第3动量与角动量
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第三章 动量与角动量
在光滑桌面上运动，速度分别为
v1
10i ,
v2
3.0i
5.0
j
（SI制）碰撞后合为一体，求碰撞后的速度？
解：方法一，根据动量守恒定律
m1v1 m2v2 (m1 m2 )v
解得：
v
7i
25
j
7
方法二，利用动量守恒分量式：
(m1 m2 )vx m1v1x m2v2x vx 7m / s
例 题 12
12、一子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F 400 4105 t
3
（SI），子弹从枪口射出时的速率为300m/s。假设子弹离
开枪口时合力刚好为零，则
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量； （3）子弹的质量 m ；
解：（1）根据题意，子弹离开枪口时合力为零，
f mg
f t(N)
30N L L L 0 t 4 30 ft 70 10tL 4 t 7
0
Ft ft f
t(s) 47
当 t 4s 时 Ftt mv4 mv0 v4 8m / s
(2)当 t 6s 时
6
4 Ftdt mv6 mv4 v6 v4 8m / s
人造卫星的角动量守恒。
A1 : L1 mv1(R l1)
l2
l1 m
A2 : L2 mv2 (R l2 )
A2
A1
mv1(R l1) mv2 (R l2 )
v2 6.30km/s
v2
v1
R l1 R l2
o
B
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
第03章动量与角动量
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
第三章动量与角动量分解
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r F
dt
称：M r F
dL
v mv
rF
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝Frsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
单位v：mmNv
dL
＝0
M
o
r
F
rF M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力Biblioteka 冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
第3章 动量与角动量
dp燃
E
例题 如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质 量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。 v 炮车与地面间的摩擦力不计。
M
m
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上 的外力有重力 G 和地面支持力 N ，而且 G N ， 在发射过程中G N 并不成立（想一想为什么？）， 系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守 E 恒。
Fx
t
冲量可表为
I x Fx t
§3-1 冲量与动量定理
t
E
质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）
质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即
p
i 1
N
pi
i 1
N
mi vi
设第 i 个质点受外力为 Fi ，受质点系其他质点的合力， 即内力为 f i , j f i ,1 f i , 2 f i ,i 1 f i ,i 1 f i , N
v M dm
v+dv M dm t+dt 时刻 x
t 时刻
由动量守恒定律
t 时刻 总动量
Mv (M dm)(v dv) dm(v u) Mv Mdv udm dmdv
t+dt 时刻 总动量
E
Mdv udm 0
dm dM
Mdv udM 0
第三章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
E
本章主要内容
§3-1冲量与动量定理
§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理
大学物理第3章_动量与角动量
C
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
第3章动量与角动量
再经过 dt 时间，火箭喷出质量 dm 气体，喷出的 速率为 u。
在t+dt 时刻，火箭的速率增加为 v+dv。此时系统 的总动量为：
dm(v u) (M dm)(v dv)
由于喷出气体质量 dm 等于火箭质量的减少-dm， 所以上式可写为：
dm(v u) (M dm)(v dv) Mv
Fxex 0, Fyex 0, Fzex 0,
px mi vix Cx py miviy Cy pz miviz Cz
4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然 界最普遍，最基本的定律之一。
例1 一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一
个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子
1 r2
mv 2
2
位于2点对 参考 点O的 角动量为：
L2 r2 mv
O
很容易算出，两者大小相等， 方向相同，且： L1 L2 L r mv
3.8 质点系的角动量定理
定义：质点系的角动量：
L
ΣLi
对于系内任一质 dLｉ
点，角动量定理给出：dｔ
ri F i
ji
f ij
对于系内所有质点，对上式求和：
O
r
m
v
v
r
角动量
dL
L r P r (mv)
d
rP
r
d
p
d
r
p
dt dt
dt dt
由于第 2 项为 0，所以得到：dL r F
力矩：M r F
dt
角动量定理：M d L dt
质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间
的微分。
3.7 角动量守恒定律
角动量定理：M d L
在t+dt 时刻，火箭的速率增加为 v+dv。此时系统 的总动量为：
dm(v u) (M dm)(v dv)
由于喷出气体质量 dm 等于火箭质量的减少-dm， 所以上式可写为：
dm(v u) (M dm)(v dv) Mv
Fxex 0, Fyex 0, Fzex 0,
px mi vix Cx py miviy Cy pz miviz Cz
4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然 界最普遍，最基本的定律之一。
例1 一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一
个中微子成为一个新的原子核。已知电子和中微子
1 r2
mv 2
2
位于2点对 参考 点O的 角动量为：
L2 r2 mv
O
很容易算出，两者大小相等， 方向相同，且： L1 L2 L r mv
3.8 质点系的角动量定理
定义：质点系的角动量：
L
ΣLi
对于系内任一质 dLｉ
点，角动量定理给出：dｔ
ri F i
ji
f ij
对于系内所有质点，对上式求和：
O
r
m
v
v
r
角动量
dL
L r P r (mv)
d
rP
r
d
p
d
r
p
dt dt
dt dt
由于第 2 项为 0，所以得到：dL r F
力矩：M r F
dt
角动量定理：M d L dt
质点所受的合外力矩，等于它的角动量对时间
的微分。
3.7 角动量守恒定律
角动量定理：M d L
第3章 动量与角动量
i j
Fj
i j
N
f ji
dp j dt
Fi
pj
fi j
· · · fj i
· j
对所有粒子求和
Fj
i 1
N
Fi
i 1 i j
d f ij dt
i 1
N
pi 内力和
i 1 i j
N
f ij 0
(7)
d N Fi dt pi i 1 i 1 N N 合外力：F Fi 总动量：P pi i 1 i 1 t2 2 dP F t1 Fdt 1 dP P2 P1 dt
(12)
例6: 三只质量均为M的小船鱼贯而行速率均为v,如中 间小船以相对速率u向前后二船同时抛出质量均为m 的物体, 求:二物体落在前后二船上以后三只小船速度 各为多少? v 解: 1) 以小船1及m为研究对象, 运用动量守恒定律 u u
Mv m(v u) ( M m)v1 mu v1 v M m
(5)
§3.2 质点系的动量定理 (Theorem of momentum for system of particles) 一、质点系 把相互作用的若干个质点看作为一个整体, 这组质 点就称为质点系. F1 二、质点系的动量定理 F2 f1 内力: f1 , f 2 m1 m1 , m2 系统 m2 外力: F1 , F2 f
(2)
1)冲量 I 的方向: 是动量增量的方向, 并不是合外力
注意:
的方向, Δt 时间内平均合外力的方向是冲量的方向 2)直角坐标系中: I I x i I y j I z k t2 I x Fx dt P2 x P1 x mv2 x mv1 x 分量式:
第3章动量与角动量
Mx=(yFz-zFy) My=(zFx-xFz) Mz=(xFy-yFx)
要求力对某一轴线的力矩Mz，可先求F对该轴线上某 一点O的力矩M，再投到该直线上即可。
M z k M xFy yFx
角动量：动量对空间某点的矩，只要把力换成动量
即可。 i
j k
LrP x y z
mvx
mvy
mvz
第3章动量与角动 量
§3.5 角动系定理与角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理
§3.7 质心系角动量定理
【例】 讨论m1,m2两个质点系统的动量定理
解：
两个质点相互作用的内力为f12,f21, 令两个质点在t0时刻的速度为v10,v20,
m1
f21
两个质点在t时刻的速度为v1,v2 。
F1
f12 m2
g
x m2v' v0 cos m2v'v0 sin
m1 m2
g
(m1 m2 )g
可见：①当质点系所受外力在某一轴上投影的代数和等 于零，且需要求速度时，常用动量守和定律求解。
②在应用质点组动量守恒律解题时需注意到：公式中出 现的速度必须是在同一惯性坐标系下的速度。
③本题中任何物体组成的质点系的总动量不守恒，而是 不断地改变着大小和方向，在铅重方向质点系的动量 的投影不守恒，而只是水平轴上的投影才守恒。
令有n个质点形成的质点系（组），每一质点的动力学 方程：
mi
d 2ri dt 2
F int er i
F exter i
n
ri
i 1
mi
d 2 ri dt 2
n
n
ri
F int i
er
ri
要求力对某一轴线的力矩Mz，可先求F对该轴线上某 一点O的力矩M，再投到该直线上即可。
M z k M xFy yFx
角动量：动量对空间某点的矩，只要把力换成动量
即可。 i
j k
LrP x y z
mvx
mvy
mvz
第3章动量与角动 量
§3.5 角动系定理与角动量守恒定律
§3.6 质点系角动量定理
§3.7 质心系角动量定理
【例】 讨论m1,m2两个质点系统的动量定理
解：
两个质点相互作用的内力为f12,f21, 令两个质点在t0时刻的速度为v10,v20,
m1
f21
两个质点在t时刻的速度为v1,v2 。
F1
f12 m2
g
x m2v' v0 cos m2v'v0 sin
m1 m2
g
(m1 m2 )g
可见：①当质点系所受外力在某一轴上投影的代数和等 于零，且需要求速度时，常用动量守和定律求解。
②在应用质点组动量守恒律解题时需注意到：公式中出 现的速度必须是在同一惯性坐标系下的速度。
③本题中任何物体组成的质点系的总动量不守恒，而是 不断地改变着大小和方向，在铅重方向质点系的动量 的投影不守恒，而只是水平轴上的投影才守恒。
令有n个质点形成的质点系（组），每一质点的动力学 方程：
mi
d 2ri dt 2
F int er i
F exter i
n
ri
i 1
mi
d 2 ri dt 2
n
n
ri
F int i
er
ri
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
大学物理第三章动量与角动量分解
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
d F1 F2 ( P1 P2 ) dt ( F1 F2 )dt d ( P1 P2 ) ( m1 1 m2 2 ) ( m1 10 m2 20 )
由牛顿第三定律有： f ij 0
i j i
15
d t d pi 所以有： ( Fi） i i 令 Fi F外 ， pi P
则有：
F外 d t d P
F外 dP dt
i
i
或
质点系动量定理 （微分形式）
t2 F t1 外
m’ N
已知μs
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入 箱子时,在冲力的作用下箱子的受力 是否
mgsin f s mg cos s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:
s ( mg cos F cos ) ( mg sin F sin ) ma
力在时间上的积累效应：
平动 冲量，改变动量 转动 冲量矩，改变角动量
2
1、冲量（impulse）
定义:力对一段时间的积累
t2 大小： I ＝ Fdt
t1
F F
方向：速度变化的方向 单位：N· s 0 t
量纲：MLT－1
微分形式: d I F d t d p
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
第三章动量与角动量
mg Mgx / L
F总 F mg 2Mgx / L Mgx / L 3mg
例3：传送带由马达牵引以 v = 2m/s 的速率水平匀速前进。漏 斗中的沙子以 40kg/s 的速率落料。漏斗口在传送带上方 h=0.5m处。求落料过程中落沙对传送带的作用力以及马达对传 送带的牵引力。 解：设落料过程中传送带对沙的作用 力为 F y ︱F ydt︱=︱0-dmVy︱
v M t时刻
(u)
x
v+dv
dm
）
M dm t+dt时刻
由动量守恒定律，有（t 时刻总动量 = t+dt 时刻总动量） Mv ( M dm)(v dv) dm(v u )
Mv Mdv udm dmdv
Mdv udm 0
Mdv udM 0（因 dm dM) dM dv u M
•对称物体的质心就是物体的对称中心。 •重心——地球对物体各部分引力的合力作用点，
•对于不太大的实物，质心与重心重合。
例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的 质心。 解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝， 质量为dm，以λ 表示线密度，dm=dl. 分析得质心应在y轴上。
d
yc
ydl
例 4，水平地面上一静止的炮车发射炮弹，炮车 质量为 M ，炮身仰角 ，炮弹质量 m ，炮弹刚出 口时，相对炮身的速度为u，不计地面摩擦。 1） 求炮弹刚出口时，炮车的速度。
2） 若炮筒长为l （即在发炮过程中，炮弹相对炮的行 程）求发炮过程中炮车移动的距离。
解：（ A ）以炮弹，炮车为一系统， 地面为参照系（水平向右为坐标正向） 此系统在水平方向 受合外力为零，动 量守恒。
第3章动量与角动量
第3章动量与角动量◆本章学习目标了解：火箭飞行原理；质点系的角动量定理；质心参考系中的角动量。
理解：冲量，动量，角动量，质心及质点组的概念；冲量与动量定理，质点系的动量定理，动量守恒定律，质心运动定理，质点的角动量定理，角动量守恒定律。
掌握：用冲量与动量定理，质点系的动量定理，动量守恒定律，质心运动定理，质点的角动量定理，角动量守恒定律求解力学问题的基本方法。
◆本章教学内容1．冲量与动量定理2．质点系的动量定理3．动量守恒定律4．质心5．质心运动定理6．质点的角动量定理7．角动量守恒定律◆本章重点冲量、动量的计算，动量定理及动量守恒的应用。
力矩、角动量的计算和角动量定理及角动量守恒的应用。
◆本章难点角动量的计算及守恒过程的准确判断3.1冲量与动量定理一、冲量1、冲量冲量为力的时间积累。
在很多力学问题中，我们只讨论运动物体一段时间内的某些变化而不需要考虑物体在每个时刻的运动，这时我们就会使用到力在这段时间内的积累—即冲量。
冲量是一个可计算的物理量，它定义为力与作用时间的乘积。
常用I表示，单位是牛顿秒（NS）。
2、冲量的计算1）恒力的冲量恒力的冲量就等于力矢量与力作用的时间的乘积。
即：I=F·△t2）变力的冲量变力的冲量应根据微积分来进行计算。
先将所要计算的时间段进行微分（无限小分割）在每个时间微元dt内变力可以看成恒力，其冲量记为dI，则：dI=F·dt然后积分即得：上式中I就叫做t1到t2时间内变力F给予物体的冲量。
3）冲量的分量形式从定义可以看出，冲量是矢量，因此它具有分量形式。
在直角坐标系下有如下的分量形式：3、冲力冲量和冲力是容易混淆的两个不同的概念。
冲力是一种作用时间极短变化范围很大的力，它的单位是牛顿；而冲量是力与时间的乘积，单位是与力的单位不同的。
在工业应用中，常用到平均冲力的概念，它是这样定义的：从下面的图上看，就是平均冲力与时间的乘积和真实冲力对时间的积分是相等的。
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i t1 t1 i
写成：
t2 Fidt F外dt t2 i t1 t1
将所有的外力 共点力相加 F 2 F
c F3
1
17
t2 ( Fidt f idt ) t2 i t1 t1
(Pi Pi 0 )
i
再看内力冲量之和
I P
积分形式
6
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明 某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
7
讨论
I P
x
mv1
O
mv2
y
11
解
由动量定理得：
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
(2) ft mv mv 0 4.7 N s (设v 0 反响为正方向) 负号表示冲量方向与 相反
v0
25
2.静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速 v 度 （相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻 力）． 解：以人与第一条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有： Mv1 +mv =0 v1 =-mv/M 再以人与第二条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有：mv = (m+M)v2 v2 =mv/(M+m)
牛顿定律是瞬时的规律。
但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 散射 （微观） … 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应： 平动 冲量 动量的改变 转动 冲量矩 角动量的改变 改变能量 力在空间上的积累效应 功
1
第3 动量守恒定律与角动量守恒定律 §1 质点运动的动量定理 §2 质点系的动量定理 动量守恒定律 §3 质心 质心运动定理 §4 角动量定理 角动量守恒定律
i
质点系
质点系中的重要结论之一
14
外力 external force
系统外部对质点系内部质点的作用力 约定： 系统内任一质点受力之和 写成 Ff
i i
质点系 F
外力之和
内力之和
15
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质 点系内力的特点加以化简 到 最简形式。
N
F
i
iX
0
X
Mg
PX 0
t
MVX mx 0
1
x VX X
2
m VX X M m
28
t
MVX mx 0
1
x VX X
t
2
t
m VX X M m
m X V X dt X dt M m 0 0
m X l (1 cos ) M m
31
2
三、火箭飞行原理-- 变质量问题
“神州”号飞船升空
32
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
33
神舟六号点火升空
注：照片摘自新华网
34
/st/2005-10/12/content_3610021.htm
外力冲量之和 内力冲量之和
16
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
第3步，化简上式：
fi
质点系 Fi
F外 Fi
i
先看外力冲量之和 Fidt
t2 i t1
mi
由于每个质点的受力时间dt 相同 t2 t2 所以： Fidt ( Fi )dt
第1步，对 mi 使用动量定理：
fi
t2
t2 Fidt f idt Pi Pi 0 t1 t1
mi Fi
第2步， 对所有质 点求和：
Pi mii Pi0 mii0
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
i
px mi vix Cx
p y mi viy C y
i
F
F
ex z
pz mi viz Cz
i
23
1、质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为 l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有 一质量为m＝10 g的子弹以v0 ＝500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹 的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极 短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
t1 mv2 mv1 F t2 t1 t2 t1
注意
t2
Fdt
在 p 一定时
mv
t 越小，则 F 越大
mv1
F
mv2
10
例1 一质量为0.05 kg、 速率为10 m·-1的刚球，以与 s 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
最后简写右边 P Pi mii 令：
P0 Pi 0 mii 0
i i i i
则，质点系的动量定理为
t2
F外dt P P0（积分形式）
t1
19
t2
F外dt P P0
t1
动量定理
dP 微分形式？ F dt
神舟六号发射成功
注：照片摘自新华网
35
变质量问题（低速，v << c）有两类：
▲粘附 ▲
— 主体的质量增加（如滚雪球）
抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题是在高速（v c）
情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也
可以改变— 随速度变化 m = m(v)，这是相对 论情形，不在本节讨论之列。
守恒条件：合外力为零．
i
ex ex F Fi 0
ex in 当 F F 时，可近似地认为
系统总动量守恒．
22
若
ex ex ，但满足 F Fi 0
有 px
F 0
ex x
m v
i
i
ix
Cx
i
F
ex x
ex y
0,
0,
0,
l
v0
m M
v
24
1．解： (1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物 体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时 物体的水平速度为v’ 有 mv0 = mv+M v v = m(v0 - v)/M =3.13 m/s T =Mg+Mv2/l =26.5 N
可以写成 F ma 吗？ 注意后面 的讲解。
当 F外 0 P C
动量守恒定律
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 20
3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它 一切惯性系中均守恒。
4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒 5.当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。 6.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在 宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 21 和条件。
X dt l (1 cos ) m 相对车的位移
0
t
m X l (1 cos ) M m
#
负号说明，车向 X的负向运动
29
法二 利用质心运动定理 解：根据质心运动定理，有结论
m l o
mg
N
FX 0 acx 0 cx c
系统初始时静止
M
Mg
X
任意时刻 cX cX 0 0
又由质心速度定义 可知质心位置是一定值 （即质心位置不变）。
30
由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：
m l o
mg
N
M
Mg
X
mX m MX M Xc M m
mX m MX M 0 1 X m X M X mM
26
例2 如图
已知： , m, l 地面光滑 M
m l o
mg
N
初：单摆水平，静止
求：下摆至 时，车的位移 以例即将说明
M
Mg
X
动量守恒和质心速度不变是同义语。 动量守恒的问题也可以利用 质心速度不变来解。
27
解：法一 用动量守恒定律
选 M + m 为系统
mg
m l o
M
画系统 受力图
前 进 方 向
演示
前 进 方 向
0
风吹来
P 0
I P
P
船
取一小块风dm为研究对象 初 P0 0dm 由牛顿第 三定律 末 P dm
I P
写成：
t2 Fidt F外dt t2 i t1 t1
将所有的外力 共点力相加 F 2 F
c F3
1
17
t2 ( Fidt f idt ) t2 i t1 t1
(Pi Pi 0 )
i
再看内力冲量之和
I P
积分形式
6
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明 某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
7
讨论
I P
x
mv1
O
mv2
y
11
解
由动量定理得：
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
(2) ft mv mv 0 4.7 N s (设v 0 反响为正方向) 负号表示冲量方向与 相反
v0
25
2.静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速 v 度 （相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻 力）． 解：以人与第一条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有： Mv1 +mv =0 v1 =-mv/M 再以人与第二条船为系统，因水平方向合外力为零。所以水平方向动量守恒， 则有：mv = (m+M)v2 v2 =mv/(M+m)
牛顿定律是瞬时的规律。
但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、 散射 （微观） … 我们往往只关心过程中力的效果 ——力对时间和空间的积累效应。 力在时间上的积累效应： 平动 冲量 动量的改变 转动 冲量矩 角动量的改变 改变能量 力在空间上的积累效应 功
1
第3 动量守恒定律与角动量守恒定律 §1 质点运动的动量定理 §2 质点系的动量定理 动量守恒定律 §3 质心 质心运动定理 §4 角动量定理 角动量守恒定律
i
质点系
质点系中的重要结论之一
14
外力 external force
系统外部对质点系内部质点的作用力 约定： 系统内任一质点受力之和 写成 Ff
i i
质点系 F
外力之和
内力之和
15
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质 点系内力的特点加以化简 到 最简形式。
N
F
i
iX
0
X
Mg
PX 0
t
MVX mx 0
1
x VX X
2
m VX X M m
28
t
MVX mx 0
1
x VX X
t
2
t
m VX X M m
m X V X dt X dt M m 0 0
m X l (1 cos ) M m
31
2
三、火箭飞行原理-- 变质量问题
“神州”号飞船升空
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神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
33
神舟六号点火升空
注：照片摘自新华网
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/st/2005-10/12/content_3610021.htm
外力冲量之和 内力冲量之和
16
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
第3步，化简上式：
fi
质点系 Fi
F外 Fi
i
先看外力冲量之和 Fidt
t2 i t1
mi
由于每个质点的受力时间dt 相同 t2 t2 所以： Fidt ( Fi )dt
第1步，对 mi 使用动量定理：
fi
t2
t2 Fidt f idt Pi Pi 0 t1 t1
mi Fi
第2步， 对所有质 点求和：
Pi mii Pi0 mii0
t2 ( Fidt f idt ) (Pi Pi 0 ) t2 i t1 t1 i
i
px mi vix Cx
p y mi viy C y
i
F
F
ex z
pz mi viz Cz
i
23
1、质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为 l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有 一质量为m＝10 g的子弹以v0 ＝500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹 的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极 短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
t1 mv2 mv1 F t2 t1 t2 t1
注意
t2
Fdt
在 p 一定时
mv
t 越小，则 F 越大
mv1
F
mv2
10
例1 一质量为0.05 kg、 速率为10 m·-1的刚球，以与 s 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
最后简写右边 P Pi mii 令：
P0 Pi 0 mii 0
i i i i
则，质点系的动量定理为
t2
F外dt P P0（积分形式）
t1
19
t2
F外dt P P0
t1
动量定理
dP 微分形式？ F dt
神舟六号发射成功
注：照片摘自新华网
35
变质量问题（低速，v << c）有两类：
▲粘附 ▲
— 主体的质量增加（如滚雪球）
抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题是在高速（v c）
情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也
可以改变— 随速度变化 m = m(v)，这是相对 论情形，不在本节讨论之列。
守恒条件：合外力为零．
i
ex ex F Fi 0
ex in 当 F F 时，可近似地认为
系统总动量守恒．
22
若
ex ex ，但满足 F Fi 0
有 px
F 0
ex x
m v
i
i
ix
Cx
i
F
ex x
ex y
0,
0,
0,
l
v0
m M
v
24
1．解： (1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物 体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时 物体的水平速度为v’ 有 mv0 = mv+M v v = m(v0 - v)/M =3.13 m/s T =Mg+Mv2/l =26.5 N
可以写成 F ma 吗？ 注意后面 的讲解。
当 F外 0 P C
动量守恒定律
讨论
1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。
2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 20
3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它 一切惯性系中均守恒。
4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒 5.当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞） 可认为动量近似守恒。 6.动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ，在 宏观和微观领域均适用。 7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统 21 和条件。
X dt l (1 cos ) m 相对车的位移
0
t
m X l (1 cos ) M m
#
负号说明，车向 X的负向运动
29
法二 利用质心运动定理 解：根据质心运动定理，有结论
m l o
mg
N
FX 0 acx 0 cx c
系统初始时静止
M
Mg
X
任意时刻 cX cX 0 0
又由质心速度定义 可知质心位置是一定值 （即质心位置不变）。
30
由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：
m l o
mg
N
M
Mg
X
mX m MX M Xc M m
mX m MX M 0 1 X m X M X mM
26
例2 如图
已知： , m, l 地面光滑 M
m l o
mg
N
初：单摆水平，静止
求：下摆至 时，车的位移 以例即将说明
M
Mg
X
动量守恒和质心速度不变是同义语。 动量守恒的问题也可以利用 质心速度不变来解。
27
解：法一 用动量守恒定律
选 M + m 为系统
mg
m l o
M
画系统 受力图
前 进 方 向
演示
前 进 方 向
0
风吹来
P 0
I P
P
船
取一小块风dm为研究对象 初 P0 0dm 由牛顿第 三定律 末 P dm
I P