相似三角形证明技巧-专题
完整版)相似三角形题型归纳
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
证明三角形相似判定方法
证明三角形相似判定方法三角形的相似判定方法主要有三种，分别是AAA相似判定法、AA相似判定法和边比值相似判定法。
下面将对这三种判定方法进行详细解释。
首先是AAA相似判定法。
根据AAA相似判定法，如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可判定三角形ABC和DEF相似。
其次是AA相似判定法。
根据AA相似判定法，如果两个三角形的两个角分别相等，且它们对应的两边成比例，则这两个三角形是相似的。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，并且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则可判定三角形ABC和DEF相似。
最后是边比值相似判定法。
根据边比值相似判定法，如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
假设有两个三角形ABC和DEF，如果AB/DE=AC/DF=BC/EF，则可判定三角形ABC和DEF相似。
下面以AAA相似判定法为例进行证明。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
我们需要证明三角形ABC和DEF相似，即证明它们的边比值相等。
由于∠A=∠D，根据角度对应定理，可以得到∠BAC=∠EDF。
又由于∠B=∠E，根据角度对应定理，可以得到∠CBA=∠FED。
首先考察三角形ABC和DEF的边比值AB/DE。
根据正弦定理，可以得到：sin∠BAC/DE = sin∠ABC/AB由于∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，所以sin∠BAC = sin∠EDF，sin∠ABC = sin∠DEF。
将其代入上式，可以得到：sin∠EDF/DE = sin∠DEF/AB即AB/DE = sin∠DEF/sin∠EDF同理，可以证明AC/DF = sin∠DEF/sin∠FED和BC/EF =sin∠EDF/sin∠FED。
综上所述，根据AAA相似判定法，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以得知AB/DE=AC/DF=BC/EF，即三角形ABC和DEF相似。
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)
回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型1. 2. 3. 4. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)两角分别相等的两个三角形相似.(AA)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)5.模型一：反A型：如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AODBOC.试一试写出具体证明过程D B应用练习:1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO ,/ EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ;⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。
模型三：射影定理相似三角形证明方法之射影定理与类射影如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2HC HA HB ,试一试写出具体证明过程模型四：类射影BD AB如图，已知AB 2AC AD ，求证：亍 乔，试一试写出具体证明过程BC AC应用练习:J 451.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。
求证：—AP AS2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF/ AEF= / C模型五：一线三等角如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试 一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中， 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/(1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形.(2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ，AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论.(3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长.3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=« =妙，他丄砒，AD = SC(1)求证：胆"D+CA(2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交 直线占E相似三角形证明方法之一线三等角△ BP0A CEQa 的代数式表示)AC 于F ，连EF ，求证:于点Q。
三角形相似(含方法步骤)
.相似三角形及相似条件1.【基础知识】1-1三角对应相等，三边对应成比例的三角形，叫相似三角形 1-2判定定理：定理1.两个角对应相等的两个三角形相似 定理2.三边对应成比例的两个三角形相似定理3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似1-3相似性质：相似三角形对应高的比，对应角的角平分线的比对应边的比周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方2. 【知识应用】题目要直接证明相似，边成比例或求边的比值，周长，面积的比值 方法：2-1.从问题中找出要证明的两个三角形，若没有则需作辅助线构造三角形2-2.若条件中出现角相等或平行线，垂线的，优先考虑用定理1 2-3.若条件中出现边长或边的比，则考虑定理2和定理32-4再根据所选定的定理，看还差什么条件，到已知中去找或者到图形中去找隐含条件，如对顶角，公共角，直角，公共边等从而证明出相似注意：1.写对应边比例式时，要遵循“横纵一致原则”即，横向看所有处在分子位置的边必须是属于同一个三角形，处在分母位置的边亦然，纵向看分子分母必须是一组对应边 2.在证明边成比例时，如果按步骤2-1仍然无法找到符合的三角形，则一般情况考虑用两组相似三角形，找出一个比例中间量，利用中间量证明边成比例 3.【综合应用】题目问边长3-1.看已知边和要求边同时出现在哪些三角形中，从而确定出相似的两个三角形 3-2.根据【知识应用】的方法，证明相似3-3利用对应边的比例关系，列出等式，解出所求注意：列比例关系时，一定要是对应边，再者等式两边比的先后顺序也要一致 【基础训练】1. 对应角___________，对应边_____________的三角形，叫做相似三角形.2. 如果~'''A B C A B C ∆∆，对应边6,''3,AB cm A B cm ==那么A B C ∆与'''A B C ∆的相似比为________；'''A B C ∆与A B C ∆的相似比为__________________3. A B C ∆的各边长之比为2：5：6，与其相似的另一个'''A B C ∆的最大边为18,cm 那么它的最小边为___________.4. 两个相似三角形的面积比为4：3，则相似比为_____________.5. ~''',ABC A B C ∆∆A B C ∆的三边长分别为3、4、5，'''A B C ∆的最大边长为15，则'''A B C S ∆=________.6. 下列说法正确的个数是（ ） ① 相似三角形的对应角相等，对应边相等. ② 三角形全等是相似的特殊情况；③ 全等三角形是相似比等于1的相似三角形..0A .1B .2C .3D7. A B C ∆的三边长为3：4：5，与它相似的'''A B C ∆的最短边长为6，则'''A B C ∆的周长是（ ）.12A .18B .24C .36D8.两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积之差是302,cm 那么它们的面积之和为（ ）2.74A cm 2.76B c m 2.78C c m 2.80D c m9.下列说法错误的是（ ）.A 两个全等的三角形一定相似 .B 两个直角三角形一定相似.C 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 .D 相似的两个三角形不一定全等10. ~''',ABC A B C ∆∆如果0055,100,A B ∠=∠=则'C ∠的度数等于（ ）.A 055 .B 0100 .C 025 .D 030【典型例题】例1.①已知~,ABC ACD ∆∆且5,4,AD BD ==则A C D ∆与A B C ∆的相似比是________. ②在R t A B C ∆中，D 是A C 的中点，D E 垂直于斜边,AB 点E 为垂足，则~,ABC ADE ∆∆若10,4,AB AE ==则AD =___________.1题图 2题图 3题图 4题图③如图所示，G 为A B C ∆的重心，作//D G A C 交B C 于,D 作//E G A B 交B C 于,E 则G D E ∆的面积与A C B ∆的面积比为___________.④ 如图所示，在A B C ∆中，//,DE BC 且分A B C ∆为面积相等的两个部分，则:D E B C =_. ⑤如果111~,ABC A B C ∆∆且相似比为2,3111222~A B C A B C ∆∆且相似比为5,4则A B C ∆与222A B C ∆的相似比是（ ） 5.6A 6.5B 5.6C 或658.15D例2.如图所示，已知~,4,2,ACP ABC AC AP ∆∆==求A B 的长.例3、①一个三角形的三边长分别为5，12和13，与其相似的三角形的最大边长为39，那么较大三角形的周长是多少？两个三角形的周长比是多少？②已知一个三角形框架，其边长分别为4，5，6，现在要做一个与其相似的三角形框架，已知现有一根长为2的木条，则其他两根木条应取多长？例4.已知，边长为2的正三角形,//,:1:4,BC D ABC ABC D E BC S S ∆∆=求C E 的长.例5.如图，在A B C ∆中，,AB AC =B D 为腰A C 上的高.求证：212C D C A B C ⋅=例 6.①如图，梯形A B C D 中，0//,90,A B D C B E ∠=为B C 上一点，且,A E E D ⊥若12,BC =7,:1:2,DC BE EC ==求A B 的长.②已知如图，在梯形A B C D 中，0//,90,7,2,3,AD BC A AB AD BC ∠====在线段A B 上是否存在点P ，使得以,,P A D 为顶点的三角形与以,,P B C 为顶点的三角形相似？若不存在，说明理由；若存在，求出这样的P 点有几个，并计算出A P 的长度.例7.如图所示，在A B C ∆中，090,6C AC ∠==厘米，8B C =厘米，斜边10A B =厘米，点P 从点B 出发，沿B C 向点C 以2厘米秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿C A 向点A以1厘米秒的速度移动，如果,P Q 分别从,B C 同时出发.（1）经过多少秒时，~;CPQ CBA ∆∆（2）经过多少秒时，以,,C P Q 为顶点的三角形与A B C ∆相似.例8.如图，一个边长为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边,AD DC 上，那么这个正方形的面积是___平方厘米.【课堂练习】1、如果~,ABC FDE ∆∆则A ∠=_________,C ∠=_______，A B B C=___________.2、如图，~,10,13,8,ABC DCA AB BC AC ∆∆===则AD =_____,D C =______.3、如图A D 是A B C ∆的角平分线，,,12,20,BE AD CF AD CF BE ⊥⊥==64,AB AC +=则A B =_______.2题 3题4、直角三角形斜边上的高分斜边为3:2两段，斜边上的高为6,cm 则斜边上的中线长为____.5、已知~''',ABC A B C ∆∆且:''1:1,AB A B =则A B C ∆和'''A B C ∆的关系是________.6、已知~,ABC DEF ∆∆且3,2A B D E=则这两个三角形对应中线之比为________，面积之比为__________.7、在A B C ∆中，12,8,AB cm AC cm ==点,D E 分别在,AB AC 上，如果AD E ∆与A B C ∆能够相似，且4A D cm =时，则A E =______________cm .8、E 是平行四边形A B C D 的B C 边上一点，A E 交B D 于,F 且:4:5,BE EC =求B F F D和A F F E的值.9、在锐角A B C ∆中，F 是A C 上一点，且1,2A F G F C=是B F 中点，连结A G 并延长，交B C与.E （1）求B E E C的值。
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析.
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析贵有恒何必三更眠五更起，最无益只怕一日曝十日寒。
一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；1、已知一对等角①找另一角，两角对应相等，两三角形相似；②找夹边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似2、已知两边对应成比例①找夹角相等，两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③找第三边也对应成比例，三边对应成比例，两三角形相似3、已知可能的一个直角三角形①找一个直角，斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似；②找另一角，两角对应相等，两三角形相似③找两边对应成比例判定定理1或判定定理44、与等腰三角形有关的①找顶角对应相等判定定理1②找底角对应相等判定定理1③找底和腰对应成比例判定定理35、相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
相似三角形的证明方法
相似三角形的证明方法相似三角形是一种有趣的几何形状，它们有着三条边和三个内角。
相似三角形是比较常见的几何形状，它们之间有着相似性，也就是说它们的边或内角之间满足一定的比例关系。
是一种基本性质，这意味着它们有可能决定两个相似三角形之间的关系，进而推断解答几何问题。
因此，正确的证明相似三角形的方法显得尤为重要。
下面介绍证明相似三角形的基本原理和方法：当两个三角形的角度和边满足充分条件时，就可以证明两个三角形之间的相似性：（1）两个三角形的内角相等：当两个三角形的三个内角（比如α、β、γ）都相等时，那么两个三角形就是相似的；（2）两个三角形的角比相等：当两个三角形的三个角（比如α、β、γ）满足a/b = c/d = e/f，其中a、b、c……f分别是三角形各边的长度时，就可以证明两个三角形之间的相似性；（3）根据三角形勾股定理：当两个三角形的三条边满足a ²：b ²：c ²= p ²：q ²：r ²，就可以证明两个三角形之间的相似性；（4）根据标准三角形性质：当两个三角形的三个内角都是60°时，此时的两个三角形就是相似的；（5）根据正弦定理：当两个三角形的三个内角都满足sinα/a=sinβ/b=sinγ/c，就可以证明两个三角形之间至少满足一种相似性。
以上就是证明相似三角形的基本原理和方法，无论是使用哪一种方法都需要对参数进行推理精确的计算，才能准确的得出结果。
总的来说，证明相似三角形的方法有四种：两个三角形的内角相等、两个三角形的边比相等、根据勾股定理、根据正弦定理。
这些方法可以按照证明的复杂程度分为简单、普通和困难三类，只有对于简单情况下的三角形证明，才能正确高效的求解几何问题。
相似三角形的六大证明技巧大全
相似三角形的六大证明技巧大全比例式的证明方法比例式是数学中常见的重要概念，其证明方法也是需要掌握的基本技能。
下面介绍几种比例式的证明方法。
1.相似三角形法若两个三角形相似，则它们对应边的比例相等。
因此，可以通过相似三角形的证明来得到比例式。
2.射影定理法射影定理指：在直角三角形中，直角边上的高的平方等于直角边与这个高的两个部分的乘积。
因此，可以通过射影定理来证明比例式。
3.平行线法若两条直线平行，则它们所截线段的比例相等。
因此，可以通过平行线的证明来得到比例式。
4.等角定理法等角定理指：在同一圆周角或同位角中，对应弧所对应的角相等。
因此，可以通过等角定理来证明比例式。
5.数学归纳法数学归纳法是数学中常见的证明方法，适用于证明一般情况下的比例式。
其基本思路是：证明当n=1时比例式成立，假设当n=k时比例式成立，证明当n=k+1时比例式也成立。
比例式的证明方法多种多样，需要根据具体情况选择合适的方法。
熟练掌握这些方法，可以更加轻松地解决各种数学问题。
通过前面的研究，我们知道，比例线段的证明离不开“平行线模型”（A型、X型、线束型），也离不开上述的6种“相似模型”。
但是，XXX认为，“模型”只是工具，怎样选择工具、怎样使用工具、怎样用好工具，取决于我们如何思考问题。
合理的思维方法能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将研究比例式的证明中经常用到的思维技巧，包括三点定型法、等线段代换、等比代换、等积代换、证等量先证等比、几何计算。
技巧一：三点定型法例1】在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证：$\frac{DC}{CF}=\frac{AE}{AD}$。
例2】在直角三角形△ABC中，$\angle BAC=90^\circ$，M为BC的中点，DM垂直于BC交CA的延长线于D，交AB 于E。
求证：$AM^2=MD\cdot ME$。
例3】在直角三角形△ABC中，AD是斜边BC上的高，$\angle ABC$的平分线BE交AC于E，交AD于F。
相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形判定定理的证明
03 弦切角定理
定义与性质
定义
弦切角是指与圆相切的直线与圆弧所夹的角 。
性质
弦切角等于所夹弧所对的圆周角。
定理证明方法
要点一
证明方法一
利用三角形内角和定理和圆周角定理的推论进行证明 。
要点二
证明方法二
通过圆心与弦切角顶点的连线平分弦切角，利用平行 线的性质进行证明。
应用实例
在相似三角形判定定理的证明中，弦切角定理可以用 来证明两个三角形相似，通过比较两个三角形中的弦 切角大小来证明它们的对应角相等。
应用二
在物理学中，射影定理可以用于求解光线反 射和折射等问题。例如，在求解一个光线反 射的问题时，可以利用射影定理得到反射光 线与入射光线在法线上的投影的比例中项的 关系式，进而求出反射角的大小。
08 三角形五心定律
Байду номын сангаас
定义与性质
定义
三角形五心定律是指一个三角形中，五个特殊点的集 合，这五个点分别对应于三角形的重心、垂心、外心 、内心和旁心。
。
2. 作AD为BC边的中线 ，并延长AD至E，使
DE=AD。
定理证明方法
3. 连接CE并延长至F，使CF=CE。 4. 连接AF、BF，证明AF平行于BC。 5. 根据平行线性质，AF=BC/2。
定理证明方法
6. 由于AD=DE=AF，所以AD=BC/2。
方法二：利用勾股定理证明
1. 在一个直角三角形ABC中， ∠ACB=90°。
证明相似三角形
利用三角形五心定律，可以通过 证明两个三角形的对应心的连线 相互平行，从而证明两个三角形
相似。
简化几何问题
利用三角形五心定律，可以简化 一些复杂的几何问题，例如，利 用重心将一个复杂图形分解为几 个简单的部分，然后分别解决每
初中数学解题模型专题讲解16---相似三角形六大证明技巧
初中数学解题模型专题讲解 专题16 16 相似三角形相似三角形6大证明技巧大证明技巧相似三角形的判定方法总结相似三角形的判定方法总结：： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结相似三角形的模型方法总结：： “反A ”型与型与““反X ”型.“类射影”与射影模型与射影模型类射影””一线三等角”“旋转相似”与“一线三等角旋转相似”反A型与反X型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCBOF ECBA类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC= A BCD射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维比例式的证明方法方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE AD=． ABCFDE【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=°，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅技巧一技巧一：：三点定型三点定型CBAEDM【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：BF ABBE BC=．DBACF E悄悄地替换比例式中的某条线段…【例4】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅ABCDEF【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．技巧二技巧二：：等线段代换等线段代换CBAD EF【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：2AB BE CD =⋅ABCE【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．CBADPEF【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线于F ，求证：2OB OE OF =⋅．技巧三技巧三：：等比代换等比代换OFEDC BA【例9】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=°时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ．求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．EFCABD【例10】 如图，在ABC △中（AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：BP CE CP BD⋅=⋅E CD BAP【例11】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长线于M ．求证：2HE HG MH =⋅．技巧四技巧四：：等积代换等积代换PMN D ABCA BCDE HGM【例12】 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠CFEDCBA【例13】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，D 为AC 中点，AE BD ⊥，E 为垂足，求证：CBD ECD ∠=∠．CBADE【例14】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中点，MN ⊥BC ，求证2MN AN NC =⋅【例15】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、BF 分别交AC 于M 、N .，求证：AM =CN.【例16】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，过A点的直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证：AM =NC ，MN //DE .DBAEM N【例17】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点P 为AB 上任意一点，PF ⊥BC ，PE ⊥AC ，AF 交PE 于N ，BE 交PF 于M .，求证：PM =PN ，MN //AB .CBAP EFN M技巧五技巧五：：证等量先证等比证等量先证等比FMNEDC BA【例18】 如图，正方形BFDE 内接于△ABC ，CE 与DF 交于点N ，AF 交ED 于点M ，CE 与AF 交于点P . 求证：（1）MN //AC ；（2）EM =DN .PNM EFD ABC【例19】 （※）设E 、F 分别为AC 、AB 的中点，D 为BC 上一点，P 在BF 上，DP //CF ，Q 在CE 上，DQ //BE ，PQ 交BE 于R ，交CF 于S ，求证：13RS PQ =CBADP QSE FGR【例20】 （※）如图，梯形ABCD 的底边AB 上任取一点M ，过M 作MK //BD ，MN //AC ，分别交AD 、BC 于K 、N ，连KN ，分别交对角线AC 、BD 于P 、Q ，求证：KP =QN .Q N S PRKM ODC BA【例21】 （2016年四月调考）如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，BF ⊥AD 于G ，交AC 于点M ，EG 的延长线交AB 于点H .（1）求证：AH =BH ，（2）若∠BAC =60°，求FG DG的值. HM FG E D CB A【例22】 （2016七一华源）如图：正方形ABCD 中，点E 、点F 、点G 分别在边BC 、AB 、CD 上，∠1＝∠2＝∠3＝α. 求证：（1）EF ＋EG ＝AE （2）求证：CE＋CG ＝AF技巧六技巧六：：几何计算几何计算。
三角形的相似性质及证明
三角形的相似性质及证明三角形是基础的几何图形之一，它具有多种性质和特点。
其中之一便是相似性质。
本文将会介绍三角形的相似性质，以及其证明过程。
一、相似性质的定义在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，而对应边的比值相等时，我们称这两个三角形为相似三角形。
记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似性质的判定1. AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AAA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
2. AA判定法：若两个三角形的两个角度对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，∠B=∠E，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，∠B=∠E，可以得到三角形ABC与DEF中的角度对应关系相等。
因此，根据AA判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知∠A=∠D，AB/DE=BC/EF，可以得到三角形ABC与DEF中的角度和边长对应关系相等。
因此，根据SAS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
4. SSS判定法：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形是相似的。
例如，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，在此条件下可以判定∆ABC∼∆DEF。
证明过程：由已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，可以得到三角形ABC与DEF中的边长对应关系相等。
因此，根据SSS判定法，可以判定∆ABC∼∆DEF。
三、相似性质的应用相似性质在几何学中有广泛的应用，以下列举几个例子。
1. 相似三角形的比例关系：根据相似三角形的定义，可以得到相似三角形的对应边长之间的比例关系。
第13讲 相似三角形判定定理的证明
第13讲 相似三角形判定定理的证明课程标准1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。
知识点01 相似三角形判定定理的证明（一）相似三角形的判定定理1的证明过程已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,(.AD AEAB AC=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则(AD CFAB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CFAC CB=∵DE ∥BC,DF ∥AC,∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴AD AE DEAB AC BC==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.知识精讲目标导航∴△ABC ∽△A′B′C′.（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,''''AB ACA B A C =,求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,∴△ABC ∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴AB ACAD AE=. ∵''''AB ACA B A C =,AD=A′B′, ∴''AB ACAD A C =∴''AC ACAE A C =∴AE=A ′C′ 而∠A=∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.（三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，''''''AB BC ACA B B C A C ==.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵''''AB ACA B A C =，AD=A′B′,AE=A′C′,∴AB ACAD AE=而∠BAC=∠DAE,∴△ABC ∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴AB BCAD DE=又''''AB BCA B B C =，AD= A′B′, ∴''AB BCAD B C =∴''BC BCDE B C =∴DE=B′C′,∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′.知识点02 证明相似三角形的一般思路（1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在AB边上，点E在AC边上，且AD=CE。
求证：△BED∽△CDE。
2.如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠XXX∠C。
求证：△BED∽△ABC。
ABF∽△ECF证明：首先根据题目中给出的比例式，可以得到：frac{BF}{AB}=\frac{BE}{BC}$$移项可得：frac{AB-BF}{AB}=\frac{BC-BE}{BC}$$化简可得：frac{AF}{AB}=\frac{CE}{BC}$$由此可知，△ABF与△ECF的两个对应角分别为∠A和∠C，因为它们有一个共同的角∠B，所以根据相似三角形的性质，可知△ABF∽△ECF。
例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，要证明FD2=FB·FC。
证明：连接AF，因为AE=ED，所以∠EAD=∠EDA，即AD是∆AEF的角平分线，所以AF=EF，又因为AF∥BC，所以∆BFC与∆AFE相似，所以FB/AF=FC/FE，即FB·FE=FC·AF，代入AF=EF，得到FB·FC=FD2，即证。
例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA 的延长线上，CE交AD于F，要证明AC·BE=CE·AD。
证明：连接BE、CF，因为AB∥CD，所以∠BCE=∠EAD，所以∆BCE与∆EAD相似，所以BE/AD=CE/AC，即AC·BE=CE·AD，即证。
例3】如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，要证明AB2=BE·CD。
证明：连接AE、BD，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°，所以∆ABD与∆AEC相似，所以AB/AC=BD/CE，即AB·CE=BD·AC，又因为AB=AC，所以AB2=BD·AC，代入AB·CE=BD·AC，得到AB2=BE·CD，即证。
初中相似三角形解题技巧集锦
运用角平分线
1. 角平分线的基本概念和性质：角平分线是指将一个角平分成两个相等的 角的线段，具有对称性和比例性质。 2. 利用角平分线求相似三角形的边长比例：在一些相似三角形的题目中， 可以通过利用角平分线的比例性质，以及已知三角形中某个角的度数或边 长比例，求解出其他角的度数或相应边的比例。 3. 利用角平分线证明两条线段平行：当两条平行线段中夹角被角平分线平 分时，这两条线段与角平分线所形成的两个小三角形必定相似，因此它们 之间的对应边也成比例关系，从而可以通过此法证明两条线段平行。
利用比例求两直线平行
1. 利用角的对应性质确定直线之间的关系：当两直线上的对应角相等时，这两直线平行。 2. 利用对应线段成比例的性质求解：在相似三角形中，两直线与三角形相对的边成比例，因此可以利用已知边长求解未知边长，从而判断两直线是否 平行。
04
知识点巩固题型
Knowledge point consolidation question type
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05
实例分析解题
Example analysis and problem-solving
实例分析解题
图形比较 关键词 关键词 关键词 关键词 关键词 关键词
边长比较 比较边长的大小关系
内角相等 边长比例
比例计算 比例的性质 求解未知量
实际应用
06
解题技巧总结
Summary of problem-solving techniques
02
角度相等法解题
Solving problems using the method of equal angles
相等角作边比
1. 什么情况下可以使用相等角作边比法？ 2.需要强调的是，只有在两个三角形中存在对应的相等角才能使用相等角作边比法进行解题。如果没有找到相等角，就不能使用这个解题方法。 3. 如何判断哪些边是对应边？ 4.可以观察两个三角形的图形，找出它们的相等角，然后根据对应角对应边的关系，就可以判断出两个三角形的对应边。
(完整版)相似三角形证明技巧(整理)
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理2 找顶角对应相等 判定定理1找底角对应相等 判定定理1 找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
相似三角形六大证明技巧
13相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.示意图结论E D CB A反A 型：如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS)O DCBA反X 型：如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .“类射影”与射影模型示意图结论A BCD类射影：如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD ·AC. CABH射影定理如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅相似三角形证明方法相似三角形6大证明技巧“旋转相似”与“一线三等角”反A 型与反X 型已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCBOF ECBA类射影如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD ABBC AC= A BCD射影定理已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅15通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
相似三角形证明技巧_专题
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题b)己知两边对应成比c)己知一个直角d)有等腰关a)已知一对等例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BAAC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。
相似三角形的六大证明技巧大全
相似三角形的六大证明技巧大全1.AA判定法AA判定法指的是若两个三角形的两个对应角度相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经有一个角度相等的情况。
证明过程中，首先要证明两个对应角度相等，然后在利用角度相等证明其余对应边的比例关系。
2.SAS判定法SAS判定法指的是若两个三角形的一个角度相等，而另两边的比例相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经知道两个对应边的比例相等的情况。
证明过程中，首先要证明一个角度相等，然后根据比例关系证明其余边的比例关系。
3.SSS判定法SSS判定法指的是若两个三角形的三边长度比例相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经知道三边长度比例相等的情况。
证明过程中，需要证明各个对应边的比例相等。
4.直角三角形的相似证明直角三角形的相似证明可以利用勾股定理、正弦定理、余弦定理等三角函数关系进行证明。
当两个直角三角形的一个角度相等，而另两个边的比例相等时，可以通过三角函数关系证明两个三角形的相似性。
5.角平分线相似证明角平分线相似证明利用了角平分线的性质，也可以通过角度相等和角平分线的长度比例相等来证明两个三角形的相似性。
此外，利用角平分线的性质可以导出很多关于比例的等式或者比例关系，进而推导出相似三角形。
6.边平分线相似证明边平分线相似证明利用了边平分线的性质，要证明两个三角形相似，可以利用角平分线切分三角形，并利用与之相关的角度相等和边长比例相等进行推导，最终得到两个三角形相似的结论。
以上六大相似三角形的证明技巧是解决各种几何问题的基础。
在实际应用中，可以根据题目给出的条件选择合适的证明方法，灵活运用这些技巧，帮助我们解决各种与相似三角形相关的问题。
总结起来，相似三角形的证明技巧主要包括AA判定法、SAS判定法、SSS判定法、直角三角形的相似证明、角平分线相似证明和边平分线相似证明。
通过熟练掌握这些技巧，我们可以更好地解决各种相似三角形的证明问题。
相似三角形证明过程
相似三角形证明过程
相似三角形是数学中重要的概念，下面我们将介绍相似三角形的证明过程。
1. AA相似定理证明过程：
假设有两个三角形ABC和DEF，若它们的角A和D相等，角B和E相等，则可得出它们相似。
证明过程：由角A和D相等可得：∠A=∠D，由角B和E相等可得：∠B=∠E。
因此，我们可以得到：∠C=∠F。
而又由于三角形内角和为180度，所以∠A+∠B+∠C=180度，∠D+∠E+∠F=180度。
代入可以得到：∠C=∠F，∠B=∠E，∠A=∠D。
因此，根据相似三角形定义，ABC与DEF相似。
2. AB/DE=AC/DF相似定理证明过程：
假设有两个三角形ABC和DEF，若它们的一个角相等，且它们的对边成比例，则可得出它们相似。
证明过程：设∠A=∠D，AB/DE=AC/DF。
由三角形的内角和可得：∠B=180度-∠A-∠C，∠E=180度-∠D-∠F。
将AB/DE=AC/DF代入，得到：AB/DE=AC/DF → AB/DE=(AB+BC)/(DE+EF)。
因此，我们可以得到：AB/(AB+BC)=DE/(DE+EF)，即：AB/AC=DE/DF。
因此，根据相似三角形定义，ABC与DEF相似。
3. SSS相似定理证明过程：
假设有两个三角形ABC和DEF，若它们的三边成比例，则可得出它们相似。
证明过程：设AB/DE=BC/EF=AC/DF，由几何原理可知：∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
因此，根据相似三角形定义，ABC 与DEF相似。
三角形相似的证明方法
三角形相似的证明方法
嘿，你知道不？三角形相似咋证明呢？其实不难哦！可以用两个角对应相等来证明。
如果两个三角形的两个角分别对应相等，那它们肯定相似呀！这就好比两个人有一样的眼睛和嘴巴，那长得肯定像嘛！注意哦，一定要找准对应角，可别搞混了。
这能有啥不安全不稳定的呢？完全不用担心嘛！这种方法在很多场景都好用得很呢！比如测量那些不好直接测量的高度啥的。
就像你想知道大树多高，不能直接量，那就可以找个小木棍，利用相似三角形的原理来算。
多棒呀！还有在建筑设计里也常用到呢，设计师得保证不同部分比例协调，相似三角形就派上大用场啦！反正呢，用两个角对应相等证明三角形相似，简单又实用，你还不赶紧试试？我的观点结论就是：用两个角对应相等证明三角形相似超棒，大家一定要掌握这个方法哦！。
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相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等 判定定理1 找底角对应相等 判定定理1找底和腰对应成比例 判定定理3e)相似形的传递性 若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题b)己知两边对应成比c)己知一个直角d)有等腰关a)已知一对等例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？ ）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的 平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？ 说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。
求证：CD 2=DE ·DF 。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？ ）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．1、 等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE． 分析：2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
例2：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．求证：AB DF AC AF．3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B 作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替。
”同类练习：1．如图，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ADE=∠C求证：（1）△ADE∽△ACB;(2)AD·AB=AE·AC.2．如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）△ADB∽△CEA;(2) DE²=BD·CE;(3) AB·AC=AD·BC.3．如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA. 求证：AD·EC=AC·EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）4．如图，AD为△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。
求证：FD²=FC·FB。
（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。
）5．如图，E是平行四边形的边DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F,求证：FC²=FG·EF.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。
）6．如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，连接AE交CD于F,过F作FM∥BE交DE于M.求证：FM=CF.(注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。
此题用等比替代可以解决。
)7．如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC边中点，CE∥AB,BE分别交AD、AC于点F、G，连接FC.求证：（1）BF=CF.(2)BF²=FG·FE.8．如图，∠ABC=90°,AD=DB,DE⊥AB,求证：DC²=DE·DF.9．如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AC⊥BD。
AD= BD，过E作EF∥AB交AD于F.是说明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·EC.10．△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E为AC中点。
求证：AB:AC=DF:AF。
11．已知，CE 是RT △ABC 斜边AB 上的高，在EC 延长线上任取一点P,连接AP,作BG ⊥AP,垂足为G ，交CE 于点D.试证：CE ²=ED ·EP.(注：此题要用到等积替代，将CE ²用射影定理替代，再化成比例式。
)七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂．例1 如图5在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，DF ⊥AB 于F ，交AC 的延长线于H ，交BE 于G ，求证：(1)FG / FA ＝FB / FH (2)FD 是FG 与FH 的比例中项．1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似．找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例2 如图6，□ABCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ：EC ＝3：1， S ∆FBE ＝18，求：(1)BF ：FD (2)S ∆FDA2说明：线段BF 、FD 三点共线应用平截比定理．由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比图5 A EF B D GC H C AD BE F图6例3 如图7在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，CM 的延长线交AB 于N ．求：AN ：AB 的值；3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡．当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡．例4 如图8在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ．求证：AG 2＝AF ×FC4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似．、 例5 如图在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，交AB 于点E ，EC 交AD 于点F ．(1)求证：△ABC∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似．再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长．B E AC DM NC ED G FAE B DM C FFC 交AB 于点M ．(1)若S △AEF ：S 四边形MDEF ＝2：3，求AE ：ED ； (2)求证：AE ×FB ＝2AF ×ED6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比．注意平截比定理的应用．例7 己知如图11在正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，Q 在线段BC 上，当BQ 为何值时，△ADP 与△QCP 相似？7说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P 所在的位置．本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解．例8 己知如图12在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝900，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3．试在边AB 上确定点P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系．然后再确定顶点P 所在的位置．本题有多个位置，应注意计算，严防漏解．例11．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。