9-7第7讲 高中数学选修2抛物线习题有答案
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
高中数学抛物线练习(有答案)
1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距：FK p =③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段：2p OF OK ==。
⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。
所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。
所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。
所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式：，，px y px y 2222-==。
，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22=的图像和性质：①焦点坐标是：⎪⎭⎫⎝⎛02，p ，②准线方程是：2p x -=。
③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222p pPQ x x x x p =+++=++ ⑤抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或2(2,2)P pt pt 或P px y y x 2),(2=其中一般情况归纳：抛物线的定义：例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。
高二抛物线练习题答案
高二抛物线练习题答案抛物线是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
掌握抛物线的性质和相关计算方法对于学生来说非常重要。
下面将给出一些高二抛物线练习题的答案，帮助你加深对抛物线的理解和应用。
题目一：已知抛物线的标准方程为y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0。
若该抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，则下列说法正确的是：A. A、B两点关于y轴对称B. A、B两点关于x轴对称C. A、C两点关于y轴对称D. B、C两点关于y轴对称解答：由于抛物线与x轴交于A、B两点，这意味着在这两个点上，y = 0，则将y = ax² + bx + c中的y替换为0，可得ax² + bx + c = 0。
这就是一个二次方程，它的解为抛物线的交点坐标。
而根据二次方程的性质，解的个数与二次项系数a的正负有关。
若a > 0，则开口向上，有两个不同的实数解，即A、B两点关于x轴对称；若a < 0，则开口向下，没有实数解，A、B两点在坐标轴上方，不对称于x轴。
所以选项B正确。
题目二：已知抛物线的焦点坐标为F(3, 2)，准线方程为x = 1，则该抛物线的标准方程是：A. y = (1/2)(x - 3)² + 2B. x = (1/2)(y - 3)² + 2C. x = (1/2)(y - 2)² + 3D. y = (1/2)(x - 2)² + 3解答：首先我们知道，抛物线的焦点到准线的距离等于焦准距，而焦点F(3, 2)到准线x = 1的距离为2。
所以抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c。
由于焦准距等于1/4a，我们可以得到1/4a = 2，所以a = 1/8。
再根据焦点到准线的垂直关系，可以得到抛物线的标准方程x = (1/2a)(y - k)² + h，其中焦点坐标为F(h, k)。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被曲线截得的弦恰好被点所平分？【答案】（1）；（2）即【解析】（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程，或根据定义来求抛物线方程.（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；（3）求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值.试题解析：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为.（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，依题意，得.①当直线的斜率不存在时，不合题意.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，消去，得，（*）∴，解得.此时，方程（*）为，其判别式大于零，∴存在满足题设的直线且直线的方程为：即.解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，依题意，得.∵在轨迹上，∴有，将，得.当时，弦的中点不是，不合题意，∴，即直线的斜率,注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）∴存在满足题设的直线且直线的方程为：即.【考点】（1）抛物线的标准方程；（2）直线与抛物线的综合问题.2.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1,2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程；（2）当直线与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】（1）所求抛物线的方程是，准线方程是．（2）．且由①-②得直线AB的斜率为-1．【解析】（1）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p，即求出抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程；（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，则可分别表示、，根据倾斜角互补可得，进而得出与之间的等式关系，最后把点A、B代入抛物线的方程并将两式相减后即可求得直线AB的斜率．试题解析：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为．因为点P（1,2）在抛物线上，所以，解得．故所求抛物线的方程是，准线方程是．（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，则，．因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以．又由，均在抛物线上，得①②所以，所以．且由①-②得直线AB的斜率为-1．【考点】抛物线的应用．3.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．4.已知抛物线上的任意一点到该抛物线焦点的距离比该点到轴的距离多1．（1）求的值；（2）如图所示，过定点（2，0）且互相垂直的两条直线、分别与该抛物线分别交于、、、四点．（i）求四边形面积的最小值；（ii）设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（i）四边形面积的最小值是48（ii）【解析】（1）直接利用抛物线的定义（2）（i）S四边形ABCD，，利用弦长公式，以及基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题的解法求解（ii）恒过定点问题的常规解法试题解析：（1）由已知∴（2）（i）由题意可设直线的方程为（），代入得设则，∴6分同理可得 7分S四边形ABCD8分设则∴S四边形ABCD∵函数在上是增函数∴S四边形ABCD ，当且仅当即即时取等号∴四边形面积的最小值是48. 9分（ii）由①得∴∴∴， 11分同理得 12分∴直线的方程可表示为即当时得∴直线过定点（4,0）. 14分注：第（2）中的第（i）问：S四边形ABCD（当且仅当时取等号）也可.【考点】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．5.已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】⑴⑵当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.【解析】⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标. 试题解析：⑴设，则，由得，;即;所以轨迹方程为;⑵设，由题意得（否则）且,所以直线的斜率存在，设其方程为，因为在抛物线上,所以，将与联立消去，得;由韦达定理知①;(1)当时，即时，,所以，,所以.由①知：,所以因此直线的方程可表示为，即.所以直线恒过定点(2)当时，由，得==将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点;所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点. 12分【考点】相关点法求曲线方程;分类讨论.6.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由抛物线方程可知，，焦点在轴正半轴，所以其准线方程为。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.抛物线截直线所得弦长等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线与抛物线交点坐标分别为，将直线方程代入抛物线方程并化简的，由根与系数的关系可知，由弦长公式可知弦长，答案选A.【考点】直线与抛物线相交弦长公式2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．3.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】A.【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.【考点】抛物线的简单性质.4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A．B．C．4D．【答案】B．【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的简单性质．5.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点且点恰为的中点，则【答案】8【解析】设，因为是的中点，所以，由点在抛物线上，所以所以所以答案填：8.【考点】抛物线的定义与标准方程.6.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．7.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点．求证：(1)为定值；(2) 为定值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设过焦点的直线方程与联立，利用韦达定理，即可得出结论；（2）利用，及根与系数的关系即可得出．(1)抛物线的焦点为，设直线的方程为．由消去，得.由根与系数的关系，得(定值)．当轴时，，，也成立．(2)由抛物线的定义，知，.(定值)．当轴时，，上式仍成立．【考点】抛物线的简单性质.8.已知抛物线过点．（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积．【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）.【解析】（1）先由抛物线过点得到，进而解出的值，这样即可确定该抛物线的方程，进而再根据抛物线的几何性质得到准线方程；（2）由（1）中抛物线的方程先确定，进而根据点斜式可写出直线的方程，设点，联立直线与抛物线的方程，消去得到，进而根据二次方程根与系数的关系得到，进而可根据弦长计算公式计算出弦长，然后由点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，进而可求出的面积.（1）根据抛物线过点可得，解得从而抛物线的方程为，准线方程为 5分（2）抛物线焦点坐标为，所以直线 6分设点联立得：，即 8分则由韦达定理有： 9分则弦长 11分而原点到直线的距离 12分故 13分.【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.点到直线的距离公式.9.抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为【考点】抛物线的性质．10.在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线斜率为1且过点，其与轨迹交于点，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）方法一：由抛物线的定义直接得到结果；方法二：根据题中所给数据直接列出等式，化简即可得到结果．（2）将直线，与，联立，得，利用弦长公式得，将韦达定理代入即可得到结果．（1）方法一：由抛物线的定义可知，；方法二：，．可得，．（2）直线，联立，得，【考点】1．抛物线的定义；2．直线与抛物线的位置关系．11.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 .【答案】【解析】∵P点到直线x=-1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时，点P到点A（0，-1）的距离与到直线x=-1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=.【考点】抛物线的简单性质．12.在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是．【答案】y2＝20x【解析】焦点为F(5，0)，所以抛物线开口向右，标准方程可设为，又所以，抛物线的标准方程是y2＝20x【考点】抛物线的焦点坐标与方程关系13.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M到y轴的距离是( )A．B．C．1D．【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离为1，所以点到的距离为。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.设抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于【答案】6【解析】因为抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，所以由抛物线焦半径公式得|PF|=x+=4+2=6.【考点】本题主要考查抛物线的定义及几何性质。
点评：简单题，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。
2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为．【答案】【解析】解：抛物线，∴p=．设A、B、M到准线y=-的距离分别为A′、B′、M′，则由抛物线的定义可得AB=AA′+BB′．再由线段AB的中点M的纵坐标为2可得2MM′=AA′+BB′，即 2（2+1 32 ）=AA′+BB′=AB，∴AB=，故答案为．3.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则它被抛物线截得的弦长为 .【答案】16【解析】解：因为设直线方程为y=(x-2)与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，得到弦长公式求解得到为16.或者利用抛物线的定义可知弦长为两个的和加上4得到。
4.抛物线的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（1，0）D．（0，1）【答案】D【解析】解：因为根据题意2p=4,焦点在y轴上，因此焦点坐标为（0，1），选D5.抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为, 则的值为 .【答案】1【解析】解：因为抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为,联立方程组得到，所以p=16.设不在轴下方的动点到的距离比到轴的距离大求的轨迹的方程；过做一条直线交轨迹于，两点，过，做切线交于点，再过，做的垂线，垂足为,若，求此时点的坐标．【答案】见解析.【解析】第一问利用设点坐标，结合已知的关系式得到化简得到轨迹方程。
第二问中用直线与抛物线的方程联立所以由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，∵是抛物线的焦点，∴，∴∴可得到。
……………………6分设N点坐标为（a,b）则…………………………8分由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，∵是抛物线的焦点，∴，∴，∴，，，∴,…………………………12分即，所以，，∴，∴所求点的坐标为…………………………15分7.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】结合抛物线的对称性可知过抛物线的焦点作直线和，其中有四个交点，那么这四个交点与抛物线的焦点F可构成两个等边三角形.故应选C.8.的焦点坐标为 .【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为.9.设抛物线的准线与x轴的交点为，过点作直线交抛物线于两点.(1)求线段中点的轨迹方程；(2)若线段的垂直平分线交轴于，求证：；(3)若直线的斜率依次取时，线段的垂直平分线与x轴的交点依次为，当时，求的值.【答案】(1)(2)见解析(3)【解析】本试题主要是考查了抛物线方程以及抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用，求解中点轨迹方程。
抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线 2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12 5．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y 7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．24 8．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎪⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1= 。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，的最小值为4，则= ．【答案】4【解析】由下图可知：当点Q移动到点M时最小，又因为点所以抛物线的准线方程为,所以即．【考点】抛物线的定义及性质．2.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是, 准线方程是．；（2）1．【解析】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；(3)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值．试题解析：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上,所以，得．故所求抛物线的方程是, 准线方程是．（II）设直线的方程为，即：，代入，消去得：．设，由韦达定理得：，即：．将换成，得，从而得：，直线的斜率．【考点】(1)抛物线的方程；（2）直线与抛物线的综合问题．3.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．4.已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得抛物线的焦点坐标为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，设直线与抛物线的交点坐标分别为，，则由得，则有，，所以得，，又，，因为所以有，即，即，所以，选D【考点】抛物线的概念、向量的运算5.以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）A．B．（2，0）C．（4，0）D．【答案】B【解析】画出如下示意图，可知，抛物线的焦点F坐标为(2,0)，准线方程为直线x=-2，根据抛物线的定义,取抛物线上任意一点P，则R=PH=PF，因此所画的圆必过焦点(2,0).【考点】抛物线的定义.6.抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 .【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将和联立消去并整理可得，即时直线与相切。
高二下学期数学人教A版选择性必修第二册：抛物线专题练习
抛 物 线题型一 抛物线的定义与方程1.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．432.如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <,原点O 为AD 的中点,抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点,则_____=ab.3.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 得一个焦点,若FQ PF 4=,则=QF （ ） A. 27 B. 3 C. 25D. 24.设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为（ ） A. 33 B.938 C. 6332 D. 94题型二 抛物线的性质1. 抛物线26y x =,过点()4,1P 引一条弦,使它恰好被P 点平分,则该弦所在的直线方程为______．2.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足23AFB π∠=,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则||||MN AB 的最大值是（ ） A 33 C 3 D 33.直线l 过抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C 交于A,B 两点,则p= ,+= .4.设F 1,F 2分别为椭圆C 1：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2222111x y a b -= (a 1＞0,b 1＞0)的公共左,右焦点,它们在第一象限内交于点M ,∠F 1MF 2＝90°,若椭圆C 1的离心率e ∈33[]42,则双曲线C 2的离心率e 1的取值范围是________________．5.已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点,过F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,AB 的中点为C ,过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ,若1CC 的中点为()1,4M ,则p =（ ） A. 4 B. 8C. 42D. 826.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,M 为虚轴的一端点,若以M 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点N ,且M ,N ,F 三点共线,则该双曲线的离心率为________.7.（多选）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ,P 为其上一动点,当P 运动到（2,t ）时,|PF |＝4,直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,点M （4,1）,下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝4x B ．|PM |+|PF |的最小值为6 C ．存在直线l ,使得A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称D ．当直线l 过焦点F 时,以AF 为直径的圆与y 轴相切题型三 抛物线与其它曲线综合1. 抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点,若△ABF 为等边三角形,则p ＝ ．2.抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ,点A 是两曲线的交点,且AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为A.215+B.12+C.13+D.2122+题型四 切线问题1.过点M(2,－2p)作抛物线x 2＝2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB 的中点的纵坐标为6,则p 的值是________．2.已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C的一条渐近线,则p =（ ）A ．316B ．38C ．233D ．433题型五 斜率、弦长、面积1.已知F 是抛物线2y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）,则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．1728D ．102.已知A 、B 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点,O 是坐标原点,满足2AF FB =,3||OABSAB =,则p 的值为3.如图,已知抛物线的方程为22(0)x py p =>,过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点,点B 的坐标为(0,1),连接,BP BQ ,设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点.如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-,则MBN ∠的大小等于 .题型六 范围与最值1.已知抛物线y 2＝4x ,过点p （4,0）的直线与抛物线相交于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点,则y 12＋y 22的最小值是_______2.已知抛物线ｙ2=8x,定点A （3,2）,F 为焦点,P 为抛物线上的动点,则｜PF ｜＋｜PA ｜的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8 A3.如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,且过点(2,4),圆,过圆心的直线l 与抛物线和圆分别交于P ,Q,M,N,则的最小值为（ ）A ． 36B ． 42C ． 49D ． 50设抛物线方程为由抛物线过定点得,抛物线方程,焦点为,4.已知F 为抛物线212y x =的焦点,过F 作两条夹角为045的直线12,l l , 1l 交抛物线于,A B 两点, 2l 交抛物线于,C D 两点,则11AB CD+的最大值为（ ） A ． 124+ B ． 122+ C ． 12+ D ． 22+题型七 直线与抛物线位置关系1.在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1,记点M 的轨迹为C .（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -,求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k 的相应取值范围.2.已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点,1C 与2C 的公共弦的长为26（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =,求直线l 的斜率 （ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明：直线l 绕点F 旋转时,MFD ∆总是钝角三角形3.已知抛物线2:2(0)E y px p =>,直线3x my =+与E 交于A B 、两点,且6OA OB =,其中O 为坐标原点．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为(3,0)-,记直线CA CB 、的斜率分别为12k k ，,证明22212112m k k +-为定值．4.设点30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W .（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过点F 作互相垂直的直线12,l l ,分别交曲线W 于,A B 和,C D . 求四边形ACBD 面积的最小值 .5.已知抛物线S 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,ABC ∆的三个顶点都在抛物线上,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点,若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-=（I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点,P 、Q 是抛物线S 上的两动点,且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过一个定点.6.设抛物线C ：22(0)y px p =>过点(3,6)H -,其准线为l ,焦点为F 。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线，它与抛物线交于A、B两点，求这两点间的距离．【答案】8【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），则过焦点的直线的参数方程可设为（t为参数），将其代入抛物线方程并化简得t2＋4t－8＝0，由参数t的几何意义可知|AB|=|t1－t2|=8.试题解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），设过焦点F（1,0），倾斜角为π的直线的参数方程为（t为参数），将此代入y2＝4x，得t2＋4t－8＝0，设这个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t 1＋t2＝－4，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝8.∴A、B两点间的距离是8.【考点】参数方程的应用2.准线为的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x【答案】B【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程【考点】抛物线方程的应用.3.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.【答案】【解析】设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则=，当时，.【考点】直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.4.已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k．当k为何值时，直线l与该抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【答案】当，或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；当，此时直线l 与该抛物线有两个公共点；当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．【解析】解题思路：联立直线方程与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式的符号判定直线与抛物线的交点个数.规律总结：解决直线与圆锥曲线的交点个数，一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程，整理得到关于或的一元二次方程，利用判别式的符号进行判定.注意点：当整理得到的一元二次方程的二次项系数为字母时，要注意讨论二次项系数是否为0.试题解析：直线l的方程为，联立方程组得．①当时，知方程有一个解，直线l与该抛物线只有一个公共点．②当时，方程的判别式为，若，则或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点．若，则，此时直线l与该抛物线有两个公共点．若，则或，此时直线l与该抛物线没有公共点．综上：当，或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；当，此时直线l与该抛物线有两个公共点；当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．【考点】直线与抛物线的交点个数.5.已知点，直线，动点P到点F的距离与到直线的距离相等．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值.【答案】（1）；（2）或。
抛物线练习题及答案
抛物线练习题及答案抛物线练习题及答案抛物线是数学中一个经典的曲线，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
掌握抛物线的性质和解题方法对于理解和应用这一曲线具有重要意义。
本文将介绍一些常见的抛物线练习题，并给出详细的解答。
1. 已知抛物线的顶点为(2, 3)，焦点为(2, 1)，求抛物线的方程。
解答：由于抛物线的顶点和焦点均在x轴上，所以抛物线的方程可表示为(x-2)^2 = 4p(y-3)，其中p为抛物线的焦距。
由题目中给出的焦点坐标可知焦距p=2-1=1。
代入方程中，得到(x-2)^2 = 4(y-3)。
2. 已知抛物线的焦点为(0, 3)，直径的两个端点分别为(4, 0)和(-4, 0)，求抛物线的方程。
解答：由于抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线的方程可表示为x^2 = 4py，其中p为抛物线的焦距。
由题目中给出的直径的两个端点可知焦距p=4/2=2。
代入方程中，得到x^2 = 8y。
3. 已知抛物线的焦点为(-1, 2)，过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点，求这两点的坐标。
解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
由题目中给出的焦点坐标可知，焦距为p = 2-(-1) = 3。
由于过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点，所以满足方程4 = a(3)^2 + b(3) + c。
另外，这两个点也是抛物线的顶点，所以满足方程c = 2 - a - b。
将以上两个方程代入抛物线的方程中，得到4 = 9a + 3b + (2 - a - b)，化简得到3a + 2b = -2。
根据这个方程可以解得a和b的值。
代入抛物线的方程中，得到抛物线的方程为y = -x^2/9 + 4x/3 + 10/9。
4. 已知抛物线的焦点为(-2, 1)，过点(0, 3)的直线与抛物线交于两点，求这两点的坐标。
解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
由题目中给出的焦点坐标可知，焦距为p = 1-(-2) = 3。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则取得最小值时，点P的坐标是。
【答案】（2，2）【解析】由抛物线的定义可知，|PF|等于P点到准线的距离，因此当|PA|+|PF|取得最小值时，直线AP与抛物线的准线垂直，求得P点的坐标为（2，2）.【考点】抛物线的定义与性质2.抛物线的焦点到准线的距离是．【答案】4【解析】因为抛物线，所以由抛物线的性质可得焦点到准线的距离是P=4.【考点】抛物线的性质.3.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点.若线段的中点到轴的距离为，则（）A．2B．C．3D．4【答案】C【解析】抛物线的准线方程：，线段的中点到准线的距离为，由抛物线的性质得【考点】抛物线的性质的应用.4.已知抛物线方程为，过点作直线与抛物线交于两点,，过分别作抛物线的切线，两切线的交点为.（1）求的值；（2）求点的纵坐标；（3）求△面积的最小值.【答案】（1）-8；（2）-2：（3）．【解析】解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求两根之积即可；（2）由导数的几何意义求切线方程，联立方程，解方程组即得P点纵坐标；（3）求弦长和面积，再利用基本不等式求最值.规律总结：直线与抛物线的位置关系，是高考数学的重要题型，其一般思路是联立直线与抛物线的方程，整理得到关于或的一元二次方程，采用“设而不求”的方法进行解答，综合型较强.试题解析：（1）由已知直线的方程为，代入得，，∴，.（2）由导数的几何意义知过点的切线斜率为，∴切线方程为，化简得①同理过点的切线方程为②由，得，③将③代入①得，∴点的纵坐标为.（3)设直线的方程为，由（1）知，，∵点到直线的距离为，线段的长度为. ，当且仅当时取等号，∴△面积的最小值为.【考点】直线与抛物线的位置关系.5.若抛物线的焦点为，则的值为( )A．B．C．D．【答案】A.【解析】先将抛物线方程化为标准方程即，所以其焦点的坐标为，由已知其焦点为得，即可解出.【考点】抛物线的定义.6.抛物线的焦点坐标是( ) ．A．B．C．D．【答案】C【解析】∵在抛物线，即，∴p=， =，∴焦点坐标是（0，），故选C．【考点】抛物线的标准方程和简单性质的应用．7.抛物线的准线方程是，则的值为（）A．B．C．8D．【答案】A【解析】首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程为即可求之．【考点】抛物线的定义．8.抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，,垂足为，则的面积是A．B．C．D．8【答案】C【解析】由抛物线定义得：,又斜率为，所以倾斜角为，又平行于轴，所以,因此为正三角形，所以其面积为而所以【考点】抛物线定义9.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为2，且的横坐标为1．直线与抛物线交于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）当直线，的倾斜角之和为时，证明直线过定点.【答案】（1）；（2）直线恒过定点，证明详见解析.【解析】（1）设抛物线方程为，由抛物线的定义及即可求得的值；（2）先设点，，然后将直线方程与抛物线方程联立消去得，根据二次方程根与系数的关系表示出，设直线，的倾斜角分别为，斜率分别为，则，进而根据正切的两角和公式可知，其中，，代入求得和的关系式，此时使有解的有无数组，把直线方程整理得，推断出直线过定点.试题解析：（1）设抛物线方程为由抛物线的定义知，又 2分所以，所以抛物线的方程为 4分（2）设，联立，整理得（依题意）， 6分设直线，的倾斜角分别为，斜率分别为，则8分其中，，代入上式整理得所以即 10分直线的方程为，整理得所以直线过定点 12分.【考点】1.抛物线的定义与方程；2.直线与抛物线的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.10.已知抛物线的准线为，则其标准方程为_______.【答案】【解析】因为抛物线的准线为，所以可以设抛物线的标准方程为.所以由抛物线准线方程可得.所以抛物线的标准方程为.本小题的关键就是根据抛物线准线的定义求得的值，即可求得抛物线方程.【考点】1.抛物线的定义.2.抛物线的准线方程公式.11.已知抛物线的焦点，该抛物线上的一点到轴的距离为3，则A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】抛物线的焦点,准线方程为：，该抛物线上的一点到轴的距离为3，则到准线的距离为，由抛物线的定义知：.故选A.【考点】1抛物线的定义；２、抛物线的标准方程.12.抛物线上到直线的距离最近的点的坐标（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设为抛物线上任一点，则到直线的距离，因为，所以，则当时，取得最小值，最小值为，此时故选B．【考点】本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线的距离公式．考查了学生数形结合的数学思想和基本的运算能力．13.抛物线上的两点、到焦点的距离之和是，则线段的中点到轴的距离是．【答案】2【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离解：∵F是抛物线y2=2x的焦点F（，0）准线方程x=-设A（x1，y1） B（x2，y2）,∴|AF|+|BF|=x1++x2+=5，解得x1+x2=4,∴线段AB的中点横坐标为：2．故线段的中点到轴的距离是2.答案为：2【考点】抛物线的基本性质点评：本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键14.给定直线动圆M与定圆外切且与直线相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A、B是曲线C上两动点（异于坐标原点O），若求证直线AB过一定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由已知可得：定圆的圆心为（－3，0），且M到（－3，0）的距离比它到直线的距离大1，∴M到（－3，0）的距离等于它到直线的距离，∴动圆圆心M的轨迹为以F（－3，0）为焦点，直线为准线的抛物线，开口向左，，∴动圆圆心M的轨迹C的方程为：（也可以用直接法：，然后化简即得：）；（2）方法一：经分析：OA,OB的斜率都存在，都不为0，设OA：，则OB：，联立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,∴, 即: ,令,则,∴,∴直线AB与x轴交点为定点，其坐标为。
人教版选修2-1：抛物线的概念与性质--课后习题(精编含解析)
4.4.已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点
的距离为 ，则
(
)
A.
B.
【答案】B
【解析】
C.
D.
．若点 到该抛物线焦点
试题分析：由题意，抛物线关于 x 轴对称，开口向右，设方程为
（p＞0）
∵点 M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为 3，∴ ∵M(2，y0)∴ ∴ 考点：抛物线方程及性质
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
据题意知，△PMF 为等边三角形，PF=PM，
∴PM⊥抛物线的准线，
为等
设 P（ ，m），则 M（ 1，m），
等边三角形边长为 1+ ，F（1，0）
所以由 PM=FM，得 1+ =
，解得 m=2 ，
∴等边三角形边长为 4，其面积为 4
故答案选 D．
11.11.抛物线
，所以焦点坐标为
准线方程为
因为过点
和
，且与准线相切，所以设圆心坐标为
所以圆的方程为
将
和
带入得
联立化简得
该方程判别式 所以必然有两个交点 所以选 C 【点睛】本题考查了直线方程、圆方程、抛物线方程的关系，最后得到的一元二次方程不容易得到具体的 解，但是通过判断 即可得到焦点个数，属于中档题。
14.14.已知点
，解得 p=5，此时 y2=10x， 所以②④能使抛物线方程为 y2=10x．故答案为：②④ 考点：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质。 点评：应用题，注意抛物线标准方程及其几何性质。
21.21.已知抛物线 的一个交点为 ．若 【答案】 【解析】
的准线为 ，过
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.若抛物线y=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为 .【答案】4【解析】首先根据椭的标准圆方程求出椭圆的右焦点坐标，再结合题中条件可得抛物线的焦点坐标为（2，0），进而根据抛物线的有关性质求出p的值．解：由椭圆的方程+=1可得：a2=6，b2=2，∴c2=4，即c=2，∴椭圆的右焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，∴抛物线y2=2px的焦点（，0）即为（-2，0），即 =2，∴p=4．故答案为：4【考点】椭圆的性质与抛物线的有关性质点评：本题主要考查椭圆的性质与抛物线的有关性质，解决此题的关键是熟练掌握椭圆与抛物线的焦点坐标的求法，此题属于基础题2.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为 .【答案】【解析】根据题意可知设双曲线方程为,（a>0）,则可知,故可知双曲线的方程为。
【考点】双曲线几何性质点评：本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用3.已知抛物线，过点作直线交抛物线于（点在第一象限）；（1）设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定点；（2）若，为抛物线上的三点，且的重心为，求线段所在直线的斜率的取值范围.【答案】(1)要证明直线过定点，则可以设出直线方程，然后借助于联立方程组的思想爱那个来分析得到。
(2) 或【解析】（1），令，，设，联立，得到，，（2），设，中点，联立，，，，，，在抛物线上，，又得，，，或【考点】直线与抛物线位置关系点评：该试题属于常规试题，只要用心来解答，计算细心，一般容易得分，主要是理解判别式则作用，属于基础题。
4.抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】易知抛物线的焦点在y轴上，p=2，所以焦点坐标为。
【考点】抛物线的简单性质。
点评：熟练掌握抛物线四种形式的焦点坐标：焦点坐标为一次项系数的，但一定要注意把抛物线化为标准形式。
高二数学抛物线解答题及答案
解 答 题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(m M -到焦点的距离 等于5，求抛物线的方程和m 的值．2．已知点)0,5(A 和抛物线x y 42=上的动点P ，点M 分线段PA 为1:3:=MA PM ， 求点M 的轨迹方程．3．求顶点在原点，以y 轴为对称轴，其上各点与直线1243=+y x 的最短距离为1的 抛物线方程．4．抛物线的顶点在原点O ，焦点在x 轴上，A 、B 为抛物线上两点，且OB OA ⊥，OA 方程为x y 2=，35=AB ，求抛物线方程．5．若直线2-=kx y 交抛物线x y 82=于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标是2，求 AB ．6．过抛物线x y 42=的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1， 求这条直线的方程．7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑， 求其中最长支柱长．8．已知抛物线()022>=p px y ，过焦点F 的直线l 交抛物线交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α，求证：α2sin 2p AB =． 9．是否存在同时满足下列两个条件的直线l ：①与抛物线x y 82=有两个不同的交点A ，B ；②线段AB 被直线0551=-+y x l ：垂直平分．若不存在，说明理由；若存在，求出l 的方程．10．如果抛物线px y =2和圆()3222=+-y x 相交，它们在x 轴上方的交点为A 、B ， 那么当p 为何值时，线段AB 中点M 在直线x y =？参考答案：1．据题意可知，抛物线方程应设为px y 22-=（0>p ），则焦点是)0,2(p F - 点),3(m M -在抛物线上，且5=MF ，故p m 62=，5)23(22=++-m p解得⎩⎨⎧==624m p 或⎩⎨⎧-==624m p∴抛物线方程x y 82-=，62±=m2．设),(y x M ，),(11y x P ，1:3:=∴MA PM415315311+=+⨯+=∴x x x ，41y y = 即1541-=x x ，y y 41=，而点P 在抛物线x y 42=上，1214x y =∴)154(4)16(2-=∴x y ，即所求点M 的轨迹方程为154162-=x y3．依题设可设抛物线方程为py x 22-=（0>p ）此抛物线上各点与直线1243=+y x 的最短距离为1，此抛物线在直线1243=+y x 下方而且距离为1的直线743=+y x 相切．由⎩⎨⎧=-+-=074322y x py x 有07322=+-p px x 072492=⨯⨯-=∆p p 956=∴p ∴所求抛物线方程为：y x 91122-= 4．设方程为px y 22=（0>p ）OB OA ⊥ ，OA 方程为x y 2= OB ∴方程为2x y -= 由⎩⎨⎧==px y x y 222 ),2(p p A ∴，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x y 222 )4,8(p p B -∴，又35=AB 5.7)5()28(22=+-∴p p p 又0>p 1332=∴p ，∴所求方程为x y 13342= 由对称性可知开口向左的方程为x y 13342-= 5．1526．由x y 42=得焦点)0,1(F ，设所求弦两端点为),4(121y y A ，),4(222y y B ，直线21212212444y y y y y y k AB +=--= ① 221-=y y ②又AB 过焦点)0,2(p F ，且221p y y -=，故421-=⋅y y ③ 由②③解得⎪⎩⎪⎨⎧-==22221y y 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=22221y y 把1y 、2y 代入①式得22±=k 故所求的直线方程为02222=-±y x7．3.84米．8．分 90=α、90≠α两种情况证明．9．若存在直线l ，则1l 垂直平分AB ，所以51=k ．设l 的方程为b x y +=5，代入 x y 82=整理得()08102522=+-+b x b x ，则AB 中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-542554，b P ，代入1l 的方程得0542554=-+-b ，故521-=b ．经检验满足()010081022>--=∆b b ，故符合条件的直线l 存在，其方程为0212525=--y x ．10．设()11y x A ，，()22y x B ，，()M M y x M ，，由px y =2及()3222=+-y x 可得()0142=+⋅-+x p x ．因为p x x -=+421， ()2212121222121622p p x x p x x p y y y y y y -=++=++=+．所以24p x M -=，262p p y M -=．又M 在直线x y =上，所以M M y x =，解得2177±=P ，又由0≥∆得2≤p 或6≥p ．所以当()17721-=p 时，线段AB 的中点M 在直线x y =上．。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为的抛物线列中，是首项和公比都为的等比数列，过作斜率2的直线与相交于和（在轴的上方，在轴的下方）.证明：的斜率是定值；求、、、、所在直线的方程；记的面积为，证明：数列是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理成关于，的方程，进而求出的斜率；（2）利用直线的点斜式方程写出直线方程即可；（3）联立直线与抛物线方程，求弦长与点到直线的距离，进而求三角形的面积.规律总结：锥曲线的问题一般都有这样的特点：第一小题是基本的求方程问题，一般简单的利用定义和性质即可；后面几个小题一般来说综合性较强，用到的内容较多，大多数需要整体把握问题并且一般来说计算量很大，学生遇到这种问题就很棘手，有放弃的想法,所以处理这类问题一定要有耐心..试题解析：（1）由已知得，抛物线焦点，抛物线方程为，直线的方程为于是，抛物线与直线在轴上方的交点的坐标满足则有而直线的斜率为，则解得又点在第一象限，则；直线方程为；由得则，而到直线的距离为，于是的面积，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.由于，所以所有三角形面积和为.【考点】1.直线的方程；2.直线与抛物线的位置关系.2.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】A.【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.【考点】抛物线的简单性质.3.已知抛物线.（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）（）.【解析】（1）这是解析几何中的常规问题，注意设而不求思想方法的使用；（2）求轨迹方程的方法有：直接法、定义法、代入转移法、几何法、参数法等，这里使用的是直接法，直接法的步骤是：建系、设点、列式、坐标化、化简整理、最后是多退少补，特别要注意多退少补.试题解析：（1）由，消去整理得： 2分设，则，所以 6分（注：用其他方法也相应给分）（2）设点的坐标为，由边所在的方程过定点，8分所以, 即（） 14分（注:没写扣1分）【考点】1.直线与抛物线；2.求轨迹方程.4.已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为（）.A．B．C．D．【解析】因为抛物线的焦点为，即为圆C的圆心，又直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，所以圆心到直线的距离即为半径，则有，故选C.【考点】点到直线的距离公式，圆的切线的性质，抛物线的焦点坐标公式，圆的标准方程.5.已知抛物线．命题p: 直线l1:与抛物线C有公共点．命题q: 直线l2:被抛物线C所截得的线段长大于2．若为假, 为真,求k的取值范围．【答案】或或．【解析】先求出p为真, ；q为真,得且．由为假, 为真可得：p,q一真一假．若p真q假, 则或;若q真p假, 则．综上可得结论．若p为真,联立C和l1的方程化简得．时,方程显然有解;时,由得且．综上 (4分)若q为真, 联立C和l2的方程化简得,时显然不成立;∴,由于l2是抛物线的焦点弦, 故,解得且．(8分)∵为真, 为假,∴p,q一真一假．若p真q假, 则或; 若q真p假, 则．综上或或． (12分)【考点】复合命题真假的判断；根与系数的关系；焦点弦问题．6.如图，，，为两个定点，是的一条切线，若过，两点的抛物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是( )A．圆B．双曲线C．椭圆D．抛物线【答案】C【解析】焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和，而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．7.抛物线的焦点坐标是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知条件中表示的是焦点在y轴上抛物线，2p=4，p=2，而焦点坐标为，【考点】抛物线的焦点坐标．8.过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为，则等于 .【答案】【解析】设，又抛物线的准线方程为，焦点，则根据抛物线的定义可知,所以.【考点】1.抛物线的定义；2.直线与抛物线的位置关系.9.已知点A(3,2), 点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，求的最小值及此时P点的坐标．【答案】4, (1,2)．【解析】设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求PA+PD的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时PA+PD最小，答案可得．设点P在准线上的射影为D,记抛物线y2＝2x的焦点为F（1,0），准线l是x= -1，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，即PF=PD ,因此PA +PF="PA+" PD AD="4," 即当D，P，M三点共线时PA+PD最小，此时P(1,2)．【考点】抛物线的简单性质．10.若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，取得最小值的的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】点在抛物线内部，设点在抛物线准线上的投影为点，点在抛物线准线上的投影为点，则,因此当时，取最小值，所以的坐标为.【考点】抛物线定义的应用11.设为抛物线上的动弦，且, 则弦的中点到轴的最小距离为A．2B．C．1D．【答案】B【解析】设、，弦的中点到轴的距离最小，则弦过抛物线的焦点，由题意得准线为，∴，即，∴弦的中点到轴的最小距离.【考点】抛物线的定义、最值问题.12.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是.在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的范围是( )A．0＜r≤1B．0＜r＜1C．0＜r≤2D．0＜r＜2【答案】A），抛物线上点（x，y），求得点到圆心距离平方的表达式，进而根【解析】设小球圆心（0，y≥0，进而求得r的范围．据若r2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底，需1-y【考点】抛物线定义与性质.13.抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离为，则M到y轴距离为 ( )A．a-p B．a+p C．a－D．a+2p【答案】A【解析】根据抛物线的定义，点到准线的距离就是，因此它到轴距离为.【考点】抛物线的定义.14.点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2=4x的焦点，点P到准线的距离与点P到点F的距离相等，本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值，画图可知最小值即为点与点间的距离，最小值为.【考点】抛物线的定义.15.曲线C上任一点到定点(0，)的距离等于它到定直线的距离.(1)求曲线C的方程；(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点，且⊥，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.【答案】（1）y=2x2；（2）M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.斜率为2的直线L经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（）.A.1B.C.D.【答案】B【解析】设斜率为2且经过抛物线的焦点F的直线L的方程为，联立，得，即；设，中点；则；因为AB的中点到抛物线准线的距离为1，所以，.【考点】直线与抛物线的位置关系.2.已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为抛物线的焦点为，即为圆C的圆心，又直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，所以圆心到直线的距离即为半径，则有，故选C.【考点】点到直线的距离公式，圆的切线的性质，抛物线的焦点坐标公式，圆的标准方程.3.抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方部分相交于点A，则AF= ．【答案】4【解析】由题意得：，与联立方程组解得：，或（舍），因此【考点】抛物线定义4.以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）A．B．（2，0）C．（4，0）D．【答案】B【解析】画出如下示意图，可知，抛物线的焦点F坐标为(2,0)，准线方程为直线x=-2，根据抛物线的定义,取抛物线上任意一点P，则R=PH=PF，因此所画的圆必过焦点(2,0).【考点】抛物线的定义.5.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上．设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）证明：圆与轴必有公共点；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1 （2）见解析（3）存在，【解析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得p的值；（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量的坐标，由恒成立求解点M的坐标．（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得．（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为由得方程，由直线与抛物线相切，得且，从而，即，由，解得，∴的中点的坐标为圆心到轴距离，∵所圆与轴总有公共点．（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，由（2）知，∴。
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第7讲抛物线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝________.解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF⊥x轴知，PF＝2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y＝kx(k>0)得k＝2.答案 22．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________．解析分两类a>0，a<0可得y＝112x2，y＝－136x2.答案y＝112x2或y＝－136x23．(2017·苏州测试)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ＝________.解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF＋QF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.答案84．(2017·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线x29－y23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析 由图可知弦长AB ＝23，三角形的高为3， ∴面积为S ＝12×23×3＝3 3. 答案 3 35．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则QF ＝________. 解析∵FP →＝4FQ →，∴FP →＝4|FQ →|，∴PQ PF ＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ， 则AF ＝4，∴PQ PF ＝QQ ′AF ＝34，∴QQ ′＝3，根据抛物线定义可知QQ ′＝QF ＝3. 答案 36．(2017·扬州中学质检)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长AB 为________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案 87．(2017·南通调研)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，PF ＝________. 解析 如图，令l 与y 轴交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，BF ＝2，所以AB ＝233，若P (x 0，y 0)，则x 0＝233，代入x 2＝4y 中，则y 0＝13，所以PF ＝P A ＝y 0＋1＝43. 答案 438．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．解析建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米． 答案 2 6 二、解答题9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2,0)． 即抛物线的焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4. ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．则⎩⎨⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2，又∵P ，Q 关于l 对称．∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上，∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ，即⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2，∴⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0. 即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43， 故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.10．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线y 2a 2－x 24＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上． (1)求抛物线C 的方程；(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程． 解 (1)双曲线的离心率e ＝1＋4a 2＝5，又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0,1)， 又p >0，∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 22， 当l 1⊥l 2时，x 12·x 22＝－1，∴x 1x 2＝－4，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0， ∴Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0， ∴k <－1或k >0.①解x 2－4kx －4k ＝0得x 1,2＝2k ±2k 2＋k . x 1·x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①， 即直线的方程为x －y ＋1＝0.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·镇江调研)已知P 是抛物线y 2＝2x 上动点，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，若点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________． 解析 因为点P 在抛物线上，所以d 1＝PF －12(其中点F 为抛物线的焦点)，则d 1＋d 2＝PF ＋P A －12≥AF －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72－122＋42－12＝5－12＝92，当且仅当点P 是线段AF 与抛物线的交点时取等号． 答案 9212．(2016·四川卷改编)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM ＝2MF ，则直线OM 的斜率的最大值为________． 解析 如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2等号成立． 答案 2213．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO与△AFO 面积之和的最小值是________．解析 如图，可设A (m 2，m )，B (n 2，n )，其中m ＞0，n ＜0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB →＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2.∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0)．S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m ≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m＝2m ，即m ＝43时等号成立．故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3. 答案 314．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F .(1)求抛物线的方程；(2)若A 为抛物线上一点(异于原点O )，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E ，试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论． 解 (1)由题意得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 到准线的距离等于PO ，由抛物线的定义得点P 到准线的距离为PF ， 所以PO ＝PF ，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m 在线段OF 的中垂线上，所以p 4＝34，p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x .(2)四边形AEBF 为菱形，理由如下：由抛物线的对称性，设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20，y 0在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为3y 0， 所以点A 处切线的方程为y －y 0＝3y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16y 20， 令上式中y ＝0，得x ＝－16y 20， 所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16y 20，0， 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y 0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 20－32，y 0，所以F A →＝BE →，所以F A ∥BE ，又AE ∥FB ，故四边形AEBF 为平行四边形，再由抛物线的定义，得AF ＝AE ，所以四边形AEBF 为菱形.。