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高数复习资料 第六章常微分方程 1.微分方程定义：含有未知函数的导数或微分的等式，称为微分方程。 2. 通解：若果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数（是指他们不能通过和拼而 使得任意常数的个数有所减少）的个数与微分方程的阶数相同（微分方程中所出现的未知数 的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶数） ，那么，这样的解称为微分方程的通解 3.特解：确定通解中的任意常数之后，所得的解 4. 可分离变量的微分方程： F ( x, y, y) 0 做法：这种情况下 dx,dy 可以分离开，将它们分别移到等式两边，再在等式两边同时积分即可 p(x)dx=q(y)dy→P(x)=Q(y)+C
y1 ( x) y2 ( x) 可以用上面的 y1 ( x) y2 ( x), y1 ( x) y2 ( x) ，y2 ( x) y3 ( x) 任意互换，y1 ( x) 也
可以用 y1 ( x), y2 ( x), y3 ( x) 任意互换 14. 若二阶线性非齐次微分方程的右端为若干个函数之和， 即： y P( x) y Q( x) y f1 ( x) f 2 ( x) ，则
x
x
(C1 C2 x) cosx (D1 D2 x) sin x
y 齐次的通解 y ,齐次的通解依照（15）进行计算。
y x k Qm ( x)ex ,其中 Qm ( x) 是与 Pm ( x) 同次的多项式，即最高次数相等，k 按
① 不是 r pr q 0 的根，k 取 0
由曲面相交得到
2. 2 点向式：
x x0 y y0 z z0 s (m ,n , p )直线的方向向量 m n p
当 m,n,p 中有 0 时，对应的分子也为 0.如当 m=0 时 x
x0 0
x x 0 mt 3. 参数式： y y 0 nt z z pt 0
7.向量的向量积（即叉乘） ①a
b a b sin
为a与b的夹角

② a b 所得向量方向由右手法则确定③ a a 0 ④a b 0 ⑤a b
a // b a,b不为零向量


积 a b sin a与b 所确定的平行四边的面
⑥ a ห้องสมุดไป่ตู้ b a （反交换律） ⑦叉乘服从分配律与结合律
到齐次方程的通解 6. 一阶线性齐次微分方程：
为线性，其余全部不为线性）
p ( x ) dx 公式： y Ce （注意公式里面的负号不要掉了） （证明见：P263-P264）
7. 一阶线性非齐次微分方程：
dy P ( x) y Q ( x) 其中 y 的次数，决定方程是不是线性，一次为 dx
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y P( x) y Q( x) y f1 ( x) 与 y P( x) y Q( x) y f 2 ( x) 的 特 解 之 和 ， 仍 为 原 方 程 y P( x) y Q( x) y f1 ( x) f 2 ( x) 的特解（叠加原理）
2
② 是 r pr q 0 的单根，k 取 1
2
③ 是 r pr q 0 的复根，k 取 2
2
17. y py qy x e
k x
Pl ( x) cosx Qn ( x) sin x型
y 齐次的通解 y ,齐次的通解依照（15）进行计算。
2 rx 2 r x
2. p 4q =0,即 r 有两相等的根 r1=r2,则 y 的通解为： y (C1 C2 x)e 1
2
rx
3. p 4q <0,即 r 存在复根 r1, 2 i ,则 y 的通解为： y ex (C1 cosx C2 sin x） 若 r1=r2,则 y 的通解为： y e 16. y py qy pm ( x)e 型
⑧
a (ax ,ay ,az ),b (bx ,by ,bz )则 a b


i
x x
j
y
k
z z
a a a b b b
x
0 0
平面方程 1. 点法式： n 平面l n
A,B ,C 且平面经过 x ，y ，z ，则平面方程为：
0
A(x x 0 ) B(y y 0 ) C z z0 =0
dx y ( ) dx x y dy du u x 做法：引入中间变量 u ,则 y=ux,所以 dy=dux,切记 u 中含有 x，所以 x dx dx
5. 齐次方程： ∴u x
du y du dx du dx (u ) → 便得 → ,求出积分后用 代替 u， dx x (u ) u x (u ) u x dy p ( x) y 0 （其中 y 的次数，决定方程是不是线性，一次 dx
n2 （法向量相互垂直） a b 0 即 A1A2 B1B 2 C 1C 2 0
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n1 n 2 π 面夹角的范围： 0, cos n1 n 2 2
直线方程： 1. 一般式
A1x B 1y C 1z D 1 0 A2x B 2y C 2z D 2 0
2. 一般式：将点法式化成 Ax 令
By Cz Ax 0 By 0 Cz 0 0
Ax
0
By 0 Cz 0 =D 即可 Ax By Cz D 0
3. 三点共面式，由三个点中任意两个构成两个向量，它们的叉乘即为该面的法向量，再代入三 个点中任意一点，即可求出面的方程 面面垂直 n1
������→������0
极限中没有一元中的左右极限
4. 两点式：利用两点坐标求出方向向量，再利用点向式
s1 s 2 π ） 两直线的夹角： l1与l2 的方向向量 s ,s 设夹角为 （0 cos 1 2 2 s1 s 2
线面夹角： l 的方向向量 s1 ，平面Ⅱ的法向量是 n1 ，设线面夹角 ，设 s1 与 n1 的夹角为
r与三轴的夹角，记为方 向角（，，）， r (x ,y ,z )


① cos ,cos
x r
y z ,cos r r
0
②与 r 同向的单位向量 r （也可记为 e r ）=（ cos ,cos ,cos ） ，且


cos 2 cos 2 cos 2 1




cos sin
s 1 n1 s 1 n1



第八章 多元函数的微分学及其应用 1. 邻域：数轴中 邻域 平面上 圆邻域 空间中 球邻域 2. 二元函数的极限、连续性的定义、性质与一元类似，在此不给出 注意： lim������→������ 0 lim������→������0 ������（x，y）不等于lim������→������ 0 ������（x，y）
y P( x) y Q( x) y f ( x)
通解： y 本身的特解 加上齐次的通解 例如： y1 ( x), y2 ( x), y3 ( x) 是非齐次微分方程的三个特解，且这三个解之间线性无关，则这三 个特解任意两个之差为齐次的特解，如： y1 ( x) y2 ( x), y1 ( x) y2 ( x) ， y2 ( x) y3 ( x) 都为 其齐次的特解 通 解 为 ： y C1 ( y2 ( x) y3 ( x)) C2 ( y1 ( x) y2 ( x)) y1 ( x) 其 中 y2 ( x) y3 ( x) ，

y p( y)） 11. y f ( y, y) ，令 y p, (切记，p是关于y的函数，即 ，
y dp dp dy dp dp p f ( y, p ) ， 两 边 积 分 即 可 得 到 ，∴原式可化为： p dx dy dx dx dy
dy dy ( y, C1 ) dx 两边积分得：公 dx ( y, C1 )
y x k ex Qm ( x) cosx Rm ( x) sin x ，其中 m 为 m=max{l,n},,k 按
① ②
i 不是 r 2 pr q 0 的根，则 k 取 0 i 是 r 2 pr q 0 的根，则 k 取 1
第七章空间解析几何与向量代数 1. 空间直角坐标系的建系要求：三轴方向服从右手螺旋法则 2. 卦限：x,y,z 轴正半轴所确定的卦限称为第一卦限，第二，三，四卦限在 xoy 面的上方， 按照逆时针方向确定，第五至八卦限在 xoy 面的下方，第五卦限在第一卦限下方，其余 按逆时针方向确定。
p ( y, C1 ) （因为 p 是关于 y 的函数）∴
式
（y, C )dy x C
1
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12. 二阶线性齐次微分方程：
y P（x）y Q( x) y 0 ，设 y1 ( x), y2 ( x) 是 y 的两个解，且它们之间线性无关（即两个
解 y1 ( x), y2 ( x) 之商不为常数即可） 通解： y C1 y1 C2 y2 13. 二阶线性非齐次微分方程：
线性，其余全部不为线性） 公式： y
Q( x)e P ( x ) dx dx C e P ( x ) dx （注意公式里面的正负号） （证明和另一种形式见
P264）, 8. 伯努利方程：
dy dy yn P( x) y Q( x) y n 左右除以 yn P( x) y1 n Q( x) ，令 z y1 n ， dx dx dz dy dz (1 n) y n (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) （很明显这是一个一 则 ，∴原式可化为 dx dx dx