【分析】（1）如图①中，设AM ＝3k ，DM ＝4k ，则AD ＝5k ，由△ADM ∽△NDA ，可得AD 2＝DM •AN ，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH ，在DM 上取一点K ，使得DK ＝BH ．证明△ADK ≌△CBH （SAS ），推出AK ＝CH ，再证明Rt △AMK ≌Rt △CNH （HL ），推出MK ＝HN 即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝AIIDN＝34，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝43，∴AD＝203，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝203．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。

中考数学一轮复习第14讲解直角三角形试题

卜人入州八九几市潮王学校第十四讲：解直角三角形知识梳理知识点1.直角三角形中边与角的关系重点：纯熟掌握直角三角形中边与角的关系难点：运用直角三角形中边与角的关系中，∠C=90°〔1〕边的关系：〔2〕角的关系：〔3〕边与角的关系：sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc ，tanA ＝＝a b ，tanB ＝b a。

例1如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．3sin 2A =B ．1tan 2A =C ．3cos 2B =．tan 3B =解题思路：运用直角三角形的边角关系，选D例2．在AABC 中，∠C=90°，sinB=53，那么cosA 的值是() A ．43B ．34C ．53D ．54 解题思路：运用直角三角形的边角关系，例1选D ，例2选C练习1在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,c=4,那么sinA 的值是()BCAαCBAA 、1515B 、41C 、31D 、415ΔABC 中,∠C=900,那么以下等式中不正确的选项是() 〔A 〕a=csinA ；〔B 〕a=bcotB ；〔C 〕b=csinB ；〔D 〕c=cos b B.重点：熟记特殊角的三角函数值难点：纯熟计算三角函数值特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下：例：计算：006045解题思路：0sin 60=0cos 45= 原式练习 1.计算2(2)tan 452cos 60-+-。

；2.计算：()2cos 602009π--+°知识点3.直角三角形的解法重点：利用直角三角形的边角关系解直角三角形难点：理解题意，灵敏运用直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的根据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边角关系式，使两个元素〔其中至少有一个元素是边〕和一个未知元素一共处于这个关系式中，其四种类型的解法如下表：一边一角条件解法斜边和一个锐角A①②③一条直角边和一个锐角A①②③两边斜边和一条直角边①②利用求A③两条直角边①②利用，求A③例1如图，AC=1，求BD。

中考数学复习之三角形解答题专题训练

中考数学复习之三角形解答题专题训练1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．（1）求∠ADB的度数；（2）求证：△ADE是等腰三角形．2．已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．3．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF．求证：△ABE≌△DCF．4．【自主学习】（1）填空：如图1，点C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，用圆规在ON上截取OB ＝OA，连接BC，可得△OAC≌，其理由根据是；【理解运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并写出证明过程．【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，∠A＝60°，CD，BE分别是∠ACB，∠ABC的平分线，CD，BE交于点F，若CE＝3，BD＝2，请直接写出BC的长．5．如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．6．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D．（1）求证：DF∥BC；（2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数．7．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足为D，点E在AD上，BE平分∠ABD，点F在BD延长线上，BF＝CE，延长FE交BC于点H．（1）求证：∠CBE＝45°；（2）写出线段BH和EH的位置关系和数量关系，并证明．9．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BPQ的度数；（3）若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．10．如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边，∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求证：DB＝CD．12．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．13．如图，AB∥DE，点C、F在线段AD上，且AC＝DF，∠B＝∠E．求证：AB＝DE．14．如图，AB＝AD，∠DAC＝∠BAE，∠B＝∠D，求证BC＝DE．15．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．16．已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE ∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG＝CH，求证：△DFH≌△CAG．17．如图，点B、C、E、F共线，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE．求证：△ABE≌△DCF．18．将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．19．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．20．如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD 与AB之间的关系，并证明你的结论．。

初三中考一轮复习(15)解直角三角形题型分类含答案(全面非常好)

教学过程解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在Rtz\ABCt\ /C=9d, /A、ZEk /C的对边分别为a、b、c,则/A的正弦可表示为：sinA= , /A的余弦可表示为cosA= /A的正切: tanA= ,它们统称为/ A的锐角三角函数二、特殊角的三角函数值：三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角i视线水平线⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示, 即1= 坡面与水平面得夹角为用字母％表示，则i=tan %=上。

11 T⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA^Z K OB 表木OC 表木O味示（也可称东南方向）北_ A南例2 在Rtz\ABOt\ /C=90° , AB=2BC现给出下歹U结论：①sinA= § ;②cosB=■1 ;③tanA=殍；④tanB=#,其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号）解：如图所示：故答案为：②③④.对应训练2.计算6tan45 -2cos60 °的结果是（）A. 4 3B. 4C. 5 3D. 52. D考点三：化斜三角形为直角三角形例3 在△ABC^, AB=AC=5 sin /ABC=0.8,贝U BC=故答案为：6.对应训练3.如图，四边形ABCD勺对角线AG BD相交于点Q且B阡分AC若BD=8 AC=6/BOC=120,则四边形ABCD勺面积为 .（结果保留根号）3.12 .3考点四：解直角三角形的应用4.如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AR现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米,/PAB=38.5 , / PBA=26.5.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.（以A, B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据:sin38.5 =0.62 , cos38.5 =0.78 , tan38.5 =0.80 , sin26.5 =0.45, cos26.5 =0.89 , tan26.5 =0.50）4.解：设PD=x^,・.PDL AB,・•・/ADPN BDP=90 ,在Rt^PAD中，tan / PAD=^ ,AD・•・ AD=-—= 5x, tan38.5o0.8 4在RtWBD中，tan/PBD-DB又.78=80.0 米,55x+2x=80.0 ,4解得：x=24.6,即P[> 24.6 米,・•. DB=2x=492答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米.【聚焦中考】1.6cos30 °的值是1,但22.河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1:收，则AB的长为( )A.12B.4石米C. 5痣米D. 673米B2. A3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处处，望见渔船D在南偏东60方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A, B之间的距离为（取4=1.7,结果精确到0.1海里）.5. 67.56.如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里, A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？(参考数据：cos37 =0.8, sin37 =0.6, sin66 =0.9, cos66 =0.4)6.解：如图，作ADLBC的延长线于点D.北D C B在Rt^ADB中，AD=ABcos/BAD=72< cos66 =72X 0.4=28.8 （海里），BD=ABsin / BAD=72 sin66 =72X 0.9=64.8 （海里）.在Rt/XADC^, AC=—AD— ^88- 空=36（海里），cos DAC cos37o0.8CD=ACsin / CAD=36 sin37 =36X 0.6=21.6 （海里）.BC=BD-CD=64.8-21.6=43.2 （海里）.A岛上维修船需要时间t A=^ ^=1.8 （小时）.20 20B岛上维修船需要时间t B=坨432=1.5 （小时）.28.8 28.8- t A> t B,.•・调度中心应该派遣B岛上的维修船.10.校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CDW l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A B,使/ CAD=30 , / CBD=60 .（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：石=1.73, 72=1.41 ）;（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒, 这辆校车是否超速？说明理由.S DC10.解：（1）由题意得，在Rtz\ADC^, AD= CD”马=21 阴=36.33 （米），tan30o .33在Rt^BDC^ , BD=_CD V=Z1 =75/3 = 12.11 （米），tan60 3贝U AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22= 24.2 （米）。

中考数学一轮复习《全等三角形》练习题(含答案)

中考数学一轮复习《全等三角形》练习题（含答案）(建议答题时间：60分钟)基础过关1. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝()A. ∠BB. ∠AC. ∠EMFD. ∠AFB第1题图第2题图2. (人教八上第44页11题改编)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是()A. AB＝DEB. AC＝DFC. ∠A＝∠DD. BF＝EC3. 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对第3题图第4题图第5题图4. 注重开放探究(2017怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：____________________________，使得△ABC≌△DEC.5. 如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝________.6. 如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________．第6题图7. (2017福建)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D.第7题图8. (2017武汉)如图，点C、F、E、B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论．第8题图9. (2017南充)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.第9题图10. (2017重庆巴南区期中检测)如图，在四边形ABCD中，点E在对角线AC上，AB∥DE，∠ACB＝∠ADE，AB＝EA，求证：AC＝ED.第10题图11. (人教八上第44页4题改编)如图所示，已知∠1＝∠2，请你添加一个条件，证明：AB＝AC.(1)你添加的条件是________________；(2)请写出证明过程．第11题图12. (2017重庆一中期中考试)如图，AF∥DE，点B、C在线段AD上，且∠E＝∠F，连接FC、EB，延长EB交AF于点G.(1)求证：BE∥CF；(2)若CF＝BE，求证：AB＝CD.第12题图13. (2017苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．第13题图14. (2017哈尔滨)已知，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.(1)如图①，求证：AE＝BD；(2)如图②，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．第14题图满分冲关1. (2017滨州)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1第1题图第2题图2. (2018原创) 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC 交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个3. (2017新疆建设兵团)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC＝∠ADC；②AC与BD互相平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S＝12AC·BD，正确的是________．(填写所有正确结论的序号)第3题图4. (2017温州)如图，在五边形ABCDE中，∠BCD＝∠EDC＝90°，BC＝ED，AC ＝AD.(1)求证：△ABC≌△AED；(2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．第4题图5. (2017荆门)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若∠DCF＝120°，DE＝2，求BC的长．第5题图6. (2017齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．第6题图7. (2017德阳)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE ⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G.(1)证明：△CFG≌△AEG；(2)若AB＝4，求四边形AGCD的对角线GD的长．第7题图8. (2017北京)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.(1)若∠P AC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．第8题图9. (2018原创)已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．(1)如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG.第9题图答案基础过关 1. A 2. C3. D 【解析】∵AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝BD ，∠BDO ＝∠CDO ＝90°，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC AD ＝AD BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS )，∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，AE ＝CE ，在△AOE 和△COE 中，⎩⎨⎧OA ＝OCOE ＝OE AE ＝CE ，∴△AOE ≌△COE (SSS )；在△BOD 和△COD 中，⎩⎨⎧BD ＝CD∠BDO ＝∠CDO OD ＝OD ，∴△BOD ≌△COD (SAS )；在△AOC和△AOB 中，⎩⎨⎧AC ＝ABOA ＝OA OC ＝OB，∴△AOC ≌△AOB (SSS )．4. AB ＝DE (答案不唯一)5. 4 【解析】∵AB ∥CF ，∴∠ADE ＝∠CFE ，∵E 是DF 的中点，∴DE ＝EF ，在△ADE 与△CFE 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CFEDE ＝FE∠AED ＝∠CEF，∴△ADE ≌△CFE (ASA )，∴AD ＝CF ，∵AB ＝10，CF ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝10－6＝4.6. 120° 【解析】∵△ACD 和△BCE 均为等边三角形，∴∠DCA ＝∠BCE ＝60°，AC ＝DC ，BC ＝EC ，∴∠DCB ＝∠DCA ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE (SAS )，∴∠CDB ＝∠CAE ，∴∠AOB ＝∠DAO ＋∠ADO ＝∠DAC ＋∠CAE ＋∠ADC －∠CDB ＝∠ADC ＋∠DAC ＝120°.7. 证明：∵BE ＝CF ， ∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE AC ＝DF BC ＝EF，∴△ABC ≌△DEF (SSS )， ∴∠A ＝∠D .8. 解：CD ∥AB ，CD ＝AB . 证明： ∵CE ＝BF ， ∴CF ＝BE ，又∵∠CFD ＝∠BEA ，DF ＝AE ， ∴△CFD ≌△BEA (SAS )， ∴CD ＝AB ，∠C ＝∠B ， ∴CD ∥AB .9. 证明：∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， ∴∠BED ＝∠AFC ＝90°，又∵AE ＝BF ， ∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ， ∴AF ＝BE .在△ACF 和△BDE 中，⎩⎨⎧AF ＝BE∠AFC ＝∠BED CF ＝DE，∴△ACF ≌△BDE (SAS )， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ∥BD .10. 证明：∵AB ∥DE ， ∴∠BAC ＝∠AED ，在△ABC 和△EAD 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠ADE∠BAC ＝∠AED AB ＝EA，∴△ABC ≌△EAD (AAS )， ∴AC ＝ED .11. (1)解：∠B ＝∠C 或∠ADB ＝∠ADC 等；(2)证明：若添加的条件为∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠C∠1＝∠2AD ＝AD，∴△ABD ≌△ACD (AAS )， ∴AB ＝AC ；若添加的条件为∠ADB ＝∠ADC ，在△ABD 和△ACD 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2AD ＝AD ∠ADB ＝∠ADC，∴△ABD ≌△ACD (ASA )， ∴AB ＝AC .12. 证明：(1)∵AF ∥DE ， ∴∠E ＝∠AGE ， ∵∠E ＝∠F ， ∴∠F ＝∠AGE ， ∴BE ∥CF ； (2)∵AF ∥DE ∴∠A ＝∠D ，在△ACF 和△DBE 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠D∠F ＝∠E CF ＝BE，∴△ACF ≌△DBE (AAS )， ∴AC ＝DB ， ∴AB ＝CD .13. (1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE ，在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2，又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO ， ∴∠AEC ＝∠BED ，在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠BAE ＝BE ∠AEC ＝∠BED，∴△AEC ≌△BED (ASA )；解：(2)∵△AEC ≌△BED ， ∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ，在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°， ∴∠C ＝∠EDC ＝69°， ∴∠BDE ＝∠C ＝69°.14. (1)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ， ∴∠BCD ＝∠ACE ， ∴△ACE ≌△BCD (SAS )， ∴AE ＝BD ；(2)解：△ACB ≌△DCE ，△AON ≌△DOM ，△AOB ≌△DOE ，△NCB ≌△MCE . 满分冲关1. B 【解析】如解图，过点P 分别作OA 、OB 的垂线PC 、PD ，根据角平分线的性质可得PC ＝PD ，∵OP 一定，∴OC ＝OD .∵∠AOB 是定角，∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN 也为定角．∵∠CPD 与∠AOB 也互补，∴∠MPN ＝∠CPD ，∴∠MPC ＝∠NPD ，∴△MPC ≌△NPD (ASA )，∴CM ＝DN ，MP ＝NP .故(1)正确；∵OM ＋ON ＝OC ＋CM ＋OD －DN ，∴OM ＋ON ＝OC ＋OD ，∵OC ＝OD 为定长，∴OM ＋ON 为定长．故(2)正确；∵△MPC ≌△NPD ，∴S四边形MONP＝S △CMP ＋S四边形CONP＝S △NPD ＋S 四边形CONP ＝S 四边形CODP .∴四边形MONP 面积为定值．故(3)正确；∵Rt △MPC 中，MP 为斜边，CP 为直角边，∴可设MP ＝kCP ，∴PN ＝kDP ，∵∠MPN ＝∠CPD ，∴△MPN ∽△CPD ，其相似比为k ，∴MN ＝kCD ，当点M 与点C 重合，点N 和点D 重合时，MN ＝CD ，当点M 与点C 不重合，点N 与点D 不重合时，MN ≠CD ，∴MN 的长度在发生变化．故(4)错误．第1题解图2. A 【解析】∵BF ∥AC ，∴∠C ＝∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC ＝∠CBF ，∴∠C ＝∠ABC ，∴AB ＝AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD ＝CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△BDF 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠CBF CD ＝BD ∠EDC ＝∠BDF，∴△CDE ≌△BDF (ASA )，∴DE ＝DF ，CE ＝BF ，故①正确；∵AE ＝2BF ，∴AC ＝3BF ，故④正确．故选A .3. ①④【解析】在△ABC 与△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝ADBC ＝DC AC ＝AC，∴△ABC ≌△ADC (SSS )，∴∠ABC ＝∠ADC ，故①正确；∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ，∴AC 平分∠BAD 、∠BCD ，故③错误；又∵AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，∴OB ＝OD ，∴AC ，BD 互相垂直，但不平分，故②错误；∵AC ，BD 互相垂重，∴四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BO ＋12AC ·OD ＝12AC ·BD .故④正确，综上所述，正确的结论是①④. 4. (1)证明：∵AC ＝AD ， ∴∠ACD ＝∠ADC ，∴∠BCD －∠ACD ＝∠EDC －∠ADC 即∠BCA ＝∠EDA ，在△ABC 与△AED 中，BC ＝ED ，∠BCA ＝∠EDA ，AC ＝AD ， ∴△ABC ≌△AED (SAS )； (2)解：∵△ABC ≌△AED ， ∴∠E ＝∠B ＝140°，∵五边形ABCDE 内角和为(5－2)×180°＝540°，∴∠BAE ＝540°－2×90°－2×140°＝80°. 5. (1)证明：∵点E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE ， ∵AB ∥CF ， ∴∠BAF ＝∠AFC ，在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠CFE ∠AED ＝∠FEC DE ＝CE，∴△ADE ≌△FCE (AAS )； (2)解：由(1)知CD ＝2DE ， ∵DE ＝2， ∴CD ＝4，在Rt △ABC 中，点D 为AB 的中点， ∴AB ＝2CD ＝8，AD ＝CD ＝12AB . ∵AB ∥CF ，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝180°－120°＝60°， ∴∠DAC ＝∠ACD ＝12∠BDC ＝12×60°＝30°， ∴在Rt △ABC 中，BC ＝12AB ＝12×8＝4. 6. (1)证明：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，在△BDG 和△ADC 中，⎩⎨⎧BD ＝AD∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC，∴△BDG ≌△ADC (SAS )， ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C ，∵∠ADB ＝∠ADC ＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点， ∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF ，∴DE ＝DF ，∠EDG ＝∠EGD ，∠FDA ＝∠F AD ， ∴∠EDG ＋∠FDA ＝90°，∴DE ⊥DF ； (2)解：∵AC ＝10， ∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理得，EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 7. (1)证明：∵E 是AB 的中点，且CE ⊥AB ， ∴CA ＝CB .∵F 是BC 的中点，且AF ⊥BC ， ∴AB ＝AC ， ∴AB ＝AC ＝BC ，∴12AB ＝12BC ，∴AE ＝CF ，在△CFG 和△AEG 中，⎩⎨⎧∠CGF ＝∠AGE∠CFG ＝∠AEG CF ＝AE，∴△CFG ≌△AEG (AAS )； (2)解：如解图，连接GD ，第7题解图∵AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，从而△CAD 也为等边三角形， ∵AF ⊥BC ，∴∠GAC ＝∠EAF ＝30°，又∵AE ＝12AB ＝2， ∴在Rt △AEG 中，AG ＝23AE ＝433， ∵∠GAD ＝∠GAC ＋∠CAD ＝90°，∴在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：GD 2＝AG 2＋AD 2，即GD 2＝(433)2＋42，∴GD 2＝643， ∴GD ＝833.8. 解：(1) ∵∠ACP ＝90°，∴在Rt △ACP 中，∠CAP ＋∠APC ＝90°， ∵HQ ⊥AP ,∴在Rt △HPQ 中，∠Q ＋∠HPQ ＝90°，又∵∠APC ＝∠HPQ ，∠CAP ＝α， ∴∠Q ＝α，又∵在等腰Rt △ABC 中，∠B ＝∠BAC ＝45°， ∴∠AMQ ＝∠B ＋∠Q ＝45°＋α； (2)PQ ＝2BM .证明：如解图，连接AQ ，过点M 作MN ⊥BQ 于点N .第8题解图∵∠ACP ＝90°，CQ ＝CP ，∠CAP ＝α， ∴∠CAQ ＝∠CAP ＝α，AP ＝AQ ，PQ ＝2CP ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠MAQ ＝∠BAC ＋∠CAQ ＝45°＋α＝∠AMQ ， ∴AQ ＝MQ ， ∴AP ＝MQ ，又∵MN ⊥BQ ， ∴∠ACP ＝∠QNM ＝90°.在Rt △APC 和Rt △QMN 中，⎩⎨⎧∠CAP ＝∠NQM∠ACP ＝∠QNM ＝90°AP ＝MQ，∴Rt △APC ≌Rt △QMN (AAS )， ∴CP ＝MN ，∴PQ ＝2MN ，又∵在Rt △BMN 中，∠B ＝45°， ∴BM ＝2MN ，∴PQ ＝2BM .9. (1)解：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AC ⊥DE ，AD ＝2， ∴BC ＝AC ，DE ＝AD ＝2，DF ＝12DE ＝1，AF ＝CF ， ∴AF ＝AD 2－DF 2＝3， ∴AC ＝2AF ＝23，∴BC ＝23； (2)证明：连接CE ，FG ，如解图所示：第9题解图∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 同一在一条直线上． ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠AED ＝60°， ∴∠ADB ＝120°，∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC∠BAD ＝∠CAE AD ＝AE，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD ＝CE ，∠AEC ＝∠ADB ＝120°， ∴∠CED ＝∠AEC －∠AED ＝60°， ∵CD ⊥BE ， ∴∠DCE ＝30°， ∴DE ＝12CE ，∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，∴FG∥BD，FG＝12BD，∴FG∥DE，FG＝DE，∴四边形DFGE是平行四边形，∴DF＝EG.。

中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第三节全等三角形同步测试题及答案.doc

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】第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( )A．两个等边三角形一定全等B．腰对应相等的两个等腰三角形全等C．形状相同的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB为一边作△AB P，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△ED B中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE 于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD 的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，A M⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥C D ，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF. 在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.18∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF ＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)．在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ， ∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠A CD ＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ， ∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE＝180°－60°－60°＝60°.【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠AMC＝90°.∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM.∵AB＝32，∴AM＝BM＝3.∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM2＋CM2＝13.(2)证明：如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连结BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠A MC＝90°，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC，故AC＝BD.又CE＝AC，因此BD＝CE.∵点F是线段BC的中点，∴BF＝FC，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式的一个数或字母也是代数式。

九年级数学中考一轮复习课堂练习17等腰三角形与勾股定理

2 1C D BA 等腰三角形与勾股定理一、选择题1.如图，已知直线110AB CD DCF =︒∥，∠，且AE AF =，则A ∠等于（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．70︒2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分么BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△BDE 的周长是( )A ．7+5B ．10C ．4+25D ．123.如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝ 60°，则CD 的长为（）A ．32B ．23C ．12D ．344.如图， ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（）①1A ∠=∠，②CD DB AD CD= ③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤AC BD AC CD =··A ．1B ．2C ．3D ．45.图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若A D CP B60°A F BDE正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．946.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）A．．25 C．5 D ．35二、填空题1.已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是．2.在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度．3.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．4.在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．AC D B5.如图，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为．6.如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于．7.已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为．第12题图8.某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为．9.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．BC A 30°CABS 1S 2【参考答案】一、选择题1. B 解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵110AB CD DCF =︒∥，∠，所以110EFB DCF ∠=∠=︒，∴70AFE ∠=︒，∵AE AF =，∴70E AFE ∠=∠=︒，∴40A ∠=︒，故选B.2.B3.B4.C5.C6.B二、填空题1.2．5＜x ＜52.︒70或︒203.4 解析：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。

初中数学中考一轮复习专题6 三角形重点、考点知识、方法总结及真题练习

A.
B.
【答案】A.
C.
D.
【解析】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
知识点 2 等腰三角形
等腰三角形的概念不性质
1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三
边叫做三角形的底.
2、等腰三角形的性质
①等腰三角形的腰相等
②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“）
2.如图，在△ABC 中，AB=AC．以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于
点 D，连结 BD．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为度．
【答案】37 【解析】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD= ∠ACB=37°．
．
【答案】40° 【解析】解：∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，
3.如图，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数
是
．
【答案】3
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC 是等腰三角形，
∠ABC=∠ACB=
=72°，
BD 平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，
∴在△ABD 中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD 是等腰三角形，

中考数学几何基础、三角形与四边形复习专题训练精选试题及答案

立体图形的认识及角、相交线与平行线专题训练一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、32.43°＝＿＿＿度＿＿＿分＿＿＿秒。

２、若∠1＝30°，则∠A 的补角是＿＿＿＿度。

３、如图，∠1和∠2是直线AB 、AC 被BC 所截而成的＿＿＿＿角。

４、如图，射线OA 表示的方向是＿＿＿＿＿＿＿。

５、锯木头时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这种做法的理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

６、如图，AC ⊥l 1，AB ⊥l 2，则点A 到直线 l 2 的距离是指线段＿＿＿＿＿＿＿＿的长度。

７、如图，已知：AB ∥CD ，∠1＝∠2，若∠1＝50°，则∠3＝＿＿＿＿度。

８、如图，将两块直角三角板的直角顶点重合为如图所示的形状，若∠AOD ＝127°，则∠BOC ＝＿＿＿＿。

９、下面是一些相同的小正方体构成的几何体的三视图。

则至少要＿＿＿个正方体搭成。

主视图左视图俯视图10、如图，要得到AB ∥CD 的结论，则需要角相等的条件是＿＿＿＿＿＿（写出一个即可）11、直线 a ∥b ，则∠ACB ＝＿＿＿＿。

12、平面内有若干条直线，当下列情形时，可将平面最多分成几部分。

① 有一条直线时，最多分成两部分。

② 有两条直线时，最多分成 2＋2＝4 部分。

③ 有三条直线时，最多分成＿＿＿＿部分。

二、选择题。

（每题 4 分，共 24 分）A B CG D E F （第10题）A O DB C（第8题） A D E C ））） 1 2 3 （第7题） ┘ ┘A B C l 1 l 2 （第6题））） 1 2 A B C （第3题）东南西 A北） 30° O （第4题）（第11题） a b A B 28° 50°C１、在下列立体图形中，不属于多面体的是（）A 、正方体B 、三棱柱C 、长方体D 、圆锥２、两条直线被第三条直线所截，则（） A 、同位角相等 B 、同错角相等 C 、同旁内角互补 D 、无法确定３、在修建泉厦高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据（）A 、直线公理B 、直线公理或线段最短公理C 、线段最短公理D 、平行公理４、如图是一个台球桌面的示意图，如果一个球按图中所示的方向被击中（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A 、1号袋B 、2号袋C 、3号袋D 、4号袋５、下面图形中，不能折成正方体的是（）AB D ６、如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）A 、相等B 、互补C 、相等或互补D 、相等且互补三、解答题：（每题 8 分，共 40 分）１、已知C 为线段AB 的中点，D 在线段CB 上，且DA ＝6，DB ＝4，求CD 的长度。

中考数学一轮综合复习同步讲义(第9课全等三角形)

中考数学一轮分复习第09课全等三角形知识点：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧；倍长中线：截长补短：角平分线上：已知角平分线及垂足在上一点到一边距离：已知角平分线及平分线辅助线做法：共边问题：重叠角问题：已知两角，已知两边，全等三角形判定方法：角平分线画法：角平分线判定：角平分线性质：，，，，全等三角形判定：全等三角形性质：定义：全等三角形课堂练习：1.下列说法错误的有（）①只有两个三角形才能完全重合； ②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同； ③两个正方形一定是全等图形； ④边数相同的图形一定能互相重合．A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个2.已知△ABC 与△DEF 全等,∠A=∠D=900，∠B=370，则∠E 的度数是（）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°3.如图，已知∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需条件（）A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AEC.∠B=∠D,∠C=∠ED.AC=AE,AB=AD4.在△ABC 中，AC=5，中线AD=4，则边AB 的取值范围是( )A.1<AB<9B.3<AB<13C.5<AB<13D.9<AB<135.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等,则x+y=6.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F,交DE于G,∠ACB=∠AED=1050，∠CAD=150 ,∠B=∠D=300，则∠1的度数为第6题图第7题图第8题图7.如图,AB=DB,∠ABD=∠CBE,请添加一个适当条件，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900，BC=2cm,CD⊥AB，在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm，则AE= cm．9.如图，已知AB⊥BD 于B，ED⊥BD 于D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____.10.如图,F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB 的延长线上,FB=EB,AF 交CE 于G,则∠AGC的度数是______.11.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E 为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC 全等,这样的三角形最多可以画出_____个．12.如图，AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证:△ABC≌△DEF．13.如图∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE，BD=CE.求证：AB=AC.14.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．15.如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点,AE∥CF，AE=CF,BE=DF.求证：△ADE≌△CBF．16.如图,ΔABC和ΔBDE是等边三角形,D在AE 延长线上.求证:BD+DC=AD.17.如图,在△ABC中,∠ACB=900，AC=BC,D是AB上一点,AE⊥GD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.求证：AE=EF+BF.18.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=900，BE⊥AD,垂足为E.求证：BE=DE．19.已知,在ΔABC中,∠B=2∠C,AD平分∠A交BC于D点,求证：AC=AB+BD.20.如图,等腰 Rt△OAB中,∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．21.已知在Rt△ABC中,∠C=900，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为C．求证：△DBE的周长等于AB的长．22.已知,如图,在四边形ABCD中,BC>AB，AD=DC,BD平分∠ABC.求证:∠BAD+∠BCD=180°.23.如图①,点E在正方形ABCD边BC上,BF⊥AE于F,DG⊥AE于G,可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②,点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上,点E、F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF．应用：如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,B＞BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为9,则△ABE与△CDF的面积之和为．第09课全等三角形测试题日期：月日满分：100分时间：20分钟姓名：得分：1.如图∠1=∠2=200，AD=AB,∠D=∠B，E 在线段BC 上，则∠AEC=（）A.200B.700C.500D.800第1题图第2题图第3题图2.某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（） A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.带①和②去3.已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°4.如图,已知点A、D、C、F在同一直线上,AB=DE，BC=EF,要使△ABC≌△DEF，还要添加一个条件是（）A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF第4题图第5题图第6题图5.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分线上的点到角两边距离相等6.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC≠BD，则图中全等三角形有（）A.4对B.6对C.8对D.10对7.在下列定理中假命题是（）A.一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B.一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D.两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形8.如图,△ABC中,∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,若AC=10cm,则△DBE的周长等于( )A.10cm B.8cm C.6cm D.9cm第8题图第9题图9.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1 处B.2 处C.3 处D.4 处10.若两个三角形的面积相等, 则这两个三角形________全等．（选择：一定或不一定）11.已知:如图,∠B=∠DEF,AB=DE,要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据,还缺条件 .（2）若以“AAS ”为依据,还缺条件 .（3）若以“SAS ”为依据,还缺条件 .12.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC=600，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠,点C 落在C /处,连接BC /，那么BC /的长为．第12题图第13题图第14题图13.如图,△ABD 与△AEC 都是等边三角形,AB ≠AC,下列结论中：①BE=DC ；②∠BOD=60°；③△BOD ∽△COE.正确的序号是 14.如图,△ABD 的三边AB 、BC 、CA 的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将△ABD 分为三个三角形，则CAO BCO ABO S S S ∆∆∆:: 等于______.15.如图,AB ∥CD,O 是∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点,OE ⊥AC 于E,且OE=3,则AB 与CD 间的距离等于16.如图,AC ⊥BC,BD ⊥AD,AC 与BD 交于O,AC=BD.求证：（1）BC=AD ；（2）△OAB 是等腰三角形．17.如图,已知AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且BD=CD.求证：BE=CF ．18.如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC,E 是AB 的中点,连接DE 并延长交CB 的延长线于点F,点G 在边BC 上，且∠GDF=∠ADF ．（1）求证:△ADE ≌△BFE ；（2）连接EG,判断EG 与DF 的位置关系并说明理由．。

【数学中考一轮复习】6.2 等腰三角形和直角三角形(含答案)

第六章三角形6.2 等腰三角形和直角三角形考点突破考点一等腰三角形的性质和判定典例1 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D. 求证:AD ＝BC.思路导引根据等腰三角形的性质得到∠ABC ＝∠C ＝72°，根据角平分线的定义得到∠ABD ＝∠DBC ＝36°，∠BDC ＝72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论. 规律总结本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用. 跟踪训练 11.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC.在AB ，AC 上分别截取AP ，AQ ，使AP ＝AQ.再分别以点P ，Q 为圆心，以大于21PQ 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D.若BC ＝6，则BD 的长为（） A.2 B.3 C.4 D.5第1题图第2题图2.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（）A.120°B.130°C.145°D.150°3.如图所示，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（）A.2ba+B.2ba-C.a-bD.b-a考点二等腰三角形的分类讨论典例2 Rt△ABC中，∠ABC＝90°AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是__________.思路导引在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC＝5、S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可.名师点拨本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键.跟踪训练 21.等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是___________.2.腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________.3.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝_________.考点三等边三角形的性质和判定典例3如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A.63B.9C.6D.33思路导引连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AC＝3，于是得到结论.规律总结本题考查了含30°角的直角三角形、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.跟踪训练 31.已知等边三角形一边上的高为23，则它的边长为（）A.2B.3C.4D.432.如图所示，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_________.第3题图第4题图3.如图所示，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为_________.考点四直角三角形的性质和判定典例4对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝_________.思路导引根据垂直的定义和勾股定理解答即可.规律总结本题考查的是垂直的定义勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键.跟踪训练 41.如图所示，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（）A.131310 B.13139 C.13138 D.131372.如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（） A.1，4，5 B.2，3，5 C.3，4，5 D.2，2，43.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB-AC ＝2，BC ＝8，则AB 的长是_________.中考真题1.（2020·青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（） A.55°，55° B.70°，40°或70°，55° C.70°，40° D.55°，55°或70°，40°2.（2020·毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（） A.13 B.17 C.13或17 D.13或103.（2020·益阳）如图所示，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，DC 平分∠ACB ，若∠A ＝50°，则∠B 的度数为（）A.25°B.30°C.35°D.40°第3题图第4题图4.（2020·怀化）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ，若BD ＝3，则DE 的长为（） A.3 B.23C.2D.65.（2020·荆门）△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝23，D 为BC 的中点，AE ＝41AB ，则△EBD 的面积为（） A.433 B.833 C.43 D.83第5题图第6题图6.（2020·自贡）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是（） A.50° B.40° C.30° D.20°7.（2020·包头）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E.若AC ＝2，BC ＝22，则BE 的长为（） A.362 B.26 C.3 D.2第7题图第8题图8.（2020·宁波）如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连接DE ，F 为DE 中点，连接BF.若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为（） A.2 B.2.5 C.3 D.49.（2020·广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，中记载:今有开门去阃（读k ǔn ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是:如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺（1尺＝10寸），则AB 的长是（）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸10.（2020·徐州）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，若BF＝5，则DE＝__________.第10题图第11题图11.（2020·黔西南州）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝33，则BD的长度为__________.12.（2020·青海）已知a，b，c为△ABC的三边长.b，c满足（b-2）2＋|c-3|＝0，且a 为方程|x-4|＝2的解，则△ABC的形状为_________三角形.13.（2020·襄阳）如图所示，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝_______.14.（2020·通辽）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是_____________.15.（2020·扬州）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是:一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答:折断处离地面___________尺高.16.（2020·安顺）如图所示，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE 的延长线于点D ，BD ＝8，AC ＝11，则边BC 的长为__________.17.（2020·贵阳）如图所示，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.参考答案考点突破典例1 证明:∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°. ∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°. ∴∠A ＝∠ABD.∴AD ＝BD.∴∠BDC ＝72°.∵∠C ＝72°，∴∠C ＝∠BDC.∴BC ＝BD.∴AD ＝BC. 跟踪训练11.B2.B3.C 典例 2 3.6或4.32或4.8 跟踪训练 21.10或112.6或25或453.58或41典例 3 D 跟踪训练 31.C2.63.33 典例 4 20跟踪训练 41.D2.B3.17 中考真题1.D2.B3.B4.A5.B6.D7.A8.B9.C 10.5 11.23 12.等腰 13.40° 14.PA 2＋PB 2＝2PC 2 15.209116.45 17.解:（答案不唯一）（1）（2）（3）。

数学中考总复习(一轮复习)第17讲全等三角形

第17讲全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理 1•性质(1) _________________________ 全等三角形的对应边，对应角。

(2) ________________________________ 全等三角形的对应边的中线 _______________________ ，对应角平分线 _____________________________________ ，对应边上的高 __________ ，全等三角形的周长 _________ ，面积 _________ 。

2•判定定理(1)三边分别 _________ 的两个三角形全等(简写“边边边”或“ _______ ”)。

微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“ SSA ”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。

二、角的平分线1•性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 ___________ 。

2•判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 ____________ 。

3•三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离微拨炉： 1•三角形的角平分线是一条线段，不是射线。

2•角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。

注意分清题设和结论。

高频考点1、全等三角形的判定与性质【范例】如图，在△ ABC 中，AB=CB ，■ ABC =90，D 为AB 延长线上一点，点 E 在BC 边上, 且 BE 二 BD ，连接 AE 、DE 、DC 。

(2)两边和它们的夹角分别________ 的两个三角形全等(简写“边角边”或 ”) (3)两角和它们的夹边分别________ 的两个三角形全等(简写“角边角”或”)(4)斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等(简写“斜边、直角边”或 ”)(1)求证：△ ABE ◎△ CBD(2)若• CAE =30 ［求• BDC 的度数D得分要领：判定全等三角形的基本思路1•已知两边：（1）找夹角（SAS） ; （2）找直角（HL或SAS） ; （3）找第三边（SSS）。