2017-2018学年江西省南昌三中高二上学期数学期中试卷带解析(文科)
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(文科)带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：． 【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为 ． 【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0． 所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39， 所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。
江西省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线的图像如图所示，则角是（ ）sin cos :y x l θθ=+θA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. sin 0θ<cos 0θ>【详解】结合图像易知，，， sin 0θ<cos 0θ>则角是第四象限角， θ故选：D.2．的展开式中的系数为（ ） ()()8x y x y -+36x y A ． B ．C ．D ．2828-5656-【答案】B【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数. 8()x y +8()()x y x y -+36x y 【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++ 观察可知的系数为. 36x y 6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-=-=-⨯⨯⨯故选：B.3．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ） p 0mn >q 221x y m n+=p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；0mn >0m n =>221x y m n +=而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 221x y m n+=0mn >所以是的必要不充分条件. p q 故选：B4．两平行平面分别经过坐标原点O 和点，且两平面的一个法向量，则两,αβ()1,2,3A ()1,0,1n =-平面间的距离是（ ）A B C D ．【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O 和点，,αβ(1,2,3),(1,2,3)A OA =且两平面的一个法向量，(1,0,1)n =-∴两平面间的距离 ||||n OA d n ⋅=== 故选：A5．2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的安排方法共有（ ） A ．30种 B ．40种 C ．50种 D ．60种【答案】D【分析】先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队分配到船山区与经开区，最后根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，25C 10=再将剩下的3对医疗队分配到船山区与经开区，有种不同的选派方案，2232C A 6=所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.222532C C A 60=故选：D6．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线C 2220x y x +-=l 10x y ++=P l P C 、，切点分别、，当最小时，直线PC 的方程为（ ）PA PB A B ·PC ABA ．B ．C ．D ．+=0x y 10x y --=2210x y -+=2210x y ++=【答案】B【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，进而可得直·PC AB l PC 线的方程.PC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.C ()2211x y -+=()1,0C =1r 依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ， 所以，而14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△当直线时，最小，此时最小， PC l ⊥PA PC AB ⋅所以此时，即. :=1PC y x -10x y --=故选：B.7．某奥运村有，，三个运动员生活区，其中区住有人，区住有人，区住有人A B C A 30B 15C 10已知三个区在一条直线上，位置如图所示奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员..步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（ ）A ．区B ．区C ．区D ．，两区之间A B C A B 【答案】A【分析】分类讨论，分别研究停靠点为区、区、区和，两区之间时的总路程，即可得出A B C A B 答案．【详解】若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； A 15100103004500⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； B 30100102005000⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； C 303001520012000⨯+⨯=若停靠点为区和区之间时，设距离区为米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：A B A x ， 30151001010020054500x x x x +⨯-+⨯+-=+（）（）当取最小值，故停靠点为区． 0x =A 故选：A8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若,,A B C 22221(0,0)x y a b a b -=>>AB O AC F 且，则该双曲线的离心率是（ ）BF AC ⊥2AF CF =A ．B C D ．5394【答案】B【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角','AF CF 'FAF B 三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．a c 、【详解】设左焦点为， ，连接F'AF m =','AF CF 则 ， ， ， 2FC m ='2AF a m =+'22CF a m =+'2FF c =因为，且经过原点 BF AC ⊥AB O 所以四边形 为矩形'FAF B 在Rt △中， ，代入'AF C 222'+'AF AC F C =()()()2222+3=22a m m a m ++化简得 23a m =所以在Rt △中，，代入 'AF F 222'+'AF AF F F =()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得 ，即 22179c a =e =所以选B【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件1a =-210a x y -+=20x ay --=B ．已知，O 为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，0ab ≠(,)P a b 222x y r +=m 2ax by r +=则与圆相交m C ．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N k 1322k -≤≤D ．直线的倾斜角的取值范围是sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 【答案】BD【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率、直线的方程，直线与圆的位置关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于A ，由直线与直线互相垂直，210a x y -+=20x ay --=，化为，解得或，21(1)()0a a ∴⨯+-⨯-=20a a +==0a 1- “”是“直线与直线互相垂直”的充分但不必要条件，故A 错误；∴1a =-210a x y -+=20x ay --=对于B ，因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离(,)P a b 222x y r +=222a b r +>m，可得与圆相交，故B 正确；||d r =m 对于C ，已知直线和以，为端点的线段相交，则、两个点在直10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N M N 线的两侧或直线上，10kx y k ---=则有，解可得或，故C 错误； (311)(321)0k k k k -------≤12k ≤-32k ≥对于D ，设直线的倾斜角，则,， sin 20x y α++=θtan sin [1θα=-∈-1]故的取值范围是，故D 正确. θ3[0,[,)44πππ 故选：BD .10．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） 2(n x 314A ．B ．展开式中的常数项为45 10n =C ．含的项的系数为210D ．展开式中的有理项有5项5x【答案】ABC【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为()52211C r n rr r n T x-+=-，可得.再根据公式逐个选项判断即可. 31410n =【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的()()5222221C 11C rr n r rrn r r r n nT xx x---+=-=-系数之比为，则，故，得. 31424C 3C 14n n=()()()()1312123141234n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯25500n n --=∴(n ＋5)(n －10)＝0，解得n ＝10，故A 正确；则，令，解得， ()52021101C rr r r T x-+=-52002r-=8r =则展开式中的常数项为，故B 正确； 810C 45=令，解得，则含的项的系数为，故C 正确； 52052r -=6r =5x ()66101C 210-=令，则r 为偶数，此时，故6项有理项． 520Z 2r-∈0,2,4,6,8,10r =故选：ABC11．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ） A ．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法 B ．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法 C ．任子威在范可欣的右边，共有120种排法D ．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法 【答案】ABD【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【详解】解：A 项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法， 22A 再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，44A 由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A 正确；2424A A 48=B 项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法， 33A 再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，24A由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B 正确；3234A A =72C 项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法， 35A 剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C 错误；35A =60D 项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法， 55A 任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法， 44A 44A 任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，33A 所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D 正确. 543543A -2A +A =78故选：ABD.12．为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立周年知识问答活动正在进100行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则32π38下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点的球的截面圆的面积为 ,,ABC 43πB ．异面直线与所成的角的余弦值为AD BE 916C ．连接，构成一个八面体，则该八面体的体积为 ,,AB BC CA ABCDEF ABCDEF 18D ．点 D 2【答案】ACD【分析】对A ：经过三个顶点的球的截面圆即为的外接圆，运算求解；对B ：建系，,,A B C MNG △利用空间向量处理异面直线夹角问题；对C ：八面体由三个全等的四棱锥ABCDEF和直棱柱组合而成，结合相关体积公式运算求解；,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -对D ：点到球面上的点的最小距离为，结合球的性质运算求解.D OD R -【详解】如图1，取的中点分别为，连接 ,,DE EF DF ,,M NG ,,,,,AM BN CG MN NG GM 根据题意可得：均垂直于平面，可知 ,,AM BN CG DEF ABC MNG ≅△△∵的边长为2，设的外接圆半径为r ，则MNG △MNG △sin MN 2r MGN ==∠∴的外接圆面积为r =MNG △4ππ32r =∴经过三个顶点的球的截面圆的面积为，A 正确； ,,A B C 43π八面体由三个全等的四棱锥和直棱柱组合ABCDEF ,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -而成直棱柱的底面边长为2，高ABC MNG -AM =12262ABC MNG V -=⨯⨯=设，则为的中点 EN MN H = H MN ∵平面，平面 AM ⊥DEF EH ⊂DEF ∴AM EH ⊥又∵为等边三角形且为的中点，则EMN A H MN MN EH ⊥，平面 AM MN M = ,AM MN ⊂ABNM ∴平面EH ⊥ABNM即四棱锥的高为E ABNM -EH =1243E ABNM V -=⨯=∴八面体的体积为，C 正确；ABCDEF 318E ABNM ABC MNG V V V --=+=设的中心分别为，球的球心为，由题意可得其半径 ,ABC MNG △△12,O O O =2R 则可知三点共线，连接 12,,O O O 1,O B OD则可得：212112O D O O O O O O O O OD ===+==点，D 正确；D 2-如图2，以G 为坐标原点建立空间直角坐标系则有：((()(),,2,0,0,0,A B D E -∴((,DA BE =-=- 又∵ 5cos ,8DA BE DA BE DA BE⋅==-∴异面直线与所成的角的余弦值为，B 错误；AD BE 58故选：ACD.【点睛】1.对于多面体体积问题，要理解几何体的结构特征，并灵活运用割补方法； 2.对于球相关问题，主要根据两个基本性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面圆心的连线与截面垂直.三、填空题13．若，则______．2213C P x xx -+=x =【答案】5【分析】将排列数、组合数按照公式展开，即可解出x 的值.【详解】因为，， ()22313C 3C 2x x x x x --==21P (1)x x x +=+所以，由可得，3(x -1)=2(x +1)2213C P x x x -+=解得，x =5.故答案为：5.14．各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【答案】120【分析】四个数位数字分别为，则，应用插空法求四位数个数. 1234,,,a a a a 12348a a a a +++=【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且， 1234,,,a a a a *4N a ∈N(1,2,3)i a i ∈=1234a a a a +++8=相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.310C 120=故答案为：12015．已知分别为双曲线的左、右顶点，点为双曲线上任意一点，12,A A 2222:1(0)x y C a b a b -=>>P C 记直线，直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为__________. 1PA 2PA 12,k k 122k k ⋅=C【分析】设，应用斜率两点式得到，根据为双曲线上一点即可得双曲线参()00,P x y 22202y x a=-P C 数关系，进而求其离心率【详解】依题意，设，则，，又()()12,0,,0A a A a -()00,P x y 0012002y y k k x a x a ⋅=⋅=+-22202y x a∴=-，，故，即()2222220220000222211b x a x y x y b a b a a -⎛⎫-=⇒=-= ⎪⎝⎭222b a ∴=22213b e a =+=e =16．在棱长为1的正方体中，M 是棱的中点，点P 在侧面内，若1111ABCD A B C D -1AA 11ABB A ，则的面积的最小值是________．1D P CM ⊥PBC △【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x ，y ，z 轴， 1DD 建立空间直角坐标系，则点，所以， ()1,,,[01]P y z y z ∈、，()10,0,1D ()11,,1D P y z =-因为，所以，()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为，所以，所以，1D P CM ⊥ ()11102y z -+-=21z y =-因为，所以， ()1,1,0B ()0,1,21BP y y =--，=因为，所以当时， 01y ≤≤35y =min BP =因为正方体中，平面平面，故， BC ⊥11,ABB A BP ⊂11ABB A BC BP ⊥所以()min 1=12PBC S ⨯A四、解答题17．已知的顶点. ABC A ()()()2,64,2,2,0A B C -，(1)求边的中垂线所在直线的方程； BC (2)求的面积. ABC A 【答案】(1)； 340x y +-=(2)14.【分析】（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的中垂线的斜率，最后由点斜式BC BC 写出所求方程；（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即AB C AB AB 可.【详解】（1）直线的斜率为，直线边的中垂线的斜率为，BC 2014(2)3-=--BC 3-又的中点为，BC ()1,1边的中垂线所在直线的方程为：，即； BC ()131y x -=--340x y +-=（2）直线的方程为：，即， AB 626(2)24y x --=--2100x y +-=点到直线的距离 C AB d=故的面积为. ABC A 1142S AB d =⋅=18．已知展开式的二项式系数和为512，且()(2)n f x x =-.2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-(1)求的值； 123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2)求被除的余数. ()20f 17【答案】(1) 1(2) 1【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合展开式，分别令和，求得2512n =9n =1x =2x =和，即可求解；01a =-012390a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）由，结合二项式的展开式，即可求解.999(20)(2021817)(1)f ==+=-【详解】（1）解：由展开式的二项式系数和为，可得，解得，(2)n x -5122512n =9n =则，9290129(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-令，可得，1x =90(12)1a =-=-令，可得，2x =012399(22)0a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅=-⋅+=⋅所以， 12390(1)1a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅=--+=⋅即.1231n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）解：由题意，可得，999(20)(2021817)(1)f ==+=-又由，90918890081789999999(171)1717171717(1717)1C C C C C C C +=⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+++ 所以被除的余数为.()20f 17119．如图，在四棱锥中，已知四边形是梯形，P ABCD -ABCD ，是正三角形．,,22⊥===∥AB CD AD AB AB BC CD PBC △(1)求证：；BC PA ⊥(2)当四棱锥体积最大时，二面角的大小为，求的值. P ABCD -B PA C --θcos θ【答案】(1)证明见解析； (2). 15【分析】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，可证明，由线面垂直的判定定理可证AO BC ⊥PO BC ⊥明平面PAO ，即得证；BC ⊥（2）分析可知当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大，建立空间直角坐标系，PBC ⊥P ABCD -由二面角的向量公式，计算即可.【详解】（1）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，A C ．∵，， 2AB CD =AB CD ∥∴CD 与AE 平行且相等， ∴四边形AECD 是平行四边形，又，∴四边形AECD 是矩形，∴． AD AB ⊥CE AB ⊥∴，∴是等边三角形． =AC BC AB =ABC A 取BC 的中点O ，连接AO ，则． AO BC ⊥连接PO ，∵，∴， PB PC =PO BC ⊥∵，平面PAO ，=PO AO O ⋂PO AO ⊂，∴平面PAO ，∵PA 平面PAO ，∴； BC ⊥⊂BC PA ⊥（2）由（1）知，是等边三角形，∴， ABC A CE =∴梯形ABCD 的面积为定值， S =故当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大． PBC ⊥P ABCD -∵，平面平面ABCD ，平面 PO BC ⊥PBC ⋂BC =PO ⊂PBC ∴平面ABCD ，平面ABCD ，∴.PO ⊥,OA OB ⊂,PO OA PO OB ⊥⊥∵OP ，OA ，OB 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 分别为x 轴、y 轴和z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则． (0,1,0),(0,1,0),A B C P -∴，，=(0,1,PA PB -- =(0,1,CP --设平面PAB 的法向量为，则，取，则． ()111,,n x y z =1111=0==0PA n PB n y ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 111x z ==n = 同理设平面PAC 的法向量为，则，取，则． (,,)m x y z ===0=0CP m y PA m ⋅--⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 1x z ===(1,m - 设平面PAB 与平面PAD 的夹角为，则，θ1cos =|cos<,>|=||=||||5m n m n m n ⋅θ即为所求二面角的余弦值.B PAC --20．如图，某海面上有､､三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向O A B A O 45︒处，岛在岛的正东方向处.B O 20km(1)以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，写出O O x 1km A 、的坐标，并求、两岛之间的距离；B A B (2)已知在经过、、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距O A B O 30°O 岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 20km 60︒【答案】(1)，， ()40,40A ()20,0B (2)该船有触礁的危险【分析】（1）结合图像，易得的坐标，再利用两点距离公式即可得解；,A B （2）先由待定系数法求得过、、三点的圆的方程，再求得该船航线所在直线的方程，利用O A B 点线距离公式可知该船航线与圆的位置关系，据此可解.【详解】（1）∵在的东北方向处，在的正东方向处， AO B O 20km ∴，， ()40,40A ()20,0B 由两点间的距离公式得；=（2）设过、、三点的圆的方程为，O A B 220x y Dx Ey F ++++=将､､代入上式得，解得，()0,0O ()40,40A ()20,0B 222=040+40+40+40+=020+20+=0F D E F D F ⎧⎪⎨⎪⎩=20=60=0D E F --⎧⎪⎨⎪⎩所以圆的方程为，即，故圆心为，半径2220600x y x y +--=()()2210301000x y -+-=()10,30r =设船起初所在的位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为C (10,C --， ()tan 6030tan 30︒-︒=︒=由点斜式得该船航线所在直线的方程：，l 200x -=所以圆心到：的距离为l 200x -=d+由于， 2(5700+=+21000700=>+即， 5d =+<所以该船有触礁的危险.21．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程；C (2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且F (x )C A B P AB ，是坐标原点，求面积的最大值．()2OP OA OB λλ=+-O PAB △【答案】(1)22143x y +=(2) 32【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可求出椭圆方程；2a 2b （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 元、列出韦达定理，即可表示出，再表示出点到直线的距离，根据面积公式及基本不等AB P AB 式计算可得.【详解】（1）解：由题意，又，解得，， 221=2914+=1c a a b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为；C ∴22143x y +=（2）解：设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 则，消元整理得， 22=+1+=143x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，，122634my y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m -由， ()2OP OA OB λλ=+-得，()()()()001212,2,2x y x x y y λλλλ=+-+-()()()()()0121212212122x x x my my my my λλλλλλ∴=+-=++-+=+-+， ()0122yy y λλ=+-到直线的距离P ∴ABh22112(+1)=×23+4PAB m S m ∴A 设，而在时递增，t =13y t t=+1t ≥当，即时，的最大值为．∴=1t 1=0m =PAB S A 3222．如图，已知抛物线的焦点F ，且经过点，．()2:20C y px p =>()()2,0A p m m >5AF =(1)求p 和m 的值；(2)点M ，N 在C 上，且．过点A 作，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得AM AN ⊥AD MN ⊥DQ 为定值．【答案】(1)，； 2p =4m =(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m 即可. ||252pAF p =+=p A （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据:MN x ky n =+11(,)M x y 22(,)N x y 及向量垂直的坐标表示列方程，求k 、n 数量关系，确定所过定点，再由AM AN ⊥MN B 易知在以为直径的圆上，即可证结论. AD MN ⊥D AB 【详解】（1）由抛物线定义知：，则， ||252pAF p =+=2p =又在抛物线上，则，可得. ()()4,0A m m >244m =⨯4m =（2）设，，由（1）知：，11(,)M x y 22(,)N x y (4,4)A 所以，，又，11(4,4)AM x y =-- 22(4,4)AN x y =--AM AN ⊥所以，121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320x x y y x x x x y y y y --+--=-++-++=令直线，联立，整理得，且，:MN x ky n =+2:4C y x =2440y ky n --=216160k n ∆=+>所以，，则，124y y k +=124y y n =-21212()242x x k y y n k n +=++=+，222121212()x x k y y kn y y n n =+++=综上，， 2216121632(48)(44)0n k n k n k n k ---+=--+-=当时，过定点；84n k =+:(4)8MN x k y =++()8,4B -当时，过定点，即共线，不合题意； 44n k =-:(4)4MN x k y =-+(4,4),,A M N 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， MN ()8,4B -AD MN ⊥D AB而中点为，即为定值，得证.AB ()6,0Q 2AB DQ ==。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A 等于（ ）A ．135°B ．45°C ．135°或45°D ．60° 3．设a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．＜B ．a 3＞b 3C ．＞D ．a 2＞b 24．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．148．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额 A （吨） 3 2 12 B （吨） 128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11．若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．定义算式⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若不等式（x ﹣a ）⊗（x+a ）＜1对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x 2+x ﹣2＞0的解集为 ．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 ．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD 中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD 的长；（2）求∠ADC 的度数．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm 2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm 为长度单位分米），上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm ．（1）若设版心的高为xdm ，求海报四周空白面积关于x 的函数S （x ）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2ccosA+a=2b ．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c 取最小值时，求△ABC 的面积．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．2017-2018学年高二上学期期中试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的函数特性．【分析】利用符号为（﹣1）n 与绝对值为即可得出．【解答】解：数列﹣，，，，…的一个通项公式可能是a n =（﹣1）n．故选：D ．【点评】本题考查了数列的通项公式，参考老头老娘了与计算能力，属于基础题．2．已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=，b=，B=60°，那么∠A等于（）A．135°B．45°C．135°或45°D．60°【考点】正弦定理．【分析】结合已知条件a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，可求出sinA，结合大边对大角可求得A【解答】解：a=，b=，B=60°，由正弦定理可得，a＜b A＜B=60°A=45°故选B【点评】本题考查正弦定理和大边对大角定理解三角形，属于容易题3．设a＞b，则下列不等式中恒成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a2＞b2【考点】不等式比较大小．【分析】A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．利用函数y=x3在R上单调递增即可判断出正误．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．【解答】解：A．取a=2，b=﹣1时不成立；B．由于函数y=x3在R上单调递增，∵a＞b，∴a3＞b3，成立．C．取a=2，b=1时不成立；D．取a=1，b=﹣2时不成立．故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=3，a 4=2，则a 5等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 6=3，a 4=2，∴6a 1+d=3，a 1+3d=2，解得a 1=﹣7，d=3． 则a 5=﹣7+3×4=5， 故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．[2，5]B ．（﹣∞，2]∪[5，+∞）C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．[3，5]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率， 由图象知OC 的斜率最小，OA 的斜率最大，由得，即A （1，5），此时OA 的斜率k=5，由得，即C （2，4），此时OC 的斜率k==2，即2≤≤5，则的取值范围是[2，5]，故选：A ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义是区域内的点到原点的斜率是解决本题的关键．6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，则角A 是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】直接利用余弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2=b 2+c 2﹣bc ，由余弦定理可得：cosA=，解得A=．故选：A ．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．7．设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，则S 12等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】直接利用等比数列的性质，化简求解即可．【解答】解：等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4=2，S 8=6，可得S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，也是等比数列，S 12﹣S 8===8．S 12=14． 故选：D ．【点评】本题考查等比数列的简单性质的应用，考查计算能力．8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理转化求解三角形的角的关系，判断三角形的形状即可．【解答】解：在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若，可得，可得sin2A=sin2B ． 可得2A=2B 或2A+2B=π，即：A=B 或A+B=；故选：D ．【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力．9．若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则等于（ ）A ．2B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解： =====，故选C．【点评】本题考查等差数列通项的性质，考查等差数列的求和公式，比较基础．10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为 z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z=3x+4y=6+12=18．max即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．若等差数列{an }的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，解方程可得a1，结合已知公差，代入等差数列的通项可求，判断数列的单调性和正负，即可得到所求和的最小值时n的值．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{an}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n =a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和Sn取最小值时，n=6．故选：C．【点评】等差数列与等比数列是高考考查的基本类型，本题考查等差数列的通项公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，以及等差数列的单调性和前n项和的最小值，属于中档题．12．定义算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中算式⊗：x⊗y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要条件是a＜0，△＜0构造一个关于a的不等式，是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解出即可得出．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0化为：（x+2）（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜﹣2．∴不等式x2+x﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x＞1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an（n≥1），则该数列的通项an= 2n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得，该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，由此求得它的通项公式．【解答】解：由于在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n （n ≥1），则该数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，故它的通项公式为 a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1，故答案为 2n ﹣1．【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题．15．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，a=1，c=，∠A=30°，则b 等于 1或2 ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得b 2﹣3b+2=0，进而可解得b 的值．【解答】解：∵a=1，c=，∠A=30°，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1=b 2+3﹣2×b ×，整理可得：b 2﹣3b+2=0，∴解得：b=1或2． 故答案为：1或2．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．16．下列命题中：①在△ABC 中，sinA ＞sinB ，则A ＞B ；②若a ＞0，b ＞0，a+b=4，则的最大值为3；③已知函数f （x ）是一次函数，若数列{a n }的通项公式为a n =f （n ），则该数列是等差数列；④数列{b n }的通项公式为b n =q n ，则数列{b n }的前n 项和S n =．正确的命题的序号是 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用；基本不等式；数列的函数特性；正弦定理．【分析】逐项判断．①利用正弦定理易得；②先平方在利用基本不等式即可；③由等差数列的函数特征易得；④易知当q=1时，结论不正确．【解答】解：①由正弦定理，当sinA＞sinB时，由 a＞b，故有A＞B，所以①为真；②≤9+（a+3）+（b+2）=18，所以“=”当且仅当“”成立，故②为真；③由等差数列的通项公式的函数特征知③正确；④易知，当q=1时结论不正确．总上可得①②③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查了正弦定理，基本不等式，等差数列的通项以及等比数列的前n项和问题．其中第2个命题的判断是本题难点．属于中档题．三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°．（1）求BD的长；（2）求∠ADC的度数．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）方法一：在△BCD中，由题意和正弦定理求出BD；方法二：由∠BDC=30°求出BC，利用条件和余弦定理列出方程，求出BD；（2）在△ABD中，利用条件和余弦定理求出cos∠ADB的值，结合图象求出∠ADC的度数．【解答】解：（1）方法一：在△BCD中，由正弦定理得：，即…解得BD=3…方法二：由已知得∠BDC=30°，故…由余弦定理得：BD2=CD2+BC2﹣2CDBCcos∠BCD= …∴BD=3…（2）在△ABD 中，由余弦定理得：…∴∠ADB=45° … 由已知∠BDC=30°…∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=45°+30°=75°…【点评】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查一题多解，化简、计算能力．18．已知等差数列{a n }中，a 1+a 4=10，a 3=6． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I ）利用等差数列的通项公式即可得出． （II ）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，∵a 1+a 4=10，a 3=6．∴，解得， ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．连江一中第49届田径运动会提出了“我运动、我阳光、我健康、我快乐”的口号，某同学要设计一张如图所示的竖向张贴的长方形海报进行宣传，要求版心面积为162dm2（版心是指图中的长方形阴影部分，dm为长度单位分米），上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm．（1）若设版心的高为xdm，求海报四周空白面积关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使海报四周空白面积最小，版心的高和宽该如何设计？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm，求出海报四周空白面积．（2）利用基本不等式求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知版心的高为xdm，则版心的宽为dm…故海报四周空白面积为，…即S（x）=2x++8，x＞0…（2）由基本不等式得：…当且仅当时取等号…∴要使海报四周空白面积最小，版心的高应该为18 dm、宽为9 dm…【点评】本题考查实际问题选择函数的模型，基本不等式的应用，考查计算能力．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…∵A+B+C=π，∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…∴sinA=2sinAcosC，…∵sinA≠0，∴cosC=，…又∵C是三角形的内角，∴C=．…（Ⅱ）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，…∵a+b=4，故c2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=16﹣3ab，…∴（当且仅当a=b=2时等号成立），…∴c的最小值为2，故．…方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，∴，…∴b2+c2﹣a2+ab=2b2，即 c2=a2+b2﹣ab，…∴，…又∵C是三角形的内角，∴c=．…（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4﹣a，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣ab=（a+b ）2﹣3ab ，…∴c 2=16﹣3a （4﹣a ）=3（a ﹣2）2+4，…∴当a=2时，c 的最小值为2，故． …【点评】本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．21．已知f （x ）=x 2+ax+b ，a ，b ∈R ，若f （x ）＞0的解集为{x|x ＜0或x ＞2}．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）解不等式f （x ）＜m 2﹣1． 【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）利用方程的根，列出方程组，即可求解a ，b 的值；（Ⅱ）化简不等式为乘积的形式，通过因式的根的大小对m 讨论，求解不等式的解集即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意可知，方程x 2+ax+b=0两根分别为0，2，…将两根代入方程得∴．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式f （x ）＜m 2﹣1为x 2﹣2x ＜m 2﹣1， 即[x ﹣（1﹣m ）][x ﹣（1+m ）]＜0，…∴当m=0时，1﹣m=1+m ，不等式的解集为Φ；…当m ＞0时，1﹣m ＜1+m ，不等式的解集为{x|1﹣m ＜x ＜1+m}； … 当m ＜0时，1+m ＜1﹣m ，不等式的解集为{x|1+m ＜x ＜1﹣m}．… （如上，没有“综上所述…”，不扣分）【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22．已知数列{a n }的前n 项和为S n =． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 为数列{b n }的前n 项和，其中b n =，求T n ；（Ⅲ）若存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知数列的前n 项和，利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）求数列的通项公式；（Ⅱ）把b n =变形，利用裂项相消法化简，代入S n =得答案；（Ⅲ）把a n 、T n 代入T n ﹣λa n ≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1==n ，当n=1时，a 1=S 1=1也符合上式，∴a n =n ；（Ⅱ）∵，∴=；（Ⅲ）∵存在n ∈N *，使得T n ﹣λa n ≥3λ成立，∴存在n ∈N *，使得成立，即有解，∴，而，当n=1或n=2时取等号，∴λ的取值范围为．【点评】本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．。
(新)江西省南昌市2017_2018学年高二数学上学期期中试题文
2017-2018学年上学期期中考试试卷高二数学试题(文科)一、 选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分） 1．抛物线)0(y 2≠=a ax 的焦点到其准线的距离是 ( ) A.4a B.2a C ．a D ．2a-2．双曲线2231y x -=的渐近线方程是（ ）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．y =D ．3y x =±3．已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4144.椭圆22525922=+y x 上一点P 到右准线的距离为25，则P 到左焦点的距离为( ) A.8 B.825 C.29 D.3165．已知双曲线12222=-y x 的准线经过椭圆)0(14222>=+b by x 的焦点，则=b ( ) A.3 B.5 C.3 D.26. 直线 ⎩⎨⎧+=+=ty t x 221（t 是参数）被圆922=+y x 截得的弦长等于（ ）A.512B.5109C.529D.55127.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )A.42y -42x =1B.42x -42y =1C.42y -82x =1 D.82x -42y =18.已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和 的最小值是（ ）A.3B.5C.2D.15- 9.若实数x 、y 满足： 22916144x y +=，则10x y ++的取值范围是（ ） A. [5， 15] B. [10， 15] C. [15-， 10] D. [15-， 35]10.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为︒60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则BFAF 的值等于（ ）A.5B.4C.3D.211．已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A.)33,33(-B. )3,3(-C.[ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33 D. []3,3- 12．设椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于点C ， O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为（ ） A.12 B. 13 C. 14 D. 15二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分） 13．抛物线24x y =的焦点坐标是________________.14．曲线C 1：y ＝|x |，C 2：x ＝0，C 3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧ty t x 1－＝＝(t 为参数)，则C 1，C 2，C 3围成的图形的面积为 ．15．已知椭圆：14222=+by x ，左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，若22BF AF +的最大值为5，则椭圆标准方程为___________．16．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知21F F 、是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当︒=∠6021PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________________.三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17.（10分）焦点在x 轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为3π,焦距为12,求此双曲线的方程及离心率.18.（12分）已知抛物线)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦的倾斜角为)0(πθθ<<,且与抛物线相交于A 、B 两点. （1）求证：θ2sin 2PAB =(2)求AB 的最小值.19.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为2，点在椭圆E 上． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点(2,1)P 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若AB 的中点恰好为点P ，求直线l 的方程．20．已知椭圆C ：22143x y +=，直线3:x l y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．（1）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；（2）设(1,0)A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．21.已知双曲线的中心在原点，焦点21F F 、在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-.（1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：点M 在以21F F 为直径的圆上； （3）在（2）的条件下求21MF F ∆的面积.22．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 右焦点的直线k kx y l -=:交C 于B A 、两点，P 为AB 的中点，当1=k 时OP 的斜率为．（1） 求C 的方程；（2）x 轴上是否存在点Q ，使得k 变化时总有BQO AQO ∠=∠，若存在请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．高二文科数学答案一、 选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分） 1-5 B C D A C 6-10 D A D A C 11-12 C B二．填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）13. ⎪⎭⎫⎝⎛161,0 14. 8π 15. 13422=+y x 16.3 三、简答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题，每题12分)17. 设焦点在x 轴上的双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则渐近线方程为x aby ±=.36622=+∴=b a c ①a b a b 336tan =⇒=π代入方程3622=+b a 得3,33==b a 332,192722==-∴e y x 离心率方程为 ②a b a b 33tan =⇒=π代入方程3622=+b a 得33,3==b a 2,127922==-∴e y x 离心率方程为18.（1）证明：如右图，焦点F 的坐标为F （2p,0）.设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tan θ·（x-2p）,与抛物线方程联立，消去y 并整理，得tan 2θ·x 2-(2p+ptan 2θ)x+4tan 22θ•p =0...........................2分此方程的两根应为交点A 、B 的横坐标，根据韦达定理，有x 1+x 2=θθ22tan tan 2p p +....4分 设A 、B 到抛物线的准线x=-2p的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x 1+x 2+p=θ2sin 2p.........................6分 （2）解析：因|AB|=θ2sin 2p 的定义域是0<θ<π，又sin 2θ≤1， 所以，当θ=2π时，|AB|有最小值2p................................12分19．【答案】（1）22184x y +=；（2）03=-+y x . 解：（1）由题得22223,12c a a b=+=，又222a b c =+ ， 解得228,4a b ==，∴椭圆方程为：22184x y +=............6 （2）设直线的斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，∴222211221,18484x y x y +=+= ， 两式相减得12121212()2()0y y x x y y x x -+++=-，∵P 是AB 中点，∴121212124,2,y y x x y y k x x -+=+==- ，代入上式得：440k += ，解得1k =- ，∴直线:30l x y +-= (12)20．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，x －3y ＋9＝0；（2）833(,)5P -． 解：（Ⅰ）C ：2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0．（Ⅱ）设(2cos ,3sin )P θθ，则22||(2cos 1)(3sin )2cos AP θθθ=-+=-， P 到直线l 的距离|2cos 3sin 9|2cos 3sin 922d θθθθ-+-+==． 由|AP|＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得3sin 5θ=，4cos 5θ=-． 故833(,)5P -．19. 【答案】(1)16622=-y x （2）见解析（3）6 试题解析：离心率为2=e ，双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为)0(22≠=-λλy x点()10,4-在曲线上，代入得6=λ，16622=-∴y x （2）证明： 点),3(m M 在双曲线上，692=-∴m)0,32(),0,32(21F F -03129129221=+-=+-=⋅∴m MF MF 21MF MF ⊥∴∴点M 在以21F F为直径的圆上。
【精品】2018学年江西省南昌三中高二上学期期中数学试卷和解析
2018-2019学年江西省南昌三中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．3．（5分）直线x=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截弦长等于，则a的值为（）A．﹣1或﹣3 B．或C．1或3 D．4．（5分）已知平面a和直线l，则a内至少有一条直线与l（）A．平行B．相交C．垂直D．异面5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．97．（5分）P为△ABC所在平面外一点，PB=PC，P在平面ABC上的射影必在△ABC的（）A．BC边的垂直平分线上B．BC边的高线上C．BC边的中线上D．∠BAC的角平分线上8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个9．（5分）已知集合．用card（M）表示集合M中的元素个数，若card（A∩B）=2，则m的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa211．（5分）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个结论，其中错误的代号是（）A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半12．（5分）已知P是直线y=x+1上一点，M，N分别是圆C1：（x﹣3）2+（y+3）2=1与圆C2：（x+4）2+（y﹣4）2=1上的点则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每小题5分，共20分）。
【精品】2018最新学年江西省南昌市高二上学期期中数学试卷和解析文科甲卷
2018学年江西省南昌市高二（上）期中数学试卷（文科）（甲卷）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．（5分）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）
A．B．C．D．
2．（5分）已知直线l：y+m（x+1）=0与直线my﹣（2m+1）x=1平行，则直线l在x轴上的截距是（）
A．1B．C．﹣1D．﹣2
3．（5分）若变量x，y满足，则z=x﹣2y的最大值等于（）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）若圆x2+y2+ax+by+c=0与圆x2+y2=1关于直线y=2x﹣1对称，则a+b=（）
A．B．C．D．
5．（5分）过点（0，1）引x2+y2﹣4x+3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为（）
A．B．C．D．
6．（5分）圆x2+（y﹣2）2=1的圆心到直线x+y﹣1=0的距离为（）
A．B．1C．D．
7．（5分）若双曲线的渐近线与抛物线y=x2+2有公共点，则此双曲线的
离心率的取值范围是（）
A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（1，3]D．（1，3）
8．（5分）已知F1、F2分别为椭圆C的两个焦点，点B为其短轴的一个端点，若△BF1F2为等边三角形，则该椭圆的离心率为（）
A．2B．C．D．
9．（5分）若m＞1，则方程表示（）。
江西省南昌市高二上学期期中考试数学试卷 有答案
江西省南昌市第三高二上学期期中考试数学试卷一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)1.抛物线2x ay =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ）A ．8-B ．8C ．18D ． 18-2.直线03=-y x 截圆4)2(22=+-y x 所得弦长是（ ）A ．1B ．2C ．3 D．3.若直线的参数方程为12()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为( )..A 12 .B 12-.C 2 .D 2-4.双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2 （B ）2 （C ）3 （D ）235.抛物线()022>-=p px y 的焦点恰好与椭圆15922=+y x 的一个焦点重合，则=p （ ） 8.4.2.1.D C B A6.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误！未找到引用源。
,则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±7.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线，交椭圆于P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ） A．2 B．3 C ．12D ．138.在同一坐标系中，方程22221a x b y +=与20(0)ax by a b +=>>的曲线大致是（ ）9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点)0,2(1-F ，)0,2(2F ，椭圆的一个短轴端点为B ，直线B F 1与双曲线的一条渐近线平行，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，则21e e +取值范围为（ ）A.),2[+∞B. ),4[+∞C.),4(+∞D. ),2(+∞10.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( )A. B.1920 C.910 D.12二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)11. 椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于________ ； 12.已知点()1,3和()6,4-在直线023=--a y x 的两侧，则a 的取值范围是 ；13．在极坐标系中,直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点,则AOB ∠的大小为 ；14.已知定点(2,3)A 在抛物线22(0)y px p =>的内部，F 为抛物线的焦点，点Q 在抛物线上，||||AQ QF +的最小值为4，则p = ；15.如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为4,,2121=F F F F ，P 是双曲线右支上的一点，2F P y 与轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1=PQ ，则双曲线的离心率是 ．三、解答题(共6小题, ,共75分)16. (本小题满分12分)已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）。
江西省南昌市第三中学2017-2018学年上学期高二数学(文)期末试题
南昌三中2017—2018学年度上学期期末考试高二数学试卷（文）命题：刘明和 审题：周 平一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1、已知命题p ：3,0x R log x ∃∈≥，则( )A. P ⌝：3,0x R log x ∀∈≤B. P ⌝：3,0x R log x ∃∈≤C. P ⌝：3,0x R log x ∀∈<D. P ⌝：3,0x R log x ∃∈<2.下列求导运算正确的是( )A.B.C. 1(lg )ln10x x '=D. 2(cos )2sin x x x x '=-3.曲线y=214x 在点(2,1)处的切线与x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积为( ) A. 1 B. 12 C.14 D.234.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法中：①若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥; ②若,m ααβ∥∥，则m β∥ ③若m m αβ⊥，∥，则αβ⊥; ④若,m n m α⊥∥，则 n α⊥所有正确说法的序号( )A. ②③④B.①③C. ①②D. ①③④5. 命题“若a b >，则22ac bc >（,,a b c R ∈）”与它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为 （ ）A 、3B 、2C 、1D 、06.“0k <”是“方程2211x y k k+=-表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 ( ) (A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题8.如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB . DF ⊥平面PAEC . 平面PDF ⊥平面PAED . 平面PDE ⊥平面ABC9.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，平面BCD ，且，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( ) A.12B.12-C.2D.2-10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的棱长为( )A. 3B.C.D.11.三棱锥面是等腰三角形，，垂足为是PA 的中点，则的面积最大时，CB 的长是( )12.正方体棱长为点在棱BC 上，且，过O 点的直线l与直线分别交于两点，则A.B.C. 14D. 21二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若220ab +=, 则0a =_____0b = ； ((用适当的逻辑联结词“且”“或”“非” )14.已知函数()sin x f x e x =，则(0)f '= ______ ．15.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则．其中真命题的序号有______ (写出所有正确命题的序号)16．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为________． 三、解答题17.(本题10分) 已知(Ⅰ)计算的图象在点处的切线斜率；(Ⅱ)求此切线方程．18. (本题12分) 已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：x R ∀∈，244430x mx m -+-≥.若为真，求m 的取值范围．19.(本题12分)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上．（Ⅰ）求证：D 1E ⊥A 1D ；（Ⅱ）是否存在点E ，使得119B CED V -=？若存在，求出AE 的长，若不存在，请说明理由．20.(本题12分) 如图，平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，于于F求证：面AEF ；设平面AEF 交PD 于G ，求证：．21、(本题12分)如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，2BAD π∠=，12AB BC AD a ===.E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点将ABE 沿BE 折起到如图2中的位置，得到四棱锥．Ⅰ证明：平面；Ⅱ当平面平面BCDE时，四棱锥的体积为，求a 的值．22.(本题12分)一个三棱柱的三视图及直观图如图所示，分别是的中点，底面ABC ．求证：平面；求证：平面；在上是否存在一点M ，使得的长最短若存在，求出这个最短值，并指出点M 的位置；若不存在，请说明理由．A南昌三中2017—2018学年度上学期期末考试高二数学试卷（文）命题：刘明和 审题：周 平一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1、已知命题p ：3,0x R log x ∃∈≥，则( C )A. P ⌝：3,0x R log x ∀∈≤B. P ⌝：3,0x R log x ∃∈≤C. P ⌝：3,0x R log x ∀∈<D. P ⌝：3,0x R log x ∃∈<2.下列求导运算正确的是( C )A.B.C. 1(lg )ln10x x '=D. 2(cos )2sin x x x x '=-3.曲线y=214x 在点(2,1)处的切线与x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积为( B ) A. 1 B. 12 C.14 D.234.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法中：①若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥; ②若,m ααβ∥∥，则m β∥ ③若m m αβ⊥，∥，则αβ⊥; ④若,m n m α⊥∥，则 n α⊥所有正确说法的序号( B )A. ②③④B.①③C. ①②D. ①③④5. 命题“若a b >，则22ac bc >（,,a b c R ∈）”与它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为 （ B ）A 、3B 、2C 、1D 、06.“0k <”是“方程2211x y k k+=-表示双曲线”的( A )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 ( D ) (A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题8.如图，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( D )A ．BC ∥平面PDFB . DF ⊥平面PAEC . 平面PDF ⊥平面PAED . 平面PDE ⊥平面ABC9.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，平面BCD ，且，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( A )A.12B.12-C.2D.210.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的棱长为( A)A. 3B.C.D.11.三棱锥面是等腰三角形，，垂足为是PA 的中点，则的面积最大时，CB 的长是( D )A.3B.3C.3D.312.正方体棱长为点在棱BC 上，且，过O 点的直线l与直线分别交于两点，则DA.B.C. 14D. 21二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若220a b +=,则0a =__且___0b = ； ((用适当的逻辑联结词“且”“或”“非” )14.已知函数()sin x f x e x =，则(0)f '= ______ ．115.设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则．其中真命题的序号有______ (写出所有正确命题的序号)16．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为________【解】作点E 关于平面A 1B 1C 1D 1的对称点M, 点E 关于线段B 1C 的对称点N,三、解答题17.(本题10分) 已知(Ⅰ)计算的图象在点处的切线斜率；(Ⅱ)求此切线方程． 解：Ⅰ 函数的导数，，即的图象在点处的切线斜率．Ⅱ切线斜率，对应的切线方程为，即．18.(本题12分) 已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q：若为真，求m 的取值范围．解：命题p ：方程表示焦点在y 轴上的椭圆；则：．命题q：则，解得．若为真，则，解得．的取值范围是．19.(本题12分)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上．（Ⅰ）求证：D 1E ⊥A 1D ；（Ⅱ）是否存在点E ，使得119B CED V -=？若存在，求出AE 的长，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）连结AD 1．由AA 1D 1D 是正方形知AD 1⊥A 1D ∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，∴AB ⊥A 1D ，且AB∩AD 1＝A ，又E 在AB 上∴A 1D ⊥面AED 1，又D 1E Ø面AED 1，∴D 1E ⊥A 1D（Ⅱ）假设存在这样的点E ，且AE ＝x ，则BE ＝2－x ，11(2)22BCE S BE BC x ==- △， 又11B CED D BCE V V --=即119D BCE V -=，即11139BCE S DD = △，即11(2)23x -=，从而43x =．即存在这样的点E ，使得119B CED V -=，此时43AE =20.(本题12分) 如图，平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，于于F求证：面AEF ；设平面AEF 交PD 于G ，求证：． 解：为矩形平面ABCD平面PAB又平面PBC又，平面AEF ；为矩形平面ABCD平面PAD平面AEF平面PCD21、如图，在直角梯形ABCD 中，是AD 的中点，O是AC 与BE 的交点将沿BE 折起到如图2中的位置，得到四棱锥．Ⅰ证明：平面；Ⅱ当平面平面BCDE 时，四棱锥的体积为，求a 的值．解：在图1中，因为是AD 的中点，，所以，即在图2中，，从而面，由，所以面，即是四棱锥的高，根据图1得出，平行四边形BCDE 的面积，，由，得出．22、一个三棱柱的三视图及直观图如图所示，分别是的中点，底面ABC ．求证：平面；求证：平面；在上是否存在一点M ，使得的长最短若存在，求出这个最短值，并指出点M的位置；若不存在，请说明理由．证明：平面，平面ABC ，，平面，平面，分又，平面连接交于点O ，连接分 由题意可得，O 为中点，因为E 为中点，并且因为F 为的中点中点，四边形OEFG 为平行四边形分分平面平面，平面分在上存在一点M ，使得的长最短，此时沿展开，时在一条直线上．最短值为此时。
2017-2018年江西省南昌实验中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(文科)
2017-2018学年江西省南昌实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线3x+y﹣4=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）已知方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，1）3．（5分）椭圆+y2=1的离心率是（）A．B．C．D．4．（5分）直线l过点（1，0）且与直线x﹣2y+4=0平行，则l的方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=05．（5分）圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含6．（5分）直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直7．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（）A． B． C．D．8．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=±8x C．y2=4x D．y2=8x9．（5分）直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）A．8 B．4 C．2 D．410．（5分）过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．311．（5分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，4]∪[1，+∞）12．（5分）直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c 成等差数列时，直线l 1，l2与y轴围成的三角形的面积S=（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0的公共弦方程是．14．（5分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是．15．（5分）实数x，y满足条件，则3x+5y的最大值为．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△ABF2的周长为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：（1）AC边上的高BD所在直线的方程；（2）BC的垂直平分线EF所在直线的方程；（3）AB边的中线的方程．18．（12分）已知圆C过P（2，6），Q（﹣2，2）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（1）求圆C的方程．（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．19．（12分）已知双曲线．（1）求焦点F1，F2的坐标；并求出焦点F2到渐近线的距离；（2）若P为双曲线上的点且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积S．20．（12分）已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．21．（12分）已知x2+y2=9的内接三角形ABC中，A点的坐标是（﹣3，0），重心G的坐标是，求（1）直线BC的方程；（2）弦BC的长度．22．（12分）已知直线l：x=m（m＜﹣2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程．（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．2017-2018学年江西省南昌实验中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线3x+y﹣4=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：化直线为，y=﹣x+；可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα=，∴α=120°．故选：C．2．（5分）已知方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：∵方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，∴22+22﹣4a＞0∴4a＜8∴a＜2，故选：C．3．（5分）椭圆+y2=1的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆方程为+y2=1，∴a=，c==1，故椭圆+y2=1的离心率e==，故选：B．4．（5分）直线l过点（1，0）且与直线x﹣2y+4=0平行，则l的方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【解答】解：设与直线x﹣2y+4=0平行的直线l为x﹣2y+m=0，又直线l过点（1，0），∴1﹣0+m=0，解得m=﹣1．∴l的方程是x﹣2y﹣1=0．故选：A．5．（5分）圆A：x2+y2+4x+2y+1=0与圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含【解答】解：∵圆A：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心坐标A（﹣2，﹣1），半径r1==2，圆B：x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的圆心坐标B（1，3），半径r2==3，∴|AB|==5，∵|AB|=r1+r2=5，∴圆A与圆B外切．故选：C．6．（5分）直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：D．7．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线C 的渐近线方程为（）A． B． C．D．【解答】解：e==，又因为在双曲线中，c2=a2+b2，所以e2==1+=，故=，所以双曲线C：=1的渐近线方程为y=x=x故选：A．8．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=±8x C．y2=4x D．y2=8x【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为（，0）则直线l的方程为y=2（x﹣），它与y轴的交点为A（0，﹣），所以△OAF的面积为||•||=1，解得a=±4．所以抛物线方程为y2=±4x，故选：A．9．（5分）直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于（）A．8 B．4 C．2 D．4【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y+6=0化为标准方程（x+2）2+（y﹣2）2=2，∴圆心坐标为（﹣2，2），半径为，∵（﹣2，2）满足方程x﹣y+4=0，∴圆心在直线x﹣y+4=0上，∴直线x﹣y+4=0被圆x2+y2+4x﹣4y+6=0截得的弦长等于直径，即为2，故选：C．10．（5分）过圆x2+y2=1上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：设切线方程为（a＞0，b＞0），即bx+ay﹣ab=0，由圆心到直线的距离等于半径得=1，所以ab=，令t=，则有t2﹣2t≥0，t≥2，故t的最小值为2．由题意知t=|AB|，故选：C．11．（5分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[﹣4，1）B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，4]∪[1，+∞）【解答】解：根据题意，若曲线表示双曲线，则有（k+4）（k﹣1）＜0，解得﹣4＜k＜1．即k的取值范围是（﹣4，1）．故选：C．12．（5分）直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c 成等差数列时，直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=（）A．B．C．D．【解答】解：直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，∴﹣×2=﹣1，化为：b=2a．当a，b，c成等差数列时，2b=a+c，∴c=3a．∴直线l2与y轴的交点A，即A．原点到直线l 2的距离d===．∴另一条直角边==3×．直线l1，l2与y轴围成的三角形的面积S=3××=．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0的公共弦方程是x ﹣y﹣3=0（1≤x≤3）．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣2x﹣3=0，圆C2：x2+y2﹣4x+2y+3=0∴两圆方程相减，得2x﹣2y﹣6=0，化简得x﹣y﹣3=0，即为两圆公共弦所在直线的方程．∵联解，得或，∴两圆的交点坐标分别为A（1，﹣2），B（3，0）．因此，两圆的公共弦方程是x﹣y﹣3=0（1≤x≤3）．故答案为：x﹣y﹣3=0（1≤x≤3）14．（5分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b），则由对称关系可得，解方程组可得，即对称点为（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，﹣3）．15．（5分）实数x，y满足条件，则3x+5y的最大值为12．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），设z=3x+5y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C（4，0）时，直线y=的截距最大，此时z最大．此时z的最大值为z=3×4﹣0=12，故答案为：12．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于A、B两点，则△ABF2的周长为16．【解答】解：由椭圆的焦点在x轴上，则a=4，b=2，c=2，则椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=8．∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=16．∴△ABF2的周长16，故答案为：16．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：（1）AC边上的高BD所在直线的方程；（2）BC的垂直平分线EF所在直线的方程；（3）AB边的中线的方程．【解答】解：（1）由斜率公式易知k AC=﹣2，∴直线BD的斜率．又BD直线过点B（﹣4，0），代入点斜式易得直线BD的方程为：x﹣2y+4=0．（2）∵，∴．又线段BC的中点为，∴EF所在直线的方程为y﹣2=﹣（x+）．整理得所求的直线方程为：6x+8y﹣1=0．（3）∵AB的中点为M（0，﹣3），k CM=﹣7∴直线CM的方程为y﹣（﹣3）=﹣7（x﹣0）．即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为：7x+y+3=0，（﹣1≤x≤0）18．（12分）已知圆C过P（2，6），Q（﹣2，2）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．（1）求圆C的方程．（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求l的方程．【解答】解：（1）方法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有，解得，故所求圆的方程为x2+y2+4x﹣12y+24=0．（2）如图所示，|AB|=4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|=2，|AC|=4．在Rt△ACD中，可得|CD|=2．当直线l的斜率不存在时，满足题意，此时方程为x=0．当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣5=kx，即kx﹣y+5=0．由点C到直线AB的距离公式：=2，得k=，此时直线l的方程为3x﹣4y+20=0．∴所求直线l的方程为x=0或3x﹣4y+20=0．19．（12分）已知双曲线．（1）求焦点F1，F2的坐标；并求出焦点F2到渐近线的距离；（2）若P为双曲线上的点且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积S．【解答】解：（1）由题意得：a2=9，b2=16，∴c=5，焦点F1，F2的坐标：F1（﹣5，0），F2（5，0）；焦点F2到渐近线：y=的距离：d=；（2）设|PF1|=m，|PF2|=n由题知：m﹣n=6①②由①②得所以所以20．（12分）已知椭圆的两个焦点，点在此椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意知：，∴椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线AB过点M（1，0），∴设直线AB的方程为x=my+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x得：（m2+3）y2+2my﹣2=0，∴，∵N（3，2），∴，∴==为定值．21．（12分）已知x2+y2=9的内接三角形ABC中，A点的坐标是（﹣3，0），重心G的坐标是，求（1）直线BC的方程；（2）弦BC的长度．【解答】解：（1）根据题意，设B（x1，y1），C（x2，y2），△ABC中，A点的坐标是（﹣3，0），重心G的坐标是，则有，则有x1+x2=，y1+y2=﹣3，所以BC中点坐标为（，﹣），又由B（x 1，y1），C（x2，y2）在圆上，则有，则有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2）=0，又由x1+x2=，y1+y2=﹣3，则有=，故K BC=，则由所以BC所在直线方程为y+=（x﹣）即4x﹣8y﹣15=0；（2）由（1）可得，直线BC的方程为4x﹣8y﹣15=0，则圆心到BC所在直线的距离d==，所以弦BC的长度为l=2×=2×=2×=．22．（12分）已知直线l：x=m（m＜﹣2）与x轴交于A点，动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程．（2）若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点，问是否存在以MN为直径的圆过点A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设动圆的圆心M坐标（x 0，y0），∵动圆M与直线l相切，并且和圆O：x2+y2=4相外切，∴|x0﹣m|=，即．整理得：．∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2=（4﹣2m）x+（2﹣m）2．（2）存在以MN为直径的圆过点A．事实上，过原点倾斜角为的直线方程为y=．联立，得3x2﹣（4﹣2m）x﹣（2﹣m）2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．若存在以MN为直径的圆过点A，则，即（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）===，解得：，（舍去）．∴时，存在以MN为直径的圆过点A．。
江西省南昌三中2017-2018学年高二上学期期中考试数(文)试卷含答案
南昌三中2017-2018学年度上学期期中考试高二数学（文)试卷命题：胡福英 审题：周平一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）1. 直线12:220,:10l x ay a l ax y +--=+-=若12l l ∥，则a =( ） A. 1 B. -1 C.1或—1 D 。
22。
抛物线2xay =的准线方程是2y =，则a 的值为(）A ．8-B ．8C ．18D ．18- 3。
抛物线()022>-=p px y的焦点恰好与椭圆15922=+y x 的一个焦点重合，则=p （ ）A.1 B 。
2 C.3 D 。
44。
双曲线221(0)x y mn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24yx=的焦点重合，则mn 的值为（ )A 。
316 B 。
38 C 。
163 D 。
835. 已知变量x ，y ，满足约束条件，目标函数z=x+2y 的最大值为10,则实数a 的值为（ ） A 。
2 B.83C. 4D. 86。
能够使圆014222=++-+y x y x恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．537．已知F 是双曲线C :x 2－my 2＝3m (m 〉0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A 。
错误!B ．3C 。
错误!mD ．3m8.已知双曲线22221(0,0)y x a b ab-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( ）A.22136108y x -= B 。
221927y x -= C 。
22110836y x -=D.221279y x -= 9．若直线4mx ny +=和⊙O ：224x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 10。
2017-2018学年江西省南昌市实验中学高二数学上期中(文)试题
2017-2018 上学年期中卷高二数学（文）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.1•直线3x • .3y _4 =0的倾斜角是（）22. ._ ..2.已知方程x 亠y -2x 亠2y 亠a =0表示圆，则实数a 的取值范围是（）A . （2,：:）B . （ -2, •：：）C . （v ,2）D .（71）2x23椭圆y 2=1的离心率是（）1 A.-442 1B .C .—22D .524直线l 过点（1, 0）且与直线x _2 y • 4 =0平行，则I 的方程是（ ）D. x 2 y -1 =02225.圆 A : x y 4x 2y ^0 与圆 B : x •y -2x-6y ，1=0 的位置关系是（）（O 为坐标原点）的面积为 4,则抛物线方程为（A .平行B .重合C. 相交但不垂直D .垂直7.已知双曲线C 2 2yx :—■ - — =1ab5（a ■ 0,b ■ 0 ）的离心率为一，3则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）A .3 y =— x4B .4 y =— x 3C. “厶3D . yx2）8.设斜率为2的直线l 过抛物线『=ax （ a = 0 ）的焦点F ，且和y 轴交于点A ,若二OAF 0 0A . 30B . 60C . 1 200D . 1 50A . x -2 y -1 = 0B. x -2 y T = 0C. 2x y -2 = 0A •相交B .内切C.外切 D •内含26.直线h,l 2的斜率是方程x 一 3x _1=0的两根，则l 1与l 2的位置关系是（。
2017-2018学年高二上学期期中数学(文科)试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二（上）期中试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．△ABC 中，a=1，b=，A=30°，则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2．已知数列…，则2是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第19项3．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ）A ．B ．﹣2C ．2D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值是（ ）A ．55B ．95C ．100D ．不确定5．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是（ ）A ．若x ≤1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ＞1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜06．若变量x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．若0＜a ＜b ，且a+b=1，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．B ．a 2+b 2C ．2abD ．b8．△ABC 中，sinA=2sinCcosB ，那么此三角形是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．10．等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，则此数列的第n 项a n =（ ）A ．2n ﹣5B ．2n ﹣3C ．2n ﹣1D ．2n+111．设a ＞0，b ＞0．若3是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值是（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．10二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，那么a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是 ．14．已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，则a 的取值范围是 ．15．不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是 ．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinA=，b=sinB ，则a= ．三、解答题：17．若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是，求不等式ax 2﹣5x+a 2﹣1＞0的解集．18．△ABC 中，BC=7，AB=3，且=． （1）求AC 的长；（2）求∠A 的大小．19．已知{a n }是等差数列，其中a 1=25，a 4=16（1）求{a n }的通项；（2）求a 1+a 3+a 5+…+a 19值．20．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1且a 1，a 3，a 9成等比数列．（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{2a n }的前n 项和S n ．21．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．22．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式．2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．△ABC 中，a=1，b=，A=30°，则B 等于（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得，求出sinB 的值，根据B 的范围求得B 的大小．【解答】解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又 0＜B ＜π，∴B= 或，故选B ．2．已知数列…，则2是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第11项D ．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n 2﹣a n ﹣12=3从而利用等差数列通项公式a n 2=2+（n ﹣1）×3=3n ﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n 2﹣a n ﹣12=3，又∵a 12=2，∴a n 2=2+（n ﹣1）×3=3n ﹣1，令3n ﹣1=20，则n=7．故选B ．3．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则公比q=（ ）A ．B ．﹣2C ．2D ．【考点】等比数列．【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．【解答】解：∵{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，设出等比数列的公比是q ，∴a 5=a 2•q 3，∴==，∴q=，故选：D ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值是（ ）A ．55B ．95C ．100D ．不确定【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的性质，结合a 3+a 17=10求出a 10，代入前19项的和得答案．【解答】解：在等差数列{a n }中，由a 3+a 17=10，得2a 10=10，∴a 10=5．∴．故选：B ．5．命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是（ ）A ．若x ≤1，则x ≤0B ．若x ≤1，则x ＞0C ．若x ＞1，则x ≤0D ．若x ＜1，则x ＜0【考点】四种命题．【分析】根据否命题的定义：“若p 则q”的否命题是：“若￢p ，则￢q”，所以应该选A ．【解答】解：根据否命题的定义，x ＞1的否定是：x ≤1；x ＞0的否定是：x ≤0，所以命题“若x ＞1，则x ＞0”的否命题是：“若x ≤1，则x ≤0”．故选A ．6．若变量x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣2y 的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x ﹣2y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．【解答】解：画出可行域（如图），z=x ﹣2y ⇒y=x ﹣z ，由图可知，当直线l 经过点A （1，﹣1）时，z 最大，且最大值为z max =1﹣2×（﹣1）=3．故选：B ．7．若0＜a＜b，且a+b=1，则在下列四个选项中，较大的是（）A．B．a2+b2 C．2ab D．b【考点】不等式比较大小．【分析】根据两个数的和是1，和两个数的大小关系，得到b和的大小关系，根据基本不等式得到B，C两个选项的大小关系，再比较B，D的大小．【解答】解：∵a+b=10＜a＜b所以a＜b＞所以D答案＞A答案；C答案一定不大于B答案；B：a2+b2=（1﹣b）2+b2，D：b，所以B﹣D=（1﹣b）2+b2﹣b=2b2﹣3b+1=（b﹣1）（2b﹣1），又＜b＜1，∴B﹣D=（b﹣1）（2b﹣1）＜0，即B＜D；所以D最大故选D．8．△ABC中，sinA=2sinCcosB，那么此三角形是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】由三角形的内角和及诱导公式得到sinA=sin（B+C），右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再根据已知的等式，合并化简后，再利用两角和与差的正弦函数公式得到sin（B﹣C）=0，由B与C都为三角形的内角，可得B=C，进而得到三角形为等腰三角形．【解答】解：∵A+B+C=π，即A=π﹣（B+C），∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．又sinA=2cosBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC．变形得：sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0．又B和C都为三角形内角，∴B=C，则三角形为等腰三角形．故选C．9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】根据等差数列的前n 项和公式，用a 1和d 分别表示出s 3与s 6，代入中，整理得a 1=2d ，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的求和公式可得且d ≠0，∴，故选A ．10．等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，则此数列的第n 项a n =（ ）A ．2n ﹣5B ．2n ﹣3C ．2n ﹣1D ．2n+1【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意结合等差数列的性质求得a ，则等差数列的首项和公差可求，代入通项公式得答案．【解答】解：∵等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1，a+1，2a+3，∴2（a+1）=（a ﹣1）+（2a+3），解得：a=0．∴等差数列{a n }的前三项依次为﹣1，1，3，则等差数列的首项为﹣1，公差为d=2，∴a n =﹣1+（n ﹣1）×2=2n ﹣3．故选：B ．11．设a ＞0，b ＞0．若3是3a 与3b 的等比中项，则的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ． 【考点】基本不等式．【分析】利用等比中项即可得出a 与b 的关系，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵3是3a 与3b 的等比中项，∴32=3a •3b =3a+b ，∴a+b=2．a ＞0，b ＞0．∴===2．当且仅当a=b=1时取等号．故选B ．12．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10【考点】等差数列的性质；数列的求和．【分析】由已知结合等差数列的单调性可得a 5+a 6＞0，a 6＜0，由求和公式可得S 8＜0，S 7＞0，可得结论．【解答】解：∵{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 5+a 6＞0，a 5a 6＜0，∴a 5，a 6必定一正一负，结合等差数列的单调性可得a 5＞0，a 6＜0，∴S 11==11a 6＜0，S 10==5（a 5+a 6）＞0，∴使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 的值为10．故选D ．二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，那么a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是 ﹣82 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得a 3+a 6+a 9+…+a 99=（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+33×2d ，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n }的公差d=﹣2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，∴a 3+a 6+a 9+…+a 99=（a 1+a 4+a 7+…+a 97）+33×2d=50+33×2×（﹣2）=﹣82．故答案为：﹣82．14．已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，则a 的取值范围是 （﹣∞，﹣11）∪（6，+∞） ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由已知点（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y+a=0的同侧，我们将A ，B 两点坐标代入直线方程所得符号相同，则我们可以构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：若（3，﹣1）和（﹣4，﹣3）在直线3x ﹣2y ﹣a=0的同侧则[3×3﹣2×（﹣1）+a]×[3×（﹣4）+2×3+a]＞0即（a+11）（a ﹣6）＞0解得a ∈（﹣∞，﹣11）∪（6，+∞）故答案为：（﹣∞，﹣11）∪（6，+∞）．15．不等式2x 2﹣x ﹣1＞0的解集是 ．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘同号得正的取符号法则，得到2x+1与x ﹣1同号，可化为两个不等式组，分别求出两不等式组的解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式2x 2﹣x ﹣1＞0，因式分解得：（2x+1）（x ﹣1）＞0，可化为：或，解得：x ＞1或x ＜﹣，则原不等式的解集为．故答案为：16．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=，b=sinB，则a= ．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵sinA=，b=sinB，∴由正弦定理可得：a===．故答案为：．三、解答题：17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，…由根与系数的关系得：解得a=﹣2…所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，…化为：（2x﹣1）（x+3）＜0…解得，…所以不等式解集为…18．△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用正弦定理即可得解AC的值．（2）由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：（1）由正弦定理，可得： =，可得：AC==5．（2）由余弦定理可得：cosA===﹣，由于A ∈（0°，180°），可得：A=120°．19．已知{a n }是等差数列，其中a 1=25，a 4=16（1）求{a n }的通项；（2）求a 1+a 3+a 5+…+a 19值．【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由题意和等差数列的通项公式可得公差，可得通项公式；（2）可得a 1+a 3+a 5+…+a 19是首项为25，且公差为﹣6的等差数列，共有10项，由等差数列的求和公式可得．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4=a 1+3d ，代值可得16=25+3d ，解得d=﹣3，∴a n =25﹣3（n ﹣1）=28﹣3n ；（2）由题意可得a 1+a 3+a 5+…+a 19是首项为25，且公差为﹣6的等差数列，共有10项，∴20．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1且a 1，a 3，a 9成等比数列．（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{2a n }的前n 项和S n ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）由题意得关于公差d 的方程，求出公差d 的值，即可得到数列{a n }的通项公式．（2）利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：（1）由题设知公差d ≠0，由a 1=1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得，解得d=1，或d=0（舍去），故{a n }的通项a n =1+（n ﹣1）×1=n ；（2）由（1）得：数列{2a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列，故S n =2n+=n （n+1）．21．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12nmile 的海面上有一走私船正以10nmile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14nmile/h ，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°+α的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．【考点】解三角形的实际应用；余弦定理．【分析】由图A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x 小时后在B 处追上，则有 AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120°从而在△ABC 中利用余弦定理可求追击所需的时间，进一步可求α角的正弦值．【解答】解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过 x 小时后在B 处追上，…则有 AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120°．∴（14x ）2=122+（10x ）2﹣240xcos120°…∴x=2，AB=28，BC=20，…∴．所以所需时间2小时，．…22．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】（1）由S n =2﹣a n ，知S 1=2﹣a 1，a n =S n ﹣S n ﹣1=（2﹣a n ）﹣（2﹣a n ﹣1），得，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）由b n+1=b n +a n ，且，知b n ﹣1﹣b n =（）n ﹣1，由此利用叠加法能求出． 【解答】解：（1）∵S n =2﹣a n ，∴当n=1时，S 1=2﹣a 1，∴a 1=1，当n ≥2时，S n ﹣1=2﹣a n ﹣1，∴a n =S n ﹣S n ﹣1=（2﹣a n ）﹣（2﹣a n ﹣1），得，∴数列{a n }是以a 1=1为首项，为公比的等比数列，∴数列{a n }的通项公式是．（2）由b n+1=b n +a n ，且，∴b n ﹣1﹣b n =（）n ﹣1，则，，，…，b n ﹣b n ﹣1=（）n ﹣2， 以上n 个等式叠加得：==2[1﹣（）n﹣1]=2﹣，=1，∴．∵b1。
南昌三中2017—2018学年度高二上学期数学10月考试卷及答案(文科)(定稿)(2017.10)
A. x2 y 12 4
B. x 12 y 12 4
C. x 12 y2 4
D. x 12 y 12 5
7.过点 C2,1且与直线 x y 3 0 垂直的直线是（
）
A. x yC. x y 3 0
D. x y 1 0
8. 已知点 A1,1, B 1, 3 ，直线 l 过原点，且与线段 AB 有交点，则直线 l 的斜率的取值范围
为（
）
A. 3,1
B. 1,
C. , 3
D. , 3 1,
19. (本小题满分 12 分) 已知 ABC的三个顶点坐标分别为 A1,1, B7,1,C 2,5，AB 边
上的中线所在直线为 l . （1）求直线 l 的方程； （2）若点 A 关于直线 l 的对称点为 D ，求 BCD的面积．
南昌三中 2017-2018 学年度上学期第一次月考
高二数学（文）试卷
命题：吴希远
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
审题：周平
1.原点到直线 x 2 y 5 0的距离是（
）
A.1
B. 3
C.2
5
2.已知直线 l 方程为 2x 5y 10 0 ，且在 x 轴上的截距为 a ，在 y 轴上的截距为 b ，则 a b
（3）是否存在 m，使得圆 C 被直线 l 所截的弦 AB 中点到点 P2,0 距离等于弦 AB 长度的一
半？若存在，求圆 C 的方程；若不存在，请说明理由．
18． (本小题满分 12 分) 自点 A 3,3发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光
线所在直线与圆 x2 y2 4x 4 y 7 0 相切，求光线 L 所在直线的方程
江西省南昌三中2017-2018学年度上学期第二次考试高三数学(文)试卷
第1页 共8页 第2页 共8页绝密★启用前江西省南昌三中2017-2018学年度上学期第二次考试高三数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知则（ ）A ．B ．C ．D ．2、，( )A ．3B ．5C ．6D ．123、已知命题：命题“”的否定是“”；命题：在中，角的对边分别为，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．4、若sinθcosθ>0,则θ在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限5、若实数满足恒成立，则函数的单减区间为（）A．B ．C ．D ．6、已知函数在是增函数，则的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37、在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8、函数的图像可以由函数的图像经过（ ）A ．向左平移个单位长度得到B ．向左平移个单位长度得到C ．向右平移个单位长度得到D ．向右平移个单位长度得到9、设函数的最大值为,最小值为,则（ ） .A ．0B ．2C ．3D ．410、在中，点是的三等分点（靠近点B ），过点的直线分别交直线，于不同两点，若，，均为正数，则的最小值为（ ）A. 2B.C.D.11、若在单调递增，则的取值范围是（ ）第3页 共8页 ◎ 第4页 共8页A ．B ．C ．D ．12、已知是定义在上的奇函数，当时，，则，在上所有零点之和为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10第5页 共8页 第6页 共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知则______。
14、14、在中，，则______15、定义域为的可导函数的导函数，满足且的解集为___________________。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
江西省南昌三中高二数学上学期期中考试试卷 文 新人教A版【会员独享】
高二数学(文)试卷一．选择题 （每小题５分，共50分） 1. 抛物线 22y x -= 的准线方程是( ）.A ．21=y B.81=y C ．41=x D.81=x 2. 若双曲线x 2a 2－y 232＝1(a ＞0)的离心率为2，a ＝ ( )A ．2 B. 3C.32D ．1 3．过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为 ( ) A.2x+y －1=0 B.2x+y －5=0 C.x+2y －5=0 D.x －2y+7=04. 已知在四面体ABCD 中，,E F 分别是,AC BD 的中点，若2,4,AB CD EF AB ==⊥，则EF 与CD 所成的角的度数为（ ）A ．90B ．45C ．60D ．305. 已知圆心在x 轴上，半径是5且以A (5，4)为中点的弦长是25，则这个圆的方程是（ ） A ．(x －3)2+y 2=25 B ．(x －7)2+y 2=25C ．(x ±3)2+y 2=25D ．(x －3)2+y 2=25或(x －7)2+y 2=256. 正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是 （ ）A B C D 7. 若直线ax+by+c=0通过第一，二，三象限，则：（ ）A 、ab>0, bc>0B 、ab>0, bc<0C 、ab<0, bc>0D 、ab<0, bc<0 8. 圆 222210x x y y -+-+=外一点()3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值是（ ）A ．12B ．35C D ．09. 设双曲线12222=-by a x ，（0<a<b ）的半焦距为C ，直线L 过（a, 0），（0，b ）两点，已知原点到直线L 的距离为43c ，则双曲线的离心率为： （ ）A 、2 或332B 、3C 、332 D 、210. 已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为 （ ）A ．3B ．23C ．2D ．59二、填空题：（每小题５分，共25分）11. 以下四个命题中，正确命题的个数是________．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面．12. 过点P (1,2)作直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)距离相等，则直线l 的方程为：13. 若椭圆22221x y a b+=过抛物线28y x =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点，则该椭圆的方程为 。
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2017-2018学年江西省南昌三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）直线l1：x+ay﹣2a﹣2=0，l2：ax+y﹣1=0，若l1∥l2，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．22．（5分）抛物线x2=ay的准线方程为y=2，则a的值为（）A．8 B．﹣8 C．D．3．（5分）抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点恰好与椭圆+=1的一个焦点重合，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，则mn的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知变量x，y，满足约束条件，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a的值为（）A．2 B．C．4 D．86．（5分）能够使得圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为（）A．2 B．C．3 D．7．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m8．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个10．（5分）F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（，）B．[，]C．（，+∞）D．[，+∞）12．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．14．（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4）是双曲线外一点，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．15．（5分）已知椭圆E的方程为（a＞b＞0），AB是它的一条倾斜角为135°的弦，且M（2，1）是弦AB的中点，则椭圆E的离心率为．16．（5分）已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是直线l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若=﹣3，则|AB|=．三、解答题（共6小题，，共70分）17．（10分）已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l1：3x﹣2y+3=0和直线l2：2x﹣y+2=0的交点．（1）求l 1与l2的交点C的坐标；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．19．（12分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±x，且双曲线过点（，）（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．22．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得•为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．2017-2018学年江西省南昌三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）直线l1：x+ay﹣2a﹣2=0，l2：ax+y﹣1=0，若l1∥l2，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【解答】解：直线l1：x+ay﹣2a﹣2=0，l2：ax+y﹣1=0，若l1∥l2，若a=0，则l1：x﹣2=0，l2：y﹣1=0，两直线垂直；若a≠0，则=≠，解得a=1或﹣1．故选：C．2．（5分）抛物线x2=ay的准线方程为y=2，则a的值为（）A．8 B．﹣8 C．D．【解答】解：抛物线x2=ay的标准方程是x2=2×y，则其准线方程为=2，所以a=﹣8．故选：B．3．（5分）抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点恰好与椭圆+=1的一个焦点重合，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：椭圆+=1的左焦点为（﹣2，0），∵抛物线y2=﹣2px的焦点与椭圆+=1的左焦点重合，∴=2，∴p=4，故选：C．4．（5分）双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，则mn的值为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，则有解得m=，n=∴mn=故选：A．5．（5分）已知变量x，y，满足约束条件，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a的值为（）A．2 B．C．4 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大为10，由，解得，即A（4，3），同时A也在直线x=a上，∴a=4，故选：C．6．（5分）能够使得圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：圆的方程可化为：（x﹣1）2+（y+2）2=4，所以圆心M（1，﹣2），半径r=2，结合图形容易知道，当且仅当M到直线l：2x+y+c=0的距离d∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线l的距离等于1，由d=∈（1，3）得：，而＜3＜3，所以满足题意的c可以是3．故选：C．7．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．8．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选：B．9．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个【解答】解：因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，所以原点到直线mx+ny﹣4=0的距离d=＞2，所以m2+n2＜4，所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．∵椭圆的长半轴3，短半轴为2∴圆x2+y2=4内切于椭圆∴点P是椭圆内的点∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．故选：D．10．（5分）F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C 上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，设|PF1|=m，|PF2|=n，∵⊥，∴PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4（a2﹣b2），∵m+n=2a，则有（m+n）2=m2+n2+2mn，即mn=2b2，∴|PF1|•|PF2|=2b2．∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|=×2b2=16，解得b=4．故选：D．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（，）B．[，]C．（，+∞）D．[，+∞）【解答】解：已知双曲线﹣=1的右焦点为F，若过点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，即有≥，由e2===1+≥，∴e≥，故选：D．12．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是﹣24＜a＜7．【解答】解：因为点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，所以，（3×3﹣2×1﹣a）[3×（﹣4）﹣2×6﹣a]＜0，即：（7﹣a）（﹣24﹣a）＜0，解得﹣24＜a＜7．故答案为：﹣24＜a＜7．14．（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4）是双曲线外一点，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9．【解答】解：∵F是双曲线的左焦点，∴a=2，b=2，c=4，F（﹣4，0 ），右焦点为H（4，0），由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+=4+5=9，当A，P，H三点共线时，取得最小值9．故答案为：9．15．（5分）已知椭圆E的方程为（a＞b＞0），AB是它的一条倾斜角为135°的弦，且M（2，1）是弦AB的中点，则椭圆E的离心率为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵AB是它的一条倾斜角为135°的弦，且M（2，1）是弦AB的中点，∴两式相减可得=0，∴a=b，∴c=b，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是直线l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若=﹣3，则|AB|=20．【解答】解：由抛物线C：y2=﹣8x，可得F（﹣2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，∵=﹣3，∴1+2=﹣3（m+2），∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n，∴a=±6，∴|AB|===20．故答案为：20．三、解答题（共6小题，，共70分）17．（10分）已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l 1：3x﹣2y+3=0和直线l2：2x﹣y+2=0的交点．（1）求l1与l2的交点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）联立方程组，解得∴l1与l2的交点C的坐标为（﹣1，0）；（2）设AB上的高为h，则，由距离公式可得，AB边上的高h就是点C到AB的距离．AB边所在直线方程为，即x+y﹣4=0，点C到x+y﹣4=0的距离为，∴18．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…（6分）（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，∴|PM|2=|PC|2﹣r2．又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．∴2x﹣4y+3=0即为所求．…（12分）19．（12分）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±x，且双曲线过点（，）（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）设双曲线方程为：3x2﹣y2=λ，点代入得：λ=3，所以所求双曲线方程为：…（6分）（Ⅱ）直线AB的方程为：y=x﹣2，由得：2x2+4x﹣7=0，…（10分）∴．…（12分）20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF 1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21．（12分）设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．【解答】解：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为x，即bx﹣2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，∴y1+y2=﹣4=12，∴，解得，∴t=4，∴，t=4．22．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得•为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，则|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F关于y轴的对称点F′，连F′M，故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．所以：点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=，b=1，则曲线C的方程为+y2=1；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：，则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x 1x2+m2﹣m（x1+x2）+，=如果要上式为定值，则必须有，解得m=．此时=．验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N（，0）满足为定值．△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0⇒4k2﹣m2+3=0，，∴，由设存在M（x1，0），则由可得：，∴，由于对任意m，k恒成立，所以联立解得x1=1．故存在定点M（1，0），符合题意。