【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二课时作业 1.4.2空间图形的公理2]

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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.5空间向量运算的坐标表示课时作业新人教A版选修2-1

空间向量运算的坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=平行,则λ等于( )A. B. C.- D.-【解析】选C.因为a∥b,所以=,所以λ=-.2.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于( )A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)【解析】选B.b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).【变式训练】已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=,b=,则a+b等于( )A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)【解析】选B.=(-1,0,-2)=a,=(-4,9,0)=b,所以a+b=(-5,9,-2).3.(2014·临沂高二检测)已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是( )A.(2,3,1)B.(1,-1,2)C.(1,2,1)D.(1,0,3)【解析】选D.=x+y=(x+y,x+2y,x-y),对四个选项逐个检验,只有当(x+y,x+2y,x-y)=(1,0,3)时有解4.(2014·杭州高二检测)已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( ) A.x=,y=1 B.x=,y=-4C.x=2,y=-D.x=1,y=-1【解析】选B.a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)∥(2a-b),所以所以5.(2014·南宁高二检测)已知向量=(2,-2,3),向量=(x,1-y,4z),且平行四边形OACB对角线的中点坐标为,则(x,y,z)=( )A.(-2,-4,-1)B.(-2,-4,1)C.(-2,4,-1)D.(2,-4,-1)【解析】选A.由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z)=2,所以(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1),所以【变式训练】以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选B.连接AB1和A1B交于点O.据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的中点.由题意得A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为.6.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为( )A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2【解析】选A.由c=m a+n b+(4,-4,1),得c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)= (m+4,m+2n-4,m-n+1).因为c与a及b都垂直,所以得c·a= m+4+m+2n-4+m-n+1= 3m+n+1=0,c·b=2(m+2n-4)-(m-n+1)=m+5n-9=0,即m=-1,n=2.【变式训练】若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值为( )A.-1B.0C.1D.-2【解析】选D.a+λb=(λ,1+λ,-1).由(a+λb)⊥a,知(a+λb)·a=0,所以1+λ+1=0,解得λ=-2.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·启东高二检测)与a=(2,-1,2)共线且满足a·x=-18的向量x= .【解析】设x=(x,y,z),由题意得解得x=-4,y=2,z=-4.所以x=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)8.已知A(0,2,4),B(5,1,3),在x轴上有一点P,使||=||,则P点坐标为.【解析】设P(x,0,0),则||==,||==,所以x2+20=x2-10x+35,解得x=.所以点P坐标为.答案:【举一反三】本题条件“在x轴上有一点P”改为“在y轴上有一点P”,结果如何?【解析】设P(0,y,0),则||==,||==,所以y2-4y+20=y2-2y+35,解得y=-.所以点P坐标为.9.(2014·长春高二检测)已知a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.【解析】b-a=(1+t,1-t,t),|b-a|==≥.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求,的坐标.【解析】建立空间直角坐标系,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥y轴,P1P4⊥x轴,SO在z轴上.因为|P1P2|=2,而P1,P2,P3,P4均在xOy平面上,所以P1(1,1,0),P2(-1,1,0).在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称,所以P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0).又|SP1|=2,|OP1|=,所以在Rt△SOP1中,|SO|=,所以S(0,0,).所以=(1,1,-),=(0,-2,0).11.(2014·福州高二检测)如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是,点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求向量的坐标.(2)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值.【解题指南】利用三角形的知识先求出点D的坐标,然后再利用向量夹角公式求解向量和的夹角的余弦值.【解析】(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=.所以DE=CD·sin30°=.OE=OB-BD·cos60°=1-=,所以D点坐标为,即向量的坐标为.(2)依题意:=,=(0,-1,0),=(0,1,0).所以=-=,=-=(0,2,0).由于向量和的夹角为θ,则cosθ====-.所以cosθ=-.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·黄山高二检测)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是( )A.60°B.120°C.30°D.150°【解析】选B.因为=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),所以cos<,>====-,又0°≤<,>≤180°,所以θ=<,>=120°.2.(2014·泰安高二检测)设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( )A. B. C. D.【解析】选C.由向量加减运算法则得=(+)=(3,2,1)+(1,-1,5) =,故|CM|==.3.空间三点A(1,1,0),B(0,1,0),C,下列向量中,与平面ABC垂直的向量是( )A.(1,0,1)B.(0,1,1)C.(1,0,-1)D.(1,1,0)【解题指南】将四个选项分别与平面上的向量求数量积,看是否为零,从而选出正确结果.【解析】选B.=(-1,0,0),=,=,与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零,选项A中的向量(1,0,1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意;选项B中的向量(0,1,1)与上述向量的数量积为零,合题意;选项C中的向量(1,0,-1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意;选项D中的向量(1,1,0)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意,故选B.4.(2014·长沙高二检测)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ等于( )A.2B.-2C.-2或D.2或-【解析】选C.由cos<a,b>=a ba b===,得54-9λ=24,即为55λ2+108λ-4=0,λ=-2或λ=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.【解析】设点P(x,y,z),则由=2,得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),则解得即P(-1,3,3),则||===2.答案:26.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ= .【解题指南】首先利用三点共线转化为向量共线,再利用向量共线的坐标关系建立λ,μ的等量关系.【解析】因为=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),若A,B,C三点共线,则∥,即=-=,解得λ=0,μ=0,所以λ+μ=0.答案:0三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求△ABC的面积.(2)求△ABC中AB边上的高.【解析】(1)由已知得=(1,-3,2),=(2,0,-8),所以||==,||==2,·=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,cos<,>===,sin<,>==.所以S△ABC=||·||·sin<,>=××2×=3.(2)设AB边上的高为CD,则||==3.8.(2014·银川高二检测)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若∥,∥,求点D的坐标.(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)先设出点D的坐标,再利用向量共线的关系式,列出与点D坐标有关的等式.(2)探索型的问题的解决思路是先假设存在,再利用题目中的条件进行推导,若求出则存在,否则不存在.【解析】(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z), =(-1,1,0).因为∥,∥,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+ β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二综合质量评估]

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综合质量评估第一、二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2014·银川高一检测)在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )【解析】选C.由y=x+a得斜率为1，排除B，D，由y=ax与y=x+a中a同号知，若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上.故选C.2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【解析】选A.由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为〓22〓4〓π+2〓2〓4=16+8π.3.(2014·亳州高一检测)已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( )A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定【解析】选A.过点A作AO⊥面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD与BD于F，E点，连接DO.因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心，所以CO⊥BD，所以BD⊥AC.故选A.C1中，侧棱AA1⊥底面【变式训练】如图，三棱柱ABC-AA1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线D.A1C1∥平面AB1E【解析】选C.A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面A1C1CA与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C.4.(2014·安康高一检测)圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交【解析】选D.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，即(x+1)2+(y+4)2=25，表示以A(-1，-4)为圆心，以5为半径的圆.C2：x2+y2-4x+4y-2=0，即(x-2)2+(y+2)2=10，表示以A(2，-2)为圆心，以为半径的圆.两圆的圆心距d==，大于两圆半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选D.5.圆(x+2)2+y2=5关于y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2) 2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【解析】选D.圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0，-2)，故所求圆的方程为x2+(y+2)2=5.【误区警示】本题容易出现因为不会求点关于y=x的对称点而导致出错.6.三棱柱的放置方法如图所示，它的三视图是( )【解析】选A.对于选项A，其主视图是一个矩形，左视图是一个三角形，俯视图是一个矩形，中间应有一条横线，其摆放位置符合要求，故对；对于选项B，俯视图中少了一条横线，不符合三视图的作图规则，不正确；对于选项C，正视图中不应该有横线，故不正确；对于选项D，俯视图不可能是三角形，故不正确.7.(2014·吉安高一检测)已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个结论①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.①不正确，b可以在平面α内.②错误，b可能在平面α内.③错误，a可以在β内.④错误，平面β可经过直线a，所以①②③④均不正确.8.在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC【解析】选C.由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确.若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确.由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确.故选C.9.(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.由题意可知，A(1，1)是一个切点，根据切线的特点可知过点A，B的直线与过点(3，1)，(1，0)的直线互相垂直，k AB=-=-2，所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0.10.(2014·西安高一检测)如果函数y=|x|-2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A.{2}∪(4，+∞)B.(2，+∞)C.{2，4}D.(4，+∞)【解析】选A.根据题意画出函数y=|x|-2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，因为OA=OB=2，∠AOB=90°，所以根据勾股定理得：AB=2，所以OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ>4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪(4，+∞).故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上)11.已知点M(a，b)在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是________.【解析】点M(a，b)在圆x2+y2=1外⇒a2+b2>1.圆心O(0，0)到直线ax+by=1的距离d=<1=圆的半径，故直线与圆相交.答案：相交12.已知圆O：x2+y2=5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为____________.【解析】由题意知，点A在圆上，切线斜率为==-，用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为〓〓5=.答案：13.过点P(-1，6)且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线方程是____________________.【解析】画出草图可知直线x=-1是一条切线，设另一条为y-6=k(x+1)，则y-kx-6-k=0.由2=得k=，可知答案.答案：x=-1或4y-3x-27=0【误区警示】本题易忽略斜率不存在的情况，而忘记考虑直线x=-1.14.(2013·安徽高考)如图，正方体ABCD-AC1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；④当<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ=1时，S的面积为.【解析】①当0<CQ<时，截面如图1所示，截面是四边形APQM，故①正确；②当CQ=时，截面如图2所示，易知PQ∥AD1且PQ=AD1，S是等腰梯形，故②正确；③当CQ=时，截面如图3所示，易得C1R=，截面是五边形；④当<CQ<1时，如图4是五边形；故④不正确；⑤当CQ=1时，截面是边长相等的菱形，如图5所示，由勾股定理易求得AC1=，MP=，故其面积为S=AC1〓MP=.答案：①②③⑤15.(2014·镇江高一检测)从直线3x+4y+8=0上一点P向圆C：x2+y2-2x-2y+1=0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长最小值为________.【解析】由圆C：x2+y2-2x-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆心C(1，1)，半径r=1.因为PA，PB是☉C的切线，则CA⊥PA，CB⊥PB，所以|PA|=|PB|==，所以四边形PACB的周长l=2+2，因此当PC垂直于直线3x+4y+8=0时，PC取得最小值，此时|PC|==3，所以四边形PACB的周长l的最小值=2+2=4+2.答案：4+2三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2014·宝鸡高一检测)已知两直线l1：2x-y+7=0，l2：x+y-1=0，A(m，n)是l1和l2的交点.(1)求m，n的值.(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程.(3)求过点A且平行于直线l：2x-3y-1=0的直线l4的方程.【解析】(1)因为A(m，n)是l1和l2的交点，所以解得(2)由(1)得A(-2，3).因为=2，l 3⊥l1，所以=-，由点斜式得，l3：y-3=-(x+2)，即l3：x+2y-4=0.(3)因为l 4∥l，所以k l==，由点斜式得，l4：y-3=(x+2)，即2x-3y+13=0.17.(12分)(2013·辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC. 【证明】(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC；由PA垂直于圆所在的平面，得PA⊥平面ABC；由BC平面ABC，得PA⊥BC；又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO.由G为△AOC的重心，知M为AC的中点，由Q为PA的中点，得QM∥PC，又因为QM⊈平面PBC，PC平面PBC，所以QM∥平面PBC.又由O为AB的中点，则OM∥BC.同理可证，OM∥平面PBC.因为QM∩OM=M，QM平面QMO，OM平面QMO，所以，据面面平行的判定定理，平面QMO∥平面PBC，又QG平面QMO，故QG∥平面PBC.18.(12分)(2014·商州高一检测)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为2；③圆心在直线x-3y=0上，求圆C的方程. 【解析】所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x相交，设交于A，B两点，因为圆心C在直线x-3y=0上，所以设圆心C(3a，a)，又圆与y轴相切，所以R=3|a|.又圆心C到直线x-y=0的距离|CD|==|a|.因为在Rt△CBD中，R2-|CD|2=()2，所以9a2-2a2=7，a2=1，a=〒1，3a=〒3，所以圆心的坐标C分别为(3，1)和(-3，-1)，故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(12分)(2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，过AB的中点E 作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明：四边形EFGH是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直进而得AD垂直于平面BDC，确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH为平行四边形，再证得此平行四边形的邻边相互垂直，注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，所以AD⊥平面BDC.所以四面体ABCD的体积V=〓〓2〓2〓1=.(2)因为BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，所以BC∥FG，BC∥EH，所以FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，所以EF∥HG，所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD⊥平面BDC，所以AD⊥BC，所以EF⊥FG，所以四边形EFGH是矩形.20.(13分)圆(x+1)2+y2=8内有一点P(-1，2)，AB过点P，(1)若弦长|AB|=2，求直线AB的倾斜角α.(2)若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程.【解析】(1)当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1，与圆的交点坐标A(-1，2)，B(-1，-2)，则|AB|=4(不符合条件).当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为y=k(x+1)+2，圆心到直线AB的距离d=，又d==1，所以=1，即k=〒.所以直线AB的倾斜角α为或.(2)要满足圆上恰有三点到直线AB的距离等于，则圆心到这条直线的距离应为，当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1，直线过圆心(不符合条件)，当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为y=k(x+1)+2，d==，即k=〒1，所以直线AB的方程为y=x+3或y=-x+1.【变式训练】设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实数根，且0≤c≤，求这两条直线之间距离的最大值和最小值.【解析】由题意a+b=-1，ab=c，所以 (a-b)2=1-4c，所以≤(a-b)2≤1，因为两平行线间距离d=，所以d2=∈，所以d∈，所以d的最大值为，最小值为.21.(14分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y 轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程.【解析】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，由于圆心C，所以D=-2t，E=-，令y=0得x=0或x=-D=2t，所以A(2t，0)，令x=0得y=0或y=-E=，所以B，所以S△OAB=|OA|·|OB|=·|2t|·=4(定值).(2)因为OM=ON，所以O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，所以k OC=，所以=，解得t=2或t=-2，而当t=-2时，直线与圆C不相交，所以t=2，所以D=-4，E=-2，所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.关闭Word文档返回原板块。

(北师大版)数学必修二课时作业：1.5.2.2平面与平面平行的性质(含答案)

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课时提升作业(八)平面与平面平行的性质一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2013·安徽高考)在下列说法中，不是公理的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A.2.(2014·广州高二检测)设a，b，c为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法中，正确的个数为( )(1)若α∥β，aα，bβ则a∥b.(2)若α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B存在唯一一条直线与a平行.(3)若α∥β，β∥γ，则α∥γ.A.1个B.2个C.3个D.0个【解析】选B.(1)错误，a与b无公共点，则a∥b或a与b异面.(2)正确，由面面平行的性质定理知(2)正确，(3)正确.3.(2014·西安高一检测)一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A.异面B.相交C.平行D.不能确定【解析】选C.设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α，β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c.则a∥b，且a∥c，所以b∥c.又b⊈β，cβ，所以b∥β.又bα，α∩β=l，所以b∥l，a∥l.4.(2014·成都高二检测)平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，则平面α必定和这个三棱锥的( )A.底面平行B.一个侧面平行C.平行于两条相对的棱D.仅与一条棱平行【解题指南】画出三棱锥结合面面平行的性质逐一验证.【解析】选D.当平面α平行于某一个面时，截面为三角形，故A，B错，当平面α∥SA时，如图所示.SA平面SAB，平面SAB∩α=DG，所以SA∥DG，同理SA∥EF，所以DG∥EF，同理若BC∥α时得到GF∥DE，因为截面是梯形，所以只能有一条棱与之平行.5.(2014·重庆高一检测)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方形的截面，则截面的面积为( )A.9B.C.18D.【解题指南】由点、线、面的位置关系作出截面，依据图形求出面积即可.【解析】选 B.如图，由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，其中MN=，CD1==D1M=，所以梯形的高为h==，所以S=(+2)×=.6.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′=2∶5，求△A′B′C′与△ABC 的面积比为( )A.2∶5B.2∶7C.4∶49D.9∶25【解题指南】相似三角形面积之比等于边长之比的平方.【解析】选C.因为平面α∥平面ABC，平面α∩平面PAB=A′B′，平面ABC∩平面PAB=AB，所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB=PA′∶PA.又PA′∶AA′=2∶5，所以A′B′∶AB=2∶7.同理B′C′∶BC=2∶7，A′C′∶AC=2∶7，所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC=4∶49.二、填空题(每小题4分，共12分)7.平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形________.【解析】由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，由平面与平面平行的性质知AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故两个三角形相似.答案：相似8.(2014·吉安高二检测)如图正方体ABCD-A1B1C1D1中过BD1的平面，分别与AA1，CC1交于M，N，则四边形BND1M的形状为________.【解析】设过BD1的平面为α，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，α∩平面ABB1A1=BM，α∩平面CDD1C1=D1N，所以BM∥D1N，同理可得BN∥D1M，所以四边形BND1M为平行四边形.答案：平行四边形9.(2013·汉中高一检测)已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB=6，而=，则AC=________. 【解析】三平行平面截空间两条直线所得线段成比例，则=；而=，所以=，所以=，所以BC=9，所以AC=AB+BC=15.答案：15三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·成都高二检测)平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外且在平面α的一侧，AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.【证明】因为四边形A′B′C′D′是平行四边形，所以A′D′∥B′C′，因为AA′∥BB′，且AA′，A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′，B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C，又因AD，BC分别是平面ABCD与平面AA′D′D，平面BB′C′C的交线，故AD∥BC，同理可证AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形.11.如图，ABCD -A1B1C1D1是正四棱柱，E是棱BC的中点.求证：BD1∥平面C1DE.【解题指南】证线面平行，可转化为面面平行，方法一过BD1作平行平面或转化为线线平行，方法二在面内找一平行线.【证明】方法一：如图所示，取AD的中点M，连接MB，MD1，ME，则有ME CD，C1D1CD，所以ME C1D1，所以四边形MEC1D1是平行四边形，所以C1E∥D1M，又C1E⊈平面MBD1，D1M平面MBD1，所以C1E∥平面MBD1，又DM BE，所以四边形BEDM是平行四边形，所以DE∥BM，又DE⊈平面MBD1，BM平面MBD1，所以DE∥平面MBD1，又DE平面C1DE，C1E平面C1DE，DE∩C1E=E，所以平面C1DE∥平面MBD1，又BD1平面MBD1，BD1⊈平面C1DE，所以BD1∥平面C1DE.方法二：如图所示，连接CD1，交DC1于点F，连接EF，则点F是D1C的中点，又E是棱BC的中点，所以EF∥BD1，又BD1⊈平面C1DE，EF平面C1DE，所以BD1∥平面C1DE.一、选择题(每小题4分，共16分)1.如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，则过点A1作与截面PBC1平行的截面为( )A.三角形B.梯形C.矩形D.平行四边形【解析】选D.作出截面如图所示平面A1ECF，其中E，F分别为AB，C1D1的中点.由正方体中相对面互相平行，利用面面平行的性质定理可证四边形为平行四边形.2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为( )A.1B.1.5C.2D.3【解析】选A.因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B=A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，所以A1F∥BE，又A1E∥BF，所以四边形A1EBF是平行四边形，所以A1E=BF=2，AF=1.3.M，N，P为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列说法中，不正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】选B.①，④分别是直线和平面平行的传递性，正确；②中a与b还可能异面或相交；③中M与N还可能相交.【拓展延伸】“平行”关系结论大荟萃空间的平行关系，有些具有“传递性”，有些不具有，本题中的各种说法用文字描述为：①平行于同一条直线的两条直线平行.②平行于同一个平面的两条直线不一定平行.③平行于同一条直线的两个平面不一定平行.④平行于同一个平面的两个平面平行.⑤平行于同一个平面的直线与平面不一定平行.4.(2014·杭州高二检测)设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=( )A.68B.C.68或D.52【解题指南】本题有两种情况，(1)交点S在两平面之间，(2)交点S在两平面同侧.【解析】选C.如图(1)所示，AB，CD交于S，因为α∥β，所以AC∥BD.所以=，即=，故CS=.如图(2)所示，AB，CD交于S，因为α∥β，所以AC∥BD，所以=，即=得CS=68.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·宿迁高一检测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N=N，若AN=mAC，则m=________.【解析】因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M=AM，平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN=C1M=A1C1=AC，所以N为AC的中点，m=.答案：【变式训练】如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________.【解析】由平行投影定义知，AA1∥BB1，而ABCD所在的平面与平面α平行，则AB∥A1B1，所以四边形ABB1A1为平行四边形，同理四边形CC1D1D为平行四边形，所以AB CD，从而四边形ABCD为平行四边形.答案：平行四边形6.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA=PB=AB=2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF=G，ED与AF相交于点H，则GH=________.【解题指南】先证明点H是DE的中点，再由平面AGF∥平面PEC推出GH∥PE，最后在等边三角形PAB中求PE，利用三角形中位线的性质求GH.【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB=CD.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以AE=FD，又∠EAH=∠DFH，∠AEH=∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH=DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF=GH，平面PED∩平面PEC=PE，所以GH∥PE，又由H是DE的中点，所以G是PD的中点.因为PA=PB=AB=2，所以PE=2×sin60°=，所以GH=PE=.答案：三、解答题(每小题12分，共24分)7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图.(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD.(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E=EF=FC. 【解析】(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D平面C1BD，AB1⊈平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1=B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC.因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1，平面A1C1C∩平面C1BD=C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E=EF；同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，即CF=FE，所以A1E=EF=FC.8.如图，线段PQ分别交两个平行平面α，β于A，B两点，线段PD分别交α，β于C，D两点，线段QF分别交α，β于F，E两点，若PA=9，AB=12，BQ=12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.【解题指南】求△BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知△ACF 的面积，若△BDE与△ACF的对应边有联系的话，可以利用△ACF的面积求出△BDE的面积.【解析】因为平面QAF∩α=AF，平面QAF∩β=BE，又α∥β，所以AF∥BE.同理可证：AC∥BD，所以∠FAC与∠EBD相等或互补，即sin∠FAC=sin∠EBD.由FA∥BE，得BE∶AF=QB∶QA=12∶24=1∶2，所以BE=AF.由BD∥AC，得AC∶BD=PA∶PB=9∶21=3∶7，所以BD=AC.又因为△ACF的面积为72，即AF〃AC〃sin∠FAC=72.所以S△DBE=BE〃BD〃sin∠EBD=〃AF〃AC〃sin∠FAC=〃AF〃AC〃sin∠FAC=×72=84.所以△BDE的面积为84.关闭Word文档返回原板块。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程课时作业新人教A版选修2-1

双曲线及其标准方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014²长春高二检测)双曲线-=1的焦距为( )A. B.2 C.4 D.8【解析】选D.由方程-=1,得a2=9,b2=7,所以c2=a2+b2=16,即c=4,所以焦距2c=8.2.“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则有m>0,n<0,故mn<0,若m²n<0,则m>0,n<0或m<0,n>0.故选B.3.(2014²南昌高二检测)设双曲线-=1上的点P到点(4,0)的距离为10,则点P到点(-4,0)的距离为( )A.16B.16+2C.10+2或10-2D.16或4【解析】选C.由-=1,得a2=7,b2=9,所以c2=a2+b2=16,c=4,a=,所以F2(4,0)和F1(-4,0)为双曲线的焦点.由||PF1|-|PF2||=2a=2,故|PF1|=10+2或10-2.4.(2014²济宁高二检测)如图,△ABC外接圆半径R=,∠ABC=120°,BC=10,弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.由正弦定理得=2R,所以|AC|=2³³=14,由余弦定理得|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos∠ABC,即|AB|2+10|AB|-96=0,解得|AB|=6,依题意设双曲线的方程为-=1,则|BC|=2c=10,|AC|-|AB|=2a=14-6=8,所以c=5,a=4,则b2=c2-a2=9,因此所求双曲线的方程为-=1.5.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,则的值等于( )A. B. C. D.【解题指南】使用△ABP中的正弦定理.【解析】选D.在△A BP中,根据正弦定理得=.由条件可知,c2=16+9=25,所以|AB|=2c=10,且||PB|-|PA||=2a=8,所以===.6.(2014²宿州高二检测)过双曲线-=1(a,b>0)的左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P,切点为T,PF1的中点M在第一象限,则以下结论正确的是( )A.b-a=|MO|-|MT|B.b-a>|MO|-|MT|C.b-a<|MO|-|MT|D.b-a与|MO|-|MT|的大小不确定【解析】选A.设F2为双曲线的右焦点,连PF2,因M为PF1中点,故|MO|=|PF2|=(|PF1|-2a)=|PF1|-a=|MF1|-a,|MO|-|MT|=|MF1|-|MT|-a=|F1T|-a.连OT,则△F1OT为直角三角形,且|OT|=a,|OF1|=c,所以|F1T|==b,故|MO|-|MT|=b-a.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,所以a=4.又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10.所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:34【举一反三】本题条件不变,则△PF1F2的面积是.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a.所以a=4,又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10,在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===.所以sin∠F1PF2==,所以=|PF1||PF2|²sin∠F1PF2=³16³8³=.答案:8.(2014²唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a=16,即|PF2|=16+|PF1|=33.答案:33【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.9.(2014²双鸭山高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线方程为______________.【解析】|PF 1|==4,|PF2|==2,|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=,又c=2,故b2=c2-a2=2,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=1【变式训练】已知双曲线上两点P1,P2的坐标分别为(3,-4),,求双曲线的方程.【解析】设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),依题意有解得故所求双曲线方程为-=1.三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图,已知双曲线中c=2a,F1,F2为左、右焦点,P是双曲线上的点,∠F1PF2=60°,=12.求双曲线的标准方程.【解析】由题意可知双曲线的标准方程为-=1.由于||PF1|-|PF2||=2a,在△F1PF2中,由余弦定理得cos60°==,所以|PF1|²|PF2|=4(c2-a2)=4b2,所以=|PF1|²|PF2|²sin60°=2b2²=b2,从而有b2=12,所以b2=12,c=2a,结合c2=a2+b2,得a2=4.所以双曲线的标准方程为-=1.11.双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.【解题指南】这是一道典型的与焦点三角形有关的问题.可设点P(x0,y0),则|y0|就是点P到x轴的距离,故只需求出点P的纵坐标即可.【解析】设P点为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).因为PF1⊥PF2,所以²=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)²(-y0)=0,整理,得+=25①.又因为P(x0,y0)在双曲线上,所以-=1②.联立①②,得=,即|y0|=.因此点P到x轴的距离为.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )A.m≠1且m≠-3B.m>1C.m<-3或m>1D.-3<m<1【解析】选C.由(m-1)(m+3)>0,得m>1或m<-3.【举一反三】若方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是( )【解析】选B.由已知得得m>1.2.(2014²太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有²=0,则|+|=( )A. B.2 C. D.2【解析】选B.因为²=0,所以PF1⊥PF2,即△PF1F2为直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,|+|====2.3.(2014²济宁高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为( )A. B. C. D.【解析】选B.因为||PF1|-|PF2||=2,所以|PF1|2-2|PF1|²|PF2|+|PF2|2=4,所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|²|PF2|,由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2=2|PF1|²|PF2|cos 60°,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|²|PF2|,又a=1,b=1,所以c==,所以|F1F2|=2c=2,所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|²|PF2|+8,所以|PF1|²|PF2|=4.设P到x轴的距离为|y0|,=|PF1||PF2|sin 60°=|F1F2|²|y0|,所以³4³=³2|y0|,所以y0==.4.(2014²长沙高二检测)已知P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I是△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为( )A. B.C. D.【解析】选B.△IPF1,△IPF2,△IF1F2的高均为△PF1F2内切圆的半径,故|PF1|²r=|PF2|²r+λ³|F1F2|r,所以|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,即|PF1|-|PF2|=λ|F1F2|,所以2a=λ³2c,λ==.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014²黄石高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.【解析】由双曲线-=1,得c=4,所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.答案:96.(2014²杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若²=0,||²||=2,则该双曲线的方程是.【解析】设双曲线的方程为-=1,由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,又因为||²||=2,所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,即20-2³2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,所以双曲线的方程为-y2=1.答案:-y2=1三、解答题(每小题12分,共24分)7.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?【解题指南】根据cosα的取值,对角α分五类进行讨论,由直线、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状.【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.8.某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4s,已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340m/s,相关各点均在同一平面内)【解析】如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为炮弹的袭击位置,则|PB|-|PA|=340³4<|AB|,由双曲线定义,知点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,且a=680,c=1020,所以b2=10202-6802=5³3402.所以双曲线方程为-=1(x≤-680).①又|PA|=|PC|,因此P在直线y=-x上,把y=-x代入①式,得x≈-1521.所以P(-1521,1521),|OP|=1521(m).故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°,距指挥中心1521m处.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.2.2充要条件的应用课时作业新人教A版选修2-1

充要条件的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·郑州高二检测)在△ABC中,“A>B”是“a>b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.在△ABC中,A>B⇔a>b.【举一反三】本题中“A>B”若换为“sinA>sinB”,其结论又如何呢?【解析】选C.在△ABC中,由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,因此,a>b⇔sinA>sinB.2.(2014·荆门高二检测)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题,根据互为逆否命题的真假一致得到:“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”,但“不便宜”“好货”,所以“不便宜”是“好货”的必要不充分条件.3.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】由于“a≠1或b≠2”推“a+b≠3”不方便判断真假,所以利用原命题与逆否命题的真假等价性,转化到逆否命题的真假判断上来,从而使问题易于解决.【解析】选B.记p:a≠1或b≠2,q:a+b≠3,q:a+b=3,p:a=1且b=2,因为q p但p⇒q,所以q是p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.故选B.4.(2014·北京高考)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选D.“a>b”推不出“a2>b2”,例如,2>-3,但4<9;“a2>b2”也推不出“a>b”,例如,9>4,但-3<2.5.(2014·杭州高二检测)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.->0⇔>⇔a>b≥0⇒a2>b2,但a2>b2a>b≥0,如a=-2,b=-1,故->0是a2-b2>0的充分不必要条件.6.(2014·武汉高二检测)不等式<1的解集记为p,关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集记为q,若p 是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )A.(-2,-1]B.[-2,-1]C.(-∞,-2]∪[-1,+∞)D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)【解析】选A.由题意知p:x>2或x<1;而x2+(a-1)x-a>0,可化为(x+a)(x-1)>0,若-a>1,则q:x<1或x>-a. 由p是q的充分不必要条件.如图得1≤-a<2即-2<a≤-1,若-a≤1,则q:x<-a或x>1.由p是q的充分不必要条件,如图得,-a=1,综上得:-2<a≤-1.【变式训练】已知命题p:<1;命题q:(x+a)(x-1)<0,若p是q的充要条件,则a的值为( )A.0B.-1C.1D.2【解析】选C.因为<1⇔<0⇔-1<x<1,又因为p⇔q,所以(x+a)(x-1)<0的解是-1<x<1,故a=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·南昌高二检测)若p:x2-1>0,q:(x+1)(x-2)>0,则p是q的条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个).【解题指南】化简p与q,判断q是p的什么条件即可.【解析】p:x2-1>0⇔x2>1⇔x>1或x<-1,q:(x+1)(x-2)>0⇔x>2或x<-1,故q⇒p,但p q,所以q是p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件.答案:充分不必要8.已知条件p:|x-1|>a和条件q:2x2-3x+1>0,则使p是q的充分不必要条件的最小整数a= ________. 【解析】依题意a>0.由条件p:|x-1|>a得x-1<-a,或x-1>a,所以x<1-a,或x>1+a.由条件q:2x2-3x+1>0,得x<,或x>1.要使p是q的充分不必要条件,即“若p,则q”为真命题,逆命题为假命题,应有解得a≥.令a=1,则p:x<0,或x>2,此时必有x<,或x>1.即p⇒q,反之不成立.答案:1【变式训练】设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .【解析】一元二次方程x2-4x+n=0有实数根⇔(-4)2-4n≥0⇔n≤4.又n∈N+,则n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.所以n=3或n=4.答案:3或49.已知p是r的充分条件而不是必要条件,s是r的必要条件,q是r的充分条件,q是s的必要条件.现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.则正确命题序号是.【解析】由p是r的充分条件而不是必要条件,可得p⇒r,由s是r的必要条件可得r⇒s,由q是r的充分条件得q⇒r,由q是s的必要条件可得s⇒q,故可得推出关系如图所示,据此可判断命题①②④正确.答案:①②④【变式训练】已知p,q,r是三个命题,若p是r的充要条件且q是r的必要条件,那么q是p的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件,故有p⇔r⇒q,即p⇒q,q p,所以q是p的必要不充分条件.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·贵阳高二检测)命题p:x>0,y<0,命题q:x>y,>,则p是q的什么条件?【解析】p:x>0,y<0,则q:x>y,>成立;反之,由x>y,>⇒>0,因y-x<0,得xy<0,即x,y异号,又x>y,得x>0,y<0.所以“x>0,y<0”是“x>y,>”的充要条件.11.已知a,b,c均为实数,求证ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【证明】①充分性.若ac<0,则Δ=b2-4ac>0.所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,设其两根为x1,x2,因为ac<0,所以x1·x2=<0,即x1,x2的符号相反.所以方程有一个正根和一个负根.②必要性.若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,设其两根为x1,x2,不妨设x1<0,x2>0,则x1·x2=<0,所以ac<0.由①②知ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·大庆高二检测)已知a,b∈R,则“a>b”是“<”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为a>b⇔<,所以a>b是<的充要条件.2.(2014·珠海高二检测)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( ) A.x=- B.x=-1C.x=5D.x=0【解析】选D.a⊥b⇔a·b=0,又因为a·b=(x-1,2)·(2,1)=2(x-1)+2×1=2x,所以x=0,故选D.3.函数f(x)=a+sinx+cosx有零点的充要条件为( )A.a≤2B.a≥-2C.-2<a<2D.-2≤a≤2【解析】选 D.函数f(x)=a+sinx+cosx有零点⇔方程a+sinx+cosx=0有实数根⇔方程-a=sinx+cosx有实数根,由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60°),所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.【举一反三】本题改为函数没有零点的充要条件为.【解析】函数f(x)=a+sinx+cosx没有零点⇔方程a+sinx+cosx=0没有实数根⇔方程-a=sinx+cosx没有实数根.由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60°),所以-2≤-a≤2,即-2≤a≤2.所以函数f(x)=a+sinx+cosx没有零点的充要条件为a<-2或a>2.答案:a<-2或a>24.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是( )①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件.A.③④B.②③C.①②③D.①②④【解题指南】可利用Δ=b2-4ac的值判断方程根的情况,Δ=0方程有两相等实根;Δ>0方程有两不等实根;Δ<0方程无实根.【解析】选D.①对,Δ≥0⇔方程ax2+bx+c=0有实根;②对,Δ=0⇒方程ax2+bx+c=0有实根;③错:Δ>0⇒方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ>0;④对,Δ<0⇔方程ax2+bx+c=0无实根,故选D.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·天津高二检测)已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a= . 【解析】由1×3-a×(a-2)=0得,a=3或-1,而a=3时,两条直线重合,所以a=-1.答案:-1【举一反三】本题中“l1∥l2”若换为“l1⊥l2”,其结论又如何呢?【解析】因为l1⊥l2,所以1×(a-2)+3a=0,所以a=.6.数列{a n}既是等差数列又是等比数列的充要条件为.【解析】依题意,a n+1-a n=d,且=q(d,q为常数),对一切正整数n都成立,则qa n-a n=d,所以a n(q-1)=d对一切正整数n都成立,故d=0,q=1,数列{a n}为常数列.由于a n=0不是等比数列,所以数列{a n}既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列{a n}是非零常数列. 答案:数列{a n}为非零常数列三、解答题(每小题12分,共24分)7.求函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数的充要条件.【解题指南】解答本题需对a分a=0和a≠0两种情况求解.【解析】当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数,当a≠0时,f(x)为二次函数,其图象是抛物线,对称轴方程为x==-1,若f(x)在(-∞,4]上为减函数,则有即0<a≤,综上可知,当0≤a≤时,f(x)在(-∞,4]上为减函数,反之,当f(x)在(-∞,4]上单调递减时,0≤a≤.所以函数f(x)在区间(-∞,4]上为减函数的充要条件是0≤a≤.8.(2014·深圳高二检测)已知数列{a n}的前n项和为S n=(n+1)2+c,探究{a n}是等差数列的充要条件.【解析】当{a n}是等差数列时,因为S n=(n+1)2+c,所以当n≥2时,S n-1=n2+c,所以a n=S n-S n-1=2n+1,所以a n+1-a n=2为常数.又a1=S1=4+c,所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,因为{a n}是等差数列,所以a2-a1=2,所以1-c=2.所以c=-1,反之,当c=-1时,S n=n2+2n, 可得a n=2n+1(n≥1,n∈N*)为等差数列, 所以{a n}为等差数列的充要条件是c=-1.。

高中数学(北师大版必修二)课时作业：第1章立体几何初步章末总结

第一章章末总结一、直观图和三视图的画法直观图和三视图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们更好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化，解决此类问题主要依据它们的概念和画法规则．例1一几何体的三视图如图所示．(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图；(2)计算该几何体的体积与表面积．二、共点、共线、共面问题1．关于多点共线问题往往需要证明这些点在某两个平面的交线上．2．多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点．3．多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上．4．多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内．例2如图所示，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．三、平行问题1．空间平行关系的判定方法：(1)判定线线平行的方法．①利用线线平行的定义证共面而且无公共点(结合反证法)；②利用平行公理；③利用线面平行性质定理；④利用线面垂直的性质定理(若a⊥α，b⊥α，则a∥b)；⑤利用面面平行性质定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b)．(2)判断线面平行的方法：①线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊆α，bα，a∥b⇒a∥α)；③面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；④面面平行的性质(α∥β，a⊆α，a⊆β，a∥α⇒a∥β)．(3)面面平行的判定方法有：①平面平行的定义(无公共点)；②判定定理(若a∥β，b∥β，a、bα，且a∩b＝A，则α∥β)；③判定定理的推论(若a∥a′，b∥b′，aα，bα且a∩b＝A，a′β，b′β，且a′∩b′＝A′，则α∥β)；④线面垂直性质定理(若a⊥α，a⊥β，则α∥β)；⑤平面平行的性质(传递性：α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．2．平行关系的转化是：例3如图，S为矩形ABCD所在平面外一点，E、F分别是SD、BC上的点，且SE∶ED＝BF∶FC．求证：EF∥平面SAB．例4如图所示，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD ＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ．四、垂直问题1．空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法有：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，bα，则a⊥b)；③面面垂直的定义：两平面相交形成的二面角的平面角为90°．(2)判定线面垂直的方法有：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法有：①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a α⇒α⊥β)．2．垂直关系的转化是：例5 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，N 是PB 的中点，过A ，D ，N 的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点．求证：(1)EN ∥平面PDC ； (2)BC ⊥平面PEB ；(3)平面PBC ⊥平面ADMN ．第一章章末总结 ★答案☆重点解读例1解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直观图如图所示．(2)由三视图中的尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm ，高为20 cm 的圆柱，上部为底面直径为8 cm ，母线长为5 cm 的圆锥．易求得圆锥高h ＝52－42＝3(cm)，∴体积V ＝π·42·20＋13π·42·3＝336π(cm 3)，表面积S ＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5 ＝196π(cm 2)．∴该几何体的体积为336π cm 3，表面积为196π cm 2．点评三视图画法：它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线．例2 证明 (1)∵BG ∶GC ＝DH ∶HC ，∴GH ∥BD ，又EF ∥BD ， ∴EF ∥GH ，∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵G ，H 不是BC 、CD 的中点， ∴EF ≠GH 又EF ∥GH ，∴EG 与FH 不平行，则必相交，设交点为M ．⎭⎪⎬⎪⎫EG 面ABC HF 面ACD ⇒M ∈面ABC 且M ∈面ACD⇒M 在面ABC 与面ACD 的交线上 ⇒M ∈AC ．∴GE 与HF 的交点在直线AC 上．点评证明线共点、点共线、线共面问题，重要是应用平面的基本性质，先证部分元素共点、共线、共面，再利用基本性质1,2,3证明其他元素也具有这个性质，要熟练地掌握这三个基本性质．例3 证明方法一转化为证明面面平行．过F 作FG ∥AB ，交AD 于G ，连接EG ．∵FG ∥AB ，∴AG ∶GD ＝BF ∶FC ， ∴AG ∶GD ＝SE ∶ED ，故EG ∥SA ．又∵FG ∥AB ，AB ∩SA ＝A ， ∴平面SAB ∥平面EFG ．又∵EF ⊂平面SAB ， ∴EF ∥平面SAB ．方法二转化为证明线线平行．过E 作EG ∥AD 交SA 于G ，连接BG ， ∵BF ∥AD ，∴BF ∥EG ，∴平面BFEG ∩平面SAB ＝BG ． ∵SE ∶ED ＝BF ∶FC ， ∴SE ∶SD ＝BF ∶BC ．又∵SE ∶SD ＝EG ∶AD ． ∴BF ∶BC ＝EG ∶AD ， ∵BC ＝AD ．∴BF ＝EG ，故四边形BFEG 为平行四边形． ∴EF ∥BG ，∴EF ∥平面SAB ．点评本题的证明体现了证明线面平行的常用方法，解决此类问题关键是选择或添加适当的辅助线(或面)，使问题得以转化．证明线面平行常用的方法是利用线面平行的定义和线面平行的判定定理．例4 证明连接CD 1、AD 1，∵P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1，且CD 1⊆平面BPQ ，∴CD 1∥平面BPQ ．又D 1Q ＝AB ＝1，D 1Q ∥AB ， ∴四边形ABQD 1是平行四边形， ∴AD 1∥BQ ，且AD 1平面BPQ ， ∴AD 1∥平面BPQ ．又AD 1∩CD 1＝D 1，∴平面ACD 1∥平面BPQ ， ∵AC平面ACD 1，∴AC ∥平面BPQ ．例5 证明 (1)因为AD ∥BC ，BC 平面PBC ， AD ⊆平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ，又平面ADMN ∩平面PBC ＝MN ，所以AD ∥MN ，所以MN ∥BC ．因为N 为PB 的中点，所以M 为PC 的中点，所以MN ∥BC ，且MN ＝12BC ．又E 为AD 的中点，所以四边形DENM 为平行四边形．所以EN ∥DM ．又EN ⊆平面PDC ，DM平面PDC ，所以EN ∥平面PDC ．(2)因为ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD ＝60°，所以BE ⊥AD ．又因为PE ⊥AD ，PE ∩BE ＝E ，所以AD ⊥平面PEB ．因为AD ∥BC ，所以BC ⊥平面PEB ． (3)由(2)知AD ⊥PB ．又因为P A ＝AB 且N 为PB 的中点，所以AN ⊥PB ，又AD ∩AN ＝A ，所以PB ⊥平面ADMN ．又PB 平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ADMN ．点评立体几何的证明，我们要牢牢抓住“转化”这一思想，线与线，线与面，面与面之间的垂直与平行都可互相转化，转化的理论依据是这三种平行与垂直的判定定理、性质定理等．。

(北师大版)数学必修二课时作业：1.2直观图(含答案)

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课时提升作业(二)直观图一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2018·绍兴高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中，底面ABCD的直观图一定是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形【解析】选D.底面ABCD是正方形，在直观图中角与边的长度会改变，但对边的平行性不变，一定是平行四边形.2.(2018·亳州高一检测)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )【解析】选C.直观图中有一条边与y′轴平行，两条边与x′轴平行，所以该图形为直角梯形.3. (2018·锦州高一检测)如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′=2，则△ABC的面积为( )A.2B.4C.2D.4【解题指南】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是2，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果.【解析】选D.因为等腰Rt△C′A′B′是一平面图形的直观图，直角边长为A′B′=2，所以直角三角形的面积是×2×2=2，因为平面图形与直观图的面积的比为2∶1，所以原平面图形的面积是2×2=4.4.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选C.直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中有一个角大于90°，是钝角三角形.5.(2018·榆林高一检测)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )【解析】选A.直观图中正方形的边长为1，故对角线长为，所以在原图中一对角线的长为2.【举一反三】本例条件不变，则原图的周长为__________.【解析】原图中一条边长为1，另一条边长为=3，故周长为(1+3)×2=8.答案：86.(2018·银川高一检测)如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′=2，则△AOB的边OB上的高为( )A.2B.4C.2D.4【解析】选D.因为直观图与原图形中边OB长度不变，S原图形=2S直观图，所以有·OB·h=2××2·O′B′，所以h=4.二、填空题(每小题4分，共12分)7.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5m，10 m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______________.【解析】根据斜二测画法规则求解.答案：4cm，0.5cm，2cm，1.6cm8.(2018·聊城高一检测)已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______________.【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm).在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5cm.答案：5cm9.已知△ABC的水平放置的直观图是等腰的Rt△A′B′C′，且∠A′=90°，A′B′=(如图)，则△ABC的面积是________.【解析】根据斜二测画法的规则，画出△ABC，如图所示，其中BC=B′C′=2，AB=2A′B′=2，∠ABC=90°，所以S△ABC=×2×2=2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2018·济宁高一检测)用斜二测画法作出长为4，宽为3的矩形的直观图. 【解析】画法：(1)如图①在已知矩形ABCD中，取AB，AD所在边为x轴、y轴，相交于O点(O与A重合)；画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45°，如图②.(2)在x′轴上取点A′(A′与O′重合)，B′使A′B′=AB，在y′轴上取D′，使A′D′=AD，过D′作D′C′平行于x′轴，且等于A′B′的长.(3)去掉辅助线，连接C′B′所得四边形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直观图.11.(2018·丽水高一检测)有一棱柱，其底面为边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm，试画出此棱柱的直观图.【解析】(1)画轴.如图(1)所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上画MN=3cm，在y轴上画PQ=cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到棱柱的直观图，如图(2)所示.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·佛山高一检测)下列说法正确的是( )A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图是平行四边形【解析】选D.对于A.若两条直线中一条平行于x轴，一条平行于y轴，则直观图中两直线的夹角为45°，故A 错，原图中平行的线段在直观图中也平行，故B，C错.2.(2018·北京高一检测)一个三角形在其直观图中对应一个边长为4的正三角形，则原三角形的面积为( )A.8B.8C.4D.4【解题指南】利用直观图面积与原图面积比为∶4解答.【解析】选A.S直观图=×4×4×=4.由=，得S原图=8.【变式训练】若一个正三角形的边长为4，则其直观图的面积为________.【解析】S原图=×4×4×=4，由=，得S直观图=4×=.答案：3.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的图形ABCD的直观图，其中A′B′=6，A′D′=2，则图形ABCD为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【解析】选C.将直观图还原如图所示，AB=A′B′=6，AE=2A′E′=4，DE=D′E′=2，DC=6，则在Rt△ADE中，AD==6，所以四边形ABCD为菱形.【误区警示】本题学生易由于只看到AB CD，忘了判断AD与AB的关系得四边形ABCD为平行四边形而出错. 4.(2018·宿州高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，OC⊥DC，原平面图形的面积为( )A.1+B.2+C.2+D.1+【解题指南】解答本题的关键是求原梯形的高，下底边长，故应过A作AE⊥BC于E.【解析】选C.过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意知DC∥AE，AD∥EC，所以四边形ADCE为矩形.所以EC=AD=1，由∠ABC=45°，AB=AD=1知BE=，所以原平面图形是梯形且上下两底长分别为1和1+，高为2，所以原平面图形的面积为××2=2+.二、填空题(每小题4分，共12分)5.(2018·蚌埠高二检测)△ABC的面积为10，以它的一边所在直线为x轴画直观图后，其直观图的面积为__________.【解析】如图所示为△ABC的原图形和直观图.作A′D′⊥B′C′于D′，则A′D′为直观图B′C′边上的高，易求得A′D′=AO，所以S△A′B′C′=S△ABC=×10=.答案：6.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.【解题指南】可大致画出其直观图进行判断，首先由三角形形状进行直观判断，形状确定后可求出相应角度、长度判断.【解析】根据斜二测画法知在(1)(2)(4)中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于(3)，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等.答案：(3)三、解答题 (每小题12分，共24分)7.如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图.【解析】画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°(如图(2)).(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′=AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′=AE，B′C′=BC；在y′轴上截取O′D′=OD.(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴以及O′点，便得到平面图形水平放置的直观图(如图(3)).8.画出一个正四棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为6cm，8cm，高为4cm的正四棱台).【解题指南】先画出上、下底面(正方形)的直观图，然后画出整个正四棱台的直观图.【解析】(1)画下底面，画x轴，y轴，使∠xOy=45°，以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF=8cm.在y轴上取线段GH，使得GH=EF，GH的中点为O，再过G，H分别作AB∥EF，CD∥EF，AB=EF=CD=8cm，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面的直观图.(2)画z轴.三轴相交于点O，使z轴与x轴成90°.(3)画上底面，在z轴上截取线段OO1=4cm，过O1点作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，则∠x′O1y′=45°.建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中画出上底面的直观图A1B1C1D1.(4)再连接AA1，BB1，CC1，DD1，并擦去辅助线及相关点，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②).关闭Word文档返回原板块。

【全程复习方略】2014-2015学年北师大版高中数学必修一课时作业(十五) 3.2.1]

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课时提升作业(十五)指数概念的扩充(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.将写成根式,正确的是( )A. B. C. D.【解析】选D.因为=,所以选D.2.(2014·江中高一检测)计算=( )A. B. C.-3 D.5【解题指南】观察出哪一个数的立方等于.【解析】选B.因为==,所以=.3.式子-70的值等于( )A.-4B.-10C.2D.3【解析】选C.因为=3,70=1,所以原式=3-1=2.4. (a7b8化为根式是( )A. B. C. D.【解析】选A.(a7b8=,故A正确.5.(2014·益阳高一检测)把根式(a>b)改写成分数指数幂的形式是( ) A.(a-b B.(a-bC.-D.-【解析】选A.根据分数指数幂与根式的关系可得结果.6.等于( )A. B.α2 C.-1 D.1【解析】选D.===1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·广州高一检测)设α,β为方程2x2+3x+1=0的两个根,则= .【解题指南】先根据根与系数的关系求出α+β的值.【解析】利用根与系数的关系,得α+β=-,所以=,因为8-2=,所以=8.答案：88.(2014·上饶高一检测)式子(1-2x有意义,则x∈.【解析】因为(1-2x==,所以1-2x>0,即x<.答案：【举一反三】式子(1-2x有意义,则x∈.【解析】因为(1-2x==,所以1-2x≠0,即x≠.答案：∪9.(2014·延安高一检测)把(a>0)写成分数指数幂的形式为.【解析】==.答案：三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·重庆高一检测)求值：(1)3.(2)8.(3)0.008.【解析】(1)因为=32,所以3=.(2)因为813=274,所以8=27.(3)令0.008=b,所以=b4,即b4=,所以b=.【误区警示】在(3)中要注意b>0,不要出现b=〒这种错误.11.把下列是根式的化为分数指数幂,是分数指数幂的化为根式(式中字母均为正实数).(1).(2).(3)(a+b.(4).【解析】(1)=.(2)=2.(3)(a+b=.(4)=(x3+y.【拓展延伸】指数幂的扩充意义根式与分数指数幂互化后,所有的式子表示都可以归结为分数指数幂,即归结为指数表达.“指数概念”的扩充过程类似“数”的扩充过程,体现了整个数学的组织化,系统化的精神.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·榆林高一检测)要使有意义,则a可能取的值为( )A.0B.-2C.-D.【解析】选D.由==可知结果.2.(2014·渭南高一检测)-+等于( )A.2B.-2C.0D.1【解析】选C.-+=-+=0.3.(2014·西安高一检测)若(a2)3=π2,则a=( )A. B.- C.± D.【解析】选C.因为(a2)3=π2中,a可以取正、负值,所以a=〒=〒.【误区警示】没有明确a的范围而错选A.4.若有意义,则x的取值范围是( )A.x>2B.x<2C.x>2或x<-2D.x∈R【解题指南】开偶次方根时,被开方数应为非负数.【解析】选A.要使有意义,只需使≥0,即x-2>0,所以x>2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·吉安高一检测)在,,,2-1中,最大的数是.【解析】因为==,==,2-1=,<0,所以最大.答案：6.(2014·佛山高一检测)计算= .【解析】==|π-3=π-3.答案：π-3三、解答题(每小题12分,共24分)7.求函数y=(2x+3-(6x-5)0的定义域.【解析】由题意得解得x>-且x≠.故函数的定义域为∪.【变式训练】函数y=(4x-3-(x-5)0的定义域为.【解析】由题意得解得x>且x≠5.答案：x>且x≠58.已知幂函数y=f(x)的图像过点.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(25)的值.(3)若f(a)=b(a,b>0),则a用b可表示成什么?【解题指南】解答本题的关键是根据条件求出y=f(x)的解析式,进而求解(2)(3).【解析】(1)设f(x)=x t,则9t=.即32t=3-1,所以t=-,所以f(x)=(x>0).(2)f(25)=2===.(3)由f(a)=b得=b,所以a=b-2=.关闭Word文档返回原板块。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.2.2.1椭圆的简单几何性质课时作业新人教A版选修2-1

椭圆的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( )A.(±13,0)B.(0,±10)C.(0,±13)D.(0,±)【解析】选D.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,所以c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,±).2.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率【解析】选B.对于椭圆+=1(0<k<9),c2=(25-k)-(9-k)=16,焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.3.(2014²孝感高二检测)若椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.【解析】选B.由椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,所以2³2b=2a+2c,即2b=a+c,所以5c2-3a2+2ac=0,等式两边同除以a2得5e2+2e-3=0,解得e=或e=-1(舍).4.(2014²茂名高二检测)已知椭圆+=1及以下3个函数:①f(x)=x;②f(x)=sinx;③f(x)=cosx,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个【解析】选B.我们知道:①f(x)=x,②f(x)=sinx都是奇函数,其图象关于原点对称,而椭圆+=1的图象也关于原点对称,故①②函数图象能等分该椭圆面积;而③f(x)=cosx是偶函数,其图象不关于原点对称,故f(x)=cosx的图象不能等分该椭圆面积.综上可知:只有①②满足条件.5.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( ) A.98a B.99a C.100a D.101a【解析】选 D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故结果应为50³2a+|F1P50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.6.(2014²吉林高二检测)椭圆+=1的离心率为,则k的值为( )A.-21B.21C.-或21D.或21【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,得c2=5-k,由==,得k=-;当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5,由==,得k=21.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014²荆州高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为:+=1.答案:+=18.(2013²上海高考)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则Γ的两个焦点之间的距离为.【解析】如图所示.以AB的中点O为坐标原点,建立如图所示的坐标系.设D在AB上,且CD⊥AB,AB=4,BC=,∠CBA=⇒CD=1,DB=1,AD=3⇒C(1,1)且2a=4,把C(1,1)代入椭圆标准方程得+=1,a2=b2+c2⇒b2=,c2=⇒2c=.答案:9.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则²的最大值为.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以²=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,²取得最大值+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)10.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.【解题指南】先设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由离心率得a=2b,利用两点间的距离公式表示出|PM|2,若0<b<,则当y=-b时|PM|2最大,这种情况不可能,若b≥,则当y=-时4b2+3=7,从而求出b值,最后求得所求方程.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,|P M|2=x2+=-3+4b2+3(-b≤y≤b),若0<b<,则当y=-b时|PM|2最大,即=7,所以b=->,故矛盾.若b≥,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为+y2=1.11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3²=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).所以≥,即e≥.又0<e<1,所以e的取值范围是.(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60°=b2,即△PF1F2的面积只与短轴长有关.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为( )A.x2+y2=1B.(x-1)2+y2=4C.x2+y2=4D.x2+(y-1)2=4【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.2.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1或+=1D.+=1或+=1【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====.因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.所以椭圆方程为+=1,同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.3.(2014²邯郸高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根x1,x2,则点P(x1,x2)( )A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能【解析】选A.因为x1,x2是方程ax2+bx-c=0的两个实根,所以x1+x2=-,x1²x2=-=-.由+=(x1+x2)2-2x1x2=+1,因为a>b,所以<1,所以+1<2,故点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.4.(2014²衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足²=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,1)B.C. D.【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为²=0,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2-c2,故e2<,所以0<e<.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014²辽宁高考)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则+= .【解析】根据题意,椭圆的左右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),由于点M的不确定性,不妨令其为椭圆的左顶点M(-3,0),线段MN的中点为椭圆的上顶点H(0,2),则M关于C的焦点的对称点分别为A(-2+3,0),B(2+3,0),而点N(3,4),据两点间的距离公式得+=+=12. 答案:126.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为.【解析】如图,不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y),由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),即解得所以D.因为点D在椭圆上,所以+=1,解得a2=3c2,即e2=,所以e=.答案:【变式训练】(2013²江苏高考改编)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a>0,b>0),右焦点为F,直线l方程为:x=,短轴的一个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2=d1,则椭圆C的离心率为.【解题指南】利用d2=d1构建关于参数a,b,c的关系式.【解析】由原点到直线BF的距离为d1得d1=,因F到l的距离为d2故d2=-c,又d2=d1,所以-c=⇒a2-c2=⇒1-e2=e2,又=,解得e=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上,求此椭圆的方程.【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别算出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为☉P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC 的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=. ①因为BC的中点为,k BC=-b,所以BC的垂直平分线方程为y-=②由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,可得(1+b)(b-c)=0,因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.8.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求²的取值范围.【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),设P(x0,y0),则=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).所以²=(-5)+. ①又+=1,所以=4-,代入①,所以²=-1,因为0≤≤9,所以0≤≤5,所以-1≤²≤4,所以²∈[-1,4].【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出²≥-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0∈[-3,3].【变式训练】已知椭圆+=1(a>b>0),若椭圆的离心率e满足≤e≤,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围.【解题指南】由+=2把b2用a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a的范围.【解析】由+=2得b2=①,所以e2===1-,又因为≤e≤,所以≤1-≤,结合①b2=可得≤≤,所以≤a2≤,≤a≤,即≤2a≤, 故长轴长的取值范围是[,].。

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 2.1.3 第二章解析几何初步]

1．3两条直线的位置关系【课时目标】1．熟练应用两直线平行与垂直的判断方法．2．理解当直线的斜率不存在时，两直线可能平行或垂直．1．设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则__________，反之，若k1＝k2，则________．特别当两条直线的斜率都不存在时两条直线______．2．(1)两条直线l1与l2中的一条平行于x轴，另一条垂直于x轴，则两条直线________．(2)如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且其中一个不为零，那么l1⊥l2⇔__________．一、选择题1．下列说法正确的有()①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；③若两直线斜率都不存在，则两直线平行．A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为() A．0 B．－8 C．2 D．103．△ABC的顶点A(3,6)、B(－1,5)、C(1,1)，则BC边的高所在的直线方程为()A．x－2y＋9＝0 B．x＋2y－15＝0C．x－2y＋3＝0 D．x＋2y－9＝04．已知直线l1：(m＋3)x＋(m－1)y－5＝0与直线l2：(m－1)x＋(3m＋9)y－1＝0互相垂直，则实数m的值为()A．－3，－1 B．－3,1C．3,1 D．－1,35．在平面直角坐标系中，对a∈R，直线l1：x－2ay＋1＝0和l2：2ax＋y－1＝0() A．互相平行B．互相垂直C．关于原点对称D．关于直线y＝－x对称6．两条直线xm－yn＝1与xn－ym＝1的图象是下图中的()二、填空题7．与直线3x－2y＋1＝0垂直，且过点(1,2)的直线l的方程是__________．8．经过点P(－2，－1)、Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________．9．经过A(－1，m)，B(2m,1)两点的直线，当m＝______时，该直线平行于x轴；当m＝________时，该直线平行于y轴．三、解答题10．已知直线l1上的点满足ax＋2y＋6＝0，直线l2上的点满足x＋(a－1)y＋a2－1＝0 (a≠1)，试求a为何值时，(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2．11．已知斜边在x 轴上的Rt △ABC 的直角顶点A (0,1)，其中一条直角边所在直线的方程为2ax ＋by ＋a ＝0 (b ≠0)，求另一条直角边所在直线的方程．能力提升12．过点(4，－5)且与原点距离最远的直线方程是____________．13．已知正方形的一个顶点为A (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求以A 为端点的两边所在直线的方程．在判定两条不重合的直线的位置关系时，应先考虑两条直线的斜率是否存在．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行；如果一条直线斜率存在，另一条直线的斜率不存在，画图很容易判断它们的位置关系；如果两条直线的斜率都存在，我们可根据l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1判断即可．1．3 两条直线的位置关系答案知识梳理1．k 1＝k 2 l 1∥l 2 平行2．(1)垂直 (2)k 1k 2＝－1作业设计1．B 2．B 3．A 4．B 5．B 6．B7．2x ＋3y －8＝0 8．49．1 －1210．解 (1)若l 1∥l 2，∵a ≠1，∴l 1的斜率是k 1＝－a 2， l 2的斜率是k 2＝－1a －1，由k 1＝k 2，得－a 2＝－1a －1，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2．当a ＝－1时，l 1：x －2y －6＝0，l 2：x －2y ＝0符合题意；当a ＝2时，l 1：x ＋y ＋3＝0，l 2：x ＋y ＋3＝0，l 1与l 2重合，不合题意，故a ＝－1为所求．(2)l 1⊥l 2时，由(1)及两直线垂直的条件k 1·k 2＝－1，得⎝⎛⎭⎫－a 2·⎝⎛⎭⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23．综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23时，l 1⊥l 2． 11．解由题意知点A (0,1)满足方程2ax ＋by ＋a ＝0 (b ≠0)．∴b ＝－a ，∴该直线的斜率k ＝－2a b＝2． ∵两直角边所在的直线互相垂直．∴另一直角边所在的直线的斜率为－12， ∴y －1＝－12(x －0)．即所求直线的方程为x ＋2y －2＝0．12．4x －5y －41＝0解析此直线必过点(4，－5)，且与(0,0)，(4，－5)的连线垂直，而(0,0)，(4，－5)连线的斜率为－54． ∴所求直线的斜率为45， ∴所求直线的方程为y ＋5＝45(x －4)，即4x －5y －41＝0．13．解易知点A 不在直线x ＋3y －5＝0上．和已知边平行的一边所在直线的斜率为－13，和已知边垂直的两边所在直线的斜率为3．因此，以A 为端点的两边所在直线方程分别为y ＝－13(x ＋1)和y ＝3(x ＋1)，即x ＋3y ＋1＝0和3x －y ＋3＝0．。

【步步高学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业第一章立体几何初步(B)]

第一章立体几何初步（B）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上2．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面3．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．0 B．9 C．快D．乐4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是()A．6 B．3 2 C．6 2 D．125．下列命题正确的是()A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1()A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对7．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A ．4B ．6C ．8D ．129．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A ．12B ．14C ．1D ．3912910．设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( ) A ．若l ⊥α，α⊥β，则l β B ．若l ∥α，α∥β，则l β C ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β D ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β11．已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5，则此球的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．均不正确12．如图，在空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 、FG间的距离为( )A ．8 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．9 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________．14．已知用斜二测画法，画得正方形的直观图的面积为182，则原正方形的面积为________．15．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． ①若AC ＝BD ，则四边形EFGH 的形状是______； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的形状是______．16．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：____________时，SC ∥平面EBD ．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 画出如图所示的四边形OABC 的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)18．(12分)某几何体的三视图如图所示，P 是正方形ABCD 对角线的交点，G 是PB 的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，①证明：PD ∥面AGC ； ②证明：面PBD ⊥面AGC ．19．(12分)如图所示，一个封闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面高度为h 1，且水面高是锥体高的13，即h 1＝13h ，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h 2，求h 2的大小．20．(12分)如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠BCD ＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，侧棱P A⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD．22．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AD；(2)求三棱锥E－ABC的体积V．第一章立体几何初步(B ) 答案1．B[如图， ∵P ∈HG ，面ACD ，∴P ∈面ACD ，同理P ∈面BAC ，面BAC ∩面ACD ＝AC ； ∴P ∈AC ，选B ．] 2．C 3．B4．D [△OAB 为直角三角形，两直角边分别为4和6，S ＝12．] 5．C [可以以正方体为载体作出判断．] 6．C7．B [因为AD 1⊥A 1D ，且AD 1⊥A 1B 1，所以AD 1垂直于平面A 1DB 1．] 8．A[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S －ABCD ，其中SA ⊥面ABCD ，SA ＝2， AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形．∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD)×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A ．]9．D [设上，下底半径分别为r 1，r 2，过高中点的圆面半径为r 0，由题意得r 2＝4r 1，r 0＝52r 1，∴V 上V 下＝r 21＋r 1r 0＋r 20r 22＋r 2r 0＋r 20＝39129．] 10．C [当l ⊥α，α⊥β时不一定有l β，还有可能l ∥β，故A 不对，当l ∥α，α∥β时，l β或l ∥β，故B 不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m ，n 与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l ⊥α，则l ⊥m ，l ⊥n ，即l ⊥m′，l ⊥n′，故l ⊥β，因此C 正确，若l ∥α，α⊥β，则l 与β相交或l ∥β或l β，故D 不对．]11．B [由题意知，球的直径为 2R ＝32＋42＋52＝52，∴S 球＝4×π·⎝⎛⎭⎫5222＝50π．故选B ．] 12．A [由题知，EH ＝12BD ＝3 cm ，FG ＝23BD ＝4 cm ．设平行线EH 、FG 之间距离为d ，则28＝12×(3＋4)×d ，∴d ＝8 cm ，故选A ．]13．9解析由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CSSD，解得SD ＝9． 14．72解析设原正方形边长为x ，则直观图中平行四边形底为x ，高为h ′＝12x·22＝24x ，面积为S ′＝x·24x ＝24x 2，即24x 2＝182，∴x 2＝72， ∴原正方形面积为72． 15．菱形矩形 16．E 是SA 的中点解析连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 中点，∴EO ∥SCEO 面EBD ，SC ⊆面EBD ， ∴SC ∥面EBD ．17．解直观图如下图所示．(1)画轴：在直观图中画出x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)确定A ′，B ′，C ′三点，在x ′轴上取B ′使O ′B ′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y ′轴的平行线，过(0,2)，(0，－1)两点作x ′轴的平行线，得交点A ′，C ′．(3)顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，C ′O ′并擦去辅助线，就得到四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′．18．(1)解该几何体的直观图如图所示(2)证明 ①连接AC ，BD 交于点O ，连接OG ，因为G 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以OG ∥PD ．又OG 面AGC ，PD ⊆面AGC ，所以PD ∥面AGC ．②连接PO ，由三视图，PO ⊥面ABCD ，所以AO ⊥PO ．又AO ⊥BO ，所以AO ⊥面PBD ．因为AO 面AGC ，所以面PBD ⊥面AGC ．19．解当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r ，水的体积为：V ＝13πr 2h －13π⎝⎛⎭⎫23r 2·23h ＝1981πr 2h ．当锥顶向下时，设水面圆半径为r ′，则V ＝13π·r ′2·h 2．又r ′＝h 2r h，此时V ＝13π·h 22r 2h 2·h 2＝πh 32r23h 2，∴πh 32r23h 2＝1981πr 2h ，∴h 2＝3193h ，即所求h 2的值为3193h ． 20．证明设AC ∩BD ＝O ，连接EO ，则EO ∥PC ．∵PC ＝CD ＝a ，PD ＝2a ，∴PC 2＋CD 2＝PD 2， ∴PC ⊥CD ．∵平面PCD ⊥平面ABCD ，CD 为交线， ∴PC ⊥平面ABCD ， ∴EO ⊥平面ABCD ．又平面EDB ，∴平面EDB ⊥平面ABCD ．21．(1)解 ∵CD ∥平面PBO ，CD 平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ， ∴BO ∥CD ．又BC ∥AD ，∴四边形BCDO 为平行四边形．则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，∴AD ＝3OD ，即点O 是靠近点D 的线段AD 的一个三等分点．(2)证明 ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，面PAD ∩面ABCD ＝AD ，AB 底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ．又PD 平面PAD ， ∴AB ⊥PD ．又PA ⊥PD ，且AB ∩PA ＝A ， ∴PD ⊥平面PAB ．又PD 平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．22．(1)证明在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ．∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ，∴EF ∥AD ．又∵AD 平面PAD ，EF 平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．(2)解连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA ．在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2，∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22．∴S △ABC ＝12AB·BC ＝12×2×2＝2，∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13．。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.1.3四种命题间的相互关系课时作业新人教A版选修2-1

四种命题间的相互关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·杭州高二检测)命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是( )A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.(2014·长春高二检测)若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是( )A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选A.因为p与q是互逆否命题,q与r是互否命题,所以p与r是互逆命题.3.(2014·海口高二检测)在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是( )A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假【解析】选A.因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.关于原命题“在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.【解析】选C.在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则-cos(B+C)=2sinBsinC,得cosBcosC+sinBsinC=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cosA=cos15°=,sinB=sin15°=,sinC=sin150°=,2sinBsinC=≠cosA.6.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题的等价命题是( )A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·成都高二检测)下列命题中是真命题的是_______.①命题“面积相等的三角形全等”的否命题;②命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题.命题②的逆否命题:若x2-2x+m=0无实根,则m>1,是真命题.命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题.故真命题为①②.答案:①②8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_________.【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点,所以②的逆命题为真命题.答案:②【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是.【解析】命题②为假命题,因此它的逆否命题为假命题.答案:②9.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填真、假).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可. 【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·周口高二检测)写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.m>时,mx2-x+1=0无实根.【解析】将原命题改写成“若p,则q”的形式为“若m>,则mx2-x+1=0无实根”.逆命题:“若mx2-x+1=0无实根,则m>”,是真命题;否命题:“若m≤,则mx2-x+1=0有实根”,是真命题;逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根,则m≤”,是真命题.11.(2014·大连高二检测)已知命题p:方程x2+mx+1=0有实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】解答本题可先根据命题p,q为真命题分别求出m的取值范围,然后分p真q假与p假q真两种情况分别求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有实数根,所以Δ1=m2-4≥0,所以p:m≥2或m≤-2;方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以Δ2=16(m-2)2-16<0,所以q:1<m<3.①p真q假:所以所以m≥3或m≤-2.②p假q真:所以所以1<m<2,所以实数m的取值范围为1<m<2或m≥3或m≤-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·福州高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解题指南】若原命题的真假情况不易判断时,可通过判断其逆否命题的真假来确定原命题的真假,若要说明某一命题是假命题,只需举一反例即可.【解析】选A.原命题“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b<2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,是假命题,如a=3,b=-2,满足条件,可是结论不成立.3.(2014·上海高二检测)已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题A.①③B.②C.②③D.①②③【解析】选 A.根据逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确.4.(2013·咸阳高二检测)已知下列三个命题:①“若x2=4,则x=2”的逆命题;②“正方形是菱形”的否命题;③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.其中真命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.对①,逆命题正确.对②,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正确.对于③,Δ=4-4m,当m>2时,Δ<0,所以二次函数f(x)=x2-2x+m开口向上,与x轴无交点,所以x2-2x+m>0的解集为R,正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·新乡高二检测)给定下列命题:①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;②“若a>b,则a+c>b+c”的否命题;③“菱形的对角线垂直”的逆命题.其中真命题的序号是.【解析】①因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以是真命题.②否命题:“若a≤b,则a+c≤b+c”是真命题.③逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题.答案:①②6.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1≥0的解集是R;②函数f(x)=log m x是减函数(m>0且m≠1).如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.【解析】若①真,②假,则故m>1.若①假,②真,则无解.综上所述,m的取值范围是m>1.答案:m>1【举一反三】本题中若两命题均为真命题,则m的取值范围是.【解析】若①②均真,则故0<m<1.答案:0<m<1三、解答题(每小题12分,共24分)7.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q<.(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式Δ=4p2+4q<0,得q<-p2, 所以p+q<p-p2=-+≤,所以p+q<.(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q<,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q<,但原方程有实数根x=-1.8.有甲、乙、丙三个人,命题p:“如果乙的年龄不是最大,那么甲的年龄最小”和命题q:“如果丙不是年龄最小,那么甲的年龄最大”都是真命题,则甲、乙、丙的年龄的大小能否确定?请说明理由.【解析】设甲、乙、丙三人的年龄分别为a,b,c,显然命题p和q的结论是矛盾的,因此应从它的逆否命题来看.由命题p可知,乙不是最大时,则甲最小.所以丙最大,即c>b>a,而它的逆否命题也为真.即“甲不是最小,则乙最大”,为真,即b>a>c,同理由命题q为真可得:a>c>b或b>a>c,又命题p与q均为真,可得b>a>c.故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.。

全程复习方略高中数学北师大必修二课时作业平行关系的判定

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课时提升作业(六)平行关系的判定一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·咸阳高一检测)不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，则( )A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于αC.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一条边与α平行【解析】选B.△ABC的三顶点有可能在平面α的同侧或异侧，在同侧时，△ABC 的三条边都与平面α平行；在异侧时，△ABC的一条边与平面α平行.2.已知平面α，β，直线a，b，c，若aα，bα，cα，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系为( )A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对【解析】选C.由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交.3.(2014·西安高一检测)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3.则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.包含D.平行或相交【解析】选A.如图所示，由==得==，所以EF AC，即AC∥EF，又EF平面DEF，AC⊈平面DEF，故AC∥平面DEF.4.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个【解析】选B.当两点确定的直线与α平行时，可作一个平面与α平行；当过两点的直线与α相交时，不能作与α平行的平面.5.设m，n是平面α内的两条不同直线，a，b是平面β内的两条相交直线，能使α∥β的条件是( )A.m∥β且a∥αB.m∥a且n∥bC.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥b【解析】选B.因为a，b是平面β内的两条相交直线，a∥m，b∥n，则m，n也是α内的两条相交直线，由平面与平面平行的判定定理知α∥β.6.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.①正确.因为ABCD是矩形，AC∩BD=O，所以O为BD的中点.又因为M为PB的中点，所以OM∥PD.②正确.由①知OM∥PD，又OM⊈平面PCD，PD平面PCD，OM∥平面PCD.③正确.与②同理，可证OM∥平面PDA.④错误.OM∩平面PBA=M.⑤错误.OM∩平面PBC=M.【举一反三】本题中，若OM平面α，且平面α∥平面PCD，试作出平面α与BC的交点.【解析】取BC的中点N，连接MN，ON，如图所示，则BC∩平面α=N.因为OM∥PD，OM⊈平面PCD，PD平面PCD，所以OM∥平面PCD，因为M，N是PB，BC的中点，所以MN∥PC，又MN⊈平面PCD，PC平面PCD，所以MN∥平面PCD，又OM∩MN=M，OM，MN平面OMN，所以平面OMN∥平面PCD，平面OMN即为平面α.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·吉安高一检测)在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若=，则直线MN与平面BDC的位置关系是________.【解析】在平面ABD中，=，所以MN∥BD，又MN⊈平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.答案：平行8.(2014·阜阳高二检测)如图正方体ABCD-A 1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.【解析】连接FH，HN，FN，因为HN∥DB，FH∥D1D，HN∩FH=H，DB∩D1D=D，所以平面FHN∥平面B1BDD1，所以平面FHN中的任意一条直线与平面B1BDD1平行，又M点在平面EFGH 上运动，所以当M∈FH时都有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈FH【误区警示】本题易出现M为CD的中点，即M与H重合时MN∥平面B1BDD1的错误.9.过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.【解析】如图，设M，N，P，Q为所在棱的中点，易知平面MNPQ∥平面DBB1D1，则过M，N，P，Q这四个点中的任意两个点的直线与平面DBB1D1平行，这种情形有6条，同理，经过BC，CD，B1C1，C1D1四条棱的中点也有6条，故共有12条.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·湖北高考改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N 分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：直线BC1∥平面EFPQ.【解题指南】通过证明FP∥AD1，得到BC1∥FP，根据线面平行的判定定理即可得证.【证明】连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP平面EFPQ，且BC 1⊈平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.11.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.【证明】在长方体ABCD-A 1B1C1D1中，因为A1B∥D1C，D1C平面CB1D1，A1B⊈平面CB1D1，所以A1B∥平面CB1D1，同理可证A1D∥平面CB1D1，又因为A1B平面A1BD，A1D平面A1BD，A1B∩A1D=A1，所以平面A1BD∥平面CB1D1.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·西安高一检测)下列命题中，正确的是( )A.平面α内的两条直线和平面β平行，则平面α∥平面βB.一条直线和平面α，β都平行，则α∥βC.若平面α∥β，则平面α内任一直线平行于βD.若直线l∥平面α，则l与平面α内所有直线平行【解析】选C.A错误.因这两条直线不一定是相交直线；B错误，α与β还可能相交；C正确，因为线面无公共点.D错误，l还可能与α内的直线异面.2.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )A.m∥l，l∥α⇒m∥αB.l∥β，m∥β，lα，mα⇒α∥βC.l∥m，lα，mβ⇒α∥βD.l∥β，m∥β，lα，mα，l∩m=M⇒α∥β【解析】选D.A中，m可能在α内，也可能与α平行；B中，α与β可能相交，也可能平行；C中，α与β可能相交，也可能平行；D中，l∩m=M，且l，m分别与平面β平行，依据面面平行的判定定理知α∥β.3.有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为( )A.0B.1C.2D.无数【解析】选B.因为BC∥平面A′C′，BC∥B′C′，所以在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC.所以过EF，BC所确定的平面锯开即可.又由于此平面唯一确定，所以只有一种锯法.4.(2014·蚌埠高一检测)下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形为( )A.①②B.①④C.②③D.②④【解析】选B.①连接BC，则平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP.故①正确.对于②连接BC，取BC中点O，连接ON，则ON∥AB，所以AB与平面MNP 相交，不平行.③AB与平面PMN相交，不平行，所以③不合适.④因为AB∥NP，所以AB∥平面MNP，故④正确.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①a∥c，b∥c⇒a∥b；②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③c∥α，c∥β⇒α∥β；④α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤c∥α，a∥c⇒a∥α；⑥a∥γ，α∥γ⇒a∥α.正确命题是________(填序号).【解析】直线平行或平面平行能传递，故①④正确.②中，a与b还可能异面或相交.③中α与β还可能相交.⑤中还可能aα，⑥中a可能在平面α内，故不正确.故正确命题是①④.答案：①④6.如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________.【解析】连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由==，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD三、解答题(每小题12分，共24分)7.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.【解题指南】将面面平行转化为线面平行解决.【证明】因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，因为BP平面PBC，NQ⊈平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC平面PBC，MQ⊈平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.8.已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，若存在，请说出点F的位置.【解题指南】先直观猜测判断点F的位置，再通过证明，说明所选点F符合条件.【解析】如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.因为BG∥OE，BG⊈平面AEC，OE平面AEC，所以BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF=G.所以平面BGF∥平面AEC，所以BF∥平面AEC.因为BG∥OE，O是BD的中点，所以E是GD的中点.又因为PE∶ED=2∶1，所以G是PE的中点.而GF∥CE，所以F为PC的中点.综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.【拓展延伸】两类探索型问题的解题策略(1)条件探索型：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.(2)结论探索型：先探索结论再去证明，在探索过程中常先从特殊情况入手，通过观察、分析进行猜测，得出结论，再就所进行的猜测进行证明.关闭Word文档返回原板块。

北师大版高中数学必修2课时作业

目录第一章立体几何初步 (01)§1简单几何体 (2)§2直观图 (4)§3三视图 (6)§4空间图形的基本关系与公理 (8)§5.1平行关系的判定（一） (10)§5.1平行关系的判定（二） (13)§5.2平行关系的性质（一） (15)§5.2平行关系的性质（二） (17)§6.1垂直关系的判定 (19)§6.2垂直关系的性质（一） (20)§6.2垂直关系的性质（二） (23)§7.1简单几何体的侧面积 (23)§7.2柱、锥、台体的体积 (27)§7.3球的表面积与体积 (29)第二章解析几何初步 (31)§1.1直线的倾斜角和斜率 (31)§1.2直线的方程(一) (33)§1.2直线的方程(二) (35)§1.2直线的方程(三) (37)§1.3两条直线的位置关系 (39)§1.4 1. 5两条直线的交点和坐标系中的距离公式 (40)§2.1 2.2圆和圆的方程 (43)§2.3直线与圆的位置关系 (45)§2.3直线与圆的方程 (47)§2.3圆与圆的位置关系 (49)§3.2空间直角坐标系中点的坐标 (50)§3.3空间两点间的距离公式 (53)本章小结 (55)§1 简单几何体1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）.A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱2.下列说法中正确的是（）.A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3.下列说法错误的是（）.A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形4.用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（）.A. 六边形B. 菱形C. 梯形D. 直角三角形5.下列说法正确的是（）.A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6.下列几何体的轴截面一定是圆面的是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台7.把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（）.A. 圆锥B.圆柱C. 圆台D.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体l，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大8.设圆锥母线长为l，高为2值为.9.若长方体的三个面的面积分别为62cm，则此长方体的对角线长cm,22cm,32为.10.三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为R ，则这个三棱柱的底面边长为 .11.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）. ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.12．如图所示，长方体1111ABCD A B C D .（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？（2）用平面BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示. 如果不是，说明理由.错误反思题号错题分析正确解法§2 直观图一、选择题1.下列说法正确的是（）.A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C. 两个全等三角形的直观图一定也全等D. 两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形2.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）.A. 2倍B. 倍C. 倍D.3.如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）.A. 3B. 6C.D.24.已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形，则此正方形的面积是（）.A. 16B. 16或64C. 64D. 以上都不对二、填空题5．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是. 6．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形. 其中说法正确的序号依次是.三、解答题7．（1）画棱长为2cm的正方体的直观图；（2）画水平放置的直径为3cm的圆的直观图.8．如图，正方形O’A’B’C’的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图. 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积.错误反思题号错题分析正确解法§3 三视图一、选择题1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是()A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．球体2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()3．如图，依次为一个建筑物的主视图、左视图、俯视图，则其为谁的组合体() A．圆柱和圆锥B．立方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．立方体和球4．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．55．找出相应的立体图，并在其下方括号内填写它的序号二、填空题6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是________．7．如图所示，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是 (填写视图名称)．8．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于．9．右图是某个圆锥的三视图，请根据主视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为 .10．用若干个正方体搭成一个几何体，使它的主视图与左视图都是如右图的同一个图. 通过实际操作，并讨论解决下列问题：（1）所需要的正方体的个数是多少？你能找出几个？（2）画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图.20 30 俯视图主视图左视图30§4空间图形的基本关系与公理1.在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，得到四边形EFGH.(1)四边形EFGH 是 ;(2)当对角线AC=BD 时,四边形EFGH 是 ; (3)当对角线满足条件时,四边形EFGH 是矩形;(4)当对角线AC,BD 满足条件时,四边形EFGH 是正方形. 2.画出满足下列条件的图形. (1)l αβ=,,,A;a b a b αβ⊆⊆= (2) l αβ=,b β⊆,.3.分别和两条异面直线AB,CD 同时相交的两条直线AC,BD 一定是异面直线,为什么?4.已知直线,,,a b c 且a ∥b ,A, B.c a c b ==求证: ,,a b c 在同一平面内.5.如图,已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P,Q,R 三点.求证:P,Q,R 三点共线.l RQPC BA α6.如图,在正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是棱D 1C 1, B 1C 1的中点.求证:EF ∥BD,且EF=12BD.E D 11B 1A 1F D CB A7.如图,O 是平面ABC 外一点, A 1,B 1,C 1分别在线段OA,OB,OC 上,且满足11,OA OB OA OB =11.OA OC OA OC=求证: △ABC ∽△A 1B 1C 1.OC 1B 1A 1CBA§5. 1平行关系的判定（一）一、选择题1．下列说法正确的是（）A.若直线a平行于面α内的无数条直线，则a∥αB.若直线a在平面α外，则a∥αC.若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥αD.若直线a∥b，直线b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线2．在以下的四个命题中，其中正确的是（）①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行②直线上有两点到平面的距离相等（距离不为零），则直线与平面平行③直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行④直线与平面内无数条直线不相交，则直线与平面平行A.①②B.①③C.①②③D.①②③④3．ｂ是平面α外的一条直线，下列条件中可得出ｂ∥α的是( )A.ｂ与α内的一条直线不相交B.ｂ与α内的两条直线不相交C.ｂ与α内的无数条直线不相交D.ｂ与α内的所有直线不相交二、填空题4. 已知：E为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，则BD1与过点A、C、E的平面的位置关系是_____ __.5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，和平面A1DB平行的侧面对角线有三、解答题6．在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法的理由.7．已知：AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB BC、CD的中点. 求证：AC//平面EFG, BD//平面EFG.8．平面α与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面αBCE DαA题号错题分析正确解法§5.1平行关系的判定（二）一、选择题1．下列命题中，正确的是（）A．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行B．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．如果一个平面内有两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行D．如果一个平面内的一个四边形两边分别和另一个平面内的一个四边形平行，那么这两个平面平行2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可以判定α∥β的是（）A．α，β都垂直于平面γB．α内不共线的三点到β的距离相等C．,l m是α内的直线，且l∥β，m∥βD．,l m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β3．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（）A．平行 B.相交C. 重合D.平行或相交二、填空题4．若直线a⊥平面α，直线b⊥平面β，a//b，平面α与β的位置关系为_ .A B C D中，5．在长方体ABCD–1111（1）与直线AB平行的平面是；A B平行的平面是；（2）与平面1（3）与平面AC平行的平面是；三、解答题6．证明：如果夹在两个平面内的三条线段（不都在同一个平面内）平行且相等，那么这两个平面平行.的重心.（1）求证：平面MNG ∥平面ACD ；（2）求S:SMNG ACDCAPH MNGF DB§5.2平行关系的性质（一）一、选择题1．若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面2．下面给出四个命题，其中正确命题的个数是（）①若a ∥α、b ∥α，则a ∥b ②若a ∥α，b ⊂α,则a ∥b ③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ④若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α A.0 B.1 C.2 D.43．直线a ，b 是异面直线，直线a 和平面α平行，则直线b 和平面α的位置关系是（）A. b ⊂αB. b ∥αC. b 与α相交D. 以上都有可能二、填空题4.（1）若直线a ，b 均平行与平面α，那么a 与b 的位置关系是 ; （2）若直线a ∥b ,且a ∥平面β,则b 与β的位置关系是 ;5.（1）若直线a ，b 是异面直线,且a ∥平面β,则b 与β的关系是 ; （2）如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α，则直线m 、n 的位置关系是；三、解答题6. 如图,在空间四边形ABCD 中,E,F,G ,H 分别是AB,BC,CD,DA 上的点,且EH ∥FG .求证:EH ∥BD.BCD FG HE A7. 求证:如果一直线分别平行于两个相交平面,则这条直线与他们的交线平行.8. 经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E. 求证：E 1E ∥B 1B错误反思1§5.2平行关系的性质（二）一、选择题1. 平面α∥平面β，,,a b αβ⊆⊆则,a b 一定是（） A ．两条平行直线 B.异面直线C.相交直线D.无公共点的两条直线2.,,a b c 为三条不重合的直线,,,αβγ为三个不重合的平面,以下六个命题, ①若a ∥c 且b ∥c 则a ∥b ； ②若a ∥γ且b ∥γ则a ∥b ； ③若α∥c 且β∥c 则α∥β； ④若α∥γ且β∥γ则α∥β； ⑤若c ∥α且a ∥c 则a ∥α； ⑥若a ∥γ且α∥γ则a ∥α；其中正确的命题是（） A ．①②③ B.①④⑤ C.①④ D. ①④⑤⑥ 二、填空题3. 三个不同平面,,αβγ满足α∥β,l βγ⋂=,则α与γ的位置关系是；若三个平面满足α∥β，β∥γ，则α与γ的位置关系是；4.如果夹在两个平行平面α、β间的线段AB=8，AB 和α成45°角，则α、β之间的距离为 __________________；三、解答题5.如图,两条异面直线AB,CD 与三个平行平面,,αβγ分别相交于A,E,B 及C,F,D,又AD,BC 与平面β的交点为H,G .求证:EHFG 为平行四边形.HG FE DCBAγβα6. 如图，平面α∥平面β，过平面α、β外一点P 引直线PAB 分别交α、β 于A ，B 两点，PA=6，AB=2，引直线PCD 分别交α、β 于C ，D 两点.已知BD=12,求线段AC 的长.PDCBA βα7. 如图,已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中,面对角线AB 1,BC 1上分别有两点E,F,且B 1E=C 1F.求证:EF ∥平面AC.1错误反思§6.1垂直关系的判定1．判断题：（1）一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内任何直线平行; ( ) （2）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平垂直（）（3垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边; ( )（4）过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内; ( ) （5）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.( )2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）A ．有且只有一个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在3．如图，已知直线PG ⊥平面α与G ，直线EF 在平面α内，且PE ⊥EF 与E ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是 . 4．将一张矩形纸对折后略为展开，竖立在桌面上，折痕和桌面的位置关系是 .5．如图，在空间四边形ABCD 中，已知，BC=AC ，AD=BD ，作BE ⊥CD ，E 为垂足，AH ⊥BE 与H,求证：AH ⊥平面BCD.αGFEP6．如图，PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是异于A，B的O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.7.如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点。

【全程复习方略】2014-2015学年北师大版高中数学必修一课时作业(十三) 2.5]

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课时提升作业(十三)简单的幂函数(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列函数为幂函数的是( )A.y=2x3-1B.y=C.y=D.y=2x2【解析】选C.y==x-2符合幂函数的特征.2.(2014·重庆高一检测)函数f(x)=(x-1)0-1是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选D.定义域为{x|x≠1},不关于原点对称.【误区警示】本题易出现未考虑定义域,而造成选C的错误.3.(2014·高安高一检测)f(x)=x3+的图像关于( )A.原点对称B.y轴对称C.y=x对称D.y=-x对称【解题指南】验证函数的奇偶性.【解析】选A.函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,f(-x)=(-x)3+=-x3-=-f(x),从而可知答案.4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.f(1)=-f(-1)=-[2(-1)2-(-1)]=-(2〓1+1)=-3.【举一反三】若把“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”,结果如何?【解析】f(1)=f(-1)=2〓(-1)2-(-1)=2+1=3.5.(2014·台州高一检测)如果幂函数y=(m2-9m+19)x2m-7的图像不过原点,则( )A.m<B.m=3C.m=3或6D.m不存在【解析】选B.由题意知得m=3.6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式是( )A.f(x)=x(x-2)B.f(x)=|x|(|x|-2)C.f(x)=|x|(x-2)D.f(x)=x(|x|-2)【解析】选D.设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+2x.又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-2x,x<0.所以f(x)=x(|x|-2),x∈R.【变式训练】已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=+1,求当x<0时,f(x)的解析式.【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=+1.又因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-f(-x)=--1.因此,当x<0时,f(x)的解析式为f(x)=--1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .【解析】f(x)=x2+(a-4)x-4a,因为f(-x)=f(x),所以(-x)2-(a-4)x-4a=x2+(a-4)x-4a,即2(a-4)x=0,所以a=4.答案：4【一题多解】f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,因为f(-x)=f(x),所以y=f(x)关于y轴对称,所以x=-=0,所以a=4.【变式训练】函数y=(a2-1)x2+(a-3)x+1是偶函数,则a= .【解析】因为y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图像关于y轴对称,所以x=-=0,所以a=3.答案：38.(2014·榆林高一检测)幂函数f(x)的图像经过点(-2,4),则f(3)= .【解析】设f(x)=x a,因为f(-2)=(-2)a=4,所以a=2,所以f(x)=x2,所以f(3)=9.答案：99.(2014·黄冈高一检测)已知函数f(x)=ax7+bx-3,若f(2014)=10,则f(-2014)= .【解题指南】把f(2014), f(-2014)分别代入,找两者之间的关系,可求解. 【解析】因为f(2014)=a〓(2014)7+b〓2014-3=10,f(-2014)=-a〓20147-b〓2014-3,所以f(2014)+f(-2014)=-6=10+f(-2014),所以f(-2014)=-16.答案：-16三、解答题(每小题10分,共20分)10.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x3+x.(2)f(x)=3x+1.(3)f(x)=x6+x4+8,x∈[-2,2).(4)f(x)=0.【解析】(1)因为f(x)=x3+x,且x∈R.又f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)如图：所以f(x)=3x+1是非奇非偶函数.(3)因为f(x)=x6+x4+8中,x∈[-2,2),定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.(4)因为f(x)=0,x∈R,f(-x)=-f(x)=0,f(-x)=f(x)=0,所以f(x)=0既是奇函数又是偶函数.11.(2014·佛山高一检测)点(,2)在幂函数f(x)的图像上,点在幂函数g(x)的图像上,画出y=f(x)与y=g(x)的图像,结合图像回答当x为何值时,有①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).【解题指南】先由幂函数的定义,求出f(x)与g(x)的解析式,再利用图像判断. 【解析】设f(x)=xα,则由题意得2=()α,所以α=2,即f(x)=x2,再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β,所以β=-2,即g(x)=x-2,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图像,如图所示.由图像可知：①当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);②当x=〒1时,f(x)=g(x);③当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.函数y=的图像是( )【解析】选A.因为指数为,所以函数的图像在第一、二象限内,且在第一象限内,当α>1时,图像是向下凸的,过点(1,1)后图像向右上方无限伸展.2.(2014·惠州高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0,4]上是增加的,则f(-3)和f(π)的大小关系是( )A.f(-3)>f(π)B.f(-3)≥-f(π)C.f(-3)<f(π)D.无法确定【解析】选C.因为f(-3)=f(3),且y=f(x)在[0,4]上是增加的,所以f(3)<f(π),即f(-3)<f(π).【举一反三】“若把f(x)改为奇函数”结果又如何?【解析】因为f(-x)=-f(x)且y=f(x)在[0,4]上是增加的,所以y=f(x)在[-4,0]上也是增加的,所以y=f(x)在[-4,4]上是增加的,所以f(-3)<f(π).3.(2014·瑞金高一检测)下列函数中,既是奇函数又在(0,+∞)上是增加的是( ) A.y=x2 B.y=x-1 C.y= D.y=【解析】选D.排除法.A,B易知错误,对于C：y==定义域不关于原点对称,是非奇非偶函数,D符合.4.(2013·辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】选A.当2x-1≥0时,由题意知>2x-1,所以≤x<,当2x-1<0时,f(2x-1)=f(1-2x)<f,所以1-2x<,即<x<,故x∈.【一题多解】如图：y=f(x)的大致图像为所以-<2x-1<,即<x<.【变式训练】(2014·南郑高一检测)若y=f(x),x∈R满足f(-x)=f(x),且在(-∞,0]上是减少的,f(2)=0,则f(x)<0的取值范围是.【解析】如图：可知-2<x<2.答案：-2<x<2二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·哈尔滨高一检测)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+b+1(b为常数),则f(-1)= .【解题指南】先求b,再计算f(-1),求b时可利用奇函数的性质f(0)=0来求. 【解析】因为f(-x)=-f(x),x∈R,所以f(0)=0即2〓0+b+1=0,所以b=-1,又f(-1)=-f(1)=-2〓1=-2,所以f(-1)=-2.答案：-26.如图所示,曲线是幂函数y=x k在第一象限内的图像,已知k分别取-1,1,,2四个值,则相应的图像依次为：.【解析】在第一象限直线x=1的右侧,大指数在上,小指数在下,在y轴与直线x=1之间正好相反.答案：C4,C2,C3,C1三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·安康高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时f(x)=x2+4x+3.(1)求函数f(x)的解析式.(2)画出y=f(x)的图像,并写出y=f(x)的递增区间.【解析】(1)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=(-x)2-4x+3=x2-4x+3,又f(-x)=f(x),所以f(x)=x2-4x+3.故f(x)=(2)如图.单调递增区间为(-2,0),(2,+≦).(写成闭区间也可以)【拓展延伸】利用奇偶性求解析式的一般步骤已知函数的奇偶性,且知y=f(x)在关于原点对称的区间的一半时的解析式,求另一半的解析式时,常用的一般步骤：(1)求谁设谁.如本题求x>0时的f(x),就设x>0.(2)实现两个转化.①把x>0-x<0,进而求出f(-x);②f(-x)f(x),进而求出f(x).8.已知函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.(1)求证：f(x)是偶函数.(2)求证：f(x)在(0,+∞)上是增加的.(3)试比较f与f的大小.【解题指南】(1)利用赋值法证明f(-x)=f(x).(2)利用定义法证明单调性.(3)利用函数的单调性比较它们的大小.【解析】(1)由题意知函数f(x)的定义域关于原点对称,因为对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0;令x1=x2=-1,得f((-1)〓(-1))=f(-1)+f(-1),即f(1)=2f(-1),即2f(-1)=0,所以f(-1)=0.因为f(-x)=f((-1)〃x)=f(-1)+f(x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2)设0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f-f(x1)=f(x1)+f-f(x1)=f.因为x2>x1>0,所以>1,所以f>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+≦)上是增加的.(3)由(1)知f(x)是偶函数,则有f =f.由(2)知f(x)在(0,+≦)上是增加的,则f >f,所以f >f.关闭Word文档返回原板块。

【全程复习方略】高考数学 2.1函数及其表示课时提升作业理北师大版

【全程复习方略】2014版高考数学 2.1函数及其表示课时提升作业理北师大版一、选择题1.(2012·江西高考)若函数f(x)=则f(f(10))= ( )(A)lg101 (B)2 (C)1 (D)02.(2013·南昌模拟)下列各组函数是同一函数的是( )①f(x)=与g(x)=x;②f(x)=|x|与g(x)=;③f(x)=x0与g(x)=;④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.(A)①②(B)②④(C)②③④(D)①②④3.(2013·宝鸡模拟)图中的图像所表示的函数的解析式为( )(A)y=|x-1|(0≤x≤2)(B)y=-|x-1|(0≤x≤2)(C)y=-|x-1|(0≤x≤2)(D)y=1-|x-1|(0≤x≤2)4.设f(x)=则f(5)的值为( )(A)10 (B)11 (C)12 (D)135.函数f(x)=+lg的定义域是( )(A)(2,4) (B)(3,4)(C)(2,3)∪(3,4] (D)[2,3)∪(3,4)6.(2013·宜春模拟)若f(x)=,则方程f(4x)=x的根是( )(A)(B)-(C)2 (D)-27.已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),那么f()等于( )(A)15 (B)1 (C)3 (D)308.(2013·合肥模拟)函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为( )(A)1 (B)-(C)1,-(D)1,9.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f (2x-1)的定义域是( )(A)[0,] (B)[-1,4](C)[-5,5] (D)[-3,7]10.(能力挑战题)已知函数y=f(x)的图像关于直线x=-1对称,且当x∈(0,+∞)时,有f(x)=,则当x∈(-∞,-2)时,f(x)的解析式为( )(A)f(x)=-(B)f(x)=-(C)f(x)=(D)f(x)=-二、填空题11.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如表所示:则方程g(f(x))=x的解集为.12.(2013·西安模拟)已知f(x-)=x2+,则f(x)= .13.(2013·安庆模拟)已知函数f(x)=x2-2x+acosπx(a∈R),且f(3)=5,则f(-1)= .14.(能力挑战题)已知f(x)=则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是.三、解答题15.如果对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,(1)求f(2),f(3),f(4)的值.(2)求+++…+++的值.答案解析1.【解析】选B.∵f(10)=lg 10=1,∴f(f(10))=f(1)=12+1=2.2.【解析】选C.对于①,两函数的解析式不同,故不是同一函数;②③④定义域相同,解析式可转化为相同解析式,故是同一函数.3.【解析】选B.当0≤x<1时,y=x,当1≤x≤2时,设y=kx+b,由图像知∴∴y=-x+3,综上知y=4.【解析】选B.f(5)=f(f(11))=f(9)=f(f(15))=f(13)=11.【方法技巧】求函数值的四种类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.【解析】选D.要使函数有意义,必须所以函数的定义域为[2,3)∪(3,4).6.【解析】选A.∵f(4x)=x,∴=x(x≠0).化简得4x2-4x+1=0,∴x=.7.【解析】选A.令g(x)=,则1-2x=,x=,f()=f(g())==15.8.【解析】选C.f(1)=e1-1=1,由f(1)+f(a)=2,得f(a)=1.当a≥0时,由f(1)=1知a=1;当-1<a<0时,sin(πa2)=1,则a2=,∴a=-.9.【解析】选A.由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4.由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,故函数y=f(2x-1)的定义域为[0,].10.【思路点拨】函数y=f(x)的图像关于直线x=-1对称,则有f(x)=f(-x-2). 【解析】选D.设x<-2,则-x-2>0.由函数y=f(x)的图像关于x=-1对称,得f(x)=f(-x-2)=,所以f(x)=-.11.【解析】当x=1时,f(x)=2,g(f(x))=2,不合题意;当x=2时,f(x)=3,g(f(x))=1,不合题意;当x=3时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合要求,故方程g(f(x))=x的解集为{3}.答案:{3}12.【解析】∵f(x-)=(x-)2+2,∴f(x)=x2+2.答案:x2+213.【解析】∵f(3)=32-2×3+acos3π=3-a=5,∴a=-2,即f(x)=x2-2x-2cosπx,∴f(-1)=(-1)2-2×(-1)-2cos(-π)=5.答案:514.【思路点拨】分x+2≥0和x+2<0两种情况求解.【解析】当x+2≥0,即x≥-2时,f(x+2)=1,则x+x+2≤5,-2≤x≤;当x+2<0,即x<-2时,f(x+2)=-1,则x-x-2≤5,恒成立,即x<-2.综上可知,∴x≤.答案:(-∞,]15.【解析】(1)∵对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=2,∴f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23=8,f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=24=16.(2)由(1)知=2,=2,=2,…,=2.故原式=2×1007=2014.【变式备选】已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,求5a-b的值. 【解析】f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24,a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24,∴得或∴5a-b=2.。

2014-2015学年高中数学 1.3.1 等比数列(二)课时作业北师大版必修5

3.1 等比数列(二)课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝________.2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N ＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为________数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b na n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－23．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c n＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 25．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( ) A.43 B.34C ．2D ．3436．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32二、填空题7．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.8．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．10．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．三、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．12．设{a n}、{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n＝a n＋b n，证明数列{c n}不是等比数列．能力提升13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于( )A．4 B．2C．－2 D．－414．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2.3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．3．1 等比数列(二)答案知识梳理1．a m ·a n ＝a k ·a l a 2k 2.等比作业设计1．C [在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.]2．B [∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.]3．C [设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c 2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q＋2q 1＋q＝2.] 4．A [∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310. ∴a 25＝a 2a 8＝350＝1350，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝1650.∴a 4a 5a 6＝a 35＝1250＝5 2.]5．A [∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝133.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3433＝43.]6．D [设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.]7．4解析由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4.8．－6解析由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6. 9．8解析设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8. 10.12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.11．解设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x (18－y )2(18－y )＝y ＋(21－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．证明设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 13．D [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c ⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符，∴a ＝－4.]14．解设三个数为a q，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2， ∴三个数为－2q，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.。

全程复习方略高中数学北师大必修二单元质量评估第一章

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单元质量评估 (一)第一章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在下面叙述中，正确的有( )①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②斜三棱柱的侧面一定都不是矩形；③底面为矩形的平行六面体是长方体；④侧面是正方形的正四棱柱是正方体.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由棱柱、直棱柱的概念可得只有④正确.2.(2014·淮北高一检测)如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A.①是棱台B.②是圆台C.③是棱锥D.④不是棱柱【解析】选C.图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥.3.直线l1∥l2，在l1上取3个点，l2取2个点，由这5个点所确定的平面个数为( )A.9个B.6个C.3个D.1个【解析】选D.因为l1∥l2，所以l1，l2确定惟一平面，所以5个点均在该面内. 4.已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC 的面积为( )A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选C.如图，由底边长A′B′=a，C′O=a，那么原来的高线为2a×=a，则原三角形的面积S=×a×a=a2.5.正方体内切球与外接球体积之比为( )A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9【解析】选C.设正方体棱长为a，内切球半径为R 1，外接球半径为R2.则R1=，R 2=a，V内∶V外=∶=1∶3.6.(2013·广东高考)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A.4B.C.D.6【解题指南】本题考查空间想象能力与台体体积公式，应首先还原出台体形状再计算.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形，两底面边长和高分别为1，2，2，V 棱台=(S上+S下+)h=(1+4+)×2=.7.如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图(2))，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是( )A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF【解析】选A.在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG.8.(2013·湖南高考)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能等于( )A.1B.C.D.【解题指南】由俯视图可知该正方体是水平放置的，则主视图有许多种可能，但最小面应是一个侧面，最大面应是一个垂直于水平面的对角面.【解析】选C.由于俯视图是一个面积为1的正方形，所以正方体是平放在水平面上，所以主视图最小面积是一个侧面的面积为1，最大面积为一个对角面的面积为，而<1，所以选项C不正确.9.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A.，1B.，1C.，D.，【解析】选C.设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，所以V圆柱= πR2×2R=2πR3，V球=πR3.所以==，S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2，S球=4πR2.所以==.【变式训练】(2014·济源高一检测)已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是( )A. B. C. D.【解析】选D.设正方体的外接球半径为r，正方体棱长为a，则πr3=π，所以r=1，所以a=2r=2，得a=.10.(2013·浙江高考)在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ(A).设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ(fα(P))，Q2=fα(fβ(P))，恒有PQ1=PQ2，则( )A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°【解题指南】充分理解题意，依据立体几何中的面面之间的位置关系判断. 【解析】选A.由于P是空间任意一点，不妨设P∈α，如图所示，则Q1=fβ(fα(P))=fβ(P)，Q2=fα(fβ(P))=fα(Q1)，又PQ1=PQ2，显然B，C，D不满足，故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上)11.(2013·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________.【解题指南】由三视图可判断出此几何体是底面为正方形，高为1的四棱锥，再代入体积公式求体积.【解析】此棱锥底面是边长为3的正方形，高为1，所以体积为×32×1=3.答案：312.(2014·赣州高一检测)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC=BD=2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为________. 【解析】如图，由条件，易判断EH FG BD，所以EH=FG=1，同样有EF GH AC，EF=GH=1，又BD⊥AC，所以EF⊥EH，所以四边形EFGH是边长为1的正方形，其面积S=12=1.答案：113.(2014·九江高一检测)一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.【解析】据已知可得圆锥的母线长为4，设底面半径为r，则2πr=·4，所以r=1，故圆锥的高为h==，故其体积V=π·12·=(cm3).答案：14.(2014·汉中高一检测)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________.【解析】设球的半径为R，六棱柱的底面边长为a，高为h，显然有=R，且解得所以R=1，则V球=πR3=π.答案：π15.(2014·合肥高二检测)已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是________.【解析】设圆柱底面半径为r，则其高为3R-3r，全面积S=2πr2+2πr(3R-3r) =6πRr-4πr2=-4π(r-R)2+πR2，故当r=R时全面积有最大值πR2.答案：πR2三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2014·宜春高一检测)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.【解析】作出圆台的轴截面如图.设O′A′=r，因为一底面周长是另一底面周长的3倍，所以OA=3r，SA′=r，SA=3r，OO′=2r.由轴截面的面积为(2r+6r)·2r=392，得r=7.故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14.17.(12分)(2013·江苏高考)如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面垂直再证线线垂直.【证明】(1)因为AS=AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点.又因为E 是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊈平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又因为EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又因为AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB=A，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB.又因为SA平面SAB，所以BC⊥SA.18.(12分)(2013·山东高考)如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.(1)求证：CE∥平面PAD.(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.【解题指南】(1)本题考查线面平行的证法，可利用线线平行，也可利用面面平行，来证明线面平行.(2)本题考查了面面垂直的判定，在平面EMN中找一条直线垂直平面EFG即可. 【证明】(1)方法一：取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH=AB.又AB∥CD，CD=AB，所以EH∥CD，EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH平面PAD，CE⊈平面PAD，因此CE∥平面PAD .方法二：连接CF.因为F为AB的中点，所以AF=AB.又CD =AB，所以AF=CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又CF⊈平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊈平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F，故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA .所以AB⊥EF .同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB⊥平面EFG，又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD .又AB∥CD，所以MN∥AB，因此MN⊥平面EFG，又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.【变式训练】如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2.(1)求证：平面AEF⊥平面PBC.(2)求三棱锥P-AEF的体积.【解析】(1)因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，而AE平面PAB，所以BC⊥AE.又AE⊥PB，PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC.而AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，所以AE就是三棱锥A-PEF的高.因为AE⊥平面PBC，所以AE⊥PC，又AF⊥PC，AE∩AF=A，所以PC⊥平面AEF，所以PC⊥EF.又PA=AB=BC=2，所以AE=，AF===.所以PF===.所以EF===，所以V P-AEF=V A-PEF=×AE×S△PEF=××××=. 19.(12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点.(1)证明：BC1∥平面A1CD.(2)设AA1=AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C-A1DE的体积. 【解题指南】(1)连接AC1，构造中位线，利用线线平行证线面平行.(2)1C A DE V =·CD ，确定与高CD 的长，得体积.【解析】(1)连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点.又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF.因为DF 平面A 1CD ，BC 1⊈平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD.由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB ，又AA 1∩AB=A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1=AC=CB=2，AB=2得 ∠ACB=90°，CD=，A 1D=，DE=，A 1E=3，故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE ⊥A 1D 所以=××××=1.20.(13分)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD=P ，A 1C 1∩EF=Q.求证：(1)D ，B ，E ，F 四点共面.(2)若A 1C 交平面BDEF 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线.【证明】如图所示.(1)连接B 1D 1.因为E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，所以EF ∥B 1D 1.又因为B 1D 1∥BD ，所以EF ∥BD ，所以EF 与BD 共面，所以E ，F ，B ，D 四点共面.(2)因为AC∩BD=P，所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.同理，Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF.因为A1C∩平面DBFE=R，所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF，所以P，Q，R三点共线.【拓展延伸】四点共面与三点共线的证明方法(1)证明四点共面的常用方法①证明两点所在的直线与另外两点所在直线平行或相交；②证明其中一点在另外三点所确定的平面上.(2)证明三点共线的常用方法①证明三点同时在两个平面内，则三点在两个平面的交线上；②证明其中一点在另外两点所确定的直线上.21.(14分)已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC 上一点，N为BF上一点，且AM=FN=x，设AB=a.(1)求证：MN∥平面CBE.(2)求证：MN⊥AB.(3)当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值.【解析】(1)在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，连接GH.因为AM=FN，所以MC=NB，因为===，所以MG NH，所以四边形MNHG为平行四边形，所以MN∥GH，又因为GH平面CBE，MN⊈平面BEC，所以MN∥平面CBE.(2)因为AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE=B，所以AB⊥平面CBE，因为GH平面CBE，所以AB⊥GH，因为MN∥GH，所以MN⊥AB.(3)因为平面ABCD⊥平面ABEF，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥BC.因为BG=，BH=，所以MN=GH=，==(0<x<a)=≤a，当且仅当x=a时，等号成立，所以当x=a时，MN取最小值 a.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(五)空间图形的公理(公理4、定理)一、选择题(每小题3分，共18分)1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】选B.假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c ∥b，则有a∥b，矛盾)，因此c与b可能相交或异面.2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面【解析】选A.因为E，F分别是SN和SP的中点，所以EF∥PN.同理可证HG∥PN.所以EF∥HG.3.(2014·焦作高一检测)有下面说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是( )A.0B.3C.2D.1【解析】选D.①③中a，c异面、平行、相交都可能，只有②正确.【拓展延伸】学好立体几何的好帮手——长方体模型长方体是立体几何中常见的模型之一，许多点、线和面的关系的例子可以从中寻找，我们的教室就可以抽象成一个长方体，墙角是长方体的顶点，墙面是长方体的面，墙的边就是长方体的棱，学会从长方体中寻找位置关系是学习立体几何必备的数学素养.4.(2014·阜阳高一检测)如图，空间四边形ABCD中，AE=2BE，BF=CF，CG=2GD，DH=AH，则四边形EFGH为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形【解析】选A.由题意=，=，所以==，所以EF AC，同理HG AC，所以EF HG.所以四边形EFGH为平行四边形.5.如图，平面α与平面β交于EF，C∈EF，C′∈EF，ACα，A′C′α，BCβ，B′C′β，且AC∥A′C′，BC∥B′C′，∠BCA=120°，则∠B′C′A′=( )A.0°B.60°C.120°D.60°或120°【解析】选C.结合图形，由AC∥A′C′，BC∥B′C′，根据定理，有∠B′C′A′=∠BCA=120°.6.(2014·济源高一检测)四面体S-ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°【解析】选C.取SB的中点G，则GE=GF=，在△SFC中，EF=a，所以GE2+GF2=EF2，所以∠EFG=45°.故选C.【拓展延伸】构造异面直线所成的角的方法(1)过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线所成的角转化为相交直线所成的角(或其补角).(2)当异面直线依附于某几何，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点.(3)当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上是要通过证明来计算.二、填空题(每小题4分，共12分)7.如果两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥所在的12条直线中，异面直线共有________对.【解析】六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两边相交，与另四条边异面，这样异面直线一共有4×6=24(对).答案：248.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成的角为________.【解析】如图，因为BC∥B1C1，所以∠ACB为异面直线B1C1与AC所成的角(或其补角).因为∠ABC=90°，AB=BC=1，所以∠ACB=45°，所以异面直线B1C1与AC所成的角为45°.答案：45°【变式训练】已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，AA1=2，则异面直线BD与AB1所成角的余弦值为________.【解析】如图，连结B，AD1.因为BD∥B1D1，所以∠AB1D1为异面直线BD与AB1所成的角(或其补角).在△AB1D1中AB1=AD1=，B1D1=，所以cos∠AB1D1==.答案：9.四面体P-ABC中，PA⊥BC，E，F分别为PC，AB上任一点，若EF与PA，BC所成的角分别为α，β，则α+β=________.【解析】本题可利用特例法.如图，若E，F为中点时，取AC的中点M，连接EM，FM，所以EM∥PA，FM∥BC，所以∠FEM=α，∠EFM=β，因为PA⊥BC，所以EM⊥FM，所以α+β=90°.答案：90°三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·南昌高一检测)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G分别是棱CC′，BB′，DD′的中点，求证：∠BGC=∠FD′E.【证明】连接BD，B′D′，在平行四边形BDD′B′中，G，F分别为DD′，BB′的中点，易知GB∥D′F，在平行四边形CC′D′D中，因为G，E分别为DD′，CC′的中点，易知GC∥D′E.又因为∠BGC和∠FD′E方向相同.所以∠BGC=∠FD′E.11.如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，E，F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小.【解析】取CD1的中点G，连接EG，DG，因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG=BC.因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD=BC，所以DF∥BC，DF=BC，所以EG∥DF，EG=DF，所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又因为A1A=AB，所以四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，所以DG⊥CD1，所以∠D1GD=90°，所以异面直线CD1，EF所成的角为90°.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·重庆高一检测)在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角是60°，那么∠FEG为( )A.60°B.30°C.120°D.60°或120°【解析】选D.异面直线AD与BC所成的角可能等于∠FEG，也可能等于∠FEG的补角.2. (2013·南充高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为边B1C1，C1C，A1A，AD的中点，则EF与GH( )A.平行B.相交C.异面D.不能确定与A1D，【解析】选A.连接B因为E，F为中点，所以EF∥B1C.又因为G，H为中点，所以GH∥A1D.容易得出A1D∥B1C，所以EF∥GH.【举一反三】若已知条件不变，求GE与FH的位置关系，则结论如何？【解析】选A.由上面解析知EF B1C，GH A1D，又容易得出B1C A1D，所以EF GH，所以四边形EFHG为平行四边形，所以GE∥FH.3.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④【解题指南】将平面展开图还原为正方体后逐一验证.【解析】选C.将图还原为正方体如图所示.由图可知①BM与ED异面；②CN与BE平行；③CN与BM所成角为60°；④BN⊥DM.4.(2014·广东高考)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解题指南】由于l2∥l3，所以l1与l4的位置关系可以通过同垂直于一条直线的两条直线的位置关系加以判断.【解析】选D.因为l2∥l3，所以l1⊥l3，l3⊥l4.实质上就是l1与l4同垂直于一条直线，所以l1⊥l4，l1∥l4，l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立，故l1与l4的位置关系不确定.二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为__________(注：把你认为正确的结论的序号都填上).【解析】直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故①②错误，③④正确.答案：③④6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1，则AB1与BC1所成的角的大小为________.，设B1C∩BC1=D，取AC的中点E，【解析】如图，连结B连结DE，BE，C1E，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以D是B1C的中点，所以DE∥AB1，所以∠BDE(或其补角)是AB1与BC1所成的角.不妨设BB1=1，则AB=BC=AC=，在Rt△CC1E中，C1E===，在Rt△BCE中，BE=BC〃sin60°=×=，所以C1E=BE，又D是BC1的中点，所以ED⊥BC1，所以∠BDE=90°，所以AB1与BC1所成的角为90°.答案：90°三、解答题(每小题12分，共24分)7. (2014·佛山高一检测)如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD= ∠FAB=90°，BC∥AD，BC=AD，BE∥FA，BE=FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，E，F四点是否共面？为什么？【解题指南】(1)只需证BC∥GH，BC=GH.(2)先证四边形BEFG为平行四边形，再证明EF∥CH即得.【解析】(1)由已知FG=GA，FH=HD，可得GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD，所以GH∥BC，GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形.(2)C，D，E，F四点共面，证明如下：由BE FA，G为FA中点知，BE FG，所以四边形BEFG为平行四边形.所以EF BG.由(1)知BG CH.所以EF CH，即四边形EFHC为平行四边形.所以CE与HF共面，又D∈直线FH.故C，D，E，F四点共面.【变式训练】如图所示，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且===.(1)求证：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)求的值.【解析】(1)因为AA′与BB′交于点O，且==.所以AB∥A′B′.同理，AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)因为A′B′∥AB，AC∥A′C′且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，所以∠BAC=∠B′A′C′.同理∠ABC=∠A′B′C′.因此△ABC∽△A′B′C′，且==.所以==.8.如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且==，EF=，求AB和CD所成的角的大小.【解析】如图，过E作EO∥AB，交BD于点O，连接OF，所以=，所以=，所以OF∥CD.所以∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.在△EOF中，OE=AB=2，OF=CD=1，又EF=，所以EF2=OE2+OF2，所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.【拓展延伸】利用定义法求异面直线所成的角的四个步骤(1)移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，成为相交直线，这里的点通常选择特殊的点，如线段的中点或端点等.(2)证：证明所作的角为异面直线所成的角.(3)算：寻找或作出含有此角的三角形，解三角形，求出此角.(4)验：因为异面直线所成的角θ的取值范围为0°<θ≤90°，所以当所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.关闭Word文档返回原板块。

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