常考问题3 不等式及线性规划问题

②－①，得 2 c＝6，∴c＝9.
答案
9
知识与方法ຫໍສະໝຸດ 热点与突破审题与答题
热点二
简单的线性规划问题
3x－y－6≤0， 【例 2】(2012· 济宁二模)设 x， y 满足约束条件x－y＋2≥0， x≥0，y≥0. 若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为 12，则 3 2 ＋ 的最小值为 ( )． a b 25 8 11 A. B. C. D．4 6 3 3
若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于
在区间D上f(x)min<B；
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(3)恰成立问题
若不等式f(x)>A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的 解集为D；
若不等式f(x)<B在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)<B的
解集为D. 4．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元 函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如 各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中
2
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另解
1 1 也可转化为：a≥－ x＋x ，x∈(0， )恒成立，利用单 2 1 的解集为xx>2 ，或x<－1 ，
调性求解． (2)2x ＋x－1>0
2
1 1 2 2 由 x> ⇒2x ＋x－1>0，但 2x ＋x－1>0 x> . 2 2 1 ∴“x> ”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要条件． 2
[规律方法] 在使用基本不等式求最值时，一定要注意等 号成立的条件，“一正、二定、三相等”的基本要求，在 解题中一定要检验这些条件是否能够得到满足，在一些 字母系数不为1的问题中要善于进行常数代换，这是化解 使用基本不等式时的一种常用方法．
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【训练 3】 (1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最 小值是________． (2)(2013· 金丽衢十二校联考)已知任意非零实数 x， y 满足 3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立， 则实数 λ 的最小值为( )． A．4 B．5 11 7 C. D. 5 2 3 1 解析 (1)∵x＞0，y＞0，由 x＋3y＝5xy，得 ＋ ＝5. x y 3 1 ∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y)x＋ y 12y 3x 36xy ＝13＋ x ＋ y ≥13＋2 xy ＝25. 因此 3x＋4y≥5，当且仅当 x＝2y 时等号成立． 1 ∴当 x＝1，y＝ 时，3x＋4y 的最小值为 5. 2
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解析 不等式表示的平面区域如图所示 阴影部分．当直线 ax＋ by＝ z(a＞ 0， b ＞0)过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－ 6＝0 的交点(4，6)时，目标函数 z＝ax ＋by(a＞0，b＞0)取得最大值 12，即 4a ＋6b＝12，即 2a＋3b＝6. 2 3 2 3 2a＋3b 13 b a 所以a＋b＝a＋b· ＝ ＋a＋b 6 6 13 25 ≥ ＋ 2＝ . 6 6 答案 A
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(2)∵xy＝x＋2y≥2 2xy，∴( xy)2－2 2 xy≥0. ∴ xy≥2 2或 xy≤0(舍去)． ∴xy≥8.若 xy≥m－2 恒成立， 只需(xy)min≥m－2 成立即可． 即 m－2≤8，即 m≤10，∴m 的最大值为 10.
答案
(1)B
(2)10
要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够
使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数 的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条 件，尽量避免二次使用基本不等式．
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5．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二 元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示 的半平面的交集． 线性目标函数 z＝ax＋by 中的 z 不是直 a 线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，把目标函数化为 y＝－bx z z ＋b，可知b是直线 ax＋by＝z 在 y 轴上的截距，要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情 况下取得最小值.
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【训练2】 (2013· 陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所 围成的封闭区域，则2x－y的最小值是 A．－6 C．0 解析 B．－2 D．2 ( )．
如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封
闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y ＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平 行移动直线y＝2x，当经过点(－2，2)时，z
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a 解析 (1)设 f(x)＝x ＋ax＋1，其对称轴为 x＝－ . 2 1 a 1 若－ ≥ ，即 a≤－1 时，则 f(x)在0，2上是减函数，若 2 2 1 5 满足题意应有 f 2 ≥0，即－ ≤a≤－1. 2 1 a 若－ ≤0，即 a≥0 时，则 f(x)在0，2上是增函数， 2 又 f(0)＝1>0 成立，故 a≥0. a a2 a2 a 1 a2 若 0<－ < ，即－1<a<0，则应有 f－2＝ － ＋1＝1－ 2 2 4 2 4 5 ≥0 成立，故－1<a<0.综上，有 a≥－ . 2
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[规律方法] 线性规划的实质是把代数问题几何化， 即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误 地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时， 要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免 a 出错，比如上题中目标函数所对应直线的斜率－ ＜ b 0；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在 可行域的端点或边界上取得．
是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次
清楚地求解．
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2．基本不等式
(1)基本不等式 a2＋b2≥2ab 取等号的条件是当且仅当 a＝b. a＋b 2 (2)几个重要的不等式：①ab≤ 2 (a，b∈R)． ② a2＋b2 a＋b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0)． 2 2 a＋ b
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热点一
一元二次不等式的解法及应用
2
【例 1】(1)若不等式 x
1 ＋ax＋1≥0 对于一切 x∈ 0，2成立，
则 a 的取值范围是 A．[0，＋∞) 5 C．[－ ，＋∞) 2
( )． B．[－2，＋∞) D．[－3，＋∞)
1 (2)(2013· 济南调研 ) 设 x∈R ，则“x> ”是“2x2 ＋ x － 2 1>0”的 ( )． A．充分而不必要条件 B．充分必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6. 答案 A
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热点三
基本不等式及其应用
【例 3】 (1)(2013· 山东卷)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy xy 2 1 2 2 ＋4y －z＝0，则当 取得最大值时， ＋ － 的最大值 z x y z 为 ( )． A．0 B．1 9 C. D．3 4 (2)已知 x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若 xy≥m－2 恒成立， 则实数 m 的最大值是________．
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解析 (1)由已知得 z＝x2－3xy＋4y2(*) xy xy 1 1 则 ＝ 2 ＝ ≤ ＝1， z x －3xy＋4y2 x 4y x 4y y ＋ x －3 2 y · x －3 x 4y 当且仅当y ＝ x ，即 x＝2y 时取等号，把 x＝2y 代入 1 2 2 1 2 2 1 2 (*)式，得 z＝2y ，所以x＋ y － z ＝ y－ 2＝－y －1 ＋ y 2 1 2 1≤1.即当 y＝1 时， ＋ － 的最大值为 1. x y z
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3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题
若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 f(x)min>A； 若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 f(x)max<B；
(2)能成立问题
若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于 在区间D上f(x)max>A；
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(2)依题意，得 3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)， 3x2＋4xy 因此有 2 2 ≤ 4 ，当且仅当 x ＝ 2y 时取等号，即 x ＋y 3x2＋4xy 3x2＋4xy 的最大值是 4 ，结合题意得 λ≥ 2 2 ，故 x2＋y2 x ＋y λ≥4，即 λ 的最小值是 4.
答案
(1)C
(2)A
[规律方法] 解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正 负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根 的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴
的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解．
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【训练1】 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，
＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则 实数c的值为________． 2 a a 2 解析 由题意知 f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋2 ＋b－ . 4 a2 a2 ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－ ＝0，即 b＝ . 4 4 a 2 a a ∴f(x)＝ x＋2 .由 f(x)<c，得－ － c<x<－ ＋ c， 2 2 又 f(x)<c 的解集为(m，m＋6)， a ① －2－ c＝m， ∴ －a＋ c＝m＋6， ② 2