高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案

数列求通项公式的方法

一、叠加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的两个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=L L

两边分别相加得 111

()n

n k a a f k +=-=∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2.已知数列}

{n a 中, 0

>n a 且

)(21n

n n a n a S +=

,求数列

}

{n a 的通项公式.

解:由已知

)(21n

n n a n

a S +=

得

)(2111---+-=

n n n n n S S n

S S S ,

化简有n S S n n =--2

12,由类型(1)有n S S n ++++=Λ32212,

又11a S =得11=a ,所以

2)

1(2

+=

n n S n ,又0>n a ,2)

1(2+=n n s n ,

则

2)

1(2)1(2--+=

n n n n a n

练习1，已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12

+-n n

练习2.已知数列

}

{n a 满足31=a ，

)

2()1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

14n a n =-

练习3. 已知数列{}n a 满足211=

a ，n

n a a n n ++=+211

，求n a 。

解：由条件知：1

1

1)1(112

1+-=+=+=

-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即

)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a

所以n

a a n 111-

=- 211=a Θ，n

n a n 1231121-=-+=∴

评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、

分式函数，求通项n a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、叠乘法

1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2．若

1

()n n

a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===L L ，，

， 两边分别相乘得，1

11

1()n n k a a f k a +==⋅∏

例3. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n

a 1

1+=

+，求n a 。 解：由条件知1

1+=

+n n

a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 又321=

a Θ，n

a n 32

=∴ 练习1.已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故

13211221

12211(1)(2)21(1)

1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332

5!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯L L L L 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯

练习2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112

21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的

通项公式是n a =________. 解：已知等式可化为：

[]0

)1()(11=-++++n n n n na a n a a

Θ0>n a (*

N n ∈)∴(n+1)01

=-+n n na a , 即11+=

+n n

a a n

n ∴2≥n 时，n n a a n n 1

1

-=

- ∴

112211a a a

a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=

---Λ=121121⋅⋅--⋅-Λn n n

n =n 1. 评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与

1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a . 练习.已知1

,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.

答案：

=n a )

1()!1(1+⋅-a n -1.

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式

,

11-+=+n na a n n 转化为

),

1(11+=++n n a n a 若令

1

+=n n a b ,则问题进一步转化为

n

n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列

的通项公式.

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如

(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型

（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;