吉林省桦甸市第八中学2020届高三数学上学期第三次月考试题理
2020届高三数学上学期第三次月考试题理_3
2020届高三数学上学期第三次月考试题理一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集为R，集合，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.2.设，那么“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件3. 已知，为虚数单位，且，则（）A. B. C. 2 D.4.若，则（A. B. C. D.5. 在中，，则边上的高为（）A. B. C. D.6. 若在上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.设均为单位向量，且它们的夹角为，当取最小值时，实数的值为（）A. B. C. D. 18.已知函数，则下列结论正确的是（）A. 的图像关于直线对称B. 的图像向左平移个单位后为偶函数图像C. 的图像关于点对称D. 的最小正周期为，且在上为增函数9.已知函数，则函数的图像只可能是（）10. 已知数列，若点均在直线上，则的前15项和等于（）A. 42B. 45C. 48D. 5111. 已知函数的图像在处的切线斜率为，且当时，此切线过点，则的值为（）A.8B. 16C. 32D. 6412.已知奇函数满足，且时，，则关于的方程在区间上的所有根之和是（）A. 10B. 8C. 6D. 4二.填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的值是 .14.设向量分别为单位向量，且夹角为，若，则.15.已知向量，若与共线，则 .16.已知数列与满足,，且，设数列的前项和为，则 .三.解答题：共70分17.（本小题12分）在中，角的对边分别是，已知.（1）求证：成等比数列；（2）若，试判断的形状.18.（本小题12分）设向量，角分别为的三个内角，若在处取得极值.（1）试求与的值；（2）当1，求的最小外接圆半径.19.（本小题12分）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求数列的前项和.20.（本小题12分）在数列中，，若函数在点处的切线过点.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式与前项和公式.21.（本小题12分）已知. 对于函数、，若存在常数.，使得，不等式都成立，则称直线是函数与的分界线.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由.22.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.2020届高三数学上学期第三次月考试题理一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集为R，集合，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.2.设，那么“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知，为虚数单位，且，则（）A. B. C. 2 D.4.若，则（A. B. C. D.5. 在中，，则边上的高为（）A. B. C. D.6. 若在上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.设均为单位向量，且它们的夹角为，当取最小值时，实数的值为（）A. B. C. D. 18.已知函数，则下列结论正确的是（）A. 的图像关于直线对称B. 的图像向左平移个单位后为偶函数图像C. 的图像关于点对称D. 的最小正周期为，且在上为增函数9.已知函数，则函数的图像只可能是（）10. 已知数列，若点均在直线上，则的前15项和等于（）A. 42B. 45C. 48D. 5111. 已知函数的图像在处的切线斜率为，且当时，此切线过点，则的值为（）A.8B. 16C. 32D. 6412.已知奇函数满足，且时，，则关于的方程在区间上的所有根之和是（）A. 10B. 8C. 6D. 4二.填空题: 本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的值是 .14.设向量分别为单位向量，且夹角为，若，则 .15.已知向量，若与共线，则 .16.已知数列与满足,，且，设数列的前项和为，则 .三.解答题：共70分17.（本小题12分）在中，角的对边分别是，已知.（1）求证：成等比数列；（2）若，试判断的形状.18.（本小题12分）设向量，角分别为的三个内角，若在处取得极值.（1）试求与的值；（2）当1，求的最小外接圆半径.19.（本小题12分）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求数列的前项和.20.（本小题12分）在数列中，，若函数在点处的切线过点.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式与前项和公式.21.（本小题12分）已知. 对于函数、，若存在常数.，使得，不等式都成立，则称直线是函数与的分界线.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由.22.（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线和的直角坐标方程；（2）若点为上任意一点，求点到的距离的取值范围.。
2020届吉林市高三第三调理科数学试题(含答案)
2020届吉林市高三第三调理科数学试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则A B =A. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z = A.i 1122+ B. i 1122-C.i 1122-+ D. i 1122-- 3. 已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为 A.B.C. 1-D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是 A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B.m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C.m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.103B.3 C.83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为 A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A.18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++= A.1318B.1318或1936C.139D.1369. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六正视图俯视图侧视图边形的概率为A.B.413C. 7D. 4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆的面积为23，则双曲线的离心率为A.B. 2C.D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） .14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++的值等于 .三、解答题：共70分。
吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试(4月) 数学(理) Word版含答案
吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则A B =IA. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z =A. i 1122+B. i 1122-C. i 1122-+D. i 1122--3.已知向量a b (==r r ，则向量b r 在向量a r方向上的投影为A.B.C. 1-D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B.m ∥n m n ,,αβ⊥⊥★ 保 密C. m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. 103B. 3C. 83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A. 18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++= A.1318B.1318或1936C.139D.1369. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如 图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为A.B.413ABCD EFA B CD E F正视图俯视图侧视图C. 7D.4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆2，则双曲线的离心率为A.B. 2C.D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） . 14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++L L 的值等于 .三、解答题：共70分。
吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试(4月)数学(理)【带答案】
吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则A B =IA. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z =A.i 1122+ B. i 1122-C. i 1122-+D. i 1122--3. 已知向量a b (3,1),3)==r r ，则向量b r 在向量a r方向上的投影为A. 3-B.3 C. 1- D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B. m ∥n m n ,,αβ⊥⊥★ 保 密C. m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A. 103B. 3C. 83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A. 18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=A. 1318B. 1318或1936C. 139D. 136 9. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时， 介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三 角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如 图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正 六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为 A.213B.413ABCD EFA B CD E F2221正视图俯视图侧视图C. 277D.4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆223，则双曲线的离心率为 A.3 B. 2 C. 5D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） . 14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++L L 的值等于 .三、解答题：共70分。
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x ∈N }，则A ∩B =( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是( ) ①y =|sin x|；②y =cos (2x +π3)；③y =tan 2x .A.0B.1C.2D.33. 下列向量中不是单位向量的是( ) A.(1,0) B.(1,1)C.(cos α,sin α)D.a→|a →|(|a →|≠0)4. 为了得到函数y =cos (12x +π4)的图象，可将函数y =cos 12x 的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π2个单位D.向右平移π2个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cos α<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15=30，则a 22−2a 16的值为( ) A.−10 B.−20C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞）是单调增函数，若f (1−a )<f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A.−1<a <3 B.a <−1或a >3 C.−3<a <1D.a <−3或a >18. 已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−3e 2→，且a →⊥b →，则λ=( ) A.−32 B.23C.14D.789. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.y =(e x −1e x +1)cos x B.y =2|x|−x 2−2 C.y =2|x|−|x|+2D.y =(x 2−1)cos x10. 某兴趣小组对函数f (x )的性质进行研究，发现函数f (x )是偶函数，在定义域R 上满足f (x +1)=f (x −1)+f (1)，且在区间[−1,0]为减函数．则f (−3)与f (−52)的关系为( )A.f (−3)≥f (−52) B.f (−3)>f (−52) C.f (−3)≤f (−52) D.f (−3)<f (−52)11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则cos (α−β)的值为( )A.2425 B.1C.725D.012. 已知函数f (x )={ln x,x ≥1,x e x ,x <1,g (x )=kx +f ′(2)，对∀x 1∈R ，∃x 2∈[−3,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则k 的取值范围是( )A.(−∞,−13e −16] B.[13e +16,+∞)C.[−13e−16,13e+16]D.(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞)二、填空题已知复数z =2−3i ，则|z +1|=________.已知函数f(x)=a 1−x (a >0且a ≠1），若f (2021)>f (2020)，则实数a 的取值范围是________.有一个数阵排列如下：则第40行从左至右第6个数字为________.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC ，经测量得AB =30m ，AC =40m ，BC =10√13m ，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE （其中点D 在边AB 上，点E 在边AC 上），若DE 恰好将该草坪的面积平分，则D ，E 两点间的最小距离为________m ．三、解答题已知数列{b n }满足b 1=1，b n+1=12b n . (1)求{b n }的通项公式；(2)求b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n 的值．已知函数f (x )=2sin x cos (x −π3)，x ∈R .(1)求函数f (x )的对称中心；(2)若存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f (x 0)<m 成立，求实数m 的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边， √3a =c sin B +√3b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若b =4，且△ABC 的面积等于4√3，求a ，c 的值．已知函数f (x )=13ax 3+2a+12x 2+3x .(1)当a =2时，求函数f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1=3，且满足a n+1=2a n +2n+1−1. (1)设b n =a n −12n，证明{b n }是等差数列；(2)求数列{a n −1}的前n 项和S n .设函数f (x )=m ln x −2x .(1)当m =2时，求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线；(2)当m =1时，曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线与y =x 2相切，求满足条件的x 0的个数．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x∈N}，∴A∩B={0,1,2,3}.故选D.2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数性质求各自的最小正周期即可.【解答】解：①y=|sin x|的周期为y=sin x的周期的一半，故y=|sin x|的最小正周期为T=2π2=π；②y=cos(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π；③y=tan2x的最小正周期为T=π2，故最小正周期为π的函数有2个.故选C．3.【答案】B【考点】单位向量向量的模同角三角函数基本关系的运用【解析】分别计算各个选项向量的模,看是否为1即可. 【解答】解：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.由题意可知，选项A，C，D中向量的模均为1，所以均为单位向量；选项B中向量的模为2+12=√2，不是单位向量.故选B.4.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象变换得解.【解答】解：∵y=cos(12x+π4)=cos12(x+π2)，∴将函数y=cos12x向左平移π2个单位即可得到函数y=cos(12x+π4)的图象.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数值的符号【解析】利用余弦函数在各象限的符号得解.【解答】解：由角α的终边在第二、三象限，可以得到cosα<0，而当cosα<0时，角α的终边可能在x轴的负半轴上，不一定在第二、三象限，所以“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】A【考点】等差中项等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质求出a10，再次利用性质化简求值即可.【解答】解：由等差数列的性质可知：a5+a10+a15=3a10=30，∴a10=10，∴ a 22−2a 16=a 22−(a 10+a 22)=−a 10=−10. 故选A . 7.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】直接利用函数的奇偶性及单调性，构造不等式即可. 【解答】解：由函数f (x )为偶函数，且f (1−a )<f (2)，得：f(|1−a |)<f(2). 又因为函数f (x )在区间[0,+∞)是单调增函数， 所以|1−a |<2，解得−1<a <3. 故选A . 8.【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】根据条件便可以得到|e 1→|=1，|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12，而根据a →=e 1→+λe 2→与b→=2e 1→−3e 2→垂直，从而有(e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=0，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．【解答】解：根据题意，得|e 1→|=|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12. ∵ a →⊥b →，∴ (e 1→+λe 2→)⊥(2e 1→−3e 2→)， ∴ (e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→) =2e 1→2+(2λ−3)e 1→⋅e 2→−3λe 2→2=2+12(2λ−3)−3λ=0， 解得：λ=14． 故选C ． 9.【答案】 B【考点】 函数的图象 【解析】利用特殊得函数值，排除即可. 【解答】解：由图象可知：f (0)<0，A ，当x =0时，y =1−11+1×cos 0=0，故A 错误； C ，当x =0时，y =20−0+2>0，故C 错误； D ，令y =(x 2−1)cos x =0， 解得x =±1，或cos x =0， 即x =±1或x =π2+kπ，k ∈Z ， 即该函数的零点个数大于2，故D 错误. 故选B . 10.【答案】 B【考点】 函数的周期性奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】首先求出f (1)，再判断函数的周期，再结合单调性即可比较大小. 【解答】解：令x =0，则f(1)=f(−1)+f(1)， 又因为f (x )是偶函数，则f (1)=f (−1)， 所以f (1)=0，所以f(x +1)=f(x −1)，即f(x +2)=f(x)， 故函数f (x )为周期函数，且周期为2， 所以f (−3)=f (−1)，f (−52)=f (−12). 又函数f (x )在区间[−1,0]为减函数， 则f (−1)>f (−12)，即f(−3)>f (−52). 故选B . 11. 【答案】 A 【考点】 诱导公式两角和与差的余弦公式 同角三角函数基本关系的运用【解析】设出大正方形边长，由面积比得到小正方形边长，再结合边长关系，用三角函数表示，再利用三角恒等变化化简，即可求出. 【解答】解：设大正方形的边长为1，由于面积之比为1：25， 可得小正方形的边长为15，则cos α−sin α=15， sin β−cos β=15， 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β， ∴ (cos α−sin α)(sin β−cos β)=cos αsin β−sin αsin β−cos αcos β+sin αcos β =sin 2β+cos 2β−cos (α−β) =1−cos (α−β)=125，∴ cos (α−β)=2425. 故选A ． 12.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的最值 函数恒成立问题【解析】首先根据题意将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，利用导数求出f(x)min ，再对k 讨论求出g(x)min ，代入不等式即可求解. 【解答】解：由题意可知，f(x)min ≥g(x)min . 因为f(x)={ln x,x ≥1,x e x ,x <1.所以当x ≥1时，f(x)≥0， 当x <1时，f ′(x)=(x +1)e x ，若x <−1时，f ′(x)<0，f (x )为减函数； 若−1<x <1时，f ′(x)>0，f (x )为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e <0， 所以f(x)min =−1e .当x >1时，f ′(x)=1x ，f ′(2)=12，所以g(x)=kx +12.若k ≥0时，g(x)min =g(−3)=−3k +12≤−1e，解得k ≥13e+16；若k <0时，g(x)min =g(3)=3k +12≤−1e ，解得k ≤−13e −16， 所以k 的取值范围是(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞). 故选D .二、填空题【答案】3√2【考点】 复数的模 【解析】先求出z +1，再利用复数的模的运算求解即可. 【解答】解：∵ z =2−3i ，∴ |z +1|=|3−3i |=√32+(−3)2=3√2. 故答案为：3√2. 【答案】 (0,1) 【考点】指数函数单调性的应用 【解析】先由f (2021)>f (2020)确定函数的单调性，然后对函数进行变形，最终确定a 的取值范围. 【解答】解：∵ f (2021)>f (2020)， ∴ 函数f (x )=a 1−x =(1a )x−1为增函数，∴ 1a >1，即0<a <1. 故答案为：(0,1). 【答案】 1030 【考点】 数列的应用 数列的求和等差数列的前n 项和【解析】根据已知寻找规律，第一行第6个数是16，第二行第6个数是23，从而确定第40行的第6个数. 【解答】解：观察每行的第6个数可知：第一行的第6个数是16，第二行的第6个数是23，通过计算第三行的第6个数是31， 则第40行的第6个数为：16+7+8+9+10+⋯+45 =16+39(7+45)2=1030.故答案为：1030.【答案】10√6 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理【解析】先利用余弦定理求出A 的余弦值，再利用面积相等求出AD ⋅AE ，最后再利用余弦定理以及重要不等式计算D,E 之间的最小距离即可. 【解答】解：在三角形ABC 中，由余弦定理得： cos A =AB 2+AC 2−BC 22AB ⋅AC=302+402−(10√13)22×30×40=12.由题意知：S △ABC =12AB ⋅BC sin A =2S △DAE =2×12AD ⋅AE sin A ，所以AD ⋅AE =12AB ⋅AC =12×30×40=600.在三角形ADE 中，由余弦定理得： cos A =AD 2+AE 2−DE 22AD⋅AE=12，所以DE 2=AD 2+AE 2−600≥2AD ⋅AE −600=1200−600=600， 当且仅当AD =AE 时等号成立， 所以DE ≥√600=10√6.故D ，E 两点间的最小距离为10√6m . 故答案为：10√6. 三、解答题 【答案】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ，则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n]. 【考点】 数列递推式等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 【解答】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列，∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n]1−14=23[1−(14)n]. 【答案】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32.令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) . (2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【答案】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.②联立①②，解得a =c =4． 【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 【解答】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ， 化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.② 联立①②，解得a =c =4．【答案】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ， f (x )的极大值为f (−32)=−98，f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无无【解答】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)，f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ，f (x )的极大值为f (−32)=−98， f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【答案】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ，所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1， 所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【考点】 数列的求和 等差数列 【解析】 【解答】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n+2n+1−22n+1=a n +2n−12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n+1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【答案】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e−32−4<0.当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e 2)=−8e 4−4e 2+1=e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2，k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2．(2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e )=−8e −4e +1 =e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个．。
吉林省吉林市普通中学2020年高三数学第三次调研考试题 理
吉林省吉林市普通中学2020年高三数学第三次调研考试题 理本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1z i =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①||z =；②1z i =-；③z 的虚部为i . 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 33． 若1sin ,3α=且2παπ<<，则sin2α=A ．B ．C ．D ． 4. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为 n S ，则n S =A. (1)2n n + B. 2(1)2n +C. 212n +D.(3)4n n + 5． 若1()nx x-的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ． 462-B ． 462C ． 792D ． 792-6． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.12018B.12019 C. 20172018D.201820197． 10|1|x dx -=⎰A ．12B ． 1C ． 2D ． 38． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)1,(,1,0)2, 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为A. B.C.D.9． 设曲线()cos (*)f xm x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为10．平行四边形ABCD 中，2,1,1,AB AD AB AD ===-u u u r u u u r g 点M 在边CD 上，则MA MB u u u r u u u rg 的最大值为 A. 2B. 1C. 5D.111．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n n S S -的最大值与最小值的比值为A. 125-B. 107-C.109D.12512．已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（ln x 是以e 为底的自然对数， 2.71828e =K ），若存 在实数,()m n m n <，满足()()f m f n =，则n m -的取值范围为A. 2(0,3)e +B. 2(4,1]e -C. 2[52ln 2,1]e --D. [52ln2,4)-二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
吉林桦甸市八中2020届高三文科数学上学期第三次月考卷附答案解析
（2）求证:平面 MOC 平面VAB
22.已知函数 f x ax ln x 1 . (1).若 a 1 ,求函数 f x 的单调区间； (2).对任意的 x 0 ,不等式 f x ex 恒成立,求实数 a 的取值范围.
4
文科数学 参考答案
一、选择题
1.答案：A
2
18.已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边，且 a cos C (c 3b) cos A 0
（1）求 cos A 的值；
（2）若 △ABC 的面积为 2 ，且 b c 2 ，求 a 的值.
19.已知函数 f (x) 2 3 sin(x π ) cos(x π ) sin 2x a 的最大值为 1
2
sin
2x
2π 3
x 0,
π 2
,
2x
2π 3
2π 3
,
5π 3
当
2x
2π 3
2π 3
时，
sin
2x
2π 3
3 ， g(x) 取最大值 2
3 1
6
当
2x
2π 3
3π 2
时，
sin
2x
2π 3
所以 MO PVB ,因为 MO 面 MOC ,VB 平面 MOC ,
所以VB P 平面 MOC （2）证明: AC BC ,O 是 AB 的中点,
所以 AB OC ,又因为平面VAB 平面 ABC ,且 OC 平面 ABC ,
吉林省桦甸市第八中学2020届高三上学期第三次月考数学试卷(理)
吉林省桦甸市第八中学2020届高三上学期第三次月考数学试卷（理）第I 卷（共60分）一. 选择题：（本题包括12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意） 1.已知集合}082|{2≤--=x x x M ，集合}1|{≥=x x N ，则=N M （ ） A. }42|{≤≤-x x B.}1|{≥x x C.}41|{≤≤x x D.}2|{-≥x x 2.i 为虚数单位，复数21iz i =-在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设R ∈θ，则“π6θ=”是“21sin =θ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在等差数列{}n a 中,已知4826a a +=,则该数列前11项和11S =( ) A.58 B.88C.143D.1765.若π1cos()42θ-=,则sin 2θ= ( )A.12-B.-C.126.函数)y x ωϕ=+其中(0,0π)ωϕ><<，的图象的一部分如图所示，则( )A. π3π,84ωϕ==B. ππ,84ωϕ==C.ππ,42ωϕ==D.π3π,44ωϕ==7.已知0,0,2a b a b >>+=,则14y a b=+的最小值是( ) A.72 B.4 C.92D.58.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为（ ）A ．1603 B ．160 C ．2563D ．649.已知ABC △是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =，则AD AP ⋅=( )A.B.1C.D. 310.函数3)y x x =+的图象大致为( )11.函数3()log sin πf x x x =-在区间[]2,3-上零点的个数为( ) A.6B.5C.7D.812.若函数1()sin 2sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题 共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届吉林省吉林市高三第三次调研测试(4月)数学(理)试题
4．已知 为两条不重合直线， 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件是（）
A． ∥ B． ∥
C． ∥ ∥ D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B．
C． D．
6．函数 的对称轴不可能为（）
A． B． C． D．
7．已知 为定义在 上的奇函数，且满足 当 时， ，则 （）
【详解】
由 ，得 ，
所以， .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题.
3．A
【分析】
投影即为 ，利用数量积运算即可得到结论.
【详解】
设向量 与向量 的夹角为 ，
由题意，得 ， ，
所以，向量 在向量 方向上的投影为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.
19．如图所示，在四棱锥 中， ∥ ， ，点 分别为 的中点.
（1）证明： ∥面 ；
（2）若 ，且 ，面 面 ，求二面角 的余弦值.
20．已知倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点 ，与抛物线 相交于 、 两点，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）设 为抛物线 上任意一点（异于顶点），过 做倾斜角互补的两条直线 、 ，交抛物线 于另两点 、 ，记抛物线 在点 的切线 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，求证： 与 互补.
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
（1）请完成上面 列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x ∈N }，则A ∩B =( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是( ) ①y =|sin x|；②y =cos (2x +π3)；③y =tan 2x .A.0B.1C.2D.33. 下列向量中不是单位向量的是( ) A.(1,0) B.(1,1)C.(cos α,sin α)D.a→|a →|(|a →|≠0)4. 为了得到函数y =cos (12x +π4)的图象，可将函数y =cos 12x 的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π2个单位D.向右平移π2个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cos α<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15=30，则a 22−2a 16的值为( ) A.−10 B.−20C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞）是单调增函数，若f (1−a )<f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A.−1<a <3 B.a <−1或a >3 C.−3<a <1D.a <−3或a >18. 已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−3e 2→，且a →⊥b →，则λ=( ) A.−32 B.23C.14D.789. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.y =(e x −1e x +1)cos x B.y =2|x|−x 2−2 C.y =2|x|−|x|+2D.y =(x 2−1)cos x10. 某兴趣小组对函数f (x )的性质进行研究，发现函数f (x )是偶函数，在定义域R 上满足f (x +1)=f (x −1)+f (1)，且在区间[−1,0]为减函数．则f (−3)与f (−52)的关系为( )A.f (−3)≥f (−52) B.f (−3)>f (−52) C.f (−3)≤f (−52) D.f (−3)<f (−52)11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则cos (α−β)的值为( )A.2425 B.1C.725D.012. 已知函数f (x )={ln x,x ≥1,x e x ,x <1,g (x )=kx +f ′(2)，对∀x 1∈R ，∃x 2∈[−3,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则k 的取值范围是( )A.(−∞,−13e −16] B.[13e +16,+∞)C.[−13e−16,13e+16]D.(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞)二、填空题已知复数z =2−3i ，则|z +1|=________.已知函数f(x)=a 1−x (a >0且a ≠1），若f (2021)>f (2020)，则实数a 的取值范围是________.有一个数阵排列如下：则第40行从左至右第6个数字为________.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC ，经测量得AB =30m ，AC =40m ，BC =10√13m ，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE （其中点D 在边AB 上，点E 在边AC 上），若DE 恰好将该草坪的面积平分，则D ，E 两点间的最小距离为________m ．三、解答题已知数列{b n }满足b 1=1，b n+1=12b n . (1)求{b n }的通项公式；(2)求b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n 的值．已知函数f (x )=2sin x cos (x −π3)，x ∈R .(1)求函数f (x )的对称中心；(2)若存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f (x 0)<m 成立，求实数m 的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边， √3a =c sin B +√3b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若b =4，且△ABC 的面积等于4√3，求a ，c 的值．已知函数f (x )=13ax 3+2a+12x 2+3x .(1)当a =2时，求函数f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1=3，且满足a n+1=2a n +2n+1−1. (1)设b n =a n −12n，证明{b n }是等差数列；(2)求数列{a n −1}的前n 项和S n .设函数f (x )=m ln x −2x .(1)当m =2时，求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线；(2)当m =1时，曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线与y =x 2相切，求满足条件的x 0的个数．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x∈N}，∴A∩B={0,1,2,3}.故选D.2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数性质求各自的最小正周期即可.【解答】解：①y=|sin x|的周期为y=sin x的周期的一半，故y=|sin x|的最小正周期为T=2π2=π；②y=cos(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π；③y=tan2x的最小正周期为T=π2，故最小正周期为π的函数有2个.故选C．3.【答案】B【考点】单位向量向量的模同角三角函数基本关系的运用【解析】分别计算各个选项向量的模,看是否为1即可. 【解答】解：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.由题意可知，选项A，C，D中向量的模均为1，所以均为单位向量；选项B中向量的模为2+12=√2，不是单位向量.故选B.4.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象变换得解.【解答】解：∵y=cos(12x+π4)=cos12(x+π2)，∴将函数y=cos12x向左平移π2个单位即可得到函数y=cos(12x+π4)的图象.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数值的符号【解析】利用余弦函数在各象限的符号得解.【解答】解：由角α的终边在第二、三象限，可以得到cosα<0，而当cosα<0时，角α的终边可能在x轴的负半轴上，不一定在第二、三象限，所以“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】A【考点】等差中项等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质求出a10，再次利用性质化简求值即可.【解答】解：由等差数列的性质可知：a5+a10+a15=3a10=30，∴a10=10，∴ a 22−2a 16=a 22−(a 10+a 22)=−a 10=−10. 故选A . 7.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】直接利用函数的奇偶性及单调性，构造不等式即可. 【解答】解：由函数f (x )为偶函数，且f (1−a )<f (2)，得：f(|1−a |)<f(2). 又因为函数f (x )在区间[0,+∞)是单调增函数， 所以|1−a |<2，解得−1<a <3. 故选A . 8.【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】根据条件便可以得到|e 1→|=1，|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12，而根据a →=e 1→+λe 2→与b→=2e 1→−3e 2→垂直，从而有(e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=0，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．【解答】解：根据题意，得|e 1→|=|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12. ∵ a →⊥b →，∴ (e 1→+λe 2→)⊥(2e 1→−3e 2→)， ∴ (e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→) =2e 1→2+(2λ−3)e 1→⋅e 2→−3λe 2→2=2+12(2λ−3)−3λ=0， 解得：λ=14． 故选C ． 9.【答案】 B【考点】 函数的图象 【解析】利用特殊得函数值，排除即可. 【解答】解：由图象可知：f (0)<0，A ，当x =0时，y =1−11+1×cos 0=0，故A 错误； C ，当x =0时，y =20−0+2>0，故C 错误； D ，令y =(x 2−1)cos x =0， 解得x =±1，或cos x =0， 即x =±1或x =π2+kπ，k ∈Z ， 即该函数的零点个数大于2，故D 错误. 故选B . 10.【答案】 B【考点】 函数的周期性奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】首先求出f (1)，再判断函数的周期，再结合单调性即可比较大小. 【解答】解：令x =0，则f(1)=f(−1)+f(1)， 又因为f (x )是偶函数，则f (1)=f (−1)， 所以f (1)=0，所以f(x +1)=f(x −1)，即f(x +2)=f(x)， 故函数f (x )为周期函数，且周期为2， 所以f (−3)=f (−1)，f (−52)=f (−12). 又函数f (x )在区间[−1,0]为减函数， 则f (−1)>f (−12)，即f(−3)>f (−52). 故选B . 11. 【答案】 A 【考点】 诱导公式两角和与差的余弦公式 同角三角函数基本关系的运用【解析】设出大正方形边长，由面积比得到小正方形边长，再结合边长关系，用三角函数表示，再利用三角恒等变化化简，即可求出. 【解答】解：设大正方形的边长为1，由于面积之比为1：25， 可得小正方形的边长为15，则cos α−sin α=15， sin β−cos β=15， 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β， ∴ (cos α−sin α)(sin β−cos β)=cos αsin β−sin αsin β−cos αcos β+sin αcos β =sin 2β+cos 2β−cos (α−β) =1−cos (α−β)=125，∴ cos (α−β)=2425. 故选A ． 12.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的最值 函数恒成立问题【解析】首先根据题意将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，利用导数求出f(x)min ，再对k 讨论求出g(x)min ，代入不等式即可求解. 【解答】解：由题意可知，f(x)min ≥g(x)min . 因为f(x)={ln x,x ≥1,x e x ,x <1.所以当x ≥1时，f(x)≥0， 当x <1时，f ′(x)=(x +1)e x ，若x <−1时，f ′(x)<0，f (x )为减函数； 若−1<x <1时，f ′(x)>0，f (x )为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e <0， 所以f(x)min =−1e .当x >1时，f ′(x)=1x ，f ′(2)=12，所以g(x)=kx +12.若k ≥0时，g(x)min =g(−3)=−3k +12≤−1e，解得k ≥13e+16；若k <0时，g(x)min =g(3)=3k +12≤−1e ，解得k ≤−13e −16， 所以k 的取值范围是(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞). 故选D .二、填空题【答案】3√2【考点】 复数的模 【解析】先求出z +1，再利用复数的模的运算求解即可. 【解答】解：∵ z =2−3i ，∴ |z +1|=|3−3i |=√32+(−3)2=3√2. 故答案为：3√2. 【答案】 (0,1) 【考点】指数函数单调性的应用 【解析】先由f (2021)>f (2020)确定函数的单调性，然后对函数进行变形，最终确定a 的取值范围. 【解答】解：∵ f (2021)>f (2020)， ∴ 函数f (x )=a 1−x =(1a )x−1为增函数，∴ 1a >1，即0<a <1. 故答案为：(0,1). 【答案】 1030 【考点】 数列的应用 数列的求和等差数列的前n 项和【解析】根据已知寻找规律，第一行第6个数是16，第二行第6个数是23，从而确定第40行的第6个数. 【解答】解：观察每行的第6个数可知：第一行的第6个数是16，第二行的第6个数是23，通过计算第三行的第6个数是31， 则第40行的第6个数为：16+7+8+9+10+⋯+45 =16+39(7+45)2=1030.故答案为：1030.【答案】10√6 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理【解析】先利用余弦定理求出A 的余弦值，再利用面积相等求出AD ⋅AE ，最后再利用余弦定理以及重要不等式计算D,E 之间的最小距离即可. 【解答】解：在三角形ABC 中，由余弦定理得： cos A =AB 2+AC 2−BC 22AB ⋅AC=302+402−(10√13)22×30×40=12.由题意知：S △ABC =12AB ⋅BC sin A =2S △DAE =2×12AD ⋅AE sin A ，所以AD ⋅AE =12AB ⋅AC =12×30×40=600.在三角形ADE 中，由余弦定理得： cos A =AD 2+AE 2−DE 22AD⋅AE=12，所以DE 2=AD 2+AE 2−600≥2AD ⋅AE −600=1200−600=600， 当且仅当AD =AE 时等号成立， 所以DE ≥√600=10√6.故D ，E 两点间的最小距离为10√6m . 故答案为：10√6. 三、解答题 【答案】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ，则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n]. 【考点】 数列递推式等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 【解答】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列，∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n]1−14=23[1−(14)n]. 【答案】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32.令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) . (2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【答案】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.②联立①②，解得a =c =4． 【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 【解答】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ， 化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.② 联立①②，解得a =c =4．【答案】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ， f (x )的极大值为f (−32)=−98，f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无无【解答】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)，f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ，f (x )的极大值为f (−32)=−98， f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【答案】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ，所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1， 所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【考点】 数列的求和 等差数列 【解析】 【解答】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n+2n+1−22n+1=a n +2n−12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n+1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【答案】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e−32−4<0.当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e 2)=−8e 4−4e 2+1=e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2，k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2．(2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e )=−8e −4e +1 =e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个．。
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x ∈N }，则A ∩B =( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是( ) ①y =|sin x|；②y =cos (2x +π3)；③y =tan 2x .A.0B.1C.2D.33. 下列向量中不是单位向量的是( ) A.(1,0) B.(1,1)C.(cos α,sin α)D.a→|a →|(|a →|≠0)4. 为了得到函数y =cos (12x +π4)的图象，可将函数y =cos 12x 的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π2个单位D.向右平移π2个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cos α<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15=30，则a 22−2a 16的值为( ) A.−10 B.−20C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞）是单调增函数，若f (1−a )<f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A.−1<a <3 B.a <−1或a >3 C.−3<a <1D.a <−3或a >18. 已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−3e 2→，且a →⊥b →，则λ=( ) A.−32 B.23C.14D.789. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.y =(e x −1e x +1)cos x B.y =2|x|−x 2−2 C.y =2|x|−|x|+2D.y =(x 2−1)cos x10. 某兴趣小组对函数f (x )的性质进行研究，发现函数f (x )是偶函数，在定义域R 上满足f (x +1)=f (x −1)+f (1)，且在区间[−1,0]为减函数．则f (−3)与f (−52)的关系为( )A.f (−3)≥f (−52) B.f (−3)>f (−52) C.f (−3)≤f (−52) D.f (−3)<f (−52)11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则cos (α−β)的值为( )A.2425 B.1C.725D.012. 已知函数f (x )={ln x,x ≥1,x e x ,x <1,g (x )=kx +f ′(2)，对∀x 1∈R ，∃x 2∈[−3,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则k 的取值范围是( )A.(−∞,−13e −16] B.[13e +16,+∞)C.[−13e−16,13e+16]D.(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞)二、填空题已知复数z =2−3i ，则|z +1|=________.已知函数f(x)=a 1−x (a >0且a ≠1），若f (2021)>f (2020)，则实数a 的取值范围是________.有一个数阵排列如下：则第40行从左至右第6个数字为________.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC ，经测量得AB =30m ，AC =40m ，BC =10√13m ，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE （其中点D 在边AB 上，点E 在边AC 上），若DE 恰好将该草坪的面积平分，则D ，E 两点间的最小距离为________m ．三、解答题已知数列{b n }满足b 1=1，b n+1=12b n . (1)求{b n }的通项公式；(2)求b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n 的值．已知函数f (x )=2sin x cos (x −π3)，x ∈R .(1)求函数f (x )的对称中心；(2)若存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f (x 0)<m 成立，求实数m 的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边， √3a =c sin B +√3b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若b =4，且△ABC 的面积等于4√3，求a ，c 的值．已知函数f (x )=13ax 3+2a+12x 2+3x .(1)当a =2时，求函数f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1=3，且满足a n+1=2a n +2n+1−1. (1)设b n =a n −12n，证明{b n }是等差数列；(2)求数列{a n −1}的前n 项和S n .设函数f (x )=m ln x −2x .(1)当m =2时，求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线；(2)当m =1时，曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线与y =x 2相切，求满足条件的x 0的个数．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x∈N}，∴A∩B={0,1,2,3}.故选D.2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数性质求各自的最小正周期即可.【解答】解：①y=|sin x|的周期为y=sin x的周期的一半，故y=|sin x|的最小正周期为T=2π2=π；②y=cos(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π；③y=tan2x的最小正周期为T=π2，故最小正周期为π的函数有2个.故选C．3.【答案】B【考点】单位向量向量的模同角三角函数基本关系的运用【解析】分别计算各个选项向量的模,看是否为1即可. 【解答】解：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.由题意可知，选项A，C，D中向量的模均为1，所以均为单位向量；选项B中向量的模为2+12=√2，不是单位向量.故选B.4.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象变换得解.【解答】解：∵y=cos(12x+π4)=cos12(x+π2)，∴将函数y=cos12x向左平移π2个单位即可得到函数y=cos(12x+π4)的图象.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数值的符号【解析】利用余弦函数在各象限的符号得解.【解答】解：由角α的终边在第二、三象限，可以得到cosα<0，而当cosα<0时，角α的终边可能在x轴的负半轴上，不一定在第二、三象限，所以“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】A【考点】等差中项等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质求出a10，再次利用性质化简求值即可.【解答】解：由等差数列的性质可知：a5+a10+a15=3a10=30，∴a10=10，∴ a 22−2a 16=a 22−(a 10+a 22)=−a 10=−10. 故选A . 7.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】直接利用函数的奇偶性及单调性，构造不等式即可. 【解答】解：由函数f (x )为偶函数，且f (1−a )<f (2)，得：f(|1−a |)<f(2). 又因为函数f (x )在区间[0,+∞)是单调增函数， 所以|1−a |<2，解得−1<a <3. 故选A . 8.【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】根据条件便可以得到|e 1→|=1，|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12，而根据a →=e 1→+λe 2→与b→=2e 1→−3e 2→垂直，从而有(e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=0，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．【解答】解：根据题意，得|e 1→|=|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12. ∵ a →⊥b →，∴ (e 1→+λe 2→)⊥(2e 1→−3e 2→)， ∴ (e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→) =2e 1→2+(2λ−3)e 1→⋅e 2→−3λe 2→2=2+12(2λ−3)−3λ=0， 解得：λ=14． 故选C ． 9.【答案】 B【考点】 函数的图象 【解析】利用特殊得函数值，排除即可. 【解答】解：由图象可知：f (0)<0，A ，当x =0时，y =1−11+1×cos 0=0，故A 错误； C ，当x =0时，y =20−0+2>0，故C 错误； D ，令y =(x 2−1)cos x =0， 解得x =±1，或cos x =0， 即x =±1或x =π2+kπ，k ∈Z ， 即该函数的零点个数大于2，故D 错误. 故选B . 10.【答案】 B【考点】 函数的周期性奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】首先求出f (1)，再判断函数的周期，再结合单调性即可比较大小. 【解答】解：令x =0，则f(1)=f(−1)+f(1)， 又因为f (x )是偶函数，则f (1)=f (−1)， 所以f (1)=0，所以f(x +1)=f(x −1)，即f(x +2)=f(x)， 故函数f (x )为周期函数，且周期为2， 所以f (−3)=f (−1)，f (−52)=f (−12). 又函数f (x )在区间[−1,0]为减函数， 则f (−1)>f (−12)，即f(−3)>f (−52). 故选B . 11. 【答案】 A 【考点】 诱导公式两角和与差的余弦公式 同角三角函数基本关系的运用【解析】设出大正方形边长，由面积比得到小正方形边长，再结合边长关系，用三角函数表示，再利用三角恒等变化化简，即可求出. 【解答】解：设大正方形的边长为1，由于面积之比为1：25， 可得小正方形的边长为15，则cos α−sin α=15， sin β−cos β=15， 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β， ∴ (cos α−sin α)(sin β−cos β)=cos αsin β−sin αsin β−cos αcos β+sin αcos β =sin 2β+cos 2β−cos (α−β) =1−cos (α−β)=125，∴ cos (α−β)=2425. 故选A ． 12.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的最值 函数恒成立问题【解析】首先根据题意将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，利用导数求出f(x)min ，再对k 讨论求出g(x)min ，代入不等式即可求解. 【解答】解：由题意可知，f(x)min ≥g(x)min . 因为f(x)={ln x,x ≥1,x e x ,x <1.所以当x ≥1时，f(x)≥0， 当x <1时，f ′(x)=(x +1)e x ，若x <−1时，f ′(x)<0，f (x )为减函数； 若−1<x <1时，f ′(x)>0，f (x )为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e <0， 所以f(x)min =−1e .当x >1时，f ′(x)=1x ，f ′(2)=12，所以g(x)=kx +12.若k ≥0时，g(x)min =g(−3)=−3k +12≤−1e，解得k ≥13e+16；若k <0时，g(x)min =g(3)=3k +12≤−1e ，解得k ≤−13e −16， 所以k 的取值范围是(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞). 故选D .二、填空题【答案】3√2【考点】 复数的模 【解析】先求出z +1，再利用复数的模的运算求解即可. 【解答】解：∵ z =2−3i ，∴ |z +1|=|3−3i |=√32+(−3)2=3√2. 故答案为：3√2. 【答案】 (0,1) 【考点】指数函数单调性的应用 【解析】先由f (2021)>f (2020)确定函数的单调性，然后对函数进行变形，最终确定a 的取值范围. 【解答】解：∵ f (2021)>f (2020)， ∴ 函数f (x )=a 1−x =(1a )x−1为增函数，∴ 1a >1，即0<a <1. 故答案为：(0,1). 【答案】 1030 【考点】 数列的应用 数列的求和等差数列的前n 项和【解析】根据已知寻找规律，第一行第6个数是16，第二行第6个数是23，从而确定第40行的第6个数. 【解答】解：观察每行的第6个数可知：第一行的第6个数是16，第二行的第6个数是23，通过计算第三行的第6个数是31， 则第40行的第6个数为：16+7+8+9+10+⋯+45 =16+39(7+45)2=1030.故答案为：1030.【答案】10√6 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理【解析】先利用余弦定理求出A 的余弦值，再利用面积相等求出AD ⋅AE ，最后再利用余弦定理以及重要不等式计算D,E 之间的最小距离即可. 【解答】解：在三角形ABC 中，由余弦定理得： cos A =AB 2+AC 2−BC 22AB ⋅AC=302+402−(10√13)22×30×40=12.由题意知：S △ABC =12AB ⋅BC sin A =2S △DAE =2×12AD ⋅AE sin A ，所以AD ⋅AE =12AB ⋅AC =12×30×40=600.在三角形ADE 中，由余弦定理得： cos A =AD 2+AE 2−DE 22AD⋅AE=12，所以DE 2=AD 2+AE 2−600≥2AD ⋅AE −600=1200−600=600， 当且仅当AD =AE 时等号成立， 所以DE ≥√600=10√6.故D ，E 两点间的最小距离为10√6m . 故答案为：10√6. 三、解答题 【答案】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ，则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n]. 【考点】 数列递推式等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 【解答】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列，∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n]1−14=23[1−(14)n]. 【答案】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32.令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) . (2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【答案】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.②联立①②，解得a =c =4． 【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 【解答】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ， 化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.② 联立①②，解得a =c =4．【答案】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ， f (x )的极大值为f (−32)=−98，f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无无【解答】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)，f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ，f (x )的极大值为f (−32)=−98， f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【答案】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ，所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1， 所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【考点】 数列的求和 等差数列 【解析】 【解答】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n+2n+1−22n+1=a n +2n−12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n+1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【答案】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e−32−4<0.当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e 2)=−8e 4−4e 2+1=e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2，k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2．(2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e )=−8e −4e +1 =e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个．。
吉林省桦甸市第八中学2020届高三上学期第三次月考试题
A。核心理念的多样性B.思想内涵的丰富性
C。治国措施的深刻性D.传播阶层的广泛性
5。如图为西汉农业分布图。图中信息反映出当时（ ）
A.铁犁牛耕在东北地区普遍使用
B.西南巴蜀地区的农业得到开发
—-摘自金冲及《二十世纪中国史纲》
（1）根据材料一、二并结合所学知识，概括指出德、中两国工业生产的共同特点及其原因。（17分）
（2）根据材料一、二并结合所学知识，分析德、中两国工业化建设的影响。（8分）
26（12分）阅读材料，完成下列要求。
时间
西方社会有关“中国元素"的记载
公元前1世纪
凯撒曾穿戴一件中国丝绸做成的袍子去看戏，结果在罗马引起了巨大轰动。
1.91%
A。各地经济结构差异显著B.区域一体化初露端倪
C。南北粮食结构逐渐分化D.江南地区重要性凸显
9。1885年台湾建省，刘铭传上奏称台湾“惟沿海仅数县之地",“气候未成”，闽台“本为一省”，“仍须唇齿相依".清政府依奏设“福建台湾巡抚”，并要求福建为台湾提供五年“协饷".此举( ）
A。体现了加强东南海防的战略目的B。反映了自强求富的指导思想
A。中央集权解体B.中西贸易发展C.经济结构变迁D.社会动荡加剧
11.1911年武昌起义后，各省纷纷独立，并提出召开会议组建中央政府.而在政体实践中，各省的政体模式不尽相同.根据表格可知当时中国的政治特点是( ）
省份
政体模式
湖北
民主共和制
江苏
单一的中央集权制
浙江
议会为权力核心的代议制
A。先有独立的地方民选政府,再有统一的中央政府
吉林省吉林市2020届高三第三次调研测试4月数学理Word版答案和评分标准
吉林市普通中学2019—2020学年度高中毕业班第三次调研测试理科数学参考答案与评分标准二、填空题13. - 40；14. -1; 15.45-；16.7三、解答题17. 解：（1）(sin)b C C=+Q,由正弦定理得:sin(sin)A B C C=)sin sin cosB C B C B C+=sin sinsinB C BC=-----------------3分sin0,sinC B B≠=Q即tan B=(0,),3B Bππ∈∴=Q-----------------------------------------------------------------------------------6分（2）在BCDV中，2,1BD CD==22212212cosBC D∴=+-⨯⨯⨯54cos D=-又3Aπ=，则ABCV为等边三角形，21sin23ABCS BCπ=⨯=VD-------------------8分又1sin sin2BDCS BD DC D D=⨯⨯⨯=V，sinABCDS D D∴==2sin()3Dπ+---------------------------------------------10分∴当56Dπ=时，四边形ABCD2+. ------------------------------12分18.解：（1）★保密----------------------------------------------------------------------------------------------------3分2245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯Q∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” ----------------------------5分（II ）从全校不少于120分的学生中随机抽取1人此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625= ------------------------------------------------------10分 设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)Y B :，故()200.612E Y =⨯=,()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-= --------------------12分19．解“（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH,,AB CE HAB HCE =∠=∠Q BHA CHA ∠=∠ABH ∴∆≌CEH ∆AH CH FH PC ∴=∴P ---------------------------------------------------------------------------------------2分FH ⊂Q 面,FBE PC ⊄面FBEPC ∴P 面FBE -------------------------------------------------------------------------------------------4分（2）取AD 中点O ，连PO ，OB .由PA PD =，PO AD ∴⊥Q 面PAD ⊥面ABCDPO ∴⊥面ABCD ，又由60DAB ∠=o ，AD AB = OB AD ∴⊥以,,OA OB OP 分别为,,X Y Z 轴建立如图所示空间直角坐标系 ----------------------------------------6分 设2AD =，则(1,0,0)A ，B ,(1,0,0)D -,11(0,0,1),(,0,)22P F(2,0,0)EB DA ==u u u r u u u r ，11(,)22BF =u u u r -------------------8分1(0,0,1)n =u r为面BEA 的一个法向量 ------------------------9分 设面FBE 的法向量为2000(,,)n x y z =u u r，A BCDEF Pxyz HO依题意，2200EB n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r即00002011022x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令0y =解得026.z n ==u u r----------------------------------------------------------------------10分121212,cos ,13n n n n n n ===⋅u r u u ru r u u r u r u u r-------------------------------------------------------------------12分 20.解：（1）由题意设直线AB 的方程为2p y x =+令11(,)A x y 、22(,)B x y ，联立222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22304p y py -+= --------------------------------------3分 123y y p ∴+=，根据抛物线的定义得124AB y y p p =++=，又8AB =， 48,2p p ∴==故所求抛物线方程为24x y = --------------------------------------------------------------------------------5分（2）依题意，设200(,)4x P x ，2(,)4C C x C x ，2(,)4DD x D x 设1l 的方程为200()4x y k x x -=-，与24x y =联立 消去y 得2200440x kx kx x -+-= -----------------------------------------------------------------------------7分04C x x k ∴+=，同理04D x x k +=- -----------------------------------------------------------------------8分 02C D x x x ∴+=-，直线CD 的斜率2221214()CDx x K x x -=-=1()4C D x x +012x =- ----------------------10分切线l 的斜率0012l x x K y x ='==。
高三数学上学期第三次模拟考试试题理
吉林省实验中学 高三数学上学期第三次模拟考试试题 理一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合标题问题要求的。
（1）复数2i1+i 的共轭复数为 （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1i -- （2）命题“对任意x ∈R ，都有x2≥0”的否认为（A ）对任意x ∈R ，都有x2＜0 （B ）不存在x ∈R ，使得x2＜0 （C ）存在x0∈R ，使得x20≥0 （D ）存在x0∈R ，使得x20＜0（3）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -= （A ）2-（B ）0 （C ）1（D ）2（4）设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++=（A ）578 （B ）558 （C ）18 （D ）18-（5）已知向量(sin 2)θ=-，a ，(1cos )θ=，b ，且⊥a b ，则2sin 2cos θθ+的值为 （A ）1 （B ）2（C ）12（D ）3（6）如图，设区域{}()|0101D x y x y =，，≤≤≤≤，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到暗影区域}3()|010≤≤≤≤M x y x y =，，内的概率是（A ）14 （B ）13 （C ）25 （D ）27（7）设αβγ，，为平面，m n ，为直线，则m β⊥的一个充分条件是 （A ）n m n αβαβ⊥⊥，，=（B ）m αγαγβγ⊥⊥，，=（C ）m αββγα⊥⊥⊥，，（D ）n n m αβα⊥⊥⊥，，（8）过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的 横坐标为3，|PQ|＝10，则抛物线方程是（A ）y2＝4x （B ） y2＝2x （C ） y2＝8x （D ）y2＝6x（9）已知两个实数()a b a b ≠，，满足a bae be =．y= x 31 1Ox y命题:ln ln p a a b b +=+；命题:(1)(1)0q a b ++>，则下列命题正确的是 （A ）p 真q 假 （B ）p 假q 真 （C ）p 真q 真 （D ）p 假q 假（10）已知E F ，分别是矩形ABCD 的边BC 与AD 的中点，且22BC AB ==，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A FEC -外接球的体积为 （A ）3π （B ）3π（C ）3π （D ）23π（11）若函数()cos2sin f x x a x =+在区间()62ππ，是减函数，则a 的取值范围是 （A ）()2,4（B ）(],2-∞（C ）(],4-∞ （D ）[)4,+∞（12）设双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线l 交两条渐近线于A 、B 两点，l 与双曲线的一个交点为P ，设O 为坐标原点，若OP mOA nOB =+()m n ∈R ，，且29mn =，则该双曲线的离心率为（A ）322（B ）355（C ）324（D ）89第Ⅱ卷本卷包孕必考题和选考题两部分。
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吉林省桦甸市第八中学2020届高三数学上学期第三次月考试题 理本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（共60分）一.选择题：（本题包括12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合，集合，则（ ）}082|{2≤--=x x x M }1|{≥=x x N =N M A. B. C. D.}42|{≤≤-x x }1|{≥x x }41|{≤≤x x }2|{-≥x x 2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）i 21i z i =-A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设，则“”是“”的（ ）R ∈θπ6θ=21sin =θA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等差数列中,已知,则该数列前11项和( ){}n a 4826a a +=11S =A.58B.88C.143D.1765.若,则 ( )π1cos()42θ-=sin 2θ=A. B.12-31236.函数其中，的图象的一部分如图所示，则( )22)y x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<A. B. π3π,84ωϕ==ππ,84ωϕ==C. D. ππ,42ωϕ==π3π,44ωϕ==7.已知,则的最小值是( )0,0,2a b a b >>+=14y a b=+A. B.4 C.7292D.58.我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；《》甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如上图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为（ ）A ．B ．C ．16031602563D ．649.已知是边长为2的等边三角形，D 为的中点，且，则( )ABC △BC 23BP BC = AD AP ⋅= B.1D. 310.函数的图象大致为( )3)y x x =+-A. B.C. D.11.函数在区间上零点的个数为( )3()log sin πf x x x =-[]2,3-A.6 B.5C.7D.812.若函数在上单调递增，则实数a 的取值范围是( )1()sin 2sin 4f x x x a x =--(),-∞+∞A ．B ．C ．D ． 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,1-11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题 共90分）2.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填写在题中横上）13.观察下列各式：,,,,…,由此推得：31=13321+2=333321+2+3=6333321+2+3+4=10 ．33331+2+3+n = 14.若满足约束条件则的最小值为__________．,x y 40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩2z x y =+15.已知向量与的夹角为120°，，，则________.a b 2||=1||==-2|b 16. 是定义在R 上的函数,其导函数为．若，则不等式()f x ()f x '()(),(1)2019f x f x f '>= (其中e 为自然对数的底数)的解集为 ．()2019x ef x e >三. 解答题 （本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）已知的内角的对边分别为,已知ABC △,,A B C ,,a b c 2cos (cos cos ).C a B b A c +=(1)求;C (2)若,求的周长.c ABC =△ABC △18.（本小题12分）已知函数2ππ()2sin()cos()22222x x x f x =-++（1）求的最小正周期；()f x （2）求函数的单调减区间（3）求在区间上的最大值和最小值．()f x [0,π]19. （本小题12分）已知数列的前项和满足: {}n a n n S 2n S n =（1）求数列的通项公式{}n a （2）记,求数列的前项和11n n n b a a +=⋅{}n b n n T 20. （本小题12分）设数列满足：，.{}n a 11a =121n n a a +=+（1）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.{}1n a +{}n a （2）求数列的前项和.(){}1n n a ⋅+n n T 21. （本小题12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底P ABCD -ABCD PD ⊥面,，E 是的中点，作交于点F ．ABCD PD DC =PC EF PB ⊥PB （1）证明 : 平面；//PA EDB （2）证明: 平面.PB ⊥EFD22. （本小题12分）已知函数．2()(1)3ln ,R f x x a x a =+-∈（1）当时，求在点处的切线方程及函数的单调区间；1a =()f x (1,(1))f ()f x （2）若对任意恒成立，求实数a 的取值范围[]1,,()4x e f x ∈≤理科数学参考答案一、选择题1.C2.D3.A4.C 5A 6.B7. C 8.A 9.D 10.B 11.A 12.A二、填空题13.答案：22(1)4n n +14.答案：215.答案：3216.答案： (1,)+∞三、解答题17.答案：(1)由已知及正弦定理得,,()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=即,()2cos sin sin C A B C +=故.2sin cos sin C C C =可得,1cos 2C =所以.π3C =(2)由已知1sin C 2ab =又,π3C =所以.6ab =由已知及余弦定理得,222cos 7a b ab C +-=故,2213a b +=从而.()225a b +=所以的周长为.ABC △518.答案：1. x x x f sin cos 3)(+=)cos 23sin 21(2x x +=π2sin()3x =+所以的最小正周期为． )(x f 2π2. 时，， [0,π]x ∈ ππ4π[,333x +∈当，即时，单调减． ππ4π[323x +∈,π[π]6x ∈,)(x f 当，即时，最大为2． ππ32x +=π6x =)(x f 解析：解析：19.答案：1.由于2n S n =当时, ,1n =111a S ==当时, ,2n ≥121n n n a S S n -=-=-且当时上式仍成立,1n =21n a n ∴=-2. 111111((21)(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+111111(1)2335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-= ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 20.答案：（1）时，，1n =1112n a a +=+=当时，1n >因为，121n n a a +=+所以()112221n n n a a a ++=+=+即，1121n n a a ++=+所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；{}1n a +所以，11222n n n a -+=⋅=所以.21n n a =-（2）由题意，1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 则，234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ 两式相减得： 1231121212122n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1212212n n n +-=-⋅-，()1212n n +=---⋅所以.()1122n n T n +=-⋅+解析：解析：21.答案：1.证明:连结，交于．连结．AC AC BD O EO ∵底面是正方形ABCD ∴点是的中点．在△中，是中位线，O AC PAC EO ∴//．而平面，PA EO EO ⊂EDB 且平面，PA ⊄EDB 所以,//平面PA EDB2.∵底面，且底面PD ⊥ABCD BC ⊂ABCD∴.PD ⊥BC ∵ 底面是正方形，有,ABCD DC ⊥BC ，平面，平面,PD DC D =I PD ⊂PDC DC ⊂PDC ∴ 平面．BC ⊥PDC 而平面，DE ⊂PDC ∴.DE ⊥BC 又∵,是的中点，PD CD =E PC ∴，，DE ⊥PC PC BC C =I 平面，平面.BC ⊂PBC PC ⊂PBC ∴平面．而平面，DE ⊥PBC PB ⊂PBC ∴．又，且，平面，DE ⊥PB EF ⊥PB DE EF E =I DE ⊂EFD平面，所以平面EF ⊂EFD PB ⊥EFD 解析：22.答案：(1) 当时，1a =2()(1)3ln ,(1)4f x x x f =+-=3()22,(1=1f x x f x ''=+-）则切线方程为即41(1)y x -=⨯-3y x =+当，，即时，单调递增；()0,x ∈+∞3()220f x x x '=+->x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()f x 当，，即时，单调递减．()0,x ∈+∞3()220f x x x '=+-<71x ⎛-∈ ⎝()f x (2) ．23223()22(0)a x x a f x x x x x +-'=+-=>当时，，在上单调递增．0a ≤()0f x '>()f x []1,e 不恒成立．min ()(1)4,()4f x f f x ==≤当时，设0a >2()2+23,0g x x x a x =->∵的对称轴为()g x 1,(0)302x g a =-=-<∴在上单调递增，且存在唯一使得．()g x (0,)+∞0(0,)x -∈+∞0()0g x =∴当即，在上单调递减；0(0,),()0x x g x ∈<()0f x '<()f x 0(0,)x 当时，，即，在上单调递增．0(,)x x ∈+∞()0g x >()0f x '>()f x 0(,)x +∞∴在上的最大值 ()f x []1,e []max ()max (1),()f x f f e =∴，得， 解得.(1)4()4f f e ≤⎧⎨≤⎩2(1)34e a +-≤2(1)43e a +-≥。