【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精品讲义：一模考前专项训练

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《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮复习一模考前专项训练：多题一法专项训练(四) 构造法

多题一法专项训练(四)构造法方法概述适用题型构造法就是通过对式子或图形，通过转化、构造为熟悉的数学模型后，将抽象问题更加具体化、易解化，其实质体现了化归与转化思想，在高考中，构造法主要应用于立体几何、函数与方程、导数、数列等方面，多以解答题出现.常见的知识类型有以下几种：(1)函数与方程中零点的判断(2)立体几何中线面位置关系的判断(3)递推关系求通项问题(4)利用导数构造函数证明不等式或解决不等式恒成立问题.一、填空题1．已知三个互不重合的平面α，β，γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m，n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是________(写出所有正确的序号)解析：构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′.则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．答案：①③2．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内根的个数为________．解析：求解方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cos x在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f(x)＝|x|和g(x)＝cos x的图像易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．答案：23．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2，则数列{a n}的通项公式为________．解析：∵a n＋1＝2a na n＋2，a1＝1，∴a n≠0，∴1a n＋1＝1a n＋12，即1a n＋1－1a n＝12，又a1＝1，则1a1＝1，∴{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴a n＝2n＋1(n∈N*)．答案：a n ＝2n ＋1(n ∈N *)4．如图所示，已知三棱锥P -ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为________．解析：因为三棱锥P -ABC 的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P -ABC 补成一个长方体AEBG -FPDC ，易知三棱锥P -ABC 的各边分别是此长方体的面对角线．不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P -ABC ＝V AEBG -FPDC －V P -AEB －V C -ABG －V B -PDC －V A -FPC ＝V AEBG -FPDC －4V P -AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.答案：1605．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x 2)min ＝3×12＝3. ∴a ≤3，故a max ＝3. 答案：36．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．解析：设f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，由于a >3，则在(0,2)上f ′(x )<0，f (x )为减函数，而f (0)＝1>0，f (2)＝9－4a <0，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．答案：17．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤4，则x 2＋(y －6)2的最小值是________．解析：由|x |＋|y |≤4可得到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，－x ＋y ≤4，x －y ≤4，－x －y ≤4，其对应的区域为边长为42的正方形，即图中阴影部分(包括边界)，x 2＋(y －6)2表示定点M (0,6)与区域上的点(x ，y )的距离的平方，易得x 2＋(y －6)2的最小值是4.答案：48．若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为________．解析：由4x 2＋9y 2≥2kxy ，且x >0，y >0得2k≤4x 2＋9y 2xy，又4x 2＋9y 2xy ≥236x 2y 2xy ＝12，当且仅当4x 2＝9y 2“＝”成立， ∴2k ≤12.则k max ＝3. 答案：3 二、解答题9．求数列{a n }的通项公式：(1)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)； (2)已知数列{a n }满足：a 1＝3，且a n ＋1＝a n2a n ＋1(n ∈N *)．解：(1)由已知，可得a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－1＝3(a n －1)．故{a n －1}是一个首项为a 1－1＝1，公比为3的等比数列．所以a n －1＝1×3n －1，故a n ＝3n －1＋1.(2)由已知，可得当n ∈N *时，a n ＋1＝a n 2a n ＋1，两边取倒数，得1a n ＋1＝2a n ＋1an ＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n＝2，所以{1a n }是一个首项为1a 1＝13，公差为2的等差数列，其通项公式为1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －53＝36n －5.10．设函数f (x )＝x －(x ＋1)ln(x ＋1)(x >－1)． (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当n >m >0时，(1＋n )m <(1＋m )n . 解：(1)f ′(x )＝1－ln(x ＋1)－x ＋1x ＋1＝－ln(x ＋1)，当f ′(x )≥0，即－1<x ≤0时，f (x )单调递增，当f ′(x )≤0，即x ≥0时，f (x )单调递减．综上得f (x )的单调递增区间为(－1,0)，单调递减区间为[0，＋∞)． (2)证明：设g (x )＝ln (1＋x )x(x >0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln (1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln (1＋x )x 2(1＋x )由(1)知，f (x )＝x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)上单调递减，所以x －(1＋x )ln(1＋x )<f (0)＝0，即 g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而n >m >0，所以g (n )<g (m )，即ln (1＋n )n <ln (1＋m )m .得m ln(1＋n )<n ln(1＋m )，故(1＋n )m <(1＋m )n . 11．设f (x )＝e x －1.(1)当x >－1时，证明：f (x )>2x 2＋x －1x ＋1；(2)当a >ln 2－1且x >0时，证明：f (x )>x 2－2ax .证明：(1)当x >－1时，要使f (x )>2x 2＋x －1x ＋1，即e x－1>2x 2＋x －1x ＋1＝2x －1，当且仅当e x >2x ，即e x －2x >0.令g (x )＝e x －2x ，则g ′(x )＝e x －2. 令g ′(x )＝0，即e x －2＝0，解得x ＝ln 2.当x ∈(－1，ln 2)时，g ′(x )＝e x －2<0，故函数g (x )在(－1，ln 2]上单调递减；当x ∈[ln 2，＋∞)时，g ′(x )＝e x －2>0，故函数g (x )在[ln 2，＋∞)上单调递增．所以g (x )在(－1，＋∞)上的最小值为 g (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)>0，所以在(－1，＋∞)上有g (x )≥g (ln 2)>0，即e x >2x . 故当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )>2x 2＋x －1x ＋1.(2)欲证f (x )>x 2－2ax ，即e x －1>x 2－2ax ，也就是e x －x 2＋2ax －1>0，可令u (x )＝e x －x 2＋2ax －1，则u ′(x )＝e x －2x ＋2a . 令h (x )＝e x －2x ＋2a ，则h ′(x )＝e x －2.当x ∈(－∞，ln 2)时，h ′(x )<0，函数h (x )在(－∞，ln 2)上单调递减；当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增．所以h (x )的最小值为h (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2－2ln 2＋2a >0. 所以u ′(x )＝h (x )>0，即u (x )在R 上为增函数，故u (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以u (x )>u (0)．而u (0)＝0，所以u (x )＝e x －x 2＋2ax －1>0. 即当a >ln 2－1且x >0时，f (x )>x 2－2ax .12．设数列{a n }的前n 项和S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ∈N *.(1)求首项a 1与通项a n ；(2)设T n ＝2n S n ，n ∈N *，证明：∑i ＝1n T i <32.解：(1)由S n ＝43a n －13×2n ＋1＋23，n ∈N *①得a 1＝S 1＝43a 1－13×4＋23，所以a 1＝2.再由①有S n －1＝43a n －1－13×2n ＋23(n ≥2)．②将①和②相减得a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)－13×(2n ＋1－2n )，(n ≥2)．整理得a n ＋2n ＝4(a n －1＋2n －1)，(n ≥2)．因而数列{a n ＋2n }是首项为a 1＋2＝4，公比为4的等比数列，即a n ＋2n ＝4×4n －1＝4n . 因而a n ＝4n －2n ，n ∈N *. (2)证明：将a n ＝4n －2n 代入①得 S n ＝43×(4n －2n )－13×2n ＋1＋23＝13×(2n ＋1－1)(2n ＋1－2) ＝23×(2n ＋1－1)(2n －1)， T n ＝2n S n ＝32×2n (2n ＋1－1)×(2n －1)＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1，所以∑i ＝1n T i ＝32∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12i －1－12i ＋1－1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－12n ＋1－1<32.。

【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第三章三角函数、解三角形

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}． 2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P(x ，y)是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .[试一试]1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第______象限角．答案：一或三2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.答案：－121．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想． [练一练]若sin α<0且tan α>0，则α是第______象限角．解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．答案：三对应学生用书P39角的集合表示及象限角的判定1.①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．解析：－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．答案：32．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z}．答案：{α|α＝k π＋π3，k ∈Z}3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°4.设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么集合M ，N 的关系是______．解析：法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有答案：[备课札记] [类题通法] 1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如k α，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．三角函数的定义[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为______．(2)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.[解析] (1)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z)，所以α的最小正值为11π6.(2)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. [答案] (1)11π6 (2)－64[备课札记] [类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． [针对训练]已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P(k ，－3k)，则r ＝k2＋－＝10|k|. 当k>0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k10k ＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k<0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.扇形的弧长及面积公式[典例] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝1012θ·r2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.S ＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r －10)2＋100≤100，当且仅当r ＝10时，Smax ＝100，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．[备课札记]∴正方形边长为2r ， ∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2. 答案： 2 [类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l ＝|α|·r，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． [针对训练]已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l. 解：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r＝2π3×43＝833π(cm)．对应学生用书P41[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是________．解析：由三角函数的定义知P(cos θ，sin θ)．答案：(cos θ，sin θ)2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.答案：1或43．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a≤3.答案：(－2,3]4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6.答案：5π65．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：由三角函数的定义知 tan α＝－6x ，于是－6x ＝－35，解得x ＝10.答案：106．(2014·扬州质检)已知sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝______.解析：因为 sin α＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以 cos α＝－ 1－19＝－223从而tan α＝－24. 答案：－24[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：－π32．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．解析：易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角．答案：三或四3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝______.解析：因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.答案：124．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．解析：由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y)满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，325．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是________(填写序号)．解析：sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0； tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0.答案：③6．在直角坐标系中，O 是原点，A(3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y)，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B(－1，3)．答案：(－1，3)7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标yA ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标xA ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－358．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z)，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z)，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四9．一个扇形OAB 的面积是1 cm2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB. 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H. 则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)． 10．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z. (2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第Ⅱ组：重点选做题1．满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析：作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z . 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2. ∵圆的半径为1， ∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2.∴DP ＝AP·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2，DA ＝APcos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2)第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式对应学生用书P411．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式对于角“k π2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [试一试]1．(2013·全国大纲卷改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝______.解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213. 答案：－12132．计算：cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝______.答案：－121．诱导公式的应用原则负化正，大化小，化到锐角为终了． 2．三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan π4＝….[练一练]1．(2014·南京模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋φ)．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π4＝______.解析：因为f(x ＋π)＝2sin(2x ＋2π＋φ)＝2sin(2x ＋φ)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为π，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫13π4＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 3.答案： 32．(2013·芜湖调研)若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：2对应学生用书P42三角函数的诱导公式1.sin 600°＋tan 240°的值等于________．解析：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. 答案：322．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－333．化简：π＋απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2－α－3π－3π－α＝________.解析：原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2π＋α－π＋α＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αα＝tan αcos αcos α－cos αα＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案：－1 4．已知A ＝π＋αsin α＋π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是______．解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.答案：{2，－2}[备课札记][类题通法]诱导公式应用的步骤任意负角的三角函数→任意正角的三角函数 ↓锐角三角函数←0～2π的角的三角函数同角三角函数的基本关系[典例] 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos2α－sin2α用tan α表示出来，并求其值．[解] (1)联立方程错误!由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α ＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α∵tan α＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. [备课札记]tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87. (2)sin2α＋2sin αcos α＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tan α1＋tan2α＝169－831＋169＝－825.[类题通法]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. [针对训练]已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 解：∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin2α＝4sin2β， ① tan2α＝9tan2β. ②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β. ③ 由①＋③得sin2α＋9cos2α＝4. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝38，∴cos α＝±64.诱导公式在三角形中的应用[典例] －B)，3cos π－B)，求△ABC 的三个内角．[解] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B)＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.[备课札记][类题通法]1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B)＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C 2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小． [针对训练]在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解：∵sin A ＋cos A ＝2，∴1＋2sin Acos A ＝2，∴sin2A ＝1. ∵A 为△ABC 的内角， ∴2A ＝π2，∴A ＝π4.∵3cos A ＝－2cos(π－B)， ∴3cos π4＝2cos B ，∴cos B ＝32.∵0＜B ＜π，∴B ＝π6.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝7π12.∴A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.对应学生用书P43[课堂练通考点]1．(2013·苏州期中)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝______.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ，又 tan θ＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝－2.答案：－22．(2014·镇江统考)已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则tan α＝________.解析：由 sin(π－α)＝－13得 sin α＝－13.因为α在第四象限，所以 cos α＝1－sin2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，则 tan α＝sin αcos α＝－13223＝－24.答案：－243．若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝________.解析：∵0<A<π，∴0<2A<2π.又∵sin 2A ＝23，即2sin Acos A ＝23，∴0<A<π2.∴(sin A ＋cos A)2＝53，∴sin A ＋cos A ＝153.答案：1534．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________．解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案： 25．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－7π2＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·南通调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－35.答案：－352．(2014·淮安模拟)若 tan α＝3，则 sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α＝______. 解析：sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 α ＝sin2 α－2 sin αcos α＋3 cos2 αsin2 α＋cos2 α＝tan2 α－2tan α＋3tan2 α＋1＝12－610＝35. 答案：353．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝______.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 34．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是______．解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.答案：310105．已知f(α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为________．解析：∵f(α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.答案：－126．已知sin(π－α)＝log814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．解析：sin(π－α)＝sin α＝log814＝－23，又α ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.答案：2557．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：08．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin2α＋sin 2α. 解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.第Ⅱ组：重点选做题1．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝______.解析：由cos α＋2sin α＝－5，可知cos α≠0，两边同除以cos α得，1＋2tan α＝－51cos α，两边平方得(1＋2tan α)2＝5cos2α＝5(1＋tan2α)，∴tan2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2. 答案：22.(2014·无锡模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以1 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动． (1)求经过1 s 后，∠BOA 的弧度；(2)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间．解：(1)经过1 s 后，∠BOA 的弧度为π3＋2.(2)设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋π3＝2π，所以t ＝5π6，即经过5π6s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇．3.(2014·镇江统考)如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(xB ，yB)，设∠BAO ＝β.(1)用β表示α；(2)如果 sin β＝45，求点B(xB ，yB)坐标；(3)求xB －yB 的最小值．解：(1)因为∠AOB ＝α－π2＝π－2β.所以α＝3π2－2β.(2)由 sin α＝yB r ，r ＝1，得yB ＝sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2β＝－cos 2β＝2 sin2β－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.由 α为钝角，知xB ＝cos α＝－1－sin2 α＝－2425.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425，725. (3)法一：xB －yB ＝cos α－sin α＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ α＋π4. 又α ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，cos α＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22.所以xB －yB 的最小值为－ 2.法二：因为α为钝角，所以xB<0，yB>0，x2B ＋y2B ＝1，xB －yB ＝－(－xB ＋yB)，(－xB ＋yB)2≤2(x 2B ＋y2B )＝2，所以xB －yB≥－ 2.所以xB －yB的最小值为－ 2.第三节三角函数图像与性质对应学生用书P43正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件． [试一试] 1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的定义域是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R2．(2013·南京三模)函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x≤3π4的值域是________．解析：因为－π4≤x≤3π4，由y ＝sin x 的图像知－22≤sin x≤1，故函数y 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，11．三角函数单调区间的求法先把函数式化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域；(2)换元法：把sin x(cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决． [练一练]1．函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是________．解析：作出函数y ＝|sin x|的图像观察可知，函数y ＝|sin x|在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2上递增．答案：⎝⎛⎭⎪⎫π，3π22．(2013·天津高考)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22对应学生用书P44三角函数的定义域与值域1.函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 2．(2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x)＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x>0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x>0，cos x≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x<π＋2k π，－π3＋2k π≤x≤π3＋2k π(k ∈Z)，∴2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x≤π3＋2k π，k ∈Z3．(1)函数y ＝2cos2x ＋5sin x －4的值域为________．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sinx －2cos2x 的最小值是________，最大值是________．解析：(1)y ＝2cos2x ＋5sin x －4＝2(1－sin2x)＋5sin x －4 ＝－2sin2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98.故当sin x ＝1时，ymax ＝1，当sin x ＝－1时，ymin ＝－9，故y ＝2cos2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos2x ＝3－sin x －2(1－sin2x)＝ 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，ymin ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，ymax ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)782[备课札记] [类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin x±cos x 和sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．三角函数的单调性[典例] 求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x .[解] (1)由2k π＋π2≤x－π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x≤2k π＋7π4，k ∈Z.故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z)． (2)把函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x<k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x<k π2＋5π12，k ∈Z. 故函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．[备课札记]解：画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z)．[类题通法]三角函数的单调区间的求法 (1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图像法：函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． [针对训练]1．(2013·盐城二模)函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f(x)的单调增区间．又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，02．(2013·苏北四市联考)若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．解析：依题意可知12×T≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.答案：34三角函数的对称性与奇偶性正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：求三角函数的对称轴或对称中心；由三角函数的对称性求参数值；三角函数对称性的应用.角度一求三角函数的对称轴或对称中心1．(2013·扬州期末)已知函数f(x)＝－2sin2x ＋23sin x· cos x ＋1.(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，求f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)，所以f(x)的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z)．(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以－π6≤2x＋π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f(x)≤2.所以当x ＝－π6时，f(x)的最小值为－1；当x ＝π6时，f(x)的最大值为2.角度二由三角函数的对称性求参数值2．(2014·连云港期末)若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z)．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. 答案：π33．已知ω>0，函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.答案：2角度三三角函数对称性的应用4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为______．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f(x)＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.答案：34[备课札记] [类题通法]1．若f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f(x)取得最大或最小值．若f(x)＝Asin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f(x)＝0.2．对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．对应学生用书P46[课堂练通考点]1．(2014·常州统考)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤π2的单调增区间是________．解析：由0≤x≤π2，可知π4≤2x ＋π4≤5π4.又y ＝sin x 的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，从而π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8，所以函数f(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π82．已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为________．解析：根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x－π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π6≤x≤k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x－π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0 5．(2013·南京二模)对函数f(x)＝xsin x ，现有下列命题：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)的最小正周期是2π；(3)点(π，0)是函数f(x)的图像的一个对称中心；(4)函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减．其中是真命题的是________(填序号)．解析：由f(x)＝x sin x 知其定义域为R ，对于(1)，f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x ＝f(x)，所以f(x)是偶函数；对于(2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＝5π2，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2；对于(3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＝－3π2，显然f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2≠－f ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π2；对于(4)，f′(x)＝sin x ＋xcos x ，易知f′(x)>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，所以f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，由(1)知f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为减函数．答案：(1) (4)[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为________．解析：∵cos x －32≥0，得cos x≥32， ∴2k π－π6≤x≤2k π＋π6，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为________．解析：依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.答案：π63．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________解析：∵ω>0，－π3≤x≤π4，∴－ωπ3≤ωx≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案：324．(2014·镇江期末)函数f(x)＝2 cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12－x x －1的对称中心坐标为________．解析：因为f(x)＝2 cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12－x x －1＝－＋1－xx －1＝－－－x －1(x≠1)，所以f(x ＋1)＋1＝cos xx，所得函数f(x)的对称中心为(1，－1)．答案：(1，－1)5．(2013·浙江高考改编)已知函数f(x)＝Acos(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f (x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：若f(x)是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z)；当φ＝π2时，f(x)为奇函数．答案：必要不充分6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x≤π3，∴π3≤2x＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]；且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1,1]π127．设f(x)＝1－2sin x. (1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x 的值．解：(1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，∴0≤1－2sin x≤3， ∴f(x)的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f(x)取得最大值．8．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f(x)的单调递增区间．解：∵由f(x)的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x ＋φ)．(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2xcos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f(x)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3.∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x≤k π＋π12，k ∈Z.∴f(x)的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·福州质检)已知函数f(x)＝sin x ＋cos x ，x ∈R.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值； (2)试写出一个函数g(x)，使得g(x)f(x)＝cos 2x ，并求g(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝2sin π3＝62.(2)g(x)＝cos x －sin x.理由如下：因为g(x)f(x)＝(cos x －sin x)(sin x ＋cos x)＝cos2x －sin2x ＝cos 2x ，所以g(x)＝cos x －sin x 符合要求．又g(x)＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π，得2k π＋3π4<x<2k π＋7π4，k ∈Z.所以g(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z. 由2k π<x ＋π4<2k π＋π，得2k π－π4<x<2k π＋3π4，k ∈Z.所以g(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z.2．已知a>0，函数f(x)＝－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a]．∴f(x)∈[b,3a ＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g(x)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g(x)单调递增，即k π<x≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g(x)的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z. 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g(x)单调递减，即k π＋π6<x<k π＋π3，k ∈Z.∴g(x)的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z.第四节函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用对应学生用书P461．y ＝2.用五点法画y ＝Asin(ωx ＋φ)一个周期内的简图1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝Asin ωx 的图像得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|. [试一试]1．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为__________．答案：2，1π，－π42．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω 的值为________．答案：141．由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种方法2．学会列表技巧表中“五点”相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．[练一练]1．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，02．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像至少向左平移__________个单位．解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位即可．答案：12对应学生用书P47的解析式1.(2013·四川高考改编)函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω＋φ的值是________．解析：由图知最小正周期T ＝211π12－5π12＝π，∴ω＝2，将图像最高点的坐标⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2代入f(x)＝2sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，φ＝－π3.答案：2－π32．(2013·苏北四市三调)若函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习第八章解析几何精品讲义理(含解析)

第八章解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础盘查一直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________.答案：－23．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知，k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 基础盘查二直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(二)小题查验1．判断正误(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋y n＝1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝03．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_____________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一直线的倾斜角与斜率|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角． (2)范围：[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)范围：全体实数R .(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝y 2－y 1x 2－x 1.[提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率． (2)α＝0时k ＝0；α是锐角时k >0；α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用：当k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时的图象如图：[题组练透]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.2．(2015·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，π3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m. ∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二直线的方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)．局限性：不含垂直于x 轴的直线． 2．斜截式斜率为k ，纵截距为b 的直线方程为y ＝kx ＋b . 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 3．两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 局限性：不含垂直于坐标轴的直线． 4．截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程为x a ＋y b＝1. 局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 5．一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．[提醒] 当直线与x 轴不垂直时，设直线的斜率为k ，则方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为ky ＋x ＋b ＝0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三直线方程的综合应用|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k ),所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.角度二：与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：12[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a. ∴a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A 取特殊值法或排除法，可知A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.6．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D 法一：如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.选D.法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.二、填空题7．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：168．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 10．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y －2＝k (x ＋2)，由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k.由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当MA ·MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.故MA ·MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.第二节两直线的位置关系基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(二)小题查验1．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1( )(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0( )答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为____________．答案：x－2y＋3＝0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(二)小题查验1．判断正误(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交( )(2)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)( )答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．(二)小题查验1．判断正误(1)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2( ) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l 上( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为l 1：________________，l 2：________________.答案：y ＝0或5x －12y －5＝0y ＝5或5x －12y ＋60＝0考点一两直线的位置关系|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0.2．判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．求两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解．[题组练透]1．(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12B.12C ．2D ．－2解析：选A 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________．解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0[类题通法]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点二距离问题|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.2．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[提醒] 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解．特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x ，y 的系数要对应相等．[典题例析]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[演练冲关]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0考点三对称问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A y 1－y 2＝B x 1－x 2，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0.(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用. 角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 角度三：线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．一、选择题1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)． ∴m ＋n ＝0.4．(2015·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5．(2015·云南统考)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝＋2＋－2＝10.6．已知曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．由该曲线与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，可得m >4或m <－4.二、填空题7．(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.答案：328．(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0. 在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝09．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)．答案：(0,2)10．如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞) 三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝a b，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. ②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. (2)由直线方程可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )，因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×a ＋＋1]2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第三节圆的方程基础盘查一圆的定义及标准方程 (一)循纲忆知1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题． (二)小题查验 1．判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．解析：依题可设圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝⎛⎭⎪⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1基础盘查二点与圆的位置关系 (一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)． (二)小题查验 1．判断正误(1)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0( ) (2)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( ) 答案：(1)√ (2)×2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4. 即a 2<1，故－1<a <1. 答案：(－1,1)考点一圆的方程|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中(a ，b )为圆心，r 为半径．2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F >0时表示圆，其中⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径．[提醒] 方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.[题组练透]1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析：选D 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.2．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( )A.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝3B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝4C ．x 2＋(y －1)2＝12D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，而|FA |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ，于是A ⎝⎛⎭⎪⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12r ，∴r ＝2，故选B.3．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为______________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．考点二与圆有关的最值、范围问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ； (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆． 2．与圆上点(x ，y )有关的最值 (1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[多角探明]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等； (5)建立目标函数求最值问题. 角度一：斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求y x的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝± 3. 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四：利用对称性求范围4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆 O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C ．[－2，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 解析：选A 当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点N (1,0)，使得∠OMN ＝45°，所以x 0＝1符合题意，故排除B ，D ；当点M 的坐标为(2，1)时，OM ＝3，过点M 作圆O 的一条切线MN ′，连接ON ′，则在Rt △OMN ′中，sin ∠OMN ′＝33<22，则∠OMN ′<45°，故此时在圆O 上不存在点N ，使得∠OMN ＝45°，即x 0＝2不符合题意，排除C ，故选A.角度五：建立目标函数求最值问题5．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ，当|AB |取最小值时，切线l 的方程为_____________________________________________________．解析：设点A ，B 的坐标分别为A (a,0)，B (0，b )(a ，b >0)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，因为直线AB 和圆相切，所以圆心到直线AB 的距离d ＝|－ab |a 2＋b 2＝2，即2(a 2＋b 2)＝(ab )2≥4ab ，所以ab ≥4, 当且仅当a ＝b 时取等号，又|AB |＝a 2＋b 2＝ab2≥22，所以|AB |的最小值为22，此时a ＝b ，即a ＝b ＝2，切线l 的方程为x 2＋y2＝1，即x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0[类题通法]求解与圆有关的最值问题的两大规律。

【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习精品讲义第三章三角函数、解三角形(含解析)

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数基础盘查一角的有关概念(一)循纲忆知了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)．(二)小题查验1．判断正误(1)三角形的内角必是第一、二象限角( )(2)第一象限角必是锐角( )(3)不相等的角终边一定不相同( )(4)若β＝α＋k·720°(k∈Z)，则α和β终边相同( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．答案：四一3．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在第________象限．答案：一、三基础盘查二弧度的定义和公式(一)循纲忆知了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．(二)小题查验1．判断正误(1)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2πk＋π(k∈Z)( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位( )答案：(1)×(2)√2．(人教A版教材练习改编)已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.2基础盘查三任意角的三角函数(一)循纲忆知理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(二)小题查验1．判断正误(1)三角函数线的长度等于三角函数值( )(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负( )(3)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限( ) (4)α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(人教A 版教材练习改编)已知角θ的终边经过点P (－12,5)，则cos θ＝________，sin θ＝________，tan θ＝________.答案：513 －1213 －1253．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则 sin α＝________.答案：513对应学生用书P44考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．[题组练透]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°[类题通法](1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．考点二三角函数的定义(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．[提醒] 三角函数线是有向线段．[一题多变][典型母题]设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，求 sin α的值．[解] 设P 与原点的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a ＜0， ∴r ＝－4a2＋3a2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a －5a ＝－35. [题点发散1] 若本例中“a ＜0”，改为“a ≠0”，求 sin α的值．解：当a ＜0时，sin α＝－35；当a ＞0时， r ＝5a, sin α＝35.[题点发散2] 若本例中条件变为：已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α， cos α， tan α的值．解：设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[题点发散3] 若本例中条件变为：已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m4，求cos α， tan α的值．解：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22， ∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．考点三扇形的弧长及面积公式(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.[一题多变][典型母题][题点发散1] 去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝10.S ＝12θ·r 2＝12r (10－2r )＝r (5－r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －522＋254≤254，当且仅当r ＝52时，S max ＝254，θ＝2.所以当r ＝52，θ＝2时，扇形面积最大．[题点发散2] 若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ， ∴正方形边长为2r ， ∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.答案： 2[题点发散3] 若本例条件变为：扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l .解：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.[类题通法]应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．对应A 本课时跟踪检测十七一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.3．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：选A 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 二、填空题7．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π68．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)9．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________．解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，则sin θ＝ar＝a2|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四三、解答题11．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8 ∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 12．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式对应学生用书P46基础盘查一同角三角函数的基本关系 (一)循纲忆知理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(二)小题查验 1．判断正误(1)对任意角α，sin 23α＋cos 23α＝1都成立( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．(人教A 版教材例题改编)已知sin α＝－35，则tan α＝________.答案：34或－343．化简：2sin 2α－11－2cos 2α＝________. 答案：1基础盘查二三角函数的诱导公式 (一)循纲忆知能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．(二)小题查验 1．判断正误(1)六组诱导公式中的角α可以是任意角( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化( )(3)角π＋α和α终边关于y 轴对称( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．(人教A 版教材习题改编)(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝________. 答案：(1)22(2) 3对应学生用书P46考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识][提醒] 对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[题组练透]1．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．sin 600°＋tan 240°的值等于________．解析：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. 答案：324．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－335．化简：π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－α－π－π－α.解：原式＝－tan α·cos α－cos απ＋α－π＋α＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.考点二同角三角函数的基本关系(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . [一题多变][典型母题]已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． [解] (1)法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2 α＋cos 2 α＝1， ②由①得 cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45，α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. [题点发散1] 若本例中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，求 sin α＋cos α的值．解：法一：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 法二：∵α是三角形的内角且tan α＝－13，∴α为第二象限角， ∴sin α＝1010， cos α＝－31010， ∴sin α＋cos α＝－105. [题点发散2] 保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：由例题可知： tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825. [题点发散3] 若本例条件变为：sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 求tan α的值．解：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.[类题通法]1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.对应B 本课时跟踪检测十八一、选择题1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.2．(2015·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知f (α)＝π－απ－α－π－αα，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin α·cos α－cos α tan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.4．(2015·福建泉州期末)若tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α的值为( )A.53 B ．－134C.135D.134解析：选D 法一：(切化弦的思想)：因为tan α＝2, 所以 sin α＝2cos α， cos α＝12sin α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1, 所以解得 sin 2α＝45.所以2sin 2α＋1sin2α＝2sin 2α＋12sin α cos α＝2sin 2α＋1sin 2α＝2×45＋145＝134.故选D. 法二：(弦化切的思想)：因为2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin α cos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.故选D.5．(2015·湖北黄州联考)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sinB －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0, sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限，选B.6．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 015)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 015)＝－3. 二、填空题7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α ＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝ sin αcos α＝－43.答案：－438．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：09．(2015·绍兴二模)若f (cos x )＝cos 2x, 则f (sin 15°)＝________. 解析：f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 答案：－3210．(2015·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析：原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋ sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：0 三、解答题11．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.第三节三角函数的图象与性质对应学生用书P47基础盘查正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 (一)循纲忆知1．能画出y ＝sin x, y ＝cos x, y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． (二)小题查验 1．判断正误(1)函数y ＝sin x 的图象介于直线y ＝1与y ＝－1之间( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线( )(3)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数( ) (4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )( )(5)正切函数在整个定义域内是增函数( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[]－π，0上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案：B3．(2015·皖南八校模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：选C f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C. 4．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为____________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z对应学生用书P48考点一三角函数的定义域与值域(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]正弦、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z；正弦、余弦函数的值域为[－1,1]，正切函数的值域为R .[题组练透]1．函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：选B 由2sin x －1≥0, 得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：选B 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π24．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫||x ≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二三角函数的单调性(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]正弦函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；余弦函数的单调递增区间是[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；正切函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z )．[典题例析]写出下列函数的单调区间： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.解：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的递增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的递减区间，它的递减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .(2)观察图象(图略)可知，y ＝|tan x |的递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . [类题通法]三角函数的单调区间的求法 (1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[演练冲关]1．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2)解析：选A 由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为__________________________________．解析：函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z ) 考点三三角函数的奇偶性、周期性及对称性(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．正弦、正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数．2．正弦、余弦函数的最小正周期为T ＝2π，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的周期是T ＝2π|ω|；正切函数的最小正周期为T ＝π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b的周期是T ＝π|ω|.3．正弦函数y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2，k ∈Z ，对称中心为(k π，0)，k ∈Z .余弦函数y ＝cos x 的对称轴是x ＝k π，k ∈Z ，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0，k ∈Z ，即弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心是图象与x 轴的交点，即函数的零点；正切函数没有对称轴，其对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z . [多角探明]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有：(1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用. 角度一：三角函数的周期1．函数y ＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数解析：选A 因为y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin 2x ，所以是最小正周期为π的奇函数． 2．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心 3．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称解析：选C ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4.∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．角度三：三角函数对称性的应用4.(2015·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D.34解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.5．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________. 解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )[类题通法]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．对应A 本课时跟踪检测十九一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．(2015·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 3．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |解析：选B 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.4．(2015·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π12解析：选C 由题意可知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其对称中心为(x 0,0)，故2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝－π6＋k π2(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴k ＝1，x 0＝π3，故选C. 5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C 由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.6．(2015·豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，且－π2＜φ＜π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3为( )A ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增B ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减解析：选D 因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2＜φ＜π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选D.二、填空题 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为______________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. 答案：2或－210．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]；且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1,1] π12三、解答题11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12.第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用对应学生用书P50基础盘查一 y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 (一)循纲忆知了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．(二)小题查验(人教A 版教材习题改编)函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的振幅为________，周期为________，初相为________．答案：23 4π －π4基础盘查二 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤 (一)循纲忆知熟练运用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． (二)小题查验(人教A 版教材例题改编)用“五点法”作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的图象，试写出相应的五个点坐标．答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(2π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，0，(5π，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13π2，0基础盘查三 y ＝sin x 变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤 (一)循纲忆知了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题，并能进行图象变换．(二)小题查验1．判断正误(1)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象( )(2)要得到函数y ＝sin ωx (ω＞0)的图象，只需将函数y ＝sin x 上所有点的横坐标变为原来的ω倍( )(3)将函数y ＝sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍，便得到函数y ＝A sin x 的图象( )(4)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0( )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(人教A 版教材例题改编)如图是某简谐运动的图象，则这个简谐运动的函数表达式为________________．答案：y ＝2sin 5π2x ，x ∈[0，＋∞)对应学生用书P50考点一求函数y ＝Aωx ＋φ的解析式(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，求出需要确定的系数A ，ω，φ，b ，得到三角函数的解析式．[题组练透]1.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z解析：选B 根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．2．(2015·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：。

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第八章解析几何第五节椭圆

第五节
椭圆
基础盘查一
椭圆的定义
(一)循纲忆知
掌握椭圆的定义，了解椭圆的简单应用．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( × )
(2)动点 P 到两定点 A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆 ( × )
x2 y2 2．(人教 B 版教材习题改编)已知椭圆a2＋b2＝1，作一个三角形，使它的一个顶点为焦点 F1，另两个顶点 D，E 在椭圆上且边 DE 过
2．利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：(其中，θ＝∠F1PF2)
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|· |PF2|cos θ； (3)当 P 为短轴端点时，θ 最大．
1 sin θ (4)S△PF1F2 ＝2|PF1||PF2|sin θ＝ · b2 1＋cos θ θ ＝b2tan 2＝c· |y0|. 当 y0 ＝ ± b，即 P 为短轴端点时，S△PF1F2 有最大值为 bc.
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90° . 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则 m＋n＝2a. m2＋n2＝4c2，∴(m＋n)2－2mn＝4c2. ∴4a2－2mn＝4c2，∴4b2＝2mn. ∴mn＝2b2. 1 ∴S△F1PF2＝ mn＝b2. 2
[ 题点发散 3]
本例条件变为“P 到两焦点的距离之比为 2∶
[一题多变]
[典型母题]
x2 y2 (2015· 广州二模)设 F1，F2 分别是椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0) 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上， ∠PF1F2＝30° ，则椭圆的离心率为 3 A． 3 1 C． 3 3 B． 6 1 D． 6 ( )

【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第十一章计数原理、概率、随

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节分类计数原理与分步计数原理1．分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．1．分类计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．2．分步计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．[试一试]1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的有________种．解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：62．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．解析：∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．答案：361．应用两种原理解题(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．2．混合问题一般是先分类再分步，分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．[练一练]1．(2014·郑州模拟)在2012年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24(种)．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880(种)．答案：2 8802.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、…、9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．解析：把区域分为三部分，第一部分1、5、9，有3种涂法．第二部分4、7、8，当5、7同色时，4、8各有2种涂法，共4种涂法；当5、7异色时，7有2种涂法，4、8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法．第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步计数原理，可得共有3×6×6＝108种涂法．答案：108对应学生用书P1531．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个．解析：利用分类计数原理：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：362．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有________种．解析：分类：第一类，两人拿对：2×C 25＝20种；第二类，三人拿对：C35＝10种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31种．答案：31种3．椭圆x2m ＋y2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．解析：以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n>m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n>m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n>m ，n 有4种选择；第四类：m ＝4时，使n>m ，n 有3种选择；第五类：m ＝5时，使n>m ，n 有2种选择．由分类计数原理，符合条件的椭圆共有20个．答案：20[备课札记][类题通法]利用分类计数原理解题时应注意(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)[典例] 如图所示的几何体是由一个正三棱锥与正三棱柱ABCA1B1C1 组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．[解析] 先涂三棱锥PABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C1×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．[答案] 12[备课札记][类题通法]利用分步计数原理解决问题时应注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．[针对训练]在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．解析：第一步安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A33种排法，共有2×4×2×A3＝96种．答案：96两个原理的综合应用[典例] {1,2,3,4,5}．选择集合A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有________种．[解析] 从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A，一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．[答案] 49解：(1)选集合A，B，有C14C13＝12；(2)选集合A，C，有C14C12＝8；(3)选集合B，C，有C13C12＝6；故可以组成12＋8＋6＝26个集合．[类题通法]在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．[针对训练]上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类加法计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：16对应学生用书P154[课堂练通考点]1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为________．解析：分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．答案：132.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为________．解析：从甲地经乙地到丙地，分两步：第1步，从甲地到乙地，有3条公路；第2步，从乙地到丙地，有2条公路．根据分步计数原理，有3×2＝6种走法．从甲地到丙地，分两类：第1类，从甲地经乙地到丙地，有6种走法；第2类，从甲地不经过乙地到丙地，有2条水路，即有2种走法．根据分类计数原理，有6＋2＝8种走法．答案：6,83.(2014·临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是________．解析：每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个，共有2×2型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48(个)．答案：484．(2013·济南模拟)集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点．答案：145.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有多少种？解：先给最上面的一块着色，有4种方法，再给中间左边一块着色，有3种方法，再给中间右边一块着色，有2种方法，最后再给下面一块着色，有2种方法，根据分步计数原理，共有4×3×2×2＝48种方法．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·福州模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有________种．解析：三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37种．答案：372．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是________．解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，6个对角面构成的“平行线面组”有6×2＝12(个)．故共有36＋12＝48(个)．答案：483．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有________种．解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步计数原理，知选法为C210·C18·C17＝2 520种．答案：2 5204．将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，要求每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为________．解析：法一：分成两种情况，①甲和丙丁中的一人被分到同一个班或乙和丙丁中的一人被分到同一个班共有2C12A33＝24种分法；②丙和丁两人被分到同一个班共有A33＝6种分法．于是所求的分法总数为24＋6＝30.法二：将4名老师分到3个不同的班，有C24C13A22，甲、乙两名老师分到同一个班有C13A22. ∴满足要求的分法有C24C13A22－C13A22＝30.答案：305．(2013·山东高考改编)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为________．解析：能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.答案：2526.如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析：按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．答案：137.(2014·南充模拟)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有________种．解析：从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(4＋4)×2＝16种不同的方法，同理，若先游览B景点，有16种不同的方法，若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有3×16＝48种．答案：488．(2013·深圳调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有________个．解析：依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．答案：159．一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有________种不同的选法．解析：“完成这件事”需选出男、女队员各一人，可分两步进行：第一步选一名男队员，有5种选法；第二步选一名女队员，有4种选法，共有5×4＝20(种)选法．答案：2010．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．解析：当相同的数字不是1时，有C13个；当相同的数字是1时，共有C13C13个，由分类计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12个．答案：1211．(2014·沈阳模拟)三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是________．解析：另两边长用x ，y 表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12.当y 取11时，x 可取1,2,3，…，11，有11个三角形；当y 取10时，x 可取2,3，…，10，有9个三角形；…；当y 取6时，x 只能取6，只有1个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.答案：3612.(2014·泉州质检)如图所示，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛里种不同的花，则不同的种法共有________种．解析：法一：按所种花的品种多少分成三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．所以不同的种法共有A24＋2A34＋A44＝84种．法二：按ABCD 的顺序种花，可分A ，C 种同一种花与不种同一种花两种情况，共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种不同的种法．答案：84第Ⅱ组：重点选做题1．标号为A ，B ，C 的三个口袋，A 袋中有1个红色小球，B 袋中有2个不同的白色小球，C 袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解：(1)若两个球颜色不同，则应在A ，B 袋中各取一个或A ，C 袋中各取一个或B ，C 袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)．(2)若两个球颜色相同，则应在B 或C 袋中取出2个．∴应有1＋3＝4(种).2．编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A 球不能放在1,2号，B 球必须放在与A 球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？解：根据A 球所在位置分三类：(1)若A 球放在3号盒子内，则B 球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C ，D ，E ，则根据分步计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(2)若A 球放在5号盒子内，则B 球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C ，D ，E ，则根据分步计数原理得，3×2×1＝6种不同的放法；(3)若A 球放在4号盒子内，则B 球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C ，D ，E 有A33＝6种不同的放法，根据分步计数原理得，3×3×2×1＝18种不同方法．综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．第二节排列与组合对应学生用书P1551．排列与排列数(1)排列：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作Am n .2．组合与组合数(1)组合：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作Cm n .3排列数公式Am n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)＝n ！n －m ！组合数公式Cm n ＝Am n Am m ＝n n －1…n －m ＋1m ！＝n ！m ！n －m ！1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．2．计算Am n 时易错算为n(n －1)(n －2)…(n－m)．3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．[试一试]1．电视台在直播2012伦敦奥运会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播．则不同的播放方式有________种．解析：有C12C13A33＝36(种)．答案：362．2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有________种．(用数字作答) 解析：将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A23＝24(种)不同的展出方案．答案：241．排列问题与组合问题的识别方法：2．组合数的性质中(2)的应用主要是两个方面，一个简化运算，当m ＞n 2时，通常将计算Cm n 转化为计算Cn －m n .二是列等式，由Cx n ＝Cy n 可得x ＝y 或x ＋y ＝n.性质(3)主要用于恒等变形简化运算．[练一练]1．有A ，B ，C ，D ，E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A ，B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________．解析：由题意知，名次排列的种数为C13A33＝18.答案：182．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)解析：先排甲、乙之外的3人，有A33种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A24种排法，故共有A33·A 24＝72(种)排法．答案：72对应学生用书P156排列问题1．(2014·扬州模拟条棱代表8种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①②③④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同放法种数为________．解析：由题意分析，先把标号为1,2,3,4的化工产品分别放入①②③④的4个仓库内，共有A44＝24种放法；再把标号为5,6,7,8的化工产品对应地按要求安全存放：7与1放一起，8与2放一起，5与3放一起，6与4放一起；或者6与1放一起，7与2放一起，8与3放一起，5与4放一起，有两种放法．综上所述，共有A44×2＝48种放法．答案：482．(2014·东北三校联考)在数字1,2,3与符号“＋”，“－”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有________种．解析：本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“＋”，“－”，有A22种排列方法，此时两个符号中间与两端共有3个空位，把数字1,2,3“插空”，有A33种排列方法，因此满足题目要求的排列方法共有A22A33＝12种．答案：123．(2014·西安检测)8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有________种．解析：法一：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6A33A55＝4 320种安排方式．法二：先将所在的泳道编号是3个连续数字的3名运动员全排列，有A33种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余5名运动员全排列，有A66种排法，故共有A33A66＝4 320种安排方式．答案：4 320[备课札记][类题通法]求解排列应用题的主要方法组合问题[典例] (2013·重庆高考)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．[解析] 直接法分类，3名骨科，内科、脑外科各1名；3名脑外科，骨科、内科各1名；3名内科，骨科、脑外科各1名；内科、脑外科各2名，骨科1名；骨科、内科各2名，脑外科1名；骨科、脑外科各2名，内科1名．所以选派种数为C33·C14·C15＋C34·C13·C15＋C35·C 13·C 14＋C24·C 25·C 13＋C23·C 25·C 14＋C23·C 24·C 15＝590. [答案] 590[备课札记] [类题通法]组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． [针对训练](2014·四平质检)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种．解析：法一(间接法)：当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有C35＋C34＝14种组队方案．当从9名医生中选择3名医生时，共有C39＝84种组队方案，所以男、女医生都有的组队方案共有84－14＝70种．法二(直接法)：当小分队中有1名女医生时，有C14C25＝40种组队方案；当小分队中有2名女医生时，有C24C15＝30种组队方案，故共有70种不同的组队方案．答案：70分组分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配，归纳起来常见的命题角度有： 1整体均分问题； 2部分均分问题；3不等分问题.角度一整体均分问题1．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A 3＝90种分派方法．答案：90角度二部分均分问题 2．将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)解析：把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种． ①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有C36C13C12C11A33＝20种； ②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有C26C24A22·C12C11A22＝45种．所以不同的分组方法共有20＋45＝65种．然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A 4＝1 560种．答案：1 560角度三不等分问题3．将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．答案：360[备课札记] [类题通法]解决分组分配问题的策略1．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以An n (n 为均分的组数)，避免重复计数．2．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． 3．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．对应学生用书P157[课堂练通考点] 1．(2014·开封模拟)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．解析：将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A22·A 2种排法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A23种排法，故共有A22·A 2·A 23＝24种排法．答案：242．(2013·四川高考改编)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．解析：lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看ab 不同值的个数，所以共有A25－2＝20－2＝18个不同值．答案：183．(2014·台州模拟)甲、乙两人计划从A ，B ，C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有________种．解析：本题用排除法，甲、乙两人从A ，B ，C 三个景点中各选两个游玩，共有C23·C 23＝9种，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故有6种．答案：6 4．(2014·江西八校联考)将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．解析：先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C15C14C33A22＋C25C23C11A22·A 3·C 24＝900(种)．答案：9005．(2013·浙江高考)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：“小集团”处理，特殊元素优先，C36C12A22A33＝480. 答案：480[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题 1．(2013·开封第一次模拟)把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为________．解析：依题意，满足题意的放法种数为A22·A 3＝12. 答案：12 2．(2013·昆明重点高中检测)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为________．解析：根据题意，分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加，有C12·C 35·A 4＝480种；若甲、乙2人都参加，共有C22·C 25·A 4＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有C22·C 25·A 2·A 3＝120种，故有240－120＝120种．则不同的发言顺序种数为480＋120＝600. 答案：600 3．(2014·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．解析：核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296. 答案：1 2964．(2013·合肥调研)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为________种．解析：穿红色衣服的人相邻的排法有C14A22A33＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有。

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件：第八章几何第八节曲线与方程

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4．已知圆的方程为 x2＋y2＝4，若抛物线过点 A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_x4_2_＋__y3_2＝__1_(_y_≠__0_)_. 解析：设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1， OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1| ＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦
解：(1)由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB| ＝4＞|AB|，所以曲线 M 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点)．设曲线 M：xa22＋by22＝1(a＞b＞0，y≠0)，
则 a2＝4，b2＝a2－|A2B|2＝3，所以曲线 M：x42＋y32＝1(y≠0)为所求． (2)如图，由题意知直线 BC 的斜率不为 0，且过定点 B(1,0)，设 lBC：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
2．用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x′＝ f(x，y)，y′＝g(x，y)，然后代入已知曲线方程．求对称曲线 (轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题.
[典题例析]
(2015·广州模拟)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足 PD ＝2 MD ，动点M形成的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知点E(1,0)，若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EA⊥EB，求 EA·BA的取值范围．解：(1)法一：由 PD＝2 MD知点M为线段PD的中点．设点M的坐标是(x，y)，则点P的坐标是(x,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习一模考前专项训练精品讲义理(含解析)

数学思想专项训练(一) 函数与方程思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的最大值为( )A ．600B ．500C ．400D ．200解析：选 B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 1＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2252－4×109⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，g＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －2＞0，x －＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( )A ．18B ．15C ．10D.152解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2.又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48＋k 2x A＝169＋25k 2＋k 2＝1659＋25k 2＋k 22，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16252＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7 解析：选 D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.二、填空题7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x]＝3，则f (3)＝________.解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x＋t ，所以2t ＋t ＝3，易得方程2t＋t ＝3有唯一解t ＝1，所以f (x )＝2x＋1，所以f (3)＝9. 答案：98．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ，则ab ＝________.解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝2a －a 2＝1a ，f b ＝2b －b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1＋52，所以ab ＝1＋52.由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝2a ＋a 2＝1a，fb ＝2b ＋b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝－1－52，所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52.答案：1＋529．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －2＋b －2＋c －2＋d －2＋e －25＝4.设a－7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.答案：1010．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，fb ＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12，而m＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x . ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－x 2－2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.12．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋y －2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2，因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1；若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |的最大值为2.数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)＜2，则实数x的取值范围是( )A．(－2,2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)＜2得f(x2－4)<f(1)，所以0＜x2－4＜1，解得－5＜x＜－2或2＜x＜ 5.2．已知函数f(x)＝a x和函数g(x)＝b x都是指数函数，则“f(2)＞g(2)”是“a＞b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由于函数f(x)＝a x和函数g(x)＝b x都是指数函数，则a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，f(2)＞g(2)等价于a2＞b2，等价于a＞b，所以“f(2)＞g(2)”是“a＞b”的充要条件．故选C.3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( )A．是变量且有最大值B．是变量且有最小值C．是变量有最大值和最小值D．是常量解析：选D 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数．于是四面体PQEF的体积为常数．4．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值为( )A.924B．2 2C.322D. 2解析：选A 设与直线x＋y＋5＝0平行且与抛物线y2＝2x相切的直线方程是x＋y＋m＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x 消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋x －x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞34，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，28．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝1.答案：19．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m的取值范围为________．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．答案：[1,5) 三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：设F ′为双曲线的左焦点，则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C.(]－∞，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x，x ＞，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )A.{}－2B.{}2C.{}－2，2D.{}－2，1，2解析：选 C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x ＞当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋x ，2x ＋－1≤x讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x －1；若12＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3，所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ≤1，故选A.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2，n 为奇数，－n ＋2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )A ．100B ．－100C ．102D ．101解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n(2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.5．有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在两行三列的格内(如图)．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为( )A ．36 48 C ．72D ．64解析：选C 分两种情况，①第一行放红色卡片，有A 33·A 33＝36种放法；②第一行放蓝色卡片，有A 33·A 33＝36种放法，所以符合题意的放法共有72种．6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cosx ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________．解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．定义运算：a b ＝a2－b ，若关于x 的不等式xx ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．解析：由xx ＋1－m )＞0知，x 2－x ＋1－m＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a2.①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；③当0＜a 2≤12，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1；④当12＜a 2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 三、解答题11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n＋11－n2＝n－n2；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×－2－n－n 2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝exx e x ＋1.(1)证明：0＜f (x )≤1； (2)当x ＞0时，f (x )＞1ax ＋1，求a 的取值范围．解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1＞0. 又e x＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝ex－e xx e x ＋2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立． ③若a ＞0，则f (x )＞1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x－1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x－1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x.若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x＋1)为奇函数，当x＞1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( ) A．5 B．4C．2 D．1解析：选A 由于f(x＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x2＋x3＝6，易知x1＝－1，故x1＋x2＋x3＝5.故选A.2．(2015·揭阳一模)设点P是函数y＝－4－x－2的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )A.855－2 B. 5C.5－2D.755－2解析：选C 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2C. 2D.22解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ，即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选A 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1] C ．(－2，－1]D ．(－2，－1)解析：选C 作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位置时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．6．(2015·温州十校联考)已知点A ∈平面α，点B ，C 在α的同侧，AB ＝5，AC ＝22，AB 与α所成角的正弦值为0.8，AC 与α所成角的大小为45°，则BC 的取值范围是( )A ．[5，29 ]B ．[37，61 ]C ．[5，61 ]D ．[5，29 ]∪[37，61 ]解析：选A 作BB1⊥α于点B 1，CC 1⊥α于点C 1，当点A ，B 1，C 1不在一条直线上时，如图所示，在Rt△ABB 1中，∵AB ＝5，sin ∠BAB 1＝0.8，∴BB 1＝4，AB 1＝3，在Rt△ACC 1中，∵AC ＝22，∠CAC 1＝45°，∴AC 1＝CC 1＝2，过点C 作CD ⊥BB 1于点D ，则CD ＝B 1C 1.在△AB 1C 1中，∵AB 1＝3，AC 1＝2，∴B 1C 1∈(1,5)，∴CD ∈(1,5)，则BC ＝BD 2＋CD 2∈(5，29)．当B 1在AC 1的延长线上时，B 1C 1＝1，BC ＝5；当B 1在C 1A 的延长线上时，B 1C 1＝5，BC ＝29，∴BC ∈[5，29 ]．二、填空题7．已知函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1.设函数g (x )＝f (t －x )－f (x )的零点为x 0，且x 0∈[1,2]，则非零实数t 的取值范围是________．解析：由题意知只需函数y ＝f (x )与函数y ＝f (t －x )的图象的交点的横坐标x 0∈[1,2]即可，由于函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (t －x )的图象可由函数y ＝f (x )的图象平移得到，数形结合得2≤t ≤4.答案：[2,4]8．(2015·合肥二模)设|AB |＝2，|AC |＝3，∠BAC ＝60°，CD ＝2BC ，AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，则AE 在AC 上的投影的取值范围是________．解析：由AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，可知B ，D ，E 三点共线，且E 点在线段BD 上，如图所示．因为E 点在线段BD 上，所以AE 在AC 上的投影d 的取值范围|AF |≤d ≤|AG |，而|AF |＝|AB |·cos60°＝2×12＝1，|CG |＝2|CF ―→|＝2·(3－1)＝4，|AG |＝|CG |＋|AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．答案：[1,7]9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.答案：2210．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4] 三、解答题11．求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．解：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.(3)将[80,90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90,100]之间的2个分数编号为b1，b2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是710＝0.7.多题一法专项训练(一) 配方法一、选择题1．在正项等比数列{a n}中，a1·a5＋2a3·a5＋a3·a7＝25，则a3＋a5为( ) A．5 B．25C．15 D．10解析：选A ∵a1a5＝a23，a3a7＝a25，∴a23＋2a3·a5＋a25＝25.即(a3＋a5)2＝25.又a n>0，∴a3＋a5＝5.2.已知菱形ABCD 的边长为233，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD ＝60°，P 在线段DM 上，记DP ＝x ，PA ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33，BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP中，PA ＝AM 2＋MP 2＝13＋－x2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝1＋－x 2－－x ＝x 2－x ＋1，∴y ＝PA ＋PB ＝13＋x －2＋x 2－x ＋1＝13＋x －2＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，－14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18；当x ＝0时，f (x )max ＝0.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 22x ，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133D.163解析：选A 因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1， ∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1. ∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1， ∴sin α＋cos α＝±1. 二、填空题7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．解析：由题意知a n ＝a 1q n －1＝29·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·210－n，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)n n －2·2－n n2，因为－n n2＝－12(n 2－19n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋1928，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，－nn2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)n n －2＞0，所以n ＝9时，T n 最大．答案：T 910．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)．答案：(3,0) 三、解答题11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点M ，N ，求|MN |的最大值．解：设直线PA 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线PA 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝k x ＋得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝k ＋2－－2k ＋24k ＋2－－4k ＋＝1，设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝1，y ＝x ＋b 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2－2b ＝0，由于AB 与圆C 交于不同的两点，所以Δ＞0，即1－2＜b ＜2＋1.则|MN |＝2·b －2－b 2－2b＝2·－b 2＋2b ＋1＝2·－b －2＋2≤2，故|MN |的最大值是2.12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解：(1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m·n ＝2sin B ，又|m |＝sin 2B ＋1－cos B2＝2－2cos B＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2，∵0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，∴sin B 2＞0，∴|m |＝2sin B2.而|n |＝2， ∴cos θ＝m ·n |m||n|＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12，∴B 2＝π3，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2，又a ＋c ＞b ＝3， ∴a ＋c ∈(3，2]．多题一法专项训练(二) 换元法一、选择题1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3ln x B ．f (x )＝3ln x ＋4 C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x＋4解析：选D 令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4，得f (x )＝3e x＋4，故选D.2．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12C ．2 2D.22解析：选A 令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]，则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.3．已知函数f (x )＝4x－2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )A ．(2＋22，＋∞)B ．(－∞，2＋22)C ．(0,2＋22)D ．(2＋22，8)解析：选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．4．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( )A ．－8B ．8C ．－10D ．10解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos φ＝35，sin φ＝45.因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8.5．(2015·天津六校联考)对于函数f (x )＝4x－m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B 若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，即4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x 0＋1，所以14x 0＋4x 0＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋2x 0，令t ＝2x 0(t ＞0)，则1t ＋t 2＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋t ，令λ＝1t ＋t (λ≥2)，所以2m ＝λ－2λ，令g (λ)＝λ－2λ(λ≥2)，易知g (λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m ≥2－22＝1，故m ≥12.故选B.6．已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6]解析：选A 由题知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]．选A. 二、填空题7．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a ，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18368．(2015·苏锡常镇二调)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即t 2－2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.答案：89．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：由基本不等式得，2a＋2b ≥22a·2b＝2×2a ＋b2，即2a ＋b≥2×2a ＋b2，所以2a ＋b≥4.令t ＝2a ＋b，由2a ＋2b ＝2a ＋b，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c可得，2a ＋b＋2c＝2a ＋b 2c，所以2c＝tt －1＝1＋1t －1，由t ≥4得，1＜tt －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，所以c 的最大值是2－log 23.答案：2－log 2310.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 为圆O的直径，上底CD 的端点在圆周上，若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．解析：连接OD ，DB ，作DH ⊥AB ，设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则CD ＝4cos θ，在△AOD中，由余弦定理可得AD ＝8－8cos θ，所以梯形的周长为l ＝28－8cos θ＋4cos θ＋4＝42·1－cos θ＋4cos θ＋4，令1－cos θ＝t ∈(0,1)，则cos θ＝1－t 2，l ＝42t ＋4(1－t 2)＋4＝4(－t 2＋2t ＋2)，当t ＝22，即cos θ＝12时周长取得最大值，此时AD ＝2，DB ＝23，所以实轴长为DB －DA ＝23－2.答案：23－2 三、解答题11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．(2015·济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2是R 上的奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x－a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根．令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2＞0，解得a ≥2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．多题一法专项训练(三) 待定系数法一、选择题1．(2014·山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选A ∵a ＞1，∴函数f (x )在[a,2a ]上单调递增． ∴log a 2a ＝3log a a . ∴a 3＝2a . ∴a ＝ 2.4．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：选B 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，圆心C (－1,1)，半径r 满足r 2＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离 d ＝21＋1＝2，所以r 2＝4＋2＝2－a ⇒a ＝－4.5.(2015·大同调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，φ∈R )的部分图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．－12解析：选B 由题图可知，A ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，所以2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，所以f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.6．(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义数学思想专项训练(含解析)

数学思想专项训练(一) 函数与方程思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的最大值为( )A ．600B ．500C ．400D ．200解析：选 B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 1＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2252－4×109⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，g ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －2＞0，x －＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( )A ．18B ．15C ．10D.152解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2.又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48＋k 2x A＝169＋25k 2＋k 2＝1659＋25k 2＋k 22，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16252＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选 D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.二、填空题7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x]＝3，则f (3)＝________.解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x＋t ，所以2t ＋t ＝3，易得方程2t＋t ＝3有唯一解t ＝1，所以f (x )＝2x＋1，所以f (3)＝9. 答案：98．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ，则ab ＝________.解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝2a －a 2＝1a ，f b ＝2b －b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1＋52，所以ab ＝1＋52.由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝2a ＋a 2＝1a，fb ＝2b ＋b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝－1－52，所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52.答案：1＋529．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －2＋b －2＋c －2＋d －2＋e －25＝4.设a－7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.答案：1010．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12，而m＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x . ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－x 2－2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.12．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋y －2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2，因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1；若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |的最大值为2.数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量解析：选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．已知点P在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924 B ．2 2 C.322D. 2解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋x －x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3等价于f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞34，即f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，28．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝1.答案：19．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m的取值范围为________．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．答案：[1,5) 三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：设F ′为双曲线的左焦点，则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C.(]－∞，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ，x ＞，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )A.{}－2B.{}2C.{}－2，2D.{}－2，1，2解析：选 C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x ＞当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋x ，2x ＋－1≤x讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x －1；若12＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3，所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ≤1，故选A.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2，n 为奇数，－n ＋2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )A ．100B ．－100C ．102D ．101解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n(2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.5．关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q .若Q ⊆P ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．[－1,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 对a 进行分类讨论，当a ≥－1时，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a ＜－1时，P ＝(－∞，a )∪(－1，＋∞)．对于log 2(x 2－1)≤1，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤2，x 2－1＞0解得⎩⎨⎧－3≤x ≤3，x ＜－1或x ＞1，所以Q ＝[－3，－1)∪(1，3]．因为Q ⊆P ，所以P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，从而－1≤a ≤1.6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cosx ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________．解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．定义运算：a b ＝a2－b ，若关于x 的不等式xx ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．解析：由xx ＋1－m )＞0知，x 2－x ＋1－m＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a2.①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；③当0＜a 2≤12，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1；④当12＜a 2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 三、解答题11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n＋11－n2＝n－n2；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×－2－n－n 2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝exx e x ＋1.(1)证明：0＜f (x )≤1； (2)当x ＞0时，f (x )＞1ax ＋1，求a 的取值范围．解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1＞0. 又e x＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝ex－e xx e x ＋2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立． ③若a ＞0，则f (x )＞1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x－1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x.若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x＋1)为奇函数，当x＞1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( ) A．5 B．4C．2 D．1解析：选A 由于f(x＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x2＋x3＝6，易知x1＝－1，故x1＋x2＋x3＝5.故选A.2．(2015·揭阳一模)设点P是函数y＝－4－x－2的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )A.855－2 B. 5C.5－2D.755－2解析：选C 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2C. 2D.22解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ，即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选A 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1]C ．(－2，－1]D ．(－2，－1)解析：选C 作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位置时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．6．(2015·温州十校联考)已知点A ∈平面α，点B ，C 在α的同侧，AB ＝5，AC ＝22，AB 与α所成角的正弦值为0.8，AC 与α所成角的大小为45°，则BC 的取值范围是( )A ．[5，29 ]B ．[37，61 ]C ．[5，61 ]D ．[5，29 ]∪[37，61 ]解析：选A 作BB1⊥α于点B 1，CC 1⊥α于点C 1，当点A ，B 1，C 1不在一条直线上时，如图所示，在Rt△ABB 1中，∵AB ＝5，sin ∠BAB 1＝0.8，∴BB 1＝4，AB 1＝3，在Rt△ACC 1中，∵AC ＝22，∠CAC 1＝45°，∴AC 1＝CC 1＝2，过点C 作CD ⊥BB 1于点D ，则CD ＝B 1C 1.在△AB 1C 1中，∵AB 1＝3，AC 1＝2，∴B 1C 1∈(1,5)，∴CD ∈(1,5)，则BC ＝BD 2＋CD 2∈(5，29)．当B 1在AC 1的延长线上时，B 1C 1＝1，BC ＝5；当B 1在C 1A 的延长线上时，B 1C 1＝5，BC ＝29，∴BC ∈[5，29 ]．二、填空题7．已知函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1.设函数g (x )＝f (t －x )－f (x )的零点为x 0，且x 0∈[1,2]，则非零实数t 的取值范围是________．解析：由题意知只需函数y ＝f (x )与函数y ＝f (t －x )的图象的交点的横坐标x 0∈[1,2]即可，由于函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (t －x )的图象可由函数y ＝f (x )的图象平移得到，数形结合得2≤t ≤4.答案：[2,4]8．(2015·合肥二模)设|AB |＝2，|AC |＝3，∠BAC ＝60°，CD ＝2BC ，AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，则AE 在AC 上的投影的取值范围是________．解析：由AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，可知B ，D ，E 三点共线，且E 点在线段BD 上，如图所示．因为E 点在线段BD 上，所以AE 在AC 上的投影d 的取值范围|AF |≤d ≤|AG |，而|AF |＝|AB |·cos60°＝2×12＝1，|CG |＝2|CF |＝2·(3－1)＝4，|AG |＝|CG |＋|AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．答案：[1,7]9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.答案：2210．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4] 三、解答题11．求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．解：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高； (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25. (2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012. (3)将[80,90)之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90,100]之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是710＝0.7.多题一法专项训练(一) 配方法一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 1·a 5＋2a 3·a 5＋a 3·a 7＝25，则a 3＋a 5为( ) A ．5 B ．25 C ．15D ．10解析：选A ∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25.即(a 3＋a 5)2＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.2.已知菱形ABCD 的边长为233，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD ＝60°，P 在线段DM 上，记DP ＝x ，PA ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33，BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP中，PA ＝AM 2＋MP 2＝13＋－x2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝1＋－x 2－－x ＝x 2－x ＋1，∴y ＝PA ＋PB ＝13＋x －2＋x 2－x ＋1＝13＋x －2＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，－14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18；当x ＝0时，f (x )max ＝0.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 22x ，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133D.163解析：选A 因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1， ∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1. ∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1， ∴sin α＋cos α＝±1. 二、填空题7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．解析：由题意知a n ＝a 1qn －1＝29·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·210－n，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)12n n (-)·2192n n(-)，因为－n n2＝－12(n 2－19n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋1928，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，－n n2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)12n n (-)＞0，所以n ＝9时，T n 最大．答案：T 910．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)．答案：(3,0) 三、解答题11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点M ，N ，求|MN |的最大值．解：设直线PA 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线PA 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝kx ＋得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝k ＋2－－2k ＋24k ＋2－－4k ＋＝1，设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝1，y ＝x ＋b 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2－2b ＝0，由于AB 与圆C 交于不同的两点，所以Δ＞0，即1－2＜b ＜2＋1.则|MN |＝2·b －2－b 2－2b＝2·－b 2＋2b ＋1＝2·－b －2＋2≤2，故|MN |的最大值是2.12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解：(1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m·n ＝2sin B ，又|m |＝sin 2B ＋1－cos B2＝2－2cos B＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2，∵0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，∴sin B 2＞0，∴|m |＝2sin B2.而|n |＝2， ∴cos θ＝m·n |m||n|＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12，∴B 2＝π3，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2，又a ＋c ＞b ＝3， ∴a ＋c ∈(3，2]．多题一法专项训练(二) 换元法一、选择题1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3ln x B ．f (x )＝3ln x ＋4 C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x＋4解析：选D 令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4，得f (x )＝3e x＋4，故选D.2．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12C ．2 2D.22解析：选A 令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]，则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.3．已知函数f (x )＝4x－2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )A ．(2＋22，＋∞)B ．(－∞，2＋22)C ．(0,2＋22)D ．(2＋22，8)解析：选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．4．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( ) A ．－8 B ．8 C ．－10D ．10解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos φ＝35，sin φ＝45.因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8. 5．(2015·天津六校联考)对于函数f (x )＝4x－m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B 若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，即4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x＋1，所以14x 0＋4x 0＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋2x 0，令t ＝2x 0(t ＞0)，则1t 2＋t 2＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋t ，令λ＝1t ＋t (λ≥2)，所以2m ＝λ－2λ，令g (λ)＝λ－2λ(λ≥2)，易知g (λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m ≥2－22＝1，故m ≥12.故选B.6．已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6]解析：选A 由题知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]．选A.二、填空题7．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18368．(2015·苏锡常镇二调)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即t 2－2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.答案：89．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝2×22a b +，即2a ＋b≥2×22a b +，所以2a ＋b≥4.令t ＝2a ＋b，由2a ＋2b ＝2a ＋b，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c可得，2a ＋b＋2c＝2a ＋b 2c，所以2c＝tt －1＝1＋1t －1，由t ≥4得，1＜tt －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，所以c 的最大值是2－log 23.答案：2－log 2310.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 为圆O的直径，上底CD 的端点在圆周上，若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．解析：连接OD ，DB ，作DH ⊥AB ，设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则CD ＝4cos θ，在△AOD中，由余弦定理可得AD ＝8－8cos θ，所以梯形的周长为l ＝28－8cos θ＋4cos θ＋4＝42·1－cos θ＋4cos θ＋4，令1－cos θ＝t ∈(0,1)，则cos θ＝1－t 2，l ＝42t ＋4(1－t 2)＋4＝4(－t 2＋2t ＋2)，当t ＝22，即cos θ＝12时周长取得最大值，此时AD ＝2，DB ＝23，所以实轴长为DB －DA ＝23－2.答案：23－2 三、解答题11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．(2015·济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是R 上的奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根．令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2＞0，解得a ≥2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．多题一法专项训练(三) 待定系数法一、选择题1．(2014·山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义第一章集合与常用逻辑用语(含解析)

一、重视教材习题的母题功能你知道高考题是怎样命制的吗？看完本讲内容，洞晓了高考命题的5大常用手段，你就明白了教材经典题目的重要性．你还会陷入“高考高于天，教材放一边”的备考误区吗？编写本讲的目的，我们旨在提醒您：一轮复习要“抓纲靠本”，“纲”就是考纲，“本”就是课本．要重拾起被遗忘忽视的课本，重温基础知识，重做典型题目，重视教材“母题”的引领作用，发挥教材母题做一当十的功效．在此，仅以2014年新课标全国卷两套试题为例进行说明，以佐证教材习题的重要性．教材这样练《人教A 版·必修4》P119 B 组第1题第(4)小题．已知D ，E ，F 分别是△ABC的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则①EF ＝12c －12b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0中正确的等式的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12ADC ．BC D.12BC教材这样练《人教A 版·选修2－1》P69例4.斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3教材这样练《人教B版·必修5》P30练习A. 写出下面数列{a n}的前5项：1．a1＝2，a n＝12a n－1(n＝2,3,4，…)；2．a1＝3，a n＝a n－1＋2(n＝2,3,4，…)；3．a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n＝2,3,4，…)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝11－a n，a8＝2，则a1＝________.教材这样练《人教A版·必修5》P14例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.教材这样练《人教A版·必修1》P39B 组第3题．已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，＋∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断．高考这样变(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．总之，教材中的例题、习题是经过精心挑选而设计的，它蕴藏着丰富的思想方法和研究资源．不少试题所涉及的思想方法，都源于教材．高考数学一轮复习中，要做到对教材中的经典题目能够熟练地求解，掌握它的通性通法、答题规范、思路分析及知识内涵．研读教材、汲取营养，充分发挥例题、习题潜在的功能，发挥教材“母本”的作用．为减少考生翻阅教材、查找典型题目之苦，充分发挥我们编者占有广泛教学资源的优势，我们在人教A版、人教B版、北师大版等教材中优中选优地筛选了一些经典题目，做为课前自检基础知识使用，就是充分发挥教材母题的引领带动作用．二、重视经典题目的发散思维本讲内容是上一讲内容的顺承和拓展，其主旨还是让学生在做题的过程中学会多思考和多领悟．如果说上一讲是教给学生“做什么”的问题，那么这一讲是教给学生“怎么做”的问题．在平时的复习备考中，做海量试题必不可少，但绝非上策．应当充分发挥典型试题的带动作用和举一反三的功能，注意培养多题一解、一题多解和一题多变思维能力的养成．多题一解有利于培养学生的求同思维，一题多解有利于培养学生的求异思维，一题多变有利于培养学生思维的灵活性与深刻性．多题一解和一题多解主要靠学生在平时做题的过程中，发挥主观能动性，多思考，多总结，而一题多解则需要教师多找一些典型题目多拓展，多发散，帮学生举一反三、悟通练透．本书在“一题多变”上主要做了以下两方面的尝试：(一)经典“题根”的发散茫茫题海，寻根是岸．木有本，水有源，题有根．在平时的训练中，可将一些经典的题目做为“题根”，在题目发散中，要学会演变题目条件、背景，变换设问，在不断变换的过程中，将此类问题厘清弄透，从一个个小问题中获取大知识，让其“枝繁叶茂”、“生机盎然”，从而彻底打通各知识点间的关节．示例：利用基本不等式求最值(二)考查角度的发散高考中的一些热门考点，虽知年年必考，但学生往往却在这类考点上失分，究其原因，主要是此类考点考查灵活、角度多变．为将这类考点练深练透，有必要对这类考点进行多维探究．备考不留死角，高考不留遗憾！角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小若本题条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b的最小值为________. 本题的条件变为：已知a ＞0，b＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________. 本题的条件和结论互换，即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b的最小值为________.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1,则1a ＋1b的最小值为________．[解析] ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1, ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4,即1a ＋1b的最小值为4,当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.[答案] 4已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．本题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________.利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.角度三：解函数不等式 ⇑角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 由单调性求参数范[类题通法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合对应学生用书P5基础盘查一元素与集合(一)循纲忆知1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(二)小题查验1．判断正误(1)一个集合中可以找到两个相同的元素( )(2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合( )(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A( )(4)零不属于自然数集( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．(人教A版教材练习)选择适当的方法表示下列集合：(1)由小于8的所有素数组成的集合；(2)不等式4x－5<3的解集．答案：(1){2,3,5,7} (2){x|x<2}基础盘查二集合间的基本关系(一)循纲忆知1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．2．在具体情境中，了解全集与空集的含义．(二)小题查验1．判断正误(1)若A＝B，则A⊆B( )(2)若A B，则A⊆B且A≠B( )(3)N*N Z( )(4)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集( )答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．(人教A版教材例题改编)集合{a，b}的所有子集为________________．答案：{a}，{b}，{a，b}，∅基础盘查三集合的基本运算(一)循纲忆知1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．(二)小题查验1．判断正误(1)若A∩B＝A∩C，则B＝C( )(2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素( )(3)并集定义中的“或”能改为“和”()(4)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(∁U B)＝________.答案：{2,4}3．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________________.答案：{x|x≤2或x≥10}对应学生用书P6考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图． 2．常见数集及其表示符号自然数集用N 表示，正整数集用N *或N ＋表示，整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示．[提醒] 解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[题组练透]1．(2015·洛阳统考)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9解析：选D 集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．2．现有三个实数的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，也可以表示为{a 2，a ＋b,0}，则a2 015＋b2 015＝________.解析：由已知，得b a＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 015＋b2 015＝(－1)2 015＝－1.答案：－13．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－32[类题通法]1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⊆B (或B ⊇A )； (2)真子集：若集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则A B (或B A )；(3)性质：∅⊆A ；A ⊆A ；A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B . [提醒] 写集合的子集时不要忘了空集和它本身．[典题例析]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 2．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014＜0}，B ＝{x |x ＜m }，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．解析：由x 2－2 015x ＋2 014＜0，解得1＜x ＜2 014，故A ＝{x |1＜x ＜2 014}．而B ＝{x |x ＜m }，由于A ⊆B ，如图所示，则m ≥2 014.答案：[2 014，＋∞)[类题通法](1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．(2)当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况！[演练冲关]1．(2015·中原名校联盟一模)设A ＝{1,4,2x }，若B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝________. 解析：由B ⊆A ，则x 2＝4或x 2＝2x .当x 2＝4时，x ＝±2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾；当x 2＝2x 时，x ＝0或x ＝2，但x ＝2时，2x ＝4，这与集合元素的互异性相矛盾．综上所述，x ＝－2或x ＝0.答案：0或－22．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. 答案：(－∞，4]考点三集合的基本运算(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]1．集合的并、交、补运算：并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }；交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }；补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }；U 为全集，∁U A 表示集合A 相对于全集U 的补集． 2．集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .[提醒] Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．[一题多变][典型母题]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，则A ∩B ＝ .[解析] y ＝x 2－2x ＝x －2－1≥－1，y ＝－x 2＋2x ＋6＝－x －2＋7≤7，∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}，故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}. [答案] {y |－1≤y ≤7}[题点发散1] 若集合A 变为A ＝{x |y ＝x 2－2x ，x ∈R }，其他条件不变，求A ∩B . 解：因A 中元素是函数自变量，则A ＝R ，而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．[题点发散2] 若集合A 、B 中元素都为整数，求A ∩B . 解：A ∩B ⊆{y |－1≤y ≤7}，又因为y ∈Z ，故A ∩B ＝{－1，0,1,2,3,4,5,6,7}．[题点发散3] 若集合A 、B 不变，试求∁R A ∪∁R B . 解：∵A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}， ∴∁R A ＝{y |y ＜－1}，∁R B ＝{y |y ＞7}，故∁R A ∪∁R B ＝{y |y ＜－1或y ＞7}．[题点发散4] 若集合A 、B 变为：A ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋6，x ∈R }，求A ∩B .解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ＋6⇒x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1.于是，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}．[类题通法]解集合运算问题应注意以下三点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．考点四集合的新定义问题(重点保分型考点——师生共研)[典题例析]1．如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x，x >0}，则A B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.2.已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1解析：选B 由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知a ja i需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C ，D 错误，选B.[类题通法]解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．[演练冲关]1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.2．对于任意两个正整数m ，n ，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m ⊕n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ⊕n ＝m ×n .例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝12，a ，b ∈N *}的元素有________个．解析：m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M 的元素共有15个．答案：15对应A 本课时跟踪检测一一、选择题1．(2015·广州测试)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4，故选C.2．(2014·江西高考)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁RB )＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)解析：选C 由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}，∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 3．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：选B 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}，∴A ＝{x |－1≤x ≤1}，∴B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，∴B A ，故选B.4．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)解析：选D 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.5．(2015·西安一模)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2，故选C.6．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为2 014＝402×5＋4，又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }，所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；若a ，b 属于同一‘类’，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ，所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]，反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确．故有3个结论正确．二、填空题7．已知A ＝{0，m,2}，B ＝{x |x 3－4x ＝0}，若A ＝B ，则m ＝________. 解析：由题知B ＝{0，－2,2}，A ＝{0，m,2}，若A ＝B ，则m ＝－2. 答案：－28．(2014·重庆高考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：由题意，得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故∁U A ＝{4,6,7,9,10}，所以(∁U A )∩B ＝{7,9}．答案：{7,9}9．(2015·昆明二模)若集合A ＝{x |x 2－9x ＜0，x ∈N *}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪4y∈N *，y ∈N *，则A ∩B中元素的个数为________．解析：解不等式x 2－9x ＜0可得0＜x ＜9，所以A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又4y∈N *，y ∈N *，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A ∩B＝B ，A ∩B 中元素的个数为3.答案：310．(2015·南充调研)已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2] 三、解答题11．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝3或a ＝－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，所以a ＝5或a ＝－3.(2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4,9}，不合题意，当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}．所以a ＝－3.12．(2015·福州一模)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件对应学生用书P8基础盘查一四种命题及其关系 (一)循纲忆知 1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)“x 2＋2x －3<0”是命题( ) (2)“sin 45°＝1”是真命题( )(3)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(人教A 版教材习题)已知命题：若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根．则其逆否命题为____________________________________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0基础盘查二充分条件与必要条件(一)循纲忆知理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(二)小题查验1．判断正误(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件( )(2)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立( )(3)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立( )答案：(1)√(2)√(3)√2．(人教A版教材练习)在下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝3x＋4，q：x＝3x＋4；(2)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－4)＝0；(3)p：b2－4ac≥0(a≠0)，q：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根．答案：(1)必要(2)充分(3)充要对应学生用书P8考点一命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．[提醒] 当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．[题组练透]1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故选C.2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④[类题通法]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．充分条件与必要条件的相关概念(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分又不必要条件．2．从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．[提醒] 充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．[典题例析]1．(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD 中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．2．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由q⇒綈p且綈p⇒/q可得p⇒綈q且綈q⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．[类题通法]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．[提醒] 区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[演练冲关]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p ：{x ||x |＝x }＝{x |x ≥0}＝A ，q ：{x |x 2＋x ≥0}＝{x |x ≥0或x ≤－1}＝B ，∵AB ，∴p 是q 的充分不必要条件．2．(2015·石家庄第一次模拟)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A.考点三充分必要条件的应用(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变][典型母题]已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．[解] 由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3].[题点发散1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[题点发散2] 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P . ∴[－－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[类题通法]利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .对应B 本课时跟踪检测二一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2014·陕西高考)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选B 原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.3．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．4．(2014·湖北高考)设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是A ∩B ≠∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：选C 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．5．命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5D ．a ≤5解析：选C 命题“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≤0”为真命题的充要条件是a ≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集，正确选项为C.6．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.二、填空题7．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：38．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围。

《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解空间向量与空间角

空间向量与空间角[知识能否忆起]利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b ||a||b |(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.3．求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A 由于cos 〈m ，n 〉＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°.所以直线l 与α所成的角为30°.2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°解析：选C cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×2＝22，即〈m ，n 〉＝45°，其补角为135°， ∴两平面所成的二面角为45°或135°.3.在如图所示的正方体A1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A ．－1010B ．－120C.120D.1010解析：选D 如图建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，1.则AC ＝(－1,1,0)，DE ＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，若异面直线DE 与AC 所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈AC ，DE 〉|＝1010. 4．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．解析：如图，建立直角坐标系D －xyz ，设DA ＝1由已知条件A (1,0,0)， E ⎝⎛⎭⎫1，1，13，F ⎝⎛⎭⎫0，1，23， AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1，13，AF ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，面AEF 与面ABC 所成的二面角为θ，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ＝0，n ·AF ＝0，得⎩⎨⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)．设平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1)，则cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝311，tan θ＝23.答案：235．(教材习题改编)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值________．解析：建立如图所示直角坐标系，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，1A B ＝(0,4，－3)，1B C ＝(－4,0，－3)．设异面直线A 1B 与B 1C 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈1A B ，1B C 〉|＝925. 答案：925(1)利用向量求空间角，一定要注意将向量夹角与所求角区别开来，在将向量夹角转化为各空间角时注意空间各角的取值范围，异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]． (2)利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．典题导入[例1] (2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35[自主解答] 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.可得 O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)， ∴1BC ＝(0,2，－1)，1AB ＝(－2,2,1)，∴cos 〈1BC ，1AB 〉＝1BC ·1AB |1BC ||1AB |＝4－15×9＝15＝55>0.∴1BC 与1AB 的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. [答案] A本例条件下，在线段OB 上，是否存在一点M ，使C 1M 与AB 1所成角的余弦为13？若存在，求出M 点；不存在，说明理由．解：不妨令CB ＝1，CA ＝CC 1＝2，建系如本例题图，假设存在符合条件的点M ，设M (0,0，a )，则1C M ＝(0，－2，a )，又1AB ＝(－2,2,1)， ∴|cos 〈1C M ，1AB 〉|＝|a －4|4＋a 2·9＝13. ∴|a －4|＝4＋a 2，∴a 2－8a ＋16＝a 2＋4.∴8a ＝12，∴a ＝32.又CB ＝1，∴a ＝32>1.故不存在符合条件的点M .由题悟法利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．以题试法1．(2012·安徽模拟)如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1.解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD ＝(0,0，a )，∴cos 〈1AB ，1DD 〉＝1AB ·1DD |1AB |·|1DD |＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：∵1BB ＝(－a ，－a ，a )，BC ＝(－2a,0,0)，1FB ＝(0，a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1FB ·1BB ＝0， 1FB ·BC ＝0，∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B 1.典题导入[例2] (2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A -PB -C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．[自主解答] (1)证明：以A 为坐标原点，射线AC 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则C (22，0,0)．设D (2，b,0)，其中b >0，则 P (0,0,2)，E ⎝⎛⎭⎫423，0，23，B (2，－b,0)．于是PC ＝(22，0，－2)， BE ＝⎝⎛⎭⎫23，b ，23，DE ＝⎝⎛⎭⎫23，－b ，23，从而PC ·BE ＝0，PC ·DE ＝0，故PC ⊥BE ，PC ⊥DE . 又BE ∩DE ＝E ，所以PC ⊥平面BED .(2) AP ＝(0,0,2)，AB ＝(2，－b,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则 m ·AP ＝0，m ·AB ＝0，即2z ＝0且2x －by ＝0，令x ＝b ，则m ＝(b ，2，0)．设n ＝(p ，q ，r )为平面PBC 的法向量，则n ·PC ＝0，n ·BE ＝0，即22p －2r ＝0且2p 3＋bq ＋23r ＝0，令p ＝1，则r ＝2，q ＝－2b ，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－2b ，2. 因为二面角A －PB －C 为90°，所以面P AB ⊥面PBC ，故m ·n ＝0，即b －2b＝0，故b ＝2，于是n ＝(1，－1，2)，DP ＝(－2，－2，2)，所以cos 〈n ，DP 〉＝n ·DP |n ||DP |＝12，所以〈n ，DP 〉＝60°.因为PD 与平面PBC 所成角和〈n ，DP 〉互余，故PD 与平面PBC 所成的角为30°.由题悟法利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角(如例2)．以题试法2.(2012·宝鸡模拟)如图，已知P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2，等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝1，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E .(1)求证：PC ⊥平面ADE ；(2)求直线AB 与平面ADE 所成角的大小．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，从而BC ⊥AD . 又AD ⊥PB ，BC ∩PB ＝B ，所以AD ⊥平面PBC ，得PC ⊥AD ，又PC ⊥AE ，AE ∩AD ＝A ，所以PC ⊥平面ADE .(2)如图所示，建立空间直角坐标系B －xyz . 则A (1,0,0)，C (0,1,0)， P (1,0，2)，因为PC ⊥平面ADE ，所以PC ＝(－1,1，－2)是平面ADE 的一个法向量．设直线AB 与平面ADE 所成的角为θ，则sin θ＝|PC ·AB ||PC ||AB |＝(－1，1，－2)·(－1，0，0)2＝12，则直线AB 与平面ADE 所成的角为30°.典题导入[例3] (2012·江西高考)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长；(2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．[自主解答] (1)证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1∥BB 1，得OE ⊥BB 1，因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC .因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，得AO ⊥BC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ，所以OE ⊥平面BB 1C 1C . 又AO ＝AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5，得AE ＝AO 2AA 1＝55.(2)如图，分别以OA ，OB ，OA1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(－1,2,2)，由AE ＝151AA 得点E 的坐标是⎝⎛⎭⎫45，0，25，由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE ＝⎝⎛⎭⎫45，0，25，设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·11A B ＝0，n ·1A C ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,1，－1)，所以cos 〈OE ，n 〉＝OE ·n | OE |·|n |＝3010，即平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是3010.由题悟法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．以题试法3．(2012·山西模拟)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0，)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )，∴AC ＝(－a ，a,0)，BE ＝(－a ，－a ，λa )，∴AC ·BE ＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE .(2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AC ＝(－a ，a,0)，AE ＝(－a,0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC ＝0，m ·AE ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0.取z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)， ∵二面角C －AE －D 的大小为60°， ∴|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝λ1＋2λ2＝12， ∵λ∈(0,1]， ∴λ＝22.1.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，则EF ＝(0，－1,1)，1BC ＝(2,0,2)， ∴EF ·1BC ＝2， ∴cos 〈EF ，1BC 〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成角为60°. 答案：60°2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为________．解析：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)．设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ＝(1,0，a )，1CB ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ·1CB ＝0m ·CD ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由cos 60°＝|m·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2. 答案： 23.如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成角为________．解析：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a2. 则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝⎝⎛⎭⎫－a ，－a 2，a2，CB ＝(a ，a,0)．设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB ，n 〉＝CB ·n | CB ||n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB ，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 的夹角为90°－60°＝30°. 答案：30°4．(2012·山西模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角P －BD －A 的大小．解：(1)证明：由题可知，AP 、AD 、AB 两两垂直，则分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD ＝(－23，2,0)， ∴BD ·AP ＝0，BD ·AC ＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .(2)显然平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD ＝0，n ·BP ＝0. 由(1)知，BP ＝(－23，0,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.∴结合图形可知二面角P －BD －A 的大小为60°.5．(2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．解：(1)法一：证明：如图，连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，A ′C ⊂平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′.法二：证明：取A ′B ′ 中点P ，连接MP ，NP ，而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′. 又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)， B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫λ2，0，12，N ⎝⎛⎭⎫λ2，λ2，1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A M '＝0，m ·MN ＝0，得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取m ＝(1，－1，λ)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·NC ＝0，n ·MN ＝0，得⎩⎨⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m·n ＝0，即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2(负值舍去)．6．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．解：(1)证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以ED ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 所以DE ⊥A 1C . 又因为A 1C ⊥CD . 所以A 1C ⊥平面BCDE .(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1, 3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ·1A B ＝0，n ·BE =0.又1A B (3,0－＝ (－1,2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝ 3. 所以n ＝(2,1，3)．设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM ＝所以sin θ＝|cos 〈n , CM 〉|＝|n ·CM |n ||CM ||＝48×4＝22.所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3]．设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0. 又1A D ＝(0，2，－23),DP ＝(p ，－2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 3z ＝0，px －2y ＝0.令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3. 所以m ＝(2，p ，p3)．平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾．所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直．1．(2013·湖北模拟)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：P A ⊥EF ；(2)求二面角D －FG －E 的余弦值．解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，C (－2,0,0)，P (0,0,2)，E (－1,0,1)，F (0,0,1)，G (－2,1,0)．(1)证明：由于PA ＝(0,2，－2)，EF ＝(1,0,0)，则PA ·EF ＝1×0＋0×2＋(－2)×0＝0，∴P A ⊥EF .(2)易知DF ＝(0,0,1)，EF ＝(1,0,0)，FG ＝(－2,1，－1)，设平面DFG 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DF ＝0，m ·FG ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋y 1－z 1＝0.令x 1＝1，得m ＝(1,2,0)是平面DFG 的一个法向量．设平面EFG 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，同理可得n ＝(0,1,1)是平面EFG 的一个法向量． ∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝25·2＝210＝105，设二面角D －FG －E 的平面角为θ，由图可知θ＝π－〈m ，n 〉， ∴cos θ＝－105， ∴二面角D －FG －E 的余弦值为－105. 2．(2012·北京西城模拟)如图，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD .由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点．又D 为BC 的中点，所以OD 为△A 1BC 的中位线，所以A 1B ∥OD ，因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.(2)由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°，得BA ，BC ，BB 1两两垂直．以BC ，BA ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz . 设BA ＝2，则B (0,0,0)，C (2,0,0)，A (0,2,0)，C 1(2,0,1)，D (1,0,0)，所以AD ＝(1，－2,0)，1AC ＝(2，－2,1)．设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ＝0，n ·1AC ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x －2y ＋z ＝0.取y ＝1，得n ＝(2,1，－2)．易知平面ADC 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n |·|v |＝－23.因为二面角C 1－AD －C 是锐二面角，所以二面角C 1－AD －C 的余弦值为23.(3)假设存在满足条件的点E .因为点E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2,1)，B 1(0,0,1)，故可设E (0，λ，1)，其中0≤λ≤2. 所以AE ＝(0，λ－2,1)，1DC ＝(1,0,1)．因为AE 与DC 1成60°角，所以|cos 〈AE ，1DC 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE ·1DC |AE |·|1DC |＝12. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1(λ－2)2＋1·2＝12，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．所以当点E 为线段A 1B 1的中点时，AE 与DC 1成60°角．1．(2012·北京东城模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，PD⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．解：(1)证明：如图，以D 为坐标原点，DA 、DP 、DC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设DA ＝1，则有D (0,0,0)，Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，所以DQ ＝(1,1,0)，DC ＝(0,0,1)，PQ ＝(1，－1,0)，所以PQ ·DQ ＝0，PQ ·DC ＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 又DQ ⊂平面DCQ ，DC ⊂平面DCQ ，且DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)由(1)易知B (1,0,1)，CB ＝(1,0,0)，BP ＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ＝0，n ·BP ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0，可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP ＝0，m ·PQ ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，x 1－y 1＝0，可取m ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－155，故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155. 2．(2012·天津高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．解：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛－12，⎭⎫12，0，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC ＝(0,1，－2)，AD ＝(2,0,0)，于是PC ·AD ＝0，所以PC ⊥AD .(2) PC ＝(0,1，－2)，CD ＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC ＝0，n ·CD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n|m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h .由CD ＝(2，－1,0)，故cos 〈BE ，CD 〉＝BE ·CD|BE |·|CD |＝3212＋h 2×5＝310＋20h2，所以310＋20h 2＝cos 30°＝32，解得h ＝1010，即AE ＝1010. 3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2.(1)证明：当点E 在棱AB 上移动时，D 1E ⊥A1D ； (2)在棱AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)．设E (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)．(1)证明：∵1D E ＝(1，y 0，－1)，1A D ＝(－1,0，－1)，则1D E ·1A D ＝(1，y 0，－1)·(－1,0，－1)＝0， ∴1D E ⊥1A D ，即D 1E ⊥A 1D . (2)当AE ＝2－33时，二面角D 1－EC －D 的平面角为π6. ∵EC ＝(－1,2－y 0,0)，1D C ＝(0,2，－1)，设平面D 1EC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC ＝0，n 1·1D C ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0.取y ＝1，则n 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1EC 的一个法向量．而平面ECD 的一个法向量为n 2＝1DD ＝(0,0,1)，要使二面角D 1－EC －D 的平面角为π6，则cos π6＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2(2－y 0)2＋12＋22＝32，解得y 0＝2－33(0≤y 0≤2)． ∴当AE ＝2－33时，二面角D 1－EC －D 的平面角为π6. 4．(2012·湖北模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°.(1)若异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，求棱柱的高； (2)设D 是BB 1的中点，DC 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．解：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设AA 1＝h (h >0)，则有B (1,0,0)，B 1(1,0，h )，C 1(0,1，h )，A 1(0,0，h )，11B C ＝(－1,1,0)，11A C ＝(0,1,0)，1A B ＝(1,0，－h )．(1)因为异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，所以cos60°＝|11B C ·1A B ||11B C |·|1A B |，即12·h 2＋1＝12，得1＋h 2＝2，解得h ＝1.(2)由D 是BB 1的中点，得D ⎝⎛⎭⎫1，0，h 2，于是1DC ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，h 2. 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，于是由n ⊥1A B ，n ⊥11A C 可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ·1A B ＝0，n ·11A C ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －hz ＝0，y ＝0，可取n ＝(h,0,1)，故sin θ＝|cos 〈1DC ，n 〉|，而|cos 〈1DC ，n 〉|＝|1DC ·n ||1DC |·|n |＝⎪⎪⎪⎪－h ＋h 214h 2＋2·h 2＋1＝h h 4＋9h 2＋8. 令f (h )＝h h 4＋9h 2＋8＝1h 2＋8h2＋9，因为h 2＋8h 2＋9≥28＋9，当且仅当h 2＝8h 2，即h ＝48时，等号成立．所以f (h )≤19＋28＝18＋1＝22－17，故当h ＝48时，sin θ的最大值为22－17.立体几何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·重庆模拟)若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是( )A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、异面或相交解析：选D 经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现．2．(2012·福建高考)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱解析：选D 球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A 和C.对于如图所示三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同．3．(2012·安徽模拟)在空间，下列命题正确的是( )A ．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B ．若直线m 与平面α内的一条直线平行，则m ∥αC ．若平面α⊥β，且α∩β＝l ，则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面βD ．若直线a ∥b ，且直线l ⊥a ，则l ⊥b解析：选D 三条直线两两相交，可确定一个平面或三个平面，故A 错；m 与平面α内一条直线平行，m 也可在α内，故B 错；若平面α⊥β，且α∩β＝l ，当P ∈l 时，过P 点与l 垂直的直线可在β外，也可在β内，故C 错．由等角定理知D 正确．4．(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6πB ．43πC ．46πD ．63π 解析：选B 设球的半径为R ，由球的截面性质得R ＝(2)2＋12＝3，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π. 5．(2012·北京海淀二模)某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A.203B.43 C ．6 D ．4解析：选A 由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点、以正方体的上底面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积是23－13×22×1＝203. 6．(2013·安徽模拟)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选B 由三视图的相关知识易知选B.7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与体对角线AC 1异面的棱有( )A ．3条B ．4条C ．6条D ．8条解析：选C 从定义出发，同时考虑到正方体的体对角线AC 1与正方体的6条棱有公共点A 和C 1，而正方体有12条棱，所以与AC 1异面的棱有6条．8.(2012·衡阳模拟)如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )A.π4B.π2C.2π2D.2π4 解析：选B 此几何体是底面半径为12，母线长为1的圆锥，其侧面积S ＝πrl ＝π×12×1＝π2. 9．如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行解析：选D 由于C 1D 1与A 1B 1平行，MN 与C 1D 1是异面直线，所以MN 与A 1B 1是异面直线，故选项D 错误．10．(2012·皖南八校三联)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积为( )A ．18 cm 3B ．15 cm 3C ．12 cm 3D ．9 cm 3解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个上下均为长方体的组合体．如图所示，由图中数据可得该几何体体积为3×3×1＋1×2×3＝15(cm 3)．11．在正四面体A －BCD 中，棱长为4，M 是BC 的中点，P 在线段AM 上运动(P 不与A 、M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题：①BC ⊥面AMD ；②Q 点一定在直线DM 上；③V C －AMD ＝4 2.其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析：选A ∵A －BCD 是正四面体，M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，且AM ∩DM ＝M ，∴BC ⊥面AMD .∴①正确．V C －AMD ＝13S △AMD ·CM (∵BC ⊥面AMD ，∴CM 为四面体C －AMD 的高)．如图，在△AMD 中，AM ＝DM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝23，MN ＝AM 2－AN 2＝12－22＝22，∴S △AMD ＝12AD ·MN ＝12×4×22＝42， ∴V C －AMD ＝13×42×2＝823，故③不正确．由排除法知选A. 12．(2012·浙江高考)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直解析：选B 对于AB ⊥CD ，因为BC ⊥CD ，可得CD ⊥平面ACB ，因此有CD ⊥AC .因为AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1，所以AC ＝1，所以存在某个位置，使得AB ⊥CD .二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2012·肇庆二模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为________，________.解析：由三视图可知，该几何体的下部是一底边长为2，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长．所以长方体的表面积为S 1＝2×2×2＋4×2×4＝40，长方体的体积为V 1＝2×2×4＝16，球的表面积和体积分别为S 2＝4×π×12＝4π，V 2＝43×π×13＝4π3，故该几何体的表面积为S ＝S 1＋S 2＝40＋4π，该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝16＋4π3. 答案：40＋4π 16＋4π314． (2012·北京怀柔模拟)P 为△ABC 所在平面外一点，且P A 、PB 、PC 两两垂直，则下列命题：①P A ⊥BC ；②PB ⊥AC ；③PC ⊥AB ；④AB ⊥BC .其中正确的个数是________．解析：如图所示．∵P A ⊥PC ，P A ⊥PB ，PC ∩PB ＝P ，∴P A ⊥平面PBC .又∵BC ⊂平面PBC ，∴P A ⊥BC .同理PB ⊥AC ，PC ⊥AB .但AB 不一定垂直于BC .共3个．答案：315.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________．解析：如图，三棱柱的外接球球心为O ，其中D 为上底面三角形外接圆的圆心，其中AD ＝33×6＝23，又OD ＝3，故在Rt △OAD 中可得R ＝|OA |＝(23)2＋32＝21，故球的表面积为4π(21)2＝84π.答案：84π16．(2012·长春名校联考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠2，有以下四个命题：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)解析：过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，∴AA 1⊥MN ，①正确；过M 、N 分别作MR ⊥A 1B 1、NS ⊥B 1C 1于点R 、S ，则当M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M 、N 分别是AB 1、BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，∴A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③对．综上所述，其中正确命题的序号是①③.答案：①③三、解答题(本大题有6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·陕西高考)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，∠CAB ＝π2. (1)证明：CB 1⊥BA 1；(2)已知AB ＝2，BC ＝5，求三棱锥C 1－ABA 1的体积．解：(1)证明：如图所示，连接AB 1，∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∠CAB ＝π2， ∴AC ⊥平面ABB 1A 1，故AC ⊥BA 1.又∵AB ＝AA 1，∴四边形ABB 1A 1是正方形，∴BA 1⊥AB 1，又CA ∩AB 1＝A ，∴BA 1⊥平面CAB 1，故CB 1⊥BA 1.(2)∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝5，∴AC ＝A 1C 1＝1，由(1)知，A 1C 1⊥平面ABA 1，∴VC 1－ABA 1＝13S △ABA 1·A 1C 1＝13×2×1＝23. 18．(本小题满分12分) (12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . 解：在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连接AG ，在AB上取点F ，使AF ＝EG ，则F 即为所求作的点．∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .又在Rt △BCE 中， CE ＝BC 2－BE 2 ＝ a 2－23a 2＝33a . 在Rt △PBC 中，BC 2＝CE ·CP ，∴CP ＝a 23a3＝3a ，又EG CD ＝PE PC， ∴EG ＝PE PC ·CD ＝23a ， ∴AF ＝EG ＝23a . ∴点F 为AB 靠近点B 的一个三等分点．19．(本小题满分12分) (12分)(2012·新课标全国卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．解：(1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.20．(本小题满分12分) (12分)(2012·安徽高考)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面A 1B 1C 1D 1是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱AA 1上任意一点．(1)证明：BD ⊥EC 1；(2)如果AB ＝2，AE ＝2，OE ⊥EC 1，求AA 1的长．解：(1)证明：连接AC ，A 1C 1.由底面是正方形知，BD ⊥AC .因为AA 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以AA 1⊥BD .又AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C .由EC 1⊂平面AA 1C 1C 知，BD ⊥EC 1.(2)法一：设AA1的长为h，连接OC1.在Rt△OAE中，AE＝2，AO＝2，故OE2＝(2)2＋(2)2＝4.故Rt△EA1C1中，A1E＝h－2，A1C1＝22，故EC21＝(h－2)2＋(22)2.在Rt△OCC1中，OC＝2，CC1＝h，OC21＝h2＋(2)2. 因为OE⊥EC1，所以OE2＋EC21＝OC21，即4＋(h－2)2＋(22)2＝h2＋(2)2，解得h＝32，所以AA1的长为3 2.法二：∵OE⊥EC1，∴∠AEO＋∠A1EC1＝90°.又∵∠A1C1E＋∠A1EC1＝90°，∴∠AEO＝∠A1C1E.又∵∠OAE＝∠C1A1E＝90°，∴△OAE∽△EA1C1，∴AEA1C1＝AOA1E，即222＝2A1E，∴A1E＝22，∴AA1＝AE＋A1E＝3 2.21．(本小题满分12分) (12分)(2012·郑州一模)如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．解：(1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD且平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE⊂平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD.∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE.∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝3，∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°.∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE .又SE ∩CE ＝E ，，∴BE ⊥平面SEC ，∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)如图，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，连接SF .由(1)知SE ⊥平面ABCD ，而BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥SE ，又SE ∩EF ＝E ，∴BC ⊥平面SEF ，∵BC ⊂平面SBC ，∴平面SEF ⊥平面SBC .过点E 作EG ⊥SF 于点G ，则EG ⊥平面SBC ，即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高．由(1)易知，BE ＝2，CE ＝23，则BC ＝4，EF ＝ 3.在Rt △SEF 中，SE ＝1，SF ＝SE 2＋EF 2＝2，则EG ＝ES ·EF SF ＝32， ∴三棱锥E －SBC 的高为32. 22．(本小题满分12分) (14分)(2012·北京昌平二模)在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AD 的中点，F 为B 1C 1的中点．(1)求证：A 1F ∥平面ECC 1；(2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM.∴B1F∥BM且B1F＝BM.∴四边形B1FMB是平行四边形．∴FM∥B1B且FM＝B1B.∴FM∥A1A且FM＝A1A，∴四边形AA1FM是平行四边形．∴F A1∥AM.∵E为AD的中点，∴AE∥MC且AE＝MC.∴四边形AMCE是平行四边形．∴CE∥AM.∴CE∥A1F.∵A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，∴A1F∥平面ECC1.(2)在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1.取CD的中点G，连接BG.在正方形ABCD中，DE＝GC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD，∴△CDE≌△BCG.∴∠ECD＝∠GBC.∵∠CGB＋∠GBC＝90°，∴∠CGB＋∠DCE＝90°.∴BG⊥EC.∵CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴CC1⊥BG，又EC∩CC1＝C，∴BG⊥平面ECC1.故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1.。

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件第九章计数原理与概率、随机变量

1 2 3 解析：由分布列的性质知2a＋2a＋2a＝1，∴a＝3， 2 1 ∴P(X＝2)＝2a＝3.
基础盘查二
常见离散型随机变量的分布列
(一)循纲忆知
理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)如果随机变量 X 的分布列由下表给出： X 2 5 P 则它服从二点分布． 0.3 0.7 ( × )
(2)p2＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.
[提醒] 分布列的性质(2)的作用：可以用来检查所写出的分布
列是否有误，还可以求分布列中的某些参数．
[题组练透]
1．已知随机变量 X 的概率分布如下： X 1 P 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 2 2 2 2 2 2 m 32 33 34 35 36 37 38 39 ( 2 B．310 1 D．310 )
X P 2 11 14 3 13 63 4 1 126
[类题通法]
1．求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率．
2．在求解随Βιβλιοθήκη 变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解．
[演练冲关]
(2015· 湖北八校联考)某射手射击一次所得环数 X 的分布列如下： X P 7 0.1 8 0.4 9 0.3 10 0.2
[类题通法]
利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
考点二
离散型随机变量的分布列求法 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
离散型随机变量的分布列的表示设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x2，…xi，…，xn， X 取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则下表称为随机变量 X 的概率分布，简称为 X 的分布列. X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习一模考前专项训练精品讲义理(含解析)

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形精品讲义理(含解析)

第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数基础盘查一角的有关概念(一)循纲忆知了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)．(二)小题查验1．判断正误(1)三角形的内角必是第一、二象限角( )(2)第一象限角必是锐角( )(3)不相等的角终边一定不相同( )(4)若β＝α＋k·720°(k∈Z)，则α和β终边相同( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(人教A版教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．答案：四一3．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在第________象限．答案：一、三基础盘查二弧度的定义和公式(一)循纲忆知了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．(二)小题查验1．判断正误(1)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为α＝2πk＋π(k∈Z)( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位( )答案：(1)×(2)√2．(人教A版教材练习改编)已知半径为120 mm的圆上，有一条弧的长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.2基础盘查三任意角的三角函数(一)循纲忆知理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(二)小题查验1．判断正误(1)三角函数线的长度等于三角函数值( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负( )(3)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限( ) (4)α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√2．(人教A 版教材练习改编)已知角θ的终边经过点P (－12,5)，则cos θ＝________，sin θ＝________，tan θ＝________.答案：513 －1213 －1253．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则 sin α＝________.答案：513考点一角的集合表示及象限角的判定|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．[题组练透]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°[类题通法](1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．考点二三角函数的定义|(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．[提醒] 三角函数线是有向线段．[一题多变][典型母题]设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，求 sin α的值． [解] 设P 与原点的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a ＜0， ∴r ＝－4a2＋a2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a －5a ＝－35. [题点发散1] 若本例中“a ＜0”，改为“a ≠0”，求 sin α的值．解：当a ＜0时，sin α＝－35；当a ＞0时， r ＝5a, sin α＝35.[题点发散2] 若本例中条件变为：已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α， cos α， tan α的值．解：设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[题点发散3] 若本例中条件变为：已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0), 且sin α＝2m4，求cos α， tan α的值．解：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝()－32＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22， ∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64， tan α＝153.[类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．考点三扇形的弧长及面积公式|(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.[一题多变][典型母题][题点发散1] 去掉本例条件“面积是4”，问当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝10.S ＝12θ·r 2＝12r (10－2r )＝r (5－r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －522＋254≤254，当且仅当r ＝52时，S max ＝254，θ＝2.所以当r ＝52，θ＝2时，扇形面积最大．[题点发散2] 若本例中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ， ∴正方形边长为2r ， ∴圆心角的弧度数是2rr＝ 2.答案： 2[题点发散3] 若本例条件变为：扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l .解：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.[类题通法]应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.3．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．± 3 C ．－ 2D ．－ 3解析：选D 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 解析：选A 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选B 取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 二、填空题7．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6.答案：－5π68．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)9．已知角θ的终边上有一点(a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin θ的值是________．解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a |，则sin θ＝a r＝a2|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧22，a ＞0，－22，a ＜0.所以sin θ的值是22或－22. 答案：22或－2210．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<α2<k π＋3π4(k∈Z )，知α2是第二或第四象限角，再由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四三、解答题11．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8 ∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 12．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式基础盘查一同角三角函数的基本关系 (一)循纲忆知理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(二)小题查验 1．判断正误(1)对任意角α，sin 23α＋cos 23α＝1都成立( ) (2)对任意角α，sinα2cosα2＝tan α2都成立( )(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2β＝1( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．(人教A 版教材例题改编)已知sin α＝－35，则tan α＝________.答案：34或－343．化简：2sin 2α－11－2cos 2α＝________. 答案：1基础盘查二三角函数的诱导公式 (一)循纲忆知能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．(二)小题查验 1．判断正误(1)六组诱导公式中的角α可以是任意角( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化( )(3)角π＋α和α终边关于y 轴对称( )答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．(人教A 版教材习题改编)(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝________，(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝________. 答案：(1)22(2) 3考点一三角函数的诱导公式|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识][提醒] 对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[题组练透]1．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.2．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．sin 600°＋tan 240°的值等于________．解析：sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. 答案：324．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－335．化简：π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－α－π－π－α.解：原式＝－tan α·cos α－cos απ＋α－π＋α＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.考点二同角三角函数的基本关系|(题点多变型考点——全面发掘)[必备知识]同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . [一题多变]型母题]∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15，α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45，α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. [题点发散1] 若本例中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，求 sin α＋cos α的值．解：法一：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. 法二：∵α是三角形的内角且tan α＝－13，∴α为第二象限角， ∴sin α＝1010， cos α＝－31010， ∴sin α＋cos α＝－105. [题点发散2] 保持本例条件不变，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：由例题可知： tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825. [题点发散3] 若本例条件变为：sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 求tan α的值．解：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.[类题通法]1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.一、选择题1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.2．(2015·成都外国语学校月考)已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B tan(α－π)＝34⇒tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知f (α)＝π－απ－αc －π－αα，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin α·cos α－cos α tan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.4．(2015·福建泉州期末)若tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α的值为( )A.53 B ．－134C.135D.134解析：选D 法一：(切化弦的思想)：因为tan α＝2,所以 sin α＝2cos α， cos α＝12sin α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1, 所以解得 sin 2α＝45.所以2sin 2α＋1sin2α＝2sin 2α＋12sin α cos α＝2sin 2α＋1sin 2α＝2×45＋145＝134.故选D. 法二：(弦化切的思想)：因为2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin α cos α＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134.故选D.5．(2015·湖北黄州联考)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sinB －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，sin B ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0, sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限，选B.6．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 015)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 即f (2 015)＝－3. 二、填空题7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α ＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝ sin αcos α＝－43.答案：－438．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α＋π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：09．(2015·绍兴二模)若f (cos x )＝cos 2x, 则f (sin 15°)＝________. 解析：f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 答案：－3210．(2015·新疆阿勒泰二模)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 解析：原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋ sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.答案：0 三、解答题11．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 12．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.第三节三角函数的图象与性质基础盘查正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 (一)循纲忆知1．能画出y ＝sin x, y ＝cos x, y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． (二)小题查验 1．判断正误(1)函数y ＝sin x 的图象介于直线y ＝1与y ＝－1之间( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线( )(3)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数( ) (4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )( )(5)正切函数在整个定义域内是增函数( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[]－π，0上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数答案：B3．(2015·皖南八校模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：选C f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C. 4．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为____________________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z考点一三角函数的定义域与值域|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]正弦、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z；正弦、余弦函数的值域为[－1,1]，正切函数的值域为R .[题组练透]1．函数y ＝2sin x －1的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：选B 由2sin x －1≥0, 得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．2．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：选B 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由{ sin 2x ＞0，－x 2≥0，得⎩⎨⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π24．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫||x ≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域；(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．考点二三角函数的单调性|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]正弦函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )；余弦函数的单调递增区间是[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；正切函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k∈Z )．[典题例析]写出下列函数的单调区间： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.解：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的递增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的递减区间，它的递减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .(2)观察图象(图略)可知，y ＝|tan x |的递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .[类题通法]三角函数的单调区间的求法 (1)代换法：所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[演练冲关]1．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2)解析：选A 由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间为_____________________________________．解析：函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z .由2k π－π≤2x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z ) 考点三三角函数的奇偶性、周期性及对称性|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．正弦、正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数．2．正弦、余弦函数的最小正周期为T ＝2π，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx＋φ)＋b 的周期是T ＝2π|ω|；正切函数的最小正周期为T ＝π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)＋b的周期是T ＝π|ω|.3．正弦函数y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2，k ∈Z ，对称中心为(k π，0)，k ∈Z .余弦函数y ＝cos x 的对称轴是x ＝k π，k ∈Z ，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0，k ∈Z ，即弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心是图象与x 轴的交点，即函数的零点；正切函数没有对称轴，其对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z . [多角探明]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： (1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用.角度一：三角函数的周期1．函数y ＝－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的非奇非偶函数解析：选A 因为y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin 2x ，所以是最小正周期为π的奇函数． 2．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk＜2，即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3.答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心3．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称解析：选C ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4.∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．角度三：三角函数对称性的应用4．(2015·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D.34解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.5．函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________.解析：由题意，得y ＝cos(3x ＋φ)是奇函数，故φ＝k π＋π2(k ∈Z )．答案：k π＋π2(k ∈Z )[类题通法]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．(2015·石家庄一模)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 3．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x |解析：选B 注意到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.4．(2015·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x 关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π12解析：选C 由题意可知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其对称中心为(x 0,0)，故2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝－π6＋k π2(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴k ＝1，x 0＝π3，故选C. 5．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C 由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝cos π6＝32.6．(2015·豫北六校联考)若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，且－π2＜φ＜π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3为( )A ．奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增B ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．偶函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减解析：选D 因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2＜φ＜π2，则φ＝－π6，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选D.二、填空题 7．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为______________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z 9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2. 答案：2或－210．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a .当a ＝π3时，f (x )的值域是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是________．解析：若－π6≤x ≤π3，则－π6≤2x ＋π6≤5π6，此时－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，即f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.若－π6≤x ≤a ，则－π3≤2x ≤2a ，－π6≤2x ＋π6≤2a ＋π6.因为当2x ＋π6＝－π6或2x ＋π6＝7π6时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，所以要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则π2≤2a ＋π6≤7π6，即π3≤2a ≤π，所以π6≤a ≤π2，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12.第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用基础盘查一 y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 (一)循纲忆知了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．(二)小题查验(人教A 版教材习题改编)函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的振幅为________，周期为________，初相为________．答案：23 4π －π4基础盘查二 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤 (一)循纲忆知熟练运用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． (二)小题查验(人教A 版教材例题改编)用“五点法”作函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6的图象，试写出相应的五个点坐标．答案：⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(2π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2，0，(5π，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13π2，0基础盘查三 y ＝sin x 变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤 (一)循纲忆知了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题，并能进行图象变换．(二)小题查验 1．判断正误(1)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象( )(2)要得到函数y ＝sin ωx (ω＞0)的图象，只需将函数y ＝sin x 上所有点的横坐标变为原来的ω倍( )(3)将函数y ＝sin x 图象上各点的纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍，便得到函数y ＝A sin x 的图象( )(4)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0( )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(人教A 版教材例题改编)如图是某简谐运动的图象，则这个简谐运动的函数表达式为________________．答案：y ＝2sin 5π2x ，x ∈[0，＋∞)考点一求函数y ＝Aωx ＋φ的解析式|(基础送分型考点——自主练透) [必备知识]1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.求三角函数的解析式的一般方法是待定系数法，即把已知点的坐标代入三角函数式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，求出需要确定的系数A ，ω，φ，b ，得到三角函数的解析式．[题组练透]1．(2015·山西四校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z 解析：选B 根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|＜π2，得φ＝－π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值． 2．(2015·东北三校联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点二函数y ＝Aωx ＋φ的图象|(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识]1．五点作图法是画正弦函数、余弦函数草图的重要方法，正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)；余弦函数y ＝cosx ，x ∈[0,2π]的图象上五个关键点是(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法[一题多变][典型母题]。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义数学思想专项训练(含解析) (2)

数学思想专项训练(一) 函数与方程思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1a ，所以a ＝－2，故选B. 3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的最大值为( )A ．600B ．500C ．400D ．200解析：选 B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992d ，即99d ＝S 150－23a 1，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 1＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2252－4×109⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＞0，g ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋x －2＞0，x －＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞2.5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( )A ．18B ．15C ．10D.152解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2.又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48＋k 2x A＝169＋25k 2＋k 2＝1659＋25k 2＋k 22，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋16252＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80× 164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选 D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n a 1＋a n2＜nn ＋a 1＋a n ＋12，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.二、填空题7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x]＝3，则f (3)＝________.解析：设f (x )－2x ＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x＋t ，所以2t ＋t ＝3，易得方程2t＋t ＝3有唯一解t ＝1，所以f (x )＝2x＋1，所以f (3)＝9. 答案：98．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1b ，1a ，则ab ＝________.解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝2a －a 2＝1a ，f b ＝2b －b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1＋52，所以ab ＝1＋52.由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝2a ＋a 2＝1a，fb ＝2b ＋b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝－1－52，所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52.答案：1＋529．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －2＋b －2＋c －2＋d －2＋e －25＝4.设a－7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.答案：1010．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝b ，f b ＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12，而m＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且FA ⊥AD ，∴FA ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x . ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－x 2－2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.12．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋y －2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2，因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1；若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |的最大值为2.数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量解析：选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．已知点P在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924 B ．2 2 C.322D. 2解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋x －x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3等价于f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞34，即f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，28．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝1.答案：19．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m的取值范围为________．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．答案：[1,5) 三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：设F ′为双曲线的左焦点，则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C.(]－∞，－1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ，x ＞，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )A.{}－2B.{}2C.{}－2，2D.{}－2，1，2解析：选 C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x ＞当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x＝－2或x ＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋x ，2x ＋－1≤x讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x －1；若12＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3，所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜x ≤1，故选A.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2，n 为奇数，－n ＋2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )A ．100B ．－100C ．102D ．101解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n(2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.5．关于x 的不等式x －a x ＋1＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q .若Q ⊆P ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．[－1,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选B 对a 进行分类讨论，当a ≥－1时，P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)；当a ＜－1时，P ＝(－∞，a )∪(－1，＋∞)．对于log 2(x 2－1)≤1，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≤2，x 2－1＞0解得⎩⎨⎧－3≤x ≤3，x ＜－1或x ＞1，所以Q ＝[－3，－1)∪(1，3]．因为Q ⊆P ，所以P ＝(－∞，－1)∪(a ，＋∞)，从而－1≤a ≤1.6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cosx ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________．解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．定义运算：a b ＝a2－b ，若关于x 的不等式xx ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．解析：由xx ＋1－m )＞0知，x 2－x ＋1－m＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a2.①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；③当0＜a 2≤12，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1；④当12＜a 2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 三、解答题11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n＋11－n2＝n－n2；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×－2－n－n 2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧n －n 2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝exx e x ＋1.(1)证明：0＜f (x )≤1； (2)当x ＞0时，f (x )＞1ax ＋1，求a 的取值范围．解：(1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1＞0. 又e x＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝ex－e xx e x ＋2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立． ③若a ＞0，则f (x )＞1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x－1＞0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x.若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，且f(x＋1)为奇函数，当x＞1时，f(x)＝2x2－12x＋16，则直线y＝2与函数f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为( ) A．5 B．4C．2 D．1解析：选A 由于f(x＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长度后得到f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x2＋x3＝6，易知x1＝－1，故x1＋x2＋x3＝5.故选A.2．(2015·揭阳一模)设点P是函数y＝－4－x－2的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )A.855－2 B. 5C.5－2D.755－2解析：选C 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，则|CA|＝5，|PQ|min＝|CA|－2＝5－2.3．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2C. 2D.22解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ，即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选A 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1]C ．(－2，－1]D ．(－2，－1)解析：选C 作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位置时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．6．(2015·温州十校联考)已知点A ∈平面α，点B ，C 在α的同侧，AB ＝5，AC ＝22，AB 与α所成角的正弦值为0.8，AC 与α所成角的大小为45°，则BC 的取值范围是( )A ．[5，29 ]B ．[37，61 ]C ．[5，61 ]D ．[5，29 ]∪[37，61 ]解析：选A 作BB1⊥α于点B 1，CC 1⊥α于点C 1，当点A ，B 1，C 1不在一条直线上时，如图所示，在Rt△ABB 1中，∵AB ＝5，sin ∠BAB 1＝0.8，∴BB 1＝4，AB 1＝3，在Rt△ACC 1中，∵AC ＝22，∠CAC 1＝45°，∴AC 1＝CC 1＝2，过点C 作CD ⊥BB 1于点D ，则CD ＝B 1C 1.在△AB 1C 1中，∵AB 1＝3，AC 1＝2，∴B 1C 1∈(1,5)，∴CD ∈(1,5)，则BC ＝BD 2＋CD 2∈(5，29)．当B 1在AC 1的延长线上时，B 1C 1＝1，BC ＝5；当B 1在C 1A 的延长线上时，B 1C 1＝5，BC ＝29，∴BC ∈[5，29 ]．二、填空题7．已知函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1.设函数g (x )＝f (t －x )－f (x )的零点为x 0，且x 0∈[1,2]，则非零实数t 的取值范围是________．解析：由题意知只需函数y ＝f (x )与函数y ＝f (t －x )的图象的交点的横坐标x 0∈[1,2]即可，由于函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (t －x )的图象可由函数y ＝f (x )的图象平移得到，数形结合得2≤t ≤4.答案：[2,4]8．(2015·合肥二模)设|AB |＝2，|AC |＝3，∠BAC ＝60°，CD ＝2BC ，AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，则AE 在AC 上的投影的取值范围是________．解析：由AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，可知B ，D ，E 三点共线，且E 点在线段BD 上，如图所示．因为E 点在线段BD 上，所以AE 在AC 上的投影d 的取值范围|AF |≤d ≤|AG |，而|AF |＝|AB |·cos60°＝2×12＝1，|CG |＝2|CF |＝2·(3－1)＝4，|AG |＝|CG |＋|AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．答案：[1,7]9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.答案：2210．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4] 三、解答题11．求y ＝1＋sin x 3＋cos x的值域．解：1＋sin x3＋cos x 可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x 3＋cos x 满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高； (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25. (2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012. (3)将[80,90)之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90,100]之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是710＝0.7.多题一法专项训练(一) 配方法一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 1·a 5＋2a 3·a 5＋a 3·a 7＝25，则a 3＋a 5为( ) A ．5 B ．25 C ．15D ．10解析：选A ∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25.即(a 3＋a 5)2＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.2.已知菱形ABCD 的边长为233，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD ＝60°，P 在线段DM 上，记DP ＝x ，PA ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33，BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP中，PA ＝AM 2＋MP 2＝13＋－x2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝1＋－x 2－－x ＝x 2－x ＋1，∴y ＝PA ＋PB ＝13＋x －2＋x 2－x ＋1＝13＋x －2＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，－14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18；当x ＝0时，f (x )max ＝0.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 22x ，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133D.163解析：选A 因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1， ∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1. ∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1， ∴sin α＋cos α＝±1. 二、填空题7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．解析：由题意知a n ＝a 1qn －1＝29·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·210－n，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)12n n (-)·2192n n(-)，因为－n n2＝－12(n 2－19n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋1928，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，－n n2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)12n n (-)＞0，所以n ＝9时，T n 最大．答案：T 910．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)．答案：(3,0) 三、解答题11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点M ，N ，求|MN |的最大值．解：设直线PA 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线PA 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝kx ＋得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB 的斜率k AB ＝k ＋2－－2k ＋24k ＋2－－4k ＋＝1，设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝1，y ＝x ＋b 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2－2b ＝0，由于AB 与圆C 交于不同的两点，所以Δ＞0，即1－2＜b ＜2＋1.则|MN |＝2·b －2－b 2－2b＝2·－b 2＋2b ＋1＝2·－b －2＋2≤2，故|MN |的最大值是2.12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解：(1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m·n ＝2sin B ，又|m |＝sin 2B ＋1－cos B2＝2－2cos B＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin B 2，∵0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，∴sin B 2＞0，∴|m |＝2sin B2.而|n |＝2， ∴cos θ＝m·n |m||n|＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12，∴B 2＝π3，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2，又a ＋c ＞b ＝3， ∴a ＋c ∈(3，2]．多题一法专项训练(二) 换元法一、选择题1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3ln x B ．f (x )＝3ln x ＋4 C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x＋4解析：选D 令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4，得f (x )＝3e x＋4，故选D.2．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12C ．2 2D.22解析：选A 令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]，则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.3．已知函数f (x )＝4x－2xt ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )A ．(2＋22，＋∞)B ．(－∞，2＋22)C ．(0,2＋22)D ．(2＋22，8)解析：选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．4．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( ) A ．－8 B ．8 C ．－10D ．10解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 则y ＝3×2sin θ－4×2cos θ＝6sin θ－8cos θ＝10sin(θ－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos φ＝35，sin φ＝45.因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－φ，π2－φ.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－8. 5．(2015·天津六校联考)对于函数f (x )＝4x－m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B 若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，即4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x＋1，所以14x 0＋4x 0＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋2x 0，令t ＝2x 0(t ＞0)，则1t 2＋t 2＝2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋t ，令λ＝1t ＋t (λ≥2)，所以2m ＝λ－2λ，令g (λ)＝λ－2λ(λ≥2)，易知g (λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m ≥2－22＝1，故m ≥12.故选B.6．已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6]解析：选A 由题知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2∈[－6,1]．选A.二、填空题7．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32<0.其解集为(2，b )，故⎩⎪⎨⎪⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a.解得a ＝18，b ＝36.答案：18368．(2015·苏锡常镇二调)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 2a ≥1＋x 2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即t 2－2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝t －22对t ≥1恒成立，所以t ＋2a≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.答案：89．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝2×22a b +，即2a ＋b≥2×22a b +，所以2a ＋b≥4.令t ＝2a ＋b，由2a ＋2b ＝2a ＋b，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c可得，2a ＋b＋2c＝2a ＋b 2c，所以2c＝tt －1＝1＋1t －1，由t ≥4得，1＜tt －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，所以c 的最大值是2－log 23.答案：2－log 2310.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 为圆O的直径，上底CD 的端点在圆周上，若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．解析：连接OD ，DB ，作DH ⊥AB ，设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则CD ＝4cos θ，在△AOD中，由余弦定理可得AD ＝8－8cos θ，所以梯形的周长为l ＝28－8cos θ＋4cos θ＋4＝42·1－cos θ＋4cos θ＋4，令1－cos θ＝t ∈(0,1)，则cos θ＝1－t 2，l ＝42t ＋4(1－t 2)＋4＝4(－t 2＋2t ＋2)，当t ＝22，即cos θ＝12时周长取得最大值，此时AD ＝2，DB ＝23，所以实轴长为DB －DA ＝23－2.答案：23－2 三、解答题11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a 2.(1)当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．(2015·济南期末)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是R 上的奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根．令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2＞0，解得a ≥2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．多题一法专项训练(三) 待定系数法一、选择题1．(2014·山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3。

《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解双曲线

双_曲_线[知识能否忆起]1．双曲线的定义平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－22，0 B.⎝⎛⎭⎫－52，0 C.⎝⎛⎭⎫－62，0D.()－3，0解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.∴左焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－62，0. 2．(教材习题改编)若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( )A.255B.32C.233D ．2解析：选C 依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3，故e ＝2a 2＝23＝233.3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×6×8＝24.4．双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________．解析：由题意知a 2＋1a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2＝2，解得a ＝33，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x .答案：y ＝±3x5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________.解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支， ∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝43.∴|k |·e ＝43×54＝53.答案：531.区分双曲线与椭圆中a 、b 、c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b2.双曲线的离心率e ＞1；椭圆的离心率e ∈(0,1)．2．渐近线与离心率：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝ b 2a 2＝ c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[注意] 当a >b >0时，双曲线的离心率满足1<e <2；当a ＝b >0时，e ＝2(亦称为等轴双曲线)；当b >a >0时，e > 2.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．典题导入[例1] (1)(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 (2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．[自主解答] (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝ 5.(2)不妨设点P 在双曲线的右支上，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3由题悟法1．应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． (2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)．以题试法1．(2012·大连模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：选B 由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又∵|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2＞1，∴|PF 2|＝17.典题导入[例2] (2012·浙江高考)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233B.62C. 2D. 3[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． ∵B (0，b )，∴F 1B 所在的直线为－x c ＋yb ＝1.①双曲线渐近线为y ＝±bax ，由⎩⎨⎧ y ＝b ax ，－x c ＋yb ＝1，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a .由⎩⎨⎧y ＝－b ax ，－x c ＋yb ＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，∴PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c c 2－a 2，bc 2c 2－a 2.由a 2＋b 2＝c 2得，PQ 的中点坐标可化为⎝⎛⎭⎫a 2c b 2，c 2b .直线F 1B 的斜率为k ＝bc，∴PQ 的垂直平分线为y －c 2b ＝－c b⎝⎛⎭⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝a 2cb 2＋c ，∴M ⎝⎛⎭⎫a 2c b 2＋c ，0，∴|F 2M |＝a 2c b 2. 由|MF 2|＝|F 1F 2|得 a 2c b 2＝a 2c c 2－a 2＝2c ，即3a 2＝2c 2，∴e 2＝32，∴e ＝62.[答案] B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且π4＜α＜π3”，求双曲线的离心率的取值范围．解：根据题意知1＜ba ＜3，即1＜e 2－1＜ 3.所以2＜e ＜2.即离心率的取值范围为( 2，2)．由题悟法1．已知渐近线方程y ＝mx ，求离心率时，若焦点位置不确定时，m ＝b a (m ＞0)或m ＝ab ，故离心率有两种可能．2．解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．以题试法2．(1)(2012·福建高考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43解析：选C 由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32.(2)(2012·大同模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x解析：选B 设点P (m ，n )，依题意得，点F (2,0)，由点P 在抛物线y 2＝8x 上，且|PF |＝5得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＝5，n 2＝8m ，由此解得m ＝3，n 2＝24.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±3x .典题导入[例3] (2012·南昌模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP ·OQ ＝0.求1|OP |2＋1|OQ |2的值．[自主解答] (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即3x 2－y 2＝3a 2.∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 212＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝123－k2，y 2＝12k 23－k 2，∴|OP |2＝x 2＋y 2＝12(k 2＋1)3－k 2.则OQ 的方程为y ＝－1kx ，同理有|OQ |2＝12⎝⎛⎭⎫1＋1k 23－1k 2＝12(k 2＋1)3k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋(3k 2－1)12(k 2＋1)＝2＋2k 212(k 2＋1)＝16.由题悟法1．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．2．与中点有关的问题常用点差法．[注意] 根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．以题试法3．(2012·长春模拟)F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，满足|1MF ,|＝3|2MF ,|，则此双曲线的渐近线方程为________________．解析：由双曲线的性质可得|2MF ,|＝b ，则|1MF ,|＝3b .在△MF 1O 中，|OM ,|＝a ，|1OF ,|＝c ，cos ∠F 1OM ＝－ac ，由余弦定理可知a 2＋c 2－(3b )22ac ＝－a c ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝2b 2，即b a ＝22，故此双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x1．(2013·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 22－y 24＝1C.x 224－y 28＝1D.x 28－y 224＝1 解析：选A 由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝3，c ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，a 2＋b 2＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，故双曲线方程为x 24－y 212＝1.2．若双曲线过点(m ，n )(m ＞n ＞0)，且渐近线方程为y ＝±x ，则双曲线的焦点( ) A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上解析：选A ∵m ＞n ＞0，∴点(m ，n )在第一象限且在直线y ＝x 的下方，故焦点在x 轴上．3．(2012·华南师大附中模拟)已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.32或 52B.32 C. 5D.32或 5 解析：选D ∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线．当m ＝4时，e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝32.当m ＝－4时，e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5.4.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：选B 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.5．(2013·哈尔滨模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ,·2PF ,＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由1PF ,·2PF ,＝0得1PF ,⊥2PF ,，设|1PF ,|＝m ，|2PF ,|＝n ，不妨设m＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.6．(2012·浙江模拟)平面内有一固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 中点，则|OP |的最小值为( )A ．3B ．2 C.32D ．1解析：选C 依题意得，动点P 位于以点A ，B 为焦点、实轴长为3的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点，因此|OP |的最小值等于32. 7．(2012·西城模拟)若双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k ＝________. 解析：∵双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)， ∴1＋1k ＝32＝9，可得k ＝18.答案：188．(2012·天津高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝1，b ＝2.答案：1 29．(2012·济南模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．解析：设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102.答案：10210．(2012·宿州模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程； (2)求证：1MF ·2MF ＝0.解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴1MF ·2MF ＝0.11．(2012·广东名校质检)已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，则∠F 1PF 2＝90°.12．如图，P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，且|PF 1|＝2|PF 2|.(1)求双曲线的离心率e ；(2)过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P 1，P 2两点，若OP 1·OP 2＝－274，2PP 1＋PP 2＝0.求双曲线C 的方程．解：(1)由PF 1·PF 2＝0，得PF 1⊥PF 2，即△F 1PF 2为直角三角形．设|PF 2|＝r ，|PF 1|＝2r ，所以(2r )2＋r 2＝4c 2，2r －r ＝2a ，即5×(2a )2＝4c 2.所以e ＝ 5.(2)ba＝e 2－1＝2，可设P 1(x 1,2x 1)，P 2(x 2，－2x 2)，P (x ，y )，则OP 1·OP 2＝x 1x 2－4x 1x 2＝－274，所以x 1x 2＝94.①由2PP 1＋PP 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＝－2(x 1－x )，－2x 2－y ＝－2(2x 1－y )，即x ＝2x 1＋x 23，y ＝2(2x 1－x 2)3.又因为点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以(2x 1＋x 2)29a 2－4(2x 1－x 2)29b 2＝1.又b 2＝4a 2，代入上式整理得x 1x 2＝98a 2.②由①②得a 2＝2，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 22－y 28＝1.1．(2012·长春模拟)设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|，则e 1e 2e 21＋e 22的值为( ) A.22B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，不妨设m ＞n .则由|1PF ,＋2PF ,|＝|12F F ,|得|1PF ,＋2PF ,|＝|2PF ,－1PF ,|＝|1PF ,－2PF ,|，即|1PF ,＋2PF ,|2＝|1PF ,－2PF ,|2，所以1PF ,·2PF ,＝0，所以m 2＋n 2＝4c 2.又e 1＝2cm ＋n ，e 2＝2c m －n，所以1e 21＋1e 22＝2(m 2＋n 2)4c 2＝2，所以e 1e 2e 21＋e 22＝11e 22＋1e 21＝22. 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，则双曲线的离心率e 的取值范围为________．解析：由题意知直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b2，同理得，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b2，s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b2＝2ab c .由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5ac 2－a 2≥2c 2.所以5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5.由于e ＞1，所以e 的取值范围为⎣⎡⎦⎤ 52， 5 . 答案：⎣⎡⎦⎤52， 53．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ,＋ON ,＝t OD ,，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，故一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，则|bc |b 2＋12＝3，得b 2＝3，故双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，则⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3，故t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1．(2012·岳阳模拟)直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记1OE ,＝e 1，2OE ,＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP ,＝a e 1＋b e 2，则实数a 和b 满足的一个等式是________．解析：可求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝x 0，a －b ＝y 0，则(a ＋b )2－(a－b )2＝1，得ab ＝14.答案：ab ＝142．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________________．解析：根据已知得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ，则|PF 2|＝b 2a ，又∠PF 1F 2＝π6，则|PF 1|＝2b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .答案：y ＝±2x3．(2012·大同模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→,·OB ―→,＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由已知得a ＝3，c ＝2，再由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)＞0，故k 2≠13且k 2＜1，①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k2， x A ·x B ＝－91－3k 2，由OA ,·OB ,＞2得x A x B ＋y A y B ＞2，又x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解不等式得13＜k 2＜3，②由①②得13＜k 2＜1，3 3∪⎝⎛⎭⎫33，1.所以k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义第十章算法初步、统计、统计案例(含解析)

第十章算法初步、统计、统计案例第一节算法初步基础盘查算法及程序框图对应学生用书P147(一)循纲忆知1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、选择、循环．3．了解程序框图，了解工序流程图(即统筹图)．4．能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．5．了解结构图，会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息．(二)小题查验1．判断正误(1)任何算法必有条件结构( )(2)算法可以无限操作下去( )(3)▱是赋值框，有计算功能( )答案：(1)×(2)×(3)×2．(人教A版教材例题改编)已知程序框图如图所示，则输出的结果是________．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是____________．解析：运行框图：第一步：S＝1，k＝1;第二步：S＝3，k＝2；第三步：S＝11，k＝3；第四步：S＝11＋211＞100，k＝4.故输出的k＝4.答案：44．(2015·广州模拟)执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是________．解析：由程序框图可得p＝1×3×5×7＝105.答案：105对应学生用书P147考点一算法的基本结构|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]程序框图的三种基本结构(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下顺序进行的．程序框图中一定包含顺序结构．(2)条件结构当需要对研究对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．(3)循环结构两种循环结构的特点直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．[题组练透]1．(2015·威海一模)根据给出的程序框图，计算f(－1)＋f(2)＝( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选A 输入－1，满足x≤0，所以f(－1)＝4×(－1)＝－4；输入2，不满足x≤0，所以f(2)＝22＝4，即f(－1)＋f(2)＝0.故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S ＝( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选D 在循环体部分的运算为：第一步，M＝2，S＝5，k＝2；第二步，M＝2，S＝7，k＝3.故输出结果为7.3．(2014·重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45解析：选C 当输出k 的值为6时，s ＝1×910×89×78＝710，结合题中的程序框图知，选C.[类题通法]1．解决程序框图问题要注意几个常用变量：(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．考点二算法的交汇性问题|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点，归纳起来常见的命题角度有：(1)与统计的交汇问题； (2)与函数的交汇问题； (3)与线性规划的交汇问题； (4)与数列求和的交汇问题.角度一：与统计的交汇问题1．某班有24名男生和26名女生，数据a 1，a 2，…，a 50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W .为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入( )A ．T ＞0？，A ＝M ＋W50 B ．T ＜0？，A ＝M ＋W50 C ．T ＜0？，A ＝M －W 50D ．T ＞0？，A ＝M －W50解析：选D 依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的是某女生的成绩的相反数．结合题意得，选D.角度二：与函数的交汇问题2．(2014·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6]解析：选D 由程序框图可知S 是分段函数，且S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－2，t ∈[－2，，t －3，t ∈[0，2]，其值域为(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.角度三：与线性规划的交汇问题3．(2014·四川高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，由线性规划的图解法知，目标函数S ＝2x ＋y 的最大值为2，否则，S 的值为1.所以输出的S 的最大值为2.角度四：与数列求和的交汇问题4．(2015·湘潭模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．解析：共循环 2 014次，由裂项求和得S ＝11×2＋12×3＋…＋12 013×2 014＋12 014×2 015＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013－12 014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案：2 0142 015[类题通法]解决算法的交汇性问题的方法(1)读懂程序框图，明确交汇知识；(2)根据给出问题与程序框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．考点三基本算法语句|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．条件语句的格式及框图(1)IF－THEN格式：(2)IF－THEN－ELSE格式：2．循环语句的格式及框图(1)UNTIL语句：(2)WHILE语句：[典题例析]1．(2015·湖北八市联考)按照如图程序运行，则输出K的值是________．解析：第一次循环，X＝7，K＝1；第二次循环，X＝15，K＝2；第三次循环，X＝31，K＝3；终止循环，输出K的值是3.答案：32．(2015·西安模拟)如图所示的程序中，输出的S的值为________．解析：根据多次赋值的意义，有a＝5，b＝6＝c，∴S＝5＋6＋6＝17.答案：17[类题通法]1．输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构．2．在循环语句中也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序无法执行．[演练冲关](2015·南京三模)执行下边的程序，输出的结果是________．i ＝3WHILE S ＜＝200 S ＝S*ii ＝i ＋2WEND PRINT i END解析：根据循环结构可得：第一次：S ＝1×3＝3，i ＝3＋2＝5，由3≤200，则循环；第二次：S ＝3×5＝15，i ＝5＋2＝7，由15≤200，则循环；第三次：S ＝15×7＝105，i ＝7＋2＝9，由105≤200，则循环；第四次：S ＝105×9＝945，i ＝9＋2＝11，由945＞200，则循环结束，故此时i ＝11. 答案：11一、选择题1．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( ) A ．15 B ．105 C ．245D ．945解析：选 B 逐次计算的结果是T ＝3，S ＝3，i ＝2；T ＝5，S ＝15，i ＝3；T ＝7，S ＝105，i ＝4，此时输出的结果为S ＝105.选B.2．执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选A 当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.对应B 本课时跟踪检测（五十八）3．(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1解析：选C 由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n，故选C.4．(2014·江西高考)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.5．(2015·北京西城一模)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝2，b ＝2，那么输出的a 值为( )A ．4B ．16C ．256D ．log 316解析：选C log 32＞4不成立，执行第一次循环，a ＝22＝4； log 34＞4不成立，执行第二次循环，a ＝42＝16； log 316＞4＝log 334＝log 381不成立，执行第三次循环，a ＝162＝256；log 3256＞4＝log 381成立，跳出循环体，输出a 的值为256，故选C.6．(2014·安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55C．78 D．89解析：选B 由题中程序框图(算法流程图)知：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，跳出循环．故输出结果是55.7．(2015·辽宁五校联考)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k的值是6，则满足条件的整数S0的个数有( )A．31 B．32C．63 D．64解析：选B 输出k的值为6说明最后一次参与运算的k＝5，所以S＝S0－20－21－22－23－24－25＝S0－63，上一个循环S＝S0－20－21－22－23－24＝S0－31，所以31＜S0≤63，总共32个满足条件的S0.8．(2015·石家庄模拟)某程序框图如图所示，若输出的S＝120，则判断框内为( )A．k＞4? B．k＞5?C．k＞6? D．k＞7?解析：选B 依题意，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26；进行第四次循环时，k＝4＋1＝5，S＝2×26＋5＝57；进行第五次循环时，k＝5＋1＝6，S＝2×57＋6＝120，此时结束循环，因此判断框内应为“k＞5？”，选B.二、填空题9．(2015·南京模拟)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为________．S ＝0For I From 1 To 10S ＝S ＋I End ForPrint S解析：解析：这是一个1＋2＋3＋…＋10的求和，所以输出的S 的值为55.答案：5510．关于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，1＜x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出的区间是________．解析：由程序框图的第一个判断条件为f (x )＞0，当f (x )＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x )＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．答案：[0,1]11．(2014·江苏高考改编)如图是一个程序框图，则输出的n 的值是________．解析：该程序框图共运行5次，各次2n 的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n 的值是5.答案：512．(2014·湖北高考)设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.解析：当a ＝123时，b ＝321－123＝198≠123；当a ＝198时，b ＝981－189＝792≠198；当a ＝792时，b ＝972－279＝693≠792；当a ＝693时，b ＝963－369＝594≠693；当a ＝594时，b ＝954－459＝495≠594；当a ＝495时，b ＝954－459＝495＝a ，终止循环，输出b ＝495.答案：495第二节随机抽样基础盘查一简单随机抽样(一)循纲忆知1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本(抽签法、随机数表法)．(二)小题查验1．判断正误(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大( )(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样对应学生用书P150( )答案：(1)×(2)×2．(2015·广东七校联考)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：由随机数表，可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是，第4个样本个体的编号是068.答案：068基础盘查二系统抽样(一)循纲忆知了解系统抽样方法(编号、分组抽取)．(二)小题查验1．判断正误(1)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体( )(2)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平( )答案：(1)√(2)×2．(人教B版教材习题改编)某工厂平均每天生产某种机器零件大约10 000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为________．答案：04103．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________．答案：5基础盘查三分层抽样(一)循纲忆知了解分层抽样的方法(计算抽样比、分层抽取样本)．(二)小题查验1．判断正误(1)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关( )(2)分层抽样时，为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同( )答案：(1)×(2)√2．(人教B版教材例题改编)某校高中生有900名，其中高一有400名，高二有300名，高三有200名，打算抽取容量为45的一个样本，则高三学生应抽取________人．答案：103．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人．为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．解析：设样本容量为n，则7210＝n480，解得n＝16.答案：16考点一简单随机抽样|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)每个个体被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽签法和随机数法．[提醒] 简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．[题组练透]1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( )①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A ①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查对应学生用书P151产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．3．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A ．08B ．07C ．02D ．01解析：选D 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字为08,02,14,07,01，…，故选出的第5个个体的编号为01.[类题通法]抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．考点二系统抽样|(重点保分型考点——师生共研) [必备知识]系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)先将总体的N 个个体编号；(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )； (4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．[提醒] 系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当Nn不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．[典题例析](2014·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20解析：由1 00040＝25，可得分段的间隔为25.故选C. 答案：C[类题通法]解决系统抽样问题的两个关键步骤(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．[演练冲关]已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，_________________________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：千克)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：(1)由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数 x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2,10,18,26,34(2)62考点三分层抽样的交汇命题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识](1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．[提醒] 分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即样本容量n 总体个数N. [多角探明]分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误.角度一：与频率分布相结合问题1．(2014·广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20解析：选D 易知(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，即样本容量；抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.角度二：与概率相结合问题2．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x ，y 的值．解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴3050＝m 5，解得m ＝3. 抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S 1，S 2；B 1，B 2，B 3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为710. (2)由题意，得10N ＝539，解得N ＝78. ∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，∴4880＋x ＝2050＝1020＋y ，解得x ＝40，y ＝5. 即x ，y 的值分别为40,5.[类题通法]进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．一、选择题1．(2014·湖南高考)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1、p 2、p 3，则( )对应A 本课时跟踪检测（五十九）A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：选D 根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是n N，故p 1＝p 2＝p 3，故选D.2．某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法解析：选D 从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．故选D.3．(2015·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝( )A ．54B ．90C ．45D ．126解析：选B 依题意得33＋5＋7×n ＝18，解得n ＝90，即样本容量为90. 4．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )A ．5B ．7C ．11D ．13解析：选B 间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.5．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，恰好抽到了4个男生、6个女生，则下列命题正确的是( )A ．该抽样可能是简单随机抽样B ．该抽样一定不是系统抽样C ．该抽样中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率D ．该抽样中女生被抽到的概率小于男生被抽到的概率解析：选A 本题看似是一道分层抽样的题，实际上每种抽样方法都可能出现这个结果，故B 不正确．根据抽样的等概率性知C ，D 不正确．6．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )A．C．02 D．17解析：选C 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.二、填空题7．(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析：设应从一年级本科生中抽取x名学生，则x300＝44＋5＋5＋6，解得x＝60.答案：608．(2014·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解析：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．答案：1 8009．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n36＝n6，篮球运动员人数为12×n36＝n3，足球运动员人数为18×n36＝n2，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.答案：610．(2015·北京海淀区期末)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案：50 1 015三、解答题11．用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：(1)求x，y的值；(2)若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这2人都来自高二年级的概率．解：(1)由题意可得x99＝y27＝218，所以x＝11，y＝3.(2)记从高二年级抽取的3人为b1，b2，b3，从高三年级抽取的2人为c1，c2，则从这两个年级抽取的5人中选2人的所有等可能基本事件共有10个：(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b3，c1)，(b3，c2)，(c1，c2)，设所选的2人都来自高二年级为事件A，则A包含的基本事件有3个：(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)．则P(A)＝310＝0.3，故所选的2人都来自高二年级的概率为0.3. 12．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．解：(1)得60分的人数为40×10%＝4. 设抽取x 张选择题得60分的试卷，则2040＝x4，则x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.第三节用样本估计总体基础盘查一频率分布直方图 (一)循纲忆知1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图，体会他们各自的特点．2．会用样本的频率分布估计总体分布． (二)小题查验 1．判断正误(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率( ) (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1( ) 答案：(1)× (2)√对应学生用书P153。

【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习精品讲义数学思想专项训练(含解析)

答案：
9．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a＜b＜c＜d＜e.由平均数及方差的公式得＝7，＝4.设a－7，b－7，c－7，d－7，e－7分别为p，q，r，s，t，则p，q，r，s，t均为整数，且设f(x)＝(x－p)2＋(x－q)2＋(x－r)2＋(x－s)2＝4x2－2(p＋q＋r＋s)x＋(p2＋q2＋r2＋s2)＝4x2＋2tx＋20－t2，由(x－p)2，(x－q)2，(x－r)2，(x－s)2不能完全相同知f(x)＞0，则判别式Δ＜0，即4t2－4×4×(20－t2)＜0，解得－4＜t＜4，所以－3≤t≤3，故e的最大值为10.
A．是变量且有最大值
B．是变量且有最小值
C．是变量有最大值和最小值
D．是常量
解析：选D 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数．于是四面体PQEF的体积为常数．
4．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值为( )
4．已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为( )
A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选D∵x∈[2,16]，∴f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立，设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以即解得x＜－2或x＞2.

【三维设计】高考数学大一轮复习讲义(备考基础查清+热点命题悟通)第五章数列理苏教版

〖第五章数列〗之小船创作第一节数列的概念与简单表示法对应学生用书P671．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[试一试]1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n－1(n ∈N *)2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：541．辨明数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．2．明确a n 与S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1n ≥2.[练一练]1．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的通项为a n＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2.若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大的顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是________．解析：法一：由a n ＝7n ＋2，b n ＝n 2列出部分项得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，b 3＝9，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝16，b 4＝16，⎩⎪⎨⎪⎧a 14＝100，b 10＝100，⎩⎪⎨⎪⎧a 17＝121，b 11＝121，⎩⎪⎨⎪⎧ a 41＝289，b 17＝289，⎩⎪⎨⎪⎧a 46＝324，b 18＝324，易发现在数列{b n }中符合条件的数呈周期变化，且周期为7.每个周期内第3,4个数符合题意，故c 9在第5个周期的第3个数，即c 9＝(4×7＋3)2＝312＝961.法二：令a n ＝b m ，则7n ＋2＝m 2，即7(n －1)＝(m －3)(m ＋3)．易知m ＋3或m －3是7的整数倍，所以当m ＝3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…时满足等式，故c 9＝312＝961.答案：9612．(2014·苏锡常镇调研)设u (n )表示正整数n 的个位数，a n ＝u (n 2)－u (n )，则数列{a n }的前 2 014项和等于________．解析：因为n 与n ＋10的个位数字相同且周期为10，又a 1＝0，a 2＝4－2＝2，a 3＝9－3＝6，a 4＝6－4＝2，a 5＝5－5＝0，a 6＝6－6＝0，a 7＝9－7＝2，a 8＝4－8＝－4，a 9＝1－9＝－8，a10＝0，所以a1＋a2＋…＋a10＝0，即a1＋a2＋…＋a2 014＝a1＋a2＋a3＋a4＝10.答案：10对应学生用书P67考点一由数列的前几项求数列的通项公式1.(2014·南通二模)将正偶数按如下所示的规律排列：24 68101214161820…则第n(n≥4)行从左向右的第4个数为________．解析：从数表可知，所有的数是由偶数组成的，第n行有n个偶数，从而前n－1行有1＋2＋…＋(n－1)＝n n－12个偶数，第(n≥4)行从左向右的第4个数是第n n－12＋4个偶数，所以是n2－n＋8.答案：n2－n＋82．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n＝2(n ＋1)(n ∈N *)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1nn ＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n－1.[备课札记] [类题通法]用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．考点二由a n 与S n 的关系求通项a n[n n n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.[备课札记] [类题通法]已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．[针对训练]已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和满足S n>1，且6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，n∈N*，求{a n}的通项公式．解：由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1>1，因此a1＝2.又由a n＋1＝S n＋1－S n＝16(a n＋1＋1)(a n＋1＋2)－16(a n＋1)·(a n＋2)，得a n＋1－a n－3＝0或a n＋1＝－a n.因为a n>0，故a n＋1＝－a n不成立，舍去．因此a n＋1－a n－3＝0.即a n＋1－a n＝3，从而{a n}是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n}的通项公式为a n＝3n－1.考点三由递推关系式求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，归纳起来常见的命题角度有：1形如a n＋1＝a n f n，求a n；2形如a n＋1＝a n＋f n，求a n；3形如a n＋1＝Aa n＋B A≠0且A≠1，求a n.角度一形如a n＋1＝a n f(n)，求a n1．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.即a n a n －1＝n ＋1n －1.∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n －2a n －3·a n －1a n －2·a na n －1＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n n ＋12(n ≥2)当n＝1时，a1＝1.综上可知，{a n}的通项公式a n＝n n＋12.角度二形如a n＋1＝a n＋f(n)，求a n2．已知a1＝2，a n＋1＝a n＋3n＋2，求a n.解：∵a n＋1－a n＝3n＋2，∴a n－a n－1＝3n－1(n≥2)，∴a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n＝32n2＋n2.角度三形如a n＋1＝Aa n＋B(A≠0且A≠1)，求a n 3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2，求a n.解：∵a n＋1＝3a n＋2，∴a n＋1＋1＝3(a n＋1)，∴a n＋1＋1a n＋1＝3，∴数列{a n＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴a n＋1＝2·3n－1，∴a n＝2·3n－1－1.[备课札记][类题通法]由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n＋1＝a n＋f(n)或a n＋1＝f(n)·a n，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．对应学生用书P69[课堂练通考点]1．(2014·苏北四市质检)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，则a 2 014＝________.解析：由题意，该数列除前2项外，从第3项往后是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 4＝8.答案：82．(2013·盐城三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f 8>f 7，解得a ∈(2,3)．答案(2,3)3．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a8＝________.解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：84．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝(－1)n(a n＋1)，记S n 为{a n}前n项的和，则S2 013＝____________.解析：由a1＝1，a n＋1＝(－1)n(a n＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0.所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.答案：－1 0055．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.求数列{a n}与{b n}的通项公式．解：∵当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，当n＝1时，a1＝S1＝4也适合，∴{a n}的通项公式是a n＝4n(n∈N*)．∵T n＝2－b n，∴当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1.当n≥2时，b n＝T n－T n－1＝(2－b n)－(2－b n－1)，∴2b n＝b n－1.∴数列{b n}是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.[课下提升考能] 第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·盐城二调)数列{a n }满足a n ＋a n －1＝12(n ∈N *)，a 1＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析：这个数列为“等和数列”，分别计算数列的前几项可以发现该数列为周期数列，周期为2.故S 21＝(1－12)×10＋1＝6.答案：62．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于________．解析：由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案：43．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2 013的值为________．解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.答案：－14．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．解析：∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，k ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，∴193≤k ≤223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. 答案：75．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn≤2的正整数n 的集合为________．解析：因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ＝1,2,3,4. 答案：{1,2,3,4}6．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第____________项．解析：令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．∴a 10＝0.08.答案：107．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥28．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n＋3，两式相减得a n ＝3n.答案：3n9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 014＝________.解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期为6的周期数列，故a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝1.答案：110．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？解：(1)因为a n ＝n2－21n ＋20＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·南通期末)在数列{a n }中，a 1＝6且a n －a n －1＝a n －1n＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则这个数列的通项公式a n ＝________.解析：法一：由题意得a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，a 4＝30，…由此猜想出a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．法二：由题意得a nn ＋1＝a n －1n ＋1，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，故a n n ＋1＝3＋1·(n －1)＝n＋2，故a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．答案：(n ＋1)(n ＋2) 2.创新题已知数列{a n }满足a n＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2a n 为偶数，a n －2n a n 为奇数.若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5；当a2为偶数时，a3＝12a2＝1，a2＝2；当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；当a1为偶数时，a2＝12a1＝5，a1＝10或a2＝12a1＝2，a1＝4.综上，a1的可能取值为4,7,10.答案：4,7,103．(2013·南通一模)在数列{a n}中，a1＝1，a2＝0，对任意正整数n，m(n>m)满足a2n－a2m＝a n－m a n＋m，则a119＝________.解析：法一：采用特殊值法求出a3，a4，a5，a6分别为－1,0,1,0，由不完全归纳法得出a n的周期为4，所以a119＝a29×4＋3＝－1.法二：令m＝2，得a2n－a22＝a n－2·a n＋2，即a2n＝a n－2·a n＋2，所以奇数项成等比数列，偶数项均为0.再令m＝1，得a2n－a21＝a n－1·a n＋1，当n为奇数时，a2n＝a21；当n为偶数时，a n－1·a n ＋1＝－1，故a1＝－a3＝a5＝－a7＝…，因此a n的周期为4，所以a119＝a29×4＋3＝－1.答案：－14．(2013·扬州期末)若数列{a n }满足a 1为大于1的常数，a n ＋1－1＝a n (a n －1)(n ∈N *)，且1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝2，则a 2 013－4a 1的最小值为________．解析：因为a 1>1，易知对所有的n ∈N *，a n >1，对a n ＋1－1＝a n (a n －1)两边取倒数得1a n ＋1－1＝1a n a n －1＝1a n －1－1a n ，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 012＝1a 1－1－1a 2 013－1＝2.整理得a 2 013＝2－a 13－2a 1(由a 2 013>1得1<a 1<32)，所以a 2013－4a 1＝2(3－2a 1)＋123－2a 1－112≥223－2a 1·f(123－2a 1)－112＝－72，当且仅当a 1＝54时取等号．故a 2 013－4a 1的最小值为－72. 答案：－72第二节等差数列及其前n 项和对应学生用书P691．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． [试一试]1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.解析：∵a 4＋a 8＝16， ∴a 6＝8，∴S 11＝11a 6＝88. 答案：882．(2013·重庆高考)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.答案：641．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}是等差数列．2．活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d，(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n.(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列.3．用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．[练一练]1．(2014·盐城摸底)已知等差数列{a n}满足a3＋a7＝10，则该数列的前9项和S9＝________.解析：由题知，S 9＝9a 1＋a 92＝9a 3＋a 72＝45.答案：452．(2014·南京、盐城一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＝9，则其前9项和S 9的值为________．解析：由题知a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝9，则a 5＝3，所以S 9＝9a 5＝27.答案：27 对应学生用书P70考点一等差数列的基本运算1.(2013·新课标卷Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.解析：根据已知条件，得到a m 和a m ＋1，再根据等差数列的定义得到公差d ，最后建立关于a 1和m 的方程组求解．由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋m －1d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m m －1d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5.答案：52．(2014·扬州调研)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝4，a 9＋a 10＝36，则S 10＝________.解析：法一：由于a 1＋a 2＋a 9＋a 10＝2(a 1＋a 10)＝40，故a 1＋a 10＝20，从而S 10＝10a 1＋a 102＝100.法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，2a 1＋17d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而S 10＝10a 1＋10×9d2＝100.答案：1003．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解：(1)由题意可设等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25化简得2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.②由①②可知a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，则8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2＝2m －3为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，解得m ＝1或2.经检验，符合题意的正整数m ＝2.[备课札记] [类题通法]1．等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．考点二等差数列的判断与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列． (2)求S n 和a n .[解] (1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，①∴S n (1＋2S n －1)＝S n －1.由上式知若S n －1≠0，则S n ≠0. ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)∵1S n ＝1S 1＋2(n －1)＝1a 1＋2(n －1)，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12nn －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[备课札记]若将条件改为“a 1＝2，S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)”，如何求解.解：(1)∵S n ＝n －12S n －1＋1，∴1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2.∴1S n －1S n －1＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是以12为首项，以2为公差的等差数列．(2)由(1)知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，即S n ＝12n －32. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －72；当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1，－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －72n ≥2.[类题通法]1．解答题判断等差数列，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[针对训练]在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．解：(1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)， ∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13. (2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n＋1[(2n＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n}是首项为a1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及最值[典例] (1)(2014·武昌联考)已知数列{n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{a n}的前n项和为S n，则使得S n达到最大时n＝________.(2)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.[解析] (1)a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{a n}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，S n＝－n2＋40n，因此当S n取得最大值时，n＝20.(2)设两等差数列组成的和数列为{c n}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.[答案] (1)20 (2)35[备课札记][类题通法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n}中，a m－a n＝(m－n)d⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法： ①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[针对训练]1．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝________.解析：由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．答案：5或62．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a5＋a7＝________.解析：因为a3＋a8＝10，所以3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.答案：20对应学生用书P71[课堂练通考点]1．(2013·南京、淮安二模)设数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和．若a21＋a22＝a23＋a24，S5＝5，则a7的值是________．解析：设数列{a n}的公差为d.由a21＋a22＝a23＋a24得a21＋(a1＋d)2＝(a1＋2d)2＋(a1＋3d)2，即8a1d＋12d2＝0.因为d≠0，所以a1＝－32d.又由S5＝5a3＝5得a3＝1，所以a1＋2d＝1，解得a1＝－3，d＝2，故－3＋(7－1)×2＝9.答案：92．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a11－a8＝3，S11－S8＝3，则使a n>0的最小正整数n的值是________．解析：∵a11－a8＝3d＝3，∴d＝1，∵S11－S8＝a11＋a10＋a9＝3a1＋27d＝3，∴a1＝－8，∴a n＝－8＋(n－1)>0，解得n>9，因此使a n>0的最小正整数n的值是10.答案：103．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：34．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．解析：设数列{a n }为该等差数列，依题意得a 1＋a n ＝124＋1564＝70.∵S n ＝210，S n ＝n a 1＋a n2，∴210＝70n2，∴n ＝6.答案：65．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)．(2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得：a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )． ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1. [课下提升考能] 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·泰州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 27＝12，则a 13＝________.解析：等差数列{a n }中，由a 3＋a 9＋a 27＝12得3a 13＝12，所以a 13＝4.答案：42．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为________．解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10.3．(2014·镇江月考)已知等差数列{a n}中，a4＋a6＝10，前5项和S5＝5，则其公差为________．解析：由a4＋a6＝10，得2a5＝10，所以a5＝5.由S5＝5a3＝5，得a3＝1，所以d＝a5－a32＝5－12＝2.答案：24．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为________．解析：在等差数列{a n}中，由S10>0，S11＝0得，S10＝10a1＋a102>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，S11＝11a1＋a112＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{a n}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥S n，其中n∈N*，所以k＝5或6.答案：{5,6}5．(2013·南通二模)设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.解析：由条件可知，a2＝5，从而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差为3，所以a11＋a12＋a13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.6．(2013·常州质检)设s ，t 为正整数，两条直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0与l 2：t2sx －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n ≥2)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则x n －y n ＝________(用s ，t ，n 表示)．解析：法一：点(x n ，y n )满足⎩⎪⎨⎪⎧tx ＋x n －1y ＝tx n －1，t2s x －y ＝0，得到x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1，所以x n －y n ＝2s －t x n －12s ＋x n －1.点(x 1，y 1)满足⎩⎪⎨⎪⎧t2s x ＋y －t ＝0，t2sx －y ＝0，解得x 1＝s ，y 1＝t2，所以x 2＝23s ，y 2＝t 3；x 3＝12s ，y 3＝14t ；x 4＝25s ，y 4＝15t ，…猜想：x n ＝2s n ＋1，y n ＝t n ＋1.所以x n －y n ＝2s n ＋1－t n ＋1＝2s －tn ＋1.法二：由法一知x 1＝s ，y 1＝t2，x n ＝2sx n －12s ＋x n －1，y n ＝tx n －12s ＋x n －1由2sx n ＋x n x n －1＝2sx n －1可化为2s x n －2s x n －1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2s x n 是以2sx 1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以2s x n ＝2＋(n －1)，得x n ＝2s n ＋1，将其代入y n 得y n ＝tn ＋1，故x n －y n ＝2s －t n ＋1.答案：2s －tn ＋17．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 7＝13，则S 6S 7＝________.解析：由S 3＝3a 2，S 7＝7a 4，S 3S 7＝13得9a 2＝7a 4＝7(a 2＋2d )，即a 2＝7d ，所以a 3＝8d ，a 4＝9d ，从而S 6＝3(a 3＋a 4)＝51d ，S 7＝7a 4＝63d ，故结果为1721.答案：17218．(2013·无锡期末)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1，n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k －8)＋(2k －6)<22，所以7.5<k <9，又k ∈N *，所以k ＝8.答案：89．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a3＝a27，a2＝a4＋a6.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求满足S n－2a n－20>0的所有正整数n的集合．解：(1)由a3＝a27得a1＋2d＝(a1＋6d)2. ①由a2＝a4＋a6得a1＋d＝2a1＋8d，即a1＝－7d. ②将②代入①得－5d＝d2.所以d＝－5或d＝0(不符合题意．舍去)．则a1＝35.所以a n＝35＋(n－1)(－5)＝－5n＋40.(2)S n＝35－5n＋40n2＝n75－5n2.不等式S n－2a n－20>0，即n75－5n2－2(－5n＋40)－20>0，整理得n2－19n＋40<0.所以19－2012<n<19＋2012.因为n∈N*，则19－142≤n≤19＋142，即52≤n≤332.所以所求n的集合为{3,4，…，16}．10．(2014·南京学情调研)已知数列{a n}的首项a1＝a，S n是数列{a n}的前n项和，且满足S2n＝3n2a n＋S2n－1，a n≠0，n≥2，n∈N*.(1)若数列{a n}是等差数列，求a的值；(2)确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a n}是递增数列．解：(1)在S2n＝3n2a n＋S2n－1中分别令n＝2，n＝3及a1＝a 得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2.因为a n≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a.因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3.经检验a＝3时，a n＝3n，S n＝3n n＋12，S n－1＝3n n－12满足S2n＝3n2a n＋S2n－1.所以a＝3.(2)由S2n＝3n2a n＋S2n－1得S2n－S2n－1＝3n2a n，即(S n＋S n－1)(S n－S n－1)＝3n2a n，故(S n＋S n－1)a n＝3n2a n.因为a n≠0，所以S n＋S n－1＝3n2(n≥2)，①所以S n＋1＋S n＝3(n＋1)2②②－①得a n＋1＋a n＝6n＋3(n≥2)．③所以a n＋2＋a n＋1＝6n＋9. ④④－③得a n ＋2－a n ＝6(n ≥2)，即数列a 2，a 4，a 6，…及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列．因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝13n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，要使数列{a n }是递增数列，须有a 1<a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n <a n ＋1，且当n 为偶数时，a n <a n ＋1，即⎩⎨⎧a <12－2a ，3n ＋2a －6<3n ＋1－2a ＋6n 为大于或等于3的奇数，3n －2a ＋6<3n ＋1＋2a －6n 为偶数，解得94<a <154.所以集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a |94<a <154，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·苏锡常镇、连云港、徐州六市调研(二))设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.解析：因为{a n }，{b n }是等差数列，故b 3＋b 18＝b 6＋b 15，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 3＋b 18＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.答案：41782．(2014·盐城二模)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．解析：由条件得公差d ＝21－54＝4，从而a 1＝1，所以a n ＝4n －3，数列{1a n }的前n 项和为S n ＝1＋15＋…＋14n －3.原不等式可化为14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1≤m15，记f (n )＝14n ＋1＋14n ＋5＋…＋18n ＋1.因为f (n ＋1)－f (n )＝18n ＋9－14n ＋1<0，故f (n )为单调递减数列，从而f (n )max ＝f (1)＝15＋19＝1445.由条件得m 15≥1445，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案：53．(2014·南通一模)已知数列{a n }中，a 2＝1，前n 项和为S n，且S n＝n a n－a12.(1)求a1；(2)求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；(3)设lg b n＝a n＋13n，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，请说明理由．解：(1)令n＝1，则a1＝S1＝1a1－a12＝0.(2)证明：由S n＝n a n－a12，即S n＝na n2，①得S n＋1＝n＋1a n＋12. ②②－①得(n－1)a n＋1＝na n，③于是na n＋2＝(n＋1)a n＋1. ④④－③得na n＋2＋na n＝2na n＋1，即a n＋2＋a n＝2a n＋1，又a1＝0，a2＝1，a2－a1＝1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝n－1.(3)假设存在正整数数组(p，q)使b1，b p，b q成等比数列，则lg b1，lg b p，lg b q成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q 3q .所以q ＝3q(2p 3p －13)．(*)易知(p ，q )＝(2,3)为方程(*)的一组解．当p ≥3，且p ∈N *时，2p ＋13p ＋1－2p 3p ＝2－4p3p ＋1<0，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列，于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程(*)无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列．4．(2013·南京、淮安二模)已知数列{a n }的各项都为正数，且对任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k (k 为常数)．(1)若k ＝(a 2－a 1)2，求证：a 1，a 2，a 3成等差数列；(2)若k ＝0，且a 2，a 4，a 5成等差数列，求a 2a 1的值；(3)已知a 1＝a ，a 2＝b (a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1对任意n ∈N *都成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：当k ＝(a 2－a 1)2时，在a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k 中，令n ＝1，得a 22＝a 1a 3＋(a 2－a 1)2，即a 1a 3－2a 1a 2＋a 21＝0.因为a1>0，所以a3－2a2＋a1＝0，即a2－a1＝a3－a2.故a1，a2，a3成等差数列．(2)当k＝0时，a2n＋1＝a n a n＋2，n∈N*.因为数列{a n}的各项都为正数，所以数列{a n}是等比数列．设公比为q(q>0)．因为a2，a4，a5成等差数列，所以a2＋a5＝2a4，即a1q＋a1q4＝2a1q3.因为a1>0，q>0，所以q3－2q2＋1＝0.解得q＝1或q＝1＋52(负根舍去)．所以a2a1＝q＝1或a2a1＝q＝1＋52.(3)存在常数λ＝a2＋b2－kab，使a n＋a n＋2＝λa n＋1.证明如下：因为a2n＋1＝a n a n＋2＋k，所以a2n＝a n－1a n＋1＋k，n≥2，n∈N*.所以a2n＋1－a2n＝a n a n＋2－a n－1a n＋1，即a n a n＋2＋a2n＝a2n＋1＋a n－1a n＋1.(*)由于a n>0，(*)式两边同除以a n a n＋1得a n＋a n＋2a n＋1＝a n－1＋a n＋1a n.所以a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －1＋a n ＋1a n ＝…＝a 1＋a 3a 2，即当n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝a 1＋a 3a 2a n ＋1.因为a 1＝a ，a 2＝b ，a 2n ＋1＝a n a n ＋2＋k ，所以a 3＝b 2－k a.所以a 1＋a 3a 2＝a ＋b 2－k a b ＝a 2＋b 2－kab.所以对任意n ∈N *，都有a n ＋a n ＋2＝λa n ＋1，此时λ＝a 2＋b 2－k ab.第三节等比数列及其前n 项和对应学生用书P711．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．[试一试]1．在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为________．解析：设5个正数的公比为q (q >0)，所以q 4＝91＝9，即q ＝3，则中间3个数的和为q ＋q 2＋q 3＝3＋3＋33＝3＋4 3.答案：3＋432．(2014·徐州摸底)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝18，a 1＋a 2＋a 3＝26，q >0得18q 2＋18q＝8，即4q 2－9q －9＝0.所以(4q ＋3)(q －3)＝0.因为q >0，所以q ＝3.答案：31．等比数列的三种判定方法(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．2．等比数列的常见性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n＝a p ·a q ＝a 2k ；(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列； (3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k；(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n，S2n－S n，S3n－S2n不一定构成等比数列．3．求解等比数列的基本量常用的思想方法(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和的公式中联系着五个量：a1，q，n，a n，S n，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝a11－q n1－q；在判断等比数列单调性时，也必须对a1与q分类讨论．[练一练]1．(2010·江苏高考)函数y＝x2(x>0)的图像在点(a k，a2k)处的切线与x轴交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．解析：切线斜率k＝2a k，切线方程为y－a2k＝2a k(x－a k)，即y＝2a k x－a2k，令y＝0，得x＝a k2＝a k＋1，所以{a n}是首项a1＝16，公比q＝12的等比数列，所以a n ＝(12)n －5，故a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：212．已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n a n ＋1，{na n }这四个数列中，是等比数列的有________个．答案：3 对应学生用书P72考点一等比数列的基本运算1.(2013·盐城三调)在等比数列{n }中，若2＝－2，a 6＝－32，则a 4＝________.解析：由a 6a 2＝q 4＝16，则q 2＝4，所以有a 4＝a 2q 2＝－8.答案：－82．(2014·扬州模拟)已知等比数列{a n }中，公比q >1，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝________.解析：因为{a n }为等比数列，故a 1a 4＝a 2a 3＝8，与a 1＋a 4＝9联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.又q >1，故a 1＝1，a 4＝8，从而q ＝2，故a 2 013＋a 2 014a 2 011＋a 2 012＝q 2＝4.答案：43．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 11－q n1－q，所以错误!由②式得1－q 4＝5(1－q 2)，即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q <1，所以q ＝－1，或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1.综上，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2×－1n －1，q ＝－1，12×－2n －1，q ＝－2.[备课札记] [类题通法]1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．。

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数学思想专项训练(一) 函数与方程思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B.3．(2015·天津六校联考)若等差数列{a n }满足a 21＋a 2100≤10，则S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199的最大值为( )A ．600B ．500C ．400D ．200解析：选B S ＝a 100＋a 101＋…＋a 199＝100a 100＋100×992d ＝100(a 1＋99d )＋100×992，即99d ＝S 150－231，因为a 21＋a 2100≤10，即a 21＋(a 1＋99d )2≤10，整理得a 21＋⎝⎛⎭⎫131＋S 1502≤10，即109a 21＋S 225a 1＋⎝⎛⎭⎫S 1502－10≤0有解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫S 2252－4×109⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫S 1502－10≥0，解得－500≤S ≤500，所以S max ＝500，故选B.4．已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，则使x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选D ∵x ∈[2,16]，∴f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2，则此函数在[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＞0，g (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋(x －2)2＞0，4(x －2)＋(x －2)2＞0，解得x ＜－2或x ＞2. 5．(2015·黄冈质检)已知点A 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且OA ·OP ＝48，则点P 的横坐标的最大值为( ) A ．18 B ．15 C ．10D.152解析：选C 当点P 的横坐标最大时，射线OA 的斜率k ＞0，设OA ：y ＝kx ，k ＞0，与椭圆x 225＋y 29＝1联立解得x A ＝159＋25k 2 .又OA ·OP ＝x A x P ＋k 2x A x P ＝48，解得x P ＝48(1＋k 2)x A ＝169＋25k 25(1＋k 2)＝1659＋25k 2(1＋k 2)2，令9＋25k 2＝t ＞9，即k 2＝t －925，则x P ＝165t ⎝⎛⎭⎫t ＋16252＝165×25tt 2＋162＋32t＝801t ＋162t＋32≤80×164＝10，当且仅当t ＝16，即k 2＝725时取等号，所以点P 的横坐标的最大值为10，故选C.6．(2015·杭州二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.故选D.二、填空题7．已知f (x )为定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有f [f (x )－2x]＝3，则f (3)＝________.解析：设f (x )－2x＝t ，则f (t )＝3，f (x )＝2x＋t ，所以2t＋t ＝3，易得方程2t＋t ＝3有唯一解t ＝1，所以f (x )＝2x ＋1，所以f (3)＝9. 答案：98．已知奇函数f (x )的定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.若x ∈[a ，b ]时，函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤1b ，1a ，则ab ＝________.解析：由题意知a ＜b ，且1a ＞1b ，则a ，b 同号，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，若0＜a ＜b ，则1a≤1，即a ≥1.因为f (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以⎩⎨⎧f (a )＝2a －a 2＝1a，f (b )＝2b －b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1＋52，所以ab ＝1＋52. 由f (x )是奇函数知，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ，同理可知，当a ＜b ＜0时，⎩⎨⎧f (a )＝2a ＋a 2＝1a ，f (b )＝2b ＋b 2＝1b，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝－1－52，所以ab ＝1＋52.综上，ab ＝1＋52. 答案：1＋529．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级的样本数据从小到大依次为0≤a ＜b ＜c ＜d ＜e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e 5＝7，(a －7)2＋(b －7)2＋(c －7)2＋(d －7)2＋(e －7)254.设a －7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，且⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )＞0，则判别式Δ＜0，即4t 2－4×4×(20－t 2)＜0，解得－4＜t ＜4，所以－3≤t ≤3，故e 的最大值为10.答案：1010．(2015·东城期末)若函数f (x )＝m －x ＋3的定义域为[a ，b ]，值域为[a ，b ]，则实数m 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝m －x ＋3在[a ，b ]上单调递减，因为函数f (x )的值域为[a ，b ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝b ，f (b )＝a ，即⎩⎨⎧m －a ＋3＝b ，m －b ＋3＝a ，两式相减得，a ＋3－b ＋3＝a －b ＝(a ＋3)－(b ＋3)＝(a ＋3)2－(b ＋3)2，所以a ＋3＋b ＋3＝1，因为a ＜b ，所以0≤a ＋3＜12，而m ＝b ＋3＋a ＝a －a ＋3＋1，所以m ＝(a ＋3)－a ＋3－2＝⎝⎛⎭⎫a ＋3－122－94，又0≤a ＋3＜12，所以－94＜m ≤－2. 答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 二、解答题11.如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F -ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD . ∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x . ∴FA ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)， S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·FA ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－(x 2－2)2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.12．设P 是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋(y －1)2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝⎛⎭⎫y －11－a 22－11－a2＋1＋a 2，因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1；若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |的最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |的最大值为2.数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)解析：选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量解析：选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924 B ．2 2 C.322D. 2解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x 消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪5－122＝924.5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)解析：选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x 恒成立．设h (x )＝2ln x ＋x＋3x ，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0.如果f ⎝⎛⎭⎫13＝34，4f ⎝⎛⎭⎫log 18＞3，那么x 的取值范围为________．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞3等价于f⎝⎛⎭⎫log 18x ＞34，即f ⎝⎛⎭⎫log 18x ＞f ⎝⎛⎭⎫13，所以⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2. 答案：⎝⎛⎭⎫12，28．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.解析：sin 2αcos 2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝ sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝1.答案：19．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m ＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m的取值范围为________．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．答案：[1,5) 三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：设F ′为双曲线的左焦点，则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|P A |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|P A ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.数学思想专项训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤－321B.⎝⎛⎦⎤－∞，－32 C.(]－∞，－1D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)，2(x ＞0)，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为( )A.{}－2B.{}2C.{}－2，2D.{}－2，1，2解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2(x ≤0)，2(x ＞0).当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x＝1(舍去)．当x ＞0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}．3.(2015·成都一诊)如图，函数y ＝f (x )的图象为折线ABC ，设g (x )＝f [f (x )]，则函数y ＝g (x )的图象为( )解析：选A 由题意可知函数f (x )为偶函数，由A (－1，－1)，B (0,1)，C (1，－1)可知，直线BC 的方程为y ＝－2x ＋1，直线AB 的方程为y ＝2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1(0≤x ≤1)，2x ＋1(－1≤x <0).讨论x ≥0的情况，若0≤x ≤12，解得0≤f (x )≤1，则g (x )＝f [f (x )]＝－2(－2x ＋1)＋1＝4x－1；若12＜x ≤1，解得－1≤f (x )＜0，则g (x )＝f [f (x )]＝2(－2x ＋1)＋1＝－4x ＋3，所以当x ∈[0,1]时，g (x )＝⎩⎨⎧4x －1⎝⎛⎭⎫0≤x ≤12，－4x ＋3⎝⎛⎭⎫12＜x ≤1，故选A.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋1)2，n 为奇数，－(n ＋1)2，n 为偶数，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100的值为( )A ．100B ．－100C ．102D ．101解析：选A 当n 为奇数时，a n ＝(n ＋1)2－(n ＋2)2＝－(2n ＋3)；当n 为偶数时，a n ＝－(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝2n ＋3，所以a n ＝(－1)n (2n ＋3)．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝－5＋7－9＋11－…－201＋203＝50×2＝100.5．有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在两行三列的格内(如图)．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为( )A ．36 48 C ．72D ．64解析：选C 分两种情况，①第一行放红色卡片，有A 33·A 33＝36种放法；②第一行放蓝色卡片，有A 33·A 33＝36种放法，所以符合题意的放法共有72种．6．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是( )A ．{4,5}B ．{3,4,5}C ．{3,4,6}D ．{3,4,5,6}解析：选D 如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位臵时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上单调递增，则1＋a cos x ≥0对任意实数x 都成立．∵－1≤cos x ≤1，①当a ＞0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0＜a ≤1； ②当a ＝0时，显然成立；③当a ＜0时，a ≤a cos x ≤－a ，∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案：[－1,1]8．已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____________．解析：因为a 2＝1，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1＋q ＋1q ＝1＋q ＋1q ，所以当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q ＝3；当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2(－q )·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1，所以S 3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞) 9．定义运算：a b ＝a2－b，若关于x 的不等式x (x ＋1－m )＞0的解集是[－3,3]的子集，则实数m 的取值范围是________．解析：由x (x ＋1－m )＞0知，x2－(x ＋1－m )＞0，即x (x －m －1)＜0.分类讨论得，当原不等式的解集为空集时，m ＋1＝0，即m ＝－1；当m ＋1＞0，即m ＞－1时，原不等式的解集(0，m ＋1)⊆[－3,3]，则m ＋1≤3，解得m ≤2，所以m ∈(－1,2]；当m ＋1＜0，即m ＜－1时，原不等式的解集(m ＋1,0)⊆[－3,3]，则m ＋1≥－3，解得m ≥－4，所以m ∈[－4，－1)．综上所述，实数m 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]10．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ，x ∈[0,1]，关于x 的不等式|f (x )|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a 的取值范围是________．解析：由题意知函数f (x )的对称轴为x ＝a2.①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )的取值范围为[0,4－4a ]，当4－4a ≤1，即a ≥34时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；②当a 2≥1，即a ≥2时，函数f (x )的取值范围为[4－4a,0]，当4－4a ≥－1，即a ≤54时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，a 不存在；③当0＜a 2≤12，即0＜a ≤1时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,4－4a ]，当－a 2≥－1,4－4a ≤1，即34≤a ≤1时，不等式|f (x )|＞1的解集为空集，所以34≤a ≤1； ④当12＜a2＜1，即1＜a ＜2时，函数f (x )的取值范围为[－a 2,0]，当－a 2≥－1，即－1≤a ≤1时，不等式|f (x )|>1的解集为空集，a 不存在．综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，1. 答案：⎣⎡⎦⎤34，1 三、解答题11．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |的值．解：由已知可得(2a 2＋2)2＝5a 1a 3，即4(a 1＋d ＋1)2＝5a 1(a 1＋2d )⇒(11＋d )2＝25(5＋d )⇒121＋22d ＋d 2＝125＋25d ⇒d 2－3d －4＝0⇒d ＝4(舍去)或d ＝－1，所以a n ＝11－n ，当1≤n ≤11时，a n ≥0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n (10＋11－n )2＝n (21－n )2；当n ≥12时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＝2×11(21－11)2－n (21－n )2＝n 2－21n ＋2202.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧n (21－n )2，1≤n ≤11，n 2－21n ＋2202，n ≥12.12．(2015·唐山统一考试)已知函数f (x )＝exx e x ＋1.(1)证明：0＜f (x )≤1；(2)当x ＞0时，f (x )＞1ax 2＋1，求a 的取值范围．解：(1)证明：设g (x )＝x e x＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x. 当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1＞0. 又e x＞0，故f (x )＞0. f ′(x )＝e x (1－e x )(x e x ＋1)2.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )≤f (0)＝1. 综上，有0＜f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )＜1＝1ax 2＋1，不等式不成立．②若a ＜0，则当0＜x ＜1－a时，1ax 2＋1＞1，不等式不成立． ③若a ＞0，则f (x )＞1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x －1＞0.(*)设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x.若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )＜h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a ＞0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，且f (x ＋1)为奇函数，当x ＞1时，f (x )＝2x 2－12x ＋16，则直线y ＝2与函数f (x )的图象的所有交点的横坐标之和为( )A ．5B ．4C ．2D ．1解析：选A 由于f (x ＋1)为奇函数，其图象向右平移1个单位长度后得到f (x)的图象，因此函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，如图所示，由对称性可得x 2＋x 3＝6，易知x 1＝－1，故x 1＋x 2＋x 3＝5.故选A.2．(2015·揭阳一模)设点P 是函数y ＝－4－(x －1)2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A.855－2 B. 5C.5－2D.755－2 解析：选C 如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1,0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.3．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.22解析：选C 因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB ＝b －c ，即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ，所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2.4．已知y ＝f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋2x ，则满足f (f (a ))＝12的实数a 的个数为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 解析：选A 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，其图象如图所示，令t ＝f (a )，则t ≤1，令f (t )＝12，解得t ＝1－22或t ＝－1±22，即f (a )＝1－22或f (a )＝－1±22，由数形结合得，共有8个交点．故选A.5．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有两个公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2，1] C ．(－2，－1]D ．(－2，－1)解析：选C 作出曲线x ＝1－y 2的图形，如图所示，由图形可得，当直线y ＝x ＋b 在直线a 和c 之间变化时，满足题意，同时，当直线在a 的位臵时也满足题意，所以b 的取值范围是(－2，－1]．6．(2015·温州十校联考)已知点A ∈平面α，点B ，C 在α的同侧，AB ＝5，AC ＝22，AB 与α所成角的正弦值为0.8，AC 与α所成角的大小为45°，则BC 的取值范围是( )A ．[5，29 ]B ．[37，61 ]C ．[5，61 ]D ．[5，29 ]∪[37，61 ]解析：选A 作BB1⊥α于点B 1，CC 1⊥α于点C 1，当点A ，B 1，C 1不在一条直线上时，如图所示，在Rt △ABB 1中，∵AB ＝5，sin ∠BAB 1＝0.8，∴BB 1＝4，AB 1＝3，在Rt △ACC 1中，∵AC ＝22，∠CAC 1＝45°，∴AC 1＝CC 1＝2，过点C 作CD ⊥BB 1于点D ，则CD ＝B 1C 1.在△AB 1C 1中，∵AB 1＝3，AC 1＝2，∴B 1C 1∈(1,5)，∴CD ∈(1,5)，则BC ＝BD 2＋CD 2∈(5，29)．当B 1在AC 1的延长线上时，B 1C 1＝1，BC ＝5；当B 1在C 1A 的延长线上时，B 1C 1＝5，BC ＝29，∴BC ∈[5，29 ]．二、填空题7．已知函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1.设函数g (x )＝f (t －x )－f (x )的零点为x 0，且x 0∈[1,2]，则非零实数t 的取值范围是________．解析：由题意知只需函数y ＝f (x )与函数y ＝f (t －x )的图象的交点的横坐标x 0∈[1,2]即可，由于函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋1，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，而函数y ＝f (t －x )的图象可由函数y ＝f (x )的图象平移得到，数形结合得2≤t ≤4.答案：[2,4]8．(2015·合肥二模)设|AB |＝2，|AC |＝3，∠BAC ＝60°，CD ＝2BC ，AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，则AE 在AC 上的投影的取值范围是________．解析：由AE ＝x AD ＋(1－x )AB ，x ∈[0,1]，可知B ，D ，E 三点共线，且E 点在线段BD 上，如图所示．因为E 点在线段BD 上，所以AE 在AC 上的投影d 的取值范围|AF |≤d ≤|AG |，而|AF |＝|AB |·cos60°＝2×12＝1，|CG |＝2|CF ―→|＝2·(3－1)＝4，|AG |＝|CG |＋|AC |＝4＋3＝7，所以d ∈[1,7]．答案：[1,7]9．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．解析：设切点为A ，如图所示，切线AP ，PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OP A 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝ca ＝22. 答案：2210．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )＝x 2－2x 的图象如图所示，因为f (x )的值域为[－1,3]，所以①a ＝－1，b ∈[1,3]，此时b －a ∈[2,4]；②b ＝3，a ∈[－1,1]，此时b －a ∈[2,4]．综上所述，b －a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4] 三、解答题 11．求y ＝1＋sin x3＋cos x的值域．解：1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x－3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为⎣⎡0，34. 12．某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频率，并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.(3)将[80,90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90,100]之间的2个分数编号为b1，b2，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是710＝0.7.多题一法专项训练(一)配方法一、选择题1．在正项等比数列{a n }中，a 1·a 5＋2a 3·a 5＋a 3·a 7＝25，则a 3＋a 5为( ) A ．5 B ．25 C ．15D ．10解析：选A ∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25，∴a 23＋2a 3·a 5＋a 25＝25.即(a 3＋a 5)2＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.2.已知菱形ABCD 的边长为233，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成如图所示的四面体，点M 为AC 的中点，∠BMD ＝60°，P 在线段DM 上，记DP ＝x ，PA ＋PB ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知AM ＝12AB ＝33BM ＝MD ＝1，∵DP ＝x ，∴MP ＝1－x ，在Rt △AMP 中，PA ＝AM 2＋MP 2＝ 13＋(1－x )2，在△BMP 中，由余弦定理得PB ＝BM 2＋MP 2－2BM ·MP cos 60°＝1＋(1－x )2－(1－x )＝x 2－x ＋1，∴y ＝P A ＋PB ＝13＋(x －1)2＋x 2－x ＋1＝13＋(x －1)2＋34＋⎝⎛⎭⎫x －122(0≤x ≤1)，∵当0≤x ≤12时，函数y 单调递减，当x ≥1时，函数y 单调递增，∴对应的图象为D.3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－1,0]时，f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－180 B.⎣⎡⎦⎤－14，0 C.⎣⎡⎦⎤－18，－14 D.⎣⎡⎦⎤0，14解析：选A 若x ∈(－1,0]，则x ＋1∈(0,1]，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－(x ＋1)＝x 2＋x .又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12(x 2＋x )＝12⎝⎛⎭⎫x ＋122－18，所以当x ＝－12时，f (x )min ＝－18；当x ＝0时，f (x )max ＝0.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，若对任意给定的y ∈(2，＋∞)，都存在唯一的x 0∈R ，满足f (f (x 0))＝2a 2y 2＋ay ，则正实数a 的最小值是( )A.14B.12C ．2D ．4解析：选A 当x ≤0时，f (x )＝2x，值域为(0,1]，所以f (f (x ))＝log 22x＝x ；当0＜x ≤1时，f (x )＝log 2x ，值域为(－∞，0]，所以f (f (x ))＝2log 2x ＝x ；当x ＞1时，f (x )＝log 2x ，值域为(0，＋∞)，所以f (f (x ))＝log 2 (log 2x )，故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤1，log 2(log 2x )，x ＞1，当x ≤1时，f (f (x ))的值域为(－∞，1]；当x ＞1时，f (f (x ))的值域为R ，因为a ＞0，令g (y )＝2a 2y 2＋ay ＝2a 2⎝⎛⎭⎫y ＋14a 2－18，对称轴y ＝－14a ＜0＜2，所以g (y )在(2，＋∞)上是增函数，则g (y )在(2，＋∞)上的值域为(g (2)，＋∞)，即(8a 2＋2a ，＋∞)，则8a 2＋2a ≥1，解得a ≥14，所以正实数a 的最小值是14.故选A.5．数列{a n }中，如果存在a k ，使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2，k ∈N *)，则称a k 为数列{a n }的峰值．若a n ＝－3n 2＋15n －18，则{a n }的峰值为( )A ．0B ．4 C.133D.163解析：选A 因为a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，且n ∈N *，所以当n ＝2或n ＝3时，a n 取最大值，最大值为a 2＝a 3＝0.故选A.6．已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0解析：选C ∵sin 4α＋cos 4α＝1， ∴(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1. ∴sin αcos α＝0.又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1， ∴sin α＋cos α＝±1. 二、填空题7．(2015·合肥一模)若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，故t ＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是________________．解析：由于对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，则f (x )的对称轴为x ＝1，所以a ＝2，f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1＝－(x －1)2＋b 2－b ＋2，则f (x )在区间[－1,1]上单调递增，当x ∈[－1,1]时，要使f (x )＞0恒成立，只需f (－1)＞0，即b 2－b －2＞0，则b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．在等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用T n 表示它的前n 项之积，即T n ＝a 1·a 2·…·a n ，则T 1，T 2，…，T n 中最大的是________．解析：由题意知a n ＝a 1qn －1＝29·⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·210－n ，所以T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝(－1)0＋1＋2＋…＋(n －1)·29＋8＋…＋(10－n )＝(－1)n (n －1)2·2(19－n )n 2，因为(19－n )n 2＝－12(n 2－19n )＝－12⎝⎛⎭⎫n －1922＋1928，n ∈N *，所以当n ＝9或10时，(19－n )n 2取得最大值，要使T n 最大，则需(－1)n (n －1)2＞0，所以n ＝9时，T n 最大．答案：T 910．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P 点坐标为(x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)． AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP ·BP 有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)．答案：(3,0) 三、解答题11.过点P (－2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线x2＝4y 交于A ，B 两点，若直线AB 与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1交于不同两点M ，N ，求|MN |的最大值．解：设直线PA 的斜率为k ，A (x A ，y A )，则直线PA 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y －1＝k (x ＋2)得x 2－4kx －8k －4＝0，所以x A －2＝4k ，则x A ＝4k ＋2，所以点A (4k ＋2，(2k ＋1)2)，同理可得B (－4k ＋2，(－2k ＋1)2)，所以直线AB的斜率k AB ＝(2k ＋1)2－(－2k ＋1)24k ＋2－(－4k ＋2)＝1，设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －1)2＝1，y ＝x ＋b 得2x 2＋2(b －1)x ＋b 2－2b ＝0，由于AB 与圆C 交于不同的两点，所以Δ＞0，即1－2＜b ＜2＋1.则|MN |＝2·(b －1)2－2(b 2－2b )＝2·－b 2＋2b ＋1＝2·－(b －1)2＋2≤2，故|MN |的最大值是2.12．(2015·湖北三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sin B,1－cos B )与向量n ＝(2,0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．解：(1)∵m ＝(sin B,1－cos B )，n ＝(2,0)， ∴m·n ＝2sin B ，又|m |＝sin 2B ＋(1－cos B )2＝2－2cos B ＝2⎪⎪⎪⎪sin B 2，∵0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2∴sin B 2＞0，∴|m |＝2sin B 2.而|n |＝2，∴cos θ＝m·n |m||n|＝2sin B 4sinB 2＝cos B 2＝12，∴B 2＝π3，∴B ＝2π3. (2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号，∴(a ＋c )2≤4，a ＋c ≤2，又a ＋c ＞b ＝3， ∴a ＋c ∈(3，2]．多题一法专项训练(二) 换元法一、选择题1．若f (ln x )＝3x ＋4，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝3ln x B ．f (x )＝3ln x ＋4 C ．f (x )＝3e xD ．f (x )＝3e x ＋4解析：选D 令ln x ＝t ，则x ＝e t，故f (t )＝3e t＋4，得f (x )＝3e x ＋4，故选D.2．函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值为( ) A.12＋ 2 B.2－12C ．2 2D.22解析：选A 令t ＝sin x ＋cos x ，t ∈[－2，2]，则y ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，t ＝2时，y max ＝12＋ 2.3．已知函数f (x )＝4x －2x t ＋t ＋1在区间(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则实数t 的取值范围是( )A ．(2＋22，＋∞)B ．(－∞，2＋22)C ．(0,2＋22)D ．(2＋22，8)解析：选B 令m ＝2x (m >1)，则问题转化为函数f (m )＝m 2－mt ＋t ＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝t 2－4(t ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，t2<1，1－t ＋t ＋1>0，解得t <2＋2 2.即实数t 的取值范围是(－∞，2＋22)．4．函数y ＝3x ＋2－42－x 的最小值为( ) A ．－8 B ．8 C ．－10 D ．10解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2－x ≥0，解得－2≤x ≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为(x ＋2)2＋(2－x )2＝4，故可设⎩⎨⎧x ＋2＝2sin θ，2－x ＝2cos θ，⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 则y ＝3×2sinθ－4×2cosθ＝6sinθ－8cosθ＝10sin(θ－φ)⎝⎛⎭⎫其中φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos φ＝35，sin φ＝45. 因为θ∈0，π2，所以θ－φ∈⎣⎡⎦⎤－φ，π2－φ. 所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×⎝⎛⎭⎫－45＝－8.5．(2015·天津六校联考)对于函数f (x )＝4x －m ·2x ＋1，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选B 若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，即4－x 0－m ·2－x 0＋1＝－4x 0＋m ·2x 0＋1，所以14x 0＋4x 0＝2m ⎝⎛⎭⎫12x 0＋2x 0，令t ＝2x 0(t ＞0)，则1t 2＋t 2＝2m ⎝⎛⎭⎫1t ＋t ，令λ＝1t ＋t (λ≥2)，所以2m ＝λ－2λ，令g (λ)＝λ－2λ(λ≥2)，易知g (λ)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以2m ≥2－22＝1，故m ≥12.故选B.6．已知向量a ＝(λ＋2，λ2－cos 2α)，b ＝⎝⎛⎭⎫m ，m2＋sin α，其中λ，m ，α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是( )A ．[－6,1]B ．[4,8]C ．(－6,1]D ．[－1,6]解析：选A 由题知，2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，所以λ＋2＝2m ，且λ2－cos 2α＝m ＋2sin α，于是2λ2－2cos 2α＝λ＋2＋4sin α，即2λ2－λ＝－2sin 2α＋4sin α＋4＝－2(sin α－1)2＋6，故－2≤2λ2－λ≤6，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ2－λ≤6，2λ2－λ≥－2，解得－32≤λ≤2，则λm ＝λλ2＋1＝2－4λ＋2[－6,1]．选A. 二、填空题7．已知不等式x >ax ＋32的解集是(4，b )，则a ＝________，b ＝________.解析：令x ＝t ，则t >at 2＋32，即at 2－t ＋32其解集为(2，b )，故⎩⎨⎧2＋b ＝1a，2·b ＝32a.解得a ＝18b ＝36.答案：18368．(2015·苏锡常镇二调)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x2a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 2a ≥1＋x2－1＋x (*)，令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)即(t 2－1)2a≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝(t －1)22对t ≥1恒成立，所以(t ＋1)2a ≥12对t ≥1恒成立，又a 为正的常数，所以a ≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.答案：89．若实数a ，b ，c 满足2a＋2b＝2a ＋b,2a＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：由基本不等式得，2a ＋2b ≥22a ·2b ＝2×2a ＋b 2，即2a ＋b ≥2×2a ＋b2，所以2a ＋b ≥4.令t ＝2a ＋b ，由2a ＋2b ＝2a ＋b ，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c 可得，2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b 2c ，所以2c ＝tt －1＝1＋1t －1，由t ≥4得，1＜t t －1≤43，即1＜2c≤43，所以0＜c ≤log 243＝2－log 23，所以c 的最大值是2－log 23.答案：2－log 2310.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 为圆O的直径，上底CD 的端点在圆周上，若双曲线以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为________．解析：连接OD ，DB ，作DH ⊥AB ，设∠AOD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则CD ＝4cos θ，在△AOD中，由余弦定理可得AD ＝8－8cos θ，所以梯形的周长为l ＝28－8cos θ＋4cos θ＋4＝42·1－cos θ＋4cos θ＋4，令1－cos θ＝t ∈(0,1)，则cos θ＝1－t 2，l ＝42t ＋4(1－t 2)＋4＝4(－t 2＋2t ＋2)，当t ＝22，即cos θ＝12时周长取得最大值，此时AD ＝2，DB ＝23，所以实轴长为DB －DA ＝23－2.答案：23－2 三、解答题11．已知函数y ＝－sin 2x ＋a sin x －a 4＋12的最大值为2，求a 的值．解：令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，所以y ＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋14a 2－a ＋2)，对称轴为t ＝a2.(1)当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，y max ＝14(a 2－a ＋2)＝2，得a ＝－2或a ＝3(舍去)．(2)当a 2>1，即a >2时，函数y ＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋14(a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以由y max ＝－1＋a －14a ＋12＝2，得a ＝103.(3)当a 2<－1，即a <－2时，函数y ＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋14a 2－a ＋2)在[－1,1]上单调递减，所以由y max ＝－1－a －14a ＋12＝2，得a ＝－2(舍去)．综上，可得a ＝－2或a ＝103.12．(2015·济南期末)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是R 上的奇函数．(1)求m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a .若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )是R 上的奇函数可知，f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点．即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根．令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1＞0，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2＞0，解得a ≥2.所以实数a 的取值范围为[2，＋∞)．多题一法专项训练(三) 待定系数法一、选择题1．(2014·山东高考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为 π6，则实数m ＝( )A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意.2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3解析：选B 设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.故选B.3．如果函数f (x )＝log a x (a ＞1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：选A ∵a ＞1， ∴函数f (x )在[a,2a ]上单调递增． ∴log a 2a ＝3log a a . ∴a 3＝2a . ∴a ＝ 2.4．(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：选B 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，圆心C (－1,1)，半径r 满足r 2＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离 d ＝21＋1＝2，所以r 2＝4＋2＝2－a ⇒a ＝－4.5.(2015·大同调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，φ∈R )的部分图象如图所示，则f (0)＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．－12解析：选B 由题图可知，A ＝2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，所以2π3＋φ＝π22k π(k ∈Z )，φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，所以f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1.6．(2014·北京高考)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：选B 由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75分钟时，可食用率p 最大．故选B.二、填空题7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，则椭圆的标准方程为________．。

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