高二数学期中试卷(文科)

命题人：盛冬山 尹震霞 审核人：徐瑢

试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分． 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．命题“2

,10x R x x ∃∈-+=”的否定是 ▲ ．

2．在区间]4,0[上任取一个实数x ，则1>x 的概率是 ▲ ． 3．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则=⋂B A ▲ ． 4．函数1

1)(+=

x x f 的定义域为 ▲ ．

5．已知甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是8.0、6.0、5.0，则三人都达标的概率是 ▲ ．

6．已知A 为函数x x x f +=4

)(图像上一点，在A 处的切线平行于直线x y 5=，则A 点坐标为 ▲ ． 7．已知函数2log (0)(),3(0)

x

x x f x x >⎧=⎨

≤⎩则1

[()]4f f 的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知y =是双曲线22

221x y a b

-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离

心率为 ▲ ．

9．若集合{

}

4,12,32

+--=a a a M ，且M ∈-3，则实数a 的取值是 ▲ ．

10．函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在(],0-∞上是减函数，若1()23

f =，则满足不等式2)(>x f 的x 的范围为 ▲ ．

13．圆心在抛物线y x 42

=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．

14．设函数2

2

()ln f x a x x ax =-+，0a >，不等式2

1()e f x e -≤≤对[1,]x e ∈恒成立，则a 的取

值集合是 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，计80分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．将一颗正方体的骰子先后抛掷2次（每个面朝上等可能），记下向上的点数，求： （1）求两点数之和为5的概率；

（2）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(,)x y 在圆2

2

15x y +=的内部的概率．

16．设p ：函数(1)1y a x =-+在(,)x ∈-∞+∞内单调递减；q ：曲线12

++=ax x y 与x 轴交于不同的两点．

（1）若p 为真且q 为真，求a 的取值范围；

（2）若p 与q 中一个为真一个为假，求a 的取值范围．

17． 二次函数)(x f y =的最小值等于4，且6)2()0(==f f （1）求)(x f 的解析式；

（2）若函数)(x f 的定义域为]4,1[-，求)(x f 的值域；

（3）若函数)(x f 的定义域为]1,[+a a ，)(x f 的值域为]22,12[，求a 的值．

18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/

千克)满足关系式2)6(103

-+-=x x a

y ，其中63<

每日可售出该商品11千克． ⑴求a 的值；

⑵若该商品的成本为3元/千克， 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

19．已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为(1,0)F

，离心率2e =，,A B 是椭圆上的两动点，

动点P 满足OP OA OB λ=+， （其中实数λ为常数）． （1）求椭圆标准方程；

（2）当1=λ，且直线AB 过F 点且垂直于x 轴时，求过P B A ,,三点的外接圆方程；

（3）若直线OA 与OB 的斜率乘积1

2

OA OB k k ⋅=-

，问是否存在常数λ，使得动点P 满足4=+PQ PG

，其中(G Q ，若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．

20．已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---=．（a 为常数） （1）当0=a 时，①求()f x 的单调增区间；②试比较)(m f 与)1

(

m

f 的大小； （2）()1x

g x e x =-+，若对任意给定的(]00,1x ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．