22.1 二次函数的图像和性质 五课时
二次函数的图像和性质课件
03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数
22.1.24二次函数y=a(x+h)2+k的图像和性质
二次函数y= a(x−h)2+k的图象与平移
怎样移动抛物线
y
-
1 2
x2
就可以得到抛物线
y
-
12（y x
1）2 -1？
y
-
1 2
x
2
向左平移一 个单位
y - 12（x+1）2 向
下
平
O -4 -2
-2
-4
2 4x
y
-
1 2
x
2
移
-6
一 个
y - 12（x+1）2-1 y - 12（x+1）2
单
(3)顶点是(h,k).
探究新知 二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左右平移 y = a(x−h)2+k 上下平移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = ax2 + k
y=a(x−h)2 左右平移，
括号内左加右减.
上下平移 y = ax2
二次项系数a不变. 左右平移
-1
巩固练习 1.画出函数y=2(x+1)2−2图象，并说出抛物线的开口 方向、对称轴、顶点.
y
开口方向向下；
对称轴是直线x=−1;
顶点坐标是(−1,−2)
x
主要特征
探究新知 二次函数y=a(x−h)2+k的图象和性质
a>0
a<0
h>0 图象
h<0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
直线x=h （h,k）
把B、C两点的坐标代入y=ax2+k，得
二次函数的图象和性质课件
解决实际问题
实际应用场景
二次函数在许多实际问题中都有应用，如物体运动、经济 活动等。通过建立数学模型，我们可以利用二次函数来描 述和解决这些实际问题。
实际问题的求解策略
对于实际问题，我们通常需要结合二次函数的性质和实际 问题的特点来制定求解策略。这可能包括分析函数的单调 性、最值、零点等。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的最值点即为顶点。对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点的x坐标为-b/2a，y坐 标为c-b^2/4a。Biblioteka 二次函数的对称轴总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是由二次函数的最值性质决定的，对称轴上 方的函数值与对称轴下方的函数值相等。
二次函数图象的绘制
01
02
03
步骤一
确定二次函数的表达式， 例如 $f(x) = ax^2 + bx + c$。
步骤二
选择一个或多个点，代入 二次函数表达式中，计算 出对应的y值。
步骤三
在坐标系上标出这些点， 通过这些点绘制出二次函 数的图象。
二次函数图象的形状
形状特征一
二次函数图象是一个抛物 线。根据a的值（正或负） ，抛物线开口向上或向下 。
二次函数的图象和性质课 件
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图象 • 二次函数的性质 • 二次函数的解析式 • 二次函数的应用
01
二次函数的基本概念
二次函数定义
总结词
二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》课件PPT
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b
2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1
用配方法把 y 1 x2 3x 5
2
2
化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)
o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
22.1.2二次函数的图像和性质(教案)
最后，我意识到在课堂上，对于学生的疑问和困惑，我需要更加耐心和细致地进行解答。有时候，一个简单的解释就能帮助学生跨越理解的障碍。在今后的教学中，我会更加注重与学生的互动，鼓励他们提出问题，并及时给予反馈。
-重点三，利用图示和计算，说明二次函数与x轴的交点即为二次方程的实数根；
-重点四，通过图像和数学推导，让学生理解二次函数最值的含义及其计算方法。
2.教学难点
-理解二次函数图像的对称性，特别是对称轴的概念及其与顶点的关系；
-掌握顶点坐标计算公式的应用，尤其是对于含有绝对值、分式等复杂二次函数的顶点求解；
-学会求解二次函数与坐标轴的交点，理解这些交点与二次方程解的关系；
-掌握二次函数的最值问题，明确当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
举例解释：
-对于重点一，强调a的符号决定了图像的形状，并通过实例展示a的正负对图像的影响；
-重点二，通过具体函数示例，演示如何计算顶点坐标，并解释顶点即为对称轴上的点；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“22.1.2二次函数的图像和性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛高后落地的情况？”（如抛球游戏）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图像和性质的奥秘。
3.二次函数图像的顶点坐标计算，顶点公式为（-b/2a，4ac-b²/4a）；
4.二次函数图像的对称轴，即x = -b/2a；
人教版九年级数学上册教学案： 二次函数的图像和性质(学生版)
22.1 二次函数的图像和性质教学目标：1．熟练掌握二次函数的有关概念．2．熟练掌握二次函数y＝ax2的性质和图象．3．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋k,y＝a(x－h)2,y＝a(x－h)2＋k的性质及图象．4．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象．5．能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．教学重难点：图形和性质的应用,及两种形式的转化,解析式求解知识点一：二次函数的概念例题．下列函数中,二次函数是（）A．y=﹣4x+5B．y=x（2x﹣3）C．y=（x+4）2﹣x2D．y=变式1．圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对变式2．下列函数中,y关于x的二次函数的是（）A．y=x3+2x2+3B．y=﹣C．y=x2+x D．y=mx2+x+1知识点二：二次函数y＝ax2的性质和图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0,0）,然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时,要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧．例题．下列图象中,是二次函数y=x2的图象的是（）A．B．C．D．变式1．如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=a1x2；①y=a2x2；①y=a3x2,则a1,a2,a3的大小关系是（）A．a1＞a2＞a3B．a1＞a3＞a2C．a3＞a2＞a1D．a2＞a1＞a3变式2．下列图象中,当ab＞0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．知识点三：二次函数y＝ax2＋k的性质和图象例题．函数y=+1与y=的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状变式1．在直角坐标系中,函数y=3x与y=﹣x2+1的图象大致是（）A．B．C．D．变式2．在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（）A．B．C．D．知识点四：二次函数y＝a(x－h)2的性质及图象例题．与函数y=2（x﹣2）2形状相同的抛物线解析式是（）变式1．在平面直角坐标系中,函数y=﹣x+1与y=﹣（x﹣1）2的图象大致是（）A．B．C．D．变式2．同一坐标系中,抛物线y=（x﹣a）2与直线y=a+ax的图象可能是（）A．B．C．D．变式3．函数y=a（x﹣1）2,y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．知识点五：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质及图象例题．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（）A．（3,﹣5）B．（﹣3,5）C．（3,5）D．（﹣3,﹣5）变式2．二次函数y=（x+1）2﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．知识点六：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质及其图象个单位,再向上或向下平移||个单位得到的 例题．用配方法将二次函数y=x 2﹣8x ﹣9化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y=（x ﹣4）2+7B ．y=（x ﹣4）2﹣25C ．y=（x+4）2+7D ．y=（x+4）2﹣25变式1．将二次函数y=x 2+x ﹣1化为y=a （x+h ）2+k 的形式是（ ）A ．y=B ．y=（x ﹣2）2﹣2C ．y=（x+2）2﹣2D ．y=（x ﹣2）2+2变式2．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是（）A ．有最大值 2,有最小值﹣2.5B ．有最大值 2,有最小值 1.5C ．有最大值1.5,有最小值﹣2.5D ．有最大值 2,无最小值变式3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论中错误的是（ ）4ac −b 24ab 2aA．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时,y＞0D．当x＜时,y随x的增大而减小变式4．当a≤x≤a+1时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2变式5．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时,它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为（）A．8B．﹣10C．﹣42D．﹣24知识点七：二次函数的系数与抛物线的特征之间的关系例题．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A（3,0）,二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=0变式1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：①abc＞0；①2a+b＞0；①b2﹣4ac＞0；①a﹣b+c＞0,其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4变式2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,OA=OC,则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；①ac+b+1=0；①abc＞0；①a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个变式3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示,下列结论：①abc＜0；①2a﹣b＜0；①b2＞（a+c）2；①点（﹣3,y1）,（1,y2）都在抛物线上,则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个变式4．如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限,且过点（0,1）和（﹣1,0）,下列结论：①ab＜0,①b2＞4,①0＜a+b+c＜2,①0＜b＜1,①当x＞﹣1时,y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个变式5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论：①b2﹣4ac＞0；①4a﹣2b+c＜0；①3b+2c＜0；①m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1）,其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个知识点八：用待定系数法确定二次函数的解析式例题．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1,0）,B（﹣1,0）,C（0,﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．变式1．已知二次函数的顶点坐标为（1,4）,且其图象经过点（﹣2,﹣5）,求此二次函数的解析式．变式2．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3,5）,且抛物线经过点A（1,3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求①ABC的面积．变式3．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2,1）,（0,1）．（1）求该二次函数的表达式及函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）若点P（3+a2,y1）,Q（4+a2,y2）在抛物线上,试判断y1与y2的大小．（写出判断的理由）变式4．已知一个二次函数的图象经过A（0,﹣3）,B（1,0）,C（m,2m+3）,D（﹣1,﹣2）四点,求这个函数解析式以及点C的坐标．变式5．已知抛物线y1=﹣x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式．拓展点一：二次函数的概念求字母系数的值例题．若函数y=（m+1）x是二次函数,求m的值．变式1．已知函数y=（m2+m）x．（1）当函数是二次函数时,求m的值；（2）当函数是一次函数时,求m的值．变式2．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？拓展点二：二次函数的图像问题例题．画函数y=的图象．变式1．使用五点法画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．变式2．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？变式3．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中,m=．（2）根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象,写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；①方程x2﹣2|x|=2有个实数根；①关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是．拓展点三：二次函数的性质的应用例题．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时,y＞0D．当x＜时,y随x的增大而减小变式1．在平面直角坐标系中,已知抛物线与直线的图象如图所示,则下列说法：①当0＜x＜2时,y1＞y2；①y1随x的增大而增大的取值范围是x＜2；①使得y2大于4的x值不存在；①若y1=2,则x=2﹣或x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式2．已知函数图象如图所示,根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标；（2）对称轴为；（3）当x=时,y有最大值是；（4）当时,y随着x得增大而增大．（5）当时,y＞0．变式3．（1）已知二次函数y1=﹣（x+1）2+4的图象如图所示,请在同一坐标系中画出二次函数y1=﹣（x﹣2）2+1的图象．（2）平行于x轴的直线y=k在抛物线y2=﹣（x﹣2）2+1上截得线段AB=4,求抛物线y2=﹣（x﹣2）2+1的顶点到线段AB的距离．（3）当﹣1＜x＜2时,利用函数图象比较y1与y2的大小．拓展点四：二次函数图像的平移问题例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度变式1．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3变式2．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+3变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是．拓展点五：确定二次函数的解析式例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度变式1．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3变式2．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+3变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是．易错点一：用配方法求抛物线的顶点坐标时易与用配方法解一元二次方程混淆例题．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x﹣4）2﹣25C．y=（x+4）2+7D．y=（x+4）2﹣25变式1．将二次函数y=x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（）A．y=B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x+2）2﹣2D．y=（x﹣2）2+2变式2．解方程：（1）x2﹣2x﹣4=0（2）用配方法解方程：2x2+1=3x。
九年级数学上册 第二十二章 22.1 二次函数的图像及性质 22.1.3 二次函数y=ax2+k的图
第二十二章 22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质知识点:二次函数y=ax2+k的图象及其性质二次函数y=ax2+k的性质与二次函数y=ax2的性质很多都相同,只是图象顶点坐标及最值有所区别,但也可以由二次函数y=ax2的图象的顶点平移得到二次函数y=a x2+k的图象的顶点的坐标,因而学习二次函数y=ax2+k的性质,可在熟记二次函数y=ax2的性质的基础上类比学习.二次函数图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2+ka>0k>0向上(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最小值=ka>0k<0向上(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最小值=k a<0k>0向下(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大当x=0时,y最大值=k a<0k<0向下(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大当x=0时,y最大值=k 二次函数的解析式中常数项的变化与其图象移动的关系:上加下减.考点1：二次函数y=ax2+k的图象【例1】小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分(如图),若投中篮框中心,则他与篮底的距离l是( )A.3.5 mB.4 mC.4.5 mD.4.6 m答案:B点拨：由题意令y=3.05,可得3.05=-x2+3.5,解得x=±1.5(负值不符合题意,舍去),所以他与篮底的距离l=1.5+2.5=4(m).考点2：二次函数y=ax2+k的性质【例2】将抛物线y=-3x2向上平移1个单位后,得到的抛物线对应的函数解析式是.答案:y=-3x2+1点拨：由“上加下减”的规律知,该抛物线向上平移1个单位后得到的抛物线对应的函数解析式为y=-3x2+1.感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
22 二次函数
4a
二次函数图像增减性总结
1、a>0时，从左往右看，图像在对称轴左侧逐渐 下降，即y随x的增大而减小；图像在对称轴右侧 逐渐上升，即y随x的增大而增大。（如图1） 2、a<0时，从左往右看，图像在对称轴左侧逐渐 上升，即y随x的增大而增大；图像在对称轴右侧 逐渐下降，即y随x的增大而减小.（如图2 y）
22.1二次函数的图像和性质
（三）、抛物线
y a k 与抛物线
2
2
y a
的关系
2
（1）、当k> 0时，把抛物线 y a
向上平移
k个单位长度得到
y a k
2
（2）、当k< 0时，把抛物线
y a 向上平移
2
k 个单位长度得到
y a k
2
在抛物线中，对k（上下）平移的口诀：
y
0
0
（如图1） （如图2）
待定系数法求二次函数的解析式 步骤
1、确定函数的类型（一次函数、二次函数、正 比例函数等） 2、设出所求函数的解析式（也叫一般形式） 3、把已知的点分别代入解析式中，组成一个方 程组 4、解方程组 5、根据所得的解写出函数的解析式即可
22.2二次函数与一元二次方程
y a b c 与 a b c 0 的关系：
2 2
二次函数
对应方程
y a b c
2
当y=0时
a b c 0
2
由二次函数
y a b c 的图像可得：
2
2
一、二次函数图像与x轴的交点情况
（1）、当
b - 4ac 0 时，二次函数图像与x
人教版 九年级上册数学 22.1 二次函数的图象和性质 课时训练(含答案)
人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质课时训练一、选择题1. 二次函数y＝－x2＋1的图象与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C.下列说法中，错误．．的是()A．△ABC是等腰三角形B．点C的坐标是(0，1)C．AB的长为2 D．y随x的增大而减小2. （2020·宿迁）将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（）A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2 C．y＝(x－1)2－1 D．y＝(x－1)2＋53. 如图所示，根据图象提供的信息，下列结论正确的是()A．a1>a2>a3>a4B．a1<a2<a3<a4C．a4>a1>a2>a3D．a2>a3>a1>a44. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋45. (2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根6. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x ＝1D. 抛物线与x 轴有两个交点7. 已知二次函数y ＝(x －h )2＋1(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或－5B ．－1或5C ．1或－3D ．1或38. 二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 二、填空题 9. 抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．10. 若二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，则常数b 的值为________．11. 二次函数y ＝－2x 2－4x ＋5的最大值是________．12. 顶点坐标是(2，0)，且与抛物线y ＝－3x 2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为________．13. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)14. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论：①abc ＞0；②3a ＋c ＜0；③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形．其中正确结论的序号为________．15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．16. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DE AB＝________．三、解答题17. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．18. 设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 由解析式y＝－x2＋1可知，图象是以y轴为对称轴的抛物线，它与横轴的交点坐标为(－1，0)，(1，0)，顶点坐标为C(0，1)(选项A，B 正确)；AB＝2(选项C正确)．在对称轴的两侧，函数y随x的增减性不同(选项D错误)．故选D.2. 【答案】D【解析】将二次函数y＝(x－1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y＝(x－1)2＋2＋3，即y＝(x－1)2＋5，故选D．3. 【答案】A[解析] 开口越大，|a|越小，故a1>a2>a3>a4.故选A.4. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.5. 【答案】C【解析】依题意得a＋b＋c＝－1．∴c＝－(1＋a＋b)．∵原方程的判别式△＝b2－4ac＝b2＋4a(1＋a＋b)＝b2＋4a＋4a2＋4ab＝(2a＋b)2＋4a＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝c a ＋b a ＋1＝1a (a ＋b ＋c )＝－1a＜0．∴x 1－1与x 2－1异号，这说明x 1，x 2中一个大于1，另一个小于1．故选C ．6. 【答案】D 【解析】本题考查了二次函数的性质，由于2>0，所以抛物线的开口向上，所以A 选项错误；由于当x ＝2时，y ＝8－3＝5，所以B 选项错误；由于y ＝2x 2－3的对称轴是y 轴，所以C 选项错误；由2x 2－3＝0得b 2－4ac ＝24>0，则该抛物线与x 轴有两个交点，所以D 选项正确．7. 【答案】B 【解析】∵二次函数y ＝(x －h )2＋ 1，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝h ，∴二次函数值在x <h 时，y 随x 的增大而减小，在x >h 时，y 随x 的增大而增大，∴①当h ＜1时，在1≤x ≤3中，x ＝1时二次函数有最小值，此时(1－h )2＋ 1＝5，解得h ＝－1或h ＝3(舍去)；②当1≤h ≤3时，x ＝h 时，二次函数的最小值为1；③当h ＞3时，在1≤x ≤3中，x ＝3时二次函数有最小值，此时，(3－h )2＋ 1＝5，解得h ＝5或h ＝1(舍去)，综上所述，h 的值为－1或5.8. 【答案】D [解析] 由一次函数y ＝ax ＋a 可知，其图象与x 轴交于点(－1，0)，排除A ，B ；当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第一、二、三象限；当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向下，一次函数y ＝ax ＋a 的图象经过第二、三、四象限．排除C.二、填空题9. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小 增大10. 【答案】－4 [解析] ∵二次函数y ＝2x 2＋bx ＋3的图象的对称轴是直线x ＝1，∴x ＝－b 2×2＝1，∴b ＝－4.则b 的值为－4.11. 【答案】712. 【答案】y ＝－3(x －2)213. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>，当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <，故答案为：<．14. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－b a＝m －1. ∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0，∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0，∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误．当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确．∴－b a＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确． 当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ，∴P(b 2，b ＋1＋b 24)． 若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形，∴b ＋1＋b 24＝b 2＋1，∴b ＝－2或b ＝0. ∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形，故④错误．故答案为②③.15. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a )．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－b a ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．16. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）b b＝3－ 3. 三、解答题17. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点，∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧．又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大，∴m ＜n.18. 【答案】解：(1)当k ＝0时，y ＝－(x －1)(x ＋3)，所画图象如解图所示．(2分)(2)①k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称，②函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)的图象都经过(1，0)和(－1，4)．(5分)(3)由题意可得y 2＝(x －1)[(2－1)x ＋(2－3)]＝(x －1)2，平移后的函数y 3的表达式为y 3＝(x －1＋4)2－2＝(x ＋3)2－2，所以当x ＝－3时，函数y 3的最小值是－2.(8分)。
22.1二次函数的图象和性质
顶点坐标是(1，5)， 对称轴是直线 x＝1．
例2 用公式法写出抛物线 y 1 x2 x 5
2
2
的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解： a 1 ,b 1, c 5
b
2
1
2 1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
2
1 2
4a
x
x=2
· · （0,－6）
（4,－6）
三．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
你能说说二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
三．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上； 当 a＜0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3(x-1)2 -2
向上 直线x=–3 （－3，5）
向下 直线x=1 （1，－2）
（2）对称轴是直线
x b 2a
（3）顶点坐标
b 2a
,
4ac b2 4a
;
（4）最值：
如果a＞0，当 x b 时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b2
,
2a
22.1 二次函数的图像和性质
位长度
位长度
位长度
位长度
y=ax2 (a<0)
y=a(x-
y=a(x-
y=a(x-
y=a(x-
h)2+k(a<0,h< h)2+k(a<0,h< h)2+k(a<0,h> h)2+k(a<0,h>
0,k>0)
0,k<0)
0,k>0)
0,k<0)
知识点 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球球员得分能力的 重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路线 想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模型, 这种类型的抛物线解析式为y=ax2(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
知识点 用待定系数法求二次函数解析式
跳台滑雪简称“跳雪”,就是运动员脚着特制 的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑,是冬季奥运 会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看 作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度 y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系 式y=ax2+bx+c(a≠0).如图所示,记录了某运动员 起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数 据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时的水 平距离.
知识点 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质
抛物线y=a(x-h)²+k左右平移时,只有常数h发生变化;上下平移
时,只有常数k发生变化.
y=ax2 (a≠0)
向左平移|h|个 向左平移|h|个 向右平移|h|个 向右平移|h|个
221二次函数的图像和性质五课时
221二次函数的图像和性质五课时二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是函数的一个重要类型。
掌握二次函数的图像和性质是学好高中数学的重要基础。
下面结合五课时的学习内容，对二次函数的图像和性质进行详细的说明。
一、基本性质：1.二次函数的定义：二次函数是指函数关系是二次方程的函数，即f(x)=ax^2+bx+c，其中(a≠0)。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3.二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，它通过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过求解二次函数f(x)的导函数f'(x)为零得到。
对称轴的方程为x=-b/2a。
4.二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（a>0）或最高点（a<0）。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入二次函数得到。
二、图像的移动与变换：1.平移：二次函数的图像可以通过平移来变换位置。
平移的位置可以通过定义一个新的函数g(x)=f(x-h)+k来描述，其中(h,k)为平移的横纵坐标偏移量。
2.伸缩：二次函数的图像可以通过横向伸缩和纵向伸缩来改变形状。
横向伸缩可以通过定义一个新的函数g(x)=f(kx)来实现，其中k为伸缩因子；纵向伸缩可以通过定义一个新的函数g(x)=af(x)来实现，其中a为伸缩因子。
3.翻折：二次函数的图像可以通过对x轴或y轴进行翻折来改变形状。
对x轴翻折可以通过定义一个新的函数g(x)=f(-x)来实现；对y轴翻折可以通过定义一个新的函数g(x)=-f(x)来实现。
三、性质的应用：1.零点和因式分解：二次函数的零点是函数的解，即使f(x)=0的x 值。
可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来找到二次函数的零点。
另一种方法是通过因式分解的方法，将二次方程分解成两个一次方程求解。
2.增减性：二次函数的增减性可以通过函数的导数来判断。
二次函数的图像和性质五PPT课件
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所 示，x= 1 为该图象的对称轴，根据图象信息你
3
能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？
y
1
. -1
3.
1
x
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（C ）
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表抛：物线y=ax2+x+c(a>0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴 直线x b 2a
位置 由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y ax2 bx c的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:( b , 4ac b2 ) 2a 4a
2.抛物线y = 2x2 + bx + c的顶点坐标 为(- 1,2),则b = ______，c= ______.
例1：指出抛物线 :
y
x2
5x
4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐
标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向 ，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点 坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样 就可以画出它的大致图象。
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教学准备1. 教学目标1、知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。
2、过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力．3、情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．2. 教学重点/难点教学重点：二次函数概念的理解。
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
3. 教学用具4. 标签教学过程一、复习提问1.一元二次方程的一般形式是什么？2。
一次函数的定义是什么？【设计意图】复习这些问题是为了引入一元二次此函数做铺垫，帮助学生加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较。
二、引入新课电脑演示：拱桥、喷泉等与一元二次函数图像有关的图片引起学生对一元二次函数的好奇和兴趣。
探索问题1、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题1 设矩形靠墙的一边AB的长ｘｍ，矩形的面积yｍ2．能用含x的代数式来表示y吗？2 x的值可以任意取？有限定范围吗？3 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式探究问题2请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系：(1)圆的面积y ()与圆的半径x ( cm )y =πx2(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为yy = 2(1+x)2教师提问：以上两个例子所列出的函数有声么特点，学生观察并讨论。
三、讲解新课引入二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。
巩固对二次函数概念的理解：提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？2. 对于二次函数y= ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？思考：1. 由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0．思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）有什么联系和区别？联系(1)等式一边都是ax2+bx+c且 a ≠0 (2)方程ax2+bx+c可以看成是函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0四、例题分析例1: 关于x的函数是二次函数, 求m的值. 解：由题意得：m2-m=2m+1≠0解得，m=2∴当m=2时，函数为二次函数例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为650px，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x （cm）之间的函数关系．解：（1）由题意得：S=6a2(a>0)其中S是a的二次函数（2）由题意得：（x>0）其中y是x的二次函数（3）由题意得其中S是x的二次函数例3:下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1( 不是) (2)y=3x2（是)(3)y=3x3+2x-2( 是) (4)y=2x2-2x+1( 是)(5)y=x-2+x ( 不是) (6)y=x2-x(1+x) ( 不是)例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.四、当堂训练1、（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．2.下列函数中,哪些是二次函数?解：是、不是、是、不是3:m取何值时，函数y= (m+1)xm2—2m-1+(m-3)x+m 是二次函数？解：根据题意得m2—2m-1=2 且m+1 ≠0∴m=34、是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？例如：圆的面积y ()与圆的半径x（cm)的函数关系是其中自变量x能取哪些值呢？5、要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式.(2)当x=3时,距形的面积为多少?解：（1）y=x(20-2x)=-2x2+20x(0<x<10)(2)y=42m课堂小结现在我们学习过的函数有:一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数y=kx(k≠0),反比例函函数(k≠0) ，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
板书26.1二次函数26.1二次函数的定义：一、复习二、二次函数的定义形如y=ax2+bx+c (a≠0，a, b, c为常数) 的函数叫做二次函数。
三、例题分析例1 例2 例3四、课堂练习：1、2、3、4教学准备1. 教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内2. 教学重点/难点重点：函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．难点：用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．3. 教学用具4. 标签教学过程一、创设情境导入新课1、回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？2、展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？3、用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？二、新知探究1．函数y=ax2 的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.2．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=x2，y=2x2的图象.学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实施过程）比较函数y=-x2，y=-x2，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小三、例题分析例1 例1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.（2）因为,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是的图象，并根据图象回答下列问题：(1)说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；轴上方；当x>0 时，曲线自左向右逐渐________；它的顶点是图象的最________点；(3)函数y＝－2x2，对于一切x 的值，总有函数值y_____0；当x<0 时，y 随x 的增大而________；当x________时，y 有最________值为________．解：列表：四、当堂训练：2、抛物线，其对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．3.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是y轴,在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小,当x=0 时,函数y的值最小,最小值是0 ,抛物线y=2x2在x轴的上方(除顶点外).(2)抛物线在x轴的下方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小,当x=0时,函数y的值最大,最大值是0 ,当x0时,y<0.4.在同一坐标系中，图象与y=2x2 的图象关于x 轴对称的函数为（）．5.抛物线共有的性质是（ B ）．（A）开口向上（B）对称轴是y轴（C）都有最高点（D）y随x的增大而增大6.若点A(2,m)在抛物线y=x2 上，则点A关于y轴对称点的坐标是（）．(A)（2，4）（B）（－2，4）（C）（2，－4）（D）（－2，－4）7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是( )(A)若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等(B) 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应(C) 对任一个实数y,有两个x和它对应.(D) 对任意实数x,都有y＞0.课堂小结1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.一般地，抛物线y = ax 2 的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a＞0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．如果a＞0，当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；如果a＜0，当x＜0 时，y 随x 的增大而增大，当x＞0 时，y 随x 的增大而减小．板书26.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质一、图象的画法：1、列表2、描点3、连线二、图象和性质图象：是一条抛物线性质：一般地，抛物线y = ax 2 的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a＞0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．如果a＞0，当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；如果a＜0，当x＜0 时，y 随x 的增大而增大，当x＞0 时，y 随x 的增大而减小．三、例题分析例1、例2四、小结教学准备1. 教学目标知识和能力1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。