【教学设计】 一元二次方程的根与系数的关系(6)
一元二次方程的根与系数的关系 优秀教学设计(教案)
一元二次方程的根与系数的关系教学时间课题课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．熟练掌握一元二次方程的根与系数关系。
2．灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题。
3．提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力。
过程方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明。
情感态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。
教学重点一元二次方程的根与系数关系。
教学难点对根与系数关系的理解和推导。
【教学过程】教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1．课本思考。
分析：将（x- x1）（x-x²）=0化为一般形式x²-( x1+x²)x+ x1x²=0与x²+px+ q=0对比，易知p=-( x1+x²)，q= x1 x²。
即二次项系数是1的一元二次方程如果有实教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题学生通过去括号、合并得到一般形式的创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲通过思考问题，让学生知道二次项系数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积。
2．跟踪练习。
求下列方程的两根x1、x²。
的和与积。
x²+3x+2=0； x²+2x-3=0； x²-6x+5=0； x²-6x-15=03．方程2x²-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4．一般的一元二次方程a x²+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x²和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
《一元二次方程的根与系数的关系》 教学设计
《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析:本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标：【知识与能力目标】1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程，体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.教学重难点：【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备：多媒体教学过程：问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）.【设计意图】通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。
问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。
(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的根与系数的关系
（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的根与系数的关系一. 教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是沪科版八年级数学下册的一章节，主要介绍了如何通过一元二次方程的根来确定方程的系数，以及根的判别式、根与系数之间的关系。
这一章节的内容是整个初中数学的重要基础，对于学生理解一元二次方程的性质，以及解决相关问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本章节之前，已经掌握了一元二次方程的解法，对代数式、方程式的基本概念有一定的了解。
但部分学生对于根与系数之间的关系理解不够深入，对于如何运用根的判别式解决实际问题还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，引导学生通过实际问题来理解根与系数的关系，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系；2.学会运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况；3.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系，根的判别式的运用；2.教学难点：如何引导学生通过实际问题来理解根与系数的关系，提高学生的解题能力。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生通过实际问题来探索一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例；2.准备与本章节相关的练习题；3.准备PPT，用于展示案例和讲解知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间的关系。
例如，已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，求该方程的系数。
2.呈现（15分钟）通过PPT展示一元二次方程的根与系数之间的关系，讲解根的判别式的运用。
结合案例，让学生理解并掌握如何通过一元二次方程的根来确定方程的系数。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，运用一元二次方程的根与系数的关系来解决实际问题。
初中数学初二数学下册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计
-与其他学科教师合作，开展跨学科的教学活动，增强学生的综合运用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.首先，通过一个实际问题引入新课，如：“某工厂生产的产品，每件产品的成本为a元，每件产品的售价为b元，如果工厂希望每件产品的利润为c元，那么工厂至少需要生产多少件产品才能达到这个目标？这个问题可以转化为一元二次方程，让学生回顾一元二次方程的基本概念。”
2.新课导入：提出问题，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间是否存在某种关系。
3.自主探究：让学生通过观察、猜想、验证等方法，发现一元二次方程根与系数的关系。
4.小组合作：将学生分成小组，讨论一元二次方程根与系数关系的应用，分享学习心得。
5.教师讲解：针对学生的疑问和难点，进行详细的讲解，巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解。
作业要求：
1.学生需认真完成作业，书写工整，保持卷面整洁。
2.对于思考题和小组讨论，鼓励学生发挥创新思维，提出独特见解。
3.作业完成后，学生应进行自我检查，确保解答正确，对疑问进行标注，以便课堂讨论时解决。
4.教师将根据作业完成情况进行评价，关注学生的进步和问题，给予针对性的指导和反馈。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，特别是判别式的概念及其应用。
2.能够运用公式法求解一元二次方程，并理解公式推导的过程。
3.将一元二次方程根与系数的关系应用于解决实际问题，建立数学模型。
（二）教学设想
1.对于教学重点的突破：
-通过直观的图形展示，如一元二次方程的图像，帮助学生形象地理解根与系数的关系。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.4《一元二次方程根与系数的关系》是本册教材中非常重要的一部分。
本节内容主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，了解根的判别式、根与系数的关系，以及如何应用这些知识解决实际问题。
通过本节内容的学习，学生可以进一步理解一元二次方程的求解过程，提高解题能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二次方程的求解方法，对一元二次方程有一定的理解。
但学生在理解根与系数的关系方面可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过实际例子去发现、总结根与系数之间的关系，帮助学生建立直观的认识。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生发现并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设计富有思考性的问题，引导学生主动探究，发现并理解根与系数之间的关系。
同时，通过案例分析和小组合作，让学生在实际操作中运用所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次方程的求解方法，激发学生的学习兴趣。
然后，教师提出本节课要研究的问题：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示几个典型案例，让学生观察并分析案例中根与系数之间的关系。
教师引导学生总结出一元二次方程的根与系数之间的关系，并板书。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生分组讨论并解答。
教师巡回指导，帮助学生解决解答过程中遇到的问题。
4.巩固（10分钟）教师挑选几名学生回答练习题的解答过程，并对解答过程进行点评。
【说课稿】 一元二次方程的根与系数的关系(6)
一元二次方程的根与系数的关系教材地位分析：一元二次方程的根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点。
教材的处理：一、教学目标：1、掌握一元二次方程的根与系数的关系的关系并会初步应用。
2、提高学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
3、渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
4、通过学生探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合、判断的能力。
激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神。
二、教学重点难点及难点的突破重点：根与系数的关系。
难点：对根与系数的关系的理解和推导。
难点的突破方法：由已知两根构造新方程入手，由学生观察并发现一元二次方程根与系数的关系，用求根公式再严格加以证明，证明的过程是一个再熟悉和再理解的过程。
三、教学构想：在构思这节课时，感到教材中所提供的方法固然能更加直接的引出根与系数的关系，但忽略了定理最初形成的过程（即：为何要检验两根之和，两根之积？）。
因此我根据前面所学内容，从已知两根求作方程入手，引导学生观察并发现根与系数的关系。
此时所得出的恰好是二次项系数为1的方程，这种特殊的方程有这种规律，是不是对二次项系数不为1的方程也同样有这种规律呢？于是引出下文，并推及到韦达定理的出现与证明。
然后加入对数学家韦达的介绍，及我国古代数学家在根与系数关系上的贡献，激发学生的爱科学，用科学的情感，提高学生对学习的兴趣。
最后，再由学生自主小结，谈体会，给整节课画上圆满的句号。
四、教法、学法：为了体现二期课改中“以学生为主体”的教育理念，在课程的引入和新授中充分地考虑在学生已有知识与新知识间架起一座桥梁，通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与韦达定理的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
初中八年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学设计
初中八年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案教
学设计
教学目标：
知识与技能：
1.了解一元二次方程的根与系数的关系.
2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
过程与方法：
培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
情感态度与价值观：
1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；
2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神
教学重难点：
【重点】
利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
【难点】。
初中九年级数学人教版《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点） 教学过程：一、新课导入 1.相关人物韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来.2.解下列方程并完成填空：(1)x 2+3x-4=0; (2)x 2-5x+6=0; (3)2x 2+3x+1=0 一元二次方程两 根 关 系1x2xx 2+3x -4=0 x 2-5x +6=0想一想 方程的两根1x 和2x 与系数a,b,c 有什么关系？ 二、讲授新课一元二次方程 两根分别为1x 和2x ，则1x = 2x = 那么，1x +2x = 1x 2x =归纳总结：根与系数的关系一元二次方程 两根分别为1x 和2x ，则有1x +2x = 1x 2x =三、当堂检测1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根1x ，x2的和与积：(1)x 2－6x －15＝0 (2) 3x 2＋7x －9＝0；(3) 5x －1＝4x 2.2.已知1x , 2x 是方程2x 2+2kx+k-1=0的两个根，且(1x +1)(2x +1)=4； (1)求k 的值； (2)求(1x -2x )2的值.四、课后小结ax 2 ＋ bx ＋c ＝0 (a ，b ，c 为常数，a≠0) 根与系数的关系（韦达定理）内容如果一元二次方程 ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根分别是x 1、 x 2，那么12cx x a应用222121212()2x x x x x x 22121212()()4x x x x x x 12121211x x x x x x 12b x x aax 2 ＋ bx ＋c ＝0 (a ，b ，c 为常数，五、作业布置课本16页练习、17页第7题。
九年级数学上册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对讲授新知部分的内容，进行讨论。讨论主题包括：判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系等。
2.讨论要求：小组成员要积极参与，发表自己的观点，倾听他人的意见，共同探讨问题。每个小组选出一个代表，汇报本组讨论成果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨问题。
（五）总结归纳
1.学生自主总结：让学生回顾本节课所学内容，总结一元二次方程根与系数的关系及其应用，归纳解题方法。
2.教师点评：教师对学生的总结进行点评，强调重点知识点，指出易错点，提醒学生注意。
3.课堂小结：对本节课的教学内容进行梳理，形成知识结构，为学生后续学习奠定基础。
五、作业布置
为了巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
7.关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，给予个性化的指导。对学习困难的学生，要进行耐心辅导，帮助他们克服困难；对优秀生，要适当提高要求，激发他们的潜能。
8.定期组织课堂小结，让学生在总结中回顾所学知识，形成系统的知识结构。同时，鼓励学生提出问题，培养他们的批判性思维。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
2.作业难度分层，满足不同学生的学习需求；
3.作业形式多样，注重培养学生的实践能力和团队合作精神；
4.教师及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进学习方法。
2.学会运用根与系数的关系解决实际问题，提高数学应用能力；
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。
（二）教学难点
1.判别式的推导及其与根的关系的理解；
2.在实际问题中，如何构建一元二次方程模型，并运用根与系数的关系进行求解；
人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计
§21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计教学目标：掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积。
能灵活解决的与有关一元二次方程的根问题。
渗透从特殊到一般的再有一般到特殊数学思想，以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，培养学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力，通过知识的产生过程，让学生感悟数学的思维方式，利用韦达定理不失时机渗透爱国主义精神，激发学生学习数学兴趣，提高学生解决问题能力。
教学重难点：1、理解一元二次方程根和系数的关系特点和应用及推导过程；2、利用一元二次方程根和系数的关系解决有关问题。
学情分析：1、知识掌握方面：本节课是在学习了一元二次方程的求根公式及根的判别式的基础上进行的，学生通过上几节一元二次方程的解法的学习，熟练掌握了一元二次方程的求根公式，有一定的运算能力和探究能力。
2、学生年龄特点：九年级学生具有一定的认知能力，和主动学习能力，适合由特殊到一般的探究方式。
教学过程：活动1（复习旧知）：1、写出一元二次方程的一般式ax 2+bx+c=0 (a ≠0)2、一元二次方程求根公式。
a ac b b x 2422,1-±-=解下列方程并填空：观察、思考两根和、两根积与系数的关系，所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律观察、思考两根和、两根积与系数的关系。
活动2（讨论与探究）:任意的一元二次方程，ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1、x 2 则 x 1+x 2， x 1·x 2与系数a ，b ，c 的关系是什么（引导学生讨论）活动3 (猜想结论（引导学生）)若0(02≠=++a c bx ax ，)042≥-ac b ，两根为x 1,x 2则: x 1+x 2=a b - x 1·x 2= ac 活动4(推导结论)： 证明：由求根公式得：a ac b b x 2421-+-=，a ac b b x 2422---=∴a b a ac b b ac b b x x -=----+-=+2442221a c a ac a acb b x x ==---=•222221444)4()(活动5(形成结论):若0(02≠=++a c bx ax ，)042≥-ac b ，两根为x 1、x 2那么x 1+x 2=a b - x 1·x 2= ac 如果方程x 2+px+q=0的两根是X 1 ，X 2，那么：x 1+x 2= -p ， x 1·x 2= q这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是法国数学家韦达最先发现的。
一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、内容和内容解析 1.内容一元二次方程根与系数的关系2.内容解析一元二次方程根与系数的关系是一元二次方程中一种重要的关系，利用这一关系可以解决很多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
实际上，一元n次方程的根与系数之间也存在着确定的数量关系。
一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式x =，反映了方程的根是由系数c b a ,, 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的ab x x -=+21, ac x x =21是从另一方面更简洁的反映了一元二次方程的根与系数之间的关系，即通常所说的一元二次方程的根与系数之间的关系.本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时根与系数 的关系。
本节课为选学内容，所以在利用根系关系解决问题时需酌情控制难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：一元二次方程的根与系数的关系的探索及简单应用。
二、目标和目标解析1.目标（1）知识与技能：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，能进行简单应用。
（2）过程与方法： 在一元二次方程的根与系数的关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认知规律。
（3）情感态度与价值观：感受数学的严谨性和数学结论的确定性，提高运算能力，获得成功的体验，建立自信心。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道一元二次方程的根与系数的关系，并利用根与系数关系求出两根之和，两根之积。
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程的根与系数的关系。
达成目标（3）的标志是：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
在观察、归纳、类比、计算与交流活动中，感受数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
三．教学问题诊断分析一元二次方程的根与系数的关系是在学生已经学习了一元二次方程解法基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究。
一元二次方程根与系数的关系教案(完美版)
一元二次方程根与系数的关系一、教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．在线分享文档设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． 练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ （1）x 2-2x ＋1＝0；（2）x 2-9x ＋10＝0； （3）2x 2-9x ＋5＝0；（4）4x 2-7x ＋1＝0；（5）2x 2-5x ＝0；（6）x 2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系． 3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．在线分享文档验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。
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一元二次方程的根与系数的关系教学媒体多媒体
教学目标知识
技能
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过程
方法
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明. 情感
态度
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，
激励学生勇于探索的精神.
教学重点一元二次方程的根与系数关系教学难点对根与系数关系的理解和推导教学过程设计
教学程序及教学内容师生行为设计意图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
二、探究新知
1.思考
分析：将（ x
1）（
2
）=0化为一般形式x2-( x
12
) x
1
x
2
=0
与x2 0对比,易知( x
12)， x
1
x
2.
即二次项系数是1
的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.
2.跟踪练习
求下列方程的两根x
1、x
2.
的和与积.
x2+32=0； x2+23=0; x2-65=0; x2-615=0
3. 方程2x2-31=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？教师出示问题，
引出课题学生初
步了解本课所要
研究的问题
学生通过去括
号、合并得到一
般形式的一元
二次方程，教师
适时点拨，分析
总结得到结论.
学生独自完成
巩固上诉知识
教师出示探究问
题，学生通过特
殊例子入手，再
通过一般形式推
创设问题情
境，激发学
生好奇心，
求知欲
通过思考问
题，让学生知
道二次项系
数为1的一
元二次方程
的根与系数
关系，为后面
继续研究做
铺垫
让学生通过
探究问题，
4.一般的一元二次方程20（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根
的和、积，得到方程的两个根x
1、x
2
和系数a，b，c
的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
求下列方程的两根x
1、x
2.
的和与积.
3x2+72=0；3x2+72=0; 3x2-72=0；3x2-72=0；
51=4x2；5x2-1=4x2
6.拓展练习
已知一元二次方程2x20的两个根是-1，3，
则 .
已知关于x的方程x22=0的一个根是1，则另一个根是的值是 .
若关于x的一元二次方程x20的两个根互为相反数，
则 ; 若两个根互为倒数，则 .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. 两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+215=0
B.6x2-135=0
C.7x2-125=0
D.2x2+158=0
.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（）
A.4x2-3=0 3x2+54=0 C.0.5x2-43=0 D.2x25
360 .若关于x的一元二次方程2x2-30,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，导证明，教师引
导学生根据求根
公式进行探究、
交流，尝试发现
结论
学生独立解决，
并交流
先观察，尝试选
用合适方法解
题，之后交流，
比较解法
学生尝试归纳，
师生总结
体会从特殊
到一般的认
知过程，体
会数学结论
的确定性
加深对韦达
定理的理解，
培养学生的
应用意识和
能力
通过学生亲
自解题的感
受与经验，感
受数学的严
谨性和数学
结论的确定
性.
确定方程各项系数的符号，中还需考虑m 的值还得受根的判别式的限制. 三、课堂训练 1.完成课本练习 2.补充练习：
x 1 ，x 2是方程3x 2
-24=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：2
1
11x x +； 221212x x x x + 2221x x +； ()221x x -；2
112x x x x +
四、小结归纳 本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型： 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； 判断两个根的符号；不解方程求含有方程的两根的式子的值.
五、作业设 计 必做：P40：4
选做：补充作业：已知一元二次方程x 2+31=0的两个根是βα、，求
α
ββ
α+的值.
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
进一步加强
对所学知识的理解和掌握
通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用
加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
教 学 反 思。