高一数学-空间几何体的表面积和体积1 精品
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析
高一数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1. 已知正方体的棱长为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】C.【解析】正方体的对角线长为外接球的直径，因此，，因此.【考点】球的表面积公式.2. 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝2，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．【答案】S 表面＝(60＋4)π．V ＝π．【解析】该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥， 则S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 ， 设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,则 S 表面=π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CDV ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πr 2DE ，将数据代入计算即可。
试题解析：如图，设圆台上，下地面半径是r 1，r 2,过C 点作CF ⊥AB ，由∠ADC ＝135°，CE ⊥AD, CD=2得∠EDC ＝45°，r 1=" CE=" 2,则CF=4，BF=3，CF ⊥AB ，得BC=5，r 2=" AB=" 5, ∴S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面 =π×r 22＋π×(r 2＋r 1)×5＋π×r 1×CD ＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 ＝(60＋4)π． V ＝V 台－V 锥＝π(＋r 1r 2＋)AE －πDE =π(＋2×5＋)4－π×2＝π．【考点】圆台，圆锥的表面积和体积.3.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：ED⊥平面EBC；(2)求三棱锥E－DBC的体积.【答案】(1)见解析；（2）【解析】(1)易得△DD1E为等腰直角三角形DE⊥EC，BC⊥平面 BC⊥DE，所以DE⊥平面EBC平面DEB⊥平面EBC．（2）需要做辅助线，取CD中点M，连接EM∥，DCB（这个证明很关键），然后根据公式.试题解析：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴，即DE⊥EC．在长方体ABCD－中，BC⊥平面，又DE平面，∴BC⊥DE．又，∴DE⊥平面EBC．又∴平面DEB⊥平面EBC．（2）取CD中点M，连接EM，E为D1C1的中点，∥，且,又DCB.【考点】线面垂直，三棱锥的体积.4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.5.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积6.棱长为4的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为_____________.【答案】48【解析】正方体的外接球的球心为正方体的中心，球的直径为正方体的对角线，所以球的表面积为【考点】正方体的外接球7.如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为的正方体中分离出来的.有如下结论：①在图中的度数和它表示的角的真实度数都是；②；③与所成的角是；④若，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛的水.其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）.【答案】①④【解析】①∵在正视图的等腰直角中，在图中的度数和它表示的角的真实度数都是，故①正确；②补全正方体如图所示：连接．∵，∴是正三角形，故．而＝＝，故②错；③连接、，∵，∴是正三角形，所以与所成的角是，故③错；④用图示中这样一个装置来盛水，那么盛最多体积的水时应是三棱锥的体积．又＝＝＝，故④正确，故填①④．【考点】1、正方体的性质；2、异面直线所成角；3、三棱锥的体积．8.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.9.如图，已知直三棱柱中，，，，D为BC的中点.（1）求证：∥面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）略（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，在中可根据中位线证得∥，再根据线面平行的性质定理可证得∥面。
高中数学一空间几何体空间几何体的表面积与体积球的体积和表面积PPT课件
类型 3 球的简单切、接的问题(互动探究)
[典例 3] (1)一球与棱长为 2 的正方体的各个面相 切，则该球的体积为________．
(2)正方体的表面积是 a2，它的顶点都在一个球面上， 则这个球的表面积是________．
解析：(1)依题意，2R＝2，所以 R＝1. 所以球的体积 V 球＝43π×13＝43π. (2)正方体内接于球，则正方体的对角线是球的直径． 设球的半径是 r，则正方体的对角线长是 2r. 依题意，2r＝ 3× a62，即 r2＝18a2.
[自主解答] (1)设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 的半径为 R.
由于∠AOB＝90°， 所以 VO ABC＝VC AOB＝13S△AOB·h＝16R2h.
要使三棱锥 O-ABC 的体积最大，则 h＝R. 因此16R3＝36，所以 R＝6， 故球 O 的表面积 S 表＝4πR2＝144π. 答案：C
A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 解析：设三个球的半径分别为 x，2x，3x，则最大球 的半径为 3x，其体积 V＝43π·(3x)3＝36πx3.
又其余两个球的体积之和为43πx3＋43π·(2x)3， 所以43π·(3x)3÷43πx3＋43π·（2x）3＝3. 答案：C
SUCCESS
r＝ 3， 故球的体积 V 球＝43πr3＝4 3π.
归纳升华 1．处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时， 要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球 的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角 线的中点等．
2．解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据 求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作 出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来解决．
空间几何体的表面积和体积1(共82张1)PPT课件
S直棱柱侧＝ ch.（类比矩形的面积）
②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么
S圆柱侧＝ 2πr.（l 类比矩形的面积）
把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h
cb
a
h
h
a
bc
S 直 棱 ＝ 拄 a （ 侧 bc)hch
r1
l
r2
扇环
S 圆＝ 台 S 扇 侧 ＝ 环 （ r1 r2)l
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S(r'2r2r'lrl)
r' x
r xl
x 2r'
r 'O’
2r
l
rxr'xr'l
rO
S 侧 r ( l x ) r 'x ( r l r x r 'x )
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆 精选P锥 P＝ T课S 件侧 扇 ＝ n 3l6 20 11 2 8 l扇 lrl
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、棱台的侧面积公
别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台
的侧面积.
分析：关键是 求出斜高，注
A1 O1 C1 B1 D1 C
意图中的直角 梯形
A
O ED
B
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高中数学PPT：第1讲空间几何体及其表面积和体积
3＝
3 3 π.
索引
考点三 多面体与球的切、接问题
///////
【例3】 (经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积 9
为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是____2_π___. 解析 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
个半圆，则此圆锥的体积为( A )
3 A. 3 π
3 B. 3
C. 3π
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
D. 3
由πl＝2πr，得l＝2r，
又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝ห้องสมุดไป่ตู้， 所以圆锥的高为 h＝ l2－r2＝ 22－12＝ 3，
所以圆锥的体积为 V＝13πr2h＝13π×12×
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是 作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或 “切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P，A，B，C且PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两 两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接球问题.
图(3)
索引
探究提高
1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放 在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常采用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为 规则几何体以易于求解.
索引
【跟踪演练2】 (1)(2021·杭州二模)已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一
图(2)
索引
法三 如图(3)，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点 N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABEDMN，所以所求几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN 的体积减去四棱锥D-CMNF的体积. 因为 VABE-DMN＝12×2×2×4＝8， VD-CMNF＝131＋2 2×2×2＝2， 所以所求几何体的体积为VABE-DMN－VD-CMNF＝8－2＝6.
高中数学_空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积和体积知识图谱空间几何体的表面积和体积知识精讲一．空间几何体的表面积1．直棱柱与圆柱的侧面积等于它的底面周长和高（母线）的乘积．()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2．正棱锥（圆锥）的侧面积等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．1'2S ch =正棱锥侧，其中c 为底面周长，'h 为斜高；1π2S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；3．正棱台（圆台）的侧面积等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．1(')'2S c c h =+正棱台侧，其中,'c c 分别是正棱台上下底面的周长，'h 为斜高；1(')π(')2S c c l r r l =+=+正圆台侧，其中,'r r 分别是圆台上下底面的半径，l 为母线长；4．球面面积等于它的大圆面积的四倍，24πS R =球，R 为球的半径．（1）除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公式和表面积公式可以直接推导出来．（2）注意空间与平面问题的转化，对这几种几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印象，在计算时能灵活转化．二．空间几何体的体积1．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；2．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；3．台体（棱台，圆台）的体积公式：1('')3V h S SS S =++台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；4．球的体积公式：34π3V R =球，R 为球的半径．三点剖析一.方法点拨1.求体积常用的几种方法（1）分割求和法把不规则的几何体分割成规则的几何体，分别求体积，然后再求和；（2）补形法把不规则的几何体补成规则的几何体；把不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积；（3）等体积法通过等底和等高的几何体体积关系，把不容易求的体积转化为容易求的体积．2.球的体积公式的应用求球的体积只需要一个条件，就是球的半径，两个球的半径的平方之比等于这两个球的大圆面积的比，也就等于这个球的表面积的比；两个球半径比的立方等于这两个球的体积的比．球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的32倍；棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a ，外接球半径为64a ．3.求多面体表面上两点间的最短距离求多面体表面上的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题。
高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题
空间几何体的表面积和体积例题解析一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆，理解为主）。
二．命题走向----用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。
（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。
图1 图2解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。
作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。
由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。
∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA,∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。
空间几何体的表面积和体积公式汇总表
空间几何体的表面积和体积公式汇总表1.多面体的面积和体积公式2.旋转体的面积和体积公式3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。
（3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积=底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。
（4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。
4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的(1)全面积?：S 全2a ； (2)体积?：V=312a ； (3)对棱中点连线段的长?：d= 2a ；(4)对棱互相垂直。
(5)外接球半径?：R= a ； (6)内切球半径;??? r= a5、正方体与球的特殊位置结论;空间几何体练习题1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V ：2V 是（ ）A. 1：3B. 1：1C. 2：1D. 3：12.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A. ππ221+B. ππ421+C. ππ21+D. ππ241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。
4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。
5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形，求圆柱的体积。
6.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 5 D. 107.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（ ）A. π2883cm B. π1923cm C. π2883cm 或 π1923cm D. π1923cm8.一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）32A. 4sπB. Sπ2C. SπD. Sπ3。
高一年级数学必修四知识点：空间几何体的表面积与体积
高一年级数学必修四知识点：空间几何体的表面积与体积（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学复习—空间几何体的表面积与体积
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧＝__________，S 正棱锥侧＝__________， S ＝ 正棱台侧
__________(其中 C，C′为底面周长，h 为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S 圆柱侧＝________，S 圆锥侧＝________，S 圆台侧＝________
故正方体的体积为 223＝ 42，所以三棱锥 P-CDE 的体积为 42－
4×13×12× 22× 22× 22＝ 122．故填122．
类型四 空间旋转体的体积问题
已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r，
R，求圆台的体积．
解：如图，图①是该几何体的直观图，图②是该几何体的轴
截面平面图．
圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，根据切线长定理， AC＝AO1，BO＝BC，得梯形腰长为 R＋r，梯形的高即球的直径 长为 OO1＝ AB2－（OB－O1A）2＝ （R＋r）2－（R－r）2
则 AD1＝ 32＋42＋122＝13，所以直三棱柱外接球的半径为123．故选
C．
点 拨： 求解几何体外接球的半径主要从两个方面考 虑：一是根据球的截面的性质，利用球的半径 R、 截面圆的半径 r 及球心到截面圆的距离 d 三者的关 系 R2＝r2＋d2 求解，其中确定球心的位置是关键； 二是将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体 共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体体
＝123．即直三棱柱外接球的半径为123．
解法二：(补体法)如图所示，将直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面补
成矩形，得到长方体 ABDC-A1B1D1C1．显然，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 外 接 球 就 是 长 方 体 ABDC-A1B1D1C1 的 外 接 球 ． 而 长 方 体
高一数学课件—第一章 空间几何体的表面积与体积
4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于____6____．
解析 由正视图知，其侧面的底边长为 2，高为 1，故 其侧面积 S＝2×1×3＝6.
5.已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖 去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求 所得几何体的表面积及体积．
V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r2·AD－13πr2AD ＝π×3× 6－13×π×3× 6 ＝2 6π(cm3).
探究 3 组合体的表面积与体积 例 3 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内过点 C 作 l⊥CB，以 l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．
解 如题图，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC， AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 (1)柱体、锥体、台体的体积公式之间的内在关系为
V 锥体＝13Sh. (2)在三棱锥 A－BCD 中，若求点 A 到平面 BCD 的距离 h，可以先求 VA－BCD，再由 h＝S△3BVCD求得．这种方法就是用 等体积法求点到平面的距离，其中 V 一般用换顶点法求解， 即 VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是 V 易求， 且△BCD 的面积易求．
A.1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．3∶2
解析 ∵G 为 PB 的中点， ∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC ＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC. 又多边形 ABCDEF 是正六边形， ∴S△ABC＝12S△ACD. ∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC. ∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.
高考复习 第8篇 第1讲 空间几何体及其表面积与体积知识点+例题+练习 含答案
第1讲空间几何体及其表面积与体积知识梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh续表4.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√)(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(6)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为312a3.(×)[感悟·提升]两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．答案①②③规律方法解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④考点二 几何体的表面积与体积【例2】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°， △ADP ∽△BAD . (1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°， 又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DP AD ， ∠PDA ＝∠BAD ＝90°， DP ＝AD 2BA ＝(BD sin 60°)2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . ∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， 又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥底面ABCD ， 则S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋14R 2.所以三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积． 解(1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32.在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台斜高为 3 cm ，侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.考点三 球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高⇒求底面正方形的对角线长⇒由勾股定理求OA ⇒由球的表面积公式求解．(2)BC 为过底面ABC 的截面圆的直径⇒取BC 中点D ，则球心在BC 的垂直平分线上，再由对称性求解． 解析 (1)设正四棱锥的高为h ， 则13×(3)2×h ＝322，解得h ＝322. 又底面正方形的对角线长为2×3＝ 6. 所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝ 6. 故球的表面积为S 球＝4π×(6)2＝24π.(2)因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案 (1)24π (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练3】(2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若P A＝26，则△OAB的面积为________．解析根据球的内接四棱锥的性质求解．如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案3 3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋P A1最小，则最小值为________．解析 (1)折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13 S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A 1P 在几何体内部，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可． 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋P A 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3，∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8，∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋P A 1的最小值为73.答案 (1)823 (2)73规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6＝3个这样的几何体，才能拼成的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672一个棱长为6的正方体．答案 31．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则VD 1－EDF ＝VD 1－ADC ＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 16[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D 1－EDF 的体积转化为三棱锥F －DD 1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法． 【自主体验】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2.则V三棱柱＝12V四棱柱＝12S四边形BCC1B1·d＝12×4×2＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π 6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案 38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 答案 23 二、解答题 9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ， 因为AC ＝BC ，所以CD ⊥AB .因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AB . (2)解 设C 到平面APB 的距离为h ，则由题意，得AP ＝PB ＝AB ＝AC 2＋BC 2＝22， 所以PC ＝AP 2－AC 2＝2.因为CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， 所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD .由(1)得AB ⊥平面PCD ，于是由V C －APB ＝V A －PDC ＋V B －PDC ， 得13·h ·S △APB ＝13AB ·S △PDC ，所以h ＝AB ·S △PDCS △APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C 到平面APB 的距离为233.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r － 43πr 3＝53πr 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为 V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________．解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 答案 33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
高一数学空间几何体的表面积和体积知识点及题型例题
空间几何体的表面积和体积例题解析一．课标要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆,理解为主)。
二．命题走向———-用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式; 三．要点精讲l 表示侧棱长。
12 上、下底面半径，R 表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm依题意得:⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2)2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3)由（3）－(1)得x 2+y 2+z 2=16即l 2=16所以l =4(cm ）.点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切)与面积、体积之间的关系.例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB⊥AD，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。
（1)求证:顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上; （2）求这个平行六面体的体积。
图1 图2解析：(1)如图2，连结A 1O ，则A 1O⊥底面ABCD 。
作OM⊥AB 交AB 于M ，作ON⊥AD 交AD 于N,连结A 1M ，A 1N 。
由三垂线定得得A 1M⊥AB，A 1N⊥AD。
∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt△A 1NA≌Rt△A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON 。
∴点O 在∠BAD 的平分线上。
（2）∵AM=AA 1cos 3π=3×21=23∴AO=4cosπAM =223。
又在Rt△AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29，∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=。
高考数学知识点-空间几何体的表面积和体积知识解析
高考数学知识点:空间几何体的表面积和体积知
识解析
一、柱、锥、台和球的侧面积和体积
典型例题1：
1、几何体的侧面积和全面积：
几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行.
2、求体积时应注意的几点：
(1)、求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决.
(2)、与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.
3、求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.
典型例题2：
1、以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
2、多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
3、旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
典型例题3：
1、计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.
2、注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握.
3、等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.。
1、3 空间几何体的表面积与体积
例1、已知棱长为a, 各面均为等边三角形的四 面体S ABC (如下图), 求它的表面积.
S
A B D C
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圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r ，母线为 l ，那么圆柱 r 2，侧面积为 2rl 。因此圆柱的 的底面积为 表面积为
S 2r 2rl 2r (r l )
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
RtB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
C1
C1
(2 R) 2 a 2 ( 2a) 2 , 得：R S 4R 2 3a 2
1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 3.二个公式
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'2 2 '
2Байду номын сангаас `
O`
2r
O
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例2 如下图, 一个圆台形花盆直径为 cm, 盆底 20 直径为 cm, 底部渗水圆孔直径为 .5cm, 盆壁长 15 1 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米(取 3.14, 结果精确到 cm) ? 1
10cm
15cm
7.5cm
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第二步：求近似和
S i
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
高一数学立体几何中的体积与表面积计算方法归纳
高一数学立体几何中的体积与表面积计算方法归纳立体几何是数学中一个重要的分支，主要研究各种空间图形的性质和计算方法。
在高一数学教学中，立体几何是一个重要的内容。
其中，计算图形的体积和表面积是立体几何的核心问题之一。
本文将对高一数学中常见的几何体的体积和表面积的计算方法进行归纳总结。
一、立方体的体积和表面积计算方法立方体是最简单的几何体之一，它的六个面都是正方形。
对于一个边长为a的立方体，它的体积V可以通过公式V=a^3计算得到；表面积S可以通过公式S=6a^2计算得到。
二、长方体的体积和表面积计算方法长方体是另一种常见的几何体，它的六个面分别是长方形。
对于一个长为l、宽为w、高为h的长方体，它的体积V可以通过公式V=lwh计算得到；表面积S可以通过公式S=2lw+2lh+2wh计算得到。
三、正方体的体积和表面积计算方法正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是正方形。
对于一个边长为a的正方体，它的体积V可以通过公式V=a^3计算得到；表面积S可以通过公式S=6a^2计算得到，与立方体相同。
四、圆柱体的体积和表面积计算方法圆柱体是由一个底面为圆形的圆盘和一个与底面平行的侧面组成的几何体。
对于一个底面半径为r、高为h的圆柱体，它的体积V可以通过公式V=πr^2h计算得到；表面积S可以通过公式S=2πr(r+h)计算得到。
五、圆锥体的体积和表面积计算方法圆锥体是由一个底面为圆形的圆盘和一个连接底面和顶点的侧面组成的几何体。
对于一个底面半径为r、高为h的圆锥体，它的体积V可以通过公式V=πr^2h/3计算得到；表面积S可以通过公式S=πr(r+√(r^2+h^2))计算得到。
六、球体的体积和表面积计算方法球体是最具有曲面特性的几何体，它的表面是由无数个半径相等的圆构成的。
对于一个半径为r的球体，它的体积V可以通过公式V=4/3πr^3计算得到；表面积S可以通过公式S=4πr^2计算得到。
在数学教学中，我们通过掌握这些常见几何体的体积和表面积计算方法，可以帮助学生在解决实际问题时更加准确地计算出图形的相关数据。
数学高一年级必修二第一单元知识点：空间几何体的表面积与体积
数学高一年级必修二第一单元知识点：空间几何
体的表面积与体积
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了数学高一年级必修二第一单元知识点，希望你喜欢。
1.多面体的面积和体积公式
名称
侧面积（S侧）
全面积（S全）
体积（V）
棱
柱
棱柱
直截面周长l
S侧+2S底
S底h=S直截面h
直棱柱
Ch
S底h
棱
锥
棱锥
各侧面面积之和
S侧+S底
1/3S底h
正棱锥
1/2ch
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
正棱台
1/2（c+c）h
表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h表示斜高，l表示侧棱长。
2.旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2rl
rl
（r1+r2）l
S全
2r（l+r）
r（l+r）
（r1+r2）l+（r21+r22）
4R2
V
r2h（即r2l）
1/3r2h
1/3h（r21+r1r2+r22）
4/3R3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
数学高一年级必修二第一单元知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
第1讲 空间几何体的表面积和体积
考点整合 1.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)； ②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)； ③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ④球的表面积S＝4πR2.
(2)柱体、锥体和球的体积公式：
①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
Rt△PAB≌Rt△PAD，则内切球 O 在侧面 PAD 内的正视图是△PAD 的内切圆，故内
切球的半径 r＝12(3＋4－5)＝1，则 V＝43πr3＝43π.
由 2R＝3，即 R＝32.故球的最大体积 V＝43πR3＝92π.
(2)在四棱锥 P－ABCD 中，侧棱 PA⊥底面 ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补
成 长 方 体 ， 则 (2R)2 ＝ AB2 ＋ AD2 ＋ AP2 ＝ 16 ＋ 16 ＋ 9 ＝ 41 ， 因 此
R＝
41 2
.
依
题
意
144－100＝2 11.又 DB＝6 3，PB＝8，所以 DB2＝PD2＋PB2，即△PBD 为直角三 角形，所以 S△PBD＝12×8×2 11＝8 11.因为点 A 为 DC 的中点，所以 VP－ABC＝12VP－ CBD＝12VC－PBD＝12×13×S△PBD×CB＝12×13×8 11×6＝8 11，即四面体 PABC 的体积 为 8 11. 答案 (1)C (2)8 11 8 11
的高 22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1，所以形成的几何 体的表面积 S′＝2×π× 22×1＝ 2π.综上可知，形成几何体的表面积是( 2＋1)π 或 2 π.故选 AB. 答案 (1)B (2)AB
探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不 规则几何体分割成几个规则的几何体. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
高中数学第1章立体几何初步1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1空间几何体的表面积高一数学
∴R＝2r，圆锥的母线长 l＝ 2R，
∴SS圆 圆柱 锥表 表＝πR2π·r22＋R＋2ππr2R2＝
4πr2 2＋1πR2
＝
2＋41r2×4r2＝
21＋1＝
2－1.
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第十六页，共三十二页。
方法归纳 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积 ，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转 体的关系，是掌握它们的表面积公式及解决有关(yǒuguān)问题的关 键． (2)解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间 问题转化为平面问题．
S直棱柱侧＝_______c_h______，其中c为直棱柱的底面周长，h为直棱 柱的高． S正棱锥侧＝_____12_c_h__′_____，其中c为正棱锥的底面周长，h′为斜高． S正棱台侧＝______________，其中c、c′分别为正棱台的上、下底面的
周长，h′为斜高12．(c＋c′)h′
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规范解答 组合体表面积的计算
(本题满分 14 分)如图，从底面半径为 2a，高为 3a 的 圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱 的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表面积 S2 之比．
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[解] 由题意知，S1＝2π·2a· 3a＋2π·(2a)2 ＝(4 3＋8)πa2，5 分 S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4 3＋9)πa2.10 分 ∴S1∶S2＝(4 3＋8)∶(4 3＋9)14 分
积为8π，那么母线长为________2． 解析：由圆台的侧面积公式S侧＝π(r＋r′)l＝π·2l2＝8π，∴l＝2.
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1.3 空间几何体的表面积和体积（1）班级 姓名第十五课时 1.3.1 空间几何体的表面积教学目标1、通过展开柱、锥、台的侧面，进一步认识柱、锥、台．2、了解柱、锥、台的表面积的计算公式． 教学重点多面体和旋转体的侧面积公式． 教学难点 侧面展开图． 教学过程一、问题情境已知ABB 1A 1是圆柱的轴截面，AA 1＝a ，AB =34a ，P 是BB 1的中点；一小虫沿圆柱的侧面从A 1爬到P ，求小虫爬过的最短路程．AB PB 1A 1P二、学生活动观察下图，试配对：A ： B ： C ： ．A B C(1)(2)(3)三、建构数学1、平面展开图：将一个简单的多面体沿着它的某些棱将它剪开而成为平面图形，这个平面图形称为平面展开图．2、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．3、正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．4、正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．5、正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分．6、侧面展开图及其公式：（1）直棱柱：S直棱柱侧=ch（2）正棱锥：S正棱锥侧=1' 2 ch（3）正棱台：（由正棱锥截去小正棱锥）S正棱台侧=1(')'2c c h．（4）正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系可用下图表示：（见课本P.50）（5）圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系类似可用下图表示：（见课本P.50）四、数学运用例1、设计一个正四棱锥形冷水塔顶，高是0.85米，底面的边长是1.5米，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）例2、有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度为多少?（精确到0.1cm）例3、如图，正三角形ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边的中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后； 问：（1）∠NMP 等于多少度？（2）擦去线段EN 、EP 、EM 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？A BCDEFNPM例4、已知圆锥有一个内接圆柱，此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥的底面半径，且圆柱的全面积∶圆锥的底面积=3∶2；（1）求圆锥母线与底面所成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比．学生练习：课本P.53 1、2、3、4、5、6．五、回顾小结本节主要学习了多面体和旋转体的侧面积公式．应注意侧面展开图的画法特征．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.030 分层训练班级 姓名 （二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.1 空间几何体的表面积]1、如图是正方体纸盒的展开图，那么直线AB 、CD 在原来 正方体中位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直相交且成60°C 、垂直D 、异面且成60°2、已知圆柱的侧面积为4π，则当轴截面的对角线长取最小值时，圆柱母线长l 与底面半径r 的关系是（ ）A 、l r =B 、2l r =C 、3l r =D 、4l r =3、一张长、宽分别为8cm 、4cm 的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为 ．4、将半径为R 的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为1r 、2r 、3r ；则1r +2r +3r 的值为 ．5、如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB a =，BC b =，1BB c =，并且0a b c >>>； 求沿着长方体的表面自A 到C 1的最短路线的长．ACDA 1B 1C 1D 1abc6、已知圆锥的底面半径为r ，母线为l ，侧面展开图的圆心角为θ，求证： 360rlθ=︒．7、（1）计算：lg141921log log 4log 272π++-= ． （2）函数211() 2 (0)2xy x -=+<的反函数是 ．（3）函数()20.5log 48y x x =-++有最 值为 ． （4）函数()20.1log 62y x x =+-的单调增区间是 ．（5）已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，f (x )+g (x )=2x ；则f (x )= ．1.3 空间几何体的表面积和体积（2）班级姓名第十六课时 1.3.2 空间几何体的体积（1）教学目标1、整体理解柱、锥、台的体积公式．2、能正确运用这些公式计算一些简单的几何体的体积．教学重点柱、锥、台的体积公式．教学难点三棱锥的等积变换．教学过程一、问题情境用上口直径为34cm、底面直径为24cm、深为35cm的水桶盛得的雨水正好为桶深的五分之一，问此次的降水量为多少（精确到0.1cm）？(降水量是指单位面积的水平地面上降下的雨水的深度)．二、学生活动（1）试将一堆排放整齐的书，推成倾斜状；看看体积有没有发生变化？（2）将一圆柱形萝卜，斜刀一切，再原来的两底接起来，看看体积有没有变化？（3）阅读课本，体会各公式之间的关系．三、建构数学1、长方体的体积：V长方体= abc = Sh．2、柱体的体积：V柱体= Sh．3、锥体的体积：V锥体=13 Sh．4、台体的体积：V台体=1(')3h S S．5、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下：S'=S S'=0四、数学运用例1、有一堆相同的规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg ；已知底面六边形边长是12mm ，高是10mm ，内孔直径是10mm ，那么约有毛坯多少个？（铁的比重为7.8g /cm 3）例2、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用截面截下一个棱锥C -A 1DD 1；求C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．BC D A 1B 1C 1D 1例3、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 、F 分别是棱AA 1和CC 1的中点，求四棱锥A 1-EBFD 1的体积．ACDA 1B 1C 1D 1E学生练习： 课本P.56 练习：1、2、3、4．五、回顾小结本节主要学习了柱、锥、台的体积公式． 几个重要的结论：（1）一个几何体的体积等于它的各部分的体积之和．体积相等的两个几何体叫等积体；全等的两个几何体一定是等积体；等底、等高的柱体或锥体是等积体． （2）计算三棱锥体积时，可灵活选底，简化运算． （3）柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为：''011(')33S SS V Sh V S S V Sh ===←−−−==+−−−→=柱体台体堆体六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.032 分层训练 拓展延伸班级 姓名 （二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.2 空间几何体的体积（1）]1、正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的二分之一时，它的体积是原来的（ ）A 、12 B 、14 C 、18 D 2、已知两个平行于底面的平面将棱锥的高分成相等的三段，则此棱锥被分成的三部分的体积（自上而下）之比是（ ）A 、1∶2∶3B 、1∶4∶9C 、1∶8∶27D 、1∶7∶193、一个盛满水的无盖圆柱的母线长为5dm ，底面直径为4dm ，将其倾斜45°后，能够流出来的水的体积为 dm 3．4、将一个正三棱柱形的木块，经车床切割加工，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍．5、一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，试比较它们的体积的大小．6、如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1V 2两部分，求V 1∶V 2的值．C A 1B 1C 1F EV 1V 27、正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长均为a ，E 、F 分别是AA 1、CC 1的中点，求几何体B -EFB 1的体积．A BCA 1B 1C 1FE8、（复习）（1）函数12 3 ()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（ ）A 、22log 3y x =- B 、23log 2x y -= C 、23log 2x y -= D 、22log 3y x=- （2）函数y =的定义域为 ．（3）若[)30.618, , 1a a k k =∈+，则整数k = ．（4）已知,a b 为常数，若2()43f x x x =++，2()1024f ax b x x +=++，求5a b -的值．1.3 空间几何体的表面积和体积（3）班级 姓名第十七课时 1.3.2 空间几何体的体积（2）教学目标1、理解球的体积公式和球的表面积公式．2、能正确运用这些公式计算有关球的体积和表面积． 教学重点球的体积公式和球的表面积公式． 教学难点对公式推导的理解即“分割—求和—化为准确和”的方法的理解． 教学过程一、问题情境如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水； 若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ； 问：R ∶r 的值是多少？二、学生活动（1）倒沙实验：一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，用沙粒充满后，再将其所容纳的沙粒倒入一个半径为R 的半球内，结果刚好也能充满半球．说明两者体积相等．（2）计算上图中的等高截面的面积：上图中，取相同的高度h ，试计算出等高截面的面积，并观察它们的关系． 并阅读课本，问：可用什么知识来解释此问题？三、建构数学1、球的体积公式：V 长方体=343R π．由上图可推出：223112233V R R R R R πππ=-=球． 亦可由“准锥体”推出：31241113333R V RS RS RS π==++=球球面2、球的表面积：24S R π=球面．即：球的表面积是球的大圆面积的4倍．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径．四、数学运用例1、如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积．（尺寸如图，单位：cm ，π取3.14，精确到1cm 2和1cm 3）例2、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少？学生练习：1、课本P.56 练习：1、2、3、4．2、一个长、宽、高分别为80cm 、60cm 、55cm 的水槽中有水200000cm 3，现放入一个直径为50cm 的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？五、回顾小结本节主要学习了球的体积公式和表面积公式．六、课外作业（一）自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.034 分层训练 拓展延伸班级 姓名（二）反馈练习 （友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业）[ 1.3.2 空间几何体的体积（2）]1、湖面上漂着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则该球的面积为（ ）A 、1692cm πB 、2562cm πC 、5762cm πD 、6762cm π2、若一个等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的侧面积与一个球的表面积相等，则这个圆柱与这个球的体积之比是（ ）A 、1∶1B 、3∶4C 、4∶3D 、3∶23、正方体的内切球与外接球的表面积之比是 ．4、（1）表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是 ．（2）体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是 ．5、把长、宽分别为4、3的矩形以一条对角线为痕折成直二面角，求过此四个顶点所在球的内接正方体的表面积和体积．AB CD O D B C O6、已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？AB C DOR r O 17、如图，直角梯形O 2BAO 1内有一个内切半圆O ，把这个平面图形绕O 1O 2旋转一周得到圆台有一个内切球；已知圆台全面积与球面积的比是k （k >1），求它们的体积比．AB O 2R r O 1OM8、（复习） （1）设M ={x |x 2-(p +1)x +2=0}，N ={x |x 2+px +q =0}，若MN ={-1}，求M N ．（2）函数f (x )的定义域为(0，+∞)且单调递增，f (4)=1，f (x y )=f (x )+f (y )；①求f (1)，f (16)；②若f (x )+f (x -3)≤1，求x 的范围．。