高一数学人教A版必修1教学课件：1.3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用

必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引
2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝ f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( ) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析： ∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3) ＝f[4＋(－1)]＝f(－1)． 又∵f(－x)＝－f(x)， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， ∴f(7)＝－2，故选A. 答案： A
∴0<x≤1.∴x 取值范围是(0,1]．
必修1 第一章
集合与函数的概念
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[题后感悟] 解决此类问题时一定要充分利用 已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2) 或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区 间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出 不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定 义域对参数的影响．
x2＋x－1 x＞0 ∴f(x)＝0 x＝0 2 x －x－1 x＜0
必修1 第一章 集合与函数的概念
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函数奇偶性与单调性的综合应用 已知奇函数 f(x)是定义在[－1,1]上的增 函数，且 f(x－1)＋f(1－2x)<0，求实数 x 的取值范围．
f(x－1)＋f(1－2x)<0―→f(x－1)<f(2x－1)―→ 根据单调性―→列不等式组―→解得实数x的 取值范围
必修1 第一章
集合与函数的概念
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利用函数奇偶性求解析式 已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x∈(0，＋ ∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求 f(x)的解析式．
设x＜0，则－x＞0，代入fx的解析式利用奇 偶性即可得到结论.
必修1 第一章
集合与函数的概念
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[解题过程] 设 x＜0，则－x＞0. ∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1. 2 ∴f(－x)＝x －x－1. ∵函数 f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∴－f(x)＝x2－x－1.∴f(x)＝－x2＋x＋1. ∴当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2＋x＋1.
【错解】 当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝2(－ x)－3 ＝－2x－3 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x ＋3， 2x－3，x>0 ∴所求函数解析式为 f(x)＝ . 2x＋3，x<0
必修1 第一章 集合与函数的概念
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【错因】 忽略了定义域为R的条件，漏掉了x ＝0的情况．
x2＋x－1 x＞0 ∴f(x)＝0 x＝0 2 －x ＋x＋1 x＜0
必修1 第一章
集合与函数的概念
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[题后感悟] 此类问题的一般解法是： (1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式， x就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而 解出f(x).
必修1 第一章
集合(x)是 R 上的奇函数，当 x∈(0，＋ ∞)时，f(x)＝x2＋x－1，求 f(x)的解析式． 2.若将本例中题设条件“f(x)是 R 上的奇函数”改为“f(x)是 R 上的偶函数，且 f(0)＝0”其他条件不变，求 f(x)的解析式． 解析： 设 x＜0，则－x＞0 f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1 ∵f(－x)＝f(x) ∴f(x)＝x2－x－1
必修1 第一章
集合与函数的概念
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[题后感悟] 本题利用奇函数图象的特点，作 出函数在区间[－5,0]上的图象，利用图象求出 满足条件的自变量x的取值集合．数形结合是 研究函数的重要方法，画函数图象是学习数学 必须掌握的一个重要技能，并能利用函数图象 理解函数的性质.
必修1 第一章
集合与函数的概念
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1.如图给出了偶函数 y＝f(x)(x∈R) 的局部图象， (1)画出 x>0 部分的局部图象．
(2)求 f(3)，并比较 f(1)与 f(3)的大小．
必修1 第一章
集合与函数的概念
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解析： 因为函数y＝f(x)为偶函数，其图象关 于y轴对称，故保留y＝f(x)在(－∞，0]上的图象， 在[0，＋∞)上作y＝f(x)关于y轴对称的图象，如 图所示，即得函数y＝f(x)，x∈R的图象．由图 象知f(3)＝－2，f(1)＝－1，所以f(1)>f(3)．
第2课时
函数奇偶性的应用
必修1 第一章
集合与函数的概念
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1.利用函数奇偶性求 1.巩固函数奇偶性概念. 函数解析式．(重点) 2.能利用函数的单调性、 2.注意函数性质的综 奇偶性解决有关问题. 合运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
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1．函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 任意 如果对于函数f(x)的定义域内的____一个x，都 f(－x)＝f(x) 有____________，那么称函数y＝f(x)是偶函数． (2)奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的_____一个x，都 任意 f(－x)＝－f(x) 有_____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
必修1 第一章
集合与函数的概念
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利用函数奇偶性作函数图象 设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]，当 x∈ [0,5]时，函数 y＝f(x)的图象如图所示，(1)作出 函数在[－5,0]的图象； (2)使函数值 y<0 的 x 的取值集合．
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集合与函数的概念
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由题目可获取以下主要信息：①fx是[－5，5] 上的奇函数；②fx在[0，5]上图象已知.,解答 本题可先利用奇函数的图象关于原点对称， 作出fx的图象，再利用图象解不等式.
必修1 第一章
集合与函数的概念
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3.若偶函数 f(x)的定义域为[－1,1]， 且在[0,1]上单调递减，若 f(1－m)<f(m)成立，求 m 的取值范围．
解析： 由 f(x)是偶函数得 f(－x)＝f(x)，即 f(|x|)＝f(x) ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|) ∴f(|1－m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减
－1≤1－m≤1 ∴－1≤m≤1 |1－m|>|m|
必修1 第一章
1 ，解得 0≤m< 2
集合与函数的概念
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1．奇、偶函数的图象 (1)若一个函数是奇函数，则这个函数的图象 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反 之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称 中心的对称图形，则这个函数是奇函数，这也 成为我们由图象判定奇函数的方法． (2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴 为对称轴的对称图形．反之，如果一个函数的 图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数，这 也是由图象判定偶函数的方法． [注意] 由图象可知，奇函数在对称区间上单 调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反．
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集合与函数的概念
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[解题过程] ∵f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是 增函数． 由 f(x－1)＋f(1－2x)<0 得 f(x－1)<－f(1－2x)＝f(2x－1)
－1≤x－1≤1 ∴－1≤2x－1≤1 x－1<2x－1 0≤x≤2 ，即0≤x≤1 x>0
必修1 第一章
集合与函数的概念
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1．下列函数，既是偶函数，又在区间(0，＋∞) 上是减函数的是( ) 1 A．f(x)＝－x B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2
解析： 由偶函数定义，f(－x)＝f(x)知，f(x) ＝－x2，f(x)＝x2是偶函数， 又在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)＝－x2符合 条件，故选B. 答案： B
必修1 第一章 集合与函数的概念
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4．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为 增函数，试比较f(－2)与f(1)的大小． 解析： ∵f(x)是偶函数， ∴f(1)＝f(－1) 又∵f(x)在(－∞，0]上为增函数，－2＜－1 ∴f(－2)＜f(－1)＝f(1) 即f(－2)＜f(1)
必修1 第一章 集合与函数的概念
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(3)由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可 以由此得到作函数图象的简便方法，如作函数 y＝|x|的图象，因为该函数为偶函数，故需先 作出x≥0时的图象，利用函数图象关于y轴对称 即可作出x≤0时的图象．
必修1 第一章
集合与函数的概念
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◎已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时， f(x)＝2x－3，求函数f(x)的解析式．
【正解】 同错解得：当 x<0 时，f(x)＝2x＋3. ∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0) ＝0.
2x－3，x>0 ∴所求函数的解析式为 f(x)＝0，x＝0 2x＋3，x<0
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必修1 第一章
集合与函数的概念
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练规范、练技能、练速度
必修1 第一章 集合与函数的概念
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3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式为 ________．
解析： 当 x＜0 时，－x＞0， 2 ∴f(－x)＝x ＋2x.又 f(x)是奇函数， 2 ∴f(x)＝－f(－x)＝－x －2x. x2－2x， x≥0， ∴f(x)＝ 2 －x －2x，x＜0. x2－2x， x≥0， 答案： f(x)＝ －x2－2x，x＜0.
必修1 第一章
集合与函数的概念
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1．奇、偶函数的图象 y轴 (1)偶函数的图象关于____对称． 原点 (2)奇函数的图象关于____对称． 2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最 增函数 大值M，则f(x)在[－b，－a]上是______，且有 最小值－M ___________. (2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x) 增函数 在(0，＋∞)上是______．