6.1因式分解
因式分解的知识点总结
因式分解的知识点总结因式分解是数学中的重要知识点之一，它在代数运算、方程求解、解决实际问题等方面起到了重要作用。
因式分解的目的是将复杂的代数式或多项式表示为简单的因式乘积形式，从而揭示其内在的性质和关系。
下面将对因式分解的定义、方法和应用进行总结。
一、因式分解的定义因式分解是将一个代数式或多项式分解为若干个互不相等、不可再分的因式的乘积形式。
因式分解的基本原则是尽量找出能够整除原式的因式，然后重复这一过程，直到无法再分解为止。
二、因式分解的方法1.提取公因式：当一个多项式的各项中存在一个公因式时，可以通过提取公因式来进行因式分解。
具体步骤是找出各项的最高公因式，然后提取出来，余下的部分就是新的因式。
2.公式法：对于一些特定的多项式，可以利用已知的公式进行因式分解。
常用的公式有平方差公式、差平方公式、和差积公式等。
3.配方法：对于一个二次多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次多项式的乘积形式。
具体步骤是将二次项拆解成两个一次项相乘的形式，然后根据一次项的系数和常数项进行组合。
4.完全平方公式：对于一个二次多项式，如果能够表示为两个一次多项式的平方和的形式，则可以利用完全平方公式进行因式分解。
5.分组法：对于一个含有四个以上项的多项式，可以通过将其分成两组或多组来进行因式分解。
具体步骤是找出各组之间的公因式，然后进行提取，最后再对各组的公因式进行提取。
6.根据题目的要求进行因式分解：在实际问题中，可能会给出一些特殊的条件或要求，可以根据这些特殊条件进行因式分解。
三、因式分解的应用因式分解在数学中起到了重要的作用，它不仅可以简化代数式的计算，还可以帮助我们解决实际问题和证明数学定理。
以下列举了因式分解的一些常见应用。
1.求解方程和不等式：通过因式分解，可以将复杂的方程或不等式转化为简单的乘积形式，从而更容易求解。
2.展开与合并式子：通过因式分解，可以将复杂的多项式展开成为简单的乘积形式，或者将多个因式合并成为一个多项式。
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。
通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。
本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。
因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。
二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。
通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。
举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。
2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。
举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。
然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。
三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。
下面我们介绍几个典型的应用场景。
1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。
通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。
2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。
因式分解教案模板(10篇)
因式分解教案模板（10篇）因式分解教案 1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1)._2-4y2=(_+2y)(_-2y)因式分解(2).2_(_-3y)=2_2-6_y整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4)._2+4_+4=(_+2)2因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4)因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、规律总结(教师讲解)：分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点：(1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6_2+6_y+3_=-3_(2_-2y-1)公因式的概念;公因式的求法公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。
现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。
动画演示：场景一：正方形折叠演示师：这就是我们得到的正方形。
下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。
6.1因式分解
2
2－992= (1)101 2+87×13= (2)87 × 2－2×51+1= (3)51 × 2－1= (4)50
（1） ） x
+ m x n能分解成 ( x 2 )( x 5) 则 m = ______, n = ______.
2
（2） 某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪， ） 某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪，
他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ 他们的宽都是８㎝，长分别是５５． ㎝，２ 长分别是５５ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积 ㎝，２０． ㎝，那么这些绿化带的面积 ２０ 之和是__________ 之和是
8 55.5 24.4 20.1
你知道因式分解的定义吗? 你知道因式分解的定义吗 你会判别哪些代数式的变形是因式分解吗 你知道因式分解与整式的乘法的关系吗? 你知道因式分解与整式的乘法的关系吗? 你会验证因式分解是否正确吗? 你会验证因式分解是否正确吗 你会利用因式分解快速解决某些问题吗? 你会利用因式分解快速解决某些问题吗
整式乘法
因式分解
一般地， 一般地，把一个多项式转化成几个 整式的积的形式，叫做因式分解 因式分解， 整式的积的形式，叫做因式分解，有时 我们也把这一过程叫做分解因式。 我们也把这一过程叫做分解因式 分解因式。
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？ 下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
+ a = a ( a + 1) 2 （2）( a + 3)( a 3) = a 9 ） （3） 4 x 2 4 x + 1 = (2 x + 1) 2 ）
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因式分解知识点归纳
因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)(2)运用公式法：平方差公式：a2—b2 = (a + b)(a—b)；完全平方公式：a2土2ab + b2= (a土b)2(3)十字相乘法：x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； (3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
(4)最后考虑用分组分解法5、同底数幂的乘法法则：a m・a n = a m+n( m, n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：(a + b)2•(a + b)3 = (a + b)56、幂的乘方法则：(a m)n = a mn( m, n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。
如：(-35)2= 310幕的乘方法则可以逆用：即a mn = (a m ) n = (a n ) m如：46 = (42)3 = (43)27、积的乘方法则：(ab)n = a n b n( n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：(一 2 x 3 y 2 z )5 = (-2)5 • (x 3)5 • ( y 2)5 • z 5 = -32 x 15 y 10 z 58、同底数幂的除法法则：a m + a n = a m - n ( a牛0, m, n都是正整数，且m n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。
如：(ab)4 + (ab) = (ab)3 = a3b39、零指数和负指数；a 0 = 1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
1a - p =——(a中0, p是正整数)，即一个不等于零的数的-p次方等于这个数的P次方的倒数。
因式分解知识要点
因式分解知识要点因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。
1、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。
本定义可从以下几方面进行理解：⑴、因式分解是一种恒等变形，如22()()-=+-,无论字母a和b取何值，代数式22a b a b a ba b-与()()+-的值总是相等的；a b a b⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。
2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。
如:()++=++。
ma mb mc m a b c⑵、运用公式法：利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。
公式法主要有以下两种：①平方差公式：22()()-=+-；a b a b a b②完全平方公式：222±+=±。
2()a ab b a b⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。
运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。
浙江省永嘉县大若岩镇七年级数学上册 6.1 因式分解课件 浙教版
❖ 分解因式与整式乘法是互逆过程. ❖ 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积 的形式. 3.要分解到不能分解为止.
(1)1012－992 (2)872+87×13 (3)512－2×51+1
2. 如果 2x2 mx n 可分解因式为
(2x 1)(x 2) 那么m ＝-_3____，n=_-_2___
（2）(a 3)(a 3) a2 9
不是
个 整
（5） 18（a33b）c 4x32 a 24bx6a1c (2x 1)2 不是
式 的
(6)(x（ 44)）x2( 3xx21)( xx(x23)) 1
不是 积
讨论交流
你能否先写出整式(至少一个是多项式) 相乘的两个例子，你能由此得到相应的两 个多项式的因式分解吗？把结果与你的同 伴交流。
a ba b
一.说明： 1.从左到右是因式分解,其特点是：由和差形 式（多项式）转化成整式的积的形式； 2.从右到左是整式乘法，其特点是：由整式 积的形式转化成和差形式（多项式）.
二.结论：因式分解与整式乘法是互逆的关系.
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？ 多
是
项
式
不是
不是 几
（1）a2 a a(a 1)
1.检验下列因式分解是否正确:
正确
正确
1.m2 nm m(m n)
不正确
2.a2 b2 (a b)(a b) 3.x2 x 2 ( x 2)( x 1)
2.把左、右两边相等的代数式用线连起 来。
2a2 2a a2 6a 9
4 a2 3a2 12a
(a 3)2 2a(a 1) (2 a)(2 a) 3a(a 4)
因式分解技巧 二元二次式的分解
6 二元二次式的分解形如ax 2＋bxy ＋cy 2＋dx ＋ey ＋f 的x 、y 的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．6．1 欲擒故纵【例1】分解因式：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2． 【解】 如果只有二次项x 2＋2xy －3y 2，那么就由算式11132-得 x 2＋2xy －3y 2＝(x －y )(x ＋3y )． 如果没有含y 的项，那么对于多项式x 2＋3x ＋2，由算式 11123得 x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)． 如果没有含x 的项，那么对于多项式－3y 2＋y ＋2，由算式 13-121得 －3y 2＋y ＋2＝(－y ＋1)(3y ＋2)． 把以上三个算式“拼”在一起，写成 1113-12便得到所需要的分解：x 2＋2xy －3y 2＋3x ＋y ＋2 ＝(x －y ＋1)(x ＋3y ＋2)．上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉乘就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算是中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下．长十字中的第一行1－1＋1表示因式x －y ＋1，第二行的1＋3＋2表示另一个因式x ＋3y ＋2．为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．【例2】分解因式：6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20． 【解】 先进行两次十字相乘，由算式()()23x y 325--()(1)23x 452- 得 6x 2－5xy －6y 2＝(2x －3y )(3x ＋2y )，6x 2＋2x －20＝(2x ＋4)(3x －5)．为避免混淆，我们在算式中写上（x ）、（y ）、（1），表示相应的列是x 、y 的系数或常数项．然后把两个算式拼成()()(1)23x y 32-45- 检验一下，正好有 (－3)×(－5)＋2×4＝23， 于是 6x 2－5xy －6y 2＋2x ＋23y －20＝(2x －3y ＋4)(3x ＋2y －5)．6．2 三元齐次长十字相乘对于三个字母x 、y 、z 的二次齐次式ax 2＋bxy ＋cy 2＋dxz ＋3yz ＋fz 2也同样适合．【例3】分解因式：x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2． 【解】 由算式()()()11x y z 33--23-- 得 x 2－6xy ＋9y 2－5xz ＋15yz ＋6z 2＝(x －3y －2x )(x －3y －3z )．【例4】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0．求证：2b ＝a ＋c ．【证明】由算式()()()11a b c 12--31得 a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )．于是，由已知条件，得(a －b ＋3c )(a －2b ＋c )＝0．因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以a－b＋3c≠0，从而a－2b＋c＝0，即2b＝a＋c．6．3 项数不全如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．【例5】分解因式：x2－y2＋5x＋3y＋4．【解】由算式1 111-14得x2－y2＋5x＋3y＋4＝(x＋y＋1)(x－y＋4)．在例5中，如果仅看x2－y2与x2＋5x＋4，也可能导出不完全正确的算式1 111-41在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置．【例6】分解因式：x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y．【解】由算式1 1212得x2＋3xy＋2y2＋2x＋4y＝(x＋2y)(x＋y＋2)．6．4 能否分解二元二次式并不是一定能分解的．如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式．如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的．【例7】m为什么数时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解为两个一次因式的积？【解】对于多项式x2＋7xy－18y2，由算式1 19 27-对于多项式x2－5x－24，由算式1 18 35--这两个算式可以拼成长十字相乘1 192-83-或1 192-38-对第一个长十字相乘，有9×3＋(－2)×(－8)＝43，而对第二个长十字相乘，有9×(－8)＋(－2)×3＝－78，所以，m＝43或m＝－78时，x2＋7xy－18y2－5x＋my－24才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y－8)(x－2y＋3)，由第二个长十字相乘，得x2＋7xy－18y2－5x＋my－24＝(x＋9y＋3)(x－2y－8)．小结x、y的二次式（或x、y、z的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解．长十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x、y的二次齐次式、不含x的二次式（或y、z的二次齐次式）与不含y的二次式（或z、x的二次齐次式）的因式分解．习题6将以下各式分解因式：1．x2＋2xy＋y2＋3x＋3y＋2．2．4x2－14xy＋6y2－7x＋y－2．3．x2－y2－3z2－2xz＋4yz．4．2y2－5xy＋2x2－ay－ax－a2．5．a2－3b2－3c2＋10bc－2ca－2ab．6．2a2－7ab－22b2－5a＋35b－3．7．x2－2y2－3z2＋xy＋7yz＋2xz．8．2x2－6y2＋3z2－xy＋7xz＋7yz．9．4x2－9y2＋2z2＋6xz－3yz．10．4x2＋2z2＋xy＋9xz＋2yz．习题6 1．(x＋y＋1)(x＋y＋2)2．(4x－2y＋1)(z－3y－2)3．(x＋y－3z)(x－y＋z)4．(x－2y－a)(2x－y＋a)5．(a＋b－3c)(a－3b＋c)6．(a＋2b－3)(2a－11b＋1)7．(x－y＋3z)(x＋2y－z)8．(x－2y＋3z)(2x＋3y＋z)9．(2x＋3y＋2z)(2x－3y＋z)10．(x＋2z)(4x＋y＋z)。
因式分解公式是什么怎么计算
因式分解公式是什么怎么计算因式分解是数学函数中的一个重要知识点，在考试中出现相关题目的频率也很高。
下面是由编辑为大家整理的“因式分解公式是什么怎么计算”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。
因式分解的定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解主要有十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
因式分解常用公式1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。
3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。
4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。
6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。
7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。
8、三项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。
拓展阅读：因式分解方法1、提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
《因式分解》ppt课件
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的 积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确 保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应 确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别 是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形， 或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决 几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方 法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质， 如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求 解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2： 把下列多项式分解因 式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3： 把下列多项式分解因 式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2： 把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1： 把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关 键步骤。
因式分解教案_2
因式分解教案因式分解教案篇1整式乘除与因式分解一.回顾知识点1、主要知识回顾：幂的运算性质：aman=am+n(m、n为正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加.=amn(m、n为正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘.(n为正整数)积的乘方等于各因式乘方的积.=am-n(a≠0，m、n都是正整数，且m>n)同底数幂相除，底数不变，指数相减.零指数幂的概念：a0=1(a≠0)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l.负指数幂的概念：a-p=(a≠0，p是正整数)任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数.也可表示为：(m≠0，n≠0，p为正整数)单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.二、熟练掌握因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数;②字母——各项含有的相同字母;③指数——相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2因式分解教案篇2教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如:(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式?知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解?为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a 化成-(a-b),然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(4)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解最常用的公式
因式分解最常用的公式因式分解是代数中常用的一种运算方法，它能够将多项式表达式分解为简化形式，从而更方便地进行计算和理解。
在因式分解中，有一些常用的公式被广泛应用，本文将介绍因式分解中最常用的公式及其应用。
一、一次因式分解公式一次因式分解是最简单的一种分解方式，其公式为\[ a x + b = 0 \]，其中a和b为常数。
通过这个公式，我们可以解出方程的根，即\[ x = -\frac{b}{a} \]。
这个公式在代数中应用广泛，是解一元一次方程的基础。
二、二次因式分解公式二次因式分解是因式分解中比较常见的一种形式，其公式为\[ a x^2 + b x + c = 0 \]，其中a、b、c为常数且\(a\neq0\)。
根据二次因式分解公式，我们可以利用求根公式\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]求出方程的根。
三、完全平方式分解公式完全平方式分解是指将二次三项式\( ax^2 + 2bx + c \)分解成两个因式的乘积形式，即\[ ax^2 + 2bx + c = (mx + n)(px + q) \]。
通过这个公式，我们可以快速地分解二次三项式，进而简化计算。
四、差几平方式分解公式差几平方式分解是将\( a^2 - b^2 \)形式的多项式分解成两个因式相乘的形式，即\[ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \]。
这个公式在代数中也经常被使用，用于分解差平方式，简化计算过程。
五、分组因式分解公式分组因式分解是一种将多项式按照一定规则进行分组，然后进行因式分解的方法。
通过这种方式，我们可以快速简化多项式的形式，方便计算。
分组因式分解在代数中也是一种常用的技巧。
六、特殊公式因式分解除了以上常用的公式外，还有一些特殊公式在因式分解中也有广泛的应用。
例如\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)、\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)等。
浙江省绍兴县成章中学七年级数学下册 第6章《6.1 因式分解》课件(6) 浙教版
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3) (5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法
(4) x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5) (a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法
(6) 5x2y-10xy2= 5xy(x-2y) 因式分解
(7) 4m2-4m+1=4m(m-1)+1 不是因式分解
x2-y2 9-25x2 x2+2x+1 xy-y2
(x+1)2 y(x-y) (3-5x)(3+5x) (x+y)(x-y)
检验下列因式分解是否正确：
1、m2+nm=m(m+n) ∵ m(m+n)=m2+nm ∴因式分解m2+nm=m(m+n)正确 2、2x2-1=(2x+1)(2x-1) 3、a3+a2+a=a(a2+a)
（5） 18a3bc 3a2b6ac
不是
整 式
（6） x 4 ( x 2)( x 2) 不是
的 积
（7） x2 1 x(x 1 )
不是
x
看谁算得快
(1)若a=1001，b=999，则a2-b2=_4_0__0_0__； (2)若a=99，b= -1，则a2-2ab+b2=_1_0_0_0_0__； (3)若x= -3，则20x2+60x=___0____。
多项式 整式的积
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2 =(a+b)2 am+bm =m(a+b)
浙教版七年级数学下册6.1因式分解
You made my day!
我们，还在路上……
(2 )2 x 2 1 (2 x 1 )(2 x 1 )
(3 )x 2 3 x 2 (x 1 )(x 2 )
方法:检验因式分解是否正确, 只要看等式右边几个整式相乘 的积与左边的多项式是否正确.
例2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
例3：若 x101,y99则 x22xyy2__
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》七年级下册
6.1 因式分解
下列多项式是哪些整式相乘得到的结果？
多项式 多项式转化为几个整式的(x2)(x2)
( x 3)2
因式分解
2x2 x
整式乘法
x(2x 1)
分解因式与整式乘法有什么关系? 因式分解和整式乘法之间是代数式的互逆变形。
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
下列代数式变形中,哪些是因式分解？哪些不是?
(1 ) 2 m (m n ) 2 m 2 2 m n不是
因式分解方法及其练习
因式分解【知识要点】1 •因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2因式分解的方法：①提公因式法；(1)多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
(2)公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂。
②.公式法：(1)常用公式平方差：a2 _ b2 = (a b)(a _ b)完全平方：a2 _2ab b2 (a_b)23 3 2 2立方和：a +b =(a+b)(a -ab+b )；立方差：a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2).下面再补充几个常用的公式：2 2 2 2⑸a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；3.3 3 2.2 2 (6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c - ab-bc-ca)；(7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+,+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；n n n-1 n-2 n-3 2(8) a -b =(a+b)(a -a b+a b -,+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；n . n n-1 n-2 . n-3 .2(9) a +b =(a+b)(a -a b+a b -,-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1分解因式：5n-1 n 3n-1 n+2 n-1 n+4(1) -2x y +4x y -2x y ；(2) x 3-8y 3-z 3-6xyz ；2 2 2⑶a +b +c -2bc+2ca-2ab ；(4)a 7-a 5b2+a2b5-b7.解(1)原式=-2x n-1y n(x 4n-2x 2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x 2n)2-2x 2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y 2)2=-2x n-1y n(x n-y) 2(x n+y)2.⑵原式=x3+(-2y) 3+(-z) 3-3x(-2y)(-Z)2 2 2=(x-2y-z)(x +4y +z +2xy+xz-2yz).(3) 原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2=(a-b) +2c(a-b)+c=(a-b+c)本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b) 2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c) 2(4) 原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)5 2 2 5 2 2、=a (a -b )+b (a -b )=(a 2-b 2)(a 5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a 3b+a2b2-ab 3+b4)=(a+b) 2(a-b)(a 4-a 3b+a2b2- ab3+b4) 例2分解因式：a3+b3+c3-3abc .本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+6的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b) 3-3ab(a+b).这也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c 3-3abc =[(a+b)3+c3] -3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b) 2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c-ab-bc-ca).说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc =* Ca + b + e)(备鼻+2b*+2c，*2曲-=j (a + b + D)L Ca b) 3 + Cb-c) : - (c -B O2],显然，当a+b+c=0 时，则a3+b3+c3=3abc ；当a+b+c > 0 时，贝U a3+b3+c3- 3abc > 0，即a3+b3+c3> 3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.如果令x=a3>0，y=b3>0，z=c3> 0，则有等号成立的充要条件是x=y=z .这也是一个常用的结论.例3 分解因式：x15+x14+x13+, +x2+x+1.分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0, 由此想到应用公式a n-b n来分解.解因为x16-1=(x-1)(x 15+x14+x13+,x2+x+1)，所以原天二------------------------- H -------- TK -1間+1)聞+1)(『町血+ 1)虻1)= n・(K9+I)(X'+1)[22+1)(X +1).说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用.(2)常见的两个二项式幂的变号规律：①(a-b)2n =(b-a)2n；②(a_b)2n° =~(b_a)22. (n 为正整数)【课前热身】1 •计算下列各式：(1)(m 4)(m - 4) = ___________(2)(y-3)2= _____________________(3)3x(x _ 1) = ____________(4)m(a b c) = ______________________2 •根据上题填空：(1)3X2_3X= ______________2(2)m -16= _______________(3)ma mb mc= ____________________2(4)y - 6y 9 = _____________【典型题】1把下列各式分解因式32(1)4q(1 - p) 2(p-1)(2) 3m(x_ y) _ n(y _ x)(3) m(5ax ay -1) - m(3ax- ay - 1)1 2 2 1 3(4)a (x - 2a) a(2a - x)2 42把下列各式分解因式(1)25_16x2_____________2 1 2(2)9a2__________ b2=42 2(3)9(m n) _(m_n) = __________(4)2x -8x= _____________3把下列各式分解因式(1)(m n)2 - 6(m n) 92 2(2)3ax 6axy 3ay2 23 3•观察下列各组式子，其中有公因式的是/八m n 2mn 4(4) n ()① 2y x 与x y ；9 3= ② 3a(m - n)与-m n ；4〒算③a—b与2(a b)；1 x2x3 +3工6工9 +5xl0>d5+7xl4x21 ④ x? _y?与(y _x)21 3 5 3 9 15 5 15 25 7 21 35A.①③ B.②③ C.②④ D.③④ 4•多项式b2n -b n提公因式b n后，另一个因式是()n 2n』2n』nA. b -1B.b -1c. b D• b5•下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是( )A. -x2 z2B . X2 -162 . x2(a b)2 2x(a2-b2) (a-b)2四、解答1 .求证：对于任意的正整数n,3「2 -2nJ 3n - 2n一定是10 的倍数。
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逆 (a+b)(a-b)
因式分解 整式乘法
一般地，把一个多项式化成几个整式的积 的形式，叫因式分解，有时我们也把这一过 程叫分解因式。
因式分解 整式乘法 (a+b)(a-b)
图示表示：a2-b2
下列从左到右的变化中，是因式分解的 是哪几个？
(1)ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2 (2)ｘ2－3ｘ＋2＝(ｘ－1)(ｘ－2) (3)(ｘ＋2)(ｘ－1)＝ｘ2＋ｘ－2 (4)ｘ(ｘ＋2)＝ｘ2＋2ｘ (5)ｘ2－ｙ2＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)
检验下列因式分解是否正确: (1) m² +nm=m（m+n） （2）a² -b=（a+b）（a-b） （3）x² -x-2=（x+2）（x-1）
2、计算下列各题，并说明你的算法： （1）87² +87×13 （2）101² -99²
小 结： 1、因式分解的概念（整式范畴的概念）一个多 项式化成几个整式的积的形式。 2、因式分解与整式乘法的关系——互逆变形 3、因式分解的作用——简便计算
6.1 因式分解
仔细看一看：
观察下列等式，完成填空，思考这两种变形是Байду номын сангаас么关系？
a(a+1)=a2+a (a+b)(a-b)= a2 -b2 (a+1)2=a2+2a+1
整式乘法 变形
a2+a=a(a+1) a2 -b2= (a+b)(a-b) a2+2a+1= (a+1)2
因式分解 变形
互 图示表示：a2-b2
布置作业：P139作业题
(6)ｍ2＋ｍ－4＝(ｍ＋3)(ｍ－2)＋2
几点注意：
1、分解的结果要以积的形式表示；
2、每个因式必须是整式，且每个因式 的次数都必须低于原来多项式的次数；
3、必须分解到每个多项式因式不能再 分解为止。
m² -1 6x² -9xy+3x a² -4a-5
（a-5）（a+1）
（m-1）（m+1） 3x（2x-3y+1）