现代信号处理_同态处理

5.1 同态系统的基本概念

4. 同态系统的规范形式
任何同态系统都可以表示成由三个子系统
级联的形式：
*
D *[•] + ׈ + L[•] + × + D〇
-1[•]
〇 ◇
x ( n) △
x ( n) ×
ˆ ( n) × y
y( n)
*和+同态系统
+同态系统
+和〇同态系统
5.1 同态系统的基本概念
1 ˆ x(n) Z [ln X ( z )] 为信号x(n) 的复倒谱
(Cepstrum)。
卷积同态系统的 D*[•]将卷积运算组合的信
号转换成它们的复倒谱之和。
5.4 复倒谱

2. 序列的复倒谱
设x(n)的Z变换为
X ( z ) Az r

1 ( 1 a z k ) (1 bk z ) 1 ( 1 c z k ) (1 d k z ) k 1 k 1 k 1 pi k 1 po
5.0 引言

加性组合信号(MMSE分离)
x(n)信号 y(n)噪声 r(n)
5.0 引言

非线性组合信号
x(n)信号1 r(n) y(n)信号2 乘法 x(n)信号 r(n) y(n)
卷积
5.1 同态系统的基本概念

1. 线性系统 叠加原理 • 设 x1(n) 和 x2(n) 为系统的两个输入序列， 其输出分别用y1(n) 和y2(n)表示，即

ˆ ˆ ˆ ˆ exp[ y1 ( n) y2 ( n)] {exp[ y1 ( n)]} {exp[ y2 ( n)]} y1 ( n) y 2 ( n)
5.2 乘法同态系统

4. 规范形式的实现框图
复对数
x ( n) ×
+
+
ˆ ( n) x

5.1 同态系统的基本概念

2. 广义叠加原理
将系统中的运算用符号抽象化
• 系统的输入中： • 信号间的运算用*表示 (加、乘、卷积 等) • 常数与信号间的运算用△表示 ( 乘、 幂、开方等)
5.1 同态系统的基本概念
• 系统的输出中： • 信号间的运算用〇表示 (加、乘、卷 积等) • 常数与信号间的运算用◇表示 ( 乘、 幂、开方等) • 用 H 表示系统变换，用 C表示系统中的 常数。
mi
mo
其中：
1 1 • ak , bk 为零点，ck , d k 为极点；
• ak , bk , ck , d k 的模均小于1；
• mi , mo 为单位圆内、外零点的数目；
• pi , po 为单位圆内、外极点的数目。
5.4 复倒谱
ln( 1 ck z 1 ) ln( 1 d k z )
数，则
ˆ (n) D[ x(n)] D[ x1 (n)] D[ x2 (n)] x ˆ 1 (n) x ˆ 2 (n) x ˆ (n) L[ x ˆ (n)] L[ x ˆ 1 (n)] L[ x ˆ 2 (n)] y ˆ 1 (n) y ˆ 2 (n) y 1 1 1 ˆ ( n)] D ˆ 1 ( n)] D ˆ 2 ( n)] y( n) D [y [y [y
线性 + 系统
+
复指数
×
y( n)
ˆ ( n) y
5. 应用 可表示成多个分量乘积的信号有： • 衰落信道的输出信号 • 调幅波
5.2 乘法同态系统
同态滤波的作用：
• 若要处理乘性混合信号，先对其进行分 离，增强其中某个信号分量，同时压缩 或削弱另一个信号分量。
5.3 卷积同态系统

1. 规范形式
若 * 为乘法， 〇 也为乘法，则称该系统为
乘法运算同态系统或乘法同态系统。
若 * 为卷积， 〇 也为卷积，则称该系统为
卷积运算同态系统或卷积同态系统。
若 * 为乘法， 〇 为卷积，则称该系统为乘
法和卷积运算同态系统。
5.1 同态系统的基本概念

3. 同态系统的分类 信号变换x2(n)能否构成乘法同态系统? 信号变换3x (n)能否构成乘法同态系统?
1 1 ˆ 1 ( n)]} {D ˆ 2 ( n)]} {D [y [y
5.2 乘法同态系统

3. 特征系统D×[•]
将信号间的乘法运算转换成加法运算；
将常数与信号间的幂运算转换成乘法运算。

D×[•]是对数运算： D×-1[•]是指数运算：
ˆ 1 ( n) x ˆ 2 (n) ln[ x1 (n) x2 (n)] ln x1 (n) ln x2 (n) x
常数与信号之间的运算：
• △≡◇≡指数运算
5.2 乘法同态系统

2.乘法同态系统的规范形式
x ( n) ×
幂运算
D×[•]
+
׈
+
x ( n) ×
L[•]
+
+
×y ˆ ( n) ×
D×
-1[•]
× y( n)
幂运算
设输入为 x( n) x1 ( n) x 2 ( n)
，其中 , 为常
n b 1 Z [ln( 1 bk z )] k , n 0 n
n d • 同理可得：Z 1[ln( 1 d k z )] k , n 0 n
ˆ ( z ) ln X ( z ) ln A ln z ln( 1 a z ) ln( 1 b z ) X k k
r 1 k 1 k 1
mi
mo
ln( 1 ck z ) ln( 1 d k z )
1 k 1 k 1
pi
po
5.4 复倒谱
• ln z r 项:
n r ( 1) n0 Z 1[ln z r ] n n0 0
n ak Z [ln( 1 ak z )] , n 0 n 1 1
• 同态系统强调在某运算下同态。
5.1 同态系统的基本概念 H[C △x(n)] C ◇ H[ x(n)]

3. 同态系统的分类
H[ x1 (n) * x2 (n)] H[ x1 (n)] 〇 H[ x2 (n)]
若 * 和 〇 均为加法，△和◇均为乘法，则
称该系统为加法同态系统，或线性系统。

5. 同态系统的特征系统
将信号之间的*运算转化成+运算的系统称
为*运算的特征系统。
*
x ( n) △
D *[•]
+ ×
将信号之间的+运算转化成〇运算的系统
称为〇运算的特征系统的逆系统。
+ × D〇
-1[•]
〇
◇
5.2 乘法同态系统

1. 乘法同态系统的运算
信号之间的运算：
* ≡〇 ≡乘法运算

ˆ ( Z )] 计算 Z 1[ X
• Z 1 ln( 1 ak z 1 )
n a ln( 1 ak z 1 ) k z n n 1 n
xn ln( 1 x ) n 1 n

n a Z 1[ln( 1 ak z 1 )] k , n 0 n
y1 (n) T[ x1 (n)] y2 (n) T[ x2 (n)] • 叠加原理要求：
T[ x1 (n) x2 (n)] T[ x1 (n)] T[ x2 (n)] y1 (n) y2 (n) T[ ax1 (n)] a T[ x1 (n)] ay1 (n)
满足叠加原理的系统称为线性系统。
再用复对数将乘法运算变为加法运算：
U 2 ( z ) ln[ U1 ( z )] ln[ X1 ( z )] ln[ X 2 ( z )]
5.3 卷积同态系统
1 1 ˆ x(n) Z [U 2 ( z )] Z [ln X 1 ( z ) ln X 2 ( z )]
最后用逆 Z 变换将信号由 Z 域变换到时域：

3. D*-1[•]的实现
ˆ ( n) y
i)
Z[•]
对信号进行Z变换，将信号由时域变换 到Z域：
ˆ (z) Y ˆ (z) ˆ (n)] Z[ y ˆ 1 ( n) y ˆ 2 (n)] Z[ y ˆ 1 (n)] Z[ y ˆ 2 (n)] Y V1 ( z ) Z[ y 1 2
k 1 k 1 pi po
k 1
X ( z ) Az
r k 1 pi k 1
(1 ak z ) (1 bk z )
1 k 1 po k 1
mi
mo
(1 ck z 1 ) (1 d k z )
mi mo ˆ r 1 X ( z ) ln X ( z ) ln A ln z ln( 1 ak z ) ln( 1 bk z ) k 1
PART III 同态信号处理
Homomorphic Signal Prosessing
第五章 同态信号处理

5.0 引言 5.1 同态系统的基本概念 5.2 乘法同态系统


5.3 卷积同态系统 5.4 复倒谱 5.5 复倒谱的计算
5.0 引言

加性组合信号1(频域可分离)
x(n)信号1 y(n)信号2 r(n)
5.3 卷积同态系统

2. 特征系统D*[•]的实现
*