2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)含答案

准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）秘密★启用前2020届福州市高中毕业班第三次质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分． 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅰ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知纯虚数z 满足(1i)2i z a -=+，则实数a 等于A ．2B ．1C ．1-D ．2-2. 已知集合{}(){}2220,log 2A x x x B x y x =+-==-＜，则()A B =R I ðA ．∅B ．(]2,2-C ．()1,2D ．()2,1-3. 执行右面的程序框图，则输出的m =A ．1B ．2C ．3D ．44. 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%5. 函数()2e 2x f x x x =--的图象大致为ABCD6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是 A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．丁的方差最大 7. 已知角θ的终边在直线3y x =-上，则2sin 21cos θθ=+A ．611-B ．311-C ．311D ．6118. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A ．12种 B ．24种 C ．72种D ．216种9. 已知函数()()sin 06f x x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞图象上相邻两条对称轴的距离为2π，把()f x 图O xy 11Oxy11y1O 1xO xy11象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移35π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则 A ．()cos 4g x x =- B ．()cos 4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x =10. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b ＞＞）的焦距为2，右顶点为A ．过原点与x 轴不重合的直线交C 于,M N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为A ．22143x y +=B ．22165x y +=C ．22198x y +=D ．2213632x y +=11. 已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论： ①曲线()y f x =在1x =处的切线方程为10x y +-=； ②()f x 恰有2个零点；③()f x 既有最大值，又有最小值；④若120x x ＞且()()120f x f x +=，则121x x =． 其中所有正确结论的序号是 A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．③④12. 三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面ABC 的投影为ABC △的内心，三个侧面的面积分别为12,16,20，且底面面积为24，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 A ．43π B ．12πC ．163πD ．16π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知向量()1,2AB =u u u r ，()2,5CB =u u u r ，(),1t MN =u u u u r．若AC MN u u u r u u u u r ∥，则实数t = ． 14. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BC 中点，Q 为1A D 中点，则异面直线DP 与1C Q 所成角的余弦值为 ．15. 在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin cos 1A B +=，则cb a-的取值范围为 ．16. 已知梯形ABCD 满足,45AB CD BAD ∠=︒∥，以,A D 为焦点的双曲线Γ经过,B C 两点．若7CD AB =，则Γ的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，12a =，11b =，且112n n a a T +=+．（1）若数列{}n a 为等差数列，求n S ；（2）若112n n b b S +=+，证明：数列{}n n a b +和{}n n a b -均为等比数列． 18. （本小题满分12分）如图，在多面体PABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，120PAD ∠=︒，1BC =，2AB AD PA ===．（1）求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值； （2）若E 是棱PB 的中点，求证：对于棱CD 上任意一点F ，EF 与PD 都不平行．19. （本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =，直线:2l x my =+（0m ＞）与C 交于,A B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点．（1）求直线OM 斜率的最大值；（2）若点P 在直线2x =-上，且PAB △为等边三角形，求点P 的坐标．ADCBP20. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x （12x x ＜），若()12f x mx ＞恒成立，求实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ,B ,C ,D ,E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：现从这10X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.836)N ，．若2~(,)Y N μσ，令Y μησ-=，则~(0,1)N η，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值．附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η≈…,( 1.04)0.85P η≈….（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为33,x kt y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33,x m y km=-⎧⎨=⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的普通方程；（2）设Q 为圆()222:43C x y +-=上任意一点，求PQ 的最大值．23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知0,0a b ＞＞，2224a b c ++=．（1）当1c =时，求证：()()339a b a b ++≥； （2）求2224411a b c +++的最小值．2020年福州市高中毕业班质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．A 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．A9．D10．C11．B12．C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1314．2315．()2,316三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理等学科素养；体现基础性．满分12分．【解答】（1）由112n n a a T +=+，得2112a a b =+，又12a =，11b =，解得24a =. ································································· 1分 因为数列{}n a 为等差数列，所以该数列的公差为21a a -=2， ························· 2分 所以()21222n n n S n n n -=+⋅=+．··························································· 4分 （2）当2n ≥时，112n n a a T -=+，因为1n n n T T b --=，所以12n n n a a b +-=，即12n n n a a b +=+， ···························· 5分 同理可得：12n n n b b a +=+． ···································································· 6分则113()n n n n a b a b +++=+，所以113n n n na b a b +++=+（2n ≥）， ································· 7分又21121124,25a a b b b a =+==+=， 所以22114533a b a b ++==+， 所以113n n n na b a b +++=+（*n ∈N ）， ································································ 8分所以数列{}n n a b +是以3为首项，3为公比的等比数列. ································ 9分 因为11()n n n n a b a b ++-=--，所以111n n n na b a b ++-=--（2n ≥）， ·························· 10分又221145121a b a b --==---，所以111n n n n a b a b ++-=--（*n ∈N ）， ······························ 11分 所以数列{}n n a b -是以1-为首项，1-为公比的等比数列． ························· 12分 18．【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．【解析】解法一：（1）因为AB AD ⊥，平面ABCD ⊥平面PAD ， 平面ABCD I 平面PAD AD =，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD . ·········································· 1分 作AH AD ⊥交PD 于H ，则,,AB AD AH 三条直线两两垂直．以A 为坐标原点O ，分别以AH AD AB ，，所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示． ················ 2分 因为120PAD ∠=︒，1BC =，2AB AD PA ===． 所以()()()())0,0,0,0,0,2,0,1,2,0,2,0,1,0A B C D P-， ····························· 3分 设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，因为())0,1,0,1,2BC BP ==--u u u r u u u r，所以0,0,BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n所以0,20,y y z =⎧⎪--=令2x =，所以(=n ， ·············· 4分 由z 轴⊥平面PAD 知()0,0,1=m 为平面PAD 的一个法向量, ··························· 5分P所以cos ,⋅<>===⋅n m n m n m················································· 6分所以PBC 与平面PAD． ··································· 7分 （2）因为E 是棱PB 的中点，由（1）可得1,12E ⎫-⎪⎪⎝⎭.假设棱CD 上存在点F ，使得EF PD P ， ·················································· 8分设DF DC λ=u u u r u u u r，01λ≤≤，所以()55,10,1,2,1222EF ED DF λλλ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r ， ·········· 9分 因为EF PD P，所以()EF tPD t ==u u u r u u u r， ·· 10分所以53,2120,t λλ⎧=⎪⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎪⎩这个方程组无解， ···············11分 所以假设不成立，所以对于棱CD 上任意一点F ，EF 与PD 都不平行. ·········· 12分 解法二：（1）如图，在平面PAD 内，过点P 作DA 的垂线，垂足为M ；在平面ABCD 内，过M 作AD 的垂线，交CB 的延长线于点N ．连接PN ．因为MN PM M =I ，所以AD ⊥平面PMN ． ············· 1分 因为AD BC ∥，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC ， ··········································· 2分 设平面PBC I 平面PAD l =，则AD l ∥，故l ⊥平面PMN ． ········································································································ 3分 所以NPM ∠为平面PBC 与平面PAD 所成二面角的平面角． ························· 4分 因为120PAD ∠=︒，2AB AD PA ===，所以60MAP ∠=︒，在Rt PAM △中，2sin 60PM =︒ ····················································· 5分 又2MN AB ==，所以在Rt PMN △中，PN = ················ 6分所以sin MN MPN PN =∠PABCDPNM所以PBC 与平面PAD． ··································· 7分 （2）假设棱CD 上存在点F ，使得EF PD P ，显然F 与点D 不同， ··································································· 8分 所以,,,P E F D 四点共面，记该平面为α，所以P α∈，PE α⊂，FD α⊂，···················································· 9分 又B PE ∈，C FD ∈，所以B α∈，C α∈，所以α就是点,,B C D 确定的平面， ························································ 10分 这与P ABCD -为四棱锥相矛盾，所以假设不成立，所以对于棱CD 上任意一点F ，EF 与PD 都不平行. ·································· 12分 解法三：（1）同解法一． ······································································· 7分 （2）假设棱CD 上存在点F ，使得EF PD P ． ·········································· 8分 连接BD ，取BD 的中点M ，在△BPD 中，因为,E M 分别为,BP BD 的中点，所以EM PD P . ···················································· 9分 因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以EM 与EF 重合. ······················································································· 10分 又点F 在线段CD 上，所以F BD CD =I ，又BD CD D =I ，所以F 是BD 与CD 的交点D ，即EF 就是ED ， ······································ 11分 而ED 与PD 相交，所以与EF PD P 相矛盾，所以假设不成立，所以对于棱CD 上任意一点F ，EF 与PD 都不平行． ································ 12分 19．【命题意图】本题考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．【解析】解法一：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，由22,4x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得，2480y my --=， ··········································· 1分216320,m ∆=+>且12124,8y y m y y +==-.················································· 2分所以21212()44 4.x x m y y m +=++=+ 因为M 为AB 的中点，ABCP CEFA BC PCEFM所以M 的坐标为1212(,)22x x y y ++，即2(22,2)m m +, ···································· 3分 又因为0m >，所以2221112212OM m m k m m m m ====+++, ·················· 5分 （当且仅当1m m=，即1m =等号成立.） 所以OM 的斜率的最大值为12． ······························································ 6分（2）由（1）知，12|AB y y -== ····································································· 8分 由PM AB ⊥得22||22(2)|2(PM m m +--=+， ·············· 9分 因为PAB △为等边三角形，所以||||PM AB ， ··································· 10分所以22(m +21m =，解得1,m =±又0m ＞，所以1m =， ······································································· 11分 则(4,2)M ，直线MP 的方程为2(4)y x -=--，即6y x =-+， 所以2x =-时，8y =，所以所求的点P 的坐标为(2,8)-． ························································· 12分 解法二：（1）设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ， 因为M 为AB 的中点，且直线:2(0)l x my m =+>， 所以0122,y y y =+1212,x x m y y -=- ································································ 1分 由2112224,4,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得22121244,y y x x -=-所以()1212124,x x y y y y -+=-所以024,y m =即02y m =. ······································· 2分 所以200222,x my m =+=+即2(22,2)M m m +， ·········································· 3分 又因为0m >，所以2221112212OM m m k m m m m ====+++, ················· 5分 （当且仅当1m m=，即1m =等号成立.） 所以OM 的斜率的最大值为12． ······························································ 6分（2）由22,4x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y my --=，所以216320,m ∆=+>且12124,8y y m y y +==-. ·········································· 7分AB =====····································································· 8分 由（1）知，AB 的中点M 的坐标为2(22,2)m m +，所以线段AB 的垂直平分线方程为：()2222y m m x m -=---.令2x =-，得线段AB 的垂直平分线与直线2x =-交点坐标为()32,26,P m m -+所以22(m M P + (9)分因为PAB △为等边三角形，所以|||PM AB =，···································· 10分所以22(m +=，所以21m =，解得1,m =±因为0,m >所以1m =， ······································································· 11分 则(4,2)M ，直线MP 的方程为2(4)y x -=--，即6y x =-+， 所以2x =-时，8y =，所以所求的点P 的坐标为(2,8)-． ························································· 12分 20．【命题意图】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化、特殊与一般思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性．满分12分.【解析】（1）因为2()2ln f x x ax x =-+，所以()222()0x ax f x x x-+'=>． ····························································· 1分 令()222p x x ax =-+，216a ∆=-，当0∆≤即44a -≤≤时，()0p x ≥，即()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞．··················································· 2分当0∆>即4a <-或4a >时，12x x ==. 若4a <-，则120x x ＜＜，所以()0p x >，即()0f x '>，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞． ······························································································ 3分 若4a >，则210x x >>，由()0f x '>，即()0p x ＞得10,x x <<或2x x >；由()0f x '<，即()0p x ＜得12x x x <<．所以函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞；单调递减区间为()12,x x ． ···· 5分 综上，当a ≤4时，函数()f x 单调递增区间为()0,+∞；当a >4时，函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,x x +∞，单调递减区间为()12,x x ． ···································· 6分（2）由（1）得()222()0x ax f x x x-+'=>，若()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是方程2220x ax -+=的两个不等正实根， 由（1）知4a >．则12122,12ax x x x +=>=，故1201x x <<<， ······················· 8分要使()12f x mx >恒成立，只需()12f x m x >恒成立．因为222311111111111221()2ln 222ln 22ln 1f x x ax x x x x x x x x x x x -+--+===--+， ·········· 10分令3()22ln h t t t t t =--+，则2()32ln h t t t '=-+，当01t <<时，()0h t '＜，()h t 为减函数，所以()(1)3h t h >=-. ···················· 11分 由题意，要使()12f x mx >恒成立，只需满足3m -≤．所以实数m 的取值范围(],3-∞-． ························································· 12分 21．【命题意图】本题主要考查超几何分布、二项分布、正态分布的概念等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查概率与统计思想；考查数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性．【解答】（1）随机变量X 的所有可能的取值为0,1,23，， ······························· 1分 根据条件得0355310101(0)12012C C P X C ====，1255310505(1)12012C C P X C ====， 2155310505(2)12012C C P X C ====，3055310101(3)12012C C P X C ====， ········································································································ 3分 则随机变量X 的分布列为数学期望()0123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ········································ 4分（2）①设该划线分为m ，由~(75.8,36)Y N 得75.8,6μσ==， 令75.86Y Y μησ--==，则675.8Y η=+，················································· 5分 依题意，()0.85P Y m ≈≥，即()75.8675.80.856m P m P ηη-⎛⎫+=≈ ⎪⎝⎭≥≥，因为当~(0,1)N η时，( 1.04)0.85P η≈…，所以( 1.04)0.85P η-≈?， ·············· 6分。