必修五不等式及线性规划

不等式

1. 实数的性质：

0>-⇔>b a b a ；0<-⇔

2. 不等式的性质： 性 质

内 容

对称性 a b b a >⇔<，a b b a <⇔>． 传递性 a b >且b c a c >⇒>．

加法性质 a b a c b c >⇒+>+；a b >且c d a c b d >⇒+>+．

乘法性质 ,0a b c ac bc >>⇒>；0a b >>，且00c d ac bd >>⇒>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈⇒>；0,n n a b n N a b *>>∈⇒>．

倒数性质

11,0a b ab a b

>>⇒

<．

3. 常用基本不等式：

条 件

结 论

等号成立的条件

a R ∈

20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2

2

2a b ab +≥，2()2

a b ab +≤，

22

2()22a b a b ++≥ a b =

0,0>>b a

基本不等式： 2a b ab +≥

常见变式： 2≥+b a a b ； 21

≥+a

a

a b =

0,0>>b a

22112

2

2b a b a ab b a +≤

+≤≤+ a b =

4. 利用重要不等式求最值的两个命题：

命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2.

命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2

s

时，积ab 有最大值

42s .

注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或

积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.

5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有

结论：ax 2+bx+c>0

⇔

2

0040

a a

b a

c >⎧=⎨-<⎩或检验；ax 2+bx+c<0⇔2

040a a b ac <⎧=⎨-<⎩

或检验 6. 绝对值不等式

（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；

｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。 （2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-

7. 不等式证明方法：

基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法

特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它能够和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。 8、线性规划问题的解题方法和步骤

解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下： （1）设出未知数，确定目标函数。

（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。

△

△>0

△=0

△<0

图象

ax 2+bx+c=0的解

x=x 1或x=x 2

x=x 1=x 2=-b/2a

无实数解

ax 2+bx+c>0解集 {x ︱xx 2} {x ︱x ≠x 1 } R ax 2+bx+c<0解集 {x ︱x 1

Φ

Φ

（3）由目标函数z ＝ax ＋by 变形为y ＝－

b a x ＋b z ，所以，求z 的最值可看成是求直线y ＝－b a x ＋b

z 在y 轴上截距的最值（其中a 、b 是常数，z 随x ，y 的变化而变化）。

（4）作平行线：将直线ax ＋by ＝0平移（即作ax ＋by ＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使

b

z

最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。 （5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z 的最大（或最小）值。 9、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点

()

00,x y P ．

①若 0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若 0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 10、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．

①若 0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线

0x y C A +B +=下方的区域．

②若 0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线

0x y C A +B +=上方的区域．

10、用“穿根法”解高次不等式

用“穿根法”解不等式方法：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．

典型例题讲解及思维拓展

例1：解下列不等式：

(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥；

(3) 2210x x -+<； (4) 2220x x -+<．

例2：解不等式242+<-x x