1.1.1锐角三角函数(第1课时)
1.1.1锐角三角函数的定义
锐角三角函数的定义（2015•余姚市模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．（2015•蓬溪县校级模拟）在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）A．都扩大两倍B．都缩小两倍C．不变D．都扩大四倍【考点】锐角三角函数的定义．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．【解答】解：∵各边的长度都扩大两倍，∴扩大后的三角形与Rt△ABC相似，∴锐角A的各三角函数值都不变．故选C．【点评】本题考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关，与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键．（2013•遵义模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC•tanB=（）A．2B．3C．4D．5【考点】锐角三角函数的定义；三角形的外接圆与外心．【专题】压轴题．【分析】由DE=2，OE=3可知AO=OD=OE+ED=5，可得AE=8，连接BD、CD，可证∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段的比．【解答】解：连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，∴=，=，由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90°，∵DE=2，OE=3，∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC======4．故选C．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．（2011•黔东南州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=6，AC=8，则tan∠ACD的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，再根据等边对等角的性质可得∠A=∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD 的值．【解答】解：∵CD是AB边上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴tan∠A===，∴tan∠ACD的值．故选D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A=∠ACD是解本题的关键．（2011•昆明）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；线段垂直平分线的性质；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，运用勾股定理可求出AD、CD的值，即可解答出；【解答】解：设AD=x，则CD=x﹣3，在直角△ACD中，（x﹣3）2+=x2，解得，x=4，∴CD=4﹣3=1，∴sin∠CAD==；故选A．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质定理及勾股定理的运用，求一个角的正弦值，可将其转化到直角三角形中解答．（2011•南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，+S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC④BM=DM．正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】锐角三角函数的定义；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；梯形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】①根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，==；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=，再由等量代换求得tan∠AEC=；②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a2+b2≥2ab（a=b时取等号）解答；③、④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∴AB=BC，CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°；∵△ABC∽△CDE∴==①∴tan∠AEC=，∴tan∠AEC=；故本选项正确；②∵S△ABC=a2，S△CDE=b2，S梯形ABDE=（a+b）2，=S梯形ABDE﹣S△ABC﹣S△CDE=ab，∴S△ACES△ABC+S△CDE=（a2+b2）≥ab（a=b时取等号），+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；∴S△ABC④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=（AB+ED）=（BC+CD），∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故本选项正确．故选D．【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2011•南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC•BC的值为（）A．14B．16C．4D．16【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】解法一：利用二倍角公式sin2α=2sinαcosα、锐角三角函数的定义解答．解法二：作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，求出AD=CD=BD=2，求出CE、DE、BE，根据勾股定理求出BC、AC，代入求出即可．【解答】解：解法一：∵sin30°=2sin15°cos15°=，∠A=15°，∴2××=；又∵AB=8，∴AC•BC=16．解法二：作△ABC的中线CD，过C作CE⊥AB于E，∵∠ACB=90°，∴AD=DC=DB=AB=4，∴∠A=∠ACD=15°，∴∠CDB=∠A+∠ACD=30°，∴CE=CD=2，=AC•BC=AB•CE，即AC•BC=×8×2，∴S△ABC∴AC•BC=16故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．解答该题的关键是熟记二倍角公式．（2011•兰州模拟）根据图中的信息，经过估算，下列数值与正方形网格中∠ɑ的正切值最接近的是（）A．0.6246B．0.8121C．1.2252D．2.1809【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题；压轴题；网格型．【分析】正切函数就是直角三角形中，角所对的直角边与邻边的比值，根据定义即可确定正切值的范围，即可确定．【解答】解：设正方形网格的边长是1，则AC=4，4＜AB＜5∵tanα=∵AC=4，4＜AB＜5∴1＜tanα＜1.25∴最接近的是1.2252．故选C．【点评】本题主要考查了正切函数的定义，根据定义确定正切函数的范围是解题的关键．（2011•历城区一模）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠A的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】连接CD，即可证明△ACD是直角三角形，利用正切函数的定义即可求解．【解答】解：连接CD，则CD2=2，AC2=4+16=20，AD2=9+9=18∴AC2=CD2+AD2，AD==3，CD=∴∠ADC=90°∴tan∠A===．故选C．【点评】本题主要考查了正切函数的定义，正确证明△ACD是直角三角形是解决本题的关键．（2010•常德）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则sinA的值是（）A．B．2C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据正弦的定义sinA=解答．【解答】解：根据题意，AB==BC，sinA===．故选C．【点评】本题主要考查角的正弦的定义，需要熟练掌握．（2010•西藏）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据余弦的定义可得答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=，BC=，∴AB==，∴cosB===，故选：D．【点评】此题主要考查了三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（2009•漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】根据三角函数的定义就可以解决．【解答】解：在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边，∴tanα=．故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．（2008•威海）在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据三角函数定义，已知tanA=，就是已知BC与AC的比值，设BC=x，则AC=3x．根据勾股定理就可以求出AB，再根据三角函数定义就可以求出三角函数值．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA=，∴设BC=x，则AC=3x．故AB=x．sinB===．故选D．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2008•湘潭）已知△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．【专题】压轴题．【分析】先根据直角三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，即42+32=52，∴△ABC是直角三角形，∠C=90°．sinA==．故选A．【点评】本题考查了直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，属较简单题目．（2007•昌平区二模）如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB=a，∠A1CB1=a1，…，∠A5CB5=a5．则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5的值为（）A．B．C．1D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据锐角三角函数的定义，分别在Rt△ACB，Rt△A1CB1，…，Rt△A5CB5中求tana，tana1，tana2，…，tana5的值，代值计算．【解答】解：根据锐角三角函数的定义，得tana==1，tana1==，tana2==…，tana5==，则tana•tana1+tana1•tana2+…+tana4•tana5=1×+×+×+×+×=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=．故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义．关键是找出每个锐角相应直角三角形，根据正切的定义求值．（2006•南通）如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP=2cm，则tan∠OPA等于（）A．B．C．2D．【考点】锐角三角函数的定义；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】作OC⊥AB，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．【解答】解：作OC⊥AB于C点．根据垂径定理，AC=BC=4．在Rt△OCP中，有CP=4+2=6，OC==3．故tan∠OPA==．故选D．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．（2006•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则cosA等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的概念求出∠A的余弦值即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，∴AC==13，cosA==．故选D．【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念与勾股定理，比较简单．（2005•绍兴）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin ∠ABD的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；垂径定理；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴弧AC=弧AD，∴∠ABD=∠ABC．根据勾股定理求得AB=10，∴sin∠ABD=sin∠ABC==．故选D．【点评】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．（2005•三明）根据图中信息，经过估算，下列数值与tanα的值最接近的是（）A．0.3640B．0.8970C．0.4590D．2.1785【考点】锐角三角函数的定义；估算无理数的大小．【专题】压轴题．【分析】α的正切值等于这个角的对边与邻边之比．【解答】解：tanα=3÷7≈0.43，∴0.4＜tanα＜0.5．故选C．【点评】注意熟悉锐角三角函数的定义，结合图形分析tanα的取值范围．（2005•泰安）直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4．（1）将△ABC如图1那样折叠，使点C落在AB上，折痕为BD；（2）将△ABD如图2那样折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．则tan∠DEA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，就是已知tan∠ABC=，根据轴对称的性质，可得∠DEA=∠A，就可以求出tan∠DEA的值．【解答】解：根据题意：直角三角形纸片的两直角边AC与BC之比为3：4，即tan∠ABC==；根据轴对称的性质，∠CBD=a，则由折叠可知∠CBD=∠EBD=∠EDB=a，∠ABC=2a，由外角定理可知∠AED=2a=∠ABC，∴tan∠DEA=tan∠ABC=．故选A．【点评】已知折叠问题就是已知图形的全等，并且三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．（2001•河南）如图，锐角ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB、AC于D、E两点，：S四边形BCED=1：2，则cos∠BAC的值是（）且S△ADEA．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】要求∠BAC的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接CD，通过AD和AC的比例关系来求∠BAC的余弦值．AD，AC的比例关系可通过△ADE ∽△ACB三来求解，这样就不难求得其余弦值了．【解答】解：连接CD．∵∠ADE=∠ACB，∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB．：S四边形BCED=1：2，∵S△ADE：S△ACB=1：3，∴S△ADE∴AD：AC=：3，∴cos∠BAC=：3．故选D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理，根据三角形相似，用面积比求出相关的线段比是解题的关键．（2001•温州）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则tanA的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】直接利用锐角三角函数的定义tanA=．【解答】解：．故选A．【点评】此题很简单，关键是记住定义．（2000•嘉兴）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是，则的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】利用直角三角形的性质及三角函数的定义可得sin∠B=sin∠ACD，即可求出的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，因而∠B=∠ACD，∴sin∠B=sin∠ACD==．故选D．【点评】利用等角转换是此题的关键．（1998•台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）A．B．1C．D．【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC 的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AB=BD，∴E是CD中点，∴AC=2BE，∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE=90°．∴BE∥AC．∵AB=BD，∴AC=2BE．又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，∴tanA===，故选A．【点评】此题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．（1997•海南）对于以下的运算结果：①a3+a2=a5；②a3÷a3=a0（a≠0）；③﹣m2﹣m2=﹣2m2；④sinα+sinβ=sin（α+β）．正确的是（）A．①、②B．①、③C．②、④D．②、③【考点】锐角三角函数的定义；合并同类项；同底数幂的除法．【专题】压轴题．【分析】根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则以及锐角三角函数的定义逐项分析即可．【解答】解：①a3与a2不是同类项不能合并，故该选项错误；②a3÷a3=a0=1计算是正确的，故该选项正确；③﹣m2﹣m2=（﹣1﹣1）m2=﹣2m2计算是正确的，故该选项正确；④sinα+sinβ=≠sin（α+β），计算是错误的，故该选项错误；所以计算正确的是②③，故选D．【点评】本题考查了合并同类项的法则、同底数幂的除法法则以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握各种运算法则．（2013•宝应县校级一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则cosA=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】作出图形，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，AB=10，AC=8，∴cosA===．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．（2010•凉山州）如图，∠1的正切值等于．【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．【解答】解：根据圆周角的性质可得：∠1=∠2．∵tan∠2=，∴∠1的正切值等于．故答案为：．【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．（2012•浠水县校级模拟）已知△ABC中，AB=AC，CH是AB边上的高，且CH=AB，则tanB=或3．【考点】锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】作高AD，根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，设AB=5x，则CH=AB=3x，根据三角形面积公式有AD•BC=CH•AB，即2BD•AD=15x2，根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2=25x2，然后进行等式变形有（BD+AD）2﹣2BD•AD=25x2，即（BD+AD）2﹣15x2=25x2，（BD﹣AD）2+2BD•AD=25x2，即（BD﹣AD）2+15x2=25x2，易得BD+AD=2x，BD﹣AD=x或AD﹣BD=x，可求出BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，然后在Rt△ABD中根据正切的定义得到tanB=，再把DB与AD的值代入计算即可．【解答】解：如图，作高AD，∵AB=AC，∴BC=2BD，设AB=5x，则CH=AB=3x，∵AD•BC=CH•AB，∴2BD•AD=15x2，∵BD2+AD2=AB2=25x2，∴（BD+AD）2﹣2BD•AD=25x2，即（BD+AD）2﹣15x2=25x2，∴BD+AD=2x，∴（BD﹣AD）2+2BD•AD=25x2，即（BD﹣AD）2+15x2=25x2，∴BD﹣AD=x或AD﹣BD=x，∴BD=x，AD=x或AD=x，BD=x，在Rt△ABD中，tanB=，∴tanB==或tanB==3．故答案为：或3．【点评】本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及代数式的变形能力．（2007•安顺）如图，已知正方形ABCD的边长为2．如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠BAD′等于．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据勾股定理求出BD的长，即BD′的长，根据三角函数的定义就可以求解．【解答】解：BD是边长为2的正方形的对角线，由勾股定理得，BD=BD′=2．∴tan∠BAD′===．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，注意本题中BD′=BD．（1999•杭州）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB===5．∴sinA==．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．（1997•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，可代入数计算出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴sinA==，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．（2012•铜仁地区）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；（2）由于tanA=，所以可设BC=3，AC=4，则AB=5，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB，∴AC===AB，∴ctan30°==．故答案为：；（2）∵tanA=，∴设BC=3，AC=4，∴ctanA==．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．（2012•昌平区模拟）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A 的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是垂直；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：CM=m•tan；α的取值范围是0°＜α＜90°．【考点】锐角三角函数的定义；正方形的性质；旋转的性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC=MD，OC=OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM=∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．【解答】解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，又∵OC=OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM=∠DOM，∴∠COM=，在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质，注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，有助于提高解题速度和准确率．（2009•南充）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）求tan∠BOA的值；（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C，求点C的坐标；（3）将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B'的坐标为（2，﹣2），在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′、A′的坐标．【考点】锐角三角函数的定义；作图-平移变换；作图-旋转变换．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）直接利用三角函数求解即可；（2）根据旋转的性质求出旋转后对应点的坐标；（3）根据平移的规律求出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可．【解答】解：（1）∵点B（4，2），BA⊥x轴于A，∴OA=4，BA=2，∴tan∠BOA===．（3分）（2）如图，由旋转可知：CD=BA=2，OD=OA=4，∴点C的坐标是（﹣2，4）．（5分）（3）△O′A′B′如图所示，O′（﹣2，﹣4），A′（2，﹣4）．（8分）【点评】本题考查的是平移变换与旋转变换作图．作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作旋转后的图形的依据是旋转的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用旋转性质作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意旋转中心，旋转方向和角度．（2008•深圳）如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=，求△ACF的面积．【考点】锐角三角函数的定义；等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】（1）证明：连接BO，方法一：∵AB=AD∴∠D=∠ABD∵AB=AO∴∠ABO=∠AOB又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD是⊙O的切线；方法二：∵AB=AO，BO=AO∴AB=AO=BO∴△ABO为等边三角形∴∠BAO=∠ABO=60°∵AB=AD∴∠D=∠ABD又∠D+∠ABD=∠BAO=60°∴∠ABD=30°∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO∴BD是⊙O的切线；方法三：∵AB=AD=AO∴点O、B、D在以OD为直径的⊙A上∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF∴△ACF∽△BEF∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=90°在Rt△BFA中，cos∠BFA=∴=8又∵S△BEF=18．∴S△ACF【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．（2008•肇庆）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D 三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE=CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若（n＞0），求sin∠CAB．【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）连接DE，根据∠ABC=90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE=90°，根据CD⊥AC，AD=CD，可证AE=CE；（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE即⊙O的直径求出；（3）根据Rt△ADE∽Rt△EDF，=n，可将DE的长表示出来，在Rt△CDE中，根据勾股定理可将CE的长表示出来，从而可将sin∠CAB的值求出．【解答】（1）证明：连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°∴AE是⊙O直径∴∠ADE=90°∴DE⊥AC又∵D是AC的中点∴DE是AC的垂直平分线∴AE=CE；（2）解：在△ADE和△EFA中，∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE∴△ADE∽△EFA∴即∴AE=2cm；（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE=∠AEF=90°∴Rt△ADE∽Rt△EDF∴∵，AD=CD∴CF=nCD∴DF=（1+n）CD∴DE=CD在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2=CD2+（CD）2=（n+2）CD2∴CE=CD∵∠CAB=∠DEC∴sin∠CAB=sin∠DEC===．【点评】本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形的性质和应用．。
《锐角三角函数》PPT教学课件(第1课时)
BC AC
= 12 =
AC
34，所以AC=9.故填9.
随堂训练
AB 6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC
17 15
,则tan
15 A＝_8__．
由正切定义可知tan A＝BACC , 因为 AB 17 , 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
BC 15
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得 tan A＝ BC 15 .
由勾股定理可得 AB= BC2 AC2 122 162 =20.
∴AB的长为20.
课堂小结
1.正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻
边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ A的对边
A的邻边
2.tanA的值越大，梯子（坡）越陡
图①
图②
新课导入
问题引入
如图所示,轮船在A处时,灯塔B位于它 的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km 到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮 船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段?
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
C,C'.
BC AC
与BACC
具有怎样的关系?
在两个直角三角形中,当一对锐角相等
时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直
角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以 ∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 BC
AC
是确定的.
知识讲解
1.正切的定义
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把∠A的对边与邻边的比叫
1.1 锐角三角函数(1)(课时1)课件(浙教版九年级下册)
┌ C
例2 如图:在Rt△ABC中,∠C=900,CosA=0.75. 求∠ A、∠B的其他三角函数值.
B
A
┌ C
课内练习2 1、在Rt△ABC中，AC:BC=1:2，求tanB，SinB， CosB的值； 2、课文P7 T6.
小结
通过我们这一节课的探索与学习，你一定有好多的
收获，你能把这些知识点加以收集与总结吗？
注意：Sina、Cosa、tana都是一个完整的符号，单独Sin没有意 义，其中a前面∠一般省略不写
B
┌ C
统称为∠a的三角函数.
定义
2、在直角三角形中. ∠A是一个锐角 B
∠A的对边
斜边
sinA
c
斜边 ∠A 的 对 边
cosA tanA
∠A的邻边 斜边
a A ∠A的邻边 b C 锐角的三角函数的值都是正实数，并且
作业
1、作业本（1）
2、预习P7——9
通过课前预习、自学P4—5完成下列填空：
1、三角函数的概念 如图，在锐角∠a的一边上取一点B， 作BC⊥AC于点C，则有： BC BC 叫做∠a的 正弦 ，记作Sina= AB AB AC AC a 叫做∠a的 余弦 ，记作Cosa= AB AB A BC BC 叫做∠a的 正切 ，记作 tana= AC AC 锐角a的 正弦Sina、余弦Cosa、 正切tana
B
A
C
课内练习1
1、如图，已知∠a的一边上点B的 坐标是（4,3），则Sina= Cosa= tana=
O
y B
x
2、如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠,AB=8cm， C BC=10cm,则：
SinC=
CosC= tanC=
锐角三角函数(第一课时)共29页PPT资料
2、教学目标 根据新课程标准及本节的特点，结合学生 实际，我确定本节课的教学目标是： A、知识目标 （1）经历探索直角三角形中边角关系的过 程。 （2）理解正切的意义。 （3）tanA表示直角三角形中两边的比, 理 解其与物体的倾斜程度、坡度的关系，并 能够用正切进行简单的计算。
B能力目标 (1)经历观察,猜想等数学活动过程,发展合情 推理能力,能有条理地,清晰地阐述自己的观 点。
4、教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比。
二、教法阐述
本节课主要采用“活动探究法”实施教学，通过 三个模拟实物的数学活动，让学生总结正切函 数的概念，并能较好的运用所学知识解决问题。 在活动设计中，注意每个活动的目的要求，若 学生在活动中未获得预期的结论，如学生所得直角三角形的两边的比与梯子的倾 斜程度联系起来，这时可让学生多测几组数据， 分析数据之间关系共性从而得到结论。
(2)体验数形之间的联系,逐步学习利用数形 结合的思想分析问题和解决问题.提高解决 实际问题的能力。
(3)体会解决问题的策略的多样性,发展实践 能力和创新精神。
C情感目标 (1)积极参与数学活动,对数学产生好奇心和 求知欲。
(2)形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。 3、教学重点 (1)从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 (2)理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义， 密切数学与生活的联系。
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序 ,且tanA﹥0,无单位.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三 角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等 ,则这两个锐角相等.
议一议
前面我们讨论了梯子的倾斜程度,梯子的倾斜 程度与tanA有怎样的关系?与∠A有怎样的关系?
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案
浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案一. 教材分析浙教版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是本册教材的第一课时，主要介绍锐角三角函数的定义及概念。
本节课内容是学生对初中数学中三角函数知识的初步接触，对于培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义和应用，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过实例讲解，让学生更好地理解和掌握锐角三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义和概念；2.能够运用锐角三角函数解决实际问题；3.培养学生的数学思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义和概念；2.教学难点：如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例讲解法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的数学素养。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片；2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如测量身高、角度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
从而引出锐角三角函数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和概念，让学生了解锐角三角函数的基本性质。
通过示例，让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一个生活实例，运用锐角三角函数进行解决。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（5分钟）选取一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改，给予反馈。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：除了生活中的实例，还有哪些领域会用到锐角三角函数？让学生了解锐角三角函数在实际应用中的广泛性。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确所学知识的重难点。
北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》说课稿
北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1.1《锐角三角函数》是本册教材的起始章节，主要介绍了锐角三角函数的概念、定义及其应用。
通过本节课的学习，学生能够理解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，并能运用三角函数解决实际问题。
本节课的内容主要包括以下几个部分：1.锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切函数在锐角范围内的定义及图象。
2.特殊角的三角函数值：30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。
3.三角函数的性质：单调性、周期性、奇偶性。
4.三角函数在实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。
但是，对于锐角三角函数的定义及其应用，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念，并通过大量的例子让学生加深对特殊角三角函数值的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解锐角三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，能运用三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，让学生体会数学与生活的联系，培养学生的动手操作能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。
2.教学难点：三角函数的性质，三角函数在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、实物模型、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如测量物体的高度、角度的计算等，引出锐角三角函数的概念。
2.新课讲解：讲解锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，并通过示例让学生理解三角函数的性质。
3.课堂练习：让学生运用三角函数解决实际问题，如测量国旗的高度等。
新版北师大版数学九年级下册教案(全)
第一章 直角三角形的边角关系第1课时§1.1.1 锐角三角函数教学目标1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计➢ 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
➢ 师生共同研究形成概念1、 梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、 想一想（比值不变）☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。
☆ 巩固练习a 、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB ABCAB C∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABC= ；3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ； b 、 如图，在△ACB 中，tanA = 。
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
-正切表的使用：学会查找和利用正切表解决实际问题，这是进行进一步三角函数学习的基础。
-正切函数性质的探索：了解正切函数的周期性、奇偶性等性质，为学习其他三角函数性质打下基础。
举例：通过具体的直角三角形图形，引导学生理解正切值是如何计算的，以及如何判断正切值的正负。
2.教学难点
-正切概念的内化：学生需要将正切概念从具体的直角三角形中抽象出来，内化为一般的数学定义。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对正切的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了锐角三角函数中的正切概念。我发现学生们对于正切的定义和应用有着不错的理解和接受度，但在具体的计算和应用中，还存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重以下几个方面：
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
《人教版八年级下册数学》第十章“锐角三角函数”第1课时“正切”。本节课主要内容包括以下部分：
1.理解正切的概念：通过对直角三角形的观察，引导学生发现锐角与对边、邻边的比值关系，引出正切函数的定义。
锐角三角函数(第一课时).1锐角三角函数(第一课时)公开课课件ppt
3 A 4 C
（2）在Rt△ABC
中，
2
因此
2
BC 5 sin A AB 13
2 2
B
13 5 A
AC AB BC 13 5 12
AC 12 sin B AB 13
C
练一练
1.判断对错:
BC √ 1) 如图 (1) sinA= （ ） AB
）
1 B.缩小 100
C.不变 3如图
A 300 B 3 7
D.不能确定
则
1 sinA=______ 2
.
C
4、 在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=
AC的长是( B
A．13 B．3
)
4 C． 3
2 3
，则边
D． 5
5、如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ D）
a A． b
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的 水管？
B' B 30m A C 50m C'
A的对边 B' C ' 1 , 斜边 AB' 2
AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形 1 的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2
A
如图，任意画一个Rt△ABC，使 ∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的 对边与斜边的比 BC ，你能得出什 AB 么结论？
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°， 所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 2 2 2 2 AB AC BC 2BC
学案----1.1锐角三角函数(1)
A
学案----1.1锐角三角函数（1）
班级 姓名
【我们要掌握的】
思考问题：小红在上山过程中，下列哪些量是变量和常量(坡角，上升高度，所走路程)？ 小红在斜坡上任意位置时，上升的高度和所走路程的比值有变化吗？
1、已知∠A=30°,在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 与点C,请计算
BC
AB
的值.
2、已知一个50o 的∠A,在一边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C.用刻度尺先量出AB,AC,BC,的长度(精确到１毫米),再计算,,BC AC BC
AB AB AC
的值(结果保留2个有效数字),当点B 位置发生改变的时候
,,BC AC BC
AB AB AC
会不会发生改变？
经过以上几题，你发现了什么？
【我们要完成的】
3、请写出sin A = sin B =
cos A = cos B =
tan A = tan B =
4、在Rt ⊿ABC 中，∠C=Rt ∠，AB=5，BC=3， 求锐角∠A 的正弦、余弦、正切.
5、在Rt ⊿ABC 中，∠C=Rt ∠，AC ：BC=1：2，求锐角∠B 的各三角函数的值.
6、在Rt ⊿ABC 中，∠C=Rt ∠，3
sinA =
5
，求锐角∠A 的余弦 .
7、根据右边的直角三角形，把左边的表格填写起来
并观察表中的计算结果，你发现了什么？请说明理由.
8、在Rt ABC ∆中，当0
30,45,60A ∠=时，把右边的表格填写起来
8
、如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.则下列结论正确的是（ ）
56
.sin ,.sin ,.65
A B B B C ==以上结论都不正确。
1.1 锐角三角函数 第1课时(教案)-北师大版数学九下
第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。
1.1锐角三角函数第1课时正切课件度北师大版数学九年级下册
1.理解正切的概念，感受正切与现实生活的联系； 2.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.
学习目标
梯子是我们日常生活中常见的物体.如何比较这两个梯子的倾斜程度呢？
新课引入
铅直高度
水平宽度
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角
从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度
A
B
C
D
E
F
4m
3m
2m
2m
梯子AB更陡.
根据：当梯子的水平宽度一样，梯子EF的铅直高度比梯子AB的小，所以梯子AB更陡.
(3)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
A
B
C
D
E
F
4m
2m
2m
1m
铅直高度与水平宽度都不一样
比较铅直高度与水平宽度的比值
(3)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
1.倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．2.利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角越大，则夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”．
例2 在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
A
B
C
D
E
F
4m
3m
2m
1m
(4)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子EF更陡.
根据：铅直高度与水平宽度的比值：比值越大，梯子越陡.
<
<
>
一 正切的定义
如图,小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
1.1.锐角三角函数1(正切)
A的对边 即 tanA= A的邻边
A tan ['tændʒənt]
∠A的对边
┌ ∠A的邻边 C
tan: tan jin ta
2014.12
定义中应该注意的几个问题: 1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结 合，构造直角三角形）. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号 ；
BC tan A AC BC 5 AC 12 tan A 5 12 AB BC2 AC 2 5 2 12 2 13
2014.12
数学理解
3.观察你的学校、你家或附近的楼梯，哪个更陡？
2014.12
课堂小结
B
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那 么∠A的对边与邻边的比随之确定， ∠A的对边 这个比叫做∠A的正切,记作tanA ┌ A的对边 A ∠A的邻边 C 即 tanA=
B2
A
C2
C1
2014.12
议一议
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有 一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么 山坡的坡度i (即tanα)就是:
60 3 i tan . 100 5 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角, 坡面的铅直高度与水平宽度的比称 为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的 正切.
B1C1 B 2C2 AC1 AC2
∴Rt△AC1B1∽Rt△AC2B2
B1
B2
B3 A C3
C2
C1
∠A值不变的情况下，从任何位置测出的梯子的铅垂高 度与梯子底部与墙的水平距离的比值一定
2014.12
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与 邻边的比随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent), 记作tanA B
1.1锐角三角函数第1课时正切(教案)
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解正切函数定义和计算公式时，还存在一定的困难。这说明对于基础概念和公式的讲解，还需要更加细致和生动。在今后的教学中，我可以尝试使用更多的教具和实物，帮助学生形象地理解正切函数的定义和计算方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切函数的定义和计算这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，例如，通过不同角度的正切值计算，让学生看到正切值随角度变化的规律。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正切函数相关的实际问题，如测量树的高度或建筑物的高度。
突破方法：总结记忆技巧，如“正切等于对边除邻边”，并通过大量练习巩固记忆。
（3）实际问题的解决：学生面对实际问题，不知如何运用正切函数建立数学模型。
突破方法：提供丰富的实际问题案例，引导学生学会分析问题、建立数学模型，并逐步解决问题。
（4）正切函数的性质：学生对正切函数随角度变化的规律理解不深，难以把握其性质。
1.1锐角三角函数第1课时正切（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第十一章“锐角三角函数”的第一课时，主要内容为正切函数的定义及应用。具体内容包括：
1.理解正切函数的概念：通过观察直角三角形的对边与邻边的比值，引出正切函数的定义。
2.掌握正切函数的表示方法：利用直角三角形的边长关系，推导出正切函数的计算公式，即tanα =对边/邻边。
1.1锐角三角函数(第一课时)课件(共17张PPT)浙教版数学九年级下册
cosA=
=
∠的邻边
温馨提醒：以正弦为例
sinA（省去角的符号），
30°的正弦表示为sin30°，比值 叫做∠A的正切值，记做tanA，即
斜边
∠BAC的正弦表示为sin∠BAC
，∠1的正弦表示为:sin∠1.
tanA=
∠的对边
∠的邻边
=
概念运用
①BC=8，AC=6
概念
cosA=
= ，
tanA=
4
3
sinA=
4
5
3
= ，
5
= .
解后反思：在直角三角
形中，已知什么条件可
以求三角函数值?
课堂练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于
点D，若BC=5，BD=4，求sin∠A.
C
A
B
思路1：求AB的长
思路2：等角转化
△BCD∽△BAC
B"
P
C" Q
图（1）
图（2）
角为30°
’’ 1
""
=
= =
’’ 2
"
’’
3 "
=
=
=
’’
2
"
’’
3 ""
=
=
=
’’
3
"
请先按暂停键！
思考完成后
再按回播放键！
边的比值为定值
探索规律
当∠PAQ发生改变时，刚才所获得的发现是否还成立呢？
解:设AB=5k，AC=3k，
《锐角三角函数》(第一课时)教学设计
一、教材分析 （一）、教材的地位与作用
本节课选自鲁教版实验教科书九年级上册第一章解直角三角形 的第一节锐角三角函数（第一课时）。锐角三角函数反映了直角三角 形中边角之间的关系，它在解决实际问题中起着重要的作用。相比之 下，正切是生活当中应用最多的三角函数概念。通过本节课的学习使 学生进一步体会比和比例、图形的相似、推理证明等数学知识之间的 联系。感受数形结合的思想，体会数形结合的方法，为一般性的学习 锐角三角函数、利用锐角三角函数解决实际问题奠定基础。 （二）、学情分析
1、从学生的年龄特征和认知特征来看 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究 活动经历和应用数学的意识。 2、从学生已具备的知识和技能来看 九年级学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运 用相似图形的性质及判定方法解决问题，有较强的推理证明能力。 3、从学生有待于提高的知识和技能来看 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、 交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合的思想，体会 锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。
玩？”
2、通过截取两段过山车的滑道，提炼出以下数学问题：
下列图形中的每一个小格为正方形，三角形的三个顶点均在格点
上.
问题 1 比一比哪个滑道长？
问题 2 你能判断出哪个滑道陡吗？
B
E
C
A
D
F
学生能直观的发现倾斜角越大滑道越陡.还有其它方法吗？细心
的同学观察出通过边来进行判断：“当高等时，底边越短滑道越陡.”
（3）若 BC=2AB,求 tanB
问题 4：如图，平面直角坐标系中点 P（3， - 4），OP 与 x 轴的夹角为∠1，求 tan∠1 的值.
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第五环节
坡度、坡角
图 1—10
坡角：坡面与水平面的夹角； 坡度（坡比） ：坡面的铅垂高度与水平宽度的比，因此坡度（坡比）就是坡角的正切. 如图 1—7，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 米就升高 60 m ，那么山坡 的坡角是 ，坡度（坡比）就是： tan
60 3 100 5
第七环节
青岛市西海岸新区滨海初级中学 2018-2019 学年度九年级
班级：
课题 课型
姓名 2 和 1 1 有什么关系？ AC1 AC2
1.1.1 锐角三角函数（第 1 课时）
新授 时间 2018 年 11 月 21 日
（3）如果改变 B2 在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？
3 ，则 BC = 4
； ；
例题 1：图 1—6 表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手扶电梯比较陡？
2、如图 1—9，在 ABC 中， AC AB 10 ， BC 16 ，则 tan B
4m 8m
（甲）
13m α
图 1—6
β
（乙）
5m
3、 如图 1—10,某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B .已知山顶 B 到山脚 下的垂直距离是 55m.求山坡的坡度(结果精确到 0.001m).
总结：梯子越陡，tanA 的值越____；反过来，tanA 的值越大，梯
同意小亮的看法吗？ （1） Rt AB1C1 和 Rt AB2C2 有什么关系？
子越____.
１
练习：请你用不同的符号表示下列图形中两个锐角的正切.
第六环节
变式练习
B
A
A
C
B
图 1—9
C
图 1—8
第四环节
例题讲解
1、如图 1—8，在 ABC 中， C 90 ， AC 6 ，若 tan A
1.经历探索直角三角形中边的比值和角大小关系的过程；理解正切三角函数的
学习 目标
第三环节
正切的定义
典例探究 重点讲解
意义和与现实生活的联系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡 度等，能够用正切进行简单的计算.
如图，在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么∠A 的对边与邻边之比便随之确
课堂小结
师生互相交流总结本堂课所学的知识点和体会；谈谈对本节知识的理解.
60m α 100m
图 1—7
第八环节
布置作业
作业： 《新课堂》
课后记
２
图 1—4
在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量， 你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？
1.∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么?
如图，小明想通过测量 B1C1 及 AC1 ，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度； 2.前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗? 而小亮则认为通过测量 B2C2 及 AC2 ，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你
自主探究 合作交流
学法指导
定，这个比叫做∠A 的正切(tangent)，记作 tanA，即
B
∠A 的 对
第一环节
创设问题情境，引入新课
A的对边 tanA= . A的邻边
A C
梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的 “陡” ， 那个 梯子放的“平缓” ，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?
边
注意：
∠A 的邻边
第二环节
新课讲授
1.tanA 是在直角三角形中定义的,目前∠A 是一个锐角（注意数形结合，构造直 角三角形）. 2.tanA 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,省去“∠”号（注意 tanA 不表示 tan 乘以 A). 3.tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比.. 4.tanA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等. 思考：